（基础数学专业论文）关于bouncing+ball模型存在马蹄的研究.pdf

嚣5 咖s 摘要 弹跳毯( b o u n c i n gb a l l ) 模型具有丰素黝动力学性质，爨m e r i a m 在 t 9 7 5 年键澎1 ，先后有许多入对诧闻题进行了研究翻懿w o o d 和b y r n e 在1 9 8 1 雄l jj 以及h o l m e s 在1 9 8 2 年”1 分别对此动力学现象作了研究 g u c k e n h e i m e r 和h o l m e s 谯专著【l 】中用了相当的篇幅讨论了弹跳球模型， 当o r = l 时给出了存在马蹄敬条件( ，5 x ) ，对某些a ( 1 ) 则仅用数值方 法褥委在一定条舞t 警瑗“奇异啜弓| 子”( 舞皴穆= 0 。5 ，y = 6 劣) ，这里 口与y 分别表示小球的碰攮恢复系数和激掇力振幅，最近，谢建华在1 9 9 8 年叫利用对称性给出了髓= l 时弹跳球模型存在双曲不变集的条件 ( ，y 。抽4 0 3 i 8 眩) 奎文【强及所零 静一系列文献霹翔，弹鹣球模型映射懿恢复系数癌酶范 黉为0 掰l ，因此研究0 o r l 时弹跳球模型的动力学性质特别是马蹄 存在的条件十分必要 本文对碰撞恢复系数为0 搿l 的弹跳球模型，通过选敝合理的基 本区域和弓| 入适当的坐标变换，分鄹翻瘸茔、耋蓐谨条箨p j 刈积壤建莹提出豹 一缓微分条徉p ”，给出了撵蹒球模型存在双耱不变集和不变熊的条件从 而很好地解决了该模型马蹄的存在性问题 e x i s t e n c eo ft h eh o r s e s h o eo f t h eb o u n c i n gb a l lm o d e l h e q i n b i n a b s t r a c t t h eb o u n c i n gb a l lm o d e lw h i c hw a sr a i s e d f i r s t l yb ym e r i a mi n 19 7 5 2 】p 。s s e s s e sr i c hd y n a m i cb e h a v i 。r ，m a n ys c h 。l a r s h a ds t u d i e di t s u c ha sw o o da n db y m ei n 1 9 8 1 3 1 ，a i l dh o h n e si n1 9 8 2 【4 1 i n a d d i t i o n ，g u c k e n h e i m e ra n dh o l m e ss p e n ta g r e a to fl e n g t ht od i s c u s si t i nt h eb o o k 1 】i n1 9 8 3 t h e yg a v et h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ny 5 r et h a t e n s u r et h ee x i s t e n c eo ft h eh o r s e s h o eo f t h em o d e lf o r 2 = 1a n du s e d n u m e r i c a lv a l u em e t h o dt od i s c o v e r e d ”s t r a n f ea t t r a c t o r ”f o r c e l t a i n 口 ( f o re x a m p l e口= 1 ，y 2 6 x ) w h e r e 口、y d e n o t et h e c o l l i d i n g c o e f f i c i e n to fr e s t i t u t i o na n dt h ea m p l i t u d eo f t h eb a l l r e c e n t l y ，x i e j i a n h u a 小“o b t a i n e dt h e r e i sa h y p e r b o l i ci n v a r i a n t s e tw h e n y y m l n 4 0 3 1 8 x o nt h eb a s i so ft h e s