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用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群 摘要 摘要 众所周知，群和图之间有着密切的关联在许多情况下群的性质可以得到 一些图的性质，反之亦然例如，g r u e n b e r g 和k e g e l ( 参见文【3 9 】) 引入了有限群 g 的素图g k ( g ) 的定义，并根据素图分支得到有限群的一个分类很多学者利 用此分类得到某些单群的纯数量刻画，即用“群的阶和元素的阶”或用“元素 的阶”来刻画单群，可参见文f 3 ，5 ，1 2 ，1 4 ，2 0 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 8 ，4 0 有限群g 的非交换图v ( a ) 亦引起了很多作者的关注文 2 2 】中给出其 定义如下：v ( a ) 的顶点集合是g z ( g ) ，当两个顶点z 与y 的换位子不等于 单位元时z 与y 相连 1 9 8 7 年，j g t h o m p s o n 教授提出如下猜想 t h o m p s o n 猜想设g 是有限群，z ( g ) - 1 ，m 是有限非交换单群，满足 n ( a ) = ( m ) ，则g 竺m ，其中n ( g ) 表示g 中共轭类长的集合 陈贵云教授证明了t h o m p s o n 猜想对素图非连通的所有非交换单群成立， 可参见文 8 ，9 ，1 0 ，i 1 1 对于素图连通的非交换单群，t h o m p s o n 猜想是否成立，至今没有任何结 论 非交换图的概念引入之后，许多学者试图用非交换图来刻画单群 2 0 0 5 年，a r m o g h a d d a m f a r ，w j s h i ，w z h o u 和a r z o k a y i 在文 2 2 】中证 明了对某些群，如a ，& ，散在单群，素图非连通的李型单群，若存在另外一 个群与其非交换图同构，则这两个群的阶相等 2 0 0 6 年，a a b d o l l a h i ，s a k b a r i 和h r m a i m a n i 在文【l 】中证明了对某些 群，如p s l ( 2 ，2 n ) ，s z ( 2 。m + z ) ，若存在另外一个群与其非交换图同构，则这两个 群同构 文中还提出下述猜想： a a m 猜想设m 是有限非交换单群，g 是有限群，满足v ( a ) 型v ( m ) ， 则g 型m 作者在第二章中对a a m 猜想进行了讨论，考虑有限单群l 。( g ) ，l 。( g ) 及一 般的素图非连通的有限单群，并讨论了素图连通的度数为1 0 的交错群a 。o ， 得到如下一些结论： 定理2 2 4 令g 是一个有限群，v ( g ) 笺v ( m ) ，其中m = 三2 ( g ) ，则g 笺m 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群摘要 定理2 3 5 令g 是一个有限群，v ( a ) 兰v ( m ) ，其中m = l 3 ( g ) ，则g 兰m 定理2 4 3 设m 是素图非连通的有限非交换单群，g 是一个有限群， 满足v ( a ) 笺v ( m ) ，则g 竺m 定理2 5 7 设g 是有限群，v ( g ) 垡v ( a 1 0 ) ，则g 兰a 1 0 群的阶和元素的阶是有限群论的基本数量，在有限群尤其是有限非交 换单群的结构中起着重要的作用设g 是有限群，r ( g ) 表示i g i 的素因 子，- e ( a ) 表示g 中元素阶的集合，n ( g ) 表示g 中共轭类长的集合文 【3 9 】中给出群g 的素图a k ( g ) 的定义，其顶点集合y ( g k ( g ) ) = 7 r ( g ) ，边集合 e ( g k ( g ) ) = 【p qp q 7 k ( g ) ，p ，q y ( g k ( g ) ) ) 1 9 8 7 年，施武杰教授提出如下猜想： 猜想设g 是有限群，m 是有限非交换单群，则g 型m 当且仅当( 1 ) 7 r 。( g ) = 丌e ( m ) ，( 2 ) i g i = i m i 作者在第三章对上述猜想进行讨论，得到下面的定理3 2 8 ： 定理3 2 8 设g 是有限群，m = d 。( 2 ) ，扎为偶数，则g 型m 当且仅当 ( 1 ) 丌e ( g ) = 7 r e ( m ) ，( 2 ) j g l = i m i 定理3 2 8 对文不能证明的情形给出了补充 在文【1 9 中，作者引入特征为p 的李型单群的素数幂图我们定义这种 图r ( g ) ：其顶点集合是 r 。ir p 为素数，a 0 是整数，g 中存在r 。阶元) 它是由g 中的素数幂阶半单元的阶组成对于图中两个不同的顶点r 。和妒， 若g 中存在l c m ( r 。，妒) 阶元，则定义r 。