（基础数学专业论文）广义正交性点态差异的量化研究.pdf

略尔滨殚1 人学理学砸卜学位论文 广义正交性点态差异的量化研究 摘要 本文主要研究了赋范线性空问中的些广义正交性的点态差异，给出了 等腰正交和b i r k h o f f 正变性之间差异的数量刻画的一些相关结论，借助引入 的函数 ( x ，y ) 证明了赋范线性空问中双正交元的存在性，利用丑( x ) 从另一 个角度对等腰正交和b i r k h o f f 正交性之间差异进行了数量刻画，并对它的基 本性质进行了研究 在对各种j 1 义正交性之涮的关系，正交性和空间性质关系的研究所得到 的结论r h 大部分都局限于关注空问整体的正交性的性质，以及它对空间整 体性质的影响，对正交性在点态所具有的性质对空间性质的影响的研究还不 够充分另一方面，对正交性之间关系的研究通常是定性的，只是关注两种 正交性是否存在差别，而对于它们之间的量化差别的研究刚刚起步 基于上述原因，_ 奉文首先在已有结论的基础上，对用以刻画等腰正交和 b i r k h o f f 正交性之问量化差异的几何常数d ( x ) 进行了进一步的研究，解决 了d ( x ) 的可达性，二维序列空问。1 】d ( x ) 的连续性与单调性等问题这部 分的结论是对已有结论的完善和补充 其次，为了从另一个角度刻画等腰正交和b i r k h o f f 正交之间的差异，本 文引入了一一个新的函数五( z ，y ) ，通过对 y ) 的研究，解决了双正交元的存 在性问题，引入了新的几何常数五( ) ，给出了五( x ) 的上下界，得到了 硝) 取得上下界的充分必要条件，并在对称的m i n k o w s k i 平面一”计算了 五( x ) 的值 最后，木文研究了z ( 丸) ，d ( x o ) 以及点态凸性模等儿何常数之间的关系 给出了点态凸性模的一种等价表示，并存二维序列空间发对称m i n k o w s k i 平面中给出了三者的明确的关系 关键词：b i r k h o f f 正交：等腰正交：剥称的m i n k o w s k i 平面：双正交元 哈尔滨理一人学理学硕1 1 学位论文 p o i n t w i s ed i f f e r e n c eb e t w e e n g e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e s a b s t r a c t i nt h i s p a p e r ，s o m er e s u l t so np o i n t - w i s ed i f f e r e n c eb e t w e e ng e n e r a l i z e d o n h o g o n a l i “e si nl i n e a rn o r m e ds p a c e sa r eo b t a i n e d ；q u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e nb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t ya n di s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y a r ep r e s e n t e d i na d d i t i o n ，t h ee x i s t e n c eo fb i r k h o f f - i s o s c e l e sb i o r t h o g o n a l i t yi s s o l v e db a s e do nt h ep r o p e r t i e so fan e wf u n c t i o n 丑( x ，y ) ，a n ds o m en e w q u a n t i t i v ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e nb i r k h o f fo a h o g o n a l i t ya n d i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t ya r es h o w nb ym e a n so fan e wg e o m e t r i cc o n s t a n t 五( ) a n di t sp r o p e r t i e s n u m b e r so fr e s e a r c h ，i n c l u d i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f e r e n tk i n d so f g e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e sa sw e l la sb e t w e e no r t h o g o n a l i t ya n dt h ep r o p e r t i e s o ft h eu n