（基础数学专业论文）亚式期权的定价及实证研究.pdf

浙江大学硕上学位论文 摘要 摘要 亚式期权，作为金融衍牛品市场上一个活跃且应用广泛的期权品种，其标 的也同益丰富，凶其在风险控制、节约风险管理成本等方面的优势，深受投资 者与管理者的喜爱；具体在股权激励、汇率市场、债券市场上发挥了很好的市 场调节与资源优化配置的作用。自2 0 0 7 年经济危机以来，风险管理与控制再一 次成为人们关注的焦点，亚式期权作为衍生产品中重要的一员，自然肩负着不 可替代的作用，其定价研究的意义也是显而易见的。 本文主要讨论了欧式亚式期权的定价及其实证研究。考虑到距式期权的复 杂性，讨论的重点放在了无市场摩擦的市场假设下的业式期权定价，对于有交 易成本的亚式期权及可以提前实施的美式亚式期权只是作了简单的探讨。 简单介绍了亚式期权的基本知识和期权定价的基本方法与重要结论。重点 分析了亚式期权的定价原理与定价模型。利用p d e 的方法建立了固定敲定价几 何平均亚式期权定价模型，通过变量替换的方法把问题转换成了可以求解的 c a u c h y 问题，从而得出了固定敲定价的几何平均亚式期权定价的解析解；对于 算术平均亚式期权，只能找其数值解或近似解；本文给出了二又树近似、均值 关系近似、二价矩近似、m o n t ec a r l o 模拟方法，并结合实际分析了各方法的适 用条件与范围。 结合亚式期权的广泛实用性，分别给出了在股权激励与汇率市场上节约成 本的两个实例分析。 关键词： 亚式期权定价；二叉树；m o n t ec a r l o 模拟；二价矩近似；均值关系 近似 浙江大学硕上学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t a s i a no p t i o n , a saa c t t i v ea n da p p l i c a b l eo p t i o ni nt h ef i n a n c i a ld e r i v a t i v em a r k e t s ，i t sm a r k h a sa l s ob e c o m ei n c r e a s i n g l ym o r ea n dm o r er i c h e r 。w i t ht h ea d v a n t a g eo ft h er i s km a n a g e m e n t , t h ev e n t u r em a n a g e m e n to fc o s t ss a v i n g ，a n ds oo n ，i f s v e r yp o p u l a rw i t hi n v e s t o ra n d s u p e r v i s o r 。i tp l a y sav e r yg o o dr o l e0 1 1m a r k e tr e g u l a t i o na n dm o s to p t i m u md i s t r i b u t i o no f r e s o u r c e si ne q u i t yi n c e n t i v e , m a r k e tr a t ea n db o n dm a r k e t 。t h er i s km a n a g e m e n ta n dt h ec o n t r o l b e c o m e st h ef o c a lp o i n tw h i c ht h ep e o p l ep a ya t t e n t i o na g a i ns i n c e2 0 0 7 e c o n o m i c - c r i s i s t h e a s i a n o p t i o nt o o ki nd e r i v a t i o np r o d u c ti m p o r t a n t , i sn a t u r a l l ys h o u l d e r i n gt h ef u n c t i o nw h i c h c a n n o tb es u b s t i t u t e d i t sp r i c i n gr e s e a r c hs i g n i f i c a n c ea l s oi so b v i o u s t h i sa r t i c l em a i n l yd i s c u s s e dt h ee u r o p e a n - s t y l ea s i a no p t i o n i m c i n ga n dt h er e a l d i a g n o s i sr e s e a r c h c o n s i d e r e dt h ec o m p l e x i t yo ft h ea s i a nt y p eo p t i o n ，t h ed i s c u s s i o nk e yp o 缸 h a sp l a c e do nt h ep r i c i n gu n d e rt h en o n - f r i c t i o nm a r k e ts u p p o s i t i o n r e g a r d i n gt h ea s i a no p t i o n w i t ht h et r a n s a c t i o nc o s ta n da m e r i c a n - s t y l ea s i a nt y p e o p t i o nw h i c hm i g h tb ei m p l e m e n t e d a h e a do ft i m e , w ej u s tt om a k et h es i m p l ed i s c u s s i o n a f t e rs i m p l yi n t r o d u c i n ge l e m e n t a r yk n o w l e d g ea n dt h ep r i c i n ge s s e n t i a lm e t h o da n dt h e i m p o r t a n tc o n c l u s i o no ft h ea s i a nt y p eo p t i o n ，w eh a de m p h a s i so na n a l y z e i n gt h ea s i a nt y p e o p t i o np r i c i n gp r i n c i p l ea n dt h ep r i c i n gm o d e l u s i n gt h ep d em e t h o d , w eh a se s t a b i s h e dt h e p r i c i n gm o d e lo ft h eg e o m e t r ya v e r a g ea s i ao p t i o nw i t ht h ek n o c k e d6 x e dp r i c e t h e n , b yt h e v a r i a b l er e p l a c i n gm e t h o d ，w et r a n s f o r e dt h eq u e s t i o ni n t ot h ec a u c h yq u e s t i o nw h i c hm i g h tb e s o l v e d ，t h u sw eo b t a i n e dt h ea n a l y t i cs o l u t i o no ft h eg e o m e t r ya v e r a g ea s i ao p t i o nw i t ht h e k n o c k e df i x e dp r i c e r e g a r d i n gt h ea r i t h m e t i cm e a na s i ao p t i o n w eo n l yc a nl o o kf o ri t s n u m e r i c a ls o l u t i o no rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o n t h i sa r t i c l eh a s g i v e nt h eb i n a r yt r e e a p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，t h ea v e r a g ev a l u er e l a t i o n sa p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，t w op r i c em o m e n t s a p p r o x i m a t i o nm e t h o d , t h em o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o da n da n a l y z e dv a r i o u sm e t h o d s s u i t a b l ec o n d i t i o na n dt h es c o i 弛 u n i f i e dt h ew i d e s p r e a du s a b i l i t yo ft h ea s i a no p t i o n ，w eg a v et w oe x a m p l e ss e p a r a t e l yi n t h es t o c k h o l d e r sr i g h t sa n di nt h ee x c h a n g er a t em a r k e t k e yw o r d s ：t h ea s i a no p t i o np r i c i n g ，t h eb i n a r yt r e ea p p r o x i m a t i o nm e t h o d , t h ea v e r a g e v a l u er e l a t i o n