（流体力学专业论文）纤维悬浮流中纤维取向的理论研究及数值模拟.pdf

摘要 悬浮流动在自然界及工业生产和日常生活中十分普遍。而纤维悬浮流作为一种理论 模型，可以用来模拟多种包含细长结构悬浮颗粒的流动，如造纸工业的纸浆流动，向列 型的液晶态物质流动，以及一大类的具有细长分子链结构的聚合物的溶液流动。由于纤 维( 特指细长结构的悬浮颗粒) 不同于球状颗粒，其结构具有很强的空间方向性，因而当 其悬浮在流场中时将使悬浮流场表现出多种非各向同性效应，如很强的拉伸粘性，第一 和第二法向应力差等非牛顿流体特性。对这些性质的研究有着非常重大的科学和生产意 义。从纤维悬浮流的微观流动结构出发来研究悬浮流的宏观平均性质是一种最根本的方 法。而查明纤维在各种悬浮流场中的运动方式，便是最基本的问题之一。本文便着重于 研究纤维在悬浮流中的转动取向问题。 纤维在均匀s t o k e s 流场中的转动满足著名的j e f f e r y 方程。在简单剪切流动情形 下，j e f f e r y ( 1 9 2 2 ) 给出了此方程的解，发现纤维在流场中作周期性转动。而本文通过扩 充了j e f f e r y 的结果，给出了纤维在一般二维流场中转动的解析表达式。发现纤维的转动 有两种模式，一种是如在简单剪切流场中作周期性转动，而另一种则是渐近趋向于特定 角度。文中给出了相应的周期与渐近角度方向，同时，给出了一个判别式来判定纤维的 转动模式。只要给定流场的局部应变率，便可立刻判定纤维的转动状态，周期或渐近方 向。 纤维悬浮流的各种流变性质与纤维的取向分布函数直接相关。取向分布函数是为了 在系综平均过程中给出悬浮流的宏观性质而引入的，其表示纤维在转动过程中在各空间 方向出现的可能性。对于取向分布的三种情形：无扩散效应，弱扩散效应以及强扩散效 应，文中三种不同的方法进行了研究。在无扩散情形下，首先证明了纤维的转动方程与 控制取向分布的f o k k e r - p l a n c k 在弱解条件下等价，然后通过分析变换，直接用前面求 得的纤维转动解析表达式构建了取向分布函数。在强扩散情形下，巧妙结合纤维转动解 析表达式，用谱方法求解了f o k k e r - p 1 a n c l c 方程。因为采用球面调和函数作为基，有效 避免了在球坐标中用其他方法求解( 差分法或有限元方法) 时所遇到的奇点问题。与差分 法的比较求解证明，所提出的谱方法具有高精度，高效率等诸多优点。由于谱方法在弱 扩散情形下收敛性变差，为解决此情形下纤维取向分布的高效求解问题，而采用正则摄 动法，给出了在弱扩散条件下取向分布的一阶近似解。所提出的三种方法，系统完整地 解决了纤维取向分布的高效求解问题。 i 中文摘要 对在纤维悬浮流中若干相关的重要问题，扩散系数，附加应力以及取向分布与流场 的耦台求解等，文中也给出了相应的研究成果。 本文的研究成果，对于更清楚了解纤维在各种流动中的转动状态，提示相关的流变 学机理，以及结合相应的本构关系来数值求解纤维悬浮流等方面，都有着重要贡献。 关键词：纤维悬浮流，取向分布，j e f f e r y 方程，f o k k e r - p l a n c k 方程 a b s t r a c t s u s p e n s i o nf l o w sa r ev e r yp o p u l a r i ni n d u s t r i e sa n d d a i l yl i f e 。a n df i b e rs u s p e n - s i o nf l o wi sam o d e lf o rt h ef l o wi nw h i c hs l e n d e rb o d i e ss u s p e n d ，s u c ha st h ep u l p f l o w , n e m a t i cl i q u i dc r y s t a lf l o w , a n da b u n d a n tp o l y m e rf l o w s f i b e rw h i c hs t a n d s f o rs l e n d e rp a r t i c u l a t ei sd i f f e r e n tf r o ms p h e r i c a lp a r t i c u l a t e , s i n c ef i b e ri so r i e n t a b l e w h i l et h el a t t e ri si s o t r o p i c f i b e rs u s p e n s i o nf l o wa l w a y ss h o wn o n d s o t r o p i cp r o p e r - t i e s ，s u c ha sh u g ee x t e n s i o n a lv i s c o s i t ) r , t h ef i r s tn o r m a ls t r e s sd i f f e r