（机械电子工程专业论文）多轴系统高精度同步控制.pdf

摘要 由于机械系统的控制精度直接影响产品生产效率及质量，高精度控制一直是 控制理论与应用的热点问题。为了提高多轴系统的控制品质，不仅要考虑单个轴 的控制精度，还要把各个轴之间的运动控制有机协调起来，才能达到系统整体全 局性能的最优化。同步控制技术是多轴系统降低同步误差、保证加工精度的关键， 也是当前机械设计和制造技术的一个重要发展方向。 本文首先分析了多轴系统及同步控制技术的发展与现状，简单介绍了非线性 控制理论。为了在保证控制精度的前提下，让控制算法易于工程实现，我们采用 了非线性饱和函数t a n h ( ) 和交叉耦合技术，提出了一种饱和比例一微分( s p d ) 加 位置同步误差的控制器，它很好的保证了同步控制精度。另外，在很多实际应用 中，由于限定了系统完成的时间，或者为了避免超调，往往需要严格控制从起始 点到期望位置之间的运动过程，就这种情况，我们提出了一种饱和比例微分( s p d 1 加前馈补偿的同步跟踪控制器，以有效的跟踪期望轨迹。最后，在工程实际中， 当控制算法所需要的控制力矩超过驱动器最大输出力矩时，控制力矩会被限幅输 出，这样就会严重影响系统的控制品质，为了避免这种情况，就前面两种控制器 分别设计了相应的输入受限同步控制器。应用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不 变性原理证明了所设计控制器的稳定性，并通过实验证明了它们的优越性。 关键词：多轴系统位置控制同步控制跟踪控制输入受限 a b s t r a c t d u et oc o n t r o lp r e c i s i o no fm e c h a n i c a ls y s t e m sd i r e c t l ya f f e c t i n gp r o d u c t i o n e f f i c i e n c ya n dp r o d u c tq u a l i t y , t h eh i g ha c c u r a c yc o n t r o lh a s b e e nah o ti s s u eo fc o n t r o l t h e o r ya n da p p l i c a t i o n i no r d e rt oi m p r o v et h ec o n t r o lq u a l i t yo fm u l t i - a x i ss y s t e m s ， w es h o u l dc o n s i d e rn o to n l yas i n g l ea x i sc o n t r o la c c u r a c y , b u ta l s ot h ec o o r d i n a t i o n s t r a t e g yb e t w e e ne a c ha x i s ，s o t h a tm u l t i a x i ss y s t e m sc a nr e a c hg l o b a lo p t i m a l p e r f o r m a n c eo f t h ew h o l es y s t e m a sai m p o r t a n td e v e l o p m e n td i r e c t i o no ft h ep r e s e n t m e c h a n i c a ld e s i g na n dm a n u f a c t u r i n gt e c h n o l o g y ，s y n c h r o n o u sc o n t r o lt e c h n o l o g yi sa k e yt h a tl o w e rs y n c h r o n i z a t i o n e r r o ra n de n s u r et h em a c h i n i n ga c c u r a c y f i r s to fa l l ，t h ep a p e ra n a l y z e sm u l t i a x i ss y s t e m s ，i n t r o d u c i n gt h ed e v e l o p m e n t a n dc u r r e n ts i t u a t i o no fs y n c h r o n o u sc o n t r o lt e c h n o l o g y a f t e rt h a tt h e n o n l i n e a r c o n t r o lt h e o r yi sr e p r e s e n t e d i no r d e rt h a tc o n t r o la l g o r i t h mi se a s yt or e a l i z ei nt h e p