（信号与信息处理专业论文）基于子空间的盲辨识和盲均衡算法.pdfVIP

摘要 本文主要介绍了基于二阶统计量( s o s ) 的数字通信系统的盲辨识和盲均衡。 通过对子空间的分析，分别讨论了基于子空间的单输入多输出( s l m o ) 和多输入 多输出( m m o ) 系统的盲辨识和盲均衡算法。 本文首先介绍了s i m o 系统的子空间算法。这一算法通过单输出的过采样或者 多输出的采样，能够仅仅利用输出的s o s 信息辨识出系统传输函数。这就为基于 s o s 的盲辨识和盲均衡提供了重要的基础，并且使得s o s 算法成为这一领域的主流 算法。 本文将侧重点放在m i m o 系统的盲信道辨识和盲均衡算法研究上。本文中引入 了有理子空间的理论尤其是最小多项式基的概念和性质，不仅能很好地解释s i m o 系统的子空间算法，而且为m i m o 系统盲辨识和盲均衡提供重要的理论依据。 本文最后利用有理子空间的理论，将s i m o 系统的子空问算法拓展n m i m o 系 统，从而得到一个m i m o 系统的盲辨识和盲均衡算法。这一算法需要引入盲分离的 概念及相关的算法。 关键词：二阶统计量子空间盲辨识最小多项式基盲分离 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fb l i n di d e n t i f i c a t i o na n db l i n de q u a l i z a t i o no fd j g i t a l c o m m u n i c a t i o ns y s t e m sb a s e do nt h es e c o n d - o r d e rs t a t i s t i c s ( s o s ) a r ea d d r e s s e d b y a m a y z m g t h ec o r r e s p o n d i n g m e t h o d sa r eo b t a i n e d f i r s t l y , t h i sp a p e rd e s c r i b e st h cs u b s p a c cm e t h o do fs i n g l e - i n p u tm u l t i p l e - o u t p u t ( s d o ) s y s t e m s t h i sm e t h o dc a ni d e n t i f yt h et r a n s f e rf u n c t i o no f t h es y s t e mo n l y u s i n gs o s b ys a m p l i n gm u l t i p l eo u t p u t so ro v c r s a m p l i n g as i n # e o u t p u t i ta p p e a r sa s am a j o rb r e a k t h r o u g hf o ra l l o w i n gt h eb l i n di d e n t i f i c a t i o na n db l i n de q u a l i z a t i o no n l y u s i n gs o s ，a n d s ot h cm c t h o d sb a s e do ns o sb e c o m et h e i m p o r t a n t m e t h o d s m u l t i p l e - i n p u tm u l t i p l e - o u t p u t ( m 讧0 ) s y s t e m sa r em a i n l ys t u d i e dh e r e ，b e c a u s e m i m o s y s t e m sa r em o l el i k e l yt ob ea p p l i e d i nt h i sp a p t h et h e o r i e so fr a t i o n a l s u b s p a c ca n dm i n i m a lp o l y n o m i a lb a s i s ( m p b ) a r ci n t