（应用数学专业论文）脉冲微分系统的实际稳定性.pdf

原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名盥 隰砷年，f 月落日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内容， 可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科学技 术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 日 作者签名：盔整星导师签 日期：2 0 0 7 年月抛 摘要 脉冲微分系统的研究始于2 0 世纪6 0 年代，该理论已经渗透到信 息科学、控制系统、生命科学等众多领域，具有非常重要的理论意义 和实际应用价值本文主要利用不同的方法，如变分l y a p u n o v 函数法、 向量l y a p u n o v 函数法、多个l y a p u n o v 函数法、比较原理等，来研究 脉冲微分系统的实际稳定性。 全文共分为五部分，具体内容概述如下： 第一章，主要介绍了脉冲微分系统的实际稳定性在国内外的研究 现状及发展，并给出了以下几部分经常用到的概念和符号。 第二章，本章主要利用了多个逐段连续的部分l y a p u n o v 函数并 结合r a z u m i k h i n 技巧给出了脉冲泛函微分系统的关于两个测度实际 稳定性，并给出了一个例子说明结论的有效性。 第三章，利用依赖于状态的脉冲微分系统的一个新的比较法则， 结合比较方法和向量l y a p u n o v 函数研究了依赖于状态的脉冲微分系 统的关于两个测度的( 一致) 实际( 渐近) 稳定性，最后给出一个具体例 子来说明该结果的有效性。 第四章，首先，利用比较原理研究了脉冲混合微分系统的最终实 际稳定性其次，利用l y a p u n o v 函数，用直接方法得到了关于脉冲混 合微分系统关于两个测度的实际稳定性和实际渐近稳定性的判定定 理，并给出了两个例子说明定理的有效性。 第五章，总结，简要的概述了本文内容，并对本文研究课题以后 的发展进行了展望。 关键词依赖于状态；脉冲微分系统；实际稳定性；实际渐进稳定 性；l y a p u n o v 向量函数 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sb e g i n s i nt h e 19 6 0 s i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m sw h i c hh a v e v i t a lt h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c ea n dp r a c t i c a lv a l u e ，h a v eb e e ni n v o l v e di nm a n yf i e l d s ，s u c h a si n f o r m a t i o ns c i e n c e s ，c o n t r o ls y s t e m s ，l i f es c i e n c e sa n ds oo n i nt h i s d i s s e r t a t i o n ，d i f f e r e n ta p p r o a c h e s ，s u c ha sl y a p u n o vf u n c t i o n si n c l u d i n g p a r t i a lc o m p o n e n t s ，v e c t o rl y a p u n o vf u n c t i o n s ，s e v e r a ll y a p u n o v f u n c t i o n s ，c o m p a r i s o np r i n c i p l ea n ds oo n ，a r ee m p l o y e dt os t u d yt h e p r a c t i c a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m s t h ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e sf i v ec h a p t e r sw h i c hi ss u m m a r i z e