（基础数学专业论文）非线性反应扩散方程的广义条件对称及其精确解.pdf

摘要 非线性现象广泛存在于物理、生物、化学、社会、经济等自然界和人类社 会领域。随着科学的发展，能够反映自然和社会现象的非线性系统越来越受到 人们的关注，因而对于非线性系统的研究也日趋深入。对于非线性问题的求解 已成为主要课题之一。 对称群方法在研究偏微分方程精确解的过程中扮演着重要的角色。在求解 精确解问题的过程之中，李点对称法是很有效的方法，但在实际问题中，有很 多问题不允许丰富的对称群，因而从李点对称出发，推广得到了许多其他求解 精确解的方法，例如：条件对称方法，广义对称方法，广义条件对称方法等 等。 本文利用广义条件对称方法研究分析了具有物理背景的非线性反应扩散方 程，并相应得到了一些精确解。 第一章介绍了一些求解偏微分方程的基本方法，重点介绍了广义条件对称 方法的基本思想。 第二章利用广义条件对称方法求解了非线性反应扩散对流方程 毗= ( d ( u ) u 1 ) z + g ( u ) 昭- t - h ( u ) 第三章利用广义条件对称方法求解了非线性扩散方程 饥= d i v ( b ( u ) l v u l 仇v u ) + a ( x ，乱) 关键词 广义条件对称，非线性反应扩散方程，决定方程，精确解 a b s tr a c t t h en o n l i n e a rp h e n o m e n aw i d e l ya p p e a ri na l m o s ta l lt h ef i e l d ss u c ha s p h y s i c s ，b i o l o g y , n a t u r e ，c h e m i s t r y , s o c i e t y , e c o n o m ya n ds oo n w i t ht h ed e - v e l o p m e n to fs c i e n c e ，m o r ea t t e n t i o nt ot h en o n l i n e a rp h e n o m e n at h a tr e f l e c t s n a t u r a lp h e n o m e n aa r et a k e n ，t h e nt h er e s e a r c h e so nt h en o n l i n e a rs y s t e m sa r e t a k i n gm o r ea n dm o r ep r o g r e s s t h ep r o b l e mo fs o l v i n gt h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o ni sb e c o m i n go n eo ft h ei m p o r t a n ta n dm a i nr e s e a r c h e s s y m m e t r ym e t h o d sp l a yak e yr o l ei nt h er e s e a r c h e so fe x a c ts o l u t i o n so fp a r - t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n l i eg r o u pa p p r o a c hi sa ne f f e c t i v em e t h o di nt h e s t u d y o fe x a c ts o l u t i o n s b u ti nf a c t ，m a n yp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sd o n ta l l o w r i c he n o u g hs y m m e t r y g r o u p s s oa st h eg e n e r a l i z a t i o no fl i eg r o u pa p p r o a c h e s ， m a n yo t h e rm e t h o d sa l eo b t a i n e d ，s u c ha s ：c o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ，g e n - e r a l i z e ds y m m e t r ym e t h o d ，g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ，e t a l n o n l i n e a rr e a c t i o ne q u a t i o n e sb a s e do np h y s i c sa l es t u d i e dw i t hg e n e r a l i z e d c o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d