r o d u c e d t h c s et h e o r i e sc a l ln o t o n l ye x p l a i ns u b s p a c em e t h o do fs i m os y s t e m sb u ta l s oo f f e ra ni m p o r t a n ts u p p o r t t o t h eb l i n di d e n t i f i c a t i o na n db l i n d e q u a l i z a t i o no f m i m o 母，s t e m s f i n a l l y , t h es u b s p a e em e t h o do fs i m os y s t e m si se x t e n d e dt om i m os y s t e m s a m c t h o c li so b t a i n e db y u t i l i z i n gt h et h e o r i e so f r a t i o n a ls u b s p a c e n o t et h a tt h i sm e t h o d i sn o ts i m p l ee x t e n s i o nb e c a u s ei tn e e d st oi n t r o d u c et h cc o n c e p ta n dt e e l m i q u e so f ：b ! i n ds c i m r a t i o n k e y w o r d ：s o ss u b s p a c e b f i n di d e n t i f i c a t i o nm p bb l i n d s e p a r a t i o n 独创性( 或创新性) 性声明 y 6 9 5 7 6 l 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包括为获得西安电子科技大学或其 它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：鱼羞堡日期7 - 0 0 s 生! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文：学校可以公布论文豹全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文 在解密后遵守此规定) 本人签名： 导师签名： 墨盍莹 马木硝 日期：2 。j 一z 。 日期；1 移a i ，o 仞 第一章绪论 第一章绪论 1 1 论文产生的背景及意义 在数字通信系统中，一个十分重要的问题就是如何设计最佳接收机以更好地 抵消输入信号通过未知传输系统后引起的信道失真和附加的高斯噪声。图1 1 给出 了个通用的数字通信系统模型， v ( | ) 图1 - 1 数字通信系统模型 其中s ( 七) 表示系统的输入字符序列，系统传输函数 忙) 表示系统输入与输出之间 的基带信道，这一基带信道反映了系统传输信道，滤波，调制，解调等的因素的 合成作用效果。v ( 曲表示输出端的观测噪声，y ( 七) 表示输出端的观测输出。 在设计数字通信系统时，一个主要任务就是设计接收机g ( k 1 ，以便能够准确 地从观测输出y ( 曲恢复出系统输入序列5 ( n 。如果在基带信道 ( ”是理想信道并 且可预知的前提下，只有设计一个匹配滤波器，就能够恢复出系统输入序列s ( k 1 。 然而实际中的大多数系统都存在多径效应，多径效应的直接表现形式就是引起码 间干扰( i s i ) 。i s i 会造成一定的甚至十分严重的信道失真，所以必须进行相应的 补偿，不然就会导致接收机的输出误码率提高。这种用于补偿i s i 的补偿器也被称 之为均衡器。 根据所采用准则的不同，均衡器可分为主要的两类。一类是基于最大似然 ( m l ) 估计准贝l j ，在高斯环境下能够提供一个最优解。另一类是基于线性最小均 方误差( m m s e ) 估计准则，当仅仅输出信号和系统传输函数已知时能够提供一 个最优解，本文中将采用m m s e 均衡器。m m s e 均衡器的前提条件是，信道的传 输函数即信道冲击响应或信道频率响应必须是可预知的。