da s f o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r , t h ec u r r e n tr e s e a r c hs i t u a t i o n sa n dd e v e l o p m e n t s o fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sa th o m ea n da b r o a da r ei n t r o d u c e d ，a n d s o m ef u n d a m e n t a ls y m b o l sa n dc o n c e p t sa r ea l s og i v e n i nt h es e c o n dc h a p t e r , t h ep r a c t i c a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nt e r m so ft w om e a s u r e si ss t u d i e db yu s i n g l y a p u n o vf u n c t i o n si n c l u d i n gp a r t i a lc o m p o n e n t sw i t hr a z u m i k h i n t e c h n i q u e ，a n do n ee x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f i c i e n c y o ft h e r e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r , b yu s i n gan e w c o m p a r i s o np r i n c i p l ea n dv e c t o r l y a p u n o vf u n c t i o n sa b o u ti m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l e i m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s ，t h ep r a c t i c a ls t a b i l i t yp r o p e r t i e si nt e r m so ft w o m e a s u r e m e n t sf o ri m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sw i t hv a r i a b l ei m p u l s i v e p e r t u r b a t i o n s a r e i n v e s t i g a t e da n da ne x a m p l ei sg i v e n t oi l l u s t r a t e e f f i c i e n c yo f t h er e s u l t i nt h ef o u r t hc h a p t e r , f i r s t ，b yt h ec o m p a r i s o nm e t h o d ，t h ee v e n t u a l p r a c t i c a ls t a b i l i t yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e m si nt e r m so f t w o m e a s u r e si si n v e s t i g a t e d s e c o n d ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a lh y b r i ds y s t e m si s i n v e s t i g a t e db yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n sa n dt w oe x a m p l e sa r eg i v e nt o i l l u s t r a t et h er e s u l t s i nt h ef i f t hc h a p t e r , c o