（基础数学专业论文）三类具功能反应的食饵捕食系统的定性分析.pdf

西北大学硕士学位论文 摘要 本文对三类具功能反应的食饵一捕食系统做定性分析在第一章里介绍了两 种群具功能反应的食饵一捕食系统的研究现状及研究意义第二章研究了一类未 被开发的在参数变化下食饵一捕食系统当食饵种群的增长率和捕食率都为非线 性情形的定性行为，详细分析了该系统平衡点的性态，给出了该系统极限环不存 在、存在与唯一的充分条件，对该系统作了一般性的研究，补充完善了前人的结 论第三章分别研究了两类被开发的食饵种群具有非线性密度制约而捕食种群 和食饵种群同时具有非常数收获率的食饵一捕食两种群模型：一类具有 h o l l i n g i i 类功能反应函数，另一类具有h o l l i n g i i i 类功能反应函数得到了相 应系统的平衡点存在的个数，类型及条件；细焦点的阶数及稳定的条件；极限环 不存在的条件，极限环存在的条件，尤其得到相应系统至少存在多个极限环的条 件，最后分别对以上两类模型作了开发研究，得到的结果对人们的生产生活具有 一定的指导意义 关键词：食饵一捕食系统，平衡点，极限环，存在性 两北大学硕十学位论文 a b s tr a c t t h r e ek i n d so ff o o d p r e d a t o rs y s t e mw i t hf u n c t i o n a lr e s o n s ea r ec o n s i d e r e di n t h i sp a p e r s o m eb a c k g r o u n dk n o w l e d g ea n dt h es t a t eo fs t u d ya r ei n t r o d u c e di nt h e f i r s tc h a p t e r b a s e do nt h ef a c t ，t h en oe x p l o i t e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hf u n c t i o n a l r e s p o n s ea r ed e t a i l e dc o n s i d e r e d ，t h eq u a l i t yo ft h ee q u i l i b r i u mi sd i s c u s s e d ，t h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ea n dt h en o n e x i s t e n c eo ft h el i m i tc y c l ea r e p r o v i d e d ，a n dt h eb e f o r ec o n c l u s i o n sa r eb e t t e r e di nt h es e c o n dc h a p t e r t h et w ok i n d s o fe x p l o i t e d p r e d a t o r p r e ys y s t e m sw i t hv e r yf e wh a r v e s t i n g r a t e so nt h e p r e y p o p u l a t i o n sa n dp r e d a t o rp o p u l a t i o n sa r ec o n s i d e r e di nt h et h i r dc h a p t e r ：o n ew i t h h o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s e ，a n o t h e rw i t hh o l l i n gi i if u n c t i o n a lr e s p o n s e t h e q u a l i t yo ft h ee q u i l i b r i u m sa r ed i s c u s s e d ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fe x i s t e n c ea n d n o n e x i s t e n c eo ft h el i m i tc y c