r o j e c t ，e n s u n n gt h ec o n t r o la c c u r a c y , w ea d o p tt h en o n l i n e a rs a t u r a t i o nf u n c t i o nt a n h ( ) a n dc r o s s c o u p l e dt e c h n o l o g y , t h e np r o p o s e as a t u r a t e dp r o p o r t i o n - d i f f e r e n t i a l ( s p d ) t y p es y n c h r o n o u sc o n t r o l l e rw i t ht h ep o s i t i o ns y n c h r o n i z a t i o ne r r o r ag o o d s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o lp r e c i s i o ni sg u a r a n t e e s e c o n d l y , i np r a c t i c a la p p l i c a t i o n ，f o r l i m i t i n gt h ec o n t r o lt i m ea n da v o i d i n go v e r s h o o t ，t h em o v e m e n tp r o c e s so f t e nn e e d t o b ec o n t r o l l e db e t w e e nt h es t a r t i n gp o i n tt ot h ed e s i r e dp o s i t i o n i nt h i sc a s e ，as a t u r a t e d p r o p o r t i o n d i f f e r e n t i a l ( s p d ) t y p es e t - p o i n t t r a c k i n gs y n c h r o n o u sc o n t r o l l e r 谢t h f e e d f o r w a r dc o m p e n s a t i o ni sp r o p o s e d ，s oa st ot r a c kt h ed e s i r e dt r a j e c t o r ye f f e c t i v e l y f i n a l l y , i ft h ec o n t r o lt o r q u ei s m o r et h a nt h em a x i m u mv a l u eo ft h ea c t u a t o ri n p r a c t i c e ，i tw o u l db el i m i t e d ，w h i c hw i l ls e r i o u s l y a f f e c tt h eq u a l i t yo ft h ec o n t r o l s y s t e m t op r e v e n tt h i ss i t u a t i o n ，t h ec o r r e s p o n d i n gs y n c h r o n o u sc o n t r o l l e r sw i t hi n p u t c o n s t r a i n t so ft h ef r o n tt w oc o n t r o l l e r sa r ed e s i g n e dr e s p e c t i v e l y t h es t a b i l i t yo ft h e d e s i g n e dc o n t r o l l e ri sp r o v e db yl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r y a n dl a s a l l ei n v a r i a n c e e x p e r i m e n t sa r ep r e f o r m e dt ov e r i f yt h es u p e r i o r i t yo f t h ep r o p o s e da p p r o a c h k e y w o r d s ：m u l t i a x i ss y s t e m p o s i t i o nc o n t r o l s y n c h r o n i z a t i o nc o n t r o l t r a c k i n gc o n t r o l i n p u t l i m i t e d 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 在现代制造业中，人们对高生产率、低成本的需求越来越高，例如表面贴装 机和数控机床在加工一些复杂零件或为了减少产品加工的工序时，常需要让它们 的机械轴同步运动来进行加工，也正因如此，多轴系统在现代工业生产中被广泛 应用，如三峡工程中使用的升船机、煤球机、冶金工厂中的多轴辊道、造纸机、 桥式或龙门起重机以及各种机器人系统。