d e r l y i n gs p a c e s ，m a i n l yf o c u so nt h ep r o p e r t i e so ft h e s eg e n e r a l i z e d o r t h o g o n a l i t i e sa n dt h e i ri n f l u e n c eo nt h ee n t i r es p a c e s ，a n df e ww a sd o n eo nt h e p o i n t w i s ep r o p e r t i e s o fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e s o nt h eo t h e rh a n d ，t h e r e s u l t so nt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f e r e n to r t h o g o n a l i t i e st h a th a v eb e e no b t a i n e da r em o s t l yq u a l i t a t i v e ，a n dq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o n sa r ej u s tc a r r i e do u t r e c e n t l y f i r s t ，b a s e do na l lt h a th a v eb e e nm e n t i o n e da b o v e ，t h eg e o m e t r i cc o n s t a n t d r 盖1 w h i c hw a si n t r o d u c e dt oc h a r a c t e r i z et h eq u a n t i t a t i v ed i f f e r e n c eb e t w e e n b i r k h o f fo r t h o g o n a l i t ya n di s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y ，i ss t u d i e df u r t h e r m o r e o v e r ， a t t a i n a b i l i t ya sw e l la sc o n t i n u i t ya n dm o n o t o n yo fo ( x ) i nt w o d i m e n s i o n a l s e q u e n c es p a c e sa r ep r e s e n t e d t h er e s u l t si nt h i sp a r ti m p r o v ea n ds u p p l e m e n t o ft h er e l a t e dr e s e a r c h s e c o n d ，i no r d e rt oc h a r a c t e r i z eq u a n t i t a t i v e l yt h ed i f f e r e n c eb e t w e e nb i r k h o 一 仟o r t h o g o n a l i t ya n di s o s c e l e so r t h o g o n a l i t yi nan e wp o i n to f v i e w , an e wf u n c t i - o nz ( x ，y ) i si n t r o d u c e d a n de x i s t e n c eo fb i r k h o f f - i s o s c e l e sb i o n h o g o n a l i t yi s 竺堡堡些；! 尘兰：堡兰竺! ；兰丝兰圣 s o l v e db a s e do nt h ep r o p e r t yo fz ( x ，y ) f u r t h e r m o r e ，an e wg e o m e t r i cc o n s t a n t 五( j ) i si n t r o d u c e d ，l o w e ra n du p p e rb o u n d sa sw e l la sae q u i v a l e n tc o n d i t i o n f o r , x x ) a t t a i n i n gt h e s eb o u n d sa r es h o w n a n dt h ev a l u eo f 五( ) i so b t a i n e d i nt h ec a s eo fs y m m e t r i cm i n k o w s k ip l a n e s ， f i n a l l y , r e l a t i o n s h i pa m o n g 五( 矗) ，d ( x o ) a n