l ei nt h et w os y s t e m sa r eo b t a i n e d e s p e c i a l l y ，s u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h es y s t e m st ob ea tl e a s tm a n yl i m i tc y c l e sa r eo b t a i n e d ，f i n a l l y , t h e m o d e l sw e r em a d eo nt h ed e v e l o p m e n to ft h e s et w oc a t e g o r i e so fr e s e a r c h ，t h er e s u l t s h a v eac e r t a i ns i g n i f i c a n c et ot h ep e o p l e sp r o d u c t i o na n dl i f e k e yw o r d s ：f o o d - p r e d a t o rs y s t e m ；e q u i l i b r i u m ；l i m i tc y c l e ；e x i s t e n c e h 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：j 互蠖卫l 一指导教师签名： 饔晕垓沙 2 f 年月驴e t 汤噼月占日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：岁i 攫蜩 2 ，p 年 f 月 g 日 西北大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 研究现状及研究意义 众所周知，环境问题已成为全球所共同关注的问题，环境问题中一个重要课题便是种群生 态学问题对此类问题的研究将使人们对自然界中种群与环境以及种群之间相互竞争、捕食 与被捕食，互惠合作等规律有一个比较清晰的认识。这将对人们合理开发资源，保护环境起到 重要作用生物数学便是应用数学理论和方法研究种群问题的一个重要工具 建立更加符合实际情况的数学模型是生物数学研究的首要步骤功能反应函数是人们在 找寻更加合理的生物数学模型进程中的一个重要名词功能反应函数是反应捕食者的捕食能 力大小的函数，是指在单个捕食者情况下被捕食者( 或食饵) 的种群密度( 或个体数) 关于时间 的变化率在19 2 6 年由a j l o t k a 和v v o l t e r r a 两位著名数学生态学家首先提出了基于捕食与 被捕食两种群情形的l o t k a - v o l t e r r a 模型： p = 口l 石- b l x y i 夕= 一口2 y + b 2 x y 其中a l , a ：，b 。和6 ：都是大于零的常数它的功能反应函数b ，x 被称为v o l t e r r a 函数，是一种最简 单的功能反应函数，它表示一条过原点的无界直线，表明在食饵无限增多时，每个捕食者在单 位时间内所吃掉的食饵也无限增加，即此捕食者“食量”无限大，永远吃不饱这在一定范围里 是合理的，但也明显忽略了消化饱和因素在后来的研究中出现了针对在不同环境，不同对象 下更加合理的反应函数1 9 6 5 年，h o l ii n g 1 在实验的基础上，给出了对不同类型的物种的三种 形式的功能反应函数m b ) ： h o l iin g l 类反应函数：b ) ：j c x 石墨工。 ( 对简单的动物藻类细胞) 【c x o 工 工o h o lli n gi i 类反应函数：g ) ；i 坠( 对无脊椎动物) h o il l n g l 类反应函数：m g ) ；苦 ( 对有脊椎动物) 它们在第一象限内都是单调递增的并且当食饵无限量增加时，功能反应函数曲线都渐近于一 西北大学硕士学位论文 条常值直线 对模型 j j = 灯( 卜壶) 一y g ) l 夕= 一y ( d + c 西g ) ) 的研究，主要是关于全局稳定性和极限环的存在性和唯一性方面的工作针对微生物动力学中 出现的抑制 现象，如用作废水分解或者水净化的微生物种群的增长，a n d r e w s 在文 5 】中首 先提出了如下的功能反应函数：垂b ) ； o ，a ，卢 0 ，文献【2 8 】对口= ；去，口；k = 1 的情形进 行了讨论；文献【2 9 】对去s 口一卢 0 ，卢一1 与口一1 , t 0 的模型： ：j 2 ；产芦啪，c ，舭乩哪 。 