（数量经济学专业论文）VaR模型及VaR技术在投资组合风险管理中的应用.pdf

摘要 乎s s s 眦 近年来频频发生的金融危机，引起了人们对金融机构风险管理的高度重视。 市场波动性的曰益增大促使研究人员、金融市场参与者和金融监管方寻求更为复 杂精细的风险管理工具。目前国际上广泛接受和采用的风险管理标准是上个世纪 9 0 年代以后发展起来的新型风险管理工具_ v 扭( v a l u e a t r i s k ) 。v a r 是指在 一定置信水平f ，在正常情况下，所持有资产或组合在未来特定持有期内的最大 损失值。 b e d e r ( 1 9 9 5 ) 做过v a r 模型的应用实证，用八个不同的v a r 模型来测量三个 假定投资组合的风险，结果表明这些模型度量的v a r 值结果相差很大。由此可 见，在实际应用v a r 技术度量风险的过程中，对v a r 模型的选择和评估相当重 要。因此本文研究的重点之一是探讨v a r 模型的最新进展及模型的适用性。本 文首先重点探讨了极值分布v a r 模型( 包括广义极值分布和广义帕雷托分布两个 模型) 和分位数回归v a i l 模型；然后在此基础上将六个v 出模型( 包括上述三种 模型、历史模拟法、r i s k m e t r i c s 方法以及蒙特卡洛法) 实证应用于估计上证指 数、上证1 8 0 、深证成指、深证综指9 5 v a r 和9 9 v a r ；同时采用区间预测法、 损失函数法和符号检验法对这些v a r 模型进行了选择评估。 由于v a r 技术在金融市场风险管理中的作用不仅仅在于提供风险管理信息， 其更重要的作用在于主动管理风险，即把v a r 应用于资源配置和交易绩效评价。 因此，除了讨论v a r 的度量外，v a r 技术在投资组合风险管理中的应用也是本 文研究的重点。围绕着如何把v a r 风险管理技术应用于组合风险管理中，本文 最后以证券投资基金为例，实证探讨了v a r 方法在组合资产投资决策和绩效评 估方面的应用。本文所有用于研究的数据均取自北京天相软件系统，所使用的统 计分析软件主要是s a s 和m a t l a b 软件包。 关键词：市场风险，v a r 技术，极值理论，分位数回归 v a rm o d e l sa n d a p p l i c a t i o no f v a r t e c h n i q u e i np o r t f o l i or i s k m a n a g e m e n t a b s t r a e t r e c e n tf i n a n c i a ld i s a s t e r sh a v ee m p h a s i z e dt h e i m p o r t a n c e0 f e f f e c t i v er i s km a n a g e m e n tf o rf i n a n c i a li n s t i t u t i o n s t h ei n c r e a s e d v o l a t i l i t yo ff i n a n c i a lm a r k e t sd u r i n gt h el a s td e c a d eh a si n d u c e d r e s e a r c h e r s ，p r a c t i t i o n e r sa n dr e g u l a t o r st od e v e l o pm o r es o p h i s t i c a t e d r is km a n a g e m e n tt o o l s v a l u ea t r i s k ( v a r ) t e c h n i q u ei san e wr i s k m a n a g e m e n tm e t h o dt h a th a sb e e nd e v e l o p e di n1 9 9 0 s i th a sb e c o m et h e s t a n d a r dm e a s u r eo fm a r k e tr i s ke m p l o y e db yf i n a n c i a li n s t i t u t i o n sa n d t h e i rr e g u l a t o r s i ti sa ne s t i m a t eo fh o wm u c hac e r t a i np o r t f 0 1i oc a n l o s ew i t h i nag i y e nt i m ep e r i o da n da tag i v e nc o n f i d e n c e1 e v e l b e d e r ( 1 9 9 5 ) a p p l i e s e