dp o i n t w i s ec o n v e x i t ym o d u l u s i sd i s c u s s e d ae q u i v a l e n tr e p r e s e n t a t i o no fp o i n t w i s ec o n v e x i t ym o d u l u si s p r e s e n t e d ，a n dt h er e l a t i o n s h i pa m o n gt h e s et h r e ec o e f f i c i e n t si sg i v e ni nt w o d i m e n s i o n a ls e q u e n c es p a c e sa n ds y m m e t r i cm i n k o w s k ip l a n e s k e y w o r d sb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t y ：i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y ：s y m m e t r i c m i n k o w s k ip l a n e ：b i o r t h o g o n a le l e m e n t s 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文广义正交性点态差异的量化研 究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行研究 j f ：作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已发表或撰 写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者虢匆葫嗍竹3 月衫日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 广义正交性点态差异的量化研究系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位 期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理工大 学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交论文和电子 版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采用影印、缩印或 其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密呵。 ( 请在以上相应方框内打4 ) 作者签名： 导师签名： 弼壤 日期：御7 年多月珈 蝴岬年；月以日 哈尔演师i 。人学邢学硕j ：学竹论文 第1 章绪论 1 1 各向异性的几何m i n k o w s k i 几何 众所周知，欧氏几何理论是建立在以下五条公设基础上的 】过任意两点都可以做一条直线 2 直线可以无限延长 3 以任意一点为圆心以任意半径作网 4 所有的盲角都相等 5 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 上述五条公设中，最为人所关注的当属第五公设，通过修改第五公设，我们 可以得到两种主要的非欧几何：保留其它四条公设，而将第五公设修改为：过 直线外一点可以有多条直线与已知直线平行，我们将会得到双曲几何：如果将 第五公设改为：过任意一点，没有任何直线与已知直线，严行，我们将得到椭圆 几何如果保留平行公设而去掉“所有的直角都相等”这一公设，我们将得到 另一种非欧几何- - m i n k o w s k i 几何 对于欧几里德和牛顿来说，空问具有各向同性，然而这样的观念不符合于 我们在现实生活中的某些经验例如，“上”、“下”的含义是与“东”。 “西”不同的：再如，由于存在某些“优先”的方向。晶体将生长成为多面体 而不会长成类似于肥皂泡的球形m i n k o w s k i 几何就是这样一种几何理论：在 外界看来，m i n k o w s k i 几何对于不i 司的方向，度量的单位是不一样的， m i n k o w s k i 空问中的“圆”，“球面”是一些凸的幽形，而不像欧氏空间中圆 或者球面那样，是圆形：但是以m i n k o w s k i 几何的理论看来，各个方向的度 量单位都是“一样地”，因为此时我们所用的标尺随着所度量方向的改变( 在 外界看来) 在自动的改变这清楚的表明，m i n k o w s k i 几何不具有各向同性 m i n k o w s k i 几何与欧氏几何晟人的f i 同在于m i n k o w s k i 几何中不具有“正 交”的概念虽然，在m i n k o w s k i 几何中，一点到一条直线也有最短距离。