和妒之间有一条边 作者在第四章讨论了关于特征为p 的李型单群的素数幂图的连通性，及 素数幂图的每个分支为完全图的有限李型单群的分类，得到如下结论： 定理4 2 5 李型单群的素数幂图的连通分支数至多是5 定理4 3 6 设g 是一个有限李型单群，其素数幂图的每个连通分支均为 完全图，则g 为下列群之一： ( 1 ) a l ( g ) ，其中q 3 ； ( 2 ) a 2 ( 4 ) ； ( 3 ) a 2 ( g ) ，其中( 3 ，q 一1 ) = 1 ； ( 4 ) a 3 ( 2 ) ； ( 5 ) 2 a 2 ( 口) ，其中( 3 ，g + 1 ) = 1 ； 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群摘要 ( 6 ) 岛( g ) ，其中q 2 ； ( 7 ) 2 8 2 ( g ) ，其中q = 2 2 k + 1 ； ( 8 ) g = g 2 ( 口) ，其中q = 3 七 关键词：有限群；非交换图；元素的阶；群的阶；素数幂图 作者：王玲丽 指导教师：施武杰 1 1 i a b s t r a c t g e n e r a l l y ，t h e r ei sa ni n t i m a t er e l a t i o nb e t w e e nt h eg r o u p sa n dg r a p h s ，a n di nm a n y o c c a s i o n sp r o p e r t i e so fg r a p h sg i v er i s et os o m ep r o p e r t i e so fg r o u p sa n dv i c ev e r s a f o ri n s t a n c e it h ep r i m eg r a p hc k ( g ) a s s o c i a t e dw i t haf i n i t eg r o u pgi n t r o d u c e db y g r u e n b e r ga n dk e g e lw h og i v eac l a s s i f i c a t i o no ff i n i t eg r o u p sb yt h en u m b e ro fc o n n e c t e d c o m p o n e n t so ft h e i rp r i m eg r a p h ( c f 3 9 1 ) a f t e rt h a t t h e r ea r em a n ya r t i c l e sw h i c h 百v e t h ec h a r a c t e r i z a t i o n so fs i m p l eg r o u p sf r o mt h ed i f f e r e n tc o n d i t i o n ss u c ha st h ec o n d i t i o n s “t h e o r d e ro fg r o u pa n dt h es e to fe l e m e n to r d e r s ”a n d “t h es e to fe l e m e n to r d e r s ” ( c f 3 ，5 ，1 2 ，1 4 ，2 0 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 8 ，4 0 1 ) o n eo ft h e s eg r a p h st h a th a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fm a n ya u t h o r si st h en o n - c o m m u t i n gg r a p hv ( g ) a s s o c i a t e dw i t haf i n i t eg r o u pg i th a sb e e nd e f i n e di n 2 2 a s f o l l o w s ：t h ev e r t e xs e to fv ( g ) i sa z ( a ) w i t ht w ov e r t i c e sza n dyj o i n e db ya ne d g e w h e n e v e rt h ec o m m u t a t o ro fza n dyi sn o tt h ei d e n t i t y i n1 9 8 7 ，p r o f e s s o rj g t h o m p s o np u tf o r w a r dt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r e t h o m p s o n 7 sc o n j e c t u r ei fgi saf i n i t ec e n t e r l e s sg r o u pa n dm i san o n - a b e l i a n s i m p l eg r o u ps u c ht h a tn ( g ) = ( m ) ，t h e