i g h t c o m m o nv a rm e t h o d 0 1 0 9 i e st ot h r e e h y p o t h e t i c a lp o r t f o l i o s t h er e s u l t s h o w st h a tt h ed i f f e r e n c e sa m o n g t h e s em e t h o d sc a nb ev e r yl a r g e ，t h e r ei san e e df o ras t a r i s t i c a l a p p r o a c h t oe s t i m a t i o na n dm o d e ls e l e c t i o n s o ，o n eo fo u rm a i no b j e c t i v e so ft h i s p a p e ri st os u r v e yt h er e c e n td e v e l o p m e n t si nv a rm o d e l i n g f i r s t l y ，i s y s t e m a t i e a l l yd i s c u s st w ot y p e so fl a t e s td e v e l o p e dv a rm o d e l s o n ei s t h ee v t b a s e dv a rm o d e l ( i n c l u d i n gg e vm o d e la n dg p dm o d e l ) ，t h eo t h e r i st h eo u a n t i l er e g r e s s i o nv a rm o d e l s e c o n d l y ，ie v a l u a t ep r e d i c t i v e p e r f o r m a n c eo fas e l e c t i o no fv a rm o d e l sf o rc h i n e s es t o c km a r k e td a t a t h e s ev a rm o d e l si n c l u d er i s k m e t r i c sm e t h o d ，h i s t o r i c a ls i m u l a t i o n ，m o n t e c a r l om e t h o d ，a n dt h et h r e er e c e n tm o d e l sb a s e do nq u a n t i l er e g r e s s i o n a n de x t r e m ev a l u et h e o r y ia p p l yt h e s es i xv a rm o d e l st ot h ec h i n e s es t o c k m a r k e ti n d e xa n dc o m p a r e dt h e i rp e r f o r m a n c ei nt e r m so ft h r e ev a r i o u s c r i t e r i a b e c a u s ev a rm e t h o d sc a nn o to n l yb eu s e df o ri n f o r m a t i o nr e p o r t i n g ， b u ta l s oc a nb eu s e df o rr e s o u r c ea l l o c a t i n ga n dp e r f o r m a n c ea s s e s s i n g t ot h ew h o l ei n s t i t u t i o n t h i sp r o c e s ss t a r t sw i t ha d j u s t i n gr e t u r n sf o r r i s k ( r a r o c ) s ot h eo t h e rm a i no b j e c t i v eo ft h i sp a p e ri st os u r v e yt h e a p p l i c a t i o n o fv a ri np o r t f o l i or i s km a n a g e m e n t i nt h el a s t p a r to ft h i s p a p e r ，ic h o o s ei n v e s t m e n tf u n d si no u rs t o c km a r k e ta se m p i r i c a la b j e c t t ot e s ta n dv e r i f yh o