a sa r e s u l t ，s o m ee x a c ts o l u t i o n sa r eg i v e n i nc h a p t e r1 ，s o m em e t h o d su s e di nt h er e s e a r c ho fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sa r ei n t r o d u c e d ，e s p e c i a l l yt h eg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d i nc h a p t e r2 ，n o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o nc o n v e c t i o ne q u a t i o n ? a t = ( d ( 札) u 2 ) z + a ( u ) u 7 + h ( u ) i ss t u d i e dw i t ht h em e t h o do fg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d i nc h a p t e r3 ，n o n l i n e a rd i f f u s i o ne q u a t i o n u t = d i v ( b c u ) l v u l 仇v u ) + m ( x ，u ) i ss t u d i e dw i t ht h em e t h o do fg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d k e y w o r d s g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r y , n o n l i n e a rr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ， d e c i s i o ne q u a t i o n ，e x a c ts o l u t i o n l l 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：盥指导教师签名： 川年l 其x 码一引跳日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：橄 川年多月日 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 非线性现象广泛存在于物理、化学、生物、社会、经济等自然界和人类社 会领域。随着科学的发展，能够反映自然和社会现象的非线性系统越来越受到 人们的关注，因而对于非线性系统的研究也日趋深入。 非线性科学的研究主要有以下几方面：湍流、分形、混沌、孤立子、斑 图、拓扑动力系统、元胞自动机、复杂系统等等。非线性方程，如：非线性常 微分方程、非线性偏微分方程、差分方程等等，可以用于描述这些现象。因 而，非线性科学的研究已经成为重要的研究课题之一。 在研究非线性科学问题中，精确解的研究有着至关重要的地位。不仅因为 精确解可以准确描述自然和社会现象的渐变过程。另一方面，精确解也可提供 数值解的检验。因而各种用于求解偏微分方程精确解的方法得到了广泛的发 展。 1 2 方法简介 在非线性科学的研究过程中，有许多研究偏微分方程的精确解的方法，例 如：李点对称方法、条件对称方法、广义条件对称方法、c k 直接法、形式分 离变量法、泛函分离变量法、导数相关分离变量法、形变映射法、几何法、混 合指数法、反映射方法、达布变换法、p a i n l e v 舌截断展开法等等。以下简单介 绍其中一些方法的基本思想。 1 李点对称方法 1 9 世纪，挪威数学家s o p h i sl i e 将连续变换群的定义引入到物理和力学 中，以期发展常微分方程的积分理论，能够合理地解释一些基本问题。s o p h i s l i e 在这方面的基本结果可以认为是g a l o i s 和a b e l 的代数方程组的可解性理论 的推广与发展。自此，在数学和物理的很多问题中，l i e 的连续变换群理论得 到了广泛的应用与推广。s o p h i sl i e 首先运用微分方程的群理论构造方程的 1 第一章绪论 精确解，即研究偏微分方程的古典方法：李点对称方法或无穷小变换李群方 法【1 - 2 1 。s o p h i sl i e 利用一维热传导方程的最大变换群构造了一维热传导方程 的精确解，从而对一维热传导方程进行了对称约化。自此，李点对称方法渐渐 发展成为求解非线性偏微分方程的有力工具。 以k 阶( 尼为正整数) 偏微分方程 f ( z ，钍，警，竺) = 0 ( 1 1 ) 为例，简述李点对称方法的基本思想。 