（基础数学专业论文）关于Ω闭集、Ωs闭集和强（θs）连续映射的研究.pdf

学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 坚持以“求实、创新的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所徽的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意 作者签名， 日期； 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校 有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版 和纸质版；有权将学位论文用于非赢利耳的的少量复制并允许论文进人 学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编人有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 作者签名s b期。 珏b ng 啪s h m a 吐e r sd e g r e ep a p e r j a n u a r y , 0 7 摘要 全文分三章，在第一章里我们给出了本文需要的预备知识和 本文的一些主要结果 在第二章里，我们研究了皿闭集和q r 闭集的性质利用睡 闭集和q r 闭集，我们得到了一些映射的分解和极度不连通空间 的刻划我们还给出了映射分解的理想化形式 在第三章里，我们定义并研究了强( 一，s ) 一连续映射，给出了强 ( 口，s ) 一连续映射的一些刻划。我们还利用强( 口，s ) 一连续映射刻划 了极度不连通空间和超连通空间 关键词：半开集；阼闭集；q 。一闭集；连续映射分解；理想； 强( 0 ，s ) - 连续映射 2 i n c i a s d & 垴儿c l o e e ds e t sm i ds t r o n g 妒。8 ) - c o m i n u t t y a b s t r a c t t h e r ea r et h r e ec h a p t e r si nt h i sp a p e r t nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e i n t r o d u c en e c e s s a r yp r e l i m i n a r i e sa n dm a i nr e s u l t so ft h i sp a p e r i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w es t u a y 珏出e ds e t sa n dq 8 一c l o s e d s e t al 斗o p e r t i e so ff 2 - c o s e ds e t sa n df 2 。- c l o s e ds e t sa r ei n v e s t i g a t e d i nt h i sc h a p t e r w eo b t a i ns o m ed e c o m p o s i t i o nt h e o r e m sa n dc h a r - a c t e r i z a t i o n so fe x t r e m e l yd i s c o n n e c t e ds p a c e sb yf t - c l o s e ds e t sa n d q 。一c l o s e ds e t s w ea l s og i v et h ei d e a l i z a t i o no ft h ed e c o m p o s i t i o n t h e o r e m a i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h en o t i o n so fs t r o n g ( 日，s ) - c o n t i n u o u sf u n c t i o n s w ei n v e s t i g a t es o m ep r o p e r g i e so fs t r o n g ( 以s ) 一c o n t i n u o u sf u n c t i o n s s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs t r o n g ( 一，8 ) 一 c o n t i n u o u sf u n c t i o n sa x eo b t a i n e d s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fe x - t r 朗晚够d i s c o n n e c t e ds p a c e sa n dh y p e r c o n n e c t e ds p a c e sa r ea l s o o b t a i n e db ys t r o n g ( 六s ) 一c o n t i n u o u sf u n c t i o n s k e y w o r d s ：s e m i - o p e ns e t s ；皿c l o s e ds e t s ；q s c l o s e ds e t s ；d e - c o m p o s i t i o no fc o n t i n u i t y ；i d e a l ；s t r o n g ( p ，s ) 一c o n t i n u o u sf u n c t i o n s j u a 峨枷7 p r e f a c e h1 9 6 3 ，n l e v i n e 2 0 li n t r o d u c e dt h en o t i o n so fs e m i - o p e ns e t s ( c a l l e d 卢 o p e n t sb y0 n j 缸a d 【2 2 1 ) a f t e rt h a t ，m a n yo t h e rn o t i o n so fw e a ko p e ns e t s w e r ei n t r o d u c e ds u c h q o p e ns e t s ，s e m i - p r e o p e ns e t s ，p r e o p e ns e t sa n ds oo i l f r o mt h e no n m u c hw o r kh a sb e e n d o n ei ns t u d y i n go fw e a ko p e ns e t s 皿em o a t p o p u l a rm e t h o di st os t u d yt h o s ep