对该系统作了详细全面的定性分析，得到了平衡点的性态，给出了该系统极限环不存在、存 在与唯一的充分条件，完善了该模型的研究，同时也补充了前人的结果 本部分的主要结果已发表于西北大学学报( 自然科学版) 2 0 0 8 年第二期，主要在本文第 二部分讨论 2 从上面所列举的文献 1 7 2 6 中，我= f 可以看出，对食饵具有较复杂的密度制约项，功能 反应函数是h o l l i n g i i 类以上，并且对食饵和捕食者均有非常数收获率的模型的研究并不多，尤 其对歹i ：发研究均未作任何涉及本部分将对以下两类具有开发项的模型分别研究： 1 ) 对食饵和捕食者均有非常数收获率和h o l l i n g i i 类功能反应的食饵一捕食两种群模型： 。砌l 二_ 一靠h 一叩以w 确娩d 啪2 。 夕叫卅+ 罴h ：毋 2 ) 捕食种群和食饵种群同时具有非常数收获率和h o l l i n g l l l 类功能反应的食饵一捕食两种 西北大学硕士学位论文 群模型： i 细, , x ( 。a 一+ b + x 籀- c x 2 二箩a r y 一叩以铀以孙踟川 上述两方程中e 是对两种群捕捞强度，q 。，q ：分别表示对两种群的收获率 对上述两类模型分别研究得到了具有二阶细焦点，平衡点的存在个数及其性态，不存在极限 环和至少存在两个极限环的条件，并且对上述两类模型分别作了开发研究，其研究结果对人们 的生产生活具有一定的实际意义 本部分的主要结果已投寄西北大学学报( 自然科学版) ，正在审阅中，主要在本文第三部 分讨论 4 西北大学硕士学位论文 第二章一类未被开发的在参数变化下具功能反应的食饵一捕食系统的定性分析 2 1 在口 o ，卢= 1 下的定性分析 如前所述，本节主要研究如下模型： 夕2 ：= y x 。( a d - + b x e h 2 ) 卢- ，k y x 卢a , b , c , d , k o , a , f l 0 c 2 ， 在口 o ，卢= 1 下的情形 基于系统的生态意义，以下仅在万一缸，y ) k o ，y 苫o 中进行讨论，并记 g ；缸，y ) x o ，y o 1 化简模型 令工a ；i ，则z 。i = 1 ，_ d x ：一1i _ 。1 1 李代入( 2 1 ) 得令工a ；i ，则z 。i = ，_ ：一i a - 1 拿代入( 2 1 ) 得 d t口dt 堡；i 一出) 一蛳昌x ( a 口一咖) 一a 七炻 d t 、7。 詈叫卅+ 办1 ) ， ( 2 2 ) 再令侈二g = e ) 口，七z 。忑1 ，并记彳。眠以- 出t ，彳，。d 变换后仍用w 表 示，模型( 2 2 ) 化为等价模型： 霎；ffiyx。(一a彳1。-+ax2x吉)，一点y a 1 , a 2 , a 3 0 c 2 3 ， 2 平衡点及性态 容易知道，当鱼a 2 彳，。 。时，系统( 2 3 ) 只有三个平衡点， 分别是。( 。，。) ，m ( 丢，。) ，n 似，。，a 一爿z 彳，8 ) ：当彳，。 丢 。时，系统( 2 3 ) 只有两个平衡 5 西北大学硕士学位论文 点，分别为o ( o ，o ) ，m ( 争，o ) ，( 其中o ，m ，n 点均落在石中，m ，n 点在直线。：彳。一a 2 x - y = o 彳 1 之上) 三 令p ( x ，y ) ：x ( a l 一4 x ) 一x y ，u ( x ，y ) = y ( 一a 3 + x 8 ) 系统( 2 3 ) 对应的一次近似系统的系数行列式记为j ，则 当口 1 时，在万中靠近0 点附近的轨线的走向类似于0 是鞍点时其附近的轨线的走向： 当o 彳，口 孚时，m 是鞍点： 当o 月a ：i o ，( o x 妻) ， 警卜4 y o ： 7 在l l ：a 1 _ a ：x - y = o 之下，0 z np o 中，争。，鲁 o ， 6 西北大学硕士学位论文 yj0 i ，| 、 。! y 。 0 钟 丛 工 彳 图1 ：系统( 2 3 ) 石中靠近o 点附近的轨线的走向 在m ( 孚，o ) 处，2 = 彳 一爿1 0 彳l 彳 1 8 一爿3一凡分蛳 当o a 3 , 所以j 2 。