不 幸的是这个最纽距离可能在许多不同的点达到，而且以“距离最短”定义的正 交关系也不具有对称性由于没有正交和直角的概念，欧氏几何中最主要的定 理之一勾股定理，在m i n k o w s k i 几自4 中也就没有意义了正交性的概念在 欧氏空间的几何理论中扮演着相当重要的角色，它不仅仅出现存欧几里德第四 哈尔滨理1 = 大学理学硕上学位论文 公设中。而且在其它的一些基本定理，例如毕达哥拉斯定理中都有他的身影 在赋范空间几何学的研究中，一个潜在的主题就是在更为一般的空间中寻找一 个新的概念来代替欧氏空间中的正交性 最早的广义正交性被称为n o r m a l i t y ，它是由c a r a t h 6 0 d o r y 在研究f i n s l e r 几何的一个问题时引入的，b l a s c h k e 和r a d o n 都对这个概念进行了研究g b i r k h o f f 1 1 于1 9 3 5 年独立的引入了这个概念： 设x 是一个赋范线性空间，薯y x 如果对任意的a r 都有 l i x + a y 1 - l l x l i 则称x b i r k h o f r 正交于y 在 2 】中，凡c j a m e s 研究了b i r k h o f f 正交的性质，他指出，b i r k h o f f 正 交不具有对称性，三维以上的实赋范线性空间中的b i r k h o f f 正交如果是对称的 则该空间是内积空间：它也不具有唯一性，一个空间中的b i r k h o f f 正交是右唯 一的或者是可加的当且仅当该空间的范数在每一个非0 点都是g a t e a u x 可微的 即该空间是光滑的，b i r k h o f f 正交是左唯一的当且仅当该空间是严格凸的由 于j a m e s 这篇论文中的工作，b i r k h o f f 正交通常也被称为b i r k h o f f 一1 a m e s 正交 和j a m e s 正交 j a m e s 本人在【3 中也提出了另外两种正交性，分别称为等腰j 下交( i s o s c e l e s o r t h o g o n a l i t y ) 和勾股正交( p y t h a g o r e a no a h o g n a l i t y ) ： 设x 是一个赋范线性空间，善，) ，j ，如果它们满足忙+ y 4 = l i x - y l i ，则称 x 等腰正交于y ，若l l x + y l l 2 = 忙一y n 则称x 勾股正交于y j a m e s 指出，这两种正交性是对称的，但他们不具有齐次性和可加性，如 果某个空间中的等腰正交和勾股正交是齐次的或者可加的，那么该空间就是内 积空间但是，关于这两种正交的唯一性，j a m e s 没有讨论 事实上，在j a m e s 提出等腰正交性之前，r o b e r t s 曾在 4 】中提出一种比 b i r k h o f f 正交和等腰正交更强的正交性： 设x 是一个赋范线性空间，j ，y x 如果对于任意的岱r 都有 l i x + a y i l = i i x a j ，0 则称x r o b e r t s 正交于y 很容易验证，r o b e r t s 正交性具有对称性，齐次性并且，也很容易说明， 如果x r o b e r t s 正交于y ，那么z 同时等腰正交和b i r k h o f f 正交于y ，而且工同 时等腰正交和b i r k h o f f 正交于y 并不蕴含x r o b e r t s 正交于y 但是，与此同时 哈尔演开i 人学理学硕l 学位论文 r o b e r t s 正交也具有很坏的性质j a m e s 在【3 】中给出了一个特殊的空问，在这个 空间里，并不是对于任意的向量都能找到与之r o b e r t s 正交的非零向量，亦即 r o b e r t s 正交不具有存在性 s i n g e r 在 s l o e 提出一种与等腰正交类似的正交性： 设z 是一个赋范线性空间，x ，y z ，称x s i n g e r 正交于y ，当r 目仅当x ， y 中至少有一个为0 ，或者它们满足 睁制督到 这种正交性的优点在于，它克服了等腰正交不具有齐次性的缺点，又不像 r o b e r t s 正交那样，不具有存在性 其他的一些j 下交性还有 c a r l s s o n 正交m s o c a r l s s o n 在【6 川提出：设x 是一个赋范线性空 间，x ，y x ，称x c a r l s s o n j e 交于y 当且仅当x ，y 满足 t 2 i l i 属x + y , y l l 2 = o i = l 其中q ，属，只是满足条件 o r , f l , 2 = a , r 7 ，q 一= o 忙lj = li = l 的实数 d i m i n n i e 正交由c r d i m i n n i e 在【7 】中提出：设x 足一个赋范线性卒 日j ，j ，y x ，称x d i m i n n i e j t _ 交于y 当且仅当x ，y 满足 s u p f ( x ) g ( y ) - f ( y ) g ( x ) ：f ，g s ( x + ) ) = l i x l l l l y l f 而积正交由j