因此在设计一个m m s e 均衡器时，通常的做法是在通信的开始阶段加入一个训练期。在训练期，由输入 端发送一组伪随机码，这组伪随机码在接收端是己知的，接收端利用已知的伪随 机码作为参考信号对均衡器进行训练，从而达到均衡器的收敛。这样做法的必然 结果就是降低了数字通信系统的效率。而且在某些情况，例如多点通信网应用中， 第一章绪论 式基的概念和性质，实现了m i m o 系统基于子空间的盲辨识和盲均衡。 1 2 论文的组织结构 本文主要论述了基于子空间的s i m o 系统和m i m o 系统盲信道辨识和盲均衡 算法的研究。论文的组织结构如下： 第二章详细地介绍了s l m o 系统的数学模型的建立，以及s i m o 系统的基于 子空间的盲信道辨识和盲均衡算法，并给出了算法的实验仿真结果。 第三章详细地介绍了s i m o 系统的予空间算法的性能分析，主要进行了相关 系数估计的渐进性、映射的可微性及估计的渐进方差三个方面的性能分析及相关 的证明。 第四章详细地介绍了有理子空间的相关理论，其中重点介绍了最小多项式基 的概念及其重要的性质。这些理论不仅可以对s i m o 系统的子空问算法进行了解 释，而且还为m i m o 系统的盲信道辨识和盲均衡提供了十分重要的理论依据。 第五章详细地介绍了m i m o 系统的数学模型的建立，通过引入最小多项式基 及盲分离两个重要的概念和相应的性质，得到了m i m o 系统的盲信道辨识和盲均 衡算法，最后给出了算法的实验仿真结果。 4 基于子空间的盲辨识和盲均衡算法 第二章s i m o 系统的子空间算法 子空间算法是s o s 算法中一个十分典型的算法，在这种方法了所提出的信号 子空间和噪声子空间的概念及它们之间的正交关系，不仅在盲辨识和盲均衡中具 有重要的意义，而且被应用到许多领域中。本文中主要介绍s i m o 系统的子空间 算法，这一算法最早被m o u l i n e se ta l | “l 提出。在这里先给出一个重要的假设：系 统传输函数h ( n ) 具有有限的支撑，即h ( n ) 是f i r 形式的。这一假设条件将对后面 的章节一直有效，因此后面就不再赘述。 2 1s i m o 系统的数学模型 这里所说的s i m o 系统不一定是多输出的系统，同样也可以是单输出的系统。 在后面将对于这两种情况分别建立数学模型，并将说明这两种情况的模型可以统 一为具有多个等效信道的s i m o 系统模型。因此就其数学模型所表示的意义而言， 这两种情况仍可以归结为s i m o 系统。在s i m o 系统中，系统输入序列s “) 通过 多径信道被传输到接收端。考虑到信道的f i r 特性，接收端的传感器得到的观测 输出y ( 玎) 可以表示为【”】： y ( 甩) = h ( k ) s ( n - k ) + v ( n )( 2 - 1 ) t - 0 其中v 0 ) 表示接收端的观测噪声，矗扣) 表示系统传输函数。从上式可以得到系统 的有理传输函数可以表示为：、 ( z ) 皇z ( 七) z 4( 2 - 2 ) i ；0 进行盲辨识和盲均衡可以利用的只有y ( 月) ，因此需要对j ，( 一) 进行采样。根据 不同的情况需要采用不同的采样方式：对于多传感器接收端，可以进行常规采样； 对于单传感器接收端，只能进行分数采样；当然，对于多传感器接收端同样可以 进行分数采样。虽然采样方式可能不同，但是经过采样建立的数学模型是一致的。 本章中的算法推导是以一系列假设条件为前提的。这里将给出最基本的假设 条件，其他只和具体问题相关的假设条件将在相应的部分给出。 h 1 ) 系统的输入j ( ，1 ) 是独立同分布的循环随机变量序列，并且有 ( s ( h ) ) = 0 ，占( s ( 一) s ( 州= 霹占( s ( 行) 2 ) = o ，e ( ) 1 4 ) o 。( 2 3 ) h 2 ) 系统的观测噪声v ( 疗) 是相互独立并与输入相独立的高斯白嗓声，并且有 第二章s i m o 系统的子空间算法 e ( v ( ) ) = 0 ，e ( v ( 行) v ( 雕) ) = 盯2 ，占( v ( 一) 2 ) = 0 。 ( 2 - 4 ) 2 1 1 单传感器情况 当系统的接收端是单传感器时，只进行常规采样是不行的。