（基础数学专业论文）一种新的拓扑熵：余紧拓扑熵.pdf

中文摘要 近代混沌理论和模型的提出，大大推进了各个科学领域的发展学者们对 混沌现象作了大量研究并取得了丰富的成果，从而使得混沌理论体系得到不断 的完善自从a d l e r 等人给出紧动力系统拓扑熵的定义以来，熵就被认为是连 续作用在底空问上引起运动混乱程度的一种度量后来b o w e nr 又给出了非 紧度量空间上拓扑熵的定义，但是此拓扑熵的定义依赖于度量的选取迄今为 止，拓扑熵是发现的唯一的非负数值拓扑共轭不变鼍，估汁和计算拓扑熵是动 力系统中一个永恒的研究课题 本文主要针对一般的h a u s d o r f f 拓扑空问( 不要求紧性，也不要求可度量 化) 上的完备映射来定义余紧拓扑熵，并通过余紧开覆盖( 即余集为紧集的开集 所构成的歼覆盖) 完成这一定义它的好处有：1 ) 不要求底空问的紧性2 ) 不 要求底空间是度量空间3 ) 它是拓扑共轭不变量，而b o w e n 熵却是依赖于度 量的在此基础上，我们论证了关于新定义的熵的一些基本的性质例如，子系 统的熵不大于原系统的熵，共轭系统的熵相等在余紧拓扑熵下，线性系统( r ， f ( x ) = 2 x ) 的余紧熵为零，而在b o w e n 熵定义下，它至少为l 0 9 2 所以，余紧 拓扑熵是a l d e r 意义下熵的推广，但又不同于b o w e n 意义下的熵，它是不同度 最下所有b o w e n 意义下熵的下界。此外，我们还将l e b e s g u e 数定理从紧度量 空间上的开覆盖推广到任意度蜃空间上的余紧开覆盖 论文的具体内容如下：在预备知识巾，我们介绍了熵的定义第二章，我们 在任意冕拓扑空间和完备映射下给出一个余紧拓扑熵的定义这个新定义的 熵相对于其它熵的优点在于它只要求底空问满足死性，这就使得印等其它一 些一般的底空间也适用于新定义的熵因此它相对于a d l e r 熵适用的范围更广 特别是在第2 $ 节和2 4 节中，我们研究了关于新定义的熵的些基本性质。新 定义的熵的大部分的性质与a l d e r 熵的性质保持了一致，例如，子系统的熵不 大丁原系统的熵，共轭系统的熵相等在第三章中，我们讨论了新定义的熵和 已有熵的关系新定义的熵是a l d e r 意义下熵的推广，并且它仅要求底空间满 足正性，因此它并不依赖丁度景的选取；反之b o w e n 熵的定义依赖丁度量的 选取，同时新定义的熵还是不同度量下b o w e n 意义下熵的下界另外，证明过 程中还推广了l e b u s g u e 数定理到非紧致空间的余紧开覆盖上在第四章中，我 们给出了局部紧空间动力系统余紧熵计算的一个例子，即在余紧拓扑熵下，局 部紧空间动力系统( r ，f ( x ) = 2 x ) 的余紧熵为零，而在b o w e n 熵定义下，它至 少为l 0 9 2 因此它也是余紧熵为不同度量下b o w e n 熵下界的一个例子而熵 被认为是连续作用在底空间上引起的运动混乱程度的一种度量就这个例子而 言，局部紧空间动力系统( r ， ) = 2 x ) 是一个线性系统，它的动力性状是相 对比较简单的，且其余紧熵是零而在b o w e n 熵定义下，它至少为l 0 9 2 ，大于 余紧熵因此余紧熵比b o w e n 熵更为贴切的描述了一个动力系统的复杂性状 最后，我们总结了这篇论文的主要成果和创新之处，以及有待进一步展开 的研究 关键词 拓扑熵，完备映射，余紧开集，余紧歼覆盖，拓扑共轭，l e b e s g u e 常数 a b s t r a c t ( 英文摘要) t h e p u r p o s eo ft h i sp a p e ri st oi n t r o d u c ea ne n t r o p ya sa ni n v a r i a n to ft o p o - l o g i c a lc o n j u g a t i o nf o rp e r f e c tm a p p i n g sd e f i n e do na n yh a u s d o r f fs p a c e ( e o m p a c t n e s sa n dm e t r i z a b i l i t yn o tn e c e s s a r i l yr e q u i r e d ) t h i si sa c h i e v e dt h r o u g h t h ec o n s i d e r a t i o no ft h es o - c a l l e dc o - c o m p a c tc o v e r so fat o p o l o g i c a ls p a c e t h e a d v a n t a g e so ft