sa p p r o x i m a t i o nm e t h o d , t w op r i c em o m e n t sa p p r o x i m a t i o nm e t h o d ，t h em o n t e c a r l os i m u l a t i o nm e t h o d 浙江大学研究生学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是奉人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发 表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝堑太堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解逝婆太堂有权保留并向国家有关部门或机构送交 本论文的复印件和磁盘，允许论文被奋阅和借阅。本人授权逝适盍堂可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：年月日签字e t 期：年月日 浙江人学硕上学位论文致谢 致谢 研究生的生活很快就要成为过去，回顾二年半年的学习与生活，至今难以 忘怀，对于大家的帮助与指导，我将铭记于心，并在此一并作谢。 首先衷心感谢教导过我的老师，杨海涛教授与李胜宏教授，给与我学习上 的谆谆教导和生活上无微不至的关怀与帮助，他们为我创造了非常宽松自由的 学习、研究、实践的环境，他们也时刻不忘鞭策和鼓励我们。他们渊博的学识， 敏捷的思路，严谨的治学态度，踏实的研究精神以及勤奋忘我的工作态度深深 的感染着我，让我受益匪浅。在我学习困惑的时候给我点拨，在我思想上犹豫 的时候给我指引，他们对于我的人生观、价值观都有着很大的影响，在他们的 身上我懂得做人一定要正直，在学术上要严谨认真、一丝不苟。他们对我的影 响和帮助是我一生中巨大的财富。 还有金融数学方向的俞金平、汪刘根、沈健刚等学长给予我学习上的帮助 和在参与科研项目中给予了我很多的学习机会，同时也学到了很多的具体的思 路与方法。 最后，再一次谢谢你们。 浙江人学硕士学位论文绪论 1 绪论 1 1 引言 亚式期权最初引入主要是用于防止市场操作行为，特别是对期权到期前的 市场操纵行为。k m e n a 及v o r s t 于1 9 9 0 年指 h ，在交易量较小的情况下，大 户可以通过人单交易操纵市场价格，在标准期权市场牟取暴利。因标准期权在 到期u 的价值与路径无关，只与当u 标的资产的价格有关，较难防止到期口的 市场操纵行为。为解决这个问题，引入了一种奇异期权，此类期权的价值要与 路径相关，到期日的收益要取决于期权合同期内标的资产价格的平均值，从一 定程度上规范了市场操作。 随后，针对“内部人控制”问题，有效引入亚式期权。主要起因是部分股 份制公司对公司经理人所采取的“股权激励”制度，用于激励经理人在职期间 更加努力工作，给予公司经经理人一定数量的本公司的股票期权，经理人拥有 在一定期限内按规定价格购买相当数量本公司股票的权利。由此，经理人努力 工作，经营业绩良好，股价上涨，期权到期时经理人获得股票上的回报，达到 激励和公司良好运营的双重目的。但在实际中，由于最初股票期权的收益只与 到期日的股票价格有关，而与路径无关，则存在着期权拥有者在接近到期日时 操纵公司股价、牟取暴利的可能：也使得公司经营上不好的双败局面。为此， 引入依赖于路径的平均期权，其收益取决于平均期内资产价格的平均值，从一 定程度上可避免市场操纵行为。同时，对经理人用期权权利而买到的股票能否 转让，保证经理人能平仓股票获得现金，获取真正意义上的收益；从维护经理 人的角定而言，亚式期权的引入也有着重要的意义。 自改革开放以来，特别是加入w t o 后，我国的外贸活动与日俱增；在国际 贸易与投资活动日益频繁的2 1 世纪，对外贸易与投资已成为我国经济活动的重 要组成部分，汇率的变化直接关系到市场参与者与国家的经济利益。2005 年7 月21 日，中国宣布启动人民币汇率形成机制改革，中国实行以市场供求 为基础、参考一篮子货币进行调节、有管理的浮动汇率制度。人民币汇率不再 浙江大学硕上学位论文绪论 盯住单一美元，形成更富弹性的人民币汇率机制。人民币对美元汇率巾问价一 次性调高2 。汇率从8 i 一路闯关突破各个关口，现已进入6 8 时代，可见 汇率变化之频繁，对j j ：外贸经济活动产生了很大的影响，以及埘j ：目前已拥有2 万多亿的外汇储的中困，预测和掌握汇率的变化以及了解和运用外汇交易，管 理、控制及有效避免外汇风险，节约风险管理成本等已经成为外汇活动中极为 重要的环节，对于我国经济发展与社会稳定有着十分重要的社会与现实意义。 以汇率为标的的亚式期权( 平均汇率外汇期权) 作为外汇期权中重要期 权之一，其研究的实际意义不言而喻。如：一家中国公司期望在明年内甲稳地 收到来自美国的一份一亿美元的现金流，其可能对一种能保证该年内平均汇率 高于某水平的期权感兴趣。平均价格看跌期权能比常规看跌期权更好地满足这 一类要求。此类期权就是亚式期权中的一种。 