r o p e r t i e sw h e nr e p l a c i n go p e ns e t sb yw e a k o p e ns e t si ng e n e r a lt o p o l o g y b yt h i sw s y , 8 - c l o s e ds p a c e sa n ds - p a r a c o m p a c t s p a c e sw e r ei n t r o d u c e da n ds t u d i e d a n o t h e rm e t h o di ns t u d y i n gw e a ko p e ns e t s i st oc h a r a c t e r i z et h o s ec l a s s i c a lt h e o r i e sa n dp r o p e r t i e si ng e n e r a lt o p o l o g yb y w e a ko p e ns e t & s u c ha s , i ti sc o n v e n i e n tt oc h a r a c t e r i z ee x t r e m e l yd i s c o f i n e c t e d s p a c e sb yw e a ko p e ns e t s o fc o u r s e ，w e a ko p e ns e t sa l s oh a st h e i ro w np e r s o n a l i t y s e 厕- t o p o l o g i c a lc l a s sw a si n t r o d u c e da n ds t u d i e db ys g c r o s s e l ya n ds k h i l d e b r a n d 【5 】i n1 9 7 2 w h e t h e rap r o p e r t yw h i c hi sd e f i n e db yw e a ko p e ns e t s o rc l a s s i c a lo p e ns e t si sas e m i - t o p o l o g i c a lp r o p e r t yo rn o ti sa n o t h e ri m p o r t a n t a s p e c tt os t u d y f o re x a m p l e ，h - c l o s e d n e s si sas e m i - t o p o l o g i c a lp r o p e r t yw h i l e c o m p a c t n e s si sn o t i n1 9 6 1 ，n l e v i n e1 1 9 li n t r o d u c e dt h en o t i o n so ft ，* - c o n t i n u o u sm a p p i n g s a n dw e a k - c o n t i n u o u sm a p p i n g s , w h i c hw e t ew e a k e rt h a nc o n t i n u i t y b yt h e s e t w ow e a kc o n t i n u i t y , h eo b t a i n e da d e c o m p o s i t i o no fc o n t i n u i t y i n1 9 8 6 ，j t o n g 臣7 li n t r o d u c e dt h en o t i o n so f s e 纽a n 4 8 e tw h i c hi sw e a k e rt h a na no p e n s e ti sa ni n t e r s e c t i o no fa no p e s as e ta n dar e g u l a rc k b e ds e t h ep r o v e dt h a ta s e ti so p e ni fa n do n l yi fi t 缸p r e o p e na n d 强a - s e ta n dh e n c e h eo b t a i n e da d e c o m p o s i t i o no f c o n t i n u i t y s i n c et h e n ，w e a ko p e ns e t sp l a y e da ni m p o r t a n tr o l e i nd e c o m p o s i t i o no fn m p p i n g s t h e d e , z h a sal 匝g t h ya n di n t e r e s t i n gh i s t o r i c a ld e v e l o p m e n ti ng e n e r a l t o p o l o g y a nk t e n lji san o n e m p t yc o l l e c t i o no fs u b 6 e t so i lat o p o l o g i c a ls p a c e 3 4 f * c l o ds e t s ，n r c l o s e ds 雠ba n ds t r o n g ( 日，s ) - c o n t i n u i t y j a n u a r y , 昕 ( x ，r ) w h i c hs a t i s f i e st h ef o l l o w i n gt w oc o n d i t i o n s ：( 1 ) i fa ia n db a t h e nb j ；( 2 ) i fa ia n db i ，t h e na u b ，咖e t i m 鹤a ni d e a li s c a l l e dad u a tt i l t e l i n1 9 9 0 ，d j a n k o v i 6a n dt r h a m l e t tf 17 1w r o t eas u r v e y t oi n t r o d u c et h ei d e a ls y s t e m a t i c a l l y t h em o 砒i m p o r t a n tp r o p e r t yo fa l li d e a li s t h a tw ec 勰i n d u c ean e wt o p o l o g yf r o mt h eo l dt o p o l o g yv i ai t i tj sn e c e s s a r y t op o i n to u tt h a tt h ei d e a lo fa l ln o w h e r ed e n s es e t si nat o p o l o g