h i sn e we n t r o p yi n c l u d e ：1 ) i td o e sn o tr e q u i r et h es p a c et ob e c o m p a c t ，a n dt h u sg e n e r a l i z e sa d l e r ，k o n h e i ma n dm c a n d r e w st o p o l o g i c a le n - t r o p yo fc o n t i n u o u sm a p p i n g so nc o m p a c td y n a m i c a ls y s t e m s ，a n d2 ) i ti s a n i n v a r i a n to ft o p o l o g i c a lc o n j u g a t i o n ，c o m p a r e dt ob o w e n se n t r o p yt h a ti sm e t r i c d e p e n d e n t f u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so ft h i sn e we n t r o p ya r ei n v e s t i g a t e d ，e g ， t h ee n t r o p yo fas u b s y s t e md o e sn o te x c e e dt h a to ft h ew h o l es y s t e ma n dt o p o - l o g i c a l l yc o n j u g a t e ds y s t e m sh o l das a m ee n t r o p y w i t ht h i sn e wd e f i n i t i o n ，t h e e n t r o p yo ft h el i n e a rs y s t e m ( r ，) d e f i n e db yy ( z ) = 2 x i sz e r o ，w h i d lh o w e v e r i sa tl e a s tl o g2a c c o r d i n gt ob o w e n sd e f i n i t i o no fe n t r o p y m o r eg e n e r m ，t h i s n e we n t r o p yg i v e sal o w e rb o u n do fb o w e n se n t r o p i e s ，w h i c hi sp r o v e dt h r o u g h ag e n e r a l i z e dl e b e s g u ec o v e r i n gt h e o r e mf o rc o - c o m p a c tc o v e r so fn o n c o m p a c t m e t r i cs p a c e s i n s t e a do fu s i n ga l lo p e nc o v e r so ft h es p a c et od e f i n ee n t r o p y , w ec o n s i d e r t h eo p e nc o v e r sc o n s i s t i n go ft h es o - c a l l e dc o - c o m p a c to p e ns e t s ( o p e ns e t sw h o s e c o m p l e m e n t sa r ec o m p a c t ) v a r i o u sd e f i n i t i o n so fe n t r o p ya n dh i s t o r i c a ln o t e sa r em e n t i o n e dp r e v i o u s l y i nt h i ss e c t i o n c h a p t e r2i n t r o d u c e st h ec o n c e p to fc o - c o m p a c to p e nc o v e r so fa s p a c ea n de x p l o r e st h et o p o l o g i c a lp r o p e r t i e so fs u c hc o v e r sa n dt h en e wt o p o - l o g i c a le n t r o p yd e f i n e db a s e do nc o c o m p a