ng 型m ，w h e r en ( g ) ：= n n gh a sa c o n j u g a c yc l a s so fs i z e 礼) t h ev a l i d i t yo ft h o m p s o n 7sc o n j e c t u r ei s g r o u p sw h o s ep r i m eg r a p ha r ed i s c o n n e c t e da n d k n o w nf o ra l lf i n i t en o n - a b e l i a ns i m p l e w ec a nr e f e rt o 【8 ，9 ，1 0 ，1 l 】 t h ev a l i d i t yo ft h o m p s o n 7sc o n j e c t u r ei sn o tk n o w nf o rf i n i t en o n a b e l i a ns i m p l e g r o u p sw i t hc o n n e c t e dp r i m eg r 印h s i th a sb e e nt h em o t i v a t i o no fm a n yr e s e a r c ha r t i c l e st os t u d yt h ef i n i t es i n p l eg r o u p b yi t sn o n - c o m m u t i n gg r a p h i n2 0 0 5 ，a r m o g h a d d a m f a r ，w j s h i ，w z h o ua n da r z o k a y ip r o v e di ft h e r e e x i s t saf i n i t eg r o u pw h o s en o n c o m m u t i n gg r a p hi si s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o l l o w i n g g r o u p s ：a n ，s p o r a d i cs i m p l eg r o u p sa n dl i et y p es i m p l eg r o u p sw i t h d i s c o n n e c t e d p r i m eg r a p h ，t h e i ro r d e r sa r ee q u a l ( c f 2 2 】) i n2 0 0 6 ，a a b d o l l a h i ，s a k b a r ia n dh r m a i m a n ip r o v e di ft h e r ee x i s t saf i - n i t eg r o u pw h o s en o n c o m m u t i n gg r a p hi si s o m o r p h i ct oo n eo ft h ef o l l o w i n gg r o u p s ： p s l ( 2 ，2 “) ，s z ( 2 2 m + 1 ) ，t h e ya r ei s o m o r p h i ca n dp u tf o r w o r dt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r e ( c f 1 】) ： a a m 7 sc o n j e c t u r el e tmb eaf i n i t es i m p l eg r o u pa n dgaf i n i t eg r o u ps a t i s f y i n g v ( a ) 垡v ( m ) ，t h e ng 竺m t h ea u t h o rc o n s i d e r sa a m 7sc o n j e c t u r e ，d i s c u s s e st h eg r o u p sl 2 ( q ) ，l a ( q ) ，f i n i t e s i m p l eg r o u p sw i t hd i s c o n n e c t e dp r i m eg r a p ha n dt h ea l t e r n a t i n gg r o u pa x 0o fd e g r e e1 0 w i t hc o n n e c t e dp r i m eg r a p ha n dp r o v e st h ef o l l o w i n gt h e o r e m si nc h a p t e r2 ： i v t h e o r e m2 2 4l e tgb eaf i n i t eg r o u ps u c ht h a tv ( a ) 笺v ( m ) ，w h e r em = l 2 ( g ) ， t h e ng 竺m t h e o r e m2 3 5l e tgb eaf i n i t eg r o u ps