y m m e t r yo ft h em o d e if o r 口= 1 i t i sc l e a rt h a tt h e s c o p eo ft h ec o e f f i c i e n t 口i s 0 口1 f o r m b o o k i 】s oi ti sn e c e s s a r yt or e s e a r c ht h ee x i s t e n c eo fh o r s e s h o eo f t h em o d e lf o r0 口 1 兀 i nt h i sp a p e r ，w ec h o o s ear e a s o n a b l eb a s i ca r e aa n dac o o r d i n a t e t r a n s f o r ma n dg i v ec o n d i t i o n st h a te n s u r et h ei n v a r i a n ts e to rh y p e r b o l i c i n v a r i a n ts e te x i s ti nt h eb o u n c i n gb a l lm o d e lb y u s i n gt h em o s 曙礁a n d z h o u j i a n y i n g s c o n d i t i o n s r e s l 诧c t i v e l y t h u s ，t h e e x i s t e n c eo f h o r s e s h o eo ft h eb o u n c i n gb a l lm o d e li ss o l v e d e f f e c t i v e l y i f i 第1 页共2 6 页 1 引言 弹跳球( b o u n c i n g b a l l ) 模型： 百j 妒= 缈+ v ( m o d 2 n - ) 1 矿：a v 一7 c o s ( f a + v ) ( o a 1 ) ， ( 1 ) 具有丰富的动力学性质，自m e r i a m 在1 9 7 5 年提出j ，先后有许多人对此 问题进行了研究例如w o o d 和b y m e 在1 9 8 1 年1 以及h o l m e s 在1 9 8 2 年h 1 分别对此动力学现象作了研究g u c k e n h e i m e r 和h o l m e s 在专著【1 】 中用了相当的篇幅讨论了弹跳球模型，当口= 1 时给出了存在- b 蹄的条件 ( ，5 r e ) ，对某些a ( 1 ) 则用数值方法得到在一定条件下出现r r 奇异吸 引子”( 例如口= 0 5 ，y = 6 n ) 最近，谢建华在1 9 9 8 年 1 4 1 利用对称 性给出了口= 1 时弹跳球模型存在双曲不变集的条件 ( y ，。i r i 4 0 3 1 8 x ) 本文对碰撞恢复系数为0 口1 的弹跳球模型一般性质进行研究 通过选取合理的基本区域和引入适当的坐标变换，分别利用m o s e p 条件 9 a 5 和周建莹提出的一组微分条件【1 6 1 ，给出了弹跳球模型存在双曲不变 集和不变集的条件从而很好地解决了“弹跳球( b o 皿c i n gb a l l ) 模型马蹄 的存在性问题 取坐标交换： 办：，伊2 伊 iy = 够+ v ， ( 2 ) 其中妒【0 , 2 e r ，则有f ( q o ，y ) = ( h 。f 。h - 1 ) ( 伊，y ) ，f 妒= y 1 y 1 = ( 1 + 口) y 一口够一yc o s y ( o 口 y 。i 。时，厂在q 上存在不变集人， i a 与( 2 ，仃) 拓扑共轭 ( 其中y 。i 。= m a x ( 1 + 口) ，2 ( 1 + 口) 丌 ，这里p + 满足 酊+ 孑l + a = ”， y 。i i l 时，厂在q 上存在双曲不变 集人，fi a 与( 2 ，仃) 拓扑共轭 ( 其中，曲= m a x ，2 ( 1 + 口) 删，这里 23 c a , 黼：t g c o + 麓，呦引，仍( 等姒 + 酉嚣，o 口 l ，仍( 等，2 万) ) 第3 页共2 6 页 2 s m a l e 马蹄与符号动力系统 1 s m a l e 马蹄 众所周知，s m a l e 马蹄是由s m a l e 在讨论横截同宿轨道中抽象出 的一个著名的模型0 1 ，它的非游荡集是一个混沌的不变集 定义2 1 p 1s m a l e 马蹄是指如下意义的一个同胚映射： f ：d 争r 2d = ( x ，y ) r0 x 2 ) ，在水平方r q e , , 缩( 压缩五 o o 时： d _ 。