c tc o v e r so ft h es p a c e w h a t sm o r e ，i n s e c t i o n2 4f u r t h e re x p l o r e st h ep r o p e r t i e so ft h i sn e we n t r o p ya n dc o m p a r e si t u l w i t ha d l e r ，k o n h e i ma n dm c a n d r e w st o p o l o g i c a le n t r o p yf o rc o m p a c ts p a c e s s e c t i o n s3a n d4i n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e nt h i sn e we n t r o p ya n db o w e n s e n t r o p y m o r ep r e c i s e l y , s e c t i o n3c o m p a r e st h en e we n t r o p yw i t ht h a tg i v e nb y b o w e nf o rs y s t e m sd e f i n e do nm e t r i cs p a c e s b e c a u s et h es p a c e su n d e rc o n s i d - e r a t i o ni n c l u d en o n - c o m p a c tm e t r i cs p a c e s ，t h et r a d i t i o n a ll e b e s g u ec o v e r i n g t h e o r e md o e sn o ta p p l y t h u s ，o n ew o r ki st og e n e r a l i z et h i st h e o r e mt oc o - c o m p a c to p e nc o v e r so fn o n - c o m p a c tm e t r i cs p a c e s b a s e do nt h eg e n e r m i z e d l e b e s g u ec o v e r i n gt h e o r e m ，w es h o wt h a tt h en e we n t r o p yi sal o w e rb o u n df o r b o w e n se n t r o p i e s i ns e c t i o n4 ，al i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mi ss t u d i e d f o rt h i s s i m p l es y s t e m ，i t sn e we n t r o p yi s0w h i c hi sa p p r o p r i a t e ，b u tb o w e n se n t r o p y i sp o s i t i v e k e y w o r d s t o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m ，p e r f e c tm a p p i n g ，c 伊c o m p a u c to p e nc o v e r ， t o p o l o g i c a le n t r o p y , t o p o l o g i c a lc o n j u g a t i o n ，l e b e s g u en u m b e r 1 v 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 趣兰丝 指导教师签名： 沙7 年月r 日 1 年 rl 6 髓i6m 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示尉意。 