u c ht h a tv ( a ) 笺v ( m ) ，w h e r e m = l 3 ( g ) ， t h e ng 垡m t h e o r e m2 4 3 l e tmb eaf i n i t es i m p l eg r o u p sw i t hd i s c o n n e c t e dp r i m eg r a p h ， gb eaf i n i t eg r o u p ，s a t i s f y i n gv ( a ) 竺v ( m ) ，t h e ng 型m t h e o r e m2 5 7 l e tgb eaf i n i t eg r o u ps u c ht h a tv ( g ) 型v ( a l o ) ，t h e ng 型a l o t h eo r d e ro fg r o u pga n dt h ee l e m e n to r d e rw h i c ha r ei m p o r t a n ti nt h et h e o r yo f f i n i t eg r o u p se s p e c i a l l yi nt h ef i n i t en o n - a b l i a ns i m p l eg r o u p sa r et h eb a s i ca r i t h m e t i c l e tgb eaf i n i t eg r o u p d e n o t eb y 丌( g ) t h es e to fp r i m ed i v i s o r so fi a l ，b yz e ( g ) t h e s e to fe l e m e n t so r d e r si nga n dn ( g ) t h es e to fc o n j u g a c ys i z e si ng i n 3 9 j ，t h ea u t h o rg i v e st h ed e f i n i t i o no fp r i m e g r a p hg k ( g 1o fgw h o s ev e r t e xi s v ( a k ( a ) ) = 丌( g ) a n de d g ee ( g k ( g ) ) = 妇一qp q 丌。( g ) ，p ，g y ( g k ( g ) ) ) i n19 8 7 ，p r o f e s s o rs h iw u j i e p u tf o r w a r dt h ef o l l o w i n gc o n j e c t u r e ： c o n j e c t u r el e tgb eaf i n i t eg r o u pa n dmaf i n i t en o n a b e h a n s i m p l eg r o u p t h e n g 掣mi fa n do n l yi f ( 1 ) 丌e ( g ) = t r y ( m ) ，( 2 ) i g l = l m i t h ea u t h o rc o n s i d e r st h ea b o v ec o n j e c t u r ea n dp r o v e st h ef o l l o w i n gt h e o r e m3 2 8 i nc h a p t e r3 ： t h e o r e m3 2 8l e tgb e g 竺mi fa n do n l yi f ( 1 ) 丌。( g ) = af i n i t eg r o u pa n dm = d 。( 2 ) t r y ( m ) ，( 2 ) i g i = l m | w h e r e 扎i se v e n t h e n t h ea b o v et h e o r e mi sc o m p l e m e n t a r yt ou n s o l v e de a s e si n 4 0 1 f o re a c hf i n i t es i m p l eg r o u pgo fl i et y p eo fc h a r a c t e r i s t i cp ，d e f i n eap r i m ep o w e r g r a p hr ( a ) a sf o l l o w si n 【1 9 t h ev e r t i c e so fr ( a ) a r et h ep r i m ep o w e r sr at h a to c c u r a so r d e r so fs o m ee l e m e n t so fg ，f o ra l lp r i m e sr pa n d i n t e g e r sa 0 p r i m ep o w e r s 7 o ，8 。