n c l u s i o n ，t h eb r i e fs u m m a r i z e sf o rt h ea b o v e s e c t i o n sa r ep r e s e n t e d ，a n dt h eo u t l o o k sa b o u tt h ei s s u ei nt h i sd i s s e r t a t i o n a r ed e v e l o p e d i i i k e yw o r d s ：v a r i a b l ei m p u l s i v ep e r t u r b a t i o n s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l s y s t e m s ，p r a c t i c a ls t a b i l i t y , a s y m p t o t i cp r a c t i c a ls t a b i l i t y , v e c t o r l y a p u n o vf u n c t i o n i v 目录 第一章绪论1 1 1 问题产生的背景1 1 2 本文的主要工作3 1 3 基本概念4 1 4 通用符号4 第二章固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性6 2 1 引言6 2 2 基本知识7 2 3 主要定理和证明8 2 4 举例说明1 l 2 5 结论1 3 第三章依赖于状态的脉冲微分系统的实际稳定性1 4 3 1 引言1 4 3 2 基本知识1 5 3 3 主要定理和证明1 6 3 4 举例说明1 9 3 5 总结2 0 第四章脉冲混合微分系统关于两个测度实际稳定性2 l 4 1 引言2 1 4 2 基本知识2 2 4 3 主要定理和证明2 2 4 4 举例说明2 7 4 5 总结2 8 第五章结论3 0 参考文献3 2 致谢3 7 攻读学位期间的主要研究成果3 8 v v i 中南大学学位论文第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题产生的背景 上世纪八十年代，由l a k s h m i k a n t h a mv ，b a i n e sdd 与s i m e n o vps 三人 所著的t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 一书的问世，标 志着脉冲微分系统的基本形成随着国内外学者对脉冲微分系统的关注和研究， 脉冲微分系统理论得到了很大的发展，特别是脉冲微分系统解的稳定性理论已经 基本完善。如脉冲微分系统的一致稳定性( 见文 2 - 1 7 3 ) ，指数稳定性( 见文 1 8 - 2 1 ) ，实际稳定性( 见文 2 2 - 3 4 ) ，全局稳定性( 见文 3 5 - 3 8 ) 等等。另 外在脉冲微分系统的研究方面，已经推广到了二阶脉冲微分系统的研究( 见文 3 9 - 4 1 3 ) 。 1 9 8 8 年，m a r t i n i q u e 对一类混合系统，给出了它的实际稳定性的条件。1 9 9 0 年，l a k s h m i k a n t h a m ，l e a l 和m a r t i n i q u e 在他们的著作g p r a c t i c a ls t a b i l i t y o fn o n li n e a rs y s t e m 中首次系统的研究了实际稳定性理论。在研究非线性系 统的稳定性时，由于实际条件的限制，一个具体的系统在严格意义上来说是不稳 定的。但当初值有界时，该系统的解从初始时刻开始在一定范围内变化，比如， 卫星、飞机、宇宙飞船等航天设备的运行轨道，虽从数学角度来分析可能是不稳 定的，但他们却能够沿着预先设计的轨道飞行。但是从实际角度来看，我们可以 认为这些系统是稳定的，这就是实际稳定性的由来。 一般稳定性的吸引域太小，在实际应用中并不实用，而实际稳定性的吸引域 可以是一个区域，在实际稳定性中比较重要，许多学者开始投入到实际稳定性研 究的工作中来在 2 7 中作者利用多个l y a p u n o v 函数讨论了固定时刻脉冲泛函 微分系统的实际稳定性，其中每个l y a p u n o v 函数与x 的部分变元有关依赖于 状态的脉冲微分系统的文献还不很多，特别是系统与脉冲面碰撞多次的情况( 见 文 4 2 - 4 8 ) 。