学位论文作者签名：拖征 硝年毛只f 日 两北大学帧i j 学位论文 1 1 前言 1 1 1 测度熵 第一章前言与预备知识 自从c l a u s i u s ，b o l t z m a n n 提出熵作为热力学系统的状态函数，并给出其表 达式s = k bi nw 以后，统计物理，热力学便成为一门真正的定量的演化科学 随着科学的发展，熵概念还被广泛地运用于其他领域，成为科学中一个基本概 念，特别，s n 礼佗m 【1 】在通信问题研究中通过与标准b o l t z m a n n 熵的比较，首 次给出了信息熵的概念，并且给出了它的表达式，这引起了数学家们的注意随 后在1 9 5 0 年，k o l m o g o r o v 2 】和s i n a i 为了处理b e r n o u l l i 移位的同构问题，而 对动力系统与随机过程1 3 】给出了一个严格的测度熵( k s 熵) 的定义在这个 定义中，k o l m o g o r o v 第一次把s h a n n o n 熵的概率概念引入到了动力系统理论 中后来，o r n s t e i n 4 】在证明度量熵与完全双边b e r n o u l l i 随机过程的关系时， 也用到了这种思想6 0 年代中期，a d l e r ，k o n h e i m 与m c a n d r e w 为研究拓扑动 力系统又弓l 入了拓扑熵的概念，他们都是关于不确定性的数学度量，在现代动 力系统的研究中扮演着重要的角色 k o l m o g o r o v 的度量熵是测度动力系统的一个不变量，它描述了混沌轨道 随时问演化信息的产生率，并且与s h a n n o n s 熵有一定的关系测度熵( k s 熵) 为一个很强的概念，因为他控制着遍历性质的最高层，即k s 性质兮多 重混合性令混合性令弱混合性令遍历性1 3 如果相空间的可测集构成了 一个子代数，并且这个子代数通过流( 双射保测变换所成的单参数族) 生成了 全代数，则可以在相空问上计算测度熵( k s 熵) 1 3 】一个确定性系统的动态随 机性可以在动态的非稳定性以及对初值的灵敏度中找到它的原状态事实上， 据p e s i n s 定理【5 ，6 】的概述，测度熵( k s 熵) 与l y p u n o v 指数有关特别，如 果具有有限自由度的一个确定性系统的测度熵( k s 熵) 是正的，则这个确定性 l 第一帝前占j 预备知识 系统蕴含混沌关于测度熵( k s 熵) 的许多性质我们可以参考文献1 3 ，5 再后 来s i n a i c h e r n o v n 发展和完善了测度熵理论，论述了一个空问扩张系统如果 在空问和时问平移下概率测度是不变的，并且它的测度熵是正的，则说这个扩 张系统是混沌的至此，测度熵已发展成为测度动力系统( 遍历理论) 中卓有成 效的理论 1 1 2 拓扑熵和拓扑熵目前的研究状况 1 9 6 5 年，a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w l 9 】对紧拓扑空间上的连续自映射定 义了拓扑熵，它是拓扑动力系统的共轭不变量1 9 7 0 年b o w e n 在研究拓 扑熵与公理a l l o l 时，对度量空间的连续自映射定义了拓扑熵，并且验证了 当空间为紧度量空间时，此拓扑熵与a d l e r - k o n h e i m m c a n d r e w 的拓扑熵的 定义一致但是，b o w e n 的拓扑熵定义依赖丁度量的选取【1 1 】后来b o w e n 又在1 9 7 3 年给出了非紧集上拓扑熵的一个定义【1 2 】，这个拓扑熵的定义 方式有些类此丁h a u s d o r f f 维数的定义，并且证明了当空间为紧时，此拓 扑熵与a d l e r - k o n h e i m m c a n d r e w 的拓扑熵的定义致近几年，l i u w a n g ， c a n o v a s r o d r i g u e z 以及m a l z i r i m o l a c i 分别对非紧度量空间上的连续自映射 定义了拓扑熵 1 3 , 1 4 , 1 5 c a n o v a s r o d r i g u e z 以及m a l z i r i m o l a c i 定义的熵要求 底空问为可度量的 1 1 3 拓扑熵以及与测度熵的关系 自从a d l e r k o n h e i m m c a n d r e w 对紧拓扑空间上的连续自映射定义了拓 扑熵以后，学者们就提出测度熵与拓扑熵之间是否存在着某种关系a d l e r - k o n h e i i n m c a n d r e w f 9 】对紧空间x 上的连续自同胚? 