a r ea d j a c e n ti fa n do n l yi fgh a sa ne l e m e n to fo r d e r2 c m p o ，妒1 i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h ec o n n e c t i o no fp r i m ep o w e rg r a p hr ( a 1o fs i m p l e g r o u pg o fl i et y p eo fc h a r a c t e r i s t i cpa n dg i v eac l a s s i f i c a t i o no fs i m p l eg r o u po fl i et y p e 祈t hc o m p l e t eg r a p hc o m p o n e n t so fr ( a 1a n dg e tt h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： t h e o r e m4 2 5t h en u m b e ro fc o m p o n e n t si nr ( a ) o fs i m p l eg r o u pgo fl i et y p e i ss tm o s tf i v e t h e o r e m4 3 6l e tgb eaf i n i t es i m p l eg r o u po fl i et y p e ，a n dl e t a l lc o n n e c t e d c o m p o n e n t so fi t sp r i m ep o w e rg r a p hr ( a ) b ec l i q u e s t h e ngi so n eo ft h eg r o u p si nt h e f o l l o w i n gl i s t ： ( 1 ) a ( g ) ，w h e r eg 3 ； ( 3 ) a 2 ( q ) ，w h e r e ( 3 ，q 1 ) = 1 v 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群 a b s t r a t ( 4 ) a 3 ( 2 ) ； ( 5 ) 2 a 2 ( q ) ，w h e r e ( 3 ，q + 1 ) = 1 ； ( 6 ) u 2 ( q ) ，w h e r eq 2 ； ( 7 ) 2 8 2 ( g ) ，w h e r eq = 2 2 k + 1 ； ( 8 ) g = a 2 ( q ) ，q = 3 k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p s ；n o n - c o m m u t i n gg r a p h ；o r d e ro fe l e m e n t s ；o r d e ro fag r o u p ； p r i m ep o w e rg r a p h v i w r i t t e nb yw a n gl i n g l i s u p e r v i s e db ys h iw u j i e 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名：立羔丛垒f t f t 期：导师签名：鱼垒! 垒 期： 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群引言 引言 众所周知，群和图之间有着密切的关联在许多情况下群的性质可以得到 一些图的性质，反之亦然例如，g r u e n b e r g 和k e g e l ( 参见文【3 9 ) 引入了有限群 g 的素图g k ( g ) 的定义，并根据素图分支得到有限群的一个分类很多学者 利用此分类得到某些单群的纯数量刻画，即用“群的阶和元素的阶 或用“元 素的阶”来刻画单群，可参见文【3 ，5 ，1 2 ，1 4 ，2 0 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 8 ，4 0 】 有限群g 的非交换图v ( a ) 亦引起了很多作者的关注文 2 2 中给出其定 义如下：v ( g ) 的顶点集合是g z ( g ) ，当两个顶点z 与y 的换位子不等于单位 元时z 与y 相连 群的阶和元素的阶是有限群论的基本数量，在有限群尤其是有限非交换 单群的结构中起着重要的作用设g 是有限群，丌( g ) 表示i g f 的素因子，丌。( g ) 表示g 中元素阶的集合文【3 9 】中给出群g 的素图g k ( g ) 的定义，其顶点集 合v ( a n ( a ) ) = 7 r ( g ) ，边集合e ( g k ( g ) ) = 扫一口l p g 丌e ( g ) ，p ，q y ( g k ( g ) ) ) 在文【1 9 】中，作者引入特征为p 的李型单群的素数幂图我们定义这种图 r ( g ) 为：其顶点集合是 r 。ir p 为素数，口 0 为整数，g 中存在r 。阶元) 它是由g 中的素数幂阶半单元的阶组成对于图中两个不同的顶点r 。和s a ， 若g 中存在l c m ( r 。