（基础数学专业论文）一类蛋型域的bergman核函数和bloch函数.pdf

一类蛋型域的b e r g m a n 核函数和b l o c h 函数 本文主要研究了一类蛋型域 摘要 d ：= ( z ，c 删：a j z l 2 + 6 jw ，7 i 0 的b e r g m a n 核函数和b l o c h 函数。 在第1 章中，我们先得到蛋型域d 的b e r g m a n 核函数和b e r g m a n 度量的显式表示，然 后讨论了蛋型域d 的全纯自同构群a u t ( d ) 和一类全纯不变量，最后碍到了在d 的全纯自 同构群下不变的调和函数。在第2 章中，讨论了此类蛋型域上的b l o c h 函数的充分条件和必 要条件。所有这些推广了前人的许多结果。 关键词：蛋型域 b e r g m a n 核函数调和函数 不变度量b 1 。c h 函数 t h eb e r g m a nk e r n e l f u n c t i o na n d b l o c hf u n c t i o no nac l a s so fe g g d o m a i n a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w em a i n l yi n v e s t i g a t et h eb e r g m a nk e r n e lf u n c t i o na n dt h eb l o c h f i m c t i o no nac l a s so f e g gd a m a i nd ，w h e r e d ：= ( z ，w c ”+ ”：口iz 1 2 + 6 i w l 青 o i nc h a p t e r1 ，t h eb e r g m a nk e r n e lo ft h ec l a s so f e g gd o m a i nda n di t sb e r g m a n m e t r i ca r ef i r s tg i v e ni nt h ee x p l i c i tf o r m s ，t h e nw ed i s c u s st h ef u l lg r o u pa u t ( d ) o f h o l o m o r p h i ca u t o m o r p h i s mo fda n dak i n do fh o l o m o i p n ci n v a r i a n t ，f i n a l l y , w e g e tt h ei v a r i a n th a r m a o n i cf u n c t i o n su n d e rt h ef u l lg r o u pa u t ( d ) o fh o l o m o r p h i c a u t o m o r p h i s mo f d i nc h a p t e r2 ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h eb l o c h f u n c t i o no i lda r eo b t a i n e d 、a l lt h a te x t e n dt h ep r e v i o u sa n t h e r sr e s u l t s l i n ga i f a n r p u r em a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db y ：p r o f e s s o rx uz h o n g y i k e yw o r d s ：e g gd o m a i n b e r g m a nk e r n e lf u n c t i o nh a m a o n i c 如n c t i o n s i n v a r i a n tm e t r i cb l o c hf u n c t i o n 学位论文版权使用授权书 ，聊8 9 7 5 3 本学位论文作者完全了解南昌大学有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权南昌大学可以将学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：煮菱血导师签名：彳砀名t 二 签字蜀期：巧年，月矿目签字目期：撕月纱目 学位论文作者毕业后去向：两冯天茗敬彳承1 工作单位：币葛夫荨数孑争 电话： 。