e n c ea n dt h es e c o n d n o r m a ls t r e s sd i f f e r e n c e , w h i c ha r ea m o n gt h ev a r i o u sp e c u l i a rp r o p e r t i e so ft h en o n - n e w t o n i a nf l u i d i ti ss i g n i f i c a n tt or e s e a r c hs u c hr h e o l o g i c a lp r o p e r t i e s f i n d i n go u t t h em i c r of l o ws t r u c t u r eo ft h es u s p e n s i o n si sr u d i m e n t a lf o rt h es t u d yo ft h em a c r o p r o p e r t i e so ft h es u s p e n s i o n s t h es u b j e c to ft h i st h e s i sf o c u s e s o nt h ef i b e ro r i e n t a t i o n i nt h es u s p e n s i o nf l o w s ， t h er o t a t i o no faf i b e ri sd e p i c t e db yt h ew e l l k n o w nj e f f e r ye q u a t i o n j e f f e r y ( 1 9 2 2 ) h a v es o l v e dt h ee q u a t i o ni nas i m p l es h e a rf l o w h ef o u n dt h a tt h et i b e rr o t a t e sp e r i o d i c a l l yi ns u c hf l o w i nt h et h e s i s ，t h es o l u t i o no fj e f f e r ye q u a t i o ni ng e n e r a l2 df l o w si s o b t a i n e d ，w h i c hc o v e r sj e f f e r y sr e s u l tf o rt h es i m p l es h e a rf l o w i ti sf o u n dt h a tt h e r e a r et w om o d e sf o rt h et i b e r 7 sr o t a t i o n , p e r i o d i c a la n da s y m p t o t i c a l ad i s c r i m i n a n ti s p r e s e n t e di nt h et h e s i st oj u d g ew h e t h e rat i b e rw i l lr o t a t ep e r i o d i c a l l yo ra s y m p t o t i - c a l l yr u n t oas p e c i f i cd i r e c t i o ni naf l o w t h ee x p r e s s i o n sf o rt h ep e r i o da n df o rt h e a s y m p t o t i c a ld i r e c t i o nh a v e b e e ng i v e na l s o t h ea p p a r e n t p r o p e r t i e so ff i b e rs u s p e n s i o nf l o wc a n b ed e r i v e df r o mt h ec o n t r i b u - t i o no fa l lt h ef i b e ro r i e n t a t i o nt h r o u g ht h ee n s e m b l ea v e r a g em e t h o d i nt h em e t h o d ， t h ef i b e ro r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o ni si n t r o d u c e d ，w h i c hd e s c r i b e st h ep r o b a b i l i 哆o faf i b e r o r i e n t a t e si nc e r t a i nd i r e c t i o n a c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n te