wt oa p p l yv a rt e c h n i q u ei np o r t f o l i or i s km a n a g e m e n t e f f i c i e n t l yw i t hs o m et r a n s a c t i o nd a t ag a i n e df r o md o m e s t i c s t o c k a n a l y t i c a l s o f t w a r e k e yw o r d s ：m a r k e tr i s k ，v a rt e c h n i q u e ，e x t r e m ev a l u et h e o r y ，q u a n t i l e r e g r e s s i o n 月u舌 朗舌 上个世纪9 0 年代以来，全球金融市场动荡不安，从1 9 9 5 年的墨西哥金融危 机开始、接着是1 9 9 7 年的亚洲金融危机、紧接着又是1 9 9 8 年俄罗斯和拉丁美洲 金融危机。频频发生的金融危机，引起了各国金融机构和政府监管方对金融风险 的高度重视。金融风险一般分为市场风险、信用风险、流动性风险、操作风险、 法律风险，道德风险等，其中可以量化的风险包括市场风险、信用风险和流动性 风险，本文的研究对象仅限于证券市场的市场风险。 所谓市场风险就是指由于市场的波动导致金融产品的投资回报的不确定性。 股票价格、利率、汇率以及商品价格的波动都会带来市场风险。金融机构、工商 企业在进行风险管理时，需要及时分析、度量及评估所面临的市场风险。市场风 险管理的核心是对风险的度量分析和评估，即风险测量。目前国际上广泛接受和 应用的测量市场风险的方法是上个世纪9 0 年代以后发展起来的新型风险管理工 具v a rf v a l u e a t - r u s k ) 。 v a r ，中文大多译为“在险值”，是指在一定置信水平下，在正常情况下， 所持有资产或组合在未来特定持有期内的最大损失值。1 9 9 4 年j 2 m o r g a n 银行 首先公布了它的v a r 系统r i s k m e t r i e s ，它能够测评全世界3 0 个国家1 4 0 种金融 工具的v a r 值。由于v a r 的概念简单，在量化风险和动态监管方面具有独特的 优势，因而在金融界广受欢迎，目前v a r 已成为许多国家金融风险管理的估计 标准。国际清算银行巴塞尔委员会0 3 a s e lc o m m i t t e e ) 1 9 9 6 年发布的“市场风险补 充规定”( t h e 1 9 9 6a m e n d m e n to i lm a r k e tr i s k ) 及美联储( f e d e r a lr e s e r v e b o a r d ) 1 9 9 5 年的“事前承诺模型”( t h e p r e c o m m i t m e n t m o d e l ) 都基于v a r 模型。 v a r 技术在金融市场风险管理中的作用，概括来讲表现为：提供风险管理信息、 确定交易员风险管理限额、进行资源配置投资和交易绩效评价、以及适应外部监 管的要求等。 尽管v 出概念简单，应用广泛，但对v a r 的度量并非易事，到目前为止仍 然没有一个v a r 模型得到理论界和实业界的一致认同，造成这种结果的原因在 于：一方面从理论上来说基于不同假设条件会产生不同的理论模型；另一方面 从实际应用的角度来讲，由于金融市场瞬息万变，要想有效地预测和反映金融市 月u蟊 场复杂的变化并不容易，不可能存在一个包罗万象的金融模型。b e d e r ( 1 9 9 5 ) 做过 v a r 模型的应用实证，用八个不同的v a r 模型来测量三个假定投资组合的风险， 结果表明这些模型度量的v a r 值结果相差很远，对同一个投资组合而言，不同 模型度量出来v a r 值相差1 4 倍。由此可见，在实际应用v a r 技术的过程中，对 v a r 模型的选择和评估相当重要。 我国证券市场经过十几年的迅速发展，目前正发生着重要转变：一是监管力 度不断加强、市场规范化程度不断提高；二是随着我国加入w t o ，国际化进程 不断加快，竞争对手从国内向国际延伸；三是市场规模的扩张和投资者结构的变 化，导致市场波动性不断增加。随着证券市场各项规章制度的完善、市场成熟度 的提高、各项新兴业务的拓展，证券市场风险在不断上升。市场风险的增加对风 险管理提出了新的要求，同时随着我国加入w t o ，在金融市场一体化、自由化 的驱使下，我国金融业必将与国际惯例接轨，执行国际风险管理的标准，在新形 势下，我国证券公司必须引进v a r 风险管理技术，建立全面的风险管理体系。 v a r 技术的引进对我国证券市场的风险管理意义重大，目前国内已有不少专 家学者从不同侧面对证券市场的风险管理进行了探索性的研究，这为今后的研究 奠定了良好的基础。