（基础数学专业论文）偏序集上的s代数及其与若干代数的关系.pdf

偏序集上的s 代数及其与若干代数的关系 许格妮 摘要非经典逻辑是模糊推理及模糊控制等理论基础的一部分近年来，模糊控 制技术在应用方面取得了举世瞩目的成功然而，作为其核心的模糊推理在数学 基础上并非无懈可击所以，以研究模糊推理的数学基础为核心的模糊逻辑，作 为一个全新的数学领域，引起世界上许多学者的关注，并且取得了一系列的研究 成果而用代数的方法研究逻辑问题，始于英国数学家g b o o l e 等人的工作，以 此为工具他们获得了经典逻辑系统的语法与语义的和谐性，确立了形式逻辑系统 的完备性问题此后许多学者基于对模糊逻辑和模糊推理的系统研究，引入了相 应的代数结构，并对其进行了大量的研究，得出了许多有意义的结论本文的目 的就是使用代数工具对模糊逻辑进行研究，给出模糊逻辑的一类代数抽象，即偏 序集上的s 代数 本文的主要工作如下： 第一章给出了基础s 代数和s 代数的定义，然后对它们的基本性质分别进 行了深入的研究，最后给出了偏序集上s 代数的特征刻画，并对其独立性进行了 研究 第二章与其他研究逻辑系统而引入的代数结构不同，本文引入的偏序集上 的s 代数在一般情况下不构成格，然而一个代数结构如果具有格结构，则具有许 多优良的性质因此本章进一步研究了s 代数的性质，讨论了偏序集上s 代数构 成格的一些条件，并从格的角度给出了偏序集上s 代数若干格的性质 第三章主要研究了格上s 代数满足不同逻辑条件后与其它著名代数之间 的相互关系，本章中主要详细研究了偏序集上s 代数满足不同逻辑条件后与m v 代数，b l 代数，h e y t i n g 代数，b o o l e 代数及b c k 代数的相互关系 关键词模糊逻辑偏序集s 代数m v 代数伴随对b l 代数h e y t i n g 代数 s a l g e b r ao np a r t i a lo r d e r e ds e ta n dr e l a t i o n sb e t w e e n s - a l g e b r aa n ds o m el o g i ca l g e b r a s x u g e - n i a b s t r a c tn o n - c l a s s i c a ll o g i ci st h et h e o r t i c a lb a s i so ff u z z yr e a s o n i n ga n d f u z z yc o n t r 0 1 i nr e c e n ty e a r s ，t h ea p p l i c a t i o no ff u z z yc o n t r o lh a so b t a i n e dag r e e t s u c c e 鹤b u tf u z z yr e a s o n i n g ，t h ec o r eo ff u z z yc o n t r o li ss u s p e c t e db e c a u s eo fl a c k i n g s o l i dm a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o n i no r d e rt os o l v et h i sp r b l e m ，an e wr e s e a r c hf i e l d h a sb e e nb u i l tu pa n ds o m es c h o l a r sd e 、，o t e dt h e m s e l v e st ot h i sf i e l d f u z z yl o g i c i ss t u d i e dw i t ha l g e b r a i ct o o l si nt h i sp a p e r ak i n do fa l g e b r a i ca b s t r a c to ff u z z y l o g i c ，s - a l g e b r ao nap a r t i c a lo r d e r e ds e ti sg i v e n t h em a i nr e s u l t so ft h i sp a p e ra r eg i v e na sf o l l o w s ： c h a p t e ro n e ：t h ec o n c e p to fb a s i cs - a l g e b r aa n ds - a l g e b r ao nap a r t i a l o r d e r e ds e ta r ei n t r o d u c e d ，t h e nt h eb a s i cp r o p e r t i e sa r eg i v e n ，t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fs - a l g e b r at ob er e g u l a ra r ed i s c u s s e d ，t h ei n d e p e n d e n c eo f s - a l g e b r ai si n v e s t i g a t e d a l la b o v ei st h eb a s i so ft h el a t e rc h a p t e r s c h a p t e rt w o ：i ti sp o i n t e do u tt h a ts a l g e b r ad e f i n e di nt h i sp a p e ri sn o t al a t t i c e b e c a u s es o m eg o o dp r o p e r t i e so n l yc a l lb ef o u n di na na l g e b r as t r u c t u r e i ft h ea l g e b r ai sal a t t i c e i nt h i sp a r t s o m ef u r t h e rp r o p e r t i e sa r eg i v e n b y m e a n so ft h et h e o r yo fl a t t i c e ss o m el a t t i c et h e o r e t i cp r o p e r t i e so fs - a l g e b r aa n d t h ec o n d i t i o n sf o ra s - a l g e b r ab e i n ga l a t t i c ea r ef o u n d c h a p t e rt h r e e ：s o m eo t h e rc o n d i t i o n so fw h i c ht h es - a l g e b r ao nt h ep a r t i a l o r d e r e ds e ts h o u l db es a t i s f i e di nal o g i cs y s t e ma r eg i v e n t h er e l a t i o n sb e t w e e n s a l g e b r aa n ds o m ef a m o u sa l g e b r aa r ed i s c u s s e d i nt h i sp a r t ，t h er e l a t i o n sb e - t w e e ns - a l g e b r aa n dm v - a l g e b r a ，b l - a l g e b r a ，h e y t i n ga l g e b r a ，b c k a l g e b r a ，r 0 一 a l g e b r aa n db o o l e - a l g e b r aa r eg i v e n a l lt h e s es t u d i e sw i l le n r i c ht h ec o n t e n to f s - a l g e b r a k e y w o r d s ：f u z z yl o g i c ；p a r t i a lo r d e r e ds e t ；s - a l g e b r a ；m v - a l g e b r a ；a d j o i n t c o u p l e ；b l - a l g e b r a ；h e y t i n ga l g e b r a i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：碑老氢娠日期：驰静 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：珠咯姆 醐：卅 前言 美国控制专家l a z a d e h 于1 9 6 5 年提出了模糊集理论f l l 开创了模糊数学 的全新的研究领域，1 9 7 3 年z a d e h 又将模糊数学的思想和方法应用于模糊推理 上，形成了模糊推理的研究方向模糊推理一经提出，立即引起了人们的广泛关 注。z a d e h 的这一推理方法很快被应用于控制领域，形成了模糊控制理论，此后 各种模糊推理方法纷纷被提出，也被应用于工业控制和家电产品的控制，并取得 了很大成功虽然这些模糊推理方法在应用上取得巨大的成功，但模糊推理在理 论上并非无懈可击，并没有归入严格的逻辑系统中，此时关于“模糊逻辑”和。