因为数字通信系 统是非最小相位系统，如果只进行常规采样，那么建立的数学模型就是一个欠定 系统模型( 从后面的推导可知) 。因此这时可以考虑进行分数采样，假定利用采样 因子在字符间隔丁对观测输出y ( ，1 ) 进行分数采样，那么可以p = t a 个采样序 歹l j y , ( n ) = y ( n + i a + a o ) ，0 i p - i 。采样点n + i a + a o 的位置可以根据具体情况 适当地调整。由式( 2 一1 ) 可得： 盯 m ( ) = h ( k + i a + a o ) j ( 刀一七) + 1 ，( 玎+ i + 。) f = 曩( 七) s 0 一l 】 ) + v i ( 一) _ 曲 ( 2 - 5 ) 将m ( 行) 的连续个采样放在一起，即r 皇( 疗) ，弗0 一+ 1 ) ) 7 ，根据上 式可以得到下面的关系式：， i = s + k ( 2 - 6 ) 其中k 皇“( 玎) ，v j ( 玎一+ 1 ) 广，s - - * ( s ( 九) ，s o n m + 1 ) ) 7 ，矩阵是一个 n x ( + m ) 矩阵，定义为： 冗皇 趣( 0 ) ( m ) 0 0 0 嚏( o ) 魄( m ) 0 0 ； i 0 0 鱼( o ) ( m ) ( 2 - 7 ) 从上式可以看出，x 寸y ( n ) 进行常规采样得到的数学模型是( + 肼) 的线性 方程。这个方程是一个欠定方程，不能得到线性解析解。将所有采样序列的采样r ， 蚓s 蚓 ， 2 1 2 多传感器情况 当系统的接收端是由k 个传感器组成的阵列时，每个传感器的观测输出弗( f ) 基于子空间的盲辨识和盲均衡算法 是5 ( 九) 通过不同的传输信道后叠加形成的，由式( 2 - 1 ) 可弛, z ，1 0 m ( r ) ，1 i k 的表 m ( f ) = ( | | ) s o 一_ 】 ) + v f ( f )( 2 - 9 ) 对咒( f ) 进行常规采样可以得到采样序列* ( 以) = 咒( t + a 。) ，1 f k 。采样点n + a 。 咒( 以) = 囊( 露+ 。) s ( 聆一i ) + v i ( 疗+ 。) = 吩( 七) s ( 以一七) + h ( 疗)( 2 - 1 0 ) 将k 个传感器的采样咒( 玎) 放在一起，可以得到下面的式子： ：，) = 二；：，乏 ：) ) i 二l ：， 。：曼) + 二j ：) c 2 ，t ，l 儿j ( 疗) 2 【k j ( 。) k - ( 。) k 一_ m ) j 【。( 一i m ) j + 1 一j ( 拧) j o 1 d y ( 一) 皇f 。蜘 玎 ，y ( 玎) 皇f 5 h ，。( ，) 皇f j ，。，m ( 2 - 1 2 ) y ( ，1 ) 皇i ； l ，y ( 玎) 皇| i i ， ( ，) 皇i ； i ，o ，m ( ) i 收一。( 玎) ji k 一( 一) j l k 一，( ，) j 则式( 2 - 1 1 ) 可以表示为： y ( 刀) = ( 丙( 咄， ) ) ( s ( 行) ，s ( 万一m ) ) r + 矿( 一)( 2 1 3 ) 将个连续的采样向量y ( 行) 放在一起，即珞皇( y ( 一) 7 ，y ( 疗一+ 1 ) 7 ) 7 ， 2 l t u s + v ( 2 - 1 4 ) 其中y 皇( y ( 玎) 7 ，y ( n 一+ 1 ) 7 ) 7 ，s 皇( s ( 一) ，s ( 珂一m 一+ 1 ) ) 7 ，矩阵7 _ o 是 一个删( + m ) 矩阵，定义为： f 厅( o ) ( 吖) 0 01 皇l ? 9 ：一哆) ? ：? f ( 2 - 1 5 ) l 0 0 h ( o ) ) j 从上式可以看出，这是一个j e ( m + ) 的方程，因此只要肼( m + ) 时，方 第二章s i m o 系统的子空间算法 式但1 4 ) 建立了上= k 个信道的s i m o 系统的数学模型，在这里要说明的式前 面的式( 2 8 ) 所建立的单传感器尸次分数采样的数学模型与式( 2 1 4 ) 是完全一致 的。分别做如下的变换： r o z ) = ( 0 一，) ，蚱一。o 一) ) t ，0 l n - 1 矿( 万一j ) = ( v 。( 万一，) ，咋。