但由于受我国金融市场发展现状的限制，国内学术界在该领 域的研究成果相对较少，研究中也存在较为明显的两个方面的不足：一方面是定 性研究居多，定量化研究成果较少，且定性化研究大多将重点放在了风险控制与 防范的具体制度与措施方面，对风险管理的其它重要方面如风险度量、风险对冲 等介绍不足，对国际上v a r 最新理论进展和应用动态的介绍也有待补充：另一 方面是定量研究中对国外v a r 成果介绍居多，对如何将国际先进成果运用于国 内证券公司的实证研究明显缺乏，降低了成果的实用性和可操作性，此外，目前 尤其缺乏较为综合地将各种v a r 模型比较实证应用于国内证券市场方面的研究。 这些不足使得国内的研究普遍缺乏理论上的创新性和实践上的可应用性，本文试 图在这两方面有所突破。一方面，在理论上，本文将研究重点放在目前国内研究 中缺乏的有关v a r 的最新理论发展及应用动态两方面( 如用极值理论估计v a r 、 采用分位数回归方法估计v a r 、以及v a r 技术在组合风险管理方面的应用等) ， 而对于那些在国内已发表的金融风险管理专著和研究文章中详细介绍过的内容 ( 如v a r 的概念、历史模型法、r i s k m e t r i c s 方法、蒙特卡洛方法等) ，本文只作 2 刖舌 简要介绍；另一方面，在实证研究中，围绕着如何将v a r 模型应用于我国证券 市场，本文不仅将各种v a r 模型实证应用于我国证券市场，采用了区间预测评 估法、损失函数法以及符号检验法对六种模型进行了选择评估；而且以我国证券 市场的投资基金为例，将v a r 技术实证运用于投资组合风险管理中，进一步突 出了v a r 在主动风险管理、投资决策中的实用性。 本文的论述分为五章：第章将简单介绍v a r 的基本概念，重点探讨v a r 方法在理论上的最新研究成果；在第二章本文将介绍三种用于v a r 模型评估和 选择的方法；在第三章本文将v a r 模型应用于我国证券市场，进行了比较实证 研究；在第四章中本文将探讨简化计算投资组合v a r 的技巧，并进一步介绍三 种用来分析投资组合风险的方法，探讨v a r 技术在投资决策和组合绩效评价方 面的应用；在第五章本文将以国内投资基金为例，实证分析v a r 技术在组合风 险管理中的应用问题。本文所有用于研究的数据均取自北京天相软件系统，所使 用的统计分析软件主要是s a s 和m a t l a b 软件包。 第一章v a r 模型 第一章v a r 模型 第一节v a r 的基本概念 1 1 1 v a r 定义 v a r 方法是用来测量给定投资工具或资产组合在未来资产价格波动下可能 或潜在的损失，j o r i o n ( 2 0 0 1 ) 指出v a r 是指在正常的市场条件下，在给定置信 区间内，一种投资工具或资产组合在给定持有期内的最大预期损失。在数学上， v a r 可表示为投资工具或组合的回报率分布的a 分位数的相反数，表达式如下： p r ( 气s v a r ) = a ( 1 1 ) 峨表示组合p 在址持有期内市场价值的变化。等式( 1 1 ) 说明了损失值 等于或大于v a r ( 又称在险值) 的概率是，或者可以说，在概率旺下，损失值 是大于v a r 的。 例如，持有期为1 天，置信水平为9 7 5 的v a r 是1 0 万元，是指在未来的 2 4 小时内组合价值的最大损失超过1 0 万元的概率应该小于2 5 ，如图1 1 所示。 曩寨 0 , 1 4 0 , 1 4 0 a 2 巍】0 o 。鹅 n 啦 0 0 4 0 0 2 嬲向 万嚣 组巷的剥稠，搂戋 图1 1 在险值v a r 可见v a r 在定义上有两个重要参数：置信水平( 1 - c 【) 和持有期出。置信水 平的选择取决于决策管理者对风险的忍耐程度以及资金的盈余状况，般取值是 9 5 9 9 ；持有期的选取是由金融机构的交易性质决定的，例如要求在该段时 4 第一章v a r 模型 间内该组合保持不变。选取的持有时间越短，组合的回报率越接近于正态分布， 持有期的取值可为1 天或1 周等。根据v a r 的两个重要参数，我们可以把v a r 的定义简化为以下含义图1 2 ： 选定的投资组合 给定持有期t ( 其选取由金融机构的交易性质、 组台回报率分布的性质等决定) 给定置信水平( 1 一q ) ( 其选取由风险的忍耐程度、资金 的盈余状况等决定) 预测组合的最大预 期损失值v a r 图1 2v a r 的含义 1 1 2 绝对v a r 和相对v a r 考虑一个证券组合p ，假定w o 是证券组合的初始价值，r p 为该资产在持有 期内的投资回报率，则在持有期末，证券组合的价值可以表示为：w = w o ( 1 + r p ) ， 相应的组合在持有期内的回报或损失r o c ( r e t u mo nc a p i t a l ) 就可表示为： r o c = w or p 。