其中z = ( z l ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，z n ) 表示n 个独立变量，仳为因变量，警为u 关 z j = x i ( i = 1 ，2 ，3 ，n ) 的歹阶偏导数的坐标集合，用u 。如标记的分 量瓯羝，其怕= 1 2 2 3 ，4 ，n ，j = 1 j 2 23 ，4 ，k 。 方程( 1 1 ) 允许单参数l i e 变换群： x = x ( x ，缸；) = 戤+ 吒( 。，锃) + d ( e 2 ) u = u ( x ，u ；e ) = u + e n ( x ，u ) + d ( e 2 ) ( 1 2 ) 其中e 为无穷小参数，i = 1 ，2 ，3 ，n ，e i ( x ，u ) 、叩( z ，乱) 是关于z ，u 的两个 光滑函数。 定义1 ：单参数l i e 变换群( 1 2 ) 式的无穷小生成子： y = ，缸) 去+ 犯，乱) 瓦0 ( 1 3 ) 其中( 名，牡) ，叼( z ，让) 称为无穷小。 定义2 ：无穷小生成子( 1 3 ) 的j 次扩张： y d = y + 爱l ( z ，牡，吩) 老+ + 识珏响( z ，链，珏。，吩) 赤 其中j = 1 ，2 ，3 ，4 ，n 。 玩r h ( 。j i ) ：i 。表达式如下： 戎1 ) = d t 7 7 一( 眈引仳l 栏如= 撬。一( d i j t ) u i m 白l ( 1 4 ) i q = 1 ，2 ，礼，q = 1 ，2 ，3 ，j ，j = 2 ，3 ，n 。 西北大学硕十学位论文 d t 为关于既( i = 1 ，2 ，3 ，歹) 的全导数算子，定义为： 现= 瓦0 + 蚴面0 + + 白瓦0 i + ( 1 5 ) i ，歹，i t = 1 ，2 ，扎，z = 1 ，2 ，。 定义3 ：方程( 1 1 ) 在单参数l i e 变换群( 1 2 ) 下不变的充分必要条件： y 知f ( z ，警，。u ) i e = 0 ( 1 6 ) e 是偏微分方程( 1 1 ) 的所有解的集合，y 称为方程( 1 1 ) 的李点对称。 当( 1 6 ) 式满足f ( z ，u ，警，竺) = o 这一条件时，m ( 1 6 ) 式可以得到一 个关于u l 的多项式方程组，由乱l ( 对固定的z ) 取值的任意性可知：方程( 1 6 ) 恒 成立要求多项式方程组中每一个多项式系数必须为零。继而得到关于，叼的超 定线性偏微分方程组( 也称之为决定方程组) f 3 6 j 该超定线性偏微分方程组的 通解可确定方程( 1 1 ) 所容许的l i e 对称群。由对称群得到群不变解后，可对高 阶偏微分方程进行对称约化。一般情况下，由于决定方程为超定系统，因而可 能只有平凡零解。 定义4 ：u = 口( z ) 为方程( 1 1 ) 关于l i e 变换群( 1 2 ) 的不变解的充要条件： 1 ) = p ( z ) 是偏微分方程( 1 6 ) 的解； 2 ) u = 口( z ) 是l i e 变换群( 1 2 ) 的不变曲面，即 $ 湎阮俐差刮z ( 1 7 ) ( 1 7 ) 式称作不变曲面条件( i n v a r i a n c es u r f a c ec o n d i t i o n ) 。 李点对称方法被广泛应用于各种非线性偏微分方程的无穷小生成子及 其群不变解的研究中【7 9 】。但是存在一些重要的非线性偏微分方程没有较好 的l i e 对称群，例如非线性演化方程就只具有较差的对称性。因此，对l i e 对称 群方法的推广很有必要。各种各样基于李点对称方法的推广的对称方法渐渐发 展起来。 2 条件对称方法 条件对称方法( 非古典对称方法或者q 一条件对称) 是原偏微分方程与不变曲 面条件的联立。条件对称方法的决定方程数量少于李点对称方程的决定方程数 第一章绪论 量，因而由条件对称方法得到的精确解数量比古典对称方法多，其中包括利用 李点对称所不能得到的解。该方法最先由b l u m a n 和c o l e 在l i e 对称方法基础上 提出【1 0 ，1 1 】。此后，o l v e r 和r o s e n a u 对条件对称做了推广【1 2 1 3 l 。 其主要思想如下： 以含有两个自变量z 和t 的偏微分方程 ( z ，乱，乱( 七) ) = 0( 1 8 ) 为例，其中“( 知) 表示未知函数关于z 和t 的克阶导数。 在空间r 2 r 中，引入向量场 y 制咖) 麦+ 丁妄州吼u ) 晶 ( 1 9 ) 方程( 1 8 ) 的一个解札= 厂( z ，t ) 在r 2 r 中定义了一个子流形m ，。该解在由y 生 成的单参数l i e 群下为不变解的重要条件为：m ，是这个群的不变子流形， h p u = i ( x ，) 满足不变曲面条件 q ( z ，t ，锃，铭( 知) ) = 刁( z ，t ，链) 一f ( z ，z ，铭) 一丁( z ，t ，u ) u t = 0( 1 1 0 ) 不变曲面条件满足向量场y ，即 y ( 七) ( ) l ：o ，q ：o = 0( 1 1 1 ) 结合l i e 对称，方程( 1 8 ) 的解在不变曲面条件( 1 1 0 ) 下所满足的决定方程为 y ( q ( ) f ：o ，口：o ，d 佧一i ) 口：o = 0 ( 1 1 2 ) 由方程( 1 1 0 ) 可以得到方程( 1 8 ) 满足不变曲面条件的精确解。 