因标的资产在一定时期内平均值的波动比特定日期价格的波动幅度小， 相应地，收益依赖于期权合同期内标的资产价格平均值的亚式期权的风险 显然会小于标准期权的风险，由此，亚式期权比标准期权会便宜；所以在 外汇市场上，为节约风险管理成本，亚式期权比标准期权较为常见，是外 汇市场上极为活跃的一个期权品种。故此，其定价研究为政府、风险管理 者、投资者以及学者们所重点关注。 鉴于亚式期权在股权激励、汇率市场、债券市场的重要性及其本身的 一些特点，其定价研究的意义显而易见。 2 浙江火学硕士学位论文绪论 1 2 论文结构 本文主要是对欧式亚式期权及其定价作一个综述。 本文安排如下： 第一章为绪论，介绍了亚式期权的来源及其实际背景，这个衍生品种的引 入主要是为了解决现实市场中的。些实际问题，而且起到很好的作用，深受投 资者的喜爱，是很活跃的一种奇异期权。对其加以研究十分必要。 第二章为亚式期权的基本概念。主要说明了按不同的分类方式对亚式期权 作了分类，及其在市场中的应用。 第三章谈到了期权定价的一些方法及重要结论，作为讨论亚式期权定价的 预备知识。主要是欧式期权定价的p d e 方法、期望效用理论定价法、风险巾性 定价法。其次是论文的主要部分：分别介绍了几何平均亚式期权定价的模型与 求解，算术平均亚式期权模型及数值求解思路与方法的探讨，重点分析了二叉 树方法、均值关系近似方法、二价矩近似方法、m o n t ec a r l o 模拟方法。并对几 种方法作了一定的分析比较，给出不同情形下适合用什么样的方法近似效果较 好，以求找到算术平均亚式期权定价的较好的数值方法。最后对带交易成本的 亚式期权定价作了初步的探讨。 第四章结合实际应用，对亚式期权在金融市场上凶标的不一j 的各种实例做 了具体的分析。 第五章为本文的总结及对于期权定价及市场的展望。 3 浙江人学硕上学位论文贬式期权概述 2 亚式期权概述 2 1基本概念 亚式期权又称为标的资产平均价格期权，是股票期权的一种衍牛物， 是在实值期权、虚拟期权、股票期权等期权的实践经验与教训基础上总结 推出的，解决了很多实际的问题。最早是由美国银行家信托公司( b a n k e r s t r u s t ) 在东京推出的。 2 1 1 什么是亚式期权 亚式期权( a s i a no p t i o n ) 是现代金融衍生品市场上交易最为活跃的奇 异期权之一，是一种强路径期权，与其它几种常见期权有着一些显著的区 别。 与股票期权的差别是对执行价格的限制，其执行价格为执行日前期权 有效期内二级市场价格的平均价格。 与标准期权的区别：到期日期权收益不仅依赖于标的资产到期同的价 格，更取决于期权有效期内标的资产价格变化的路径；不是采月j 标的资产 到期日的市场价格，而是用期权合同平均期内标的资产价格的平均值；其 中平均值又分为算术平均与几何平均。 亚式期权因标的资产的不同，有着很多的应用。目前市场上常见的标 的资产有股票、汇率、债券。以股票为标的的亚式期权是在股票期权的基 础上发展起来的，主要用于解决“股权激励”问题中出现的一些问题及尽 可能避免二级市场股票价格的操纵行为；以汇率为标的的亚式期权是外汇 期权中应用较多的一种奇异期权，常见于外汇市场的节约风险管理成本； 若标的为债券，亚式期权称为平均利率期权，常被企业与银行用于防范负 债的利率风险。与之相关金融衍生产品的研究、开发与创新则是更好的符 合当前资本市场改革的大方向，意义非凡。 ( 1 ) 若标的资产为股票 4 浙江人学硕上学位论文 亚式期权慨述 町l j 殳重 蜀 股票在f 时刻的价格 连续情形： 鸠2 詈f 耻 股价从起始时刻孙的算术平均 ! f l n 跚 m r = p 柚 股价从起始时刻到f 的几何平均 禽龄情形 m ，= 吉喜& 算术平均 厅 1 m t = ( f l s t j 矧 几何平均 与之相应的亚式期权有：算术平均亚式期权( a r i t h m e t i ca v e r a g ea s i a n o p t i o n ) 与几何甲均亚式期权( g e o m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o n ) 。 在到期日的收益可以有两种不同的类型： 以看跌期权为例 ( a )固定敲定价 k敲定价( 常量) 收益p = ( k m 7 - ) + ( b ) 浮动敲定价 收益p = ( 品一肘r ) + ( 2 ) 若标的资产为外汇，在外汇期权分类中有一类平均期权一平均 汇率外汇期权，指在期权到期日，期权的买者或卖者按期权实施汇率与期 权期限内平均汇率之间的差额进行结算的一种期权。即：在进行平均汇率 浙江人学硕士学位论文弧式期权概述 外汇期权交易时，买卖双方约定外汇数量n 、期权金p 、敲定价k ( 实施汇 率) 、即期汇率厂、汇率变化的间隔时间t 。在平均汇率外汇期权到期时， 对于看跌平均期权的买者而言，如果平均即期汇率厂高于期权的实施汇率 k ，期权将不会实施；若平均即期汇率低于期权的实施汇率，卖出此期权 的交易将向买者支付两者的差额。 买者收益= m a x 一f ，0 对于买权的买者而言，如果平均即期汇率低于期权的实施汇率，期权将 不会实施；若平均即期汇率高于期权的实施汇率，卖者向买者支付差额。 