进行了研究，比较了拓 扑熵和测度熵之间的关系，得到了如下的结果：设p 为x 的b r o e l 集上对t 不 变的概率测度，则t 相对于p 的测度熵不大于t 的拓扑熵，即“( t ) 九( 丁) 后来在1 9 6 9 年，g o o d w y n 1 6 】证明了当x 为紧度量空间，t 为x 上的连续 映射时，上述不等号也是成立的，即札( t ) 危( 丁) b o w e n 在1 9 7 1 年研究群 2 两北大学坝l 学位论文 的自同态与同态空间上的熵【1 7 】时，论述了它的拓扑熵与测度熵的关系随 后b o w e n 1 2 】继续讨论了拓扑熵和测度熵之间的关系，证明了当测度为正规 的h a a r 测度时，b o w e n 定义的拓扑熵与测度熵相同1 9 7 1 年，g o o d w y n 1 8 】比 较系统的论述了拓扑熵与测度熵之间的关系得到了一些较好的结果下面我们 要介绍一下他的工作，设x 为紧的h a u s d o r f f 空间，t 为x 上的连续映射设p 为x 的b r o e l 集上对t 不变的正规概率测度，记m ( x ，t ) 为所有这样的p 构 成的集合则当( x ，t ) 为局部非回归的时候，拓扑熵h ( t ) = s u p( t ) ， p e m ( x ，t ) 其中 肛( t ) 为t 关于p 的测度熵 1 2 熵的重要性 熵对研究动力系统上的拓扑与测度结构非常重要，例如，两个共轭系统有 相同的拓扑熵，因此，熵是共轭系统的个数值不变量扩张动力系统理论与拓 扑熵理论密切相关f 1 9 2 0 ，2 1 1 熵与混沌也是有关系的，例如，单位线段上的连续 自映射，：i _ ，是l y 混沌的当且仅当它有工e 拓扑熵【2 2 】一个非常好的 结果是一个具有不变概率测度的确定性系统决定了一个随机过程这说明了一 个确定性系统可以通过度量轨道复杂性的信息熵而产生动态的随机性熵理论 的应用非常广泛，例如，逃逸速度理论的迁移性质1 2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，矧，这早轨道的逃 逸通过在系统边界的吸收状况来确定这些吸收边界的状态选择了空问轨道的 一个集合，进而形成了混沌和分形，这就与k s 熵有联系了而逃逸速度理 论也应用到扩散理论| 2 8 1 ，反应扩散理论 2 9 】以及黏滞性理论，因此，这些理 论也有熵的影子再者熵还应用在量子动力系统的分类上【3 1 1 在动力系统中， 符号动力系统( 0 ) ，仃) 是最简单也是最具有代表性的，它的熵为l o g p ，并且 有着复杂的动力性状当我们讨论一个动力系统的运动状态是否复杂时，我们 总是把它和符号动力系统作比较 3 2 , 3 3 对符号动力系统拓扑共轭的动力系统 的例子，我们可以参考o r n s t e i n 4 ，s i n a i 3 4 ，w a n g 和w e i 3 引 3 第市前言j 预斋知识 1 3 本文的研究目的和主要成果 本文给出了一般h a u s d o r f f 空间上完备映射的拓扑熵的一个定义，并研 究了定义的一些性质，这个定义既概括了a d l e r ，k o n h e i ma n dm c a n d r e w 的 熵的定义，也解决了b o w e n 定义的些不足之处( b o w e n 熵依赖于底空间上 度量的选取，而新定义的熵不要求底空间是可度量的，仅要求底空问满足正 性) 同时，在第章的三，四部分也证明了本文定义的拓扑熵具有a d l e r ， k o n h e i ma n dm c a n d r e w 的大部分性质，例如，当空问为紧度量空间时，此拓扑 熵与a d l e r - k o n h e i m m c a n d r e w 的拓扑熵的定义一致，子系统的拓扑熵不大于 原系统的拓扑熵( 定理2 4 3 ) ，拓扑共轭系统具有相同的拓扑熵( 定理2 3 。3 ) ，并 且计算了它和b o w e n 熵的大小关系( 定理3 2 4 ) ，它是所有度量下b o w e n 熵的 下界，另外，在证明过程中还推广了l e b u s g u e 数定理到非紧致空间的余紧开覆 盖上( 定理3 2 2 ) 在预备知识中，我们介绍了熵的定义第_ 二章，我们在任意乃拓扑空间和 完备映射下给出一个余紧拓扑熵的定义这个新定义的熵相对于其它熵的优点 在丁它只要求底空间满足死性，这就使得r n 等其它一些一般的底空间也适 用丁新定义的熵因此它相对于a d l e r 熵适用的范围更广特别是在第2 3 节 和2 4 节中，我们研究了关丁新定义的熵的一些皋本性质新定义的熵的大部 分的性质与a l d e r 熵的性质保持了一致，例如，子系统的熵不大于原系统的熵， 共轭系统的熵相等在第三章中，我们讨论了新定义的熵和已有熵的关系新定 义的熵是a l d e r 意义下熵的推广，并且它仅要求底空问满足乃性，因此它并不 依赖丁度量的选取；反之b o w e n 熵的定义依赖丁度量的选取，同时新定义的熵 还是不同度量下b o w e n 意义下熵的下界另外，证明过程中还推广了l e b u s g u e 数定理到非紧致空间的余紧开覆盖上在第四章中，我们给出了局部紧空间动 力系统余紧熵计算的一个例子，即在余紧拓扑熵下，局部紧空间动力系统( r ， y ( x ) = 2 x ) 的余紧熵为零，而在b o w e n 熵定义下，它至少为l 0 9 2 因此它也 是余紧熵为不同度量下b o w e n 熵下界的一个例子而熵被认为是连续作用在 4 两北大学颁f ：学位论文 底空间上引起的运动混乱程度的一种度量就这个例子而言，局部紧空间动力 系统( r ，f ( x ) = 2 x ) 是一个线性系统，它的动力性状是相对比较简单的，且其 余紧熵是零而在b o w e n 熵定义下，它至少为l 0 9 2 ，大于余紧熵因此余紧熵 比b o w e n 熵更为贴切的描述了一个动力系统的复杂性状 1 4 预备知识 为了后面讨论方便，我们列出各种拓扑熵的定义如下： as h a n n o n 信息熵 假设样本空问x 有礼个基本事件w 1 ，w 2 ，w n ，其中撕发生的概率 为p i ，i = 1 ，2 ，n 记之为( x ；p l ，p 2 ，骱) 下面试定义一个函数日， 它的定义域是所有样本空间，在( x ；p l ，p 2 ，陬) 取值h ( p 1 ，p 。) ，希望 用日l ，) 来反应具有概率分别为p 1 ，纯，骱的事件伽1 ，伽2 ，w n 的样本空间的不确定度 n 定义1 5 1 【1 】 由式日0 l ，p n ) 一一ep i l o g p i 定义的数h ( p l ，陬) 称为对应丁样本空间( x ；p 1 ，) 的s h a n n o n 信息熵 bk - s 熵( 测度熵) 设( x ，p ) 为一概率测度空间，t ：x x 为一个保测变换，即：对中 每个元素a 有肛( a ) = p 口。( a ) ) 任取x 的一个有限划分a = a 1 ，a m ) ， 即a i ，ua i = x ，p ( a ina i ) = 0 ，( i j ，l i ，j m ) 这样a 可看成 以a l ，a 2 ，a m 为摹本事件，以p ( a 1 ) ，t t ( a m ) 为概率分布的一个有限样 本空间，它所对应的s h a n n o n 熵为h ( a ) = 一p ( a ) l o g # ( a i ) = 1 ca d l e r k o n h e i m - m c a n d r e w 拓扑熵 定义1 5 2 【9 】设( x ，) 为紧动力系统，q 为x 的任意开覆盖，定 n 一1 义e 戚( ，q ) = 礼t i m 。日( j v ：。f 一( n ) ) 叫作，相对于q 的拓扑熵进而定 义e n t ( f ) = s u p e n t ( f ，血) ) 叫作厂的拓扑熵，其中s u p 是对所有x 的开覆盖 5 第一章前言抒砸备知识 的上确界拓扑熵是一个非负整数，但可以达到+ 设( x ，d ) 为一个度量空问，t ：x _ x 为一致连续的，一个集合e x 为( 佗，) 一分离集，如果对任意x ，y e ，存在歹，0 j 一个集合f 称为另一个集合k 的( n ，) 张成集，如果对每一个z k ，存 在y f ，使得d ( t j ( x ) ，t j ( y ) ) e ，0 j n 一个紧子集k 冬x ，设( ，k ) 表示k 的最小基数( n ，) 一张成集的 基数& ( ，k ) 表示k 的最大基数( n ，) - 分离集的基数定义r t ( e ，k ) = 0 m ，。s u p 元1l o g r n ( ，k ) ，s r ( ，k ) = l i ms u p 石1l o g & ( ，k ) n - - - * 。 ” 引理1 5 1 r n ( e ，k ) 岛( ，k ) r n ( ，) 定义1 5 3 【1 4 】 ( t ，k ) = 。l i 。m us t , d ( ，k ) ，( f ) = 8 u k ph d ( f ，k ) 称为t 的 拓扑熵 定义1 5 4 【16 】设，：x x 为连续映射，y x ，拓扑熵b ( ，y ) 像定 义h a u s d o r f f 维数的方法一样定义的设g 为x 的一个有限开覆盖，如果e 包含在g 的某一个元素中，则我们记作e _ g 若每一个易 g ，则 忍) g 设礼，g ( e ) 为使得，惫( e ) - g ，k 0 ，n i ，g ) 成立的最大非负整数如果e 不包 含在g 的任何一个元素中，则n l ，g = 0 如果所有的，知( e ) 0 ，s ，( k ) 为一个集合，使得所有z ，y s n ，存在0 i n l ，有d ( f ( z ) ，( 可) ) 我们用s ( g ，佗，g ) 表示最大基数 的s 的犟数对给定的n 和n ，g 0 ，r 厂( k ) 为一个集合，使得对任 意z i n ( k ) ，存在y r ，对所有0 i n 一1 ，有d ( i ( z ) ，( 妙) ) e 我 们用r ( g ，n ，) 表示最小基数的r 的罐数 引理1 5 2 s ( n ，n ，) s ，则 ( 1 )s ( n ，礼，) s ( g ，n ，7 ) ； r ( n ，n ，) 7 ( ，他，e 7 ) ( 2 ) r ( n ，n ，) s ( ，n ，s ) ；s ( g ，咒，2 ) r ( ，礼，e ) 定义1 5 7 记h ( n ，) = 觋占恐s u p l l o g ( s ( ，n ，) ) = l i m 1 i ms u p 元1l o g ( r ( n ，佗，5 ) ) ，定义，关于基k 的拓扑熵h g ( f ) = e u n 一_ o o ” 。