a l o n s o 在 8 1 中提出：没是一个赋范线性空间， x ，y x ，称x 面积正交丁y 当目仅当x ，y 中至少有一个为0 ，或者x ， y 所在的直线将它们所张成的单位圆分成面积相等的四部分 在这些正交性当中，最摹本，几何背景最直观并且得到较为广泛的研究的 要算b i r k h o f f 正交和等腰正交，以下的几节将具体介绍这两利t 正交性的定义， 基本性质以及与之相关的一些儿何概念 哈尔演理 人学理学硕l ：学位论文 1 2b i r k h o f f 正交性 1 2 1 定义和基本性质 定义1 i 设x 是一个赋范线性空间，x ，) ，x 如果对任意的a r 都有 i i x + a y 1 - 1 x i i 则称x b i r k h o f r 正交于y ，记为x 上。y 可以从两种角度来理解上面的定义： 第一，x 到y 所在的直线的距离大于，也就是说原点是x 在s p a n y 上 的最佳逼近元： 第二，直线工+ a y 在点x 处和球面 z ：z x ，i i z l l = l l x l l 相切，或者说，直线 x + a yr 茁x 点支撑球面仁：z x ，= l l x l l 基于第二种理解，我们可以给出赋范线性空间中两个元b i r k h o f f 正交的充 分条件： 定理1 1 设x 是一赋范线性空间，工，y x ，则x 上。y 当且仅当存在线性 泛函f ，满足i 厂( 鼻) i = y j l i l x i l ，并且，( y ) = 0 根据h a h n 。b a n a c h 定理，对于任意的非0 元x ，总存在线性泛函，满足 i 厂( x ) i = m i i x l l ，根据上面的定理容易有x 上。k e r ( f ) ，即工 k e r ( f ) 中的每个元 都b i r k h o f f 正交，这同时说明了对于任意元工总存在y e x 使得x 上。y 关于 b i r k h o f f 正交的存在性，文献【2 】中给出了两个更为一般的结果： 定理1 2 设工是一个赋范线性空间，则 对于x 中的任意两个元工和y ，总存在数a 使得x 上。a x + y 如果 x k 出+ y 并且x 上口b x + y ，则对于a 和口之间的任意一个数a 都有 了kc t x + y 成立 对于x 中的任意的两个元x 和y ，总存在数a 使得a x + y 上。x 如果 血+ ，上。x 并且擞+ yj _ 8x ，则对于4 和口之间的任意一个数a 都有 a x + y 上口x 成立 上面的定理同时也告诉我们，对于给定的元x ，y 满足条件x 上。a x + y 或 a x + y 上。x 的数a 并不一定是唯一的因此对于b i r k h o f f 正交性而言，存在左 唯一和右唯一的概念我们称b i r k h o f f 正交是左唯一的是指对于任意两个元 z ( 0 ) 和) ，满足条件a x + y 上口x 的数口都是唯一的：我们称b i r k h o f f 正交是 哈尔滨理工大学理学硕。l ：学位论文 右唯一的是指对于任意两个元x ( 0 ) 和y ，满足条件x 上。a x + y 的数a 都是唯 一的j a m e s t 2 1 指出 定理1 3 设x 是一个赋范线性空间，则 b i r k l l o f f 正交在x 中是右唯一的或者是可加的当且仅当x 的范数在每一 个非0 点都是g a t e a u x 可微的，即彳是光滑的 b i r k h o f f 正交在x 中是左唯一的当且仅当x 是严格凸的 前面提到过，对于给定的元x 一定存在某个过原点的超平面，使得 x 上。日，但是对于某个给定的超平面却不一定有某个元x 使得x 上。日 定理1 4 口1 对任何一个过原点的超平面日都存在某个元x 使得x 上。日的充 分必要条件是对于x 上的任意一个线性泛函，总存在使得 f ( x o ) - - y j jj j x o l i j a m e s 在1 9 6 3 年又进一步指出，一个b a n a c h 空间是自反的当且仅当对于 每一个有界线性泛函范数可达，从而我们进一步有： 定理1 5 t 2 1 对任何一个过原点的超平面都存在某个元x 使得x 上。日的充 分必要条件是j 是自反的 一般来说，b i r k h o f f 正交是不具有对称性的，也就是说对于满足条件x 上。y 的两个元x ，y 不一定满足y kx 如果一个二维空间上的b i r k h o f f 正交是对 称的，那么这个空间的单位圆是我们即将讨论的r a d o n 曲线如果个三维或 三维以上空间的b i r k h o f f 正交是对称的，那么这个空间就是内积空间 1 2 2b i r k h o f f 正交和内积空间的特征 本节将给出一系列的已知与b i r k h o f f 正交本身所具有的性质有关的内积空 间的特征性质 定理1 6 t 9 i 设x 是一个赋范线性空间，d i m ( x ) 2 ，则下列事实等价： 1 v u ，1 ，s ( x ) ，( “+ v ) 上b ( “一v ) 2 垤，y x ，g + 丽u x j ，- i ! ( x - 丽b l l ，, 3 v u ，v s ( r ) ，“- 1 - bv = ( u + v ) j - 口( 甜一v ) 4 v x ，y e x ，( x + a y ) 上口( x 一“y ) = ，i i x 0 = i a l y 0 喻尔演坪 大学砰学碗l 学何论文 5 v u ，v s ( x ) ，3 c o ，l ，上口v ：= ( u + c v ) 上口( “一v ) 6 v u ，v e s ( ) ，u l 。