f f e c t so fd i f f u s i o n , t h r e em e t h - o d sh a v eb e e nd e v e l o p e dt od e a lw i t ht h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o n u n d e rn od i f f u s i o n d r c u m s t a n e e , t h es o l u t i o no ft h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o ni sd e r i v e df r o mt h ea n a l y t i - c a ls o l u t i o no ft h ei e f f e r ye q u a t i o n u n d e rs t r o n gd i f f u s i o nc i r c u m s t a n c e ，as p e c t r a l m e t h o dw h i c hi n g e n i o u s l yu t i l i z e st h ea n a l y t i c a ls o l u t i o no ft h ei e 脆r ye q u a t i o ni sd e - v e l o p e d t h es p e c t r a lm e t h o dh a sh i 曲c o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n dh i g hp r e c i s i o n ， h i 英文摘要 i nt h es s x n et i r n e , i ta v o i d st h es i n g u l a r i t yp r o b l e mw h i c hi si n e v i t a b l ef o rt h ef i n i t e d i f f e r e n c em e t h o do rt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt os o l v et h ef o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n i ns p h e r i c a lc o o r d i n a t e s u n d e rw e a kd i f f u s i o nc i r c u m s t a n c e ，t h es p e c t r a lm e t h o di s n o tf e a s i b l eb e c a u s eo ft h ei n c r e a s i n go fc o m p u t a t i o n a le r r o r s ar e g u l a rp e r t u r b a t i o n m e t h o di sd e v e l o p e du n d e rs u c hc i r c u m s t a n c e , w h i c hi ss u i t a b l ef o rw e a kd i f f u s i o n p r o b l e m t h et h r e em e t h o d s ，a t 8aw h o l e , h a v ee f f i c i e n t l ya n dc o m p l e t e l ys o l v e dt h e o r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o np r o b l e m s e v e r a l i m p o r t a n t t o p i c s i n t h er e s e a r c h o f f i b e r s u s p e n s i o n f l o w , i e ，d i f f u s i v i t y , a d - d i t i o n a ls t r e s s , a n dt h ec o u p l i n gs o l u t i o no ft h eo r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o na n df l o wf i e l d ， a r ed i s c u s s e di nt h et h e s i sa l s o t h ea c h i e v e m e n to ft h et h e s i sc o n t r i b u t e st h eu n d e r s t a n d i n go ft h em o v