文 4 7 在系统与脉冲面碰撞多次的前提下建立了依赖于状态的脉冲 微分系统的一个新的比较原理，并对实际稳定性进行了研究对于脉冲混合微分 系统的稳定性( 见文 4 9 - 5 3 ) 。 脉冲微分系统不仅在数学领域有了很大的发展，在其他学科中也有广泛烦的 应用，如陈兰荪、马知恩( 文 5 4 ，5 5 ) 研究了脉冲微分方程理论在流行病学及种 群生态学中的应用，脉冲时滞微分方程在草原生态学中的应用；h b d e lk e r l a k e t h e ( 文 5 6 3 ) 考虑了医药学中新陈代谢的非线性脉冲模型，得出疾病稳定性 中南大学学位论文第一章绪论 条件及系统非平凡解得分歧理论。 下面介绍文章中的模型及历史背景： 一、固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性 固定时刻的脉冲微分系统的平凡解的稳定性和实际稳定性问题已经有很多 好的结果，文【l 】和文【2 】中都对系统 i x = f ( t ，x ) ，t t k 缸= 厶( x ) ，= t k( 1 1 ) i x ( 坛) = x o 用直接分析的方法和比较原理对其实际稳定性进行了研究，其中 ( 1 ) 0 f 2 t o ，t ， u ( t o ) = u o ， ( 1 6 ) 【a u ( t k ) = “( ) 一u ( t d = 以 以) ) ， 文 5 1 对如下脉冲混合微分系统 ix = f ( t ，x ，五( 扳) ) ，f ( ，+ 1 ) ， x ( 呓) = ，= 耳+ 厶( 吒) ，k = o ，1 ，2 ， ( 1 7 ) 【= x ( t d ，i o ( x ) 兰o ，x ( t o ) = x o 其中f c 【r xr ”xr m , r ”】，厶f i r n , r ”】，五c r ”，r ”】，k = o ，l ，2 ，利用直接方 法、比较法则和多个l y a p u n o v 函数的方法研究了其实际稳定方面的问题。一个很 自然的想法就是能不能利用比较原理来研究系统( 1 7 ) 的最终实际稳定性。 1 2 本文的主要工作 本文针对脉冲微分系统的研究现状，以及上面提出的若干问题展开分析讨 论，主要工作如下： 在第二章研究了脉冲泛函微分系统 j x ( 7 ) = = 厂( 7 ，x ( 7 ) ，x ( 7 - 。f ) ) ，7 ；亡；，五：= l ，2 ， 【a x ( t ) = x ( f ) - x ( t 一) = 厶( x ( ，一) ) ，= t k ， 一7 其中f c r x r ”x p c i 一f ，0 】，掣) ，r ”】是李普希兹的，f ( t ，0 ，0 ) 量0 ，i k ( 0 ) = 0 ，f 0 在讨论的过程中，利用部分变元的l y a p u n o v 函数的方法分析了该系统关于两个 测度的实际稳定性。该定理与文 3 0 的结果相比较，我们的定理可以推出文 3 0 3 中南大学学位论文 第一章绪论 的结果，但是实例表明用文 3 0 的定理不能得出我们的定理所给出的结论，所以 本文推广了文 3 0 的定理。 在第三章中研究了依赖于状态的脉冲微分系统 i = f ( t ，x ) ，t t a x ) ， a x = 厶( x ) ，= 吒( x ) ， i x ( t o ) = x o ， 其中f ：r r 一专r n , 厶c 皿r n , r ” ，c 【掣，r 】，吒( x ) 力，当且仅当甜，( 或 吩 ) ，歹= 1 ，2 ，m 若向量函数：衅专霹在群上是单调不减的，如果 ( 1 ) 当“ 1 ，时，妒( 甜) ( 1 ，) ； ( 2 ) 当”1 ，时，矽( z ，) ( 力 定义1 3 2 向量函数g ：( 岛，) 哗一鲜在( t o ，) 衅专掣上关于甜是拟单 调不减的，如果对任何固定的，瓴，) 及任意的歹 1 ，2 ，m ，函数g j ( t ，甜) 关于 ( ，u j - l ，甜，+ l ，) 是单调不减的， 其中g = ( g l ，9 2 ，) ， u ( u l ，u 2 ， n ) 霹 1 4 通用符号 在本文中以下符号通用： 瓯= ( f ，x ) 墨r ”，r = r k ( x ) ，k = 1 ，2 ， 4 中南大学学位论文第一章绪论 1 1 问题产生的背景 第一章绪论 上世纪八十年代，由l a k s h m ik a n t h a mv ，b a in e sdd 与s i m e n o vps 三人 所著的t h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 1 一书的问世，标 志着脉冲微分系统的基本形成随着国内外学者对脉冲微分系统的关注和研究， 脉冲微分系统理论得到了很大的发展，特别是脉冲微分系统解的稳定性理论已经 基本完善。