3 广义对称方法 在李对称方法中没有引入因变量的导数项，e n e o t h e r 通过在群变换( 无 穷小生成子) 中引入因变量的导数项的方法来推广古典l i e 对称方法，这种 方法称之为广义对称( 也称为l i 争b 孰1 c l u n d 对称) 【1 4 】。由于引入了导数项，l i e - b i c k l u n d 对称方法比李点对称方法更为广泛。 4 广义条件对称方法 4 两北大学硕十学位论文 g a l a l ( t i o n o v 引入的非线性分离变量方法和f u s h c h y c h 等人引入的反约化方 法的思想均基于在这一族微分方程的研究中对某个方程进行约化，而1 阶 对称形式不能解释这种现象，因而利用高阶l i e - - b 配k l u n d 对称表征这些现象 的特征。但大多数模型没有l i e - b 砒k l u n d 对称，f u s h c h y c h 和z h d a n o v 弓i 入条 件l i e - b r c k l u n d 解决了该问题【1 5 l 。条件l i e - b 配k l u n d 对称是对l i e - - b 五c k l u n d 对 称的推广，也可称为广义条件对称。具体方法见本章第三部分。 5 假设法 非线性波动发程 乱t t 一霉+ f ( x ，u ) = 0( 1 1 3 ) r z z h d a n o v 等人在研究该非线性波动方程时提出一种新的分离变量解的形 式： u ( t ，z ) = q ( t ，z ) 妒1 ( u 1 ) 妒2 ( u 2 )( 1 1 4 ) 其中是关于亡，z 的函数【1 6 1 7 】。 将表达式( 1 1 4 ) 带入到( 1 1 3 ) 中，约化为关于妒l 以及妒2 的微分方程，有以 下三种情况： 1 ) 两个一阶常微分方程 令仇= t e i ( w i ，入) 蛾，i = 1 ，2 2 ) 一个二阶常微分方程、一个一阶常微分方程 驴1 = a ( 毗，入) 纯 伽= b 1 ( w 2 ，a ) 驴2 + b 2 ( 忱，入) 妒2 3 ) 两个微分方程均为二阶常微分方程 就= a ( 姚，a ) 瓴- - t - 最( 咄，a ) 协，i = 1 ，2 ， 其中仇= 舒，锄= 舞，a i , b i c c 2 ( r 1 八，r 1 ) ，a 人cr 为分离常 数 未知函数a i ，b ，协，w i ，i = 1 ，2 的选取依赖于非线性项f ( x ，u ) ，因而 选取具有较高的技巧性。 5 第一章绪论 6 c k 直接方法 事先假定方程的解的形式，代入方程，得到新的方程，利用某些关系使新 方程的自变量个数减少，进而求解。 c l a r k s o n 和k r u s h a l ( c k ) 在讨论b o u s s i n e s q 方程时所采用的直接方法没有 用到群理论，而是假设方程满足以下形式： u ( x ，) = u ( x ，w ( z ( x ，t ) ) ) 得到关于u ( z ) 的常微分方程，进而求出u 以及( 2 ) 。 7 形式分离变量法 在非线性系统的分离变量法1 1 9 ) 的发展过程中，我国学者做出了重要的贡 献，尤其是对于形式分离变量法的研究。曹策问将l a x 对的非线性方法推广 到( 2 + 1 ) 维系统，称为对称约束 2 0 】。楼森岳等人又将该方法推广到不可积系 统，称为形式分离变量法【2 1 】。以k d v 方程为例，简述该方法的基本思想。 k d v 方程 具有l a x 对 毗一6 u u z u z z z = 0 ( 1 1 5 ) 九z + 让= a 也= 2 ( u 一入) 也一u x 多( 1 1 6 ) 令九= 矽，可将( 1 1 6 ) 式改写为下列形式： t a 一0 牡0 1 ) ( 三) a 一牡 移 一t 正z 一善一2 ( u a ) 2 2 l 二a ) ( 三) 仳z ，、妒， ( 1 1 7 ) 对于方程( 1 ，1 7 ) ，其一个对称定义为其线性化方程的解，该线性化方程为 观一6 a u 写一6 u a x 一明，= 0( 1 1 8 ) 6 西北大学硕士学位论文 因而原方程( 1 1 5 ) 在变换 一u + e 口 下保持形式不变，其中e 为无穷小参数。 ( 咖2 ) z 和是k d v 方程的两个典型对称，将约束条件 u x 一( 扩) 2 = 0 ( 1 1 9 ) ( 三) 。= ( 入二扩) 三庀t 。= k 三j i | c 2 ( 1 2 0 ) 解得到( 1 2 0 ) 的解，由对 西为x 、z 的函数，因而将 文献 2 2 3 0 】中，提出了泛函分离变量法，并建立了利用广义条件对称方法 进行归类和求解的步骤以及实现方法。