e m e n to f f i b e ri nv a r o u sf l o w s ，i tg i v e sc l u e st or e v e a lt h ec o m p l i c a t e dr h e o l o g yo fs u s p e n s i o n f l o w , i ta l s oc a nb eu s e dt on u m e r i c a ls i m u l a t i o nw h e nc o m b i n e dw i t hs u i t a b l ec o n s t i - t u t i v ee q u a t i o n sa b o u tf i b e rs u s p e n s i o nf l o w k e yw o r d s ：f i b e rs u s p e n s i o nf l o w , o r i e n t a t i o nd i s t r i b u t i o n , j e f f e r ye q u a t i o n , f o k k e r - p l a n c ke q u a t i o n 插图 1 1 非牛顿流体应变率一应力关系示意图 3 1 2 时变非牛顿流体应变率一应力关系不意图4 1 3 不同物体尺度示意图( 摘自h a p p e l a n db r e n n e r ( 1 9 6 5 ) 图1 1 1 ) 7 纤维方向矢量在直角坐标与球坐标中的相互参考关系2 5 纤维方向矢量在直角坐标与柱坐标小的相互参考关系2 8 在简单剪切流场中纤维的转动轨道一i e f f e r y 轨道2 9 在双向剪切流场中纤维的转动轨道2 9 在二维流场中纤维转动轨道( a ) 周期性轨道( b ) 渐近轨道3 0 在准拉伸流场中纤维转动轨道3 0 各种二维简单流动速度场示意图3 2 各种二维简单流动速度场示意图( 续) 3 3 球面网格及取向分布示意图3 3 简单剪切流中纤维敬向分布演化过程，3 4 两纤维矢端球面距离随时间演化过程( 两矢端初始位置分别为毋。= 丌和 锄= ；7 r ) 3 4 二维流动中纤维取向分布演化过程( 非周期) 3 6 纤维取向卒间_ 鸥数点及球面三角形示意图( 即用所示球面三角形面积变化 来计算取向分布的时间演化) 3 8 2 1 3 球面三角形的网格结构( 黑交点代表三种不同位置的当前计算点，虚圆点 表示为计算边界点上梯度时引入的虚拟点，其值是用周期性边界或对称性 边界条件米确定的) 3 9 2 1 4 非结构化网格示意图。p 0 表示当前的计算点，只表示其周围离散点，画 表示两点之间的距离矢量。4 0 2 1 5 在简单剪切流场中含扩散效应的纤维取向分布演化过程4 2 3 1 在简单剪切流场中纤维的取向分布( 图例表示不同纤维轨道的初始点位置 ( 如，如) ) 5 1 3 2 在双向剪切流场中纤维的取向分布。s 2 3 3 在一般平面流场一i ，纤维的取向分布5 2 3 4 在两同心圆柱流场中纤维的取向分布演化过程( 箭头表示流场速度矢量， 封闭曲线表示当地的纤维取向分布) 5 4 3 5 在楔形流场中纤维的取向分布演化过程( 箭头表示流场速度矢量，封闭曲 线表示当地的纤维取向分布) 5 4 3 6 在圆形射流场中纤维的取向分布演化过程( 箭头表示流场速度矢量，封闭 曲线表示当地的纤维取向分布) 5 5 3 7 在圆形直管流场中纤维的取向分布演化过程( 箭头表示流场速度矢量，封 闭曲线表示当地的纤维取向分布) 5 6 v i 1 2 3 4 5 6 7 7 8 9 m n 心 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 浙江大学博士学位论文 i x 4 , 1 简单剪切流动中一阶近似函数妒1o = 器，k = o ，j = o ) 4 , 2 平面流动中一阶近似函数妒1 q = 器，k = 0 5 ，j = o 5 ) 4 3 简单剪切流动中取向分布函数q = 器，k = o ，j = o ) 4 4 平面流动中取向分布甬数( a = 器，k = 0 5 ，j = o 5 ) 5 1 简单剪切流中取向分布演化徊= 吾) 5 2 极点附近的球面网格 5 3 不同阶截断时的系数o 】( p e = 1 ) 5 4 在p e = 1 时系数序列的量级( 圆圈代表周期转动情形k = - 0 5 ，j = - 05 ；星号代表渐近趋向情形k = 0 ，5 ，j = 0 5 ) 5 5 不同p e c l e t 数下系数序列平均收敛率 5 6 不同阶近似下的纤维取向分布( a ) 周期情形；( b ) 渐近情形 5 7 不同p e c l e t 数下取向分布( a ) 周期情形；( b ) 渐近情形 6 1 简单剪切流场中附加应力( = 1 ，k = 0 ，j = 0 ) 6 2 拉伸流场中附加应力【衍= 1 ，圭0 ，k = 0 ) 6 3 一般平面流场中附加应力( = 