i c a ls d a c eh a s av e r yn i c ep r o p e r t y , t h a ti s t h en e wt o p o l o g yi n d u c e df r o mt h eo l dt o p o l o g yr v i at h i si d e a lc o i n c i d ew i t ht h et o p o l o g y ，w h i c hi st h ef i n e s tt o p o l o g yi nt h e s e m i - t o p o l o g i c a lc l a s s i n1 9 9 8 ，j d o n t c h e v 1 0 i n t r o d u c e dt h en o t i o n so fp r e i o p e ns e t sa n d - s e t sa n do b t a i n e dad e c o m p o s i t i o no fc o n t i n u i t y r e c e n t l y t n o i r ih a v ed o n em u c hw o r ko ni d e a l i z i n go fd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m s m e a n w h i l e , i d e a l i z a t i o no f $ o m eo t h e rp r o p e r t i e ss u c h8 8r e s o l v a b i l i t yw e r es t u d i e d i d e a l sa r e f l o ws t u d i e db r o a d l yi ng e n e r a lt o p o l o g y 丑hg u a n g 龟 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o na n dm a i nr e s u i t s 1 1i n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r y t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，as p a c ea l w a y sm e s n sat o p o l o g i c a ls p a c e nd e n o t e s t h es e to fa l ln a t u r a ln m n b e r s 8 nd e n o t e st h es t o n e - c & hc o m p a c t i f i c a t i o no f n l e tab e8s i l b 6 e to fas p a c ex w ed e n o t et h ei n t e r i o ra n dc l o s u r eo fab y i n t ( a ) a n dd ( a ) ，r e s p e c t i v e l y t n o i r i 2 4 】i n t r o d u c e dt h en o t i o n so f 吼一c l o s e ds e t sa n do ”c l o s e ds e t s i n c h a p t e r2 ，w ei n v e s t i g a t et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fq _ 一c l o s e ds e t sa n dd - c l o s e d s e t s s o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fq , - c l o s e db e t 8a r eg i v a a w eo b t a i nb o r n ed e - c o m p o s i t i o n so fm a p p i n g sb yq _ 一c l o s e ds e t sa n dq - d o s e ds e t s ad e c o m p o s i t i o n 0 fc o n t i n u i t yi so b t a i n e d ，w h i c hi sp r o v e da ni m p r o v e m e n t0 fg a n s t e r sd e c o m - p o s i t i o nt h e o r e m 【1 4 1 s o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so fe x t r e m e l yd i s c o n n e c t e ds p a c e s a n dl o c a l l yi n d i s c r e t es p a c e sa r eg i v e n l e tab e88 u ：n i 疏o fas p a c ex ai ss a i dt ob es e m i o p e n 【2 0 ( r e s p e c t i v e l y , p r e o p e n ，n o p e n ，s e m i - p r e o p e n , 糊砌盯幽s e 西i fa c l ( i n t ( a ) ) ( r e s p e c t i v e l y , a 僦( d ( a ) ) ，a 舌n t ( d ( 锄t ( a ) ) ) ，a d ( 1 毗( d ( ) ) ) ，a = d ( 伽t ( a ) ) ) ai s s a i dt ob ea n4 一s e t i f a = u n f w h e r eui so p e na n df i sr e g u l 舡c l o s e d a i s 船i dt ob es e m i - d o s e df r e s p e c t i v e l y , 口- c l o s e d ) i fi t sc o m p l e m e n ti ss e m i - o p e n ( r e s p e c t i v e l y , a - o p e n ) t h es e ：m - c o s u r e ( r e s p e c t i v e l y , o t c l o s u r e ) o fa8 u b 6 e ta i st h ei n t e r s e c t i o no fa l ls e m i - c l o s e d ( r e s p e c t i v e l y , a - c l o s e d ) s e