， p 村2 4 9 射一“一哮) 三) 2 _ 铒哆一唼户) 一一似，一哮) 三n 。， 所以，当4 乒彳，一( 砉) = 1 时，m 是稳定结点：爿。一彳，一哮) = 1 时，m 是稳定的退化或临界点 证毕 引理2 2 当0 a 2 寺( 1 + 卅l a 3 - 1 - i ) 时，n ( a 3 a , a ，- a ：a 3 4 ) 是稳定的焦点； o a ， 当嘉( 瓜矛- 1 ) 0 口 ( 因为。 彳s 8 象) ，所以n ( a 3 a , a ，- a u a 3 a ) 是稳定的平衡点 令p = 彳2 f ，q | 4 口3 ( a i - a 2 a 3 a ) 由o o ，( z以 贝u p 2 4 9 ：a 3 ( a a 3 2 0 - , 彳2 2 + 4 彳3 a 么2 4 彳1 ) ， 对优一3 2 。一1 彳2 2 + 4 4 3 。彳2 4 4 0 ，a = 1 6 a 3 2 a ( 1 + 反4 l a 3 - 1 ) ， 小嘉( 也8 躅2 孑2 ( - 1 瓜订) ， 枞瓠小寿( 瓜订一呲p 2 北 当嘉( 厮_ 1 ) 0 ：另外由o 砉她a丹，月， 下砒较参与毒( 瓜订一1 ) i 揿d 、 确- 纠a , 4 ，1 瓜刃“有鸥+ 1 ) 2 ( 瓜订) 2 ， 有( 暑) 2 + 口石a 1 小口丢“则岛) 2 。，矛盾 枞争2 孑2 ( 瓜订_ 1 ) 所以，当o 彳： o 时，d 出l 3 | ( 2 3 ) = i 。1 - - a 2 - i ) 一矽= i 似1 - a 2 x - y ) 0 ， 。 x 。 丢时，d 出l 3 | ( 2 2 i a i - a 2 i ) 一矽= 一丢y 。时，平衡点m ( 丢，。) 在万中是全局渐进稳定的- 证明：由么，。 象 。可知系统( 2 3 ) 仅有鞍点。( 。，。) 和稳定的结点m ( 丢，。) 两个平衡 点，从而在g 中无极限环又由定理2 1 知，系统( 2 3 ) 从万中任意点处出发的解有界， 所以平衡点m ( 鱼，o ) 局部稳定，所以平衡点m ( 鱼，o ) 在虿中是全局渐进稳定证毕 a ，a ， 定理2 3 当0 a ，8 。 警叫卅3 4 x 1 1 ) ”一 ( 2 4 ) 2 平衡点及性态 容易知道， 当。 么，石1 鱼a 2 时，系统( 4 ) 有三个平衡点。( 。，。) ，m ( 丢，。) ，n 即，吉, a 3 吉。1 似- 一彳：彳，石1 ) ) ： 当。 丢 彳，万1 时系统( 4 ) 有两个平衡点。( 。，。) ，m ( 砉，o ) ，( 其中。，m ，n 均落在石中且m ，n 在 曲线l 2 ：a l a 2 工一x j - a y = 0 上) 令p ( x ，y ) 一x ( a 1 一a 2 工) 一x p y ，q ( x ，y ) = y ( 一彳3 + z 卢) ， 系统( 2 4 ) 对应的一次近似系统的系数行列式记为j ，则 j = a p 0 x o a 8 x 葛二y 矿工刮a 肛胪1 工卢一3 l 。 引理2 3 当芑1 时，0 是鞍点：当0 卢 1 时，系统( 2 4 ) 在万中0 点附近的轨线的走向类 似于0 是鞍点时其附近的轨线的走向： 1 0 西北大学硕士学位论文 当。 彳，石1 丢时，m 是鞍点：当。 丢 彳，石1 时，i ) a 1 a 3 - 哮) 卢时，m 是稳定结点；i i ) 当彳。一彳，一哮) 声时，m 是稳定的退化或临界结点 证明：当卢乏1 时，在。c 。，。，处，。= 陪 o 。l ：- a t a 3 o ，所以。是鞍点 一彳，l 2 0 所以。是鞍点 当0 卢 。，( 0 z 砉) ，7 tl 枷= 吐y 。：当。 x 彳多，p 。时： 在幻a a - a 2 x - x a - t y = o 上面，瓦d x o ，鲁 o ； 在如a 。- a 2 x - x a - l y = o 下面，争o ，鲁 o ； 在k 彳。吐x 4 y = o 上，石d x _ o ，鲁 o 则在充分靠近o 点附近的轨线的走向如图2 y j 一 rr 0 图2 原点附近轨线的走向图 所以靠近0 点附近的轨线的走向类似于o 是鞍点时o 点附近的轨线的走向 西北大学硕士学位论文 在m ( 鱼，o ) 处，- ，= a 。 “，一自卢 。睁，卅， 纵唼卜， 当。 彳3 石1 月a - - - l 2 i f j , j 5 0 , 所以m 是鞍点 当。 