1 ，k = 0 5 ，j = 0 5 ) 6 4 纯水流中静压等值线 6 5 悬浮流中静压等值线( r e = 1 0 0 ，c = 0 0 1 ) 6 6 在z = 0 3 处横向速度剖面( 细实线：无纤维；粗实线：r c = 1 0 0 ，c = 0 0 1 ；虚线：r e = 1 0 ，c = 0 1 ；方格符号：r c = 1 0 ，c = o 0 1 ) 6 7 在中心( y = 0 ) 及靠近壁面处( y = 0 0 4 ) 纵向速度剖面( = i 0 0 ，c = 0 0 1 ) 6 8 附加应力( 非耦合求解) 6 9 附加应力( 耦合求解) 6 3 6 4 6 5 6 6 7 1 7 2 7 8 7 1 m a r k o v 过程示例一1 0 3 孢刀 明帅虬舛舛 舛孵 符号表 【，。1 p o i s s o n 括号，其定义为明= 鸶筹一筹署 位于变量上方，表示对时间变量求导 d e t ( ) 行列式 6 ( ) 广义d i r a c 函数 o ( ) o r d e r 函数，表示具有相同量级 纤维转动状态判别式 s 变形率张量 应变率张量逆变分量 摄动法中的小参数 拉伸应变率 方向矢量在球坐标中的方位角 钆不动角方向 妒纤维取向分布函数 皿-第一法向应力差 皿2第二法向应力差 剪切应变率 日 方向矢量在球坐标中的仰角 a 形状因子，定义为天= 辑 牛顿流体粘性系数 晰 附加粘性系数 v 作用于物理空间的梯度算子 v 让速度梯度张量 v 乱t 速度梯度张量转置 x 童兰奎兰堡圭兰堡丝窒 翌 v 作用于物理空间的散度算子 v 2 作用于物理空间的l a p l a c e 算子 v ；作用于纤维取向空间的l a p l a c e 算子 v ，作用于纤维取向空间的散度算子 u 涡度张量 u 玎 涡张量逆变分量 1 i 偏应力张量 a 2二阶方向张量 ( p p ) 二阶方向张量( ( ) 表示系踪平均) a 4四阶方向张量 ( p p 即) 四阶方向张量( ( ) 表示系踪平均) a 8 六阶方向张量 b 正则动量 c 纤维体积浓度 d 扩散系数( 二阶张量) e 坐标基矢量 三押积分误差参数 度量张量协变分量 日h a m i l t o n 函数 j 二阶单位张量 j拉伸应变率与剪切应变率之比 不同方向剪切应变率之比 l l a g - r a n g e 函数 p 流体压强 p纤维方向矢量 x 符号表 方向矢量逆变分量 三阶方向张量( 并矢) 广义坐标矢量 广义坐标分量 广义速度分量 纤维长径比 纤维转动周期 流体速度 速度矢量逆变分量 逆变坐标 矿 聊 q 位 由 t 让 矿 矿 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得浙江大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名：垫堡 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解浙江大学有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查蒯和借阅。本人授权 浙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 丽币或百描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：垫望 签字日期：2 0 0 7 年9 月i o e i 导师签名：茎垒垒叁 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：电话： 通讯地址：邮编： e - m a i l ：1 0 2 0 8 0 5 9 z j u e d u m 第一章绪论 1 1 流变学与非牛顿流体 目之所及，无处不见各种流动现象。常见如气流及水流，宏观如宇宙问的星云，微 观如生命体内的细胞液体循环。乃至古希腊哲学家h e r a c l i t u s ( 约公元前5 3 5 - - 4 7 5 1 讲出 一句名言“丌m ，t p e t ”( p a n t ar e i ) ，翻译成现代英语则是“e v e r y t h i n gf l o w s ”。类似 的还有圣经中记载的犹太女先知d e b o r a h 所讲的“t h em o u n t a i n sf l o w e db e f o r e t h el o r d ”( i a m b o u m ea n ds t r i v e n s ，1 9 9 9 ) 。这里所讲的流动意义要比水动力学中广 泛得多。在上世纪二十年代，e u g e n eb i n g h a m ( l e h i g h 大学教授) 在其同事m a r k u s r e i n e r 教授的建议下，根据h e r a c l i t u s 名言而创造出一个新词t h e o l o g y ，流变学，从而 开创了一个新的科学分支。