= n 厂”( 肼， n = o 它为一系列水平线段组成的c a n t o r 集；且易知f ”作用下上述水平条的 象为铅直条，宽度为刀当刀专o o 时成为铅直线段组成的c a m o r 集： 域= n 厂”( 引 n - - o 从而 人= 珑n 儿， 为微分同胚的不变集，即对任一石人，轨道 厂“( x ) ) 胝：整个 包含在人内 2 符号动力系统 符号动力系统有丰富的动力性质，在拓扑动力系统研究中有非常重 要的意义，早在5 0 年代就有专著【1 2 】 取数字0 ，l ，2 ，n 一1 为n 个符号，记集合a _ 0 ，1 ，2 ，n 1 ) ，利用 集合a 中的兀素任恿排成双向无限序列“2 ( 1 2 口一1a oa l a 2 一， 其中q = o 或1 ，一l ( f z ) ，这里嘞称为中位元素，这种无限序列 口就称作为一个符号序列考虑所有这种可能的符号序列的集合记 = 口) ，今在v 引进距离使其成为一距离空间对于口及6 b = b ：6 _ lb o6 1 6 2 定义距离d ：- o r + 第6 页共2 6 页 。f0 a ：6 m ，6 ) ：，曼即呻 ，其中谚。 1 ：i 易知d ( a ，6 ) 0 且d ( 口，6 ) = 0 a = b ，并满足其它距离公理， 从而为一距离空间，称其为符号空间 在上定- - 映射盯称为( 左) 移位，使c r ( a ) = b 满足 6 l = 口州，易知o - 、o - 一1 连续，故仃n n n 从而( ，o - ) 构成| v 上的一个拓扑动力系统，它具有下列有趣而很重要的动力性质【9 ，l3 1 ： 性质( 1 ) ( 乞n ，仃j 具有可数多个周期点，且对每一整数轧它具有以n 为周期的周期点 ( 2 ) o - 的周期点在内处处稠密 ( 3 ) 内存在一条稠密轨道 满足上述三条性质的映射可得到几种意义下的混沌，如l i y o r k e 混沌 i i 】和d e v q 蝴沌【l o 】等 符号动力系统可以用来刻划s m a l e 马蹄，即限制在人上的运动 与盯在2 内的运动是完全相同的，即有如下著名的结果： 定理2 1 【9 1 3 1 对s m a l e 马蹄映射f ，存在2 与八间的同胚映射 t y ：a 专乞2 使得沙o = 仃oy 对一切：a 成立，即i a 与盯拓 扑共轭 苎! 墨苎堑里一一 3 产生广义马蹄的条件 由于许多二维映射不能直接利用2 中的s m a l e 马蹄映射，m o $ e i 等给出广义马蹄的概念 定义3 1 9 1 一曲线称为t v 垂直曲线，指方程x = v ( y ) 0 v ( y ) 1 ，满足： iv ( y 1 ) 一v ( 儿) 阵从iy l y 210 y l ，y 2 1 ； 类似一曲线称为以水平曲线，指方程y = h ( x ) 0 h ( x ) 1 ， 满足： i 向( 五) 一h ( x 2 ) 1 mlx 1 一x 210 y l ，y 2 1 定义3 2 9 1 若给定二条不相交的, u v 垂直曲线，v j ( y ) v 2 ( y ) y 0 , 1 】，称y 为p v 垂直条，其中 v = ( x ，y ) r lj 【v l ( y ) ，v 2 ( y ) ，y 【0 ，1 ) ； 类似给定二个条相交的觞水平曲线，啊( x ) 如( x ) x 【0 , 1 称日为此水平条，其中 h = ( x ，y ) r f y 【啊( x ) ，儿( x ) 】，x 【0 , 1 1 下面是m 0 5 e r 给出的条件【9 】 条件【i1 【9 1 ：0 以以 1 ，厂( 4 , ) = 是同胚映射且e 水平 边界映到k 的水平边界，e 垂直边界映到k 的垂直边界( i = l 2 ，n ) 条件【】 9 1 ：设日是盹水平条，包含在u ，d e 内，且 f q ( h ) n e 兰e 是乜冰平条，进而e l ( e ) v d ( h ) 0 屹 1 。 