7 尸一踟驴9 通讯地址：面以孑教孑孝邮编：毒；国牟7 引言 波兰数学家m s k w a r c z y n s k i d 在 1 】中透露，b c r g m a n 核函数的理论渊源于1 9 2 1 年在德 国柏林的一个数学讨论班，该讨论班由e , s c b m i d t 主持，s ，b c r 印a a n 和s b o c h a e r 都是该讨 论班的成员，而s b e r g m a n 当时还在柏林大学攻读博士学位。m ，s c h i f f e r 于1 9 8 1 年在纪念 s ，b e r g m a n 的文章( 见文 2 】) 中谈到，当时给s b e r g m a n 的任务是研究实区间上的正交展开 而他误以为是研究复平面中的区域d 上的正交展开，其结果导出了一个核函数 k o ( z ，r ) ，( z ，f ) d xd ，这就是现在称之为b e r g r n a n 核函数韵起点，b e r g m a n 核函数理论 的基本思想很容易推广到多个复变数的情况。它在多复变函数度论发展初期扮演了一个非常 重要的角色，而且十分不同于单复变。c ”中的有界域都存在b e r g m a n 核函数但哪些域的 b e r g m a n 核函数能显式表示出来呢? 以及如何求一个域的b e r g r n a n 核函数显式表示等问题 一直是多复变中的一个重要研究方向，至今还吸引着不少数学家【3 _ l “。 与此同时，多复变中的b l o c h 函数也得到了快速的发展，1 9 7 5 年，k t h a h n 将单位圆u 中的全纯函数为b i o c h 的函数的条件推广成多复变中的b l o 曲映射。1 9 8 0 ，r m t i m o n e y 【1 8 l 定义了c ”中齐性有界域上的b l o c h 函数，并进一步证明了单位圆盘u 上的b l o c h 函数的等 价条件几乎全部可以自然地推广到c 8 中的齐性有界域上的b l o e h 函数上去，作为多复变中 最常见的两种域多圆柱的超球，其上的b l o c h 函数的研究已经比较成熟，相关文献也相当丰 富，如1 1 7 - 2 5 1 ，但由于多复变中域的分类尚来解决，在各种不同域中如c a r m a n 域、蛋形 n ( e g gd o m a i n ) 、以及c a r t a n h a r o g s 域等，寻找它们的b l o c h 函数的楣关条件已成为多复变 的另一重要课题。 第1 章蛋形域d ( a ，b , k ；n ，牌) 的b e r g m a n 核函数 1 1 预备知识 在本文中，用( z ，w ) 与( z ，矿) 分别表示c ”中不同的复变量，其中 z ，z c ”，w ，c “，n ，m 1 ，并记 d l ：= ( z ，吩c ”+ 1 ：1z j 2 + j w j 寺 o ) d 2 ( d ，b ，k ；n ，1 ) ：= ( z ，w ) c ”“：a i2 i 2 + 6 1 w l 素 0 d 3 ( 1 ，b ，k ；i ，1 ) ：= ( 毛，z 2 ) c 2 ：lz l 2 + fz 2i 蚩 0 ，k o ) d ( a ，b ，k ；n ，研) ：= ( z ，0 c ”+ “：d i 三1 2 + 6 f w f 亡 o 其中， z = ( z l , - - - , z 。) c 4 ，w = ( 嵋，w 卅) c ”， 以及l2 i 2 = 。1z ，i 2 ， 1w l = ( 2 ，1w ) 1 2 引言与主要引理 1 9 7 8 年，l e d a n g e l 0 0 7 1 得到蛋形域( e g gd o m m n ) 的b e r g m a n 核函数为 k n ( 毛w ；一z ，_ ) = k ”7 9 - ( n + 1 ) g i ( 五) ( 1 一iz 阿州“ ( 1 1 ) 其中g ( 。) = x t o b ( ，+ ) ( 1 一五。) - ( j + 1 ) , x l = 石 专告严及 6 。= 0 , b i2 k 一阳+ ”i 丽c n + l - j ，( = l ，2 ，。