流变学，其定义为研究物质的变形与流动的科学( b a r n e se t a 1 ，1 9 8 9 ) 。而其所研究的范围则涵盖连续力学两大分支固体力学与流体力学，因为其研 究的物质即具有固体的弹塑性，而同时又具有流体的枯性。总的来说，流变学更多从 “流”的方面来研究 一 对于流体，不管其是单一物质或者是具有宏观均匀特性的混合物，有两种普遍的分 类方法。一是根据流体的压缩性，分为可压缩与不可压缩流体。如常见的气体，便是可 压缩的。日常生活中接触到的各种罐装液化气体，乃至气筒，都表明了气体的可压缩 性。而各种液体，在一般条件下( 压力温度) 则被视为是不可压缩的。日常生活中也从 未有过压缩液体的直觉或经验。在本文以后的讨论中，所指的都是不可压缩流体。另一 种分类方法则是根据流体的变形率与其所受的力之间的关系来将流体分为两类：牛顿流 流变学中用来表征物质的松弛时间与观测时间比值的d e b o r a h 数即由m a r 0 2 s r e i n e r 教授据此而定 2 第一章绪论 体与非牛顿流体。对于牛顿流体，当其受到剪切应力时，其将会产生剪切应变，而且其 应变率与所受的剪切应力成正比。而对于非牛顿流体，或者流体的剪切应力与剪切应变 率之间不是线性关系，或者应力与应变率间为线性关系但在应变率应力图中直线不过 原点。最常见而且最重要的流体水便是牛顿流体。但工业生产及日常生活中，还有大量 非牛顿流体，如多样的聚合物溶液或熔液，油漆，牙膏等等。非牛顿流体形式多样， 性质奇特，将在下面分类做一简单介绍( b a _ , - n e s i2 0 0 0 , b a r n e se ta 1 ，1 9 8 9 ，c h h a b r aa n d r i c h a r d s o n , 1 9 9 9 ) 。 51 1 1 定常非牛顿流体 牛顿流体与非牛顿流体是根据应力与应变率关系来区别的。而根据非牛顿流体的应 力与应变率间关系是否随时间而变，又可将其分为定常非牛顿流体和时变非牛顿流体。 在这- 4 , 节里，将简单介绍定常非牛顿流体的特性，而在下- - 4 , 节介绍时变非牛顿流 体。 从牛顿流体与非牛顿流体的区分准则可以看出，应变率一应力关系图在描述牛顿与 非牛顿流体中有着非常重要的作用。图1 1 给出了几种代表性的非牛顿流体应变率应力 关系示意图。 牛顿流体( n e w t o n i a nf l u i d ) 牛顿最早研究了在相对运动的两平行平板间水的流动与作用于平板上力的关系，结 果发现作用力与水的应变率成正比。而这一比例系数即为流体的粘性系数，其对应于 图1 1 中过原点直线的斜率。斜率越大，则表明流体的粘性越大，亦即流体阻碍其自身相 对运动的能力越强。 伪塑性流体( p s e u d o p l a s t i cf l u i d ) 伪塑性流体又称为剪切变稀型流体( s h e a r - m i n n j n 曲。对于此种流体，其表观粘性系 数随着剪切率的增大而减小。相对来讲，这是最常见的非牛顿流体。对于大多数表现出 剪切变稀的聚合物溶液或熔液，在非常低或非常高的剪切率下，其表现出牛顿流体特 性，分别有定常的粘性系数瑚与p 。而在中等剪切率下，其表观粘性系数则随着剪切 率的增大由脚减小到p 。 浙江大学博士学位论文 3 s h e a rr a t e 图1 1 ：非牛顿流体应变率一应力关系示意图 胀流型流体( d i l a t a n tf l u i d ) ，胀流型流体又称为剪切增稠型流体( s h e a r k e 血g ) 。对于此种流体，其表观粘性 系数随着剪切率的增大而增大。这种现象最早在浓相的悬浮流中观察到。对此的一种比 较合理的解释是，在剪切率比较小时，悬浮液的空隙率最小，悬浮粒子间的空隙基本上 被流体所填充。而随着剪切率的增大，粒子间开始直接接触，由此导致磨擦力及剪切应 力的增加，从而引起表观粘性的增大。 粘塑性流体( v i s c o p l a s t i cf l u i d ) 粘塑性流体，顾名思义，即同时具有秸性与塑性的流体。而箕塑住主要表现为如固 体一般存在屈服应力。对于此种流体，只有当外加应力达到屈服应力时，流体才开始变 形或流动在图1 1 中的b 吨h 锄p l a s t i c f l u i d 与y i e l d - p s e u d o p l a s t i c f l u i d 即属于粘塑 性流体的类别ab i n g h a m 塑性流体在过了屈服点以后，如同牛顿流体一样，有不变的粘 性系数。而屈服伪塑性流体在过了屈服点以后，其粘性还表现出剪切变稀的特性。 1 1 2 时变非牛顿流体 有些非牛顿流体，其表观粘性不仅与应变率有关而且与其变形过程有关，比如原 镕b皿s口n 4第一章绪论 罄 占 鲁 s h e a rr a t e 图1 2 ：时变非牛顿流体应变率一应力关系示意图 油或某些食品。