模 糊推理”的研究也不少，但似乎均未能给模糊推理奠定坚实的理论基础 正是由于模糊逻辑缺乏深入的理论研究，作为模糊控制理论核心的模糊推理 缺乏严格的逻辑基础，其中的合成推理方法存在缺陷，合成运算没有明确的逻辑 意义，与逻辑的语义蕴函原则相悖，这导致推理结果不够理想，最终导致了1 9 9 3 年在美国第十一届人工智能年会上关于模糊逻辑的一场争论( 吴望名教授已将 这次争论的详细情况在模糊系统与数学中予以了介绍 9 1 ) 由此可见，作为模糊推 理理论基础的模糊逻辑系统还有待完善，对模糊逻辑系统的研究无论在理论上， 还是在应用上都具有重要意义 虽然模糊逻辑还没有一个成熟的系统，但非经典逻辑领域的许多学者也已经 进行了大量的研究工作并取得重要的理论成果j a g o g u e n 是这个方向的创始 人，1 9 6 8 年他提出了模糊逻辑的一个形式系统f 2 ”，其真值域远远大于二值的情 形，p a v e l k a 在g o g u e n 的模糊逻辑的基础上，进一步丰富了模糊逻辑理论，提 出了剩余格结构，它包含了其他逻辑系统中所有的连接词为了将模糊推理理论 纳入严格的逻辑框架之下，1 9 9 6 年王国俊教授在全国第七届多值逻辑与模糊逻 辑年会上，提出了一个新的形式演绎系统和与之对应的逻辑代数凰代数 1 9 9 9 年，王国俊教授还提出了模糊逻辑的全蕴含三一j 算法，从逻辑理论上修正 了z a d e h 的合成推理方法，将模糊推理重新引入到逻辑语义的正轨上来 用代数方法研究逻辑问题，始于英国数学家g b o o l e 等人，以此为工具他们获 得了理论逻辑系统的语法和语义的和谐性，确立了形式逻辑系统的完备性问题 早期提出的比较重要的代数系统有h e y t i n g 代数，p o s t 代数，d em o n g a n 代数， s t o n e 代数；国外稍近一些的比较有名的有1 9 5 8 年c c c h a n g 提出的m v 代数， l 成功地解决了无限值l u k a s i e w i c z 逻辑系统完备性的证明；j p e v a l k a 提出的b l 代数；在国内，这方面工作也不少，比较有影响的有吴望名教授提出的f i 代数， 徐杨教授提出的格蕴涵代数，此后王国俊教授基于对模糊逻辑和模糊推理的系统 系统，引入的岛代数，并对其进行了大量的研究工作，取得了许多有意义的结 论，对这些代数系统的研究，既可促进非经典逻辑的发展，又极大的丰富了代数 等方面的内容，但这些代数结构远远不能满足模糊逻辑和模糊推理的需要，人们 一直在通过对已有的代数结构进行研究，以便构造出适合的代数结构 在当代模糊逻辑中，长期占主导地位的是所谓的三角模基逻辑，三角模是由 s c h w e i z e h 和s k l a h 在1 9 5 8 年为了在概率测度空间中准确地描述三角不等式而建 立的，由于三角模与三角余模可以很好的反映逻辑“与”和逻辑。或”的性质， 人们使用它来作为合取连接词与析取连接词的解释，并由此解释其他命题连接 词这样定义的逻辑系统中有许多好的性质，反映了人类思维和推理的许多逻辑 特征为了研究三角余模的共同特征，本文对三角余模进行了代数抽象，引入了 一个偏序关系，在偏序集的基础上对三角余模进行研究，从而引入了偏序集上的 s 代数由于与其他为研究逻辑系统而引入的代数结构不同，s 代数一般不构成 格，因此本文又从格的角度研究s 代数与格的关系；为了使s 代数据具有一些良 好的性质结构，需要引入s 代数应满足的另外一些逻辑条件，因此最后本文系统 的研究了s 代数与其他一些著名的逻辑代数之间的内在联系 2 第一章偏序集上s 代数的概念及基本性质 1 1 偏序集上s 代数的概念 定义1 1 1 设x 是一个非空集合，其上二元关系使得( 五) 成为一个偏 序集，0 ，1 分别为其中的最小元与最大元，o 是x 上的二元运算，是x 上的 一个一元运算，若对任意的z ，y ，z x ，有 ( s 1 ) ( x ，o ，o ) 是以0 为单位的交换半群； ( 岛) z y 铮一o y = 1 ； 则称( x ，o ，0 ) 是偏序集( 五) 上的基础s 代数 若x 是基础s 代数，对任意z ，y ，z x ，x 还满足 ( 岛) 若y z ，则x o y z o z ； 则称( x ，o ，0 ) 为偏序集( x ，) 上的s 代数 例1 i 2 设x = o ，1 ) ，对于任意的z ，y x ，定义zoy = m a x x ，掣) ，一= 1 一z ，是其上的自然序关系，则( x ，o ，7 ，0 ) 是偏序集( x ，) 上的s 代数 例1 ，1 3 设x = f 0 ，1 】，是其上的自然序关系，对于任意z ，y x ，二元运算 z o y = m i n 1 ，z + 可) ，= 1 一x ，则( x ，o ，7 ，0 ) 是偏序集( x ，s ) 上的s 代数 例1 1 4 设x 一 o ，1 ) ，s 是其上的自然序关系，对于任意z ，y x ，令 一= 1 一z ， 一。