v j l b + v 压 7 v u ，v s ( ) ，“上。v j i k + v 0 = 压 8 v 二维子空间m c x ，3 t l ( m ，m ) ，t o ，x 上b 戤，v x m 9 z 是内积空间 定理1 7e g j 设x 是个赋范线性空间，d i m ( x ) 2 ，则下列事实等价 1 v u ，v s ( r ) ，甜上口v ：= v 上b ” 2 v x , y ，= x ，x 上日z ，y 上bz = + y ) 上b z 3 v 过原点的超平面日，3 u s ( x ) ，h 上口u 4 v u e s ( x ) ， 过原点的超平面见上。“ 5 j x 的稠子集4 ，v x ，y a ，x 上口z ，y 上口z j + y ) _ k nz 6 3 s ( x + ) 的稠子集r ，v f f ，5 ue s ( x ) ，k e r ( f ) 上口“： 7 石上的b i r k h o f f 币交是对称的： 8 x 是内积空间 1 2 3 与b r i k h o f f 正交相关的几何概念和几何常数 虽然赋范线性空间卜的b i r k h o f f ) e 交一般是不对称的，但是对于任意一个 m i n k o w s k i 平面( 实二维赋范线性卒间) ，至少存在一对互相正交单位向量【1 ， 我们称互相正交的一对单位向量为单位圆的一对共轭直径 定理1 8 任何+ 。个m i n k o w s k i 平面的单位圆都存在对共轭直径，并且 刈以选出一对芡轭直径使得他们都是单位球面的端点 有两种不同的方法寻找共轭直径其一是考虑单位阅的最大的内接平行阴 哈尔滨理工大学理学硕i ：学位论文 边形，其二是考虑单位圆的最小的外接四边形，这些平行四边形和单位圆的交 点就构成了单位圆的一对共轭直径而且使用这两种方法所得的共轭直径一般 是不同的事实上，对于任何单位圆至少存在两对不同的共轭直径】 共轭直径的概念可以自然的推广到三维或者高维的情形如果_ ，x 2 ， 是厅维b a n a e h 空间的一组单位基，如果它们满足 上口s p a n x j 一) ，v i 1 ，一 则称它们是一组a u e r b a c h 基如果葺，矗，x n 是n 维b a n a c h 空间x 的一组 a u e r b a c h 基，则存在i ，e ，s ( s + ) 满足妇，( f 上bs p a n “x ；， ，这时我 们称( 工，r ) 为一组双正交序列 正如二维的情形，任意的有限维b a n a c h 空间至少有两组a u e r b a c h 基，文 献【1 1 】还提到，如果对于某个有限维b a n a c h 空间的任意两组a u e r b a c h 基，都 存在这个空间到自身的等距同构，把其中一组变为另外一组那么这个空间是 h i l b e r t 空间 与b i r k h o f f 正交对称性有关的另外一个概念是r a d o n 曲线如果一个 m i n k o w s k i 平面上的b i r k h o f f 正交是对称的，那么我们称这个m i n k o w s k i 平面 的单位圆是一条r a d o n 曲线r a d o n 于1 9 1 6 年引入了这个概念，b i r k h o f f l ”独 立的发现和构造了r a d o n 曲线，r c j a m e s t 2 】和m m d a y i ”j 分别叙述了 r a d o n 曲线的构造方法最典型的r a n d o n 曲线的例子是，。范数，其中p ，q 是一 对共轭数，这个范数在平面的第一和第三象限取p 范数，在第二和第四象限取g 范数 下面是关于r a d o n 曲线的一些有趣的结论：l u l l ”1 正2 n 边形是r a d o n 曲线当且仅当1 1 是奇数，例如仿射正6 边形就是 r a d o n 曲线 一个m i n k o w s k i 平面的单位圆是严格凸的r a d o n 曲线当且仅当对于它的 任何一个闭凸子集，最近点映射是非扩张的 如果一个m i n k o w s k i 平面的单位圆是r a d o n 曲线，那么它的单位圆的 周长大于等于6 ，当且仅当单位圆是仿射正六边形时周长为6 ：小于等于 2 n ：，当且仅当空间是h i l b e r t 空| 日j 时周长取2 n r a d o n 曲线在可逆的线性变换下的像仍然是r a d o n 曲线 j o l y 在1 9 6 9 年i 提出了矩形( r e c t a n g u l a r ) 常数 ( e ) = s u p ( 1 l x l l + i l y l l ) ( 