。， p m 2 咱| - ，= ( a 1 + a 3 - ( a 丢) 叩州t ( a 3 - ( 丢) f 1 ) = 似- 一似，一哮n 2 乩 所以，当4 a 3 - 睦) 时，m 是稳定结点；彳，一鸣一噎) 芦时，m 是稳定的退化或临界点 让毕 引理2 4 当o 彳，吉 睾，o 卢 1 时， 1 ) 当0 彳， 1 时，i ) 0 卢 卢时，n 是不稳定的平衡点。 i i ) 当0 卢 掣：，且。 声 名三竽时，n 是不稳定的平衡点j i i ) 当 彳： 彳， 刎：且 0 ，p ( f l ”) 0 且反 p 0 且p ( f l ”) 0 卢卢”或 a ，一a 2 a 3 ( 1 + l n a ，) ) 0 且p ( f l ”) 0 时：p ( 卢”) ；0 时卢= 卢”或p ( j 6 f ”) 0 在0 卢 1 时， 1 ) 当0 a 3 o ，l i m p ( 罗) = 一彳。 0 ， p 一一驴- + ( 2 一m ：一声_ ，一彳：) + 拟：一4 ，4 - a 2 0 ( 因为鲁 彳，万i ) i ) 弛一4 0 时，即彳2 a 。 0 ，n 是稳定的平衡点； i i ) 2 a 2 4 2 彳2 因为。 乌i 鲁 1 ，所以当。 乌三等时，p 。，则n 是不稳定的平衡点； 号j 等 0 ，则n 是稳定的平衡点 3 ) 当彳3 1 时，p ；( o ) = 一，p ；( 1 ) = a l a 2 a 3 ( 1 + l n a 3 ) ， 1 3 西北大学硕十学位论文 i ) 当彳l a 2 a 3 ( 1 + l n a 3 ) sog pa 2 a 3 万 0 ，则n 是稳定的平衡点 i i ) 当彳1 - a 2 彳3 ( 1 + l n a 3 ) 0 即a 1 a 2 a 3 ( 1 + l n a 3 ) 且彳l a 2 a 3 石时， 存在唯一卢”( o ，1 ) ，使得p ；够”) = 0 ，卢( o ，”) 时，p ； 0 a ) p ( f l ”) 0 时，p 0 ，则n 是稳定的平衡点 b ) p ( f l ”) = 0 时，在0 卢 0 ，则n 是稳定的平衡点：一”时，p = 0 ， 则n 为中心型平衡点 c ) p ( f l ”) 0 ，n 是稳定的平衡点；角 ：时p 0 ，则n 是不稳定的平 衡点：一屈，：时，p ；0 ，n 为中心型平衡点 证毕 3 主要结果 定理2 4 当卢之1 系统( 2 4 ) 在g 中无极限环 证明：取b = 工一- y 一，则堕竽+ _ a ( b f l ) 。彳：x 一( f l 一1 ) x 纠y o ，故由b e n d i x s o n - d u l a c 判 d xd v 别法知道系统( 2 4 ) 名eg 中无极限环 定理2 5 当o 彳，吉 i 3 1 ，n 为不稳定平衡点时，系统( 2 4 ) 在g 中存在稳定的极限环 证明：由引理2 3 与引理2 4 得x = o 与y = 0 均为系统( 2 4 ) 的轨线，在石中0 点附近的 轨线的走向在引理2 3 中已得失口，无轨线进入0 点乱暑2 石a 1 ( - ( 石a 1 n ) o 令l ，2 x + y k ，则鲁i l ，- o = = x 似, - a 2 x ) + a 3 0 k ) ， 令，珂= z 0 4 l 一叠2 z ) + 以( x - k ) 一一a 2 工2 + 即l + 彳3 讧一a 3 k ， 容易知道，此关于x 的二次函数的图象开口向下，极值点坐标为 1 4 西北大学硕士学位论文 m 7 呼，绁学) ，当k 充分大时，m 7 落在第四象限， 0 y t 1 4 - - h 月。 0 7 r 此此日u j i _ 百d l 3l 岛。 。所以由x = o ，y = 。，x = a 以与l 3 = 0 构成外境界线，又有n 为不稳定平衡点， 所以由环域定理得系统( 2 4 ) 在g 中存在稳定的极限环证毕 定理2 6 当o 声 2 ，n 为稳定平衡点，工彳砉一匹= 台河时，系统( 2 4 ) 在g 不存在极 限环 证明：取b = x a l y 岛，口。一卢，卢。一1 ，则旦譬+ _ o ( b q ) = x a j y 芦l o 。( 1 一声) 一彳：( 2 一讧) ， d x0 3 因为p 。