一，h + 1 ) ( 1 2 ) 而此处的c ，( ，= 0 , 1 ，以) 是由下式对x 的同次幂比较系数而确定 愈( 川+ i l ) = k - ( n + o 留言跗c t f + ( x 2 + - f ) n + 坼2 - + 1 ) 石 1 9 8 7 年，殷慰萍”j 对域d 1 作了比较详细的研究，得到了它的群不变函数与各种曲率。 但对于比域d ，更一般的蛋形域d ( a ，b ，k ；n ，m ) ，其相应结果还相当少a 易见，d ( 1 ，l ，k ；t , 1 ) 即为d ，当= 1 ，及m = 月= 1 时，域d ( d ，b ，k ；n ，m ) 即为d 3 ( 1 ，b ，k ；1 ，1 ) ，这时由文【1 4 】 知，它的b e r g m a n 核函数为 j ( 岛( z ，z ，) = = 鱼! ：笋( 1 一y ) 一3 ( 1 lz ，1 2 ) 一r 一2 ( 1 + q y ) ( 1 3 ) 其中，y = y ( z ，z 2 ) = b z 2t 2 ( 1 一lz 1 2 ) 一，g = ( 芷一1 ) ( 足+ d 本章1 3 运用下面的折叠原理及膨胀原理，得到了域d ( a ，b ，k ；n ，m ) 的b e r g m a n 核函 数( 简记为k 。( z ，w ；一z ，石) ) ；在1 4 中求出了它的b e r g m a n 度量d o - 2 的显式表示及全纯 自同构群a u t ( d ) ；在1 5 中给出了由s b e r g m a n 引进的一个全纯不变量s d ( z ，w ；z ，w ) ， 并证明当点( z ，w ) 由d ( a ，b ，k ；n ，m ) 内趋于边界o d ( a ，6 ，k ；n ，m ) 时，全纯不变量 s o ( z ，w ；一z ，i ) 的极限。最后讨论了域d o ，b ，k ；n ，肌) 在全纯自同构群a u t ( d ) 下不变的调 和函数( 以下将简记d ( a ，b ，k ；n ，m ) 为d ) 。 下面先叙述本文中要崩到的伪个引理，具让i ! i 见l 6 j 腴【1 1 】 引理1 ( 折叠原理) 设e i ，e 2 是c ”1 1 ) 中的两个有界域，z = 厂( z ) 是阶为r 的映 e l 为西2 的全纯逆紧映照，令庐( z ) = d 差) ，e ，e 为定义于e ：一 厂( z ) ：庐( z ) = 。) 的厂( z ) 的r 个局部逆紧映照，设中，( z ) = d e 鲁】，l ，sr ，则巨，皇：的b ”驴a n 核函 数足丘( z ，；) ，k 邑( z ，艺) 有如下关系： 置岛( z ，芴2 裂蔷k 且( e 巧) 可( z ) ，z e z 1 4 其中f 驭定f 中的任一个- 引理2 ( 膨胀原理) 设e ，是c “中的有界完备h a r t o g s 域，由不等式f f l 2 垆( z ) 所界定， 这里，f c ，z c ”，而p ( z ) 在c ”中的某一个有界域的内部是有界的、正的和连续的函 数；e 。是c ”中的由不等式iz 1 2 ( p ( z ) 所界定的域，这里z = ( z l ，z 。，) z i ! = i z ，1 2 。由于存在函数工( z ，w ，s ) ，使得e 3 的b er g m a n 核函数k 巨( z ，q ；w ，吁) 能 ，= 1 表为l ( z ，j ，f i ) 。因而域e 4 的b e r g m a n 核函数k e ( z ，z ；w ，矽) 能由下列关系式给出 k 。；( z ，z ；1 w ，”r ) = 丌一( 一” ! ! ：! 。：；： ；掣 ，：。， c - s ， 这里( z ，w ) = 2 ，z ，衫 1 3 蛋型域d 的b e r g m a n 核函数 定理1 域珐( d ，b ，k ；n ，1 ) 的b e r g m a n 核函数为 k 。，( z ，w ；i 品) = a n b k ”石州g 2 ( x 2 ) ( 1 一口lz 阿“”1 ( 1 6 ) 其中 x ：= 黼，g ：( 彳：) = 姜。r ( _ ，+ 1 ) ( 1 一并z ) 叫p 1 ) 此处b ，同( 12 ) ，且6 = 1 证明对任意( z ，w ) d ，定义映照f ，使得 f ( z ，w ) = 一i z ，6 一i w ) 则f 满足引理l 的条件，即f 为d 1 玩，b ，k ；n ，1 ) 的全纯逆紧欧照。