卖者收益= m a x k 一厂，o ) 如：某银行在未来一年内每月买进一笔外汇，该银行在需要的时候按即 期汇率买进这笔外汇，由- j ：即期汇率的变化，该银行面临着汇率风险。为 了防范风险，可以买进平均汇率外汇买权，即买入此平均亚式期权。如果 该银行所购买的外汇之后汇率上升，且这一年的平均即期汇率高于期权的 实施汇率，该银行可以通过亚式期权的盈利弥补购买外汇现货的损失。 2 1 2 亚式期权的分类 亚式期权的分类较常出现予股票期权与外汇期权中。 ( 1 ) 标的为股票期权 具有固定敲定价格的算术平均弧式期权 具有固定敞定价格的几何平均亚式期权 具有浮动敲定价格的算术平均亚式期权 具有浮动敲定价格的几何平均亚式期权 ( 2 )标的为外汇 按照计算基础价格的不同，亚式期权可分为平均价期权和平均执行价 格期权。 6 浙江大学硕士学位论文 哑式期权概述 ( a ) 平均价格期权的收益为执行价格与标的资产在有效期内的平均价 格之差。平均价格期权比标准期权廉价，因为标的资产价格在一段时间内 的平均值的变动比时点价格的变动程度要小，这就减少了期权风险，从而 降低了其时间价值，并且可能更适合客户的需求。 ( b ) 平均执行价格期权的收益为执行时的即期汇率与标的资产的平均 价格之差。平均执行价格期权可以保证购买在一段时间内频繁交易的资产 所支付的平均价格低于最终价格。另外它也能保证销售在段时间内频繁 交易的资产所收取的平均价格高于最终价格。 按期权买权者是否在到期日前行权，亚式期权又可以分为欧式亚式期 权与美式亚式期权。在到期日才行权的称为欧式亚式期权，也是目前市场 上较常见的一种；在到期同之前期权就被执行的称为美式亚式期权。一般 地，在不考虑股利及红利的情况下，对于买权人而言，两者无实质的区别。 但对卖权则不同，在到期日前很有可能被提前执行，两者在定价上是存在 一定区别的。本文主要讨论欧式亚式期权。 2 1 3 亚式期权的作用 ( 1 )避免二：级市场股票价格操纵行为。 ( 2 ) 减少公司员工进行内幕交易、损害公司利益的行为。 ( 3 ) 广泛应用于国际贸易部门、汇率市场，如银行、外贸公司经活动 等。 7 浙江人学硕士学位论文弧式期权概述 2 2 研究历史及背景 自2 0 世纪7 0 年代亚式期权引入衍牛品市场以来，表现日益活跃。其定价研 究也越来越多。在标的资产服从几何b r o w n 运动的假设下，k e m n aa n dv o r s t ( 1 9 9 0 ) f 1 1 、c o n z ea n dv i s w a n a t h a n ( 1 9 9 1 ) 【2 】给出了几何平均亚式期权的解析 解，对于算术平均亚式期权的定价因真实分布未知，我们只能需求其近似解。 早在1 9 7 7 年b o y l e 3 1 以标的几何平均的弧式期权作为初始值采用m o n t e c a r l o 方法控制方法得到了算术平均亚式期权的近似解以来，b o u a z i zl ( 1 9 9 4 ) 【4 l 利用线性过程给出了平均执行价格期权的近似解，t u r n b u l la n d w a k e m a n ( 1 9 9 1 ) 5 】、l e w ( 1 9 9 2 ) 6 1 利用对数正态分布近似算术平均的真实分布近 似算术平均的分布，从而得到其近似解，c a v e r h i l la n dc l e w l o w ( 1 9 9 0 ) 7 1 ，g e m a n a n dy o r ( 1 9 9 3 ) 给出过特殊情况下算术平均式期权的显式解，m i l e v s k ya n d p o s n e r ( 1 9 9 8 ) 踟，r o g e ra n ds h i ( 1 9 9 5 ) 对于解析解的上下界做过很好的分析并得 到了较好的结论。z h a n g ( 1 9 9 7 ) 1 9 】、b e n e d i c t ee ta l ( 1 9 9 7 ) 、s i m o ne ta l ( 2 0 0 0 ) t o 】、 r u t t i e s ( 1 9 9 0 ) 、n i e l s e n ( 2 0 0 1 ) 1 1 各自都给出过一些模拟方法和近似解。本文则 是总结这些方法的同时对几个常见的方法加以分析和比较，并结合实际情况对 这些方法作了总结。 8 浙江人学硕士学位论文弧式期权定价 3 亚式期权定价 本论文通用标记： & t 时刻风险资产的价格 t 【0 ，t 】 时问变量 s ( t ) = ( s ( f ) ，s 2 ( f ) ，最( f ) ) 是一随机过程 ( q ，f ，p ) 概率空间 c = 仃书。( r ) ，( f ) ，0 k 时，期权买者会行使权利，以k 买入一份股股票，此时 做市商会得到现金k ，但会欠减少一份股票，做市商在最后时刻r 的投 资组合为 b ”( r ) + k + c f ( y 膏( t ) - i ，s 彳( r ) ) ： 记u ：r _ r ，效用函数，“( 工) 关于x 单调增的凹函数，且“( 0 ) = 0 ， 满足： 一搴盟 o “( x ) 定义1 ：带期权义务做市商的价值函数 k ( b ) = 黝e 0 ( b 厅( r ) + 如；x ( c f ( y 厅( 丁) ，s 石( 丁) ) + i s 4 ，k c f ( y 万( 丁) 一1 ，s 石( 丁) ) + 足 显然k ( 曰) 关于占是单调增的；且记b 。