假定投资回报率r 的均值和方差分别为和o p ，组合回报率分布 的c 【分位数为r p t 、对应的回报表示为r o c * ，根据v a r 的定义( 1 1 ) 式，可 以定义在置信水平( 1 - 0 【) 下，相对于证券组合回报均值e ( r o c ) 的v a r ，即相对 v a r 为： v a r ( 相对值) = 一r o c + + e ( r o c ) = 一r p + w o + “i w o ( 1 ，2 ) 如果不以组合回报的均值为基准可以定义绝对v a r 为： v a g ( 绝对值1 = 一r o c + = 一r p + w o ( 1 3 ) 假定资产组合的回报率服从正态分布，我们采用组合回报率分布密度曲线示 意图( 横轴为组合回报率，纵轴为回报率对应的概率) 来描述绝对v a r 和相对v a r 的区别，见下图1 3 ，当组合的期望回报率为0 时，绝对v a r 等于相对v a r 。 第一章v a r 模型 分位点对应的 同报率r p 回报率的期望 图1 3 绝对v a i l 和相对v a r 区别示意图 需要特别指出的是：在后文中，v a r 均采用相对值的概念。 1 1 3v a r 的求解 记资产组合p 的回报率的分布密度为f i r ) ，回报率分布的分位点为r 矿， 则有： a = 亡八固呔 ( 1 4 ) 由式( 1 4 ) 知r p 卓可看作是q 和组合回报率的分布密度f ( r ) 的函数。假定已 知期望回报率，我们把( 1 4 ) 式代入( 1 2 ) 式，可以进一步得到：v a r 实质上 可以看作是和组合回报率的分布密度f 【r ) 的函数。由于a 是事先给定的，故求 解v a r 的核心在于确定资产组合回报率的分布密度。不同的v a r 预测模型采用 了不同的方法来求解组合回报率的概率密度。 第二节v a r 模型 尽管v a r 概念简单，但对v a r 的度量并非易事。从上一节中我们知道求解 7 a r 的核一t l , 在于求解组合回报率的分布密度，由于回报率的分布在整个考察期内 并不是固定不变的，因而对回报率分布密度的预测具有极大的难度，为了准确地 求解v a r ，西方学者提出了许多v a r 模型，对v a r 模型的研究呈现出百家争鸣的 局面。本文将重点探讨半参数类v a r 模型，即：用极值理论估计v a r 的模型以及 用分位数回归方法估计v a r 的模型。为了方便v a r 模型之间的比较研究，本文仅 第一章v 啦模型 限于探讨各种模型在单个资产变量下的形式，并将要探讨的模型分为以下三类 ( 见国i 4 ) ： 第一类：非参数模型。例如历史模拟法( h s ) 。 第二类：参数模型。例如r i s k m e t r i c s 模型、蒙特卡洛模拟( m e ) 。 第三类：半参数类型。例如极值理论和分位数回归模型。 非参数模型 图1 4v a r 模型 1 2 1 历史模拟法 历史模拟法假定资产组合回报率未来的变化和过去的变动是一致的，利用 过去段时间资产回报率数据，估算资产回报率的统计分布，再根据不同的分位 数求得相应置信水平的v a r 。历史模拟法的步骤是：( 1 ) 将股票回报率按由小到 大的顺序排列；( 2 ) 对于数据窗口宽度( 样本区间长度) t ，排序后的股票回报 率分布的第5 分位和第1 分位数等对应为9 5 v a r 和9 9 v a r 。 予不此在型横的蹲探于不文本胆b娄个某于霄归些有 类归一丁进型嫫r av的 十j探耍将文对】、文本 注性歹 第一章v a r 模型 历史模拟法的优点在于：该方法简单、直观、易于操作，不需对回报率分布 形式作出假设，可以解决比如回报率分布厚尾或不对称等问题，同时避免了因为 参数估计或选择模型而引起的误差。 历史模拟法也存在很多缺陷。具体表现在：第一，回报率分布在整个样本时 期内是固定不变的，如果历史趋势发生逆转时，基于原有数据的v a r 值会和预 期最大损失发生较大偏差；第二，h s 不能提供比所观察样本中最小回报率还要 坏的预期损失；第三，样本的大小会对v a r 值造成较大的影响，产生一个较大 的方差；第四，h s 不能作极端情景下的敏感性测试。 参数模型 1 2 2r is t d d e t r i c s 方法 j y m o r g a n 银行的r i s k m e t r i c t m 方法的核心是基于对资产回报率的方差一 协方差矩阵进行估计，它的鼋要假设是线性假设和正态分布假定，详见文献2 。 即假定墨! n ( o ，1 ) ，且一般假设o ，即假定r n ( o , a ? ) ，在( 1 ) 置信 d 水平下，第t 期在险值根据相对v a r 定义为： v a r ，= 一z 。仃， ( 1 5 ) 其中，z 。在这里表示标准正态分布的第a 个分位数。 ( 1 ) 关于回报率方差的求解 根据( 1 5 ) 式，可知r i s k m e t r i e s 方法的关键在于估计第t 期资产组合回报 率的方差。 假定我们用( t - n ) 期至( t 一1 ) 期的r 1 个回报率来预测第t 期方差。一般可以 通过两种方式来估计第t 期的方差。 一种是等权重移动平均法，它的表达式为： 旷、生窆蛾训2 q 2 q i 缶眯h 叫 ( 1 6 ) 其中，u 为从第( t _ n ) 期至t - 1 ) 期的期望回报率。 另一种是指数移动平均法( e w m a - - e x p o n e n t i a l l yw e i g h t e dm o v i n g a v e r a g e 2 m o r g a n j pr i s km e t r i c st e c h n i c a ld o c u m e n t m ，n e wy o r k ，1 9 9 6 。 8 第一章v a r 模型 a p p r o a c h ) ，r i s k m e t f i c s 一般采用这种方法。指数移动平均方法对时间序列中的 不同时间的数据采取不等权重，根据历史数据距当前时刻的远近，分别赋予不同 的权重，距离现在越近，赋予的权重越大。为了使赋予的权重简单化，指数移动 平均方法引入一个参数 决定权重的分配， 称为衰减因子。假定第( t - n ) 期 至( t 一1 ) 期的期望回报率为0 ，该方法表达式如下： f 喀矿k 五 而最优衰减因子x 的求解采用均方根误差原则，即 r m s e 氍1 爵2 丙2 ( 1 7 ) ( 1 8 ) 预测均方根误差达到最小的 即为最优衰减因子。其中t 为依据指数移动平 均法外推估计的时期数。j p m o r g a nr i s k m e t r i c s “方法在对日回报率数据的波 动性和相关性系数的估计中，一般选取t = 2 5 0 、最优衰减园子 = o 9 4 。 如果对以上两种求解0 方法予以推广，考虑到金融资产回报率的异方差性， 则对o 的估计可考虑采用a r c h 类模型，如g a r c h 、t g a r c h ( g l o s t e ne t a 1 1 9 9 3 ) 、以及e g a r c h ( n e l s o n ，1 9 9 1 ) 等。 ( z ) 关于回报率分布的假定 r i s k m e t r i c s 法中回报率分布可以由正态进一步推广到非正态分布。比如考 虑到资产回报具有厚尾性，因而可以考虑资产回报率服从混合正态分布、t 分布、 广义误差分布等，不同的分布可得到不同的z 。 ( 3 ) r i s k m e t r i e s 方法的优缺点 r i s k m e t r i c s 法的重要优势在于：相关的数据很容易取得；而且在正态分布 假定下，同一组合的v a r 值在不同的置信水平和持有期之间可以相互转化。例如 已知资产组合9 5 天v a r 为： 肠玛5 ，日= 一1 6 5 o 日，则可以得到资产组合9 9 的天v a r 为：v a r 9 9 - 日= - 2 3 3 w o o 目= ( 2 3 3 1 6 5 ) v a r 9 5 、；假定一月有2 2 个交易 日， 由仃月= 2 2 仃日， 则可以得到资产组合9 5 的月v a r 为： 砌局5 月= 一1 6 5 + 2 2 盯日= 2 2 愀9 5 日， 推而广之，则有： v a r ( j 口 k = f 2 t lv a r o 一。) 。 9 第一章v a r 模型 该方法的缺点是必须对参数服从的分布作出人为的假定，可能会带来模型选 择误差，同时在预测极端事件或突变方面仍不尽人意。 1 2 3 蒙特卡罗模拟法 蒙特卡罗模拟法( m c ) 与历史模拟法十分类似，它们的区别在于m c 是利 用统计方法估计历史上市场因子运动的参数，然后模拟市场因子未来变化的情 景；而h s 方法则直接根据历史数据来模拟市场因子未来变化情景。 m c 方法模拟的具体过程如下： 】、首先识别基础的市场因子，并用市场因子表示出资产组合中各个金融工 具的盯市价值。 2 、为市场因子选择合适的模型( 譬如可假定股票二级市场上的价格波动遵 循几何布朗运动) ，选定模型后，在已有历史数据基础上估计有关分布的参数( 如 协方差矩阵和相关系数) 。 3 、为模型中的随机变量选择较好的随机数产生方式，模拟市场因子未来变 化的情形，模拟足够多次数后，根据定价公式计算资产组合在未来的盯市价值及 未来的潜在损益，根据潜在损益的分布，在给定置信度下计算v a r 值。 例如假定股票价格遵循几何布朗运动，该模型的离散形式为： s s = p a t + f ( 1 9 ) 其中变量s 为短时间纽后股票价格s 的变化，s 为标准正态分布的随机样 值，参数“为单位时间内股票的预期回报率，口为股票价格的波动率。