（应用数学专业论文）平面上自相似集的lipschitz等价.pdf

摘要 在本文中，我们主要利用有向图结构讨论了平面上自相似集的l i p s c h i t z 等 价问题第一节，简单介绍了目前国内外研究自相似集的l i p s c 址t z 等价及相关 问题的现状以及本文所关心的问题和已获得的研究结果；第二节，主要介绍了本 文研究所需的预备知识；第三节，主要研究了符号空间及其与吸引子的关系；第 四节，主要研究了类尘埃图递归集的l i p s c h i t z 等价；第五节，给出了文章主要定 理的证明 关键词：迭代函数系统；自相似集；图递归集；l i p s c h i t z 等价；类尘埃；有 向图 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，、7 i r em a i n l yd i s c u s st h el i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fs e l f s i m i l a rs e t s o np l a n eb yt h eg r a p h - d i r e c t e ds t r u c t u r e i ns e c t i o n1 ，w em a k eag e n e r a ld e s c r i p t i o no nt h er e c e n tr e s e a r c h e si no u rf i e l da n dt h eq u e s t i o i l st h a tw ea r ec o n c e r n e d a b o u ta n dg i v et h em a 洫r e s u l t st h a tw eh a v ea c q l l i r e d ；i ns e c t i o n2 ，w em a i n l y i n t r o d u c et h ep r e l i m i n a r i e sf o rt h ep a p e r ；i ns e c t i o n3 ，w em a i n l ys t u d yt h es k f t s p a c ea n dt h er e l a t i o no fs h i f ts p a c ea n da t t r a c t o r ；i nt h es e c t i o n4 ，w em a i n l y s t u d yt h el i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fd u s t l i k e 铲a p h d i r e c t e ds e t s ；i nt h es e c t i o n5 ， 、ep r o o ft h em a i nr e s u l t so ft h ep 印e r k e yw o r d s ：i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ；g r a p h - d i r c t e ds e t s ；s e l f - s i m i l a rs e t ；“p s c h i t ze c i u j v a l e n c e ；d u s t l i k e ；g r a p h _ d i r c t e d i i 7 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：粑，努日期：? f d 萝年歹月z d 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：纬鬈窜 日期：z ，o 扩年歹月z 。日 导师鞔久笥凌细 日期：础年厂月印日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回童途塞握童卮澄卮；鱼兰生；旦二生；旦三生筮查! 作者签名：纬乞留 日期：名d 0 9 年箩月伽日 孙签名：彳乎，d 日期：力帕年厂月加日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 设( a ，以) 和( 男，如) 为紧致度量空间，如果存在双射厂：a _ j e 7 ，和常数 c 0 ，使得对所有的口1 ，0 2 a 成立 c 一1 d a ( 0 1 ，0 2 ) d b ( ，( 0 1 ) ，( 0 2 ) ) c d a ( 0 1 ，0 2 ) ， ( 1 1 ) 则称( a ，d a ) 和( b ，如) 是l i p s c h i t z 等价，记为a 竺b 我们知道a 竺b 意味着 d i m 日a = 出m 日b ，这里d i m 日表示h a u s d o r 仃维数许多研究工作都致力于研 究自相似集的l i p s c h i t z 等价【1 6 】及相关问题【7 一例如f a l c o n e r 和m a r s h 在 文献【3 】中得到了令人感兴趣的结果：两个拟自相似圆具有相同的h a u s d o r f f 维 数当且仅当它们l i p s c h i t z 等价；他们在文献【4 】中得到了两个类尘埃的自相似集 l i p s c h i t z 等价的一些必要条件；在文献【9 l 中，尹永成证明了类尘埃的自共形自 相似集有相同的h a u s d o r f f 维数当且仅当它们近似l i p s c h i t z 等价；文志英和奚 李峰【6 】构造了两条具有相同的h a u s d o r f f 维数但并不l i p s c h i t z 等价的自相似曲 线；饶辉、阮火军、奚李峰1 5 】研究了直线上自相似集的l i p s c h i t z 等价；在文献 【1 5 1 中奚李峰、阮火军、郭秋丽研究了自相似集滑动过程中的l i p s c h i t z 等价 给定一单位正方形，将其等分为九个小正方形，保留其中的三个而把其余的 去掉，然后对保留下来的三个小正方形进行同样的操作，并且无限的进行下去得 到的集合我们称它为类c a i l t o r 尘以上几何描述可用分析形式明确给出： q n 、 记a = i ：l ，b = ( t ，j ) t ： ，歹= o ，1 ，2 ) ，d = ( d 1 ，如，d 3 ) ：也 u j b ，且d 1 ，如，d 3 按词典排法排列0 最小的排前，当i 相同时，j 小的排前) 设磁“：，如) cr 2 表示由 五( z ) = a - 1 + 也) ) 整1 生成的自相似集，这里 ( d 1 ，d 2 ，d 3 ) d ，则上述几何描述唯一对应一个磁。，d 2 d 3 ) 记s = 【臻。d 2 d 3 ) ： ( d 1 ，d 2 ，d 3 ) d ) ，本文关注的是集合s 中自相似集之间的l i p s c h i t z 等价问题 在集合s 上定义关系一，对任意的。d 2 d 3 ) ，臻；，呓，呓) s ，如果臻。，d 2 d 。) 可由臻：，呓，呓) 经全等变换( 或称保距变换) 得到，我们就说硝。，d 2 ，d 3 ) 与，吒，d ) 有关系一，记为臻。，d 2 ，如) 一硝；，呓，呓) 显然一是一个等价关系记 臻。，d 2 1 d 3 ) 】= 【磁，呓，呓) s ：臻。d 2 ，d 3 ) 一臻。呓，呓) ) cs 表示臻。点d 。) 所在的等价类，酬一 表示集合s 关于等价关系一的商集，8 ( s 一) 表示集合s 一的势首先我们有 下面定理成立： 定理1 1 若s = _ 【臻，d 2 ，如) ：( d 1 ，d 2 ，d 3 ) d ) ，一为上面定义在集合s 上 硕士学位论文 m a s t e r st he s i s 的等价关系，则# ( 一) = 1 0 另由l i p s c h i t z 等价的定义易知竺也是一个等价关系，于是我们有： 定理1 2 若s = 臻。，d 2 ，d 3 ) ：( d 1 ，如，如) d ) ，则# ( 酬竺) = 2 本文安排： 第二节，主要介绍本文研究所需的预备知识； 第三节，主要研究符号空间及其与吸引子的关系； 第四节，主要研究类尘埃图递归集的l i p s c h i t z 等价； 第五节，给出了文章主要定理的证明 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节预备知识 首先我们约定本文研究的完备度量空间( x ，d ) 为欧几里得空间( 印，d ) 记 d ( z ，y ) = j z 一秒j = ( ：1 ( 鼢一犰) 2 ) 表示舻中任意两点z = ( z 1 ，z 2 ，) ，3 ，= ( 可1 ，耽，鲰) 的欧氏度量；d i a m a = s u p d ( z ，可) ：z ，秒a ) 表示集合ac 肝的 直径；d ( a ，b ) = i n f d ( z ，y ) ：z a ，y b ) 表示舻的子集a 与b 的距离 定义2 1 变换，：舻_ 舻称为全等变换或保距变换，如果它保持距离不 变，即对任意z ，可即，i ，( z ) 一， ) i = i z 一秒i 也即，( z ) = q z + 6 ，其中q 为 正交阵 6 舻 全等