如脉冲微分系统的一致稳定性( 见文 2 - 1 7 ) ，指数稳定性( 见文 1 8 - 2 1 ) ，实际稳定性( 见文 2 2 - 3 4 ) ，全局稳定性( 见文 3 5 3 8 ) 等等。另 外在脉冲微分系统的研究方面，已经推广到了二阶脉冲微分系统的研究( 见文 3 9 - 4 1 ) 。 1 9 8 8 年，m a r t i n i q u e 对一类混合系统，给出了它的实际稳定性的条件。1 9 9 0 年，l a k s h m i k a n t h a m ，l e a l 和m a r t i n i q u e 在他们的著作p r a c t i c a ls t a b i l i t y o fn o n l i n e a rs y s t e m 中首次系统的研究了实际稳定性理论。在研究非线性系 统的稳定性时，由于实际条件的限制，一个具体的系统在严格意义上来说是不稳 定的。但当初值有界时，该系统的解从初始时刻开始在一定范围内变化，比如， 卫星、飞机、宇宙飞船等航天设备的运行轨道，虽从数学角度来分析可能是不稳 定的，但他们却能够沿着预先设计的轨道飞行。但是从实际角度来看，我们可以 认为这些系统是稳定的，这就是实际稳定性的由来。 一般稳定性的吸引域太小，在实际应用中并不实用，而实际稳定性的吸引域 可以是一个区域，在实际稳定性中比较重要，许多学者开始投入到实际稳定性研 究的工作中来在 2 7 中作者利用多个l y a p u n o v 函数讨论了固定时刻脉冲泛函 微分系统的实际稳定性，其中每个l y a p u n o v 函数与x 的部分变元有关依赖于 状态的脉冲微分系统的文献还不很多，特别是系统与脉冲面碰撞多次的情况( 见 文 4 2 - 4 8 ) 。文 4 7 在系统与脉冲面碰撞多次的前提下建立了依赖于状态的脉冲 微分系统的一个新的比较原理，并对实际稳定性进行了研究对于脉冲混合微分 系统的稳定性( 见文 4 9 5 3 ) 。 脉冲微分系统不仅在数学领域有了很大的发展，在其他学科中也有广泛烦的 应用，如陈兰荪、马知恩( 文 5 4 ，5 5 ) 研究了脉冲微分方程理论在流行病学及种 群生态学中的应用，脉冲时滞微分方程在草原生态学中的应用；a b d e lk e r l a k e t h e ( 文 5 6 ) 考虑了医药学中新陈代谢的非线性脉冲模型，得出疾病稳定性 中南大学学位论文第一章绪论 条件及系统非平凡解得分歧理论。 下面介绍文章中的模型及历史背景： 一、固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性 固定时刻的脉冲微分系统的平凡解的稳定性和实际稳定性问题已经有很多 好的结果，文【1 】和文【2 】中都对系统 i = f ( t ，功，乓 缸= k ( x ) ，= t k ( 1 1 ) 【x ( t o ) = x o 用直接分析的方法和比较原理对其实际稳定性进行了研究，其中 ( 1 ) 0 t 2 t o ，f ， z f ( f o ) = 1 4 0 ， ( 1 6 ) 【 ( 气) = “( f ；) 一甜( 气) = 以( 甜( 气) ) ， 文 5 1 对如下脉冲混合微分系统 i ，= f ( t ，x ，4 ( ) ) ，r ( 缸，气“) ， x ( 砖) = 砖，= + 厶( ) ，k = o ，1 ，2 ， ( 1 7 ) 【杖= x ( 气) ，l o ( x ) 三o ，x ( 坛) = ：c o 其中厂c rx r ”r m , r ”】，厶c 彤，r ”】，4 c 【尺”，r ”】，k = 0 ，1 ，2 ，利用直接方 法、比较法则和多个l y a p u n o v 函l 数的方法研究了其实际稳定方面的问题。一个很 自然的想法就是能不能利用比较原理来研究系统( 1 7 ) 的最终实际稳定性。 1 2 本文的主要工作 本文针对脉冲微分系统的研究现状，以及上面提出的若干问题展开分析讨 论，主要工作如下： 在第二章研究了脉冲泛函微分系统 x 7 ( 7 ) = 厂( ，x ( ) ，x ( 一f ) ) ，气，后：1 ，2 ， i 血( f ) = x ( t ) - x ( t 一) = l k ( x ( t 一) ) ，= t k ， 一 其中f c 【r xr ”xp c i - r ，0 】，r ”) ，科】是李普希兹的，f ( t ，0 ，0 ) 兰0 ，i k ( 0 ) = o ，f 0 在讨论的过程中，利用部分变元的l y a p u n o v 函数的方法分析了该系统关于两个 测度的实际稳定性。