= i n f b ：v 。( b ) 0 ) 定义2 ：没有期权义务时做市商的价值函数 v o ( 8 ) = 黝e 函( 口”( r ) + c f ( y 。( 丁) ，s 疗( 丁) ) ) 且记b o = i n f b ：( b ) 0 定义3 ：以上关联的期权的定价公式为 p = b i b o 注1 ：此定义的意义在于期权做市商在“做市与“不做市 之问是无 区别的。 注2 ：此处只是给出理论上定价的一种定义，并不能给出期权的解析公 1 1 浙汀人学硕士学位论文 弧式期权定价 式。 注3 ；利用期望效用理论给出期权的定价公式还需要做进一步的推导。 基本的思想定义价值函数v 及最人化算子，利用动念规划( d y n a m i c p r o g r a m m i n g ) 推导其b e l l m a n 方程及h a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n 方程， 给出h j b 方程解的存在性及唯一性。因h j b 方程的理论解较难求，一 般地我们都通过数值方法( 如m o n t ec a r l o 方法) 得到其数值解。 注4 ：此方法在其它奇异期权( e x o t i co p t i o n ) 的定价及带交易成本的期 权定价得到很好的应用，m h a d a v i sa n dv g p a n a s ( 1 9 9 3 ) 1 2 】给出了带 交易成本的欧式期杈( e u r o p e a no p t i o n ) 定价，v a l e f ii z a k a m o u l i n e ( 2 0 0 6 ) 1 3 也, 作了类似的讨论并得到了更好的结果，s u nc h a oa n dl i s h e n g h o n g ( 2 0 0 7 ) 【1 4 】利用此法讨论了带成比例和固定交易成本的重置期 权( r e s e to p t i o n ) 定价。可以说这种方法足期权定价中较理想的方法。 3 1 3p d e 定价方法 在风险中性世界中，市场无套利为市场假没，其实也是金融理论的一个基本 的假设。以风险资产s 和无风险资产b 组成的市场中，构造投资组合= v 一丛， 选取取适当的a ，使n 是无风险的。即： 望：坐二望! ：砌 1 - i ， 得d 屹一a d s ，= 棚，冼= ，( _ 一笛，) 班( 3 1 2 ) 形= y ( 墨，t ) d s | = 璐l d t + o - 5 t d w tl 3 1 3 、 由伊藤公式：d 巧= ( 詈+ 声嚣+ 圭盯2 s 2 豢渺+ 甜豢d 形 ( 3 1 4 ) 浙江大学硕士学位论文亚式期权定价 f h ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 3 1 4 ) ，选取= 芸得期权价格满足的偏微分方程： 罾+ r $ o 勰v _ 1 神2 崇卅= 0 一 + - + 一仃。j _ 一，y2 a ta s2a s 2 若考虑支付红利的情况，同理可推得p d e ： 警竹训s 西o v 甲12 s 2 豢州= 。 解得欧式看涨期权定价 v = s e - q ( t - t ) n ( d i ) 一i c e - r ( t - t ) n ( d 2 ) l n 导+ ( ，刊+ 譬 叫 其中弘艺杀等 d ：= d 。一仃打i 注：证明过程见1 5 i 3 1 4 风险中性定价 g i r s a n 叫定理：设形= 彬，0 f 乃为b r o w n 运动，h = e ，0 t 乃为可 测适应过程，且 对f 【0 刀，记 z ，( 日) = e x p i h ，d 彤一三f 日? 础 假设目乙( h ) 】一1 f f c + q = p r ( h ) d p 及两= 形一f h i l t 则w 为q b r o w n 运动。 证明见【1 6 】 由g i r s a n o v 定理及鞅表示理论，在现实风险市场进行风险中性测度变换， 利用无套利原理，在等价鞅测度下给出期权定价公式。 定理：记q 为置与置的等价鞅测度，则期权价格矿( s ，t ，k ，t ，仃) 有 浙江人学硕上学位论文 亚式期权定价 r ( s ，t ，k ，t ，盯) = p 一7 r 叫酽【( 品- k ) + 】 其中e 口【】为等价鞅测度下的期望。 注：证明过程见【1 刀 3 1 s 亚式期权定价原理 本节以同定敲定价看涨亚式期权为例说明。基本原理为风险中性定价原理。 标的资产表现为股价s ，由无套利原理，在风险中性测度q 下对收益函数 m a x ( m r k ，o ) = ( m r k ) + ( 以看涨期权为例) 求期望，并以无风险利率贴现 得看涨亚式期权的定价公式： v ( m r ，t ，k ，t ，盯) = e - r ( h e 口【( 膨7 - 一k ) + 】 ( 3 1 5 ) 其中m ，为墨的甲均值( 见第二章) 1 、当m ，为几何平均时，( 3 1 5 ) 中的m ，的分布是已知的，可以求得 e 口【( m r k ) + ，从而给出亚式期权的解析价。 