该方法主要由乌克兰的z h d a n o v 和我国 的屈长征教授发展完善。 一般情况下，分离变量解有乘积形式和和式两种类型： u = 妒( z ) ( ) 铭= 妒( z ) + ( 丢) 但是绝大部分非线性系统没有这两种形式的分离变量解，因而考虑泛函分离变 量解，即解具有如下形式： ( u ) = 妒( z ) + ( 亡)( 1 2 1 ) 其中，( 乱) 为可逆函数。由相应的方程得到泛函分离变量所满足的约束条件，进 而将问题转化。 7 第一章绪论 1 3 广义条件对称概述 以( 1 + 1 ) 维的佗阶非线性偏微分方程 u t = f ( t ，z ，u ，u l ，u 2 ，u 3 ，u n )( 1 2 2 ) 为例，简述广义条件对称的基本思想 3 l 】。 其中仳伊( r 2 ，c 1 ) ，乱七= 券，1 七仃，乱为z ，亡的函数。 q = 7 7 九+ ( d z 叩) a u 。+ ( d 叩) a u + ( d 2 r 1 ) o u 。+ 其中 ? 7 = 叼( ，石，u ，u ，u l ，l t l t ，) 称为l i e - b i c k l u n d 向量场。 上式中微分算子d t 和d z 形式如下： d t = a t + u t o u + u t t 玩t + u t l 跣l + d x = 如+ u l 以+ u t l 吼t - 4 - u 2 瓯l + 当叼满足下列形式时 ? 7 = 面( ，z ，u ) 一o ( t ，z ，u ) u t f l ( 孟，z ，牡) l i e - b i c k l u n d 向量场与通常的l i e 向量场等价，此时q 有如下形式： q = f o ( 亡，z ，仳) 侥十6 ( t ，$ ，钍) 以+ ( t ，z ，u ) u 茁 ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) 定义5 ：满足下列条件时，称方程( 1 2 2 ) 在l i e - b i c k l u n d 向量场下不变： q ( u t f ) i m = 0 ( 1 2 6 ) 其中m 为方程毗一f = 0 的解集合。 定义6 ：满足下列条件时，称方程( 1 2 2 ) 在l i e - b s c k l u n d 向量场下条件不 变； q ( “t f ) i m n c 。= 0 8 ( 1 2 7 ) 西北大学硕士学位论文 其中厶表示关于变量z ，刀= 0 的解集合。 利用广义条件对称求解偏微分方程的基本步骤如下： ( 1 ) 设定某种形式的高阶条件对称； ( 2 ) 由不变条件得到相应的决定方程； ( 3 ) 求解决定方程，确定高阶条件对称的具体形式： ( 4 ) 由高阶条件对称得到方程的形式解； ( 5 ) 将形式解带入原方程，确定解的表达式。 一般情况下，( 1 2 3 ) 式中的函数7 7 可能依赖于u t ，在方程( 1 2 2 ) 的解流形 上，可以借助于t ，z ，u l ，u 2 ，u 3 ，来表示饥，既而消去u t 。 借助f r d c h e t 导数，可将命题表示为下列形式： 命题1 1 【3 2 】：函数盯( z ，t ，札) 是偏微分方程 的广义条件对称的充要条件为 毗= k ( 1 2 8 ) 警+ k 叫= o ( 1 2 9 ) 其中f k ，t 】= 仃k k 7 盯，朋表示n 6 c h e t 导数： 盯( 珏) = 一o a + 瓦0 9 0 。o u如+ 恚霹+ 盯( 珏) = 一+ 瓦如+ 瓦+ 函数依赖于t 、锃、u x 、 珏正船、。 推论：当盯与亡无关时，u t = k 允许广义条件对称o - 的充要条件，可以写成下 列形式： k ，口：0 = 0 又【k ，口】= 口7 k k 仃，从而上述充要条件可转化为仃g l 口：o = 0 。 由于仃= 0 与u t = k 为相容条件，因而具有相同的解流形。 可按照以下方法求解： 第一步：求解常微分方程口= 0 得到乱关于z 的函数表达式。关于t 为待定函 数： 9 第一章绪论 第二步，将第一步所得的函数表达式带入原方程u t = k ，确定关于t 的任 意函数。 举例说明如下【3 1 】： 允许g c s 毗= u x x + ( q + 1 3 1 n u 一3 , 2 ( 1 n u ) 2 ) ( 1 3 0 ) 田= 魄2 一，y 一u - 1 2 由不变条件可得到下列方程 ( 1 3 1 ) d t 7 7 一d ：叼一( 0 f + p + ( p 一2 ，y 2 ) l n u 一7 2 1 n 2 u ) o l m n k = 0( 1 3 2 ) 利用原方程可将关于t 的导数项约去，得到下述方程 2 珏一1 ( 魄z 一一y 一u - l u g ) 2 + 4 7 u 一1 魄( 铭茹z 一，y 一钍- 1 2 ) = 0( 1 3 3 ) 由7 7 兰一，y 一u - l u 2 = o 可以得到方程( 1 3 0 ) 的形式解 让( z ，t ) = e z p ( 矽l ( t ) + 仉( t ) e x p ( “x ) )( 1 3 4 ) 将形式解带入原方程得到妒1 ( t ) ，也( ) 满足的方程： 移l = q + p 妒1 一，y 2 妒 如= ( p + 7 2 2 2 砂1 ) 仍 可以得到下列结果： ( 1 ) k = 2 + 4 a 7 2 0 牡：c ( c 。