事实上，令 ( z ，w ) = f ( z ，= ( 口一z ，6 一i w ) 那么有 引z i ：+ b l w l o 弓z 1 2 叫w 产 t 所以( z ，w ) d 2 ( 日，6 ，k ；n ，1 ) ，且，有逆映照为 ( z ，切：厂一1 ( z ，缈) ：= f ( z ，) = ；z ，6 ；) 令 抛川- a c t ( 麦 州硝川吼喊z o f 朋 则经计算得 声( z ，w ) = 口一j b i 。中( z ，讳7 ) = d 1 b i 于是由引理1 有 k d 1 ( z ，形；乏万) = a b k “1 , - ( n + u g 2 ( 盖2 ) ( j - alz 阿”“1 ( 1 7 ) 其中 x ：= 器，g ：( x z ) = 芸6 ，r ( + 1 ) ( 1 z ) 一“) 而6 ，同( 1 2 ) ，且6 j = 1 把变量( z ，w ；z ，) 替换为( z ，w ；z ，w ) ，j j ( 1 7 ) b o y 9 ( 1 6 ) 的形式， 从而定理1 得证。 定理2 域d 的b e r g m a n 核函数为 k d 0 ，w ；一z ，百) = t ? f j b “k “石一g ( 。r ) ( 1 一日iz l2 ) 一“1 ( 1 8 ) 4 其中 = 器，g ( x ) = 霎q r ( _ ，+ m ) ( 1 一石广”哪 b ，同( 1 2 ) ，且6 = 1 证明因为域d ：( 。，6 ，k ；n ，1 ) 同时又可以看作是由不等式! w 1 2 0 即( z ，) d ，且对于任意( z ，w ) d ，存在映照h ( z ，w ) = ( 矗l ( z ，w ) ，h 2 ( z ，w ) ) a u t ( d ) 使h ( z ，w ) = ( 0 ，w + ) ，定理证毕。 容易验证，z = ( 毛w ) = 瓣是a m ( 。) 下群不变函数。事实上，对于任意 的( z ，w ) d 有 地w 扣高等= 拱并篙高篙器 = 苦牌一叻 若h = ( h ，h 2 ) = ( 啊一，h h 2 l ，一，h ：。) a u t ( d ) ，用j h 表示 的变换矩阵，则 j h = 魏 赴 a 红 却封 粤= g7 8 ( 1 - a f 口 2 ) ( 1 一以玉) 一1 p ) + ( 1 一口玉) 一口孑( z - - a ) 】q 一 盟：o 拿：旗( 1 。) ；( 1 。口一z ) - i - k 巩h 娑：( 1 一。1 a l ：) 了k ( 1 一日玉，) 一r 日 令 k ：= 瞄蚓j 1 2 n 柳 那么我们有 j ，：e 一( 1 - a ) 一5 q ：，：4 k ( 1 一口) 。1 ；矗日 一生 j 2 l = 0 ，2 2 = ( 1 一订| z 1 2 ) 2 h 此处9 。虿：( 1c m 一日乙) 1 5 全纯不变量 对于c 中的有界域q ，s b e r g m a n f s l g 进以下函数 s 。( z ，j ) ：m l o g k a ( z , z ) ：塑堡旦加q“ k n t z ，z )k n ( z ，z ) j 其中k o ( z ，z ) 为q 的b e r g m a n 核函数，r ( z ，z ) 为q 的b e r g m a n 度量方阵，肘是复 m o n g e a m p 6 n e 算子，当q 连通时，有l i m 。s n ( z ，z ) = 2 7 r ，而在c ”中，若q 为有界域，则 ( z ，z ) 是全纯不变量。但由于多复变中域的复杂性，以及在不同域中，得到s 0 ( z ，；) 的方 法各不相同，从而给计算全纯不变量晶( z ，z ) 带来了许多困难。 下面我们考虑d 中的全纯不变量s d ( z ，w ；一z j ) ，并讨论当( z ，w ) 从d 内趋于它的边界 o d 时。s ，( z ，w ；z 一，丽) 的极限。 设厅= ( 向。，也) a u t ( d ) ，h ( z ，w ) = ( o ，w ) ，则的度量方阵，( z ，w ；，石) 可表示为 t ( z ，w ；，i ) = j t ( o ，；0 ，瓦) 7 8 一 ( i 1 6 ) 囡拶w 玑= 蒜巩黜鲫，膨n d e t t ( o ，w ；o ，瓦) = 口一k ”b 胁( 矿。) “一1 ( 矿”b x w i + 矿。) ( 矿1 x + 琊+ n = + _ 1 ) ” = 口”k “( y y ”1 ( 矿”x + 矿) ( 矿x + 川+ ) ” 又 d e t j l 2 = ( 1 一a lz 1 2 ) 一“1 据( 1 1 6 ) ，有 d e t t ( z ，w ；一z ，i ) = id e t j i 2 d e t t ( o ，w 。