l ，i ms u ph ( n ，) v + o 。 定理1 5 1 ( a l e x a n d r o f f ) 3 6 , 3 7 1 拓扑空间x 的单点紧扩张x 为紧的并 且x 是它的子空间空间x 为h a u s d o r f f 空问当且仅当x 为局部紧 的h a u s d o r f f 空间 7 第一二章拓扑熵c ( 1 ) 的定义及j 其它熵的关系 第二章 拓扑熵c ( f ) 的定义及与其它熵的关系 2 1 前言 自从1 9 6 5 年，a d l e rr l k o n h e i ma g m c a n d r e wm h g l 给出紧动 力系统拓扑熵的定义以来，拓扑熵一直是动力系统学者研究的课题，他们给 出了拓扑熵各种各样的定义，但是他们的定义只适用于一些特定的空间，例 如a d l e rr l k a n h e i ma g m c a n d r e wm h 的拓扑熵定义只适用于紧拓 扑空间，这样就使我们比较熟悉的欧氏空间r 与r 2 不适用于这个定义还 有b o 铷e 礼【1 2 】定义的拓扑熵要依赖丁度晕的选取于是我们就考虑是否可以在 一般拓扑空问( 不要求紧性或可度量) 上的连续自映射来定义一个拓扑熵? 并 且当空间是紧的时，这个定义与a d l e rr l - k o n h e i ma g m c a n d r e wm h 9 1 定义一致本章我们就在h a u s d o r f f 拓扑空间上的完备映射定义了一个拓扑 熵使得这个拓扑熵满足上面的要求 2 2 基本概念和定义 设( x ，) 是一个拓扑动力系统，其中x 是h a u s d o r f f 空间，i ：x _ x 是 连续映射 定义2 2 1设x 是一个h a u s d o r f f 拓扑空问，对x 的任意开子集u ，如 果x u 是x 的一个紧子集，则称u 为一个余紧开集如果开覆盖“中的每 一个元素都是余紧开集，则称“为一个余紧开覆盖 定理2 2 1 有限个余紧开集的交是余紧的，任意个余紧开集的并是余紧 的 n 证明：设巩，巩，为余紧丌集，记u = n 巩因为x 阢，i = l ，2 ，佗 t 一1 n 为紧子集，所以x u = ux u , 也为紧子集这说明矿为余紧开子集 i - - - - 1 8 两北大学颀i ：学位论文 设 以) a a 为余紧开集族，记u = u 以，对任意a 人，因为x 以为 a a 紧集，所以x v = nx 巩也为紧子集这说明u 为余紧开子集 a 定理2 2 2 设x 是一个h a u s d o r f f 拓扑空间，则x 的任意一个余紧丁f 覆 盖有有限予覆盖 证明：设“为x 的余紧开覆盖，对任意u 纠，x u 为紧集，“亦 为x u 的开覆盖，故存在有限子覆盖y ，所以有v u u 为酣的有限子覆 盖，证毕 定义2 2 2 设x 和y 是h a u s d o r f f 拓扑空间，并且，：x y 是一个连 续映射如果厂是一个闭映射并且任意z y ，f - 1 ( z ) 是紧的，则称，是一个 完备映射 据定义，如果x 是紧的h a u s d o r f f 空间，y 是h a u s d o r f f 空间，则任意的 连续映射，：x _ y 是完备映射如果，：x _ y 是一个完备映射，对y 的 任意紧子集f ，有f - 1 ( f ) 是x 的紧子集【3 6 】 定理2 2 3 设x 是一个h a u s d o r f f 拓扑空间，：x 叶x 是一个完备映 射。如果u 是一个余紧开集，则1 - 1 ( u ) 是个余紧开集并且，如果甜是一 个余紧开覆盖，则f - x ( 4 ) 是一个余紧丌覆盖 证明：我们只须证明余紧开集的原像为余紧开集设u 为x 的余紧开 集，记f = x u ，则f 为紧子集因为f 是完备映射，故y - 1 ( f ) 为紧的 据y - 1 ( u ) = x y 一( f ) ，知f - 1 ( u ) 为余紧开集 2 3 拓扑熵的新定义一拓扑熵的余紧开覆盖定义 对于紧的拓扑动力系统，a d l e r ，k o n h e i ma n dm c a n d r e w 已经引入了熵的 概念，并研究了它的一些性质1 9 他们的定义如下：设x 是紧的拓扑空间， ，：x x 是一个连续映射对x 上的任意一个开覆盖甜，记坛) 为甜予 9 第一：辛拓扑熵c ( 1 ) 的定义及。