该定理与文 3 0 的结果相比较，我们的定理可以推出文 3 0 3 中南大学学位论文 第一章绪论 的结果，但是实例表明用文 3 0 的定理不能得出我们的定理所给出的结论，所以 本文推广了文 3 0 的定理。 在第三章中研究了依赖于状态的脉冲微分系统 i x = f ( t ，x ) ，t 靠( x ) ， a x = 厶( x ) ，f = ( x ) ， i x ( 咭) = x o ， 其中f ：r r ”一只”，厶c 丘r mr 一】，r k c 【尺”，r 】，q ( x ) 1 ，) ，当且仅当u j v ，( 或 甜， 1 ，) ，歹= 1 ，2 ，m 若向量函数：哗专砰在衅上是单调不减的，如果 ( 1 ) 当甜 1 ，时，矽( 甜) 矽( 1 ，) ； ( 2 ) 当甜1 ，时，矽( 甜) 矽( 1 ，) 定义1 3 2 向量函数g ：( 岛，) 衅j 衅在( t o ，) 衅专衅上关于 是拟单 调不减的，如果对任何固定的t ( t o ，o o ) 及任意的 l ，2 ，m ，函数g j ( t ，“) 关于 ( z l i9 e9 u j - l ，甜j + l ，) 是单调不减的，其中g = ( 岛，) ， 材( ，1 4 2 ，h n ) 尺7 1 4 通用符号 在本文中以下符号通用： & = ( f ，x ) r r ”，f = 吒( x ) ，k = 1 ，2 ， 4 中南大学学位论文第二章固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性 文 3 0 1 中l y a p u n o v 函数的导数小于零的限制，并用一个例子说明了定理的优越 性。 2 2 基本知识 f 工( f ) = f ( t ，x ( ，) ，x ( t - 0 ) ， ，t o ，i ， a x ( t ) = x ( ，) 一x ( f 一) = i k ( x ( f 一) ) ， f = t k , k = 1 , 2 ， i x ( t o + s ) = 伊( s ) ， j 【一f ，o 】 的解的实际稳定，其中f c 【足xr ”x p c i 一f ，0 】，r ”) ，r ”】是李普希兹的， 岫，七=oo，x(t+)=l哑x(s)，x(t一)一imx(s)0=totlt2 o 从而系统( 2 3 ) 有零解，将 伊= ( 觋，仍，纸) r p c ( p ) 分成m 个向量( 1 m ，1 ) ： ( 科n ，程n ，硝) t ( 科，红2 1 ，竣) r ，( 科，程川，赡) r ， 则：。= 刀，妒= ( 衍n ，程n ，硝，耐舶2 9o 舛川，粥) 为了方便起见，记 j = 1 ，2 ，所) ，伊7 = ( 科 ，程力，程? ) ，歹j 令眇i = 一吲。眇i ，伊u ( s ) = m a x 。致跏i 磁力( j ) | ，j aj 从而l x l - m a x l s j s 朋l x u l ，缈( j ) = m a x l 彰拥i 伊u o ) i ，j 定义2 2 1 设h o e ，薯粥( 一f ，o 】，尺”) ，对任意的，皿，我们定义： h o ( t ，誓) = s u ph o ( t + o ，薯( p ) ) 定义2 2 2 设h o r f ”，h f ”，x ( t ) 是方程( 2 3 ) 的解： ( 1 ) 若对给定的0 u 1 ，存在t o 墨，当h ( t o ，) 1 , 时，对f ，o ，有 h ( t ，x o ) ) 1 ，则称方程( 2 3 ) 关于( “，) 是( ，h ) 实际稳定的。 ( 2 ) 若对( 1 ) 所有的t o 墨均成立，则称方程( 2 3 ) 关于 ，) 是( ，办) 一致实 际稳定的。 