但随着社会的发展，人们对多轴系统提 出了更高的要求，如高速度、高精度的加工要求在造纸、印染、纺织等产业生产 中显得越来越重要，为了提高多轴系统的综合性能，不仅要考虑单个轴的控制品 质，还要把各个轴之间的运动控制有机协调起来，才能达到系统整体全局性能的 最优化。 多轴系统是非线性、强耦合的多输入多输出系统，其多个轴的协调控制是一 个很复杂且很重要的问题。在机械加工中，由实际位置到期望轮廓的距离产生的 轮廓误差直接关系到产品的质量，减小同步误差是降低轮廓误差的关键。高速龙 门移动键铣加工中心是同步运动的典型例子，龙门柱沿导轨纵向进给，能获得很 高的加速度特性，但由于横梁、刀架等大型移动部件的结构和受力并不是严格对 称的，再加上存在各种不确定性扰动，所以不能保证龙门框架移动的高度一致性， 这种不一致性产生的机械耦合将降低同步进给程度，影响加工质量，甚至可能使 龙门框架或驱动元件受到损坏。同步控制技术是这类机床降低轮廓误差、保证加 工精度的关键。采用多轴系统同步控制技术的数控机械用数字控制和伺服技术代 替传统的机械传动机构，简化了设备的机械结构，提高了设备的精度、灵活性、 寿命和效率【l j 。因此，多轴系统同步控制技术是当前机械设计和制造技术的一个重 要发展方向。 1 2 多轴系统同步控制技术的发展与现状 多轴系统同步控制技术是一门跨学科的综合性技术，是电力电子技术、电气 传动技术、信息技术、控制技术和机械技术的有机结合，近年来，随着相关技术 的发展，多轴系统同步控制以其优越灵活的控制方式在现代工业生产中得到了广 泛的应用。多轴系统同步控制方法可分为两大类：机械同步方式和电同步方式。 机械同步方式主要有机械总轴同步摔制，而电同步方式主要有主令参考同步控制、 主从同步控制和交叉耦合同步控制【l - 4 】。 多轴系统高精度同步控制 1 2 1 机械总轴同步控制【2 ，3 】 机械总轴同步控制方式是最早形成的一种同步控制方式，控制策略相对其它 控制方式而言较为简单。机械总轴同步控制系统主要由机械部件实现：用一台大 功率电动机拖动一根较长的机械总轴，所有的分区单元电动机都通过齿轮箱胶合 在这根总轴上，所有的分区单元都共用相同的输入信号。 在系统正常运行过程中，当某个分区单元由于负载的变化或发生扰动而使该 单元转速发生变化时，其速度与机械总轴速度将会产生瞬时的失同步，致使该单 元的内轴产生相应的弹性扭矩。与分区单元相连接的齿轮箱将这个弹性扭矩传递 到机械总轴上，使得机械总轴承受一个使其与受扰单元同步的扭矩，在该扭矩的 作用下，机械总轴的旋转速度将会发生变化，并且其速度变化趋势与受扰单元速 度的变化趋势是一致的：在负载增加的情况下，单元速度将会加快，该单元将带 动机械总轴使机械总轴的速度也加快；当负载变小时，单元速度将会减小，该单 元将减缓机械总轴的旋转速度。 反过来，机械总轴的旋转角速度也是所有与其相连分区单元的给定信号，在 机械总轴受到受扰分区影响致使机械总轴速度变化的情况下，其它的单元速度也 会随机械总轴速度的变化而变化，而且它们的变化方向与机械总轴的速度变化方 向一致，进而与受扰单元的速度变化方向一致，这样就达到了同步控制的效果。 在机械总轴同步控制系统中，同步的机制是各个分区紧密地胶合在一起，使 得各分区的运转如同一个整体。这种方案的优点就是能够很好地保证各单元之间 的同步关系。但实现这种胶合的方法是通过机械方式实现的，因此带有机械系统 的固有局限性，即可扩展性不强，拓扑结构相对固定，参数调节困难，易发生机 械谐振等问题。方案有如下的不足之处： 1 ：用一个电动机拖动多个负载，但这台电机的容量有限，这势必限制了每个 负载分得的拖动功率，致使单元的输出力矩受到限制，也就限制了每个单元的负 载大小，因此系统的总体输出功率较小。 2 ：机械总轴极易出现振荡现象。一般来说，机械总轴系统中的粘性系数很小， 致使传递函数中的振荡环节极易出现共振现象( 机械谐振) 。如果谐振频率较低， 会影响系统的稳定性。而且在机械系统中，该阻尼系数无法调节，因此难以取得 预想的动态性能。 3 ：受机械总轴固有弹性的限制，机械总轴所能承受的最大输出力矩反比于总 轴长度，正比于轴的截面积，当生产工艺要求电机之间距离较远时，如果采用传 统的总轴方式，由于总轴较长，为了保证总轴能产生带动负载时所需的扭矩，就 要求加大总轴的截面积，但这会增加成本。 4 ：所有机械单元用机械部件( 齿轮箱) 连接在一起，结构相对固定，因此当工 第一章绪论 作环境变化，需要增加或减少单元时，必须增加或移去这些机械部件，而频繁的 单元变动会使系统的操作复杂化。 