= b 嚣； 则( x ，o ，7 ，o ) 为偏序集( 五) 上的s 代数 有 1 2 基础s 代数的性质 定理1 2 1 设( x ，o ，7 ，0 ) 是偏序集( x ，s ) 上的基础s 代数，则对任意的x x ， ( & ) 一o x = 1 ( ) 0 ，= 1 ； 3 ( & ) 一o1 1 证明对任意的茁x ，由于( x ，) 构成一个偏序集，所以根据( 岛) 知， 一oz = 1 ，即( ) 成立，同时有0 ，o0 = 1 ，由( 岛) 知0 ，= 1 ，又因1 是偏序集 ( x ，) 中的最大元，故由( 岛) 知一o1 = 1 定理1 2 2 设( x ，o ，7 ，0 ) 是偏序集( x ，) 上的基础s 代数，则对任意的 z ，y ，z x ，有 ( 岛) 若一oy = 矿o z = 1 ，则z = 鲈； ( s ；) 若一o y = 1 ，矿o z = 1 ，则一o z = l ； ( 岛) z o ( y oz ) = y o o z ) 证明( 岛) 若一o y = 矿o z = 1 ，则由( ) 知，在偏序集( x ，) 中x ，y 满足 性质z y 且y z ，所以z = y ( & ) 若一oy 一1 且量，oz = l ，由( ) 知x y 且y z ，由于( x ，) 构成 一个偏序集，所以x z ，由( 昆) 知o z = 1 由( 岛) 易得( 岛) 成立 定理1 2 3设( x ，o ，0 ) 是偏序集( x ，s ) 上的基础s 代数，则对任意的 z ，y ，z x ，有 ( s l o ) o ； ( $ 1 1 ) y zo ； ( 研2 ) z 矿oz 当且仅当y 一oz ； ( s l a ) 若z y ，则矿一即关于为逆序 证明( s 。o ) 由( & ) 知z o 矿= 1 ，再由( ) 知z ( & 1 ) 由( & ) 及( & ) 有y 7 0 x oy = 1 ，再由( 岛) 有y z o y ( $ 1 2 ) 由( s 2 ) 有 z y 7o z 一o y oz = l 铸堪e zoz - = 1 铮y 茎一oz ( s 1 。) 由( 岛) 知ysy ”，又由题设z y ，所以卫曼圹，由( s 2 ) ， 即y ”e 1 ) x 一1 ，再由( 岛) 有y 7sz ， 定理1 2 4设( x ，o ，0 ) 是偏序集( x ，) 上的基础s 代数， z x ，有 4 x 7 0 y ”= 1 则对任意的 ( s l a ) 1 z = z ； ( $ 1 5 ) 1 = 0 证明( & 4 ) 由( 岛) 有( ( 1 7 0 z ) 7o 茹) 7o 1 = 1 根据( & ) 及( & ) 有1 7 0 ( ( 1 7 0 z ) o z ) = 1 结合( 1 1 ) 与( 1 2 ) 及( 岛) 有( 1 7 0 z ) 7 0 $ = 1 又由( & ) 及( & ) 得一o ( 1 7 0 z ) = 1 7 0 ( 一o z ) = 1 0 1 = 1 再由式( 1 3 ) 与( 1 4 ) 及( 岛) 得1 7o $ = z 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) ( 岛5 ) 在( 岛4 ) 中，令z = 0 ，则1 7 0 0 = 1 = 0 ，即( 5 ) 成立 定理1 2 5 设( x ，o ，o ) 是偏序集( x ，) 上的基础s 代数，则任意z ，y ，z x ，( o 可) o y 及( 矿o z ) o z 分别是z ，y 的上界 证明因为o y o ( 一o y ) = 1 ，所以由( ) 有z o ) o y ，又因为 矿o y o o ) 7 = 1 ，所以y ( 一。可) 7 0 y ，从而( 一o ) 7 0 y 是z ，y 的一个上 界 同理可证得( 矿o z ) o z 是z ，y 的一个上界 1 3s 代数的性质 s 代数是基础s 代数，因此基础s 代数的所有性质在s 代数中均成立 定理1 3 1 设( x ，o ，7 ，0 ) 为偏序集( x ，) 上的s 代数，则对任意z ，y ，。x ， 有 ( s 1 6 ) p o ! ，) 7 0 ( ( 可oz ) o ( x oz ) ) = 1 证明由矿ozo ( 矿oz ) 7 = 1 知y ( 矿oz ) 7o 。，再由( & ) 有zoy ( 暑，oz ) 7o ( xoz ) ，所以( z o 可) o ( ( 矿o 。) 7o ( x o z ) ) = 1 定理1 3 2 设( x ，o ，7 ，0 ) 为偏序集( x ，s ) 上的s 代数，对任意z ，y ，z x ， 若z y ，贝0 矿oz 一o z 证明因为z y ，所以一o y = 1 代入定理1 3 1 中有( 矿oz ) 7 0 ( 一oz ) = 1 ， 再由( 岛) 即得y 7 0o 一oz 定理1 3 3 设( x ，o ，7 ，0 ) 为偏序集( x ，) 上的s 代数，则对任意z ，y ，z ，伽x ， 若z y ，o s w ，则z oz y o 坩 5 证明由x 茎y 及( 岛) 有z o z y o z ，由z w 及( 岛) 有z o y w o y ，再 由偏序定义即得z o z y o w 定理1 3 4 设( x ，o ，0 ) 为偏序集( x ，) 上的s 代数，则对任意z ，y ，z ，w x ， 有( ( 一o ) 7 0 可) 7 0y = 一o y 证明因为 ( 一。