定义2 2 3 设y ：，o o ) xr ”- - 9 r ，我们称v v 卅( ) ，如果下列三个条件满 足： ( 1 ) y 在【f ，七) r 肼上连续，v ( t ，0 ) = 0 ； ( 2 ) v ( t ，x ) 关于x 是局部李普希兹的； ( ，j i m ，一、v ( t ，y ) = y 魄一，功 v 广q j y 沿系统( 2 2 ) 的解的导数定义为： 7 中南大学学位论文第二章固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性 y o ，x ( j o ) ) = 拶1 i m o + s u p , w ( f + 办，x ( 力o + 办) ) 一y ( f ，x ( ( f ) ) 】 其中x ( t ) = ( x 0 ( ，) ，x 2 ( f ) ，x 肘( f ) ) r 为系统( 2 3 ) 的解。 2 3 主要定理和证明 定理2 3 1 设x ( ，) = o n ，x 2 ) 是方程的解，如果存在巧v j ( ) ，歹= 1 , 2 ，满 足： ( 1 ) w i ( 办7 o ，x 7 ) ) v j ( t ，x 7 o ) ) 吃( 踞。o ，x 7 ) ) ，( ，x ) t o f ，o o ) s ( p ) 这里k ，h o 力r ，h 力e i n jj = l ，2 ； ( 2 ) 存在矽墨及可积函数g ，w ： t o f ，o o ) 专r ， 当k o ，x 1 o ) ) v 2 ( t ，x 2 o ) ) ，k 0 ，x o ) ) 缈一1 ( k ( r ，x o ) ) ，s p f ，日时，有 巧( f ，x ( r ) ) g ( f ) w ( k ( ，x ( f ) ) ) ， 而当v 2 ( t ，x 2 ( f ) ) k ( ，x ( d ( f ) ) ，( s ，x ( s ) ) 伊一1 ( v 2 ( t ，x ( ，) ) ，s i t f ，f 】时，有 ( f ，x ( f ) ) g ( t ) w ( v 2o ，x ( f ) ) ) ， 这里缈- 1 是缈的反函数； ( 3 ) 巧纯，x 气一) + 厶 ( t 一) ) 妒( 巧纯，x 气气一) ) ，j = 1 ，2 ，k = l ，2 ； ( 4 ) 对给定的o 甜 ，存在7 k ，使得矽d ( 甜) _ l ，w z ， ) 彳 - l呷w is - 则方程( 2 3 ) 的零解关于( z ，1 ，) 是( 磊，办) 一致实际稳定的。 证明对v t r ，定义y ( f ) = m a x v l ( ( ，x 1 ( f ) ) ，k o ，x 2 ( ，) ，并记： 一o ) 兰o ，x u o ) )y ；o ) 兰y ；( f ，x u o ) )，= l ，2 我们分三步完成证明： 第1 步，由文献【3 0 】的证明可知： 虹盟芷崾堂堂m a x w 2 1 ( 栅一) ) 嵫( 踞z ) ) ) ( 2 4 ) 8 中南大学学位论文 第二章固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性 第2 步，我们宣称：当r f i 时，若y ( j ) 伊- 1 ( y ( f ) ) ，t - r s ，则有 v ( ，) g o ) w ( y ( ，) ) ，而v ( t d 烈y ( ) ) ( 2 5 ) 不妨设k ( f o ) u 2 ( t o ) ，则存在，i t o ，使得t 阮，吒) 时，有v l ( t ) v 2 ( t ) ，则 y o ) = k ( d 如果，则由条件( 3 ) 知y ( ) = k ( 气) 缈( 巧何) ) = 认y 瓴) ) 如果r t k ，若k ( s ) v d s ) ，则v ( s ) = 圪( s ) ，显然由v ( s ) 缈。1 ( y ( ，) ) 知 巧( j ) ( j ) = y ( j ) 伊_ ( y o ) ) = 缈- 1 ( k o ) ) 若k ( j ) 砭( s ) ，则v ( s ) = 巧( s ) ，显然由v ( s ) 汐_ ( y o ”知 k ( s ) = y o ) 缈1 ( y p ) ) = 缈- 1 ( k ( f ) ) 综上可得由y ( s ) y ( ，) ，知k ( s ) 缈1 ( k ( r ) ) ，于是由条件( 2 ) 可得 y ( ，) = k ，( f ) g ( t ) w ( v l l ( t ) ) = g o ) w ( y o ) ) ，【t o ，r o 若= 0 0 ，则( 2 5 ) 对所有的t t o 成立，否则存在，2 ，使得 v t ( t ) v 2 ( t ) ，f 【r l , 吃) 如果，i = ，对某个f z ，注意到k ( f ) ( f ) ，k ( ) 圪 ) 则由条件( 3 ) 知 y ( ) = ( ) 缈( ( f ) ) 