1 2 2 主令参考同步控铝l j 2 , 3 】 虽然机械总轴同步控制系统能够有效地保证各分区单元之间紧密同步，但由 于其应用范围有限，不适宜应用于各分区单元跨度较大的应用场合。但随着工业 的不断发展，愈来愈多的控制系统要求各分区单元能够大跨度地工作，同时能保 证一定的同步性能。此时，主令参考同步控制方式以其分区单元没有距离限制和 系统的输出功率较之机械总轴同步方式而言大为提高的特点被广泛应用，但这种 控制方式只有在一定条件下才能够满足同步要求。 在主令参考同步控制系统中，系统的输入信号( 主令参考信号) 直接作用到每 个单元的电动机上，因此每个单元获得一致的输入信号。各单元的输入信号不受 除了参考信号以外的任何其它因素的影响，所以任一单元的扰动不会影响任何其 它单元的工作状态。如果仅仅是主令参考信号的波动，此时各单元的同步主要靠 各单元对主令信号的一致跟随；但当某一单元发生扰动时，系统的同步就得不到 保证。该方式与机械总轴方式相比，主要是因为失出了各个分区单元之间的相互 反馈环节，因而没有了机械总轴同步方式的固有同步特性。但相对于机械同步方 式，由于各单元单独地使用电机驱动，而不再共享同一个电动机的输出功率，因 而主令参考系统具有较大的输出功率。 由以上分析可知，当各个单元的跟随性能相似时，在仅仅只有给定参考信号 出现波动，而且任何分区电动机都不会受到扰动时，该方案能够较好地实现同步 功能。但是在任何单元电动机出现扰动的情况下，会出现失同步现象，从影响系 统的正常运行。因此，主令参考控制方法适用于各分区电动机不会出现较大扰动， 控制系统输出功率高，各分区距离不受限制的场合。 1 2 3 主从同步控制【】 由于主令参考系统内的各单元之间不存在任何反馈信号，因此在分区单元经 常受到扰动，而生产工艺要求同步性能较严格的场合不适宜使用主令参考控制系 统。如果把主令参考系统加以改造，在其内部加入反馈信号，就可以提高系统的 | j 步性能，于是，主从同步控制系统就应用而生。 在某些应用场合，只有特定的某一台电动机容易受到扰动，而其它电动机基 本上不会受到扰动，此时只要把受到扰动的电动机的输出信号反馈给其它电动机， 利用这一个反馈环节就可以提高同步性能。 在仅存在两台电动机的情况下，主从控制系统只有一种方式：一台为主电动 4多轴系统高精度同步控制 机，另一台为从属电动机。主电动机接收给定的输入信号，而从属电动机的输入 信号则是主电动机的输出信号。 在存在多台电动机的情况下，主从控制系统有两种不同的控制方式： 第一种：第一台电动机为主电动机，其余的所有电动机为从属电动机。主电 动机接收给定的输入信号，而所有的从属电动机共享主电动机的输出信号作为输 入信号。在这种控制方式中，当主电动机的负载受到扰动时，会影响其它所有从 属电动机，但是当任何一台从属电动机负载受到扰动时，其它所有电动机不会受 到任何影响。 在这种情况下，主从控制方案保留了主令参考控制方案的大功率优点，以及 理论上分区单元之间距离不受限制的优点，同时增加了一个回溃环节，因而具有 比主令参考同步控制方法更好的同步性能。 第二种：第一台电动机为主电动机，最后一台电动机为从属电动机，而其余 的电动机充当双重角色，即是主电动机，又是从属电动机：相对于该电动机的前 一个电动机而言，它是从属电动机；相对于该电动机的后一台电动机而言，它是 主电动机。因而除了最后一台电动机外，所有电动机都可以扮演主电动机的角色， 这些电动机之中任何一台电动机的负载发生扰动时都会影响到随后所有电动机的 运行，但不会影响前面的电动机。 该控制方式比前一种控制方式具有更好的抗干扰的动态性能，除了最后一台 电动机以外，在其它的任何一台电动机出现扰动的时候都会影响其它的多台电动 机。但该方式也有其不足之处：一台电机受扰时，只会影响其后的电动机，而不 会影响前面的电动机。例如在第二台电动机受扰时，将会影响第三，四台电动机， 但不会影响第一台电动机。而且在输入信号，也就第一台电动机的输入信号发生 变动时，其后的电动机不能一致地作出响应，第一台电动机最新作出反应，然后 是第二台电动机，其次是输入信号从属于第二台电动机的第三台电动机，最后才 是第四台电动机。而对于第一种主从控制方式，第一台电动机作出反应后，其余 的电动机都能一致地作出反应。实际应用中，第一种控制方案多于第二种控制方 案。 主从控制系统适用于只有主电动机出现较大扰动，而从属电动机不会出现较 大扰动的场合。此时系统不但可以具有很高的输出功率，各分区单元之间没有距 离上的限制，而且同步性能也能令人满意。 1 2 4 交叉耦合同步控制 由于主从控制系统只适合于主电动机出现较大扰动的情况，当从属电动机出 现较大扰动时，主从控制系统的同步性能就会变差。1 9 8 0 年，k o r e n 首先提出了 第一章绪论 交叉耦合的概念来解决同步控制问题，并在机床上得到成功的应用【5 】。交叉耦合 同步控制的基本思想是：对于多轴系统来说，各轴为平行关系，在控制某一个轴 的运动时，将其他轴的影响引入到该轴的控制中，进而使各轴相互协调以达到同 步的效果。