( 订一z ) ) t o i 0 - 2 i = o ，m + n l 五= d 2 ，f = m + n ，一，l 一1 ( 2 - 1 9 1 将凡，知+ 。对应的特征向量心组成- - - ( ，+ 。) ，厶+ ，彳。对应的特 征向量坼组成= ( + 。，一。) ，则相关矩阵7 k 可以表示下面的关系式： r = u s d i a g ( 矗，五。) 雌+ 盯q 秽( 2 - 2 0 ) 的列展开空间被称之为信号子空间，【0 的列展开空间被称之为噪声子空 间。由特征向量之问的正交关系可知信号子空间和噪声子空间互为正交补空间。 从式( 2 - 1 8 ) 可以看出传输矩阵f 的列展开空间同样是信号子空间，因此7 岛的列 向量与以的列向量之间存在正交关系： w = 0 ( 2 - 2 1 ) 上面的正交关系式是进行盲辨识的重要基础，而且因为上式是一个线性方程，使 得算法的复杂度可能会大大降低。接下来我们就以这个关系式为基础，推导盲辨 识算法。 2 2 2 基于噪声子空间的盲辨识 在推导盲辨识算法之前，下面先给出一个重要的定理i ”1 。 定理2 ：假设满足条件肘和翰n k ( 砥一。) = 吖+ 一1 。令心表示和 k 结构相同 的l n x ( m + n ) 维传输矩阵，对应的传输向量。那么两个命题是等价的： 第二章s i m o 系统的子空问算法 9 1 ) 矩阵噶是非零的，并- v ir a n g e ( 心) 亡r a n g e ( 7 - ( n ) 2 ) 矩阵和是成比例的，即= 口心，其中口0 是一个常数因子。 为了文章的可读性，定理的证明在附录a 中给出。上面的定理表明噪声予空间所 确定的传输矩阵7 _ 0 或者相对应的传输向量h 在相差一个常数因子的条件下是唯一 的。因此这一定理也被称之为辨识定理。 令g f ，0 i 蔓l n m 一一l 表示u v 的列向量，则式( 2 2 1 ) 中给出的正交关系可 以等价地写为： g j ”7 - f = o ，o f 三 r 一一 ，一】( 2 - 2 2 ) 利用线件昂小均方误羊f m m s e ) t l i 计准则，审义一渗型代价雨数。 g ( 而) 皇8 掣 ( 2 - 2 3 ) i = o 从上式可知只有于f 才能使得这个二次型代价函数最小。 因为传输矩阵7 - 0 是b l o c k - t o e p l i t z 矩阵，所以只要估计出传输向量h ，就可以 利用b l o c k t o e p l i t z 结构通过填充系数得到于岛的估计。下面的部分主要研究如何利 用b l o c k - t o e p l i t z 矩阵的结构的特殊性将代价函数鼋( 1 ) 转换为只包含h 的形式，这 样做的好处是直接通过求解就可以得到传输向量h 的估计。 定理3 ：令= ( # “，“17 ，0 - i n 一1 表示个三1 维随机向量，组成上1 维 向量= ( ，一) 。矩阵+ 是三( 膨+ 1 ) ( m + ) 维b l o c k - t o e p l i t z 矩阵： 。 x n i 0 - 0 x 0 。，x 一l 0 0 0 ( 2 - 2 4 ) 则可以得到下面的关系式； x 7 于f = h r 咒，+ ( 2 2 5 ) 可以通过直接验证证明上面的定理，因此在这里就不给出证明过程了。利用 定理3 给出的关系，式( 2 2 3 ) 中的范数可以表示为： l 阿0 2 = g ；h 几几h g i = ”鼠鲈 ( 2 - 2 6 ) 其中g 是由g 的元素构造的工+ 1 ) ( 肘十) 矩阵，定理3 中给出了构造方法。 因此代价函数可以表示为： g ( 而) = 厅”缈a - 鳞鲈( 2 - 2 7 ) o o ；址 1 0 基于子空间的盲辨识和盲均衡算法 为了避免零向量这个无意义解，通常要加入一定的约束条件。本文的约束条 件是恒模约束，即l i h l l = 1 。在实际中只能得到观测输出的相关矩阵7 的采样估计： 岛2 d 而蕃( 7 ) 蟛( 7 ) ( 2 - 2 8 ) 对7 皂进行特征值分解可以得到噪声子空间向量估计童，利用g 可以构造出盆。考 虑到约束条件，实际的代价函数可以表示为： f 斗够q ：l n - 窆m 一e 留 s 屯1 1 i j = 1 ( 2 - 2 9 ) 如果磊是g 的有效估计，那么只有当f = a h 时，( 2 - 2 9 ) 中的代价函数才是最小 的。