1 l x + y 1 1 ) 哈尔滨理t 人学理学硕- l 学位论文 的概念，并且指出( e ) = 互时，空间的b i r k h o f f 证交是对称的m d r i o 和c b e n i t e z t l ”证明了如果一个实二维赋范线性空日j 的矩形常数( e ) = j ， 那么这个空间是内积空间 b i r k h o f fj 下交是各种正交性中最重要和被研究最多的正交性，它在算子广 义逆i ”1 、矩阵论【1 7 】1 1 8 1 、非欧空间中的最佳逼近i ”1 等理论中发挥着越来越重要的 作用 1 3 等腰正交性 欧氏空间的丁f 交性所具有的另外两个性质分别是“垂直平分线上的点到线 段两端距离相等”，“等腰三角形底边上的中线和底边垂直”根据i j 者， r o b e r t s t 4 1 提出了r o b e r t s 正交的概念： 定义1 21 4 1 x 是一个赋范线性空l 日j ，x ，y x ，如果对v k r ，它们满足 i i x + 砂9 = 忙一砂0 ，则称x r o b e r t sj 下交于y ，记为x 上ry r o b e r t s 正交是一个很强的概念，可以证明两个r o b e r t s 正交的元一定是 b i r k h o f f 正交的，同时很容易说明r o b e r t s 正交也一定蕴含着我们接下来提到 的等腰正交的概念但是j a m e s i 3 1 指出存在一类特殊的空间，这个空间中任意 两个r o b e r t s 正交的元，其中一个必须是0 t 3 1 有鉴于此，j a m e s 提出了下面的 等腰正交的概念 1 3 1 定义和基本性质 定义1 31 3 1 x 是一个赋范线性空间，x ，y x ，如果它们满足 i i x + y 1 1 = i i x - y l i 则称x 等腰正交于y ，记为z 上，y 下面介绍等腰正交的一些基本性质首先，等腰正交显然是对称的，其次 等腰f 交具有“存在性” 定理1 9 存在性 f 3 1 设石是一个赋范线性空间，工，y x ，则总存在数口使 得i l x + ( 瑾x + y ) i i = 1 l x - ( a x + y ) l | 或者x 上，a x + y 成立 定理1 9 使得等腰正交不像r o b e r t s 正交那样具有很坏的性质，但是它是 有很大的局限性的：首先，我们知道在欧氏空间中，对于任意一个非0 元工在 任何以原点为心球面上都存在和它j 下交的元，定理1 9 显然不能保证这一点： 其次满足定理1 9 条件的数口的唯一性也没有得到说明这些问题直到1 9 9 4 年 堕尘鎏堡三查兰! 兰丝! ：兰丝丝蚤 口q 才被较好的解决 定理1 1 0 2 0 l 设工l 亡x ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数y 总存在y l ， 使得l | y | i = y ，x 上，y 定理1 1 1 t 2 0 1 设x l c x ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数0 y - 1 i xj i ，存在唯一的( y 视为同一元) y l ，使得i | y i y ，x 上，y 1 3 2 等腰正交和内积空间的特征 定理1 1 3 9 1 设x 是一个实赋范线性空间，d i m ( l ) = d 2 ，下列事实等价： 1 等腰正交是齐次的，i e 饥，y 工，x 上，y j x 上，纱，v t r ： 2 v u ，v s ( x ) ，t 0 ，t u3 - sv j u 上，v 3 v u ，v s ( x ) ，3 w s ( s p a n ( u ，v ) ) ，s t “- l - lt w ，v t r 4 3 c ( o ，1 ) ，v x ，y x ，x 上，y = 争x 上， 5 等腰正交是可加的，i e v x ，y ，z x ，x z ，y 上，z j + y ) 上z 6 v u s ( x ) ，j 过原点的超平面h ，j j “j _ ，日 7 v 过原点的超平面日，3 u s ( x ) ，s t “3 - 1h 8 帆，扛：x 上，z ，z 石 是凸集 9 v x ，臼：x - 1 - 1z ，z x ) 含于某个过原点的超平面中 1 0 对手某些满足条件2 s 珂d 的珂，如果五，x 2 ，瓦线性无关，并且 v x e s p a n ( 焉，而，) 满足x 上，j = l ，玎，贝l j x = 0 1 1 x 是内积空间 1 3 3 与等腰正交相关的几何概念和几何常数 非方常数源于j a m e s 在1 9 6 4 年提出的一致非方空自j 的概念，它是按照如 下方式定义的： j ( x ) = s u p m i n l l x + y i ，i i x - y l l ：x ，y e s ( 工) ) 称为彳的非方常数或者j a m e s 常数 计东海9 9 年口1 1 给出了非方常数的下述等价表示： 定理1 1 4 ，( y ) = s u p i x + y ：i i x + y l l = i i x y 忆工，y s ( 。