这就使得系统各轴之间无主从之分，当各轴出现扰动时，都可以通过 互相的信号反馈来控制各轴达到同步。 自交叉耦合技术被提出之后，它在改善系统的精度和同步性能上表现出很大 的优越性，在过去的二十年里，交叉耦合的概念被广泛应用于多轴系统、数控机 床以及机器人等。1 9 9 2 年，t o m i z u k a 等人把交叉耦合技术应用到两个轴的机械 系统，并成功改善了其同步性【6 】。可是当同步电机的数目n 2 时，并联交叉耦合控 制因补偿规律很难确定而不适用【7 1 。之后许多学者围绕多机协调控制展开了进一 步的研究，2 0 0 3 年p e r e z - p i n a lf 1 8 】等人提出了适用于同步电机数目n 2 的偏交叉 耦合控制，其基本思想是将某一台电机的速度反馈同其他电机的速度反馈分别做 差，然后将得到的偏差相加作为该电机的速度补偿信号，用来补偿各个电机之间的 转动惯量的不同。但是当电机的数目比较大的时候，控制结构比较复杂，耦合补偿 规律难以确定。2 0 0 2 年s h i h t 9 】等人提出了相邻交叉耦合控制策略。2 0 0 3 年s u n t l 0 】 等人将相邻交叉耦合控制策略应用到机器人同步控制中，对每台电机而言，只考虑 相邻两台电机转速的影响，因此控制结构简单，同步性能好。近些年，在国内交叉 耦合技术也已经被广泛应用于各个方面【l l - 1 5 】数控机床的自适应鲁棒控制】、多感 应电机滑模同步控制1 1 2 】以及被运用到冗余并联机器人【1 3 】。 1 3 1 论文主要内容 1 3 论文主要内容和章节安排 本文首先分析了多轴系统及同步控制的发展与现状，简单介绍了非线性控制 理论。在保证控制精度的前提下，为了让控制器在工程实际中简单可行，我们拟 设计了一个传统比例一微分( p d ) 加位置同步误差的同步控制律，但其与传统p d 控制律相比，只在位置同步误差上有较小改善。为了进一步提高控制品质，我们 采用了非线性饱和函数t a n h ( ) 和交叉耦合技术，提出了饱和比例一微分( s p d ) 加 位置同步误差的位置同步控制器，它不仅使多轴系统的同步误差很快渐近收敛到 零，而且还大幅提高了控制精度。此外，在很多实际应用中，人们除了希望提高 多轴系统的位置控制品质，还可能因为限制了系统完成的时间，或者要求避免超 调，而需要有效的控制从起始点到期望位置之间的运动过程。对这种情况，我们 提出了一种饱和比例微分( s p d ) ) 3 1 前馈补偿同步控制律的同步跟踪控制器，以达 到跟踪控制的目的。 之前介绍的多轴系统的控制方法都没有充分考虑驱动器饱和的影响，即假设 6 多轴系统高精度同步控制 驱动器能够提供控制算法所需要的任意大的控制力矩，而在工程实际中，驱动器 都有一个最大输出力矩，超过该最大限度的力矩都将被限幅输出，这样就会严重 影响系统的控制品质。正因如此，输入受限系统的高精度控制问题一直是控制理 论与应用的热点问题，并且取得了一定成果【1 6 - 2 2 1 。早在1 9 9 4 年，s a b e r i 等人就把 输入受限理论运用到线性系统控制中【1 7 1 ； 和p d 加重力补偿的全局渐进控制裂1 8 j ； 1 9 9 6 年，s a n t i b a n e z 和k e l l y 提出了饱 之后，在自适应控制和轨迹跟踪控制中 也应用了输入受限理论f 1 9 2 0 l ；2 0 0 6 年，l a n 等人提出了非线性系统的输入受限控 制【2 1 】及s u 等人提出了并联机器人的输入受限控制【2 2 1 。在这种情况下，我们分别 基于上面提到的位置同步控制器和同步跟踪控制器，提出了输入受限饱和比例一 微分( s p d ) 加位置同步误差的同步控制器和输入受限饱和比例微分( s p d ) 加前馈 补偿同步控制律的同步跟踪控制律器。 利用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理分析了闭环系统的稳定性。 在理论分析的基础上，通过实验验证了各控制器的有效性和优越性。 1 3 2 论文的章节安排 本文的具体章节安排如下： 第一章主要介绍了多轴系统及同步控制的发展与现状，同时介绍了本论文的 主要内容和论文的组织结构。 第二章介绍了非线性控制的基本理论，主要包括非线性系统、平衡点、系统 各种稳定性的概念，重点介绍了l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理。 第三章主要介绍多轴系统的位置同步控制及实验平台。首先，描述了多轴系 统的动力学模型和一些基本特征，然后，我们利用非线性饱和函数t a n h ( ) 和交叉 耦合技术提出了一种饱和比例一微分( s p d ) 加位置同步误差的同步控制器。应用 l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理证明了所提出的全局渐近稳定性。实 验结果验证了所提出的控制器具有良好的控制品质。 