可) o ( ( ( 一o ) 7 0 ) 7 0 y ) = ( ( 一。暑，) 7 0 可) o ( ( o 耖) 7 0 y ) = 1 所以一o ys ( ( z 7 0 暑，) 7 0 剪) 7 0y 另一方面，由o 鲈) 7 0 y 是x 的一个上界知z ( 一。鲈) o y ，再由定理1 3 2 知( ( 一o ) 7 0 ) 7 0y 一o y ， 因此( ( 一o ) o ) 7 0 y = z o y 推论1 3 5 设( x ，o ，7 ，0 ) 为偏序集( x ，) 上的s 代数，则对任意z x ，有 t 一t 证明在定理1 3 3 中，令y = 0 即得 定理1 3 6 设( x ，o ，7 ，0 ) 为偏序集( x ，) 上的s 代数，则一元运算7 是一个 对合对应，即= z 证明由性质( 岛) 知，仅证x ”sx 即可 因为护o x = 一o z = 1 ，由( 是) 知z 从而z = 定理1 3 7 设x 是偏序集( x ，) 上的一个s 代数，则对任意的z ，y ，z x ， 以下条件等价： ( 1 ) = 一o ( y 7 0 z ) ； ( 2 ) 一= z o 一 ( 3 ) 一o ( y oz ) = ( x o 可) o ( z 7 0z ) 证明( 1 ) ( 2 ) 在( 1 ) 中，令y 7 = 0 即得( 2 ) ( 2 ) 兮( 3 ) 由定理1 3 1 知 ( o ( 一o ) ) 7 0 ( ( ( z 7 0 y ) 7 0 ( 一oz ) ) 7 0 ( y o ( z oz ) ) ) = 1 又因( y 7 0 ( 一o ) ) = ( ( y o y ) o z ，) ，= 1 = 0 ，所以有 ( ( z 7o ) 7o ( z 7oz ) ) 7o ( y 7 0 ( 一oz ) ) = 1 ， 即( z o 剪) 7 0 ( z 7 0z ) sy o ( 一oz ) ； 6 另一方面由定理1 3 1 易得o 。( 一。鲈) o ( 一o z ) ，再由( 岛) 有 一o ( ! ，o z ) ( 一。暑，) 7 0 o ( 一oz ) = ( o 可) o ( 一o z ) 所以一o ( 矿o z ) = ( 一。暑，) o ( 一o z ) ( 3 ) 号( 1 ) 在( 3 ) 式中，令z = 0 得一。暑，= ( z 7 e u ) 7 0 一，从而一o ( ! ，o z ) = ( 一o ( 矿。茗) ) o 一= 1 o = 一 为了行文的方便，我们在此引入圈乘运算o ：n 圆b = ( n o6 ，) 由该定义， 我们不难得到固的下面一些性质成立； 定理1 3 8 设x 是一个s 代数，则对任意z ，y ，z ，w x ，有 ( 1 ) z 0 1 = z ； ( 2 ) z 圆y = y o 叫 ( 3 ) z 圆( y 固z ) = o y ) o ； ( 4 ) z o z = 0 ，z o0 = o ； ( 5 ) o 鲈) 7 = 一。暑，； ( 6 ) ( z o ) = 一o y l ； ( 7 ) zo z = z 当且仅当o 一一； ( 8 ) 若zsy ，z w ，则zoz y ； ( 9 ) z 圆y x a ! ，； ( 1 0 ) zo ( 一o y ) z a ! ，； ( 1 1 ) z 暑，oz 兮z 圆y sz ； ( 1 2 ) ( o y ) o ( y 7o 。) 一o z ； ( 1 3 ) o y sp oz ) o ( y oz ) 证明由s 代数性质及 运算定义，易得( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，( 5 ) ，( 6 ) ，( 8 ) 式成立 ( 7 ) z o z = z 兮( 一圆一) = z 甘它圆它= 型 ( 9 ) 由( s 1 ) 有一一。暑，又有的逆序性与固定义得zo y z ，同理可 得z 圆寥y ，从而z y sz a y 7 ( 1 0 ) 因为( 矿) o o ( z o ) 7 一y ( g x p e ( x e y ) 7 = 1 ，即y 一o ( 一0 9 ) ，又由 ( s u ) 有一o ( 一。可) ，再由的逆序性有( 一o o 可) ，) ，y 和( z 7 0 ( 一o ) ，) ，z ， 所以( z o ( 一op ) ，) ，xa y ，即zo ( 一o y ) sz a y ( 1 1 ) z oz 一。