相似地矿是从垂直条，包含在u ，d 杉内，且厂y ) n k 三k 是 第8 页共2 6 页 1 v 垂直条，进而d ( ) v d ( v ) ，0 l7 7 f p ) ： 由于，豆接验证满足条件【i i 】十分困难，m o s e t 给出了相应比较容 易验证的条件： 条件1 1 9 , 1 5 】：对于任意尸eu 形满足： d i d ( $ ) c 碳p ) l 巩( p ) i t r pi ，其中( 彭( 尸) ，珊( 即) 碳m ( 善，刁) s ；： 和巧一f p ( - $ ) c 醪t ( 尸)i 争t ( p ) i 1 鼻l ，其中 ( 务【( p ) ，即( ，) ) = d 厂_ i p ( 品，佛) ，( 白飞p ) ，即( ，) 譬1 即皤，诉) $ 定理3 2 例设f 是c 1 微分同胚映射，y o 1 满足条件 i 】和 条件f i 1 ，则厂有一个不变康托集 第9 页菇2 6 页 定义3 4 9 设厂：r 2 一r 2 是c 7 微分同胚映射，r a cr 2 是紧的 不变集；若人满足下列条件，则称人为双曲不变的： ( 1 ) 对于z o 八，存在一双直线e 钆s 和e 。l ；。，它们满足 d z ( z o ) 甓= 巧( 和巧( 乙) 残= 孙 ( 2 ) 存在一常数0 a 1 ，使得若有 乞。= ( 乞。，) e 。，则有i 巧( z 澎毛) i 五、i ， 若有乞。= ( 岛。，琢。) 残，则有fd f 一1 ( 虢。) f 冗f 乞。、f ， j f z 0i = ( 孝z o ) 2 + ( 刁厶) 2 ( 3 ) 随着z o a 变化，e ；，和e 乡，是连续 定理3 3 1 5 1 设厂是c 1 微分同胚映射， v 0 m a x ( 彬+ 丢，1 ) ，m 心 m a x ( 够+ 生岩1 ，i i ) 的 “ ， “” 口o 第1 0 页共2 6 页 常数这里是g 的j a c o b i n 行列式，是水平条定义中的常数 ( 0 1 ) 则g 以。上的移位同构仃为其子系统 第1 i 页菇2 6 页 4 弹跳球模型的引入 弹跳球模型具体如下川： 假设球在桌面上作弹跳振荡，满足关系 v ( t j ) 一w ( t j ) = 一a ( u ( t ，) 一( 0 ) ) 0 口1 ，( a ) u ，v ，w 分别表示球接近桌子的速率，球和桌子分离的速率，和桌 子振荡速率另外球碰撞时间间隔有估计式： t i + 。- t j = 鼍生，( b ) ( 这里g 为重力加速度) 第j + 1 次接近速度与第j 次碰撞速度有关系式： u ( g j + i ) = 一v ( t j ) ，( c ) 假设桌面振动满足一s i nr o t 是正弦振动，则有关系式： w ( t ，) 瑚猡c o sc o t ， 由( b ) 两边乘以国，得到国。+ l = 科+ 国2 v 。( t j ( e ) 由( a ) ，( c ) v ( t j + 1 ) = a v ( t j ) 一励( 1 + a ) c o s ( c o t j + 2 c o t g ) 上式两边乘以2 g 得到 2 矿( j + 1 ) g = 2 c o a v ( t j ) g 一垫2 上( 哆+ 2 刎j g ) ( f ) 记缈= c o t ，v = 2 c o v g ，7 = 2 0 ) 2 ( 1 + 口) g ，同时注意 到妒为角度，由( e ) 的( f ) 得到弹跳球模型可由二维映射描述 1 1 ： 第1 2 页共2 6 页 了if9 = 缈+ v ( m o d 2 z ) 1 矿：a 一yc o s ( 妒+ 矿) ( o 0 分别为碰撞恢复系数和振幅 由文【l 】及所引的系列文献可知，弹跳球模型映射的恢复系数口的范 围为0 口1 ，因此研究0 口 2 ( 1 + a ) r c 时，厂( q ) n q 为两区域k 和k ； f _ 1 ( q ) n q 两区域h 和哎且( ，) = 杉，i = 1 ，2 证明：f 。( q ) n q 见图5 - 1 记 ：y = ( 1 + 口) p y c o s o ， ，2 ：j ，= ( 1 + 口) 缈一2 a f r c - 7 c o s o妒 0 ，2 石】，( 5 ) 和1 3 ：缈= 1 ( 1 + 口) j ，一r c o s y 1 ：妒= 二 ( 1 + 口) y 一2 石一y c o s y 】y 【o ，2 刀】，( 6 ) 口 。 