第四章考虑到很多实际应用中，可能因为限制了完成的时间，或者要求避免 超调，或者在执行任务过程中碰到了障碍物，希望可以有效的控制从起始点到期 望位置之间的运动，提出了一种同步跟踪控制器，它是一种饱和比例一微分( s p d ) 加前馈补偿的同步控制律。应用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 小变性原理证明 了所提出控制器的全局渐近稳定性，实验结果验证了所提出的控制器的有效性。 第五章由于工程实际中，当控制算法所需要的控制力矩超过驱动器最大输出 力矩时会严重影响系统的控制品质，本章主要讨论在充分考虑驱动器饱和的影响 下，多轴系统的运动控制问题。基于前两章提出的位置同步控制器和同步跟踪控 制器，分别设计了相应的多轴系统输入受限的位置同步控制器和输入受限同步跟 第一章绪论7 踪控制器。应用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理证明了所提出控制器 的全局渐近稳定性，并通过实验验证了他们的实用性。 第六章对本文进行总结，并展望下一阶段的工作。 8 多轴系统高精度同步控制 第二章非线性控制理论基础 9 第二章非线性控制理论基础 2 i 引言 本章主要介绍非线性系统分析的一些基本理论，为后续章节的研究与分析提 供一个必要的理论基础。主要涉及非线性系统、平衡点、系统各种稳定性的概念， 重点介绍了l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理。这些基本的理论在许多 教材上都有详细的说明，有兴趣的读者可以查阅所指出的相关文献【2 3 1 。 2 2 基本概念 本节介绍现代非线性系统控制理论中的一些基本理论，主要以我们后续章节， 即多轴机械系统同步控制中。 定义1 非线性系统非线性系统通常是指可用如下一组微分方程描述的动力 学系统 戈= 厂( 五力( 2 - 1 ) 其中厂为nx1 维的非线性矢量函数，x 为nxl 维的状态变量，1 3 为系统的阶( 或 自由度) 。 定义2 平衡点对于非线性系统j = f ( x ，t ) ，状态x + 被称为系统的平衡点是指 一旦系统的状态等于x ，那么它就一直等于工。在数学上，平衡点可以表示为 0 = ( x + ，f ) ( 2 2 ) 因此，可以通过求解上述方程获得系统的平衡点。 定义3 稳定性对于任意的r 0 ，存在， 0 和t 0 ，如果l lx ( 0 ) o 。如果该函数在整个状态空间内 都具有上述性质，那么其就被称为全局正定。 定义7l y a p u n o v 函数如果在一个球域b r = xc 孵”| | i x l i r ) 内，一个一阶 偏导连续的标量函数v ( x ) 是正定的，并且其沿着系统的状态轨迹的微分是半负定 的，即矿( z ) s 0 ，那么，y ( 曲被称为系统的l y a p u n o v 函数。 由上述定义可以看出，一个连续的标量函数是l y a p u n o v 函数，必须满足两个 条件，即本身是正定函数和对时间的微分为半负定的。 定理1l y a p u n o v 局部稳定性定理 对于给定的系统，在一个球域玩内，如果存在一个连续一阶部分微分标量函 数y ( x ) ，使得 ( 1 ) 矿( z ) 在b r 内局部正定； ( 2 ) 矿( x ) 在曰。内局部半负定。 那么，系统的平衡点是稳定的。如果微分f q x ) 在球域曰。内饰局部负定的，那 么，系统的平衡点是渐近稳定的。其中，毋常被称为稳定吸引域。 定理2l y a p u n o v 全局稳定性定理 对于给定的系统膏= f ( x ) ，假定存在一个关于系统状态的连续一阶可微标量 第二章非线性控制理论基础 函数矿( 柚，满足如下条件： ( 1 ) 矿( 曲正定。 ( 2 ) 矿( 功正则( 或径向无界) 。 ( 3 ) 矿( 功负定。 则系统的原点是全局渐近稳定的。 其中，正则的条件是确保l y a p u n o v 函数的轮廓是闭合曲线，是必不可少的 条件。另一个值得注意的是，全局渐近稳定意味着原点为系统的唯一平衡点。 必须注意到l y a p u n o v 稳定性定理仅是系统稳定的一个充分条件。如果对于 某一个给定的系统，选择了一个正定l y a p u n o v 候选函数，如果矿为( 半) 负定的条 件不满足，我们不能得到关于系统稳定性的任何结论。我们能得到的唯一结论是 这个候选l y a p u n o v 函数不合适，只能重新选择一个新的l y a p u n o v 函数进行系 统的稳定性分析。 2 3 2l a s a l l e 不变性原理 对于系统的稳定性分析来说，渐近稳定性是一个比较重要的性质。但是应用 上述l y a p u n o v 直接方法进行系统稳定性分析时，却不容易得到渐近稳定性的结 论。因为渐近稳定性要求候选l y a p u n o v 函数的微分为负定( 即矿 o ) ，而大多数 情况下，我们仅能获得矿为半负定( 即矿0 ) 的结果。