，8 b ) 阶元，则定义r 。和妒之间有一条边 本文讨论了单群的某些特征性质，并给出特征为p 的李型单群的素数幂 图的一些性质，共分四章，主要有如下内容： 第一章介绍本文常用的符号和基本概念 第二章讨论用非交换图刻画某些单群 1 9 8 7 年，j g t h o m p s o n 教授提出一个猜想 t h o m p s o n 猜想设g 是有限群，z ( a ) = 1 ，m 是有限非交换单群，满足 w ( a ) = ( m ) ，则g 竺m 陈贵云教授证明了t h o m p s o n 猜想对素图非连通的所有非交换单群成立， 可参见文 8 ，9 ，1 0 ，1 1 对于素图连通的非交换单群，t h o m p s o n 猜想是否成立，至今没有任何结 论 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群引言 非交换图的概念引入之后，许多学者试图用非交换图来刻画单群 2 0 0 5 年，a r m o g h a d d a m f a r ，w j s h i ，w z h o u 和a r z o k a y i 在【2 2 】文中证明 了对某些群，若非交换图同构，则群阶相等 定理2 1 1 设g 是有限群，v ( a ) 掣v ( a 。) ，其中礼24 ，则l g l = i a 。1 定理2 1 2 设g 是有限群，日是散在单群，若v ( g ) 型v ) ，则i g | = i s l 定理2 1 3 设g 是有限群，h 是素图非连通的李型单群，若v ( v ) 型v ( 日) ， 则i g i = i h i ， 定理2 1 4 设g 是有限群，v ( g ) 竺v ( 晶) ，其中n 3 ，则i g i = l & | 2 0 0 6 年，a a b d o l l a h i ，s a k b a r i ，和h r m a i m a n i 在文 1 】中证明了如下定理： 定理2 1 5 设g 是有限群，v ( a ) 竺v ( p s l ( 2 ，2 n ) ) 。其中n n ，则g 兰p s l ( 2 ，2 n ) 定理2 1 6 设g 是有限群，v ( g ) 竺v ( s z ( 2 2 m + 1 ) ) ，其中m n ，则g 竺s z ( 2 2 m + 1 ) 并提出猜想： a a m 猜想设m 是有限非交换单群，g 是有限群，满足v ( c ) 竺v ( m ) ，则 g 竺m 本章对a a m 猜想进行了讨论，考虑了有限单群：( g ) ，l 。( g ) 及一般的素图 非连通的有限单群，并讨论了素图连通的度数为1 0 的交错群a 。，得到如下一 些结论： 定理2 2 4 令g 是一个有限群，v ( a ) 掣v ( m ) ，其中m = l 2 ( g ) ，则g 型m 定理2 3 5 令g 是一个有限群，v ( g ) 竺v ( m ) ，其中m = l 3 ( 口) ，则g 型m 定理2 4 3 设m 是素图非连通的有限非交换单群，g 是一个有限群，且 v ( c ) 垒v ( m ) ，贝0g 型m 定理2 5 7 设g 是有限群，v ( a ) 型v ( a 1 0 ) ，则g 竺a l o 第三章讨论用群的阶和元素的阶刻画单群d 。( 2 ) 1 9 8 7 年，施武杰教授提出如下猜想： 猜想设g 是有限群，m 是有限非交换单群，则g 垒m 当且仅当( 1 ) 丌e ( g ) = t r y ( m ) ，( 2 ) l a l = i m i 上述猜想作为一个未解决的群论问题已载入文【2 1 1 文【1 2 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ， 3 3 ，4 0 】证明了上述猜想对除阶大于l o s 的辛群，偶数维的正交群以外的所有单 2 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群引言 群都成立这方面成果总结为下面定理： 定理3 1 1 设g 为有限群，m 为下列群之一： ( 1 ) 散在单群； ( 2 ) 交错群； ( 3 ) 除风，“，d 。( 几为偶数) 外的李型单群； ( 4 ) i m i 3 ； ( 2 ) a 2 ( 4 ) ； ( 3 ) a 2 ( g ) ，其中( 3 ，q 1 ) = 1 ； ( 4 ) a 3 ( 2 ) ； ( 5 ) 2 a 2 ( g ) ，其中( 3 ，q + 1 ) = 1 ； ( 6 ) c 2 ( q ) ，其中q 2 ； 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群引言 ( 7 ) 2 8 2 ( g ) ，其中q = 2 2 + 1 ； ( 8 ) g = g 2 ( g ) ，其中g = 3 七 本文的创新点： 1 用一种新的方法“非交换图”刻画单群，并用非交换图刻画了素图连 通的阶最小的非交换单群a 。，但t h o m p s o n 猜想对a ，。是否成立，至今未知 2 进一步验证了施武杰教授提出的“两阶刻画单群”的猜想的正确性， 即施武杰教授提出的猜想对正交群d 。