一帆+ ( 2 一t 0 a ：彳，吉，故丛竽+ _ o ( b q ) ；一工q y 岛q + a 2 ( 2 一卢) 一彳，吉) ) ， 批 d v 11 p 要使p + 彳z ( 2 一声) o 一彳，万) o ，只需x 乏彳万一西= 万酉，故由b e n d i x s o r l - d u l a c 判别法 知道，当。 2 ，n 为稳定平衡点，x 彳吉一赤时，系统( 2 4 ) 在g 中不存在极限 环证毕 1 1 定理2 7 当0 a ，石 。时，【( 1 一卢+ 4 了1 - t j 】- 一卢 a 3 , 即g ) o ： h 。时，( 1 一+ 彳，警 彳，了1 - # ， 弘+彳，警】南a3,n(1-a 即g ( u ) 0 ，h d 时，( 1 一) “+ 彳3 才 彳3 了，) “+ 彳3 了】1 - 声 彳，吾，以，二o ；当o z 0 当n 为不稳定平衡点，即p 0 ：9 ( + ) 一+ ，驴( 一) 一- y o ：驴) c ( 一，+ ) 单调 增，驴( o ) = y 。存在 综合1 ) ，2 ) ，3 ) 与4 ) ，由张芷芬极限环唯一性定理【2 6 1 及定理2 5 得证 证毕 在引理2 4 中，只证明了n 有可能为中心型平衡点，但并没具体说明到底是什么类型的平 1 7 西北大学硕十学位论文 衡点以下定理将给与明确的说明 定理2 8 当0 a 3 吉 乏，n 为中心型平衡点时，i ) 。 卢 1 时，n 为一阶稳定细焦点； ii ) 1 0 ，而g ，( 0 ) ；触z 一万1 0 ；由伊p ) ；y 。0 v 一1 ) 易 证， ，0 时，v q 口( v ) 0 ，而伊( 0 ) ty o 0 所以下四个条件均满足： i ) n ( u ) ，q j ( v ) ，g ( u ) 分别在u 一0 和，一0 的某领域中解析； i ) h ( o ) ；0 ，f ( o ) = 0 ； ii i ) 存在z 0 2 o ； ii ii ) 存在y 0 2 0 在“一0 的领域中展开厂 ) ，g ( u ) ，并利用pt 一1 m 。+ ( 2 一f 1 ) , 4 ：a ，石= 0 得 西北人学硕士学位论文 g ) 一c o u + c l u + ， 2 口一1 13 , 0 - 2 其中c o = 脚，了，c 。= 去声( 2 卢一驴，丁 f ( u ) = b l u + 6 2 u 2 + ， 12 口一1 其中b l = ( 一2 p ：a 3 ，b 2 = 去卢( 卢一2 ) 彳2 彳3 广， 令6 。：三p ：一c lb 。) 一1 ( 1 一声) ( 一2 ) a ：彳，了2 , 8 - 1 ，则由文献 3 3 得， jc n 0 i ) 0 1 时，6 。 0 ，0 为一阶不稳定的细焦点，从而n 为一阶稳定细焦点；ii ) 1 2 时，6 。 o 产生矛盾所以当一l 或者- f l 一2 无法再用定理2 8 中的方法讨论n 点的性态下面补充讨论系统( 2 4 ) 分别在一1 与卢一2 时平衡点n 的性态，从中我们也就知 道了在这两种情况下n 是否有可能是中心型平衡点 定理2 9 当卢一1 ，o 彳， 象时，系统( 2 4 ) 在万中， i ) 当o 彳： a ：”时，平衡点n ( a 3 ，4 一a ：a ，) 是稳定焦点； i i ) 当彳：” 彳： 0 西北大学硕十学位论文 当0 a 3 o ， p 2 4 q 一似2 a 3 ) 2 4 a 3 ( 彳l a 2 a 3 ) = 彳3 ( 彳3 a 2 2 + 4 a 3 a 2 4 , 4 1 ) ， 令尺0 2 ) = a 3 a 2 2 + “3 彳：一4 a l ( 即把彳2 看成未知量) ， 则尺( 彳：) 一。时，彳：一考( 一，再f i 万) ，再令彳z 2 砉( 一彳，一再f i 万) ， f 。= 壬( 以+ 而棚峨 0 由。 彳s 乏可得。 2 扛- i 石， 只需彳1 2 + 4 , 4 。a 3 + 4 a 3 2 蛔3 2 + 4 a 3 ) ，只需彳。2 0 ，这显然成立 所以生a 3 。2 丢( 以+ 厅雨) 所以，i ) 0 a ： 彳：“时，p 2 4 q 0 ，从而平衡点n ( a 3 ，4 - a ：a 3 ) 是稳定焦点； i i ) 彳2 ” 彳2 o ，平衡点n 似，4 - a 2 a 3 ) 是稳定结点； iii ) a ：= 彳：”时，p 2 一幻一0 ，平衡点n 似，4 - a ：a ，) 稳定的退化或临界结点证毕 定理2 1 0 当卢一2 ，o 彳，j 1 象时，系统( 2 4 ) 在虿中， 1 ) 当o 彳： 2 石，o 2 , 4 ， 彳。