暑，o z = 1 营( z o 剪) 7 0 z = 1 兮z 圆y z ( 1 2 ) 由定理1 3 1 有 ( x o ) 7 0 ( ( 可7 0z ) 7 0 ( 一。名) ) = ( ( 一。暑，) 7 0 ( ! ，oz ) ) o ( 一oz ) =l 所以有( ( 一o y ) o ( 矿oz ) ) 7 一o z ，即( 一o y ) 圆( 矿oz ) 一o z ( 1 3 ) ( 一。可) 7 0 ( x 固z ) o ( y oz ) = ( 一。可) 7 0 ( 一oz 7 ) o ( 0 2 7 ) 7 一( 一。彭) o ( y o2 ，) 7 0 o2 ，) = 】 1 4s 代数的几个特征定理 定理1 4 1 设x 是一个非空集合，其上二元关系s 使得( x ，) 成为一个偏 序集，0 ，1 分别是其中的最小元与最大元，o 与分别为定义在x 上的二元运算 与一元运算，则( x ，o ，7 ，0 ) 为一个s 代数的充要条件，以下各式成立； ( 1 ) z o ( y o z ) = y o ( z oz ) ； ( 2 ) ( z o ) 7 0 ( ( 矿o 。) o ( z oz ) ) = 1 ； ( 3 ) 若z 7o y = y oz = 1 ，贝uz = ； ( 4 ) 0 0 z = z 证明由s 代数定义及性质易得必要性显然成立 下面证明充分性 在x 上定义z y 当且仅当x 7o y = 1 ，则易证s 是x 上的一个偏序关系 由该定理中式( 1 ) ，( 4 ) 知x 是一个基础s 代数，因此1 = 0 下证( 岛) 8 若y z ，则( 矿o z ) 7 = 1 7 = 0 从而 ( z o 可) o ( ( 暑，o 。) 7 0 ( z o z ) ) = 扛o ) 7 0 0 0 oz ) = p o 封) 7 0 p o z ) =1 所以卫o y z o z ，( 岛) 得证 推论1 4 2 设s 是一个非空集合，o 与分别为定义在x 上的二元运算 与一元运算，则( x ，o ，7 ，0 ) 构成一个s 代数的充要条件是集合x 有关系使得 ( x ，) 构成一个偏序集，0 和1 分别是偏序集( x ，) 中的最小元与最大元，同 时对任意的z ，y ，z x ，有 ( 1 ) p o y ) o z = y o p o z ) ； ( 2 ) ! ，o z ( x o 可) 7 0 0 0 z ) ； ( 3 ) 若一o y = 矿o z = 1 ，贝9z = 可； ( 4 ) 0 0 z = 聋 证明同定理1 4 1 证明，在x 上定义偏序关系z sy 当且仅当一o y = 1 ，由 ( 2 ) 式知；( 暑o z ) o ( ( z o 剪) o ( z oz ) ) = 1 再由( 1 ) 式有 ( 江o ) o ( ( 7 0 。) 7 0 o z ) ) = ( 矿o z ) o ( ( z oy ) o ( z 0 2 ) ) =1 所以由定理1 4 1 知结论成立 定理1 4 3 设x 是一个非空集合，与7 分别为定义在x 上的二元运算与一 元运算，则( x ，o ，0 ) 构成一个s 代数的充要条件是集合x 有关系使得( x ，) 构成一个偏序集，0 和1 分别是偏序集( x ，s ) 中的最小元与最大元且1 7 = 0 ，同 时对任意的z ，y ，z x ，有 ( 1 ) 扛oy ) o z = y o 0 2 ) ； ( 2 ) ( 。o 暮，) 7 0 ( ( 矿oz ) o ( x o z ) ) = 1 ； ( 3 ) o y = 1 当且仅当z y 证明由定理1 4 1 知，仅需证在充分性中由1 7 = 0 能推出0 0z = z 即可 9 由( 3 ) 式易证( & ) 与( 岛) 成立，即对任意的z ，y x ，有一o z = 1 与若 一o y = 矿o z = 1 ，则z = y 由( & ) 及式( 岛) 知 x o ( 1 o z ) = 1 7o ( z 7o z ) = 1 ( 1 5 ) 1 o ( ( 1 7oz ) o x ) = ( 1 7o z ) o ( 1 7o z ) = 1 ( 1 6 ) 又由1 是x 中最大元知 ( ( 1 o z ) 7 0 z ) 0 1 = 1 ( 1 7 ) 结合( 1 6 ) 与( 1 7 ) 式由( 岛) 可知 ( 1 7 0 z ) 7 0 z = 1 ( 1 8 ) 结合( 1 5 ) 与( 1 8 ) 由( 岛) 可知1 7 0 z = z ，将1 7 = 0 代入即0 0 z = z 定理1 4 4 设x 是一个非空集合，o 是x 上的一个二元运算，7 为定义在 x 上的一个一元运算，则( x ，o ，0 ) 构成s 代数的充要条件是集合x 上有关系 使得( x ，) 构成一个偏序集，o 和1 分别是偏序集( x ，) 中的最小元与最大元 且1 7 = 0 ，同时对任意的z ，y ，。