s 下s 石t ，, 2 e 印( 7 x + q 2 t ) + 孬1 ( p 一娠诎t v k t j , 其中c 为任意常数： ( 2 ) k = p 2 + 4 a 7 2 0 ( c o s h 字) 2 e 印( 7 x + 7 2 t ) + 刍( p + 雁t a n 字) 】0 西北大学硕士学位论文 其中c 为任意常数； ( 3 ) 后= p 2 + 4 q 7 2 = 0 “= c t - 2 e 印( 7 z + 7 2 t ) + 2 7 2 t ( 二p t 一+ 2 ) 其中c 为任意常数。 广义条件对称方法相对于条件对称方法而言，其技巧性在于对称函数盯的 选择。因而广义条件对称方法具有更高的灵活性，可以构造更多的精确解。而 这些解一般不能用李点对称方法或者条件对称方法得到。屈长征教授在这方面 进行了大量的研究【3 3 3 7 1 。 1 1 第二章非线性反应扩散对流方程 第二章非线性反应扩散对流方程 非线性反应扩散对流方程 u t = ( d ( u ) 仳：) z + g ( u ) u ? + h ( u ) ( 2 1 ) 其中仳= 让( ，z ) 是未知函数，d ( u ) ，g ( 钍) ，日( 钍) 是u 的任意光滑函数，d ( u ) 为 扩散项，日( u ) 为热源项，包含了大量的非线性二阶方程，而这些方程在 生物、种群、物理上有着广泛的应用，例如：f i s h e r ，m u r r a y ，f i t z h u g h - n a g u m o 和n e w e l l w h i t e c h e d 方程等等【3 8 】。 其中，非线性反应扩散方程最简单的形式多孔介质方程：u t = ；k ( u u z ) 霉， 主要描述了具有自由边界的非稳态土壤水流问题【3 9 1 。而b u r g e r s 类型方程也正 是一类特殊的反应扩散方程。 研究非线性扩散方程的精确解有助于研究其所反映的物理现象的渐近过 程。例如，自相似解可以表征带有非线性热源项的扩散方程的有限解的渐近行 为。 参考文献 4 0 1 中，利用l i e 对称和f o r m - p r e s e r v i n g 变换研究了当n = 1 ，m = 1 时，方程 乱t = ( d ( u ) u 茹) z + g ( 乱) u z + g ( u ) ( 2 2 ) 的解。对于反应扩散方程u t = ( a ( u ) u z ) z + b ( u ) u z ，人们也利用l i e 和q 一条 件对称进行了研究【4 l l 。参考文献【4 2 】中，给出了热传导方程的热转移问 题：u t = o u r n + 玩2 + 七矿( 其中o ，b ，尼为任意常数) 的行波解。届长征教授最近 几年在这方面更是做了大量的工作【3 3 - - 3 7 。 非线性反应扩散方程一般具有较弱的l i e 对称群，例如：f i s h e r 和f i t z h u g h n a g u m o 方程，本章将利用广义条件对称方法对方程( 2 1 ) 进行 研究。 1 2 两北大学硕士学位论文 2 1 广义条件对称 对于反应扩散方程 考虑其形如 u t = ( d ( u ) u 2 ) z + g ( 乱) 嵋+ h ( u ) 口= u 黜一f ( 乱) 记一尸( 扎) 仳孑一n + 1 一q ( 乱) 畦一n( 2 3 ) 的二阶广义条件对称。 命题2 1 方程 允许广义条件对称 当且仅当 毗= ( d ( u ) 谚) 茹+ g ( 廿) 嵋+ h ( u ) 盯= 钍一f c u ) u 苎一p ( ) 哆一n + 1 一q ( 乱) 疋一n 口k = 0 ( 2 4 ) 其中钍满足方程( 1 ) ，仃= o 而且珑( 盯) = 0 ，i = 1 ，2 ，( ) = ( d ( ) 让圣) z + g ( 诅) u ? + 日( u ) ，其中“，”表示n 6 c h e t 导数【7 】。 