t sw h i c hc o n t a i n aa n di sd e n o t e db y8 c i ( ) ( r e s p e c t i v e l y , 口c l ( ) ) i n1 2 2 l ，n j 缸t a dp r o v e dt h a t t h ef a m i l yo fa l ls - o p e ns e t si nxf o r m sat o p o l o g y i fas p a c exi se x t r e m e l y d i s c o n n e c t e d ，t h e ns e m i - o p e ns e t sa n da - o p e ns e t si nxc o i n c i d e w ed e n o t et h ef a m i l yo fa l ls e m i - o p e n ( r e s p e c t i v e l y , p r e o p e n ，s - o p e n ，蚴i - 5 6i n t r o d u c t i o nm a dm 矗i nr e s u l t i p r e o p e n ，r e g u l a rc k l 6 e d ，o 。c l o s e d ，f l - c l o s e d ，a - ) s e t si bxb ys o ( x ) ( r e s p e c - t i v e l y , p o ( x ) ，口( x ) ，b ( x ) ，r c ( x ) ，瓯( x ) ，n ( x ) ，4 ( x ) ) t h es e m i i n t e r i o ro fa8 1 1 b l o tai st h eu n i o no fa l ls e m i - o p e ns e t sw h i c ha c o n t a i n e di naa n di sd e n o t e db ys i n t ( a ) ap o i n tzi ss a i dt ob e8 # - s e m i - d u s t e r 【2 2 1 ( r e s p e c t i v e l y , # - c l u s t e r 2 5 1 ) p o i n to fas u b s e ta i fd ( u ) na o 如fe v e r ys e m i - o p e n ( r e s p e c t i v e l y , o p e n ) s e tuw h i c hc o n t a i n so t h es e to f a l t # - s e m i - c l u s t e r ( r e s p e c t i v e l y , 8 - c l u s t e r ) p o i n to fa i sc a l l e dt h e # - s e m i - c l o s u r e ( r e s p e c t i v e l y , # - c l o s u r e ) o faa n di sd e n o t e db ys a 0 ( a ) ( r e s p e c t i v e l y , 幽( a ) ) a s j t l b e e ti sc a l l e d # - s e m i - c l o s e d ( r e s p e c t i v e l y , # - c l o s e d ) i fa = s d s ( a ) ( r e s p e c t i v e l y , a = 嘞( a ) ) as u b s e ta i sc a l l e d # - s e m i - o p e ni fx ai s # - s e m i - d o s e d w es e t s 0 0 ，x ) = 口：u s o ( x ) ，。u m a d7 _ p ，x ) = u ：u r ( x ) ，。u t n o i r ia n ds j 越a l if 2 2 1i n t r o d u c e dt h en o t i o n so f ( 口，s ) - c o n t i n u o u sf u n c - t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ed e f i n es t r o n g ( 口，8 ) 一c o n t i n u o u sf u n c t i o n sw h i c ha l e p r o v e ds t r o n g e rt h a n ( p ，s ) - c o n t i n n o n sf u n c t i o n sa n ds t u d ys o m ep r o p e r t i e so f s t r o n g ( 日，8 ) c o n t i n u o u sf u n c t i o n s s o m eb a s i cc h a r a c t e r i z a t i o n so fs t r o n g ( 8 ，s ) - c o n t i n u o u sf u n c t i o n sa r ei n v e s t i g a t e da n ds o n l er e s u l t sa l eo b t a i n e d t h ef o l l o w i n gp r o p o s i t i o n sa r eb a s i ca n dw e l l - k n o w n p r o p o s i t i o n1 1 1l e ta b ea8 u b s e to f8s p a c ex t h e n ，s d ( a ) 2au 概( d ( a ) ) p r o p o s i t i o n1 1 2l e tub e o p e l ls e to fx a n dvas e n t i - o p e ns e to fx t h e n ，unv i ss e m i - o p e n p r o p o s i t i o n1 1 3l e ta b eas u b s e to fx t h e n ，ai sa - o p e ni fa n do n l y i fi ti ss e m i o p e na n dp r c o p e n p r o p o s i t i o n1 1 4 【1 4 l e ta b eas u b s e to fx t h e n ，ai so p e ni fa n d o n l yi fi ti sa l la - s e ta n da - o p e n p r o p o s i t i o n l 1 5 l e 乞u b e a s e m i - o