l a s a l l e 不变性原理就成功的 解决了矿为半负定的情况下，系统渐近稳定性分析问题。 l a s a l l e 不变性原理的核心是不变集，即平衡点的泛化概念。 定义8 不变集一个子集g 被称为某一个动力学系统的不变集是指当且仅当 从该子集g 内某点出发的系统状态轨迹都始终保持在该子集g 内。 根据上述定义，我们可以容易地得出系统的平衡点是一个不变集；吸引域是 一个不变集。 类似于l y a p u n o v 直接方法，l a s a l l e 不变性原理也包括局部不变性原理和全 局刁 0 ，由v ( x ) z 定义的区间q ，是有界的。 ( 2 ) 对于q ，内的所有点来说，矿( x ) 0 。 推论1 对于一个时不变系统，v ( x ) 为光滑的标量函数，假定在含原点的某一个邻域 q 内： ( 1 ) y ( x ) 局部正定。 多轴系统高精度同步控制 ( 2 ) 矿( 柏为半负定。 ( 3 ) 由矿( x ) = 0 所确定的子集仅包含系统轨迹的原点。 则该原点是渐近稳定的。并且，q 内y ( 功 吼为正则( 径向无界) 的连续可微正定 函数，并对于所有x 9 t 疗使得矿( 曲0 成立。记s = x 吼”i 矿( x ) = 0 ) ，并假设除 了x ( t ) 兰0 之外，再无其它解能够存在于s 内。那么该原点是全局渐近稳定的。 值得注意的一点是，l a s a l l e 全局不变性原理与l y a p u n o v 全局渐近稳定性定 理的一个最显著的区别是：释放了对连续标量函数的正定的要求，只要求其有下 界。这一点与l a s a l l e 局部不变性原理中的标量函数的要求相同。 l y a p u n o v 方法( l y a p u n o v 直接方法) 是分析非线性系统最有效的方法，其难点 是怎样找到合适的l y a p u n o v 函数来获得期望的性能。虽然l a s a l l e 不变性原理对 l y a p u n o v 函数的苛刻条件有所弱化，但同样存在如何确定合适的类似l y a p u n o v 函数问题。 2 4 本章小结 本章主要介绍了非线性摔制理论中的基本概念和稳定性证明的基本方法，主 要包括非线性系统、渐进稳定性及l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 彳i 变性原理， 这为后续章节中多轴系统同步控制器稳定性的分析和证明奠定了理论基础。 第三章多轴系统位置同步控制 第三章多轴系统位置同步控制 本章主要介绍多轴系统位置同步控制，所谓位置控制就是要求电机在控制器 的作用下从最初的起始位置到达期望的位置，位置误差的响应速度和精度是判断 控制器好坏的两个重要标准。位置控制的方法有很多，现在常用的方法有比例 微分( p d ) 控制、比例积分微分( p i d ) 控制以及输出反馈控制等。基于对一些同步 控制器的学习和研刭1 3 ，2 2 也4 1 ，为了在保证控制精度的前提下，让控制算法易于工 程实现，我们拟设计一个传统比例一微分( p d ) 加位置同步误差的同步控制律，但 其与传统比例一微分( p d ) 控制律相比，只在位置同步误差上有较小改善。为了进 一步提高控制品质，我们采用了非线性饱和函数t a n h ( ) ，并提出了饱和比例一微 分( s p d ) 加位置同步误差的同步控制律，它不仅使多轴机械系统轴与轴之间的同 步误差很快渐近收敛到零，而且还大幅提高了控制精度。 本章首先介绍多轴系统的动力学模型和一些基本特征，然后提出位置同步误 差及饱和比例一微分( s p d ) 位置同步控制器，并应用l y a p u n o v 稳定性理论和 l a s a l l e 不变性原理证明了所提出的全局渐近稳定性。实验结果进一步验证了所提 出的控制器具有良好的控制品质。 3 2 多轴系统动力学模型与特性 一般，含n 个运动轴的机械系统的动力学模型可描述为【2 4 1 日( x ) 戈+ c ( x ，动文= f( 3 1 ) 其中工，j ，膏分别为位置、速度和加速度，h ( x ) 为对称正定惯性矩阵，c ( x ，劝为哥 氏力和离心力矩阵，t 为输入力矩矢量。 如式( 3 1 ) 所示的多轴系统，通常具备如下的结构特征1 2 1 , 2 2 1 ： 特性1 ：魄倪“，惯性矩阵h ( x ) 对称正定且有界，即 0 丸( h ) - i ih ( x ) | i 九( h ) 特征2 ：哥氏力和离心力矩阵c ( x ，戈) 满足下面关系： c ( x ，孝) u = c ( x ，u ) 孝v x ，孝，u 咒” 0 c _ | i 文1 1 2 - - i l 一c ( x ，戈) i i ( 4 - 5 ) 且在最终的期望位置，控制器可保证闭环系统的全局渐进稳定性。 