( 2 ) 成立 3 进一步讨论了李型单群的素幂图的一些性质，讨论了李型单群的素 幂图的连通性，并给出李型单群的素幂图的每个分支为完全图的一个分类 4 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群 第一章符号和基本概念 第一章符号和基本概念 本文中的群都是指有限群，h g 表示h 为群g 的子群；h 翼g 表示子 群h 为群g 的正规子群；i g i 表示g 的阶；丌表示某个素数集合；i c m ( a ，b ) 表 示口与b 的极小公倍数我们用丌。( g ) 表示群g 的元素的阶的集合，用丌( g ) 表 示蚓的素因子的集合显然集合丌。( g ) 是除法封闭的因此，丌。( g ) 由p ( g ) ， 在整除关系下元素阶的最大集合，唯一确定 设y 是集合，称y 的所有的无序元偶，即( u ，u ) = ( v ，牡) ，的集合 y y = ( u ， ) j u ，t ，y ， 为y 和y 的无序积记v 0 = 【( u ，u ) 卜y ) ，则矿 2 ) = v v 为v 的所有二元子 集的集合即 v 2 = ( 缸，钞) j u ， y , u u ) 称一对集合y 和e 为一个无向简单图x ，记作x = ( ve ) ，如果y 是一个非空 有限集合，而e 是y ：) 的一个子集，即e y 妙其中y 的元素叫做图x 的顶 点，e 的元素叫做图x 的边若【u ，u ) e ，则我们记u u ，否则，我们记仳和 本文中所涉及的图均为无向简单图 在图x 中，顶点g 的度数是与顶点g 相连的点的个数顶点g 的邻域是 与g 相连的点构成的集合，记为( 夕) 图x 与y 称为同构的，记为x 型y ，如 果存在一个一一映射：y ( x ) hy ( y ) ，使得z 与y 在x 中相连当且仅当砂( z ) 与 ( y ) 在y 中相连显然，若x 型y ，则i v ( x ) l = i v ( y ) l ，i e ( x ) l = i e ( y ) i 文 3 9 】中给出群g 的素图g k ( g ) 的定义如下：顶点集合是丌( g ) ，两条边p ， q 相连，如果p q 丌。( g ) 我们用s ( g ) 表示a k ( a ) 的连通分支数，用 i t i = 几( g ) ( 江 1 ，2 ，t ( g ) ) 表示g k ( g ) 的连通分支当l gj 是偶数时，我们记2 7 r l ( g ) 我 们也用丌( 几) 表示n 的素因子的集合，其中n 是自然数若l g i 能被表示成 m t ，m z ，m 啦! 的乘积，其中m i 是满足丌( m i ) = 丌i 的整数这些m i 称为g 的阶 分量记o c ( a ) = m 1 ，m 2 ，m t ( g 1 】是g 的阶分量的集合在图a g ( a ) 中，用 t ( g ) 表示丌( g ) 中互不相连的素因子的极大个数换句话说，t ( g ) 是图g k ( g ) 中极大孤立点集中顶点的个数，称为图g k ( g ) 的孤立数类似，我们用t ( r ，g ) 表示图c k ( g ) 中包含r 的极大孤立集合中顶点的个数我们称t ( ，g ) 为，孤 立数我们用p ( g ) ( 用p ( r ，g ) ) 表示图c k ( c ) 中顶点个数为极大的孤立点集( 包 含r ) 显然i p ( a ) i = ( g ) ，i j d ( ng ) i = z ( r ，g ) ( 参见文 3 7 】) 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群第一章符号和基本概念 文【2 2 】中给出有限群g 的非交换图v ( g ) 的定义其定义如下：v ( c ) 的顶 点集合是g z ( g ) ，当两个顶点z 与y 的换位子不等于单位元时，z 与y 相连 为了方便，我们也如下给出非交换图v ( a ) 的补图z x ( c ) 的定义：其顶点 集合是g z ( g ) ，当两条边x 与可的换位子等于单位元时，z 与y 相连 对于图x ，令d ) = d e 9 ( z ) f z y ( x ) ) ，d 。( x ) = z v ( x ) l a e 夕( z ) = 凡) ，其中 n d ( x ) 对于群g ，用七( g ) 表示g 的共轭类数，用 研，瓯f g l ) 表示g 的所 有共轭类的集合，u ( c ) 表示g 中共轭类长的集合 素数r ，记为r 。，称为q m 一1 的本原素因子，若r l ( q m 一1 ) ，且对所有的自然 数i 0 为整数，g 中存在r a 阶元) 它是 由g 中的素数幂阶半单元的阶组成对于图中两个不同的顶点r a 和s b ，若g 中存在i c m ( r n ，s b ) 阶元，则定义r 。