根据此种流体表观粘性随时间变化趋势的不同，可将其分为触变性流 体( t h i x o t r o p i cf l u i d ) 与震凝性体( r h e o p e c t i cf l u i d ) 。对于触变性流体，当其在稳定的 剪切作用下时，其表观粘性随着时间的增大而变小。就如搅拌和水的面粉，不断的搅动 会让面粉猢变得越来越稀。对于震凝性流体，其表观秸性随着剪切作用时间的增大而变 大。f r e u n d l i c ha n dj l f l i u s b u r g e r ( 1 9 3 5 ) 曾观察过4 2 浓度的石膏水溶液的固化过程， 发现静止时石膏需要4 0 分钟固化，而适度摇动溶液时，只要2 0 秒钟石膏就固化了。对 于时变非牛顿流体，当施加的应力从零到某定值然后又减速, b 至a l 零时，其应变率一应力 关系曲线总是形成迟滞回路( h y s t e r e s i sl o o p ) 。图1 2 给出了触变性与震凝性流体的迟滞 回路示意图。只有时变的非牛顿流体才会表现出迟滞效应，定常型的非牛顿流体是没有 迟滞效应的。 1 1 3 粘弹性流体 在前面谈了非牛顿流体的粘性与塑性，无论粘性与塑性，都相关于流体的应变 率。而还有一部分非牛顿流体，除了具有流体的粘性外，还表现出固体所具有的弹 性，e 口流体的应力不仅与其应变率有关，而且与其应变有关。对于弹性体，其满足胡 克定律( h o o k e sl a w ) ，即应力与应变成正比，而其比例系数即为杨氏模量( y o u n g s m o d u l u s ) 。因而，对粘弹性流体的模拟，总是涉及两个参数，表观粘性系数与杨氏模 浙江大学博士学位论文 5 量。许多模型都是基于分别考虑粘性与弹性效应然后组合的思想( b i r de ta 1 ，1 9 8 7 a , b ) ， 如弹性哑铃模型( e l a s t i cd u m b e l lm o d e l ) ，刚性哑铃模型( m 昏dd u m b e l lm o d e l ) ，多球 模型( m u l t i b e a dm o d e l ) ，圆球一弹簧链状模型( b e a d - s p r i n gc h a i nm o d e l ) ，以及球一杆 弹性模型( b e a d - r o ds p a “gm o d e l ) 。 粘弹性流体区别于其他非牛顿流体的特别的性质之一便是在剪切流动下，其三个方 向的法向应力并不相等。这一现象最早由w e i s s e n b e r g ( 1 9 4 7 ) 发现。出于实验测量的方 便，常常定义三个法向应力问的两组差值为第一法向应力差与第二法向应力差。一般第 一法向应力差远大于第二法向应力差，而第二法向应力差小于零。由于法向应力差的存 在，粘弹性流体表现出非常奇特的性质。一个简单却很出名的实验现象便是爬杆现象 ( 又称为w e i s s e n b e r g 效应) 。在一个装有粘弹性液体的开口容器中，中间插入一杼子。 当转动杆子时，液体便顺着杆子往上爬。这是与牛顿流体完全不同的现象。因为在牛顿 流体中，液面为中间低，四周高的旋转抛物面。 粘弹性流体的另一显著特性便是其与众不同的拉伸粘性。对于牛顿流体，其拉伸粘 性( 定义为拉伸应力与拉伸应变率阃的比例系数) 与剪切粘性的比值( t r o u t o n 比) 为3 。 在某些情况下，祜弹性流体的t r o u t o n 比可以达到几千。在高t r o u t o n 比的粘弹性流体 中，还会产生一种很有趣的现象，无管虹吸，即在没有导管的条件下，粘弹性流体也可 越过障碍，在重力作用下由高处不断流往低处。 1 2 纤维悬浮流 在前文中，简单系统地介绍了流变学的研究范围及非牛顿流体所具有出的各种流 变特性。而在l a r s o n ( 1 9 9 9 ) 的专著中，描述了许多具有复杂流变特性的物质，其称他 们为复杂流体。比如食品中的冰淇淋，巧克力，奶昔，日化用品中的香波，牙膏，指 甲油，生物流体中的血液，还有工业生产中一大类的聚合物溶液或熔液，都为复杂流 体。l a r s o n ( 1 9 9 9 ) 将这些复杂流体分为三大类：一类为各种聚合物的溶液，凝胶及玻璃 质流体，一类为液晶态物质，还有一类为各种悬浮态物质，包括粒子悬浮流体及空气或 液体悬浮流体，如泡沫与乳液。当然，这些分类间并没有绝对的界限，就如悬浮流体就 可包括某些类型的聚合物溶液和具有液晶性质的混合物。 在本文中，研究对象为纤维悬浮流。纤维指的是一种具有细长结构的粒子。根据纤 维的尺寸。剐度以及悬浮流体本身的性质( 牛顿流体或非牛顿流体) 不同，纤维悬浮流可 以用来模拟许多类型的复杂流体，如造纸工业中的纸浆，具有细长链状结构聚合物的溶 液，向列型液晶( n e m a t i cl i q u i dc r y s t a l s ) 。在这里，讨论研究将基本限于纤维为刚性不 6第一章绪论 可弯曲伸长丽悬浮流体为牛顿流体的情况。 纤维悬浮流的研究主要有两方面，一是研究纤维在不同流场中的结构与运动形态， 二是研究不同结构与运动形态的纤维对流场性质( 如附加粘性，附加应力) 的影响。