2 、当膨，为算术平均时，m ，的分布很难求出，因而不能较易给出期权的解 析解。对其定价我们一般寻求其数值解或近似解。基本方法有二叉树方法、 p d e 方程数值解法、均值关系近似求解法、二价矩近似法、随机泰勒展开 近似法、m o n t ec a r l o 模拟方法等。 1 4 浙汀人学硕i 上学位论文 弧式期权定价 3 2 亚式期权定价 本节丰要讨论无交易成本的亚式期权的定价，分别介绍了几何平均亚式期 权的定价及算术平均亚式期权的定价，并对带交易成本的亚式期权定价做了初 步的探讨。 对于几何平均亚式期权，在b l a c k s c h o l e s 模型假设下，风险中性世界中，标 的资产价格服从几何b r o w n 运动，其几何甲均也服从几何b r o w n 运动，其期权 定价也容易得到解析解。 算术平均皿式期权则不然，不能得到其解析解，其定价也显得较复杂。一方 而，由于算术平均比几何平均容易理解，且算术平均亚式期权在金融市场中的 应用较几何平均亚式期权更为广泛，本节重点介绍了算术平均亚式期权的定价。 涉及的方法有效用期挚理沦和p d e 的方法及讨论算术平均弧式期权定价时用到 均值关系近似求解法、二价矩近似法、：叉树方法、埃级沃期级数展开近似、 随机泰勒展开近似、均值关系近似等诸多近似方法，以求找出一个更为理想的 定价方法。 在实际的市场交易中，不同于之前提到的市场假设，存在着市场摩擦和套 利机会，对于带交易成本的期权定价方法，越来越受到学者和市场的关注。众 多的学者也给出过很多的方法，其中效用期望理论目前为_ l i 二被证明为是一种较 好的方法。由h o d g e sa n dn e u b e r g e r 提出了相关的思想，在d a v i sa n dp a n a s 了 此理论，主要是d a v i s 于1 9 9 0 年把这个理论引入到了带交易成本的欧式期权定 价和对冲中。m o h a m e d ，c l e w l o w , a n dh o d g e s ，a n dm a r t e l l i n i n ia n dp r i a u l e t 利用效用 期望理论结合模拟分析的方法得出过一些很好的实践结果。 本节以固定敲定价格看涨式期权为例。 3 2 1 几何平均亚式期权定价 市场假设： 允许卖空，不考虑交易费用，无风险利率，为常数，原生资产价格服从几何 浙江人学硕_ 上学位论文亚式期权定价 b r o w n 运动，市场无套利，证券交易具有时间和数量的连续性。 出于市场假设，有 d s = a s d t + o s d w 噜) ( ( 一f 等- - 2 ) a t , c r 2 a t ) 期权定价 v = y ( 墨，m i ，f ) ( 3 2 1 ) 利用对冲策略，i i = v ( s ，m ，f ) 一a s ，在( f ，t + d t ) 内是无风险的。 d l - i = r i i d t = r ( v - a s ) d r n ，+ 曲= + 击一墨+ 曲- a s , q d t i 1 ，= 杉一a s , d i - i ，= f i ，+ 毋- f i ，= a v , - a d s , - a s , q d t d l - i = d v a d s q z 土s d t 肌a s a s + 等谢+ 型o t 出+ 三2 祟o s ( 嬲) 2a m 2 、 。 = 等c 础+ 舔d 形，+ 筹谢+ 詈衍+ 吉豢c 础+ 。册，2 ( 3 2 2 ) 3 2 3 ) = c 心西o r + o 国r , + 吉盯2 s 2 豢渺+ 甜詈d 形+ 等捌 c 3 2 4 ， 代入上式，i ! t r = 西o v 联立( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) ( 3 2 4 ) 得 c 警m 刊s 嚣+ 筹警+ 吉内2 豢一出= 。 即竺a t 竹刊s 等+ 等警+ 三拥2 窘州= 。 伍2 脚 浙i t 人学硕上学位论文 亚式期权定价 m ：g 净叫一d g ：m ( 堕墅尘咝) dt t 结论1 ：带红利的欧式看涨固定敲定价几何平均亚式期权定价模型： 在定解区域 0 s ，0 m 。o ，0 f n 上求定解问题： j 百a v 地刊j 面8 v + 膨坠半筹+ 扣2 豢卅= 。 【g ( s ，m ，丁) = ( m k ) + 结论2 ：欧式看涨固定敲定价几何平均亚式期权定价公式： g ( s ，m ，f ) ：瞰，sr - ，】吾p 矿+ 等vx t - 。) ( d i ) 一心( 以)，f ) = 瞰】亍p p + 了( d i ) 一心( 以) ；1i n i m i s f t - i + ( ，+ 华) ( r _ f ) 一n - + i ，+ i 二- m l f 其中：小l 卫号厉_ aq i l d ；= d 卜仃打i 厂却一争等 盯：g _ ( t 一- t ) 4 3 t 3 2 2 算术平均亚式期权定价 算术平均亚式期权定价模犁可以通过p d e 或者概率论的方法给出，但不能得 到其解析解。