和s a 之间有一条边 本文所用到的其他概念是标准的可参见文( 【7 ，1 9 ，2 2 1 ) 6 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群第二章用非交换图刻画某些单群 第二章用非交换图刻画某些单群 众所周知，群和图之间有着密切的关联在许多情况下群的性质可以得到 一些图的性质，反之亦然例如，g r u e n b e r g 和k e g e l ( 参见文【3 9 】) 引入了有限群 g 的素图g k ( g ) 的定义，并根据素图分支得到有限群的一个分类很多学者 利用此分类得到某些单群的纯数量刻画，即用“群的阶和元素的阶”或用“元 素的阶”来刻画单群，可参见文【3 ，5 ，1 2 ，1 4 ，2 0 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 1 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 8 ，4 0 1 有限群g 的非交换图v ( g ) 亦引起了很多作者的关注文 2 2 】中给出其定 义如下：v ( g ) 的顶点集合是g z ( g ) ，当两个顶点z 与y 的换位子不等于单位 元时，z 与y 相连 本章讨论了用非交换图对某些单群的刻画 2 1 概念，简介和预备知识 设g 是有限群，g 的非交换图v ( v ) 定义如下：v ( g ) 的顶点集合是g z ( g ) ， 当两个顶点z 与y 的换位子不等于单位元时，z 与y 相连( 参见文 2 2 1 ) 对于图x ，我们分别定义x 的顶点集合和边集合为y 伍) 和e ) 在图x 中，顶点9 的度数是与顶点g 相连的点的个数顶点9 的邻域是与g 相连的 点构成的集合，记为( 9 ) 图x 与y 称为同构的，记为x 竺y ，如果存在一个 一一映射：v ( x ) hy ( y ) ，使得z 与y 在x 中相连当且仅当西( z ) 与西( 可) 在y 中 相连显然，若x 竺y ，则i v ( x ) l = i v ( y ) i ，i e ( x ) i = i e ( y ) i 对于图x ，令d ( x ) = d e 9 ( z ) k y ( x ) 】，d 。( x ) = 忙v ( x ) 。d e 9 ( z ) = 竹】，其中 几d 伍) 对于群g ，用k ( a ) 表示g 的共轭类数，用 c 1 ，仇( g ) ) 表示g 的所 有共轭类的集合，n ( g ) 表示g 中共轭类长度的集合 我们用丌。( g ) 表示群g 的元素的阶的集合，用丌( g ) 表示i g i 的素因子的集 合显然集合丌。( g ) 是除法封闭的因此，丌。( g ) 由p ( g ) ，在整除关系下元素阶 的最大集合，唯一确定与丌。( g ) 有关的图称为g 的素图g k ( g ) 定义如下： 其顶点集合是丌( g ) ，两条边p ，q 相连，如果p q 丌e ( g ) ，此时，我们记p q 我们 用s ( c ) 表示g k ( g ) 的连通分支数，用吼= 几( g ) ( 江1 ，2 ，( g ) ) 表示g k ( g ) 的 连通分支当l g l 是偶数时，我们记2 ? r l ( g ) 我们也用丌( n ) 表示n 的素因子的 集合，其中n 是自然数若i g i 能被表示成m 。，m ：，m 们) 的乘积，其中m i 是 满足丌( m 。) = 死的整数这些m i 称为g 的阶分量记o c ( a ) = m 1 ，m 2 ，m t ( g ) ) 7 用非交换图或“两个阶”刻画某些有限单群 第二章用非交换图刻画某些单群 是g 的阶分量的集合，t ( c ) = 饥( c ) i i = 1 2 ，( g ) ) ( 参见文 7 】) 本章所用到的其他概念是标准的可参见文( 【7 ，2 2 ) 非交换图引起许多作者的兴趣最近，有两篇文章题目明确的包含“非 交换图”这个概念 ，2 0 0 5 年，a r m o g h a d d a m f a r ，w j s h i ，w z h o u 和a r z o k a y i 在文 2 2 】中证明 了如下一些结论 定理2 1 1 设g 是有限群，v ( g ) 竺v ( a 。) ，其中n 4 ，则i g i = i a 。i 定理2 1 2 设g 是有限群，h 是散在单群，若v ( g ) 型v ( 日) ，则i g i = h i 定理2 1 3 设g 是有限群，h 是素图非连通的李型单群，若v ( g ) 竺v ( h ) ， 则l a l = i h i 定理2 1 4 设g 是有限群，v ( v ) 竺v ( 又) ，其中n 3 ，则l a l = i s i 2 0 0 6 年，a a b d o l l a h i ，s a k b a r i ，和h r m a i m a n i 在文【l 】中证明了如下定理： 定理2 1 5 设g 是有限群，v ( v ) 型v ( p s l ( 2 ，2 n ) ) ，其中n n ，则g 掣p s l ( 2 ，2 ”) 定理2 1 6 设g 是有限群，v ( g ) 型v ( s z ( 2 2 m + 1 ) ) ，其中m n ，则g 型s z ( 2 2 “+ 1 ) 并提出猜想： a a m 猜想设m 是有限非交换单群，g 是有限群，满足v ( g ) 竺v ( m ) ，则 g 竺m a a