另外可以通过计算得知，恒模约束解就是矩阵q 的最小特征值所对应的特征 向量。下面列出了算法的步骤： ( 1 ) 利用式( 2 2 8 ) ，得到相关矩阵估计7 k ； ( 2 ) 对禽进行特征值分解，得到噪声子空间向量估计龟； ( 3 ) 利用定理3 给出的构造方法构造出鸯，并通过式( 2 - 2 7 ) 的定义计算出q ： ( 4 ) 对q 进行特征值分解，最小特征值对应的向量就是传输向量估计 。 2 3s i m o 系统的盲均衡 在前一部分已经通过盲辨识程序得到了传输向量再，因此也就得到了传输矩阵 7 _ 0 的估计。这时只要利用式( 2 1 4 ) 的逆过程就可以实现系统的均衡，但是直接进 行“。的矩阵求逆需要一定的运算时间，下面给出一个利用辨识程序的中间结果直 接得到的方法。 系统的均衡器可以表示为p = 于gt 由m o o r e - p e n r o s e 逆的性质可得： g = 弼= ( 硝) 1 碟( 2 - 3 0 ) 由式( 2 2 0 ) 中 k 的特征值分解，可以得到7 - 岛的奇异值分解式： = 虮d 豫( ( 矗一仃2 ) ”2 ，( 乙。一盯2 ) “2 ) 形“ ( 2 3 1 ) 上式中的和 与式( 2 - 2 0 ) 中的对应元素是相同的，将这一分解代入式( 2 - 3 0 ) 中 可以得到： 占= 黝昭( “一仃2 ) 。”，( k + n - i - - 0 2 ) “弦 ( 2 3 2 ) 第二章s i m o 系统的子空间算法 将式( 2 - 3 1 ) 和式( 2 3 2 ) 联合起来就可以得到： 占= 硝纰( ( 厶) ，( 九+ n - 1 - - 0 - 2 ) 。) 酵( 2 - 3 3 ) 上式中的每个元素都可以在辨识程序中得到，因此通过上式得到的盲均衡器可以 节省很多的运算时间。 2 4 数字实验仿真结果 在数字实验仿真中，s i m o 系统的输入是相互独立的4 q a m 信号，输出端的观 测噪声是高斯白噪声，信噪比定义为s n r - - l l h l l 2 盯2 ，数据窗的长度为n = 1 0 ，系 体传输函特的最人? t ，勺w d 假设信谫为蝇衰变停逆，f 口信道传输再墼闸的 关系为 嚏( z ) - - ( f ) e 鹏z “，2 k m 时，o ) = 0 。令孟= p ( o ) ，( m ) ) 表示 r = ( r ( o ) ，r ( m ) ) 的估计，则传输向量估计由且唯一确定，将这一关系记做 再( ) 。下面将从三个方面来分析五( _ ) ：应的渐进性；后( ) 对胄的可微性；的渐进 分布和渐进方差。 3 2 1 相关系数估计的渐进性 假设采样数目是r ，则相关系数r ( 疗) 可以通过下面的估计式得到： f ( 玎) = 而1 备t - n y ( m 抄( 七) “，。九m ( 3 - 9 ) 得到所有的( n ) 后，可以通过下面的结构得到口g 相关矩阵奄的估计： = 声( o ) ! f ) 7 ； o p ( 肘) f ( m ) r ( 3 1 0 )、j 。：乡：。：叩：印 竺茎王王室塑堕堕塑望! 塑堕望塑簦鲨一 这个估计式与通常的估计是有所差别的，它强调了冗。的b l o c k t o e p l i t z 结构：只有 对角元素及 ，个副对角元素是非零的。下面的定理f ”】给出了相关系数的渐进性。 定理1 ：在假设h 1 ) 和h 2 ) 成立的前提下，随机变量 f ( 艺( m ) 一( m ) ) ；o 肌- m ；i 口，b s 可 是联合渐进正态的，并且均值为零，方差为： z 。甜( 卅，行) = ，o ( 刀? + f ，矗( 疗一f ) + k ( 卅+ f ) ，b ( 疗+ f ) 十 ( 小，一) k a 。d ( m ，玎) 皇z c u m ( y o ( m ) ，y b ( 0 ) ，儿( 行+ r ) 儿( r ) ) ( 3 - 1 1 ) 其中c 眦( ，坼) 表示随机变量( ，x k ) 的四阶累积量，由四阶累积量的性质 可对r 删( m ，心) 进行化简， c u m ( 儿( 肼) ，见( o ) ，咒( 拧+ f ) 均( r ) ) = r h o ( t + m ) h 。( t ) h 。