伊( y ( f ) ) ， 如果，则对f 【，i ，吃) ，有矿( f ) = v 2 ( t ) ，类似上面的证明可知( 2 4 ) 对 r t o ，r o 成立 若r 2 - 0 0 ，则( 2 5 ) 对所有的f t o 成立，否则重复上面的证明即可 当，【t o , 吒) ，若k ( ，) v 2 ( t ) 时，证明过程如上 第3 步，定义： h ( t ，x ( f ) ) = m a x h j ( t ，x ( f ) ) ，j = 1 ，2 ，h o ( t ，x o ) ) = m a x j ) ( t ，石7 ( f ”，歹= 1 ，2 我们证明对v ，岛，如果“，吒) 材，则有h ( t ，x ( ，) ) v 选取常数1 ，+ ，满足伊一1 ( i 1v ) = 昙n l i l l ( 1 ，) ，：( d ) ，比( “) ，j = 1 ，2 则由条 件( 4 ) 有办( d ( t o ，x ( d ( 气”扩( 魂d ( t o ，群) ) 痧( “) 1 ，从而有办( 气，x ( ，o ) ) t o ，有v ( t ) 伊_ ( 去1 ，) ( 2 6 ) 首先，对v t 【t o r ，o 】，存在0 【一f ，o 】，t = t o + 口，使得 7 ( f ，x o ) ) = j l l 5 d ( 气+ p ，弋u ( 口) ) 瑶力( ，0 ，) “， 从而有巧( f ，x ( 。) ) ，( 聪气f ，x ) 屹j ) 则矿( f ) 去矿 v ( t o ) 设i = i n my ( f ) 缈_ 1 ( 去v ) ，f 【，f 1 ) ) ，则y ( i ) = r p - l ( 寺v 宰) ，由v 的连续性知存在 而 t o ，歹) ，y ( 置，x ( 而) ) = 去v + ，且v ( t ，x ( f ) ) i 11 ，。，r i s , ，i ) 综上可得对于t 【s l ，虿】，s 卜f ，0 】，有 v ( t + s ，x o + j ) ) 缈- 1 ( 去矿) 矿- 1 ( y o ，x o ) ) ) 由( 2 5 ) 式知对，i s 。，i 】，有v ( ，) g ( f ) w ( y o ”，结合条件( 5 ) 可推出 菇瑟志f g ( t ) d t 肛肌以， 这与篡答志= 志彳n f f - n 删( 2 7 ) 成立 此外，由条件( 3 ) 有y ( ) 缈( y ( ，f ) ) 寺v - t o 定理证毕。 定理2 3 2 设x t t ) = ( x ( n ，x ( 孙，x ”) 是方程的解，如果存在 e v ( ) ，= 1 ，2 ，m 满足： ( 1 ) ( 办d o ，x 。) ) 巧o ，x ( ，) ) w ，2 ，( 7 ( f ，x d ) ) ，( f ，x ) e ，o f ，o o ) s ( 夕) 这里k ，h o 力ef ，h 。p ，= l ，2 ，m ，； ( 2 ) 存在缈k 及可积函数g ，w ： t o f ，) 专r + ， 当v j ( t ，x 。o ) ) 巧( ，x 。( ，) ) ， 1 ，2 ，m ) ，有 巧。o ，x ( f ) ) sg ( t ) w ( v j ( t ，x o ) ) ) ，当巧( s ，x ( s ) ) 矿1 ( v j ( t ，x o ) ) ，s 【f f ，t l ， 这里缈。1 是缈的反函数； ( 3 ) 巧( ，x 。( 气一) + 厶( x ( t 一) ) 伊( ，( 如，x 7 ( 一) ) ，歹- i ，2 ，k = 1 ，2 ； ( 4 ) 对给定的1 ， “ 0 ，存在矽u k ，使得矽u ( “) ，w 2 ( 甜) 彳： 1 0 中南大学学位论文 第二章固定时刻脉冲泛函微分系统的实际稳定性 则方程( 2 3 ) 的解关于 ，d 是( ，功一致实际稳定的。 证明首先，对于x ( t ) = ( x ( 1 o ) ，x ( 卅( f ) ) ，我们定义 y ) = m a x f v j f t ，x u ( f ) lj = 1 ，2 ，m ) 其次，可证 w l ，( o ，x 。( f ” - t o ，t k ，x , ( t d = ( ) 【o ) = 6 l o ) 毛o ) - b 2 ( t ) x 2 ( t ) + b 3 ( t ) x 2 ( t f ) ，f f o ，t k ，x 2 ( 气) = c x 2 ( t ；) 其中口f o ) ，b i ( t ) c 【r