一7、7 第1 4 页共2 6 页 于是f ( q ) 为i i 、乞与y = 0 、y = 2 1 r 所围成的区 域，f - 1 ( q ) 为乞、厶与妒= 0 、p = 2z c 所围成的区 域( 如图5 - 1 ) y l 2 a瓜 ( 望 鞲 兰多看 o 彩 3 佛 五 图5 1 若( q ) 与q 的边界相交，记厂( q ) 与q 的边界y = 0 交点为1 , 2 ，3 ，4 与q 的边界y = 2 a 交点为1 ，2 ，3 ，4 ( 如图5 - 1 ) ，点f 的横坐标记为嚷( i - - 1 ，2 ，3 ，4 ，l ，2 ，3 ，4 ) 同理记 厂叫( q ) 与q 的边界q o = 0 交点为彳，b ，c ，d 与q 的边界、 缈= 2 z 交点为彳，b 1 ，c 1 ，d ，相应纵坐标记为 乃( j = a ，b ，c ，d ，a ，b ，c ，d ) 则够必由下列方程确定 第1 5 页共2 6 页 y i = ( 1 + a ) o l c o s c p( 缈i 和c p 4 ) ， y 2 = ( 1 + 口) 9 2 a 卅c o s c p( 仍和仍) ， y 3 = ( 1 + a ) c , o - 2 z c o s 够, ( 9 1 、和他、) ， y 4 = ( 1 + c r ) c p - 2 ( 1 + a ) 7 r c o s f o ( 9 2 、和伤、) 画出y 一妒图象见图5 2 和图5 - 3 川 一| 髦 | 10j，l i ， i ， i 7 ： i - 茂卜j 弋 bi ： j ：! f o y , ： ?| 、| | 兀 n ；2 7 | l i _ 钏 i 2 黼 文 弊 力 = | i；1一 i兀； 弘2 代；7 图5 2 ( 口1 )图5 3( 0 2 ( 1 + a ) e r ， ( 2 ) 州m m i 唧l l 礼 i i + a + y 咖妒l 壶+ ， 则引理5 1 中k ，k 为化竖直条，h l ，h 2 为化水平条( 其中 a 2 掣 2 ( 1 + a ) z r 时，f ( f 1 ) n q 为两区域 和；厂_ 1 ( q ) n q 为两区域1 - 1 l 和h 2 且厂( j ) = 杉及f 将 e 的边界映到k 的边界i = 1 , 2 下面先证明在引理条件下，k ，k 为心竖直条，h i ，h 2 为 声七一水平条 对，乞有： 咖a y = ( 1 帕h s i n 伊，+ 窘训。如 ( 8 ) 对厶，。有： 害= 扣删+ y s i n y ，矿d 2 ( , o = l 口c o s y ( 9 ) = 一一。：1 + a 一，、 1 记妒2 石+ a r c s l n 厂，伊2 2 万一a r c s i r l1 - t y - t ( 1 0 ) 容易知蛐y 2 ( 1 删碱有石 石 m i n i 。d d y 妒妒：q ，i 毒l 却玑l 却f 却嘞j 对h l ，h 2 的水平边界8 h ，( i _ l ，2 ) 有 乩叫钆。恸。 乩叫+ 槲： ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) 1 + a + y s i n c p i 州卿孪2 ，帆l l + a + y s i n p i 石1 + 瓦1 = 瓦1 ( 1 5 ) 由上知曲线，乞斜率绝对值在区间 o ，虿7 】内单增，在 三，习内 单减，在 万，等】内单增，在 3 z z - ，孔内单减：且对于曲她斜率 ( 关于y ) 绝对值有类似结论 由( 8 ) ，( 9 ) ，( 1 1 ) ，( 1 2 ) 及引理条件( 2 ) 有： 障d y l 州舞- + a + ，蛆n 姑面1 + 壶= 忐c i 吐2 ，c 6 ， 由( 9 ) ，( 1 3 ) ，0 4 ) ，( 7 ) 及引理条件( 2 ) 有： 觊气钆吸力心叫 = 嗍r a 吩i n ，礼，i 1 f 1 + 口+ y s i n 妒j i 1 + i 1 = 瓦1 ( i ：1 ，2 ) ( 1 7 ) p 慨妒：p 3 妒l l 口a 掣0 删“， 、叫p 7 第1 8 页共2 6 页 由上分析知，八e 2 ) il 2 的两竖直区域l 和2 是。