；o ，两) = 口”f 护( y ) ”秒n y ) ( y l n 斛警九1 - 巾门 “” 于是全纯不变量s d ( z ，w ；z ，w ) 可表示为 w 高访器 = ，r ( 坩。( y ”肖+ 矿+ ) ( 矿z + 掰+ 警) ”石两1 现在考虑当d 内g ( z ，w ) f 趋于d 的边界a d 时，全纯不变量s d ( z ，w ；，动的极限注 矿- ：亟旦，矿- ：鱼塑一f 鱼堕1 2 g ( x )g ( x )ig ( x ) j 蹦删五沁扩”( 勰) ” ( 船一( 船) 2 卜矧 f 鱼盟x + 。+ 盟丫上 lg ( j ) kj g ( 工) g 。( 工) = 玩。，f ( m + n + l - j ) ( 1 - x ) ， g i ( x ) = b 一f ( m + ，z + 2 - j ) ( 1 - x ) 。， g 2 ( x ) = 6 一，r ( m + n + 3 - j ) ( 1 一j ) 7 g ( ) 南酗n + l + t 一八m + n + l - 烈1 - x 卜南g o ( 柳 g ( 柳。南g t ，g ”皤卜赤6 2 s 水朋j ，动= 州( 番厂f ( 象一( 岳 2 卜+ 岳c 一朋 ( g o g lx 、n k + 1 ) ( 1 j 百1 当( 。，w ) j 0 + ，w + ) 0 1 ) ，且f w p o ，即( z ，w ) 趋于a d 上的强拟凸点( = 4 ，w ) 时，由 a iz 1 2 + 6 l w i 。2 = 1 知，x 一1 ，故有 旧。排l i r a ，瑚s o ( z ，w ；z ，w ) 2 懋( x ) g o ( 1 ) = 6 。+ l r ( m + 拧+ 1 ) = ( 脚+ 门) ! ， 器川，器2 c m + n + 2 ，c m + n + 1 ) 扛帅l i m 脚s o ( z , w ；厕= 焐s 舻) = 盟筹暑 当( z ，w ) ( z + ，o ) o d ，即( z ，w ) 趋于a d 上的弱拟凸点( z ，0 ) 时，此时 z 1 2 = 1 ， 若令 1 w 1 2 = 6 一f s ，iz 1 2 = 三【l 一( 手) 。1 ( 1 1 7 ) 其中r 为常数，e l 0 r 1 ，s 充分小。则 d lz 1z + 6 l 。1 ：1 + f ( 1 一 ) 1 ， 所以满足( 11 7 ) 的点( z ，w ) 属于j 9 ， x 从而有l j m ：，( o ，1 ) 。所以，当( z ，w ) 沿不同路径趋于a d 上的弱拟凸点( z ，0 ) 时，x 取 区间( o ，1 ) 上的任一实数，因此，、1 睁s o ( z ，w ；z ，w ) 不存在。 【z w p + ( ：，u 怍叫 从上述分析可知，o d 上的强弱拟凸点有本质区别。 1 6 在a u t ( d ) 下不变的调和函数 令g 。( ) ：d k ”6 “玎一( “”g ( ) ，记由g 。( _ ) ( 1 一ai zf 2 ) 一“”“所生成的不变 k i h l e r 度量方阵为砭。心，w ；z ，w ) ，此方阵即为d 的b e r g m a n 度量方阵t ( z ，w ；z ，w ) ，并记对 应于( z ，w ；z ，w ) 的l a p l a c e b e l t r a m i 算子为 1 0 k = 打陋幅而建勃0 2 u 其中符号t r ( a ) 表示求矩阵a 主对角线上的元素之和。若u 是使三g ( u ) = 0 的实值函数 且有二阶偏导数，则称u 为域d 的由g ，( x ) ( 1 一d iz l2 ) 一“1 生成的不变k i h l e r 度量的 调和函数若u = u ( x ) 为x 的c 。实值函数，且g ( u ) = 0 ，则称u ( x ) 为在a u t ( d ) 下 z ( d ) ：= 妙( ) ：u ( ) c 。，k ( u ) = o ，( 毛w ) d 则我们有 定理4 集z ( d ) 的元素具有如下形式 u ( z ) = p 。