p e n 吼b s e t o f i t s l m w u e x t h e n ，a ( u ) = c l ( i n t ( u ) ) p r o p o s i t i o n1 1 6l e tu b eas u b s e to fx 酗，ui sa - o p e ni fa n d 锄睁 i funyi ss e m i - o p e nf o re v e r ys e m i - o p e ns e tv 1 2m a i nr e s u l t s i n t r o d u c t i o na n dm a l r e 瞰t t 搴7 i nt h i ss e c t i o nw el i s t8 0 i n em a i nr e s u l t so ft h i sp 8 p e r ： t h e o r e m2 1 7l e t 也：8 毋b eaf a m i l yo f 吼- c l o s e d8 e 慷t h e n ， a = u 。s 也i sn , - c t o s e d t h e o r e m2 1 1 1l e txb eas p a c e t h e nxi se x t r e m e l yd i s c o n n e c t e di f a n do n l yi ft h eu n i o no fa n yt w o 皿c l o s e ds e t si s 阽c l o s e d t h e o r e m2 2 1 2l e t ，：x _ yb eam a p p i n g t h e n ，t h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ，i sc o n t i n u o u s ； 。( 2 ) ，i s a - c o n t i n u o u sa n d 她一c o n t i n u o u s ； ( 3 ) ，i s 4 吕n t i 姗0 1 】8f l , - c o n t i n u o u s t h e o r e m2 3 1 6l e t ( x ，r ，i ) b eah a y a m a - s a m u e l ss p a c e f o raf u n c t i o n f ：( x ，li ) _ ( m 口) ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ，i sc o n t i n u o u s ； ( 2 ) ，i s 山- c o n t i n u o u sa n dq r - c o n t i n u o u s t h e o r e m2 3 1 7l e t ( x ，l ，) b ea ni d e a lt o p o l o g i c a ls p a c e f o raf u n c t i o n ，：( x ，lj ) _ ( k 口) ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 盯ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ，i sc o n t i n u o u s ； ( 2 ) fi s4 广c o n t i n u o u sa n d0 r - c o n t i n u o u s t h e o r e m2 4 2f o ras p a c ex ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa l ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) xi se x t r e m e l yd i s c o n n e c t e d ； ( 2 ) e v e r ys u b s e to fxi sq , - c l o s e d ； ( 3 ) e v e r ys i n g l e t o no fx i sq , - d o s e d ； ( 4 ) e v e r ys e m i - p r e o p e ns e ti sq - - d o s e d ； ( 5 ) e v e r ys e m i o p e ns e ti sq ，- c l o s e d ； ( 6 ) e v e r y , 4 - s e ti s 2 , - c o s e d ； ( 7 ) e v e r y4 b s e t i sn j - c l o s e d ； ( 8 ) e v e r yr e g u l a rc l o s e ds e ti s 吼一c l o s e d t h e o r e m2 4 3f o ras p a c ex t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s 龇e q u i v a l e n t ： ( 1 ) xi sl o c a l l yi n d i s c r e t e ； ( 2 ) e v e r yo p 吼s e ti sr e g u l a ro p e n ； ( 3 ) e v e r yf l , - c l o s e ds e ti st 2 - c l o s e d ， t h e o r e m3 1 1 4f o rat o p o l o g i c a ls p a c ey t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r e e q u i v a l e n t ： 8i n t r o d u c t i o na n dm a i 丑r e s u l t s ( 1 ) yi sh y p e r c o n n e c t e d ； ( 2 ) e v e r yf l m c t i o n ，：x _ yi 8s t r o n g ( 只s ) - c o n t i n u o u s ； ( 3 ) e v e r yf i m c t i o n ：x _ y i ss t r o n g9 - c o n t i n u o u s t h e o r e m3 1 1 4l e t | ：x _ yb eaf u n c t i o na n dyb ee x t r e m e l yd i s c o w n e c t e d t h e nt h ef o l l o w m gc o a l i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ，i sc o n t i n u o u s ； ( 2 ) ，i ss t r o n g ( 口，s ) - c o n t j n u o u sa n d 叫* - c o n t i n u o u s ； ( 3 ) ，i 8 限s ) - c o n t i n u m ma n dt i - c o n t i n u o u s ； ( 4 ) ，i sa l m o s t - s c o n t i n u o u sa n d 硼* - c o n t i n u o u a t h e o r e m3 1 1 6f o ras p a c ex t h er o l l r i n gc o n d i t i o n sa r ee q u v a l e n t ： ( 1 ) xi se x t r e m e l yd i s c o n n e c t e d ； ( 2 ) af u n c t i o n ，：y _ x i s0 - c o n t i n u o u si fa n d 哩】yi fi ti ss t r o n g ( 0 ，s ) - c o n t i n u o u s ； ( 3 ) af u n c t i o n ，：xdy i s6 - i r r e s o l u t ei fa n do n l yi fi ti ss t r o n g ( 口，8 ) - c o n t i n u o u a l h ng m g h m a s t e r sd e 弹p a p e r j a m m r y , 舢 c h a p t e r2 q - c l o s e ds e t sa n dq s c l o s e ds e t s 2 1s o m ep r o p e r t i e so fq 5 - c l o s e ds e t sa n df l - c l o s e ds e t s i nt h ms e c t i o n ，w ei n v e s t i g a t et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fn r d e ds e t sa n d 皿d 0 8 e ds e t 8 d e f i n i t i o n2 1 1 【2 4 】as u b s e tao fas p a c exi ss a i dt ob eo r c l o s e d ( r e s p e c t i v e l y , f 2 - c l o s e d ) i fs d ( a ) 订吨( c f ( u ) ) ( r e s p e c t i v e l y , s d ( a ) i n t ( u ) ) w h e n e v e r a ua n d u i ss e m i - o p e n i n x t h ef o l l o w i n gt h e o r e mc h a r a c t e r i z e sf o - c l o s e ds e t sa n dt h e s ec h a r a c t e r i z w t i o n sa r ec o n v e n i e n tt ou s e t h e o r e m2 1 2l e tab eas u b s e to fas p a c ex t h e n t h ef o l l o w i n g c o n d i t i o n sa l ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) ai s 吼c l o s e d ； ( 2 ) s d ( a ) i n t ( c l ( u ) ) w h e n e v e ra ua n du i ss e m i p r c o p e ni nx ； ( 3 ) a i n t ( d ( u ) ) w h e n e v e ra ua n du i ss e m i p r e o p e ni nx ； ( 4 ) a i n t ( d ( u ) ) w h e n e v e ra ua n du i ss e m i - o p e ni nx ； ( 5 ) a i n t ( u ) w h e n e v e rasu a n dui ss e m i - r e g u l a li nx ； ( 6 ) a i n t ( u ) w h e n e v e ra ua n du i sr e g u l a rc l o s e di nx p r o o f ( 1 ) 净( 2 ) s u p p o s ea i sa q c l o s e ds e t l e tub es e m i - p r c o p e nw i t h a u t h e n ，a c f ( 西础( c f ( c ，) ) ) s o , 8 烈a ) i n t ( c l ( c l ( i n t ( d ( u ) ) ) ) ) = i n t ( a ( 0 3 ) ， w h i c hc o m p l e t e st h ep r o o f ( 2 ) 号( 3 ) b yt h ef a c tt h a t3 d ( a ) = a u i r d ( c l ( a ) ) ( 3 ) 净( 4 ) ，( 4 ) 净( 5 ) ，( 5 ) 辛( 6 ) c l e a r l y ( 6 ) 辛( 1 ) s u p p o s ea u ，w h e r e 矿i ss e m i - o p e n t h ，a d ( v ) a n d c f ( i sr e g u l a rd o s e d t h u s , a i ，坛( d ( u ) ) ) w h i c hi m p l i e st h a ts a ( a ) = au i m ( d ( a ) ) i ，堪( c f ( u ) ) s o , ai s 瓯一c l o s e d o 9 1 0 f k c l m e ds e t sa n d0 。c l o s e ds e t sm d t e r sd e g r e ep a p e r r e c a l lt h a tam a p p i n g ，：x _ yi ss a i dt ob ei r r e s o l u t e1 4 1i ff - 1 ( u ) i ss e n t i o p e ni nxf o re v e r ys e m i - o p e ns e tui ny c r o s s e l yf 4 1p r o v e dt h a ta c o n t i n u o u sa n do p e nm a p p i n gsi si r r e s o l u t e t h ef o l l o w i n g