一竖直 条；f 一( q ) nq 的两水平区域h 1 和h 2 是。一水平条 由定理3 4 记x = 妒，y = y ，g = f ，g ( x ，y ) = ( ( 工，y ) ，v ( x ，y ) ) ， q = q = 【o ，2 万 o ，2 x 则g ( ) = h ，且g 把v f 的水平( 竖直) 边 界映到h 。的水平( 竖直) 边界( i = 1 , 2 ) 取= o ，尼2 三，m2 髫+ 蠢：么 由( 1 6 ) 有 k f _ 口1 il + a + y s i n x i m 1 训和h 卢乙1 0 t 。 = 足， 口 口 ”。 a 而j f ： d f 一- _ 1 口 以及i 屹i = 1 ：i ：= ki l ，i 0 pi 甜， 0 ， 口口 。 1。 于是有m 一肚| i 口1 0 0 + 差一矿1 m a x ( x i + 三，1 ) = 壶， 和m 一膨万1 + 詈一詈= 击m a x ( x 一0 + 掣 | | ) = 忑1 i t ， o 【u 。e c c c “u o 【 ； 故定理3 4 条件满足，即在q 上存在不变集a ，f i 与： 上的移位映射盯拓扑共轭 引理5 2 证毕 引理5 3 对于( o ，书，若映射( 3 ) ，若满足下列条件： ( 1 ) y 2 ( 1 + a ) x ， ( 2 )r a i n i1 + 口+ ys i n 伊l 二+ ， 、7 p 6 ，妒，一，伊1 t 仙晓“ 则引理1 中k ，为心竖直条，h l ，h 2 为心水平条( 其中 z z a 2 掣 言) ，且在q 上存在双曲不变集八，fi a 与： 上的移位映射盯拓扑其轭 第1 9 页其2 6 页 证明：当，。a 2 a t 2 ( 1 + a ) x 时，交点1 , 2 ，3 ，4 ，1 ，2 ，3 ，4 。存 第2 0 页共2 6 页 在且横坐标妒，( i = 1 ，2 ，3 ，4 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 由下列方程确定 ( 1 + a ) 0 9 一y c o s c p = 0( 妒l ，c p 4 ) ， ( 1 + a ) 0 9 2 c t r c y c o s 0 9 = 0( 缈2 ，( a 3 ) ， ( 1 + o r ) 0 9 一y c o s 0 9 = 2 1 r ( 缈l - ，伊4r ) ， ( 1 + 口) p 一2 a 万一y c o s 妒= 2 ；r( p 2 ，缈3 ) 特别当a = 1 3 时，妒2 = 万2 ，p 。= 3 7 r 2 1 、 由此分别解出【a ，) ： j y 1 = ( 1 + a ) ( o c o s g , ， y 2 = ( 1 + 口) 妒一2 a t r c o s c p ， y 3 = 【( 1 + 口) 妒一2 r c c o s o ， 7 4 = ( 1 + 口) ( 妒一2 x ) c o s 伊， ( 妒 o ，2 列) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 由y 一妒关系( 参见图5 - 1 、5 - 3 ) ，知当y 丰+ 时，有矽1 ，妒2 。斗7 2 妒3 - ，伊4 专3 7 r 2 另外有0 纸 7 i 妒2 万 妒3 3 弓；r t tc o s 0 9 2 1 1c o s ( 0 11 is i n 伊4l | s i n f 0 3 i ，ls i n p 41 y ( 一s i n 口o + ) y 。