p 一1 ( x v + m + n f + 1 ) “( x v 。) 一“扰+ c “，( 石o ) 其中c ，c ”r 证明记 殴划囊粪l 哟 则 = 毒萧c x 矛d 2 u + - j z d u = z + 篙萧霄d u - 7 z ； a k xd ur f 础 ( 1 一应iz l2 ) d x 盱鼎( j 矛d 2 u + - ) d u = = 瓦 = 蒜塑d x 2 - w + d 舞筹p 。“z ：。正可开f 一+ 矸祈1 面r t - 1 0 ，w ；，i ) ：7 r 一一( o ，w 。；0 ，瓦) ，一 一= e - l e ( 1 - a 0 垤l 出篱a 孵印i ( 1 一lz 1 2 ) i 。i c o ，。叫毒0 ，加一矿。b 。v v 而b ) li 号v ”一( 矿w h ，+ + ) “ “w w 刖 b 8 w w ：l= x ，w ：w 。l= ( 1 一日iz 1 2 ) “h 。w 。w h 于是可以得到 t 一1 ( z ，w ；z ，w ) = i 。t - a z la g l 。“一z + z )焉z w l 一器品器而+ 警p l 赢而j 由于死( z ，w ；z ，w ) 即为t ( z ，w ；z ，w ) ，于是将( 1 1 7 ) 及t 。( = ，w ；z ，w ) 代入祭件 l 。( u ) = 0 之中，则有 护i 1 - a lz 1 2 a k ( x - v 鬲n + l ( p ) 一口两一 + ) 、 “ ( 1 一a jz 1 2 ) + m + t n + 1 )加：。 + 肛 c 篙一w ，u ：+ 学u ：一志而u ： + 肝 筹爨硼： - 0 将u u 1 2 ，2 l ，u 2 2 分别代入上式，经整理后为 xd 2 uv “x 2 d 2 un x 矿矛一页两丽了矛+ 面；再 即 一d u + 旦盟一 ! 垄 坐：o d x 矿越v 。f 矿。石+ v 、衍。 d 2 u n ( v 。z + v 、d u 坍d u d ) ( 2vx 七m 嘤d ) ( xd x 解此二次微分方程，我们得到 u ( 朋= 一p 一1 ( x v l + 州+ t n + 1 ) 一“( x v f m 一1 ) v ”d u y删 o ) 一( m - 1 ) 凹+ c ”( x 0 )( 1 1 9 ) 其中e j , c ”r ，此即为中元素的一般形式，定理证毕。 由定理4 ，我们得到了除d 的个低维点集d o = ( z ，0 ) d ) 外，即在d d o 上的在 a u t ( d ) 下不变的调和函数u ( x ) ，它的一般形式为( 1 1 9 ) 。 1 2 第2 章关于d 的b l o c h 函数 2 1 引言与定义 在单复变中，b l o c h 函数的研究主要集中在单位圆盘上，其定义为：设f 为单位圆盘u 上的全纯函数，如果 f l = s u p l ，。( z l ( 1 一盯) 佃 ：e 。 1 9 7 5 年，k ，t h a h n 将此定义推广成多复变中的b l o e h 映射，1 9 8 0 年，r ，m t i m o n e y 在c ”中的齐性有界域上定义了的b l o c h 函数。即 定义1设b 是c ”中的齐性有界域，f ：b c 是b 上的全纯函数，记 v f ：( 兰，罢) ( z ) 为函数厂在= b 处的梯度向量，r ( z ，；) 表示日的b e r g m a n 度量 也10 2 ” q i ( z ) = 。s u p 高嘉 = s u p q ， 佃 k t h a h n 和k t k i m l 2 0 l 及陈志华又进一步将齐性有界域上的b l o c h 函数的概 定义2 设m 是连通的h e r m i t e 流形，全纯函数，：m c 为m 上的b l o c h 函数， 。岫唧i 咝i 佃 * m o e c ”jw t ( z ，z ) w s u p 护 ( v f ) 丽t 一1 ( z ，；) = s u p t r 1 v f l2 t - 1 ( z ，；) 南 w 一= q i 。盯，阿 盯。r 卜中 气一 o 口 一 此处 j ，= ( 1 一日l z l2 ) ( q ：q ：) ，2 = ( 口匿) 2 ( 1 - a l z l2 ) - w z ( q ：鲮) z w + ( 1 一口衍) 。