由方程( 2 4 ) n - f i - i 以得到相应的决定方程： d 删+ n d f + f g + 3 n ( d 7 f ) 7 + ( 2 n + 3 n 2 ) d f 2 + ( n 2 + n a ) d f 3 + ( 死+ 3 n 2 ) d f f = 0 ( 2 5 ) g + ( 4 n m + 2 ) p d 打+ n d p 帮+ 3 n d 7 p p + ( m n + 3 n + 5 n 2 ) p f d 7 + ( 3 n 2 + n ) p d f 7 + ( 死2 + 2 r a n n ) d f p 7 + ( m 一1 ) ( g f ) 7 + m g 7 f + ( 2 n 3 + 2 n 2 一l t t l $ + 死m 2 ) p o e 2 + ( m 2 一m ) f 2 g = 0 ( 2 6 ) ( n 2 一n ) d q q 7 + ( 佗+ 2 n 2 ) q 2 d + n q h 7 一h q 7 + ( 礼2 + n 3 ) q 2 d f = 0 ( 2 7 ) ( 扎+ 2 m ) q c 7 + ( m n + 2 n + 4 n 2 ) p d 7 q + ( 扎一m ) p 日7 一h p 7 + 第二章非线性反戍扩散对流方程 ( n 2 一n ) p d q 7 + ( 2 r a n + 佗+ n 2 ) d q p + m g q 7 一q 7 g + ( 2 n m 2 + 2 r a n + 2 n 3 + 2 n 2 ) d p f q + ( 2 m + 2 m 2 ) f g q = 0 ( 2 + 4 n ) q d + h + n d q + 3 n d 7 q 7 一( f h ) 7 + ( 3 n + 5 n 2 ) f d 7 q + ( n 2 一n ) d f q 7 + ( 3 n 2 + n ) q d f 7 + ( n 2 + n 3 ) 2 f 2 d q = 0 m q 2 g + m n q 2 d p m 2 q 2 g 一仇2 佗q 2 p d = 0 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( m n + 2 n 2 + n ) 2 d 7 + ( r t + m ) p g 7 + ( m 一1 ) g p 7 + ( 2 r a n 亿+ n 2 ) d p p 7 + 2 m ( m 一1 ) p g f + ( 2 m 2 礼一2 r a n + 礼3 + n 2 ) p 2 d f = 0 仇2 p g q + n m 2 p 2 d q m p g q n m p 2 d q = 0 m 2 p 2 g + m 2 n p 3 d m p 2 g 一佗m p 3 d = 0 2 2 幂函数扩散形式 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 当扩散项为幂函数扩散形式时，即d ( 缸) = i t s ( s 为常数) ，由决定方程可得 c ( u ) = u s n c 2 u n c l p ( 仳) = q i t l - s + q u - - 8 _ _ 三 f ( 仳) = 一昙仳- l 以及q ( u ) 、日( u ) 的决定方程： ( m n ) “s q + ( n 2 c 1 一n m c l ) q 7 + ( n 2 c 2 一n m c ：) u q 7 + m n 日7 + ( n q m q ) 让1 8 + ( n q m c l ) u 一8 h + ( n q s m n c 2 一扎s 岛+ n 2 s c 2 ) q + s n c l ( n 一1 一m ) u 一1 q + ( m 8 一n s ) u 8 1 q + ( s 岛一岛) 乱一s h + s c l u - - s - - 1 h = 0 n u 8 q + + ( s + 2 s 佗) u , - 1 q 7 + 三u _ 1 胃7 一昙u - 2 h + ( 8 2 一s + n 8 2 一n s ) u 3 2 q = 0 n q h 7 一q 7 h + ( 竹2 一n ) u 8 q q 7 + i t 2 s q 2 矿一1 = 0 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 假设q ( u ) 和日( 牡) 具有如下形式：q ( u ) = a l u q ，h ( 乱) = 口2 护，由决定方 程( 2 1 4 ) 一( 2 1 6 ) 口- f f j 知，p 口+ 8 。 1 4 两北大学硕士学位论文 当p = o t + s 时，需要分下列三种情况考虑：( 1 ) s o r s 1 ，( 2 ) s = l ，( 3 ) s = 0 。 对应于上述三种情况，分别得到出下列应的结果： 情形l ：s o r s 1 情形1 1m = 几 方程 允许g c s 方程 允许g c s 方程 u = n u 8 谑一1 乱。+ s 8 1 乱銎+ 1 十钍占+ 勉牡百- - $ 仃= z + 磊8u - 1 2 + 三u ? # 1 7 1 , 一州 仃= t k z + 一ut + 一“” n 一一 u t = 魏牡8 n 一1 魄霉+ s 让s - 1 + 1 + 锃s 昭+ a 2 u 盯= 卫+ 元8 ，“- 1 u 尘2 + 元1 让? 槲l礼 一 钆一 u t = n u l 一n 仳z n 一1 z + ( 1 一n ) u n 嵋+ 1 + t 正x - - b u z r t l + a 2 u 允许g c s 方程 归u x z - l _ 1 - - n7 1 , 7 _ 1 2 1 n u 。