时，平衡点n ( a ，j 1 ，彳，彳，一j 1 一彳：) 是稳定结点； 2 ) 当彳。：钏，彳：；2 , - ，平衡点n ( a ，j 1 ，彳。彳，1 1 一彳：) 稳定的退化或临界结点； 3 ) 当o 彳： 2 石时，i ) 4 。 a 。 a 。”时，平衡点n ( a ，a 。一彳：爿，) 是稳定焦点； i i ) a 2 彳，j 1 彳。 爿。“时，平衡点n ( a 3 ，彳。一彳：4 ，) 是稳定结点； i i i ) a ，= a 。或者么。= a 。”时，平衡点n ( a ，a 。- a 2 a 3 ) 稳定的退化或临界结点 西北大学硕十学位论文 注：定理2 1 0 中a l = m 3 ( 2 一 证明：系统( 2 4 ) 在 _ ，8 2 一彳l l 2 ( a l a 2 a 3 j ) 令p = a l ，q l 由0 0 ， p 2 4 口：彳1 2 一鲋3 口l 一彳2 彳3 j 1 ) ：彳1 2 8 a 1 彳3 + 8 a 2 么3 ；， 令尺似。) 。彳。2 一眦彳，+ 8 a 2 爿，；( 即把爿。看成未知量) ， 令= 6 4 彳3 2 3 3 2 a 2 a 3 j =3 2 a 3 z ( 2 - a 2 彳3 1 1 ) 一 a ) a 0 ，从而p 2 4 q r 0 1 由0 2 a 3 i a 3 j2 , 4 3 所以，当o 彳： 2 、= 百，o 0 时， l 即2 - a 2 彳3 一j 0 ，则彳2 0，a l ” 一a ：) 稳定的 0 4 一以 西北大学硕士学位论文 由a 2 2 彳3 可得a 2 a 3 j 2 4 3 i a l 1 3 三1 j _ _ _ _ 一 lll 由a 2 a 3 j m 3 j 彳3 j = 2 a 3 ， ( 1 ) 若刎3 刎，( 2 2 a 3 2 a 3 ( 2 + 所以下面比较弛与a 。+ 的大小 ) = a 1 ， 1 a 2 a 3 三 2 压 ) 一a 1 ” 0 ，平衡点n ( a 3 ，a 。一a ：a 3 ) 是稳定结点； a l 彳l 0 ， l l 所以( 4 a 3 j a 2 ) 2 ( 2 a 3 j 0 ， 要使8 彳。一4 彳：彳3 ；+ 彳2 2 0 ，只需1 鲋：2 3 2 a 2 2 ；一1 6 a 2 2 0 ，但显然这是成立的 1 所以a 2 a 3 j 所以，0 a 2 a l 厄 彳：彳3 ； 0 ，平衡点n ( a 3 ，彳。一彳：彳3 ) 是稳定结点； 小大的 4 1 4 与 _ i 产 4 2 彳 较 比 面下 小大的 4 与 _ ， 4 2 4 较比再面r r 小大的 4 与 一l 严 4 2 4 较比面f 西北人学硕士学位论文 a 。 a 。 4 ”时，p 2 4 q 0 ，从而平衡点n ( a ，a 。一a ：a ，) 是稳定焦点； a 。= a 。或者彳。= a 。”时，p 2 4 q = 0 ，所以平衡点n ( a 。，a 。- a 2 彳3 ) 稳定的退化或临界 结点 综合以上( 1 ) ( 2 ) 可得， 当0 a 2 2 彳3 时，i ) a 。 a l a l ”时，平衡点n0 3 ，a 。- a 2 a 3 ) 是稳定焦点；ii ) a 2 a 3 j 。， 彳；旦二业，彳，；，：! ：一，彳，。鱼l 二生二壁鱼皇二 1 2 “+ q 2 e ) 2 2 、( d + q 2 e ) ( k a 一彤一励2 e ) 。 2 ( k a 一犀一励2 e ) 。_ 二垒掣，变换后仍用x ，j ) ，t 表示， 毒一 v 仰，九- 川j v i爪，_ 、 2 ( k a 一彤一励2 e ) 2 鲁- - - - a l x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a s x 5 - 砂 去= y ( - l + x 2 ) 其中，a 2 ，a 4 乏0 ，a 5 0 以下讨论中均设m ( 1 ) 0 二平衡点及性态 易知，系统( 3 1 3 ) 有平衡点o ( o ，o ) ，m ( 1 ，a l + a 2 + 彳3 + a 。+ 爿5 ) ，先对此两点作分析 西北大学硕