，( m ) 于是 t r ( j ) j - t ) = t r ( 1 一a z | 2 ) ( q 反) 1 + 驴1 1 一刮纠2 ) 。，+ 皿) 2 ( 1 一a l z l2 ) 一1 诂( q 夏) f z w 因为 t r ( q ；西= t r ( i ( 一口五) ：胛一口i zj z t r ( w z ) ( z w ) = i z l 2 1w1 2 及 t r ( a k ) 2 ( 1 一口i z i2 ) 。7 z ( o ：q ：) 1 z w ) ( 以k ) 2 ( 1 一日h 2 ) 一1 t r ( q ：西) 1 即 ( i 2 ) ( ：_ w ) ) 所以 t r ( 1 一日f z f 2 ) ( l 残) 。) = ( i - 口p f 2 ) ( n 一4 fz f 2 ) f r 1 _ 州) 。j + 缸) 2 ( 1 一材) 一1 记( q ：西) 一- _ w 聊( 1 刊2 ) 。+ ( a k ) 1 2 ( n - 百a z r 2 ) z 1 2 1 w 1 2 即有 t r ( j ) j - , ) ( 1 一a iz 1 2 ) ( 甩一口lz 1 2 ) + 埘( 1 一a iz 1 2 ) + ( a k ) 2 ( 可n - = a iz 两1 2 ) 下iz 一1 2 1 w 1 2 ( 2 6 ) ( 1 一口iz 1 1 1 、- 综合上述，我们得到 坩1 撕，石) s 而再i 丽+ 丽m y + ( m - 1 ) x v 。l ( 1 一日l z i2 ) ( ”一日z 1 2 ) + 柳( 1 一a izi2)。+(ak(ni-f二ajl了z：12_)广i z 1 2 1 w 1 2 1 于是我们有如下 定理5 设厂：d c 是全纯函数，如果 。器j v ( 二，”厂 2 ( 1 - x ) ( 1 小n ”小门+ ( 1 刮卯n 堕拦黼盟 + 。 则厂为d 上的b l o c h 函数 证明由 g ( j ) = b j r ( m + _ ，) ( 1 一z ) 巾枷 可算得 g 卜高丢咏卅伊( 1 。，n 且有 g ”暖) _ 高酗 “) ( 卅力r ( 肼力( 1 “厂”7 竺。螋 竺竺! ( 1 一x ) 一g ( x ) f 1 一盖) 。地 塑翌望 ( 1 一) 2g ( x )( 1 一x ) 2 竺 y 1 时，有 m v + ( m - 1 ) x v l 螋 b x v 。( 矿。+ x v ”) 一6 v 一b 丛! 二至2 ( ! n o - x ) a k ( m + n + 1 ) 一a ( k s v + m k + 竹+ 1 ) a m k 因此 了r n v 而+ ( m 可- 1 ) 万x w + 孤万未磊而( 去+ 一1 b a m k ) ( 1 一x ) 6 并矿。( 矿。+ )d ( 上删+ ，”k + n + 1 ) “ 结合护r 一1 ( z ，w ；一z ，面) 的表达式可知，必存在正常数“使下式成立： ，坛，i ) - c o - x ) c ， d z ) 印一口i z i z ) + ( 1 一z ) r 十竺 所以 t r l v 。) f lz r 一( z ，w , 一z ，；) 润v ( 。) f 1 2c ( 1 - x ) 【( 1 一日) ( n - a lz n + ( 1 一口lz 附 + 塑二! 幽! 啦! ( 1 一a iz 1 2 ) 于是由定理5 的假设可得 一一 s u p 洲v ( ”，) ，i 2t - l ( z ，w ；z ，w ) ) 佃 据定叉2 可知tf 为d 上的b l o c h 函数，定理证毕b 例当口：6 ：1 ，k = 1 时，d 为m + n 维n n n b 。+ 。，此时= 芒平皋，且 ( 1 一x ) ( 1 一lz 1 2 ) ( 竹一1z 1 2 ) + ( 1 一iz i2 ) + 堑! 二1 紫】 = ( 1 一iz 1 2 一j w l 2 ) 【1 + ( n iz 1 2 ) + 量! 二1 i 铲 因此，当定理5 的条件满足时，必有 s u p v h 。) 厂l2 ( 1 一iz l2 一1 w 1 2 ) 】 栅 巩肿 或 盟，黼型” s 。u 。p ， i v ”( 1 - 一1 w | 2 ) 2 】 懈 由文 1 8 】知，f 是复超球吃+ 。上的b l o c h 函数，这与文献 1 8 】， 2 3 】的结果保持一致。 