j 其它熵的关系 覆盖皋数的下确界，即 n x ) = m i n v 的皋数：v 是甜的子覆盖) 显然，坛似) 是一个自然数设鲰似) = l o g 慨似) 则称 n 一1 e n t ( f ，1 a ，x ) - n l i m _ 。_ 1h x ( v i - + ( 甜) ) n ， l = u 为，相对于覆盖“的拓扑熵，e n t ( f ，x ) = s u p e 优( ，甜，x ) 】- 称作，的拓扑熵 “ 下边我们将a l d e r 的熵推广到底空间是h a u s o r f f 空间，映射是完备映射 的情形如果没有特别申明，从现在开始本文中的空问均为h a u s d o r f f 空f h j ，映 射均为完备映射 设x 是一个h a u s d o r f f 空间据定理2 2 2 ，当甜是余紧开覆盖时，甜有有 限予覆盖，故似) 为一个正整数记h ( u ) = l o g 似) 设“和v 是x 的开覆盖定义 u v v = u nv ：u u f l v y ) 如果对任意u 酎，存在v y ，使得u y ，则说“是y 的加细，记 为v 1 4 下边给出一些明显的事实： f a c t i ：对任意开覆盖甜和v ，“ 酣vv ； f a c t 2 ：对任意开覆盖甜，若v 为甜的子覆盖，则甜 y ； f a c t 3 ：对任意余紧开覆盖“，h ( b 1 ) = 0 静n ( u ) = 1 x 甜； f a c t 4 ：对任意余紧开覆盖甜和y ，y “兮日( v ) 日) ； f a c t 5 ：对任意余紧开覆盖“和甜，h ( b lvy ) h ( l t ) + 日( v ) 证明：设为甜的有限子覆盖，罐数为) v o 为y 的有限子覆盖， 皋数为( y ) u o v v o 为“v v 的子覆盖，其个数至多为n ( 1 d ) ( v ) ，所 以n ( b i v y ) n ( u ) ( v ) ，故日似v y ) h ( 4 ) + 日( y ) f a c t 6 ：对任意余紧开覆盖甜，h ( f - 1 ) ) h ( 1 4 ) 当f ( x ) = x 时，等弓。成立 1n 两北大学硕l j 学化论文 证明：设为“的有限子覆盖，基数为似) f - 1 ( u o ) 为f - 1 似) 的子覆盖，从而h ( f _ 1 ) ) 日似) 当f ( x ) = x 时， 设 厂- 1 ( 巩) ，f - 1 ( 巩) ，f - 1 ( ) ) ，阢纠为f - 1 似) 的有限子覆盖，且基 数为n ( f _ 1 似) ) ，故有xcuf 1 ( 阢) ，则x = f ( x ) cuf ( f _ 1 ( ( ，； ) ) = u 阢 所以研，观，为“的有限子覆盖，有h ( u ) h ( f _ 1 ) ) 命题成立 引理2 3 1 【1 1 l 设 o n ) 黑1 为非负实数序列，满足a n + p a n + a p ，v 钆 1 ，p l 则墨恐a 礼n 存在，且等丁m f n l 设甜是h a u s d o r f f 空问x 上的余紧开覆盖据定理2 2 2 ，对任意自然数n 和任意完备映射f ：x x ，哪) 为x 上的余紧开覆盖再据定理2 2 1 ， n l vf - i ) 为x 上的余紧开覆盖故我们有下边的定理： i = 0 定理2 3 2 设w 是h a u s d o r f f 空间x 上的余紧开覆盖，f ：x _ x 是完 n 一1 备映射，则l i h l 击日( vf - i ) ) 存在 n 。, i - - ，1 证明：记a n = h ( v 厂一似) 据引理2 3 1 ，我们只需验证n n + 七 a n + a k 根据f e a t6 知日( ，_ 1 ) ) h ( 1 9 ) ，进而有日( ，一) ) 竹+ k l h ( b ) ，0 = 0 ，1 ，2 ，) 再据f a c t 5 ，我们所以有a n + k = h ( vf - i ) ) = i = 0 九一1n + 七一1n l七一1 日( ( vf - i ) ) v ( v 厂似) ) ) = h ( vf - i 似) v ( v ，哪( ，- j ) ) ) ) i = 0 j = n i = 0 j = o n - - l七一1 日( v ，“) ) + 日( v ，一j ) ) = a n + a k 命题得证 i = 0 j = o 下蕊给出余紧歼