这两个参 数通常假设为常数，由历史数据估计得到。方程( 1 9 ) 表明a s s 服从均值为心f ， 标准差为d 出的正态分布。 例如假定股票的预期回报率为每年1 4 ，回报率的标准差( 即波动率) 为每 年2 0 。如果以年来计算，可表示为：= o 1 4 ，盯= o 2 0 。假定1 年有2 4 0 个交 易曰，考虑出= o 0 1 年( 或2 4 天) 时间段后股票价格的变化。可以得到5 s 服从均值为0 0 0 1 4 ( = o 1 4 0 0 1 ) ，标准差为0 0 2 ( = o 2 o 0 1 ) 的正态分 布。据此我们可以通过不断从正态分布n ( 0 ，0 0 1 4 ，0 0 2 ) 中取样来模拟股票价格在 未来的一条运动轨迹。具体做法是第一步先从标准正态分布( 即n ( 0 ，1 1 中随机取 第章v a r 模型 样值v ，然后利用公式v ：= 0 0 0 1 4 + 0 0 2 v ：将其转换为n ( o 0 0 1 4 ，0 0 2 ) 中样本点v 。， 假定股票的初始价格s 为2 0 元，据此可以得到股票价格在f 后变化的一个可能 值。如此类推，继续模拟足够多次数后，可以得到股票价格潜在的回报率分布密 度，最后根据模拟的回报率分布得到v a r 。 蒙特卡洛方法的优点在于其不受金融工具类型复杂性、金融时间序列的非线 性、厚尾性等问题限制。 但这种方法也存在许多不足之处：其一是计算量大。一般来说，复杂证券组 合往往包括不同币种的各种债券、股票、远期和期权等金融工具，其基础市场因 子包括多种币种不同、期限不同的利率、汇率、股指等，使得市场因子成为一个 庞大的集合，即使市场因子的数目比较少，对市场因子矢量的多元分布进行几千 次甚至上万次的模拟也是非常困难的；其二，模型选择误差。金融产品的价格波 动是个随机过程，不同产品价格波动方式也不同，很难用某一特定的模型来刻画， 因而模型选择会带来一定的选择误差。 半参数模型 1 2 4 极值理论 极值理论是概率论的一个分支，广泛应用于气象学，水文地理学，环境科学 以及其他科学和工程领域，近年来它又应用于金融风险管理领域。 极值理论描述的是独立随机变量的极大值所服从的极限分布，其重要性相当 于中心极限定理在抽样分布中的地位( 中心极限定理描述的是独立随机变量和的 极限分布) 。极值理论有两个很重要的结论。第一个重要的结论是：对服从非对 称分布的一系列样本最大值序列进行建模，在某种条件下，这些最大值标准化序 列的极限分布是g u m b e l 分布、f r e c h e t 分布或w e i b u l l 分布中的一种，而这三 种分布的标准化统一形式被称为广义极值分布；第二个重要的结论是：给定某个 阈值( t h r e s h o l d ) ，极值理论表明超过此阈值的超额值的极限分布是广义帕雷托 分布。 在把极值理论运用于金融领域中，国外已有不少理论上和实际操作上的研 究，例如，l o n g i n ( 1 9 9 6 ，2 0 0 0 ) 运用广义极值分布理论( g e n e r a l i z e d e x t r e m ev a l u e d i s t r i b u t i o n g e v ) 来估计v a r ；n e f t c i ( 2 0 0 0 ) ，运用广义帕累托分布( g e n e r a l i z e d 第一耋v a r 模型 p a r e t od i s t r i b u t i o n - - g p d ) 来估计v a r 。下面我们将探讨这两种建立在极值理论基 础上的v a r 模型。 ( 1 ) 极大值的选取 假定有一个资产组合的日回报率组成的样本序列，通常有两种选取极大值的 方法。 第一种选取极大值的方法是：先把整个样本区间划分为若干个包含相等个日 回报数据的、连续的子区间( 比如以月或年为时间段) ，然后从每个子区间中选 取极大值。这些被选取的极大值构成了所谓的极端事件，或称之为每阶段极大值。 如下图1 5 所示，我们把整个样本区间分为四个阶段，每阶段包含了三个观测值， 其中x 2 ，x 5 ，x 7 和x h 就是被选取到的阶段极大值。 x 2 。 7 i 5 |1l。 图1 5 每阶段极大值选取示意图 第二种选取极大值的方法是：选取超过某个给定阈值( t h r e s h o l d ) 的极大值 构成极端事件，如下图1 6 所示，所有超过阈值u 的观察值如x l ，x 2 ，x 3 ，x 7 ， x 8 ，x 9 ，x 1 1 构成极端事件。 u 1234 图1 6 超过阈值1 1 的极大值选取方法示意图 第一种选取极大值的方法一般用来分析具有周期性特征的数据，然而由于第 第一章v a r 模型 二种方法能更有效地利用观测数据，在研究中大多采用第二种选取极大值的方 法。下文要探讨的模型正是以这两种不同的选取极大值方法为基础展开的。 ( 2 ) 广义极值分布 下文中我们统一采用 只) 毛表示资产组合回报率的相反数序列( 简称回报率 序列) ，对此序列进行降序排列为抄) 毛，记这t 个回报率样本的最大值为y ( 1 1 。 假定回报率是独立同分布的，其分布函数为f y ( y ) ，则最大回报率蜘，的分布函 数g ，( y ) 可表示为： r g y ( y ) = p r ( y 兰y ) = l q p r ( y ， 0 ， 其中卢，称为位置参数，b 称为尺度参数，令叶= ( ，一卢，) i 6 ，当t _ o o 时， 使得标准化的回报率而的分布函数h ( x ) 是非退化的( 依分布收敛) 。即对非退 化的分布函数h ( x ) ，当t 寸。时有 r d j p ( ( y m 一卢r ) 1 6 r x = f 。( 占r x - i - 卢r ) 骨( x ) 则称h ( x ) 为一个极大值分布，简称极值分布。同时称f 处于打( x ) 的最大吸 引场中( m a x i m u md o m a i n _ o fa t t a c t i o n ) ，记为f m d a ( h ) 。 定理1f i s h e r t i p p e t t ( 1 9 2 8 ) 定理 如果f m d a ( h ) ，则h ( x ) 属于以下三种标准化极值分布的一种 ( 1 ) 胁咖t 分布协) _ 唧：，鬟a o ( 2 ) w e i b u l l 分布：v 。( 曲= e 1 x p 一一。r l ：；：a 。， ( 3 ) g u m b e l 分布：a ( x ) = e x p ( 一e x p ( 一x ) ) ，x 孵。 m i s e s ( 1 9 3 6 ) ；f nj e n k i n s o n ( 1 9 5 5 ) 综合以上三种分布形式，把极值分布族归纳为 一个单参数的分布，称为广义极值分布( g e v ) ，其形式如下： 第一章v a r 模型 州= 唧e x p 呀”1 蓦0 ( 1 一p “lf = 其中1 + 口 0 ，f 称为形状参数或尾部指数( t a i li n d e x ) ，可用来指示分布尾 部的形态。当f = 川_ 1 ( r o ) 时，则h ，( x ) 对应于f r e c h e t 分布；当t = o 时，则h 。( j ) 对应于g u m b e 分布。 由于事先我们并不知道标准化的样本极大值服从哪种分布，因此很有必要直接利 用广义极值分布，采用极大似然法来求解形状参数。 根据( 1 1 1 ) 式，可以得到x ，的分布密度为： h t ( 工) = ( 1 + 口0 一1 7 7 e x p 一( 1 + 口( ) - 1 h ( 1 1 2 ) 因此，相应的对给定的t ，y 的密度函数可以由标准化后的变量畸表示为： g ，( y ) = h 。( 工，) i ( y 一卢r ) 占r l = 去( 1 俑) i - h 时( 1 喝广1 n 1 3 其中，三个参数o ，= ( r ，卢，爵) 可由极大似然法估计出来3 。为了便于估计 l o n g i n ( 1 9 9 6 ，2 0 0 0 ) 把t 个样本分为m 个不重叠的子样本，其中每个子样本含有n 个观察值( 在实证研究中，n 取为1 0 ) 。如果t - - r a n ，则第i 个样本的回报率序 列为 y ( h 。i = l ，；如果t o ( 1 1 8 ) n e f l c i ( 2 0 0 0 ) 给出了超额值的条件分布函数用b ( y ) 表示的形式为： 聃，= 寄= 竿者，训 定理2p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) ，b a l k e m aa n dd eh a a n ( 1 9 7 4 ) 定理 对于充分大的阈值u ，超额值的条件分布函数近似为分布函数仁。( e ) ，即： e ( p ) = g “，“寸o o 。其中q ，5 ( p ) 表达式为： g 。： 1 _ ( 1 + 2 ( 6 。) ( 12 0 ) 1 一e x p ( 一e 1 5 )( 6 = 0 ) 这里，5 0 且1 一( r e 5 ) 0 ，这就是著名的广义帕累托分布( g p d ) ，其中6 为尺度参数，r 为形状参数。当r 0 时，h ( e ) 对应于帕雷托i i 型 分布。 由( 1 2 0 ) 式可以得到超额数的分布密度为： g ( e ) ：喜( 1 + 罢) 什1 ( 1 2 1 ) oo ( 12 1 ) 式中的f 和占可由极大似然法估计出来。 联合( 1 1 9 ) 和( 1 2 0 ) 式可得： f ( y ) = 1 一f ( “) g ( e ) + f ( u ) ( 1 2 2 ) 其中户( “) = ( r n ) t ，假定y = p + “= v a r ( c t ) ，代入( 1 2 2