弘3 关于d 的b l o c h 函数的一个必要条件 任惹s = ( 毛，占2 ) c 州。，s i c ”，s 2 c “，令 哆cz，w，=。一su。p。st(iz!；ji：w：)：si c z ，谚( z ，w ) = 上l ( 2 7 ) o m 一”f ，w ；z ， f 由( 1 1 6 ) 得 l j s r ( z ，w ；一z ，动7 = s ( d t ( o ，w m 0 瓦) 7 ) 2 若记 r w n y o = j 考主l 其中 墨= a ( k v z + 砌+ 即+ 1 ) ，( 川，乃= b x p r v “z + 矿。，( 川 结合( 1 1 5 ) ，可得 s t ( z ，w ；z ，w ) s = 毛( ，正，) s ：+ 毛( ：正：) s ： 十3 2 ( i ，2 2 五l ，；2 ) s ：+ 占i ( ，1 2 正j ：2 ) j ：+ s 2 ( 了2 2 疋，三2 ) s ：( 2 8 ) 下面我们分别估计( 2 8 ) 中右边的五个式子： s 1 ( t ，l l 正。h ：) = d ( 1 一a iz i2 ) 。1 ( k x v 。+ k m + n + 1 ) sj q 或j ： q q ，+ ( 1 一a lz 1 2 ) 。a g 。z ，s i z 。z s ：马z 1 2 is 1 2一 所以 s ；( j l l t l o 1 1 ) j ：) 口( 1 一日lz 1 2 ) “( k x v + k m + ，z + 1 ) 1 q1 2 + ( 1 一日iz l2 ) d iz i2 l 蜀l2 】 = a o 一日iz 1 2 ) 2 ( k x v + k m + h + 1 ) is 、1 2 ( 2 9 ) 蹦厶疋历i = 采老竿 务而7 妇( 6 v i _ + y 产，) 可( 记) i 由于z 。f 。：= = ( 1 一d iz 1 2 ) 一r 矛( 孑_ w ) 日，于是有 水如呖i = 器 篙每疗z w ww w z _ s i 砒z w w z s - ：_ i s 石器 鼎f z w _ 2 + 矿+ fz w | 2 l s ，f 2 一( 1 一口iz 1 2 ) 2 + 1 ( 1 一n lz 1 2 ) i i 州1i 1 十i o1w l1j 1i 1 因为 以如疋瓦) i = 石= 专芋 斋s ：日( 6 v i w 。+ 矿产，) 虿( 记) i =蒜篙象姒而c而)h+vszhihvl i c 两 ( ( z fz f 3 ) 1 + 。l ( c l iz 2 ) 4 2 、1 1 、 l ”7 ，3 所以 ：_ ( x v ”坟w z s 一( 1 一以lz 阿+ 一”2 以厶t 瓦) i 匿蒜 又疋= 正，故有 。：( j ，：毛巧) i + s i ( ，。：疋巧) i = 2 r e ( s ：( j ：疋一j i 2 ) 一s 1 ) 2 15 ：( ，：瓦巧) i 蒜( “w + m 一h i( 2 1 1 ) n f s 2 w w s ： - - 1 w 】2 lj 21 2 ，所以 s 2 h ( b 。v ”w ：w + y ，m ) 日s ： 乓| 黑s 2 h h ( w w ) h h s 2 + y s 2 h h s 2 f 祈l 矿祈屯 w 瓦箫(xv”删sa ：1 2 一 + r 1 _ ( 1 一lz 12 ) 综合( 29 ) 至( 2 1 2 ) ，我们有 s t ( z ，w ；z ，w ) s 1 a ( k x 丽v + k m + n + 1 ) 旧卜拦潦( x v ”删卯旧1 2 ( 2 1 2 ) + 蒜( x v m 小小旧l + 淼( w 。m z 一 ( 2 1 3 ) 又对任意( z ，w ) d 和s c 有 及 0 x 1 ，上土 1 一x ( 1 一x ) 2 lz 1 2 1 ，口lz 峰拓，! - is 1 2 ， s 2 1 2 - 1s 1 2 再注意到2 2 节中y 。，v “的估计可知，存在一适当的正常数c 。( 注：拳文中c j ( j ) 均 为适- 3 的正常数，下面不再说明) ，使对( 2 1 3 ) 有如下估计 s t ( z ，w ；z ，w ) s c 0 ( 1 一口lz 2 ) 2 ( 1措i 矿+ 南，t ， 口z 1 2 ) kr 1 ( 1 一口iz