( t + n + r ) h a ( t + r ) ( 3 - 1 2 ) 其中f 皇c m ( v ( ”) ，v ( 一) ，v ( n ) ，v 0 ) ) ，代入式( 3 1 1 ) 可得： l r a b c d ( m ，打) = r 吃p + ) 吃( f 溉( f 十玎+ r ) ( f + r ) = r 障啪州啪) ) ( 嘶) 啪) = r ( ( 州) 一j ( 小) 盯2 k ) ( ( n ) 一j 0 ) a 2 岛) ( 3 - 1 3 ) 3 2 2 映射的可微性 在恒模约束下，当，= 扎是式( 3 - 7 ) 中的代价函数厂“o u f 最，j 、，其中五。是我 的最小的特征值。因此可得： h n = 乱“( 3 1 4 ) 其中氐是一个常数因子。代表了霸的模值。 吼= 悯f 五( 商 瓦( 赢厂+ 盯2 ， c s 耶， t r ( 瓦( 矗) 瓦( ) “) = n ( 3 - 1 6 ) 根据上式可以得到0 础的一个可能的估计，即可以得到瓯的表示形式： 第三章子空间算法的渐进性分析 1 7 耻( 赢刮 r 子j ：三二( 掣，s ：。一( + m ) ( 3 一1 7 ) 其中磊是噪声方差的估计。方程( 3 1 4 ) 和( 3 1 7 ) 给出了霸和盖之间的映射关系， 即h n = 霸( i ( o ) ，；( m ) ) ，简写为瓦。由式( 3 1 4 ) 可以看出，露可以分解为两个 映射的乘积： 虚。：( f ( o ) ，i ( m ) ) 一西。= 西，( i ( o ) ，一，；( 朋) )( 3 - 1 8 ) u u ：p ( o ) ，f ( m ) ) 啼“= “p ( o ) ，( m ) )( 3 - 1 9 ) 下面的定理给出了民和靠的一阶泰勒展开式，关于瓯和礼的微分的详细内 容在附录c 中给出。 定理2 ：存在月的一个领域n ，使z - 。一。f j ，* 礅的，并且蟊和礼的 一阶泰勒展开分别为： 瓯( r + 占r ) ：a n ( r ) + 兰t r ( 虚( _ | ) r 8 r ( 七) ) + 。( 西( 七) ) ( 3 - 2 0 ) k - 0 、 珥( 月+ 艿月) ：羁( 砂 兰t r ( 她( 女) 7 毋( 七) ) + 。( 西( 七) ) ( 3 - 2 1 ) 其中昂( 七) i o 菩：肘和玩( 七) ，o s 七m ，l o( 3 - 2 3 ) q = ( “( 礴+ 占r ) ) r 2 南( 带( ) + 硝( 繇q ) n n + n n z n ( g q ) 石( ) ) ( 3 - 2 4 ) 其中和( 尘。) 是州州矩阵n 。和的第( ，七) 个g g 块，q 是第f 个元素为 基于子空间的盲辨识和盲均衡算法 1 其他元素为0 的q ( m + 1 1 1 向量a 3 2 3 传输向量估计的渐进方差 根据前面的分析可以得到吼的统计量是服从渐进正态分布的。下面的定理给 出了“的渐进方差。 定理3 ：信道向量估计五的序列服从均值为h ，方差为c ( ；盯2 ) 渐进正态分布 打( 氟一 ) t ( o ，c ( 如2 ) ) 其中渐进方差的表示式为： g ( n ；盯2 ) ，2 2 薹t r ( v ，7 k ( r ) 甲，碌( 一r ) ) 十r 竽 酬i i + 赤( ， 霸( r ) = e ( 瓦( + r ) 瑙( 竹) ) ( 3 - 2 5 ) t i 面来推导g ( h ；0 2 ) 的具体形式。7 ( f ) 可以表示为： ( r ) = 兀( ) ，( r ) 矗( ) ”+ 盯2 k ( r )( 3 - 2 6 ) ，( r ) = ( 厶( r ) ) ，。+ 。和足( r ) = ( ( r ) ) 。 ：州是两个置换矩阵分别定义为： 厶( f ) = 6 ( 口一b - r ) ( r z 。+ m ，( f ) = 0 ) k ( f ) = 6 ( a - b - q r ) ( f n ，k ( f ) = o )( 3 - 2 7 ) 同时根据前面的分析可知： 1 7 。( | 】 ) = 盯2 n 。