r ) ) 事实上它还可以表述为： j ( r ) = s u p 钏x + y 0 ：x 上jy ，x ，y s ( x ) ) 有了上述等价表示，我们还可以把非方常数理解为单位圆的内接等边四边 形的最大边长，这里面“等边”是指各边的范数相等文献 2 2 包括了对单位 圆的内接等边胛边形边长的更为一般的讨论 我们知道内积空间的非方常数是2 ，但是非方常数是2 的空间是不是内 积空问呢? 更为一般的一个问题是j b o r w e i n 和l k e e n e r 在1 9 8 0 年8 ”提出的 如果一个空间工，对某个固定的a r ，满足下面的p ，性质，那么这个空间是 不是内积空间? v x ，y s ( y ) ，x 上，a y 辛l i x + a y l l 2 = i i xa y l l 2 = 1 + | ；l 2 j a l o n s o 和c b e n i t z 在1 9 8 8 年 2 4 否定的回答了这个问题，并且指 出：如果置2 上某个赋范空间的单位球面旋转- 2 n ( n = 2 ，3 ，) 并且 a = t a n ( k n 2 n ) ( k = 1 ，2 , - - - , ，一1 ) ，则这个空间满足n 性质与此同时两个新的问 题又被提了出来： 1 满足p ；t 性质的空间是否一定旋转 2 聆不变? 2 三维以上的实空间如果满足岛性质是否一定是内积空间? 哈尔滨理_ 大学理学硕i ：学位论文 以上两个问题至今没有得到解决 另外一个概念是对称的m i n k o w s k i 平面的概念设x 是一个m i n k o w s h 平面，如果3 e ，e 2 s ( x ) ，s 1 i i i a l e 。+ 巳0 - - l i b e l + p e ：i i - - l i , e 。+ ；i e 2 1 i ，我们就称 x 是一个对称的m i n k o w s “平面关于对称的m i n k o w s 妇平面我们已经可以 证明如下事实： 1 设x 是一个对称的m i n k o w s k j 平面，v x ，y s ( z ) ，x = 岱巳+ f i e 2 t j y 上，x 当且仅当y = ( 卢q + a e 2 ) ： 2 对称的m i n k o w s k i 平面的单位球面是r a d o n 曲线当且仅当它是h i l b e r t 空间： 3 正2 ”边形是对称的m i n k o w s “平面的单位球面当且仅当h 是偶数 与r a d o n 曲线相比，对称的m i n k o w s k i 平面没有得到广泛的研究，目前已 知的结论只有“对称的m i n k o w s k i 平面单位圆的周长不小于2 丌”但是，对 对称的m i n k o w s k i 平面进行深入的研究是有必要的，这是因为：一方面对称的 m i n k o w s k i 平面是广泛存在的，例如实二维序列空间的单位球面都是对称的 m i n k o w s l 【i 平面，另一方面，正如文献口1 j 中提到的：“r e c e n t l y ，i no p e r a t i o n s r e s e a r c h ( 运筹学) a n dv l s i ( 超大规模集成电路) d e s i g n ，v a r i o u sn o r m sh a v e s t a r t e dp l a y i n ga ni m p o r t a n tr o l e ，e s p e c i a l l yp - n o r ma n dp o l y g o n a ln o r m s ，s e ee g 2 6 j ，而r a d o n 曲线和对称的m i n k o w s k i 平面正好对正多边形范数进行了一 个分类 1 3 4 等腰正交与v o r o n o id i a g r a m s 等腰正交和v o r o n o id i a g r a m s 之间的关系也促使我们对等腰正交的各种性 质进行细致的研究 问题起源于所谓的“邮局问题”：假设某地有一些邮局，为当地的居民提 供邮递服务，那么我们怎么样划分这些邮局的服务范围，使得每一位居民都可 以享受到最为便捷的服务? 作为对这个问题的抽象，我们可以给出如下的 v o r o n o id i a g r a m s 的定义： 设 b ) = 是平面上的n 个点，则由娩) ：所生成的v o r o n o id i a g r a m s ，是 对平面的一个划分，它把平面分成n 个区域，每个区域包含难一一个 所强n 中 的元，并且对于平面上任意一个点g ，g 属于p ，所在的区域当且仅当对于任意 的j i ，疗，q 到只的距离小于等于q 到p ，的距离 在原始问题当中，两点之间的距离指的是欧氏距离，但是随着科学研究的 哈尔滨理工大学理学硕p 学位论文 深入和实践的需要，人们已经不满足于仅仅考虑欧氏距离的情况，例如文献 【2 7 】研究了p 范数意义下的二维v o r o n o id i a g r a m s 问题寻找区域之间的边界， 而边界上的点恰好是到某两个b ，n 距离相等的点的集合的一