m _ n + 1 一n l 让n 仳：一n 让= n u l 一n 一1 u 。z + ( 1 一n ) u n + 1 一n c l u t n c 2 u u ： + 让1 - - n ，“z m + a 2 u 允许g c s 仃= z + 1 - f n u - 1 u 茁2 一( c a u n 一1 + 岛u n 一元1j m - n 1 一i a 2 u n “霉1 一n 情形1 2 仇n r m 咒+ l 方程 = l t u 8 霹一1 。+ s u 8 1 + 1 + 仳8 让? + a 2 u q + 。 1 5 第二章非线性反应扩散对流方程 允许g c s 方程 仃= 乱+ 元8u - 1 u 2 z + 去仳r + l + 等u n 畦一n 毗= n 让8 谚一1 u 端+ s u 8 1 碹+ 1 一n c l u t n c 2 u u t + u s 谨 允许g c s 盯= + 署牡- - 1 ，“z 2 一( c l 让一直+ q u l - - s 元1 ) 仳? 一州 情形2 ：s = 1 情形2 1m = 乱 方程 允许g c s 方程 允许g c s u t = 礼让u 2 1 z 茁+ 嵋+ 1 + ( 1 一m2 ) 牡u x + a 2 u 莎= z 一( q 一磊1 ，m n + 1 卜l m u - - l u 2 乱t = n u u 2 1 仳z 霉+ u 2 + 1 + ( 1 一n 岛) 乱乱? + a 2 u i 1 情形2 2m n 方程 允许g c s 方程 盯- 一u x x + 元iu - - i 2 一( 岛一1 n ) u r n 一一n + 1 牡t = n u u 2 u z z + + 1 + 口2 u 矿= u z z + 元1 u - 1 ，“茁2 地= 讫u 畦一1 z + + 1 + 口2 u 一石1 1 6 西北大学硕士学位论文 允许g c s 方程 允许g c s 方程 允许g c s 方程 允许g c s 盯= u z z + 元1 u - - i u 茁2 u t = n u u 2 1 u z z + u 銎+ 1 + ( 1 一几岛) u u ? 一a l r s u 仃= 冒一( q 一元1 ) u ? 一n + 1 + 元1 u - 1 2 一n 1 畦一n u = n 乱牡：一1 u z 茁+ 乱：+ 1 + ( 1 一住岛) 昭+ a 2 u 口+ 1 盯= _ _ i _ l n u - 1 2 十i a 2u q l 一( c 2 一丢) u ? 呻+ l 钍= n u u ：一1 霉+ 嵋+ 1 一钆q m 一佗q 乱+ 让昭 盯一茹一( 导+ q _ 1 、。m - n + l + 去u - - 1 u z 2 情形2 3m = 钆+ 1 方程 允许g c s 情形3 ：8 = 0 情形3 1m = n 方程 毗= 佗“一1 u z z + 仳2 + 1 一n c l u t + a 2 u 口：z + = 1 u - - 1 u z 2 一a 曰一n + l 乱一1 n 一 缸t ：几磁一1 u 缸一仇q 让? + 磁+ a 2 u 1 7 第二章非线性反应扩散对流方程 允许g c s 盯- = u x x 一( q 一示1 ) 牡? 州1 情形3 2m n 且m 死一l 方程 允许g c s 方程 允许g c s 方程 允许g c s 方程 允许g c s 方程 允许g c s u = n u 三一1 乱z z n c l u t + m + a 2 盯= z 一( c 1 一元1 ，, u m z - n + l 一“l u z l 一n u t = 佗u 2 1 i t 正霉一扎岛u 昭+ ( 1 一n c l ) u t + n l n 仃= 牡z z 一( 岛乱+ c x 一1 n ) u m - n + l _ a l u l 一n u t = 佗u ：一1 让z z n v 2 u u “2 + ( 1 一r l c l ) u m x 盯= 钍船一( q + c t 一三) 乱? 州1 u t = 扎“2 1 乱茹茁+ a 2 u 盯= u x x 毗= n u n x 一1 茁- t - ( 1 一n c l ) u 2 + a 2 u a 仃= u 茁正一( c 1 一元1 心m n + l + 鲁u q 畦一n 1 8 两北大学硕十学位论文 情形3 3m = n 一1 方程 允许g c s 情形3 4 咒= 1 方程 允许 方程 允许g c s 毗= 几皖一1 茹一n c 2 u u t + a 2 u 盯= z c m 。一乱+ l u t2n 键一1 仳写z + a 2 u 盯= 缸z 一a l u u ；一n t l t - - - n u r 2 - - l u z z - - 岛“好山一票) 仃= z 一岛u 昭一n + 1 一a l t t u l 一n 由相应的方程及其所允许的g c s ，进一步确定参数