纤维 悬浮流与一般悬浮粒子为球状或近球状的悬浮流最大的不同便是纤维存在空间方向性， 由此导致纤维悬浮流具有明显的各向异性。这种各向异性的研究有着重要的工程与科学 意义。下面，将对纤维悬浮流研究的方法与现有结果作简单介绍。 1 2 1 纤维的运动 纤维悬浮流中悬浮一词便暗示纤维一般尺寸很小，否则将无法悬浮在流体中。纤维 尺寸一般都在厘米量级以下，直至连续流体模型适用的亚微米级。为了对不同物体尺 寸有更直观的印象，图1 3 给出了从原子到地球等不同物体的尺寸比例关系。这里所研 究的纤维，尽管没有图中标示的粒子( p a r t i c l e s ) 尺寸范围那么大，但也横跨了好几个量 级。在流体力学中。为了描述粘性力与惯性力的相对大小，总是通过雷诺数( r e y n o l d s n u m b e r ) 。在一般纤维悬浮流中，由纤维质心运动速度与当地流体速度之差以及纤维尺 寸定义的雷诺数很小，纤维相对于流体具有很好的跟随性。对于绕过纤维的这种低雷 诺数流动，常称为称斯托克斯流动( s t o k e sf l o w ) 。b a t c h e l o r ( 1 9 7 7 ) 首先提出微水动力学 ( m i r c o h y d r o d y m m i c s ) 一词来特指在s t o k e s 流动范围内的各种复杂流动。 对于定常的s t o k e s 流动，其流体力学方程为 1 v 2 u = 唧 ( 1 1 ) p 以及 v 让= 0 ( 1 2 ) 上面方程中，“表示流体的速度，当采用建立于颗粒质心的l a g r a n g e 坐标时，其便表 示颗粒与当地流体的相对速度，p 是流体粘性系数，p 为流体压强。从牛顿力学来看， 方程( 1 1 ) 表示的是的动量守恒关系，而方程( 1 2 ) 则表示的是不可压缩流体的质量守恒。 动量方程( 1 1 ) 中不包含随时间的变化项，这要求流体是定常的或准定常的。h a p p e la n d b r e n n e r ( 1 9 6 5 ) 较详细地讨论了s t o k e s 方程的成立条件，对其不同条件下的修正也有精 彩的论述。s t o k e s 方程适用于任意形状的粒子绕流问题。而在下面的讨论中，将限于具 有细长结构的纤维。 m c l a u g h l i n ( 1 9 9 4 ) 比较系统讨论了粒子在非定常s t o k e s 流场中的所受的各种力并 给出了模拟结果。而l o e w e n b e r g ( 1 9 9 3 ) 特别针对细长圆柱体，数值求解了在不同条件 塑兰盔兰堡圭兰堡丝奎 ! ； 盯7 1 裟r 一护 7*，r 。 i o - 9 h i cn 咄c i i l p p 妒da 佃m 图1 3 ：不同物体尺度示意图( 摘自i - i a p p e la n db r e n n e r ( 1 9 6 5 ) 图1 1 1 ) 下任意取向的圆柱体所受的s t o k e s 阻力，附加质量力，以及b a s s e t 力。k o c h a n d h i l l ( 2 0 0 1 ) 的综述文章详细讨论了惯性的作用。总的来说，只要粒子比较小，其运动( 包括 平动与转动) 变化不是太剧烈，那么用s t o k e s 方程求解纤维的运动所得结果，与考虑各 种非定常及非均匀效应所得结果相差不大。所以关于纤维运动的研究，大多限于定常的 s t o k e s 流中。 对于纤维悬浮流，根据纤维间的平均距离与纤维尺寸的关系，可以分为稀相，半稀 相及浓相。稀相指平均距离远大于单根纤维长度的情况，此时，纤维间通过水动力的相 互作用很小，可以认为纤维处于无扰动的流动中而能自由运动半稀相则是平均距离远 小于纤维长度却远大于其直径的情况，此时，纤维间极小相互碰撞，但彼此却通过水动 力而相互作用。浓相则是平均距离为直径量级或小于直径的情况，此时，纤维间碰撞频 繁，相互接近时的润滑现象也很明显。在三种情况下，影响纤维运动的主要因素不同， 因而下面分别讨论。而需要特别提出的则是，对纤维运动的讨论着重于转动。这有两方 面的原因，一是粒子( 特别是球状) 的平动研究非常广泛，已经有大量的结果，对于纤维 。： ， 4 4 f ：窜!； ，dae种咖 ：一r：，；f，器县 ，：#：；jj p；q。，哪。哪 ：，；：，i g$n，镕：。l；。蚶 蔓。：，“汪薯麓*， j h * 。 。 z抽e ”m e g， 。 ，；，f： p ， 帆 k 忡 旷= ： no；o叠，娑嚣瓣 。fl#tret幸卞奄。m峥墨：婶心舻峥胖旧。帅”，嗽吣”帆” j p m w ， _ 十0 ， - 一 ： 。* * j _ 1 y ，i_， 1kn s a c 一一并弩 8第一章绪论 的平动，也可通过适当的变通来应用已有结论；另一方面，纤维的转动直接关系于悬浮 流的各向异性，而各向异性研究一般来说更加困难，而且具有特别重要意义。 稀相悬浮流 细长的纤维可以用椭球