x ，有 ( 1 ) 0 0 y ) oz = y o 协oz ) ； ( 2 ) 若o y ，则xo zsy o z ； ( 3 ) 一o y = 1 当且仅当z y 证明由定义1 1 1 及定理1 3 ，2 易知必要性成立 在充分性中，由定理1 4 3 知，仅需证扛。笋) 7 0 ( ( 矿o z ) o 扛o z ) = 1 即可 由( y l e z ) o ( 矿o z ) = 1 知y 曼( 7 e z ) 7 0 z ，再由( 2 ) 式得x y z o ( 7 e z ) o 乙 结合( 3 ) 式有( z o ) 7o ( ( p oz ) 7o ( xoz ) ) = 1 从而定理1 4 4 成立 ( x ，o ，7 ，0 ) 构成s 代数的充要条件是定理1 4 1 中四个条件分别成立，并且四 个条件是相互独立的，下面给出一些反例加以说明。 例1 4 5 设x = 0 ，1 】，为其上的自然序，在其上定义二元运算。与一元运 算7 ，使得对任意x ，y ，z x ，有= 1 一z ， l 1 ，z ； z ，。炉 ；：j 蒜 则在定理1 4 1 中，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 式成立，但( 1 ) 式不成立例如取 z = 0 2 ，y = 0 6 ，z = 0 4 ，则有一o ( 矿oz ) = 0 8o ( 0 4o0 4 ) = 0 8o 0= 0 8 ，暑，o ( 一o 。) = 0 4 0 ( 0 8 0 0 4 ) = 0 4 0 1 ；1 ，所以一o ( 暑，o z ) ! ，o ( 一o z ) ， 从而( 1 ) 式不能由其他式推出 例l 4 6 设x = 【o ，1 】，为其上的自然偏序关系，在其上定义二元运算。与一 元运算7 ，使得对任意z ，y ，z x ，有，= 1 一z ，x $ y = x v y ，则( 1 ) 、( 4 ) 式显然 成立易验证( 3 ) 式也成立但( 2 ) 式不成立，例如；取z = 0 5 ，y = 0 4 ，名= 0 3 ， 则( 一o ) o ( ( 暑，7o 。) 7o ( ，o2 ) ) = ( 0 5oo 4 ) o ( ( o 6oo 3 ) ) 7o ( 0 5oo 3 ) ) = 0 5 0 ( 0 4 0 0 - 5 ) = 0 5 1 ，所以( 2 ) 式不可由其他式推出 例1 4 7 设x = 【o ，1 】，s 为其上的自然序，在其上定y , - - - 元运算。与一元运 算，使得对任意z ，y ，z x ，有一= 1 一z ， l z ，y = 0 z o y = y ，霉= 0 i1 ，其他 则定理1 4 1 中，除( 3 ) 式不满足外其余都成立，所以( 3 ) 式不可由其他式 推出 例1 4 8 设x = o ， ，1 ) ，为其上的自然序，在其上定义二元运算。与一 元运算，使得对任意z ，y ，。x ，一= 1 一z ， 咖= r 巍； 则定理1 4 1 中，( 3 ) 式显然成立 对于( 1 ) 式，计算结果见下表： z鲈zo ( p oz ) ! ，o ( z oy ) 0 1 11 01 i 1 11 1 0111 10 o0 1 0 0o 1 ；0 11 1 1 由上表知( 1 ) 式成立 同理( 2 ) 式成立 但( 4 ) 式不成立，所以( 4 ) 式不可由其他式推出 1 2 第二章s 代数与格的关系 第一章中，我们对s 代数的基本性质进行了详细的研究，但在本文中的s 代 数，也即偏序集上的s 代数在一般情况下并不构成格，而一个代数结构如果具有 格结构则具有许多良好的性质为此，我们在这一部分将研究偏序集上的s 代数 与格的一些联系 2 1s 代数的进一步研究 定理2 1 1 设x 是一个s 代数，则对任意z ，y x 声o y 是z ，y 的上界， z o y 是z ，y 的下界 证明因为矿。扛。暑，) = ( 矿o y ) o z = 1 ，所以有y x o y ，同理有z z s y ， 因而z o y 是z ，y 的个上界由定理1 2 3 可知一一。矿，又由运算7 的逆序 对合性知( 一。矿) x ，即zo y z ，同理有z o y y ，所以霉o y 是z ，y 的一个 下界 定理2 1 2 设x 是一个s 代数，则对任意z ，y x ，z ，y 上确界存在当且仅当 z ，y 的下确界存在，且i n f ：v ，矿) = 8 u p z ，订) 证明对任意的x ，y x ，由定理2 1 1 知其上界存在，若，矿上确界也存 在，则记s u p x ，f = z ，因为7 为逆序运算，于是。