由于目前o t c 市场上亚式期权的活跃性，特别是以算术平均亚式期 权更为常见，深受投资者喜爱的一个金融衍生品种，研究其数值解或近似解的 必要性和重要性不言而喻。 在众多研究中，在1 9 7 7 年，b o y l e 利用m o n t ec a r l o 控制方差法得到了算术平 均亚式期权的近似解。l r o g e r s 和z s h i 曾于1 9 9 5 年给出过解析解的下界表达式， 1 7 浙江人学硕士学位论文 亚式期权定价 w i l m o t t ，p e t e rz h a n g ，z v a n ，z h uz i l i 等都做过很多好的工作求解数值解。本节 总结了几个较好的近似方法，并给出了一定的比较，以求得到算术平均皿式期 权一个较为理想的数值方法。 求解数值或近似解的思想归纳起来有： 1 、二叉树方法。由于亚式期权实际应用中存在定期结算的实例，如银行 外汇业务中的定期结算，某进出口公司需要按月支付外币贷款等业务， 属于算术平均的离散情形，与二叉树的应用特点正好相符，具好很好 的适用性。此方法在亚式期权定价中是最重要也是较常用的一种数值 方法。 2 、 用已经的分布近似算术平均的分布。此类方法为很多人探讨过，如 l e v y ，t u r n b u l l ，r u t t i e n s ，w a k e m a n 等。本文将以几何甲均的分布近 似算术平均的分布来介绍此方法。 3 、m o n t ec a r l o 模拟、f o u r i e r 变换、有限元方法、随机泰勒展开法等数 值方法。 璧o v + ( r ) s c 硝3 v + 署警+ 圭神2 豢一= 。 【v ( s ，m ，r ) = ( m k ) + 3 2 2 1 二叉树方法 将期权有效期【o ，r 】进行n 等分： 0 = t o t l t 2 t 5 t 浙江人学硕士学位论文 亚式期权定价 f = 专，= 山( o 刚) s 与m 的二叉树过程： 当n = i 时，单时段双状态模型： ( 图一) s o u s o d 一般地，记s l ；，= s 。甜d 。一( o i j ，o ) ，表f j 时刻股票价格的所有可 能取值，对每一个单时段双状态模型，在 t j , t 川】上，s 变到s u = s 盘。或 s a = 酬州。如( 图二) ： s 嚣 s j + 1 群对应于s 路径变景的指标集合， m 5 ( k e 群) t ，时刻股价为科时对应于七路径所有可能的平均值。有 叭：。膨& 其中雠= 去喜，= 彰 m 川n + 旷i 再ilf 【智+ s 一 跣1 ) m t n “+ i k m 瓮 浙江人学硕_ 上学位论文弧式期权定价 m 跣= 鬲1 偿跏i ) 埘应的期权定价：如( 图网) 吃以如 v r i n 。旧+ l 在风险中性世界中，由对冲原理，构造投资组合i - i = v a s ，选取适 当的a ，使得投资组合是无风险的，即有： 杉置乙一s 篇1 = v ，n 材+ ! 一z 岱，n ，m + l = 尸( 杉二一丛，) ( 其中p = 1 + r t ) 得吃= 寺弼盘+ ( 1 吲 d n 埘+ 1 1 ， ( 3 2 6 ) ( 其中g = 等) “一口 在t = ti - ，根据己知的收益函数，可求出 巧笠) k ，f ( o f 加f h ( 3 2 6 ) 可求得k 反向归纳即可笪出初始时刻的期权定价。 3 2 2 2 均值关系近似定价 基本思路：因几何平均亚式期权的分布是已知的，若能找到标的资产的几何 平均( g e o m e t r i cm e a n ) 与算术平均( a r i t h m e t i cm e a n ) 简单的关系，如线性关 系或近似线性关系，从而近似算术平均的近似分布，求出算术平均亚式期权的 近似解。 通过泰勒级数展开分析标的资产的几何平均与标的资产算术平均的关系，找 浙江大学硕上学位论文 亚式期权定价 剑 内看阳迎1 以天糸： a m = g m 研明 其中g m 表几何平均，a m 表算术平均 艇】 是常数 一、一般均值函数及均值关系 均值函数定义： m ( p ) = ( 土n il 掣) p i ( o p 1 ) _ _ m ( ) = 吉喜墨= 彳m m ( 。) = 脚m ( p ) _ ，l i m 。( 去喜s | ；p ) 古一f 闰l s ，) 去= g m 膨( p ) 随时p 单调递增，：肓g m a m 对m ( p ) 在p = o 作泰勒展开： 帅) 堋0 ) + m ( o 聃华p 2 + 华p 3 ( 咐 p ) 3 2 7 ) 膨( 1 ) ：m ( o ) + 膨( o ) + 丝+ 丝 ( o 孝 1 ) zo 其中m ( 1 ) = a m ，m ( o ) = g m 以下求m ( o ) 与膨”( o ) ，目的是为了找出g m 与删的关系。 膨c p ，= 古i i l ( 凑踟】= m c p ，咕- n 咕喜) 】