k ( r ) 硝( 矗) ，( r ) 硝( ) + = j( 3 - 2 8 ) 因此将式( 3 之7 ) 和式( 3 - 2 6 ) 代入式( 3 _ 2 5 ) ，同时利用上式的结果可得： c n ( h ；t 7 2 ) ，= 彳( ) ，+ 口2 口( ) ，+ 盯d ( ) ， ( 3 - 2 9 ) 下面给出了a 、b 和d 的表示式： 帆皇睁丽2 籼t r ( 孙) 卟) 带砷) 卟榔) 卜( ，- 3 0 ) 第三章子空间算法的渐进性分析 1 9 峨皇丽4 h i h j1 若t r ( 瓦( ) m ) 带( ) k ( 一r ) ) “t r ( 兀。兀( 阱q ) ，( r ) 7 ( 姊e ，) 。足( 一r ) ) s + 而杀4 蔷t r ( 瓦( ) j ( r ) ( 吩臂( 蝶e ，) + _ 带( 蝶q ) ) n “芷( 一f ) ) ( 3 - 3 1 ) 砌垆冰一等) 掣+ ( 卉 2 n ( n ，k ( r ) r l u k ( - r ) ，卜 一备( n ( v ( 懈( 厅) + 带( 姊巳) v ( 训 喝t r n 。x ( r ) 带( 厅) + 带( 繇q ) n 。x ( - r ) + 叫( 带( ) + 带( 鲸q ) n 。+ n 。瓦( 绒q ) 兀( | b ) + ) 筮( r ) 带( ) + 带( g e , ) n ，k ( - r ) ) ( 3 - 3 2 ) 本章主要研究了子空间算法的渐进性，通过盖的渐进性，再( 1 对r 的可微性及 i ；的渐进分布分析了传输向量估计_ i ；与相关系数盖之间的映射关系而( ) ，并给出了 i i 的渐进方差。通过渐进性分析可以看出子空间算法的解是传输向量的一致有效估 计，并随着样本长度的增加趋向于真实解。 基于子空间的盲辨识和盲均衡算法 第四章有理子空间的理论 在本文中主要介绍有理子空间【7 叫及其最小多项式基( m p b ) 的概念和性质。 引入这一理论的目的是为了进行多输入多输出( m i m o ) 系统的盲辨识和盲均衡， 当然它同样可以很好地解释s i m o 系统的子空间算法。 4 1 有理子空间的理论 4 1 1 有理子空间的相关概念 在线性系统理论中，元素是多项式的矩阵被称之为多项式矩阵。把所有复数域 c 上的多项式函数集合记做c ( = ) 。令厂( z ) = ( z ) ，( z ) ) ，z ( z ) c 0 ) 表示 一个q 1 多项式向量，则所有厂( z ) 的集合c 9 ( z ) 是c ( z ) 的一个g 维向量空间。令 f ( z ) = ( 正( z ) ，矗( z ) ) 表示q p 多项式矩阵，若s 是f ( z ) 的列空问( 也是c 9 ( z ) 的线性子空问) ，则s 被称之为有理子空间。 f ( z 1 的次数定义为它的所有元素次数的最大值： d e g ( f ) = m a x b 匈d e g ( f ，) f ( z ) 的第，个指数定义为列向量的次数： n j = d e g ( f j ) ，1g j p f ( z ) 的序数定义为所有的指数的求和： n = o r d ( f ) = 仇。 ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) 如果g p 多项式矩阵f 0 ) 是s 的一个多项式基，并且序数在s 所有多项式中 最小，则f ( z ) 被称之为s 一个最小多项式基( m p b ) 。 4 1 2 最小多项式基的性质 多项式矩阵f ( z ) 可以做如下分解： f ( z ) = f o d i a g ( z ，z 一1 + 三( 二) ( ) 其中【f i 。表示主系数矩阵，( z l 表示余项，并有砒。l ( z ) i n d 。f ( = ) 。根据这一 第四章有理子空间的理论 2 1 分解，可以得到如f 的两个性质： 性质1 ：f ( z ) 是列减少的，当且仅当【f 】。是非奇异的，即删咄( 【f 】。) = p 。 性质2 ：f ( z ) 是不可约的，当且仅当v ( z ) 中所有p p 矩阵块的最大公因式是l ， 或者础( ，( z ) ) = p ，v z c 。 上面的两个性质对于基于子空间的盲辨识具有十分重要的意义，因此这两个 性质常常做为假设条件提出。下面的定理给出了这两个性质和m p b 之间的关系。 定理l ：若f ( z ) 是s 的一个多项式基，相应的指数为m 鸩呜，序数为 ，= 2 。 以，那么下面的命题是等价的： 1 ) f ( z ) 是8 的一个m p b ； 2 ) f ( z ) 是不可约