( 一s i n e p + ) ：( 口+ ! + 2 ) ：( 1 + 口) + ( 1 + ! ) 而一ys i n 0 4 一( 1 + 口) il + o r + y s i n g a 4i ， 于是同时有： f1 + 口+ ys i n 织1 i1 + 口+ y s i n a 4f l + 一1 和 i1 + 口+ y s i n 妒li l1 + 口+ y s i n r p ，f i1 + 口+ y s i n r p 4 | 1 + 一1 口 1 没 向( ) 2 + 云1 万， 易知对于o a 弧时有仍 y ( 一s i n ( 0 4 ) y ( - s i n q , ) y p ( 一s i n 似) = ( 口+ 昙+ 互3 ) = ( 1 + 晓) + j 1 + 昙) ，口zz口 而一ys i n c 0 4 一( 1 + 口) = l1 + 口+ y s i n q hl ， 于是同时有： i i + a + ，s i n 致i 1 + a + y s i n 吼| 三+ 云2 ， 和 1 + 口+ 2 s i n 汐lj il + a + 7 s i n 孕，2 f ii + a + y s i 嗡i 三+ i 2 第2 3 页共2 6 页 即对映射( 3 ) ，当y y 。i 。时，引理5 3 条件满足，即厂在q 上存 在双曲不变集， 定理1 2 证毕 推论1 当口= 圭，则当y 3 1 2 0 5 ，r 时，映射( 3 ) 出现马蹄 证明：由定理1 1 得，y 1 ，y 6 的交点( 妒，y p ) 满足辔妒+ + 了3 = 。 ( 等 4 ，0 0 1 8 t o 时，映射( 3 ) 出现马蹄 ( 证明略) 1 推论3 当口2 主，贝, t j n y 3 3 1 2 5 ，r 时，映射( 3 ) 出现双曲马蹄 d 证明：由定理1 2 得，y i ，y 6 的交点( 仍，- p ) 满足喀弘+ 云。o ( 等 4 0 0 1 8 石时映射( 3 ) 出现马蹄这结论比谢建华在1 9 9 8 年【1 4 1 结 果( 当口= 1 ，y 4 0 3 1 8 x 映射( 3 ) 出现马蹄) 要好 第2 5 页共2 6 页 - _ j _ _ - _ _ _ _ _ _ _ ，- _ - _ 一一 一 一 参考 文献 1 】g u c k e n h e i m e rj ，a n dh o l m e s r ，n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sd y n a m i c a l s y s t e m s ，a n d b i f u r c a t i o no fv e c t o rf i e l d s n e w y o r k ，h e i d e l b e r g ， b e r l i n ：s p i n g e r v e r l a g ，1 9 8 3 ，1 0 2 1 1 6 2 】m e r i a m ，j ，l ，d y m a m i c s ，2 n de d w i l e y ：n e wy o r k ，1 9 7 5 3 】3w o o d ，la ，a n db y r n e ，k p fa n a l y s i so f ar a n d o m r e p e a t e di m p a c t p r o c e s s j s o u n dv i b ，8 2 ( 1 9 8 1 ) ，3 2 9 - 3 4 5 。 【4 】h o l m e s ，pj t h e d y n a m i c so fr e p e a t e di m p a c t sw i t h as i n u s o j d a l l y v i b r a t i nt a b l e js o u n d v i b ，8 4 ( 1 9 8 2 ) ，1 7 3 - 1 8 9 5 1s m a l e ，s d i f f e o m o r p h i s m sw i t hm a n yp e r i o d i cp o i n t s i nd i f f e r e n t i a l a n dc o m b i n a t o r i a l t o p o l o g y ，s c a i r n s ( e d ) p r i n c e t o nu n i v e r s i t y p r e s s ：p r i n c e t o n ， 19 6 3 ，6 3 - 8 0 【6 s m a l e ，s d i f f e r e n t i a b l ed y n a m i c a ls y s t e m b u l l a m e r m a t h 7 3 ( 1 9 6 7 ) ，7 4 7 8 1 7 7 】s m a