是以y 的一个下界设叫是 z ，y 的任一下界，同理可知是一，矿的一个上界，因此，z ，由逆序对合性 知w ，所以是z ，y 的下确界 同理可证充分性成立 定理2 1 ，3 设x 是一个s 代数，则对任意的z ，y x ，z o y 是x ，y 是上确界 当且仅当z 固y 是z ，y 的下确界一 证明设xoy 是z ，y 的上确界，由定理2 1 1 知z 圆y 是z ，y 的一个下 界，设z 是z ，y 的任一下界，则由的逆序性知z 7 是一，矿的一个上界，所以 一o s ，z ( 一o ) 7 ，即zszo y 从而xo y 是z ，y 的下确界 同理可证充分性成立 定理2 1 4 设x 是一个s 代数，则对任意的x ，y ，z x ，有o ( y 圆z ) = ( x o y ) 圆 o z ) 当且仅当x ( y oz ) = ( z 固y ) o ( x 。) 1 3 证明若。o ( y 圆2 ) = 0oy ) o oz ) 成立，则 z p ( y oz ) = ( o ( y o 。) ，) ， = ( 一o ( oz ，) ) 7 = ( ( 一。矿) o ( 一oz r ) 7 ) 7 = ( ( z 圆掣) 7 0 ( z 圆2 ) ) = ( x 圆y ) o ( x 圆z ) 充分性类似可证得。 2 2s 代数构成格的若干条件 定理2 2 1 设x 是偏序集( x ，) 上的s 代数，若( x ，) 关于。构成并半 格，则( x ，) 构成格 证明对任意的z ，y x ，由题设知z o y 为z ，y 的上确界，由定理2 1 3 知， z o y 为z ，y 的下确界，所以( x ，) 构成格 注2 2 2 由定理2 2 1 的证明可知，若( x ，) 关于 构成交半格，则( x ，) 构成格 定理2 2 3 设x 是偏序集( x ，s ) 上的s 代数，若对任意的z ，y x ，设z 为 x ，y 的任一上界，有( z 7 0 笋) 7 0 。= l ，则( x ，) 构成格 证明由定理2 1 1 知，xoy 为x ，y 的上界，若对任意的任一上界。有 ( zo ) 7 0z = 1 ，则有zoysz ，即对任意z ，y x ，其上确界存在为xo y ，并由 定理2 1 3 知其下确界也存在，为z y ，所以( x ，) 构成格 定理2 2 4 设x 是偏序集( x ，) 上的s 代数，若对任意的z ，y ，z x ，有 x o ( y z ) = ( x oy ) 圆( z o z ) 成立，则( x ，) 构成格 证明若对任意的z ，y x ，由定理2 1 1 知z o y 是z ，y 的上界，设。是x ，y 任一个上界，则有一oo = 1 ，y 7oz = 1 ，所以有 ( z o 可) oz =( x y 1 ) o 。 ( x oz ) o ( y o 。) 1 圆l ( 0 0 0 ) 1 1 4 则卫o y z ，zoy 是z ，y 的上确界，由定理2 1 3 知，z 圆y 为z ，y 的下确 界，从而( x ，) 构成格 推论2 2 5 设x 是偏序集( x ，) 上的s 代数，若对任意的z ，y ，z x ，有 z 固( y o z ) = 圆y ) o 扛o z ) 成立，则( x ，) 构成格 定理2 2 6 设( x ，o ，0 ) 是偏序集( x ，) 上的s 代数，若对任意的z ，y x ， 均有o 可) 7 0 y = ( 矿o z ) 7 0 。，则( x ，) 构成格，且有 s u p x ，秒 = ( 一o p ) o y ， i n f z ，! ，) = ( 一。暑，) o y 证明由定理1 2 5 知，( 一01 ，) ，o y 是z ，y 的一个上界，设z 是。，y 的任一 上界，则x z ，由定理l ，3 2 有o y 一o y ，再次由定理1 3 2 得( 一0 妒) 7 0 y ( 一。可) 7 0 y 由题设知( o 暑，) oy = ( y 7 0z ) oz ，又y z ，矿oz = 1 ，从而 ( ，o 暑，) o y = ( o z ) ，o z = 1 o z = z ，从而有o 可) o y z ，由z 的任意性知 ( 一。笋) o y 是z ，y 的上确界由定理2 1 2 知，z ，y 的下确界也存在，且 i n f z ，可) = s u p x i ，n ) 7 = ( z o ! ，) o 暑，) ， = ( 一 可) oy 所以( x ，) 构成格 定理2 2 7 设( x ，o ，0 ) 是偏序集( x ，) 上的s 代数，若对任意的z ，y x ， 有z = ( 一o ) 7 0 z ，则( x ，) 构成格 证明对任意的z ，y x ，由定理1 2 5 知( o 掣) 7 0 是z ，y 的一个上界，设 z 是z ，y 的任一上界，则。z ，由定理1 3 2 得z o y oy ，由7 的逆序性有 ( z o 可) ( o 掣) 7 ，又y z ，结合此二式由定理1 3 3 得( 一。可) 7 0 ( ，e y ) 7 0 z ， 而由题设( 一。可) o 。= z ，从而( 一o ) o y s 。，由z 的任意性知( z o 掣) 7 0 y 是 z ，y 的上确界，由z ，y 的任意性知(