证明利用l y a p u n o v 稳定性理论和l a s a l l e 不变性原理证明定理4 1 ，首先， 定义如下候选l y a p u n o v 函数 y = 脚肛喜l n ( c o s h ( e , ) ) + 芝1 e r k e t e ( 4 - 6 ) 其中，如是砟的第f 个对角元素。 由式( 3 - 3 ) 和k 是对角正定矩阵，可得 去p 1 t e 0 ( 4 7 ) d 、 由特性l 、式( 4 7 ) 和l n ( c o s h ( ) ) 9 t 径向无界_ 1 tl n ( c o s h ( 0 ) ) = 0 ，可得函数( 4 6 ) 是一个正定函数。 对v 进行时间微分，可得 矿= 去舌r 疗( x ) 叠+ 毒r 日( x ) 荟+ 吾r 髟t a n h ( e ) + r k t e ( 4 - 8 ) 将e h 式( 4 - 4 ) 求得的坝工) 荟代入上式，并应用# ( x ) - 2 c ( x ，动为反对称矩阵的 性质，可得 矿= 一吾r 童一吾7 n - i i 舌r h 一毒r 尺- d 占+ l l 吾r1 1 | in i l i i 毒r k 0 - b r k d , - i i 矿i i ( k 一i i ) ( 4 - 9 ) 由定义式( 4 3 ) 和条件式( 4 5 ) ，我们可以得出 k - i i n i l = a 一i i + c 1 1 - 1 1 n i l - i ik 0 一h ( x ) 1 1 | i 叠4 + i i 尺r c c ( x ，j ) j 。一 - i i ( k 一日( x ) ) 舅4 + ( 尺- c c ( 五动) j 4l l 一i i 第刚章多轴系统同步跟踪控制 2 0 ( 4 - l o ) 因此，可得矿0 ，即表明系统是稳定的，并且，矿= 0 意味着毒= 0 。在最终 期望位置时，= 0 ，也因此n = 0 。下面我们利用l a s a l l e 不变性原理来获得系 统的全局渐进稳定性。据l a s a l l e 不变性原理，不变集r 由矿= 一矿k n 吾= 0 的点定 义，也就是r 由吾= o 的点定义。下面，我们用反证法证明r 内的最大不变集m 仅包含原点。 首先我们假设存在不为零的p 点，使砟t a n h ( e ) + t e = o ，在该式子两边同 乘以e r ，则得 p r k et a n h ( e ) + e r k e t e = 0 ( 4 1 1 ) 由式( 3 6 ) 和式( 4 7 ) 得，e r k pt a n h ( e ) + e r k f t e 0 ，且只有e = 0 时，等号才会 成立，这和假设矛盾。这就意味着，如果m 内还包含一个不为零的e 点，那么， 据式( 4 4 ) 可得，该点对应的加速度应为：菇= h - 1 ( 曲( k pt a n h ( e ) + k e t e ) 0 。也就 是说从e 点出发的系统状态轨迹将立即逃离r ，当然也就远离最大不变集m 。因 此，根据l a s a l l e 不变性原理，该系统相对原点是渐进稳定的，即( e = 0 ，吾= 0 ) 为全局渐近稳定平衡位置。证毕。 4 2 3 实验研究 为了清楚地看出我们设计的控制律的优略，我们将它与传统比例微分( p d l 控制器和文献 2 4 1 的比例微分( p d ) 加前馈补偿同步控制相比较。 传统比例微分( p d ) 控制的控制律为： f = k e e + k d 色 其中，k p ，k d 为恒定对角正定增益矩阵。 比例微分( p d ) 加前馈补偿同步控制律为： f = k h 喾+ k c r + k p s + k d 亡+ ( i + q t 丁lk e 6 + s i g n ( 叠) k n 其中，s 为耦合位置误差，它的表达式为占= e + t z e ，口为控制增益， k ，和砟是 恒定对角正定前馈增益矩阵，k p ，k 为恒定对角正定增益矩阵，s i g n ( ) 为 标准符号函数，k 、，如式( 4 3 ) 。 我们设期望位置 一= p + 8 i 霉籀紫k 手( r a d ) 采样时间z = 5 m s 。所有的初值都取为零。通过反复试验法，确定参数如下，其中 传统比例- 微分( p d ) 控制器的参数确定为：k e = d i a g 5 0 0 ，7 0 0 ，5 5 0 ， 多轴系统高精度同步控制 足n = d i a g 0 0 1 ；比例微分( p d ) ) i 前馈补偿同步控制器的参数确定为： 砗= d i a g 5 0 0 ，7 0 0 ，5 5 0 ，= d i a g 0 0 1 ) ，磁= d i a g 3 5 0 ，4 0 0 ，5 5 0 ，口= d i a g o 5 ， 足= 1 ，群= o 0 1 ，= 1 ，婶= l ；我们提出的饱和比例微分( s p d ) 加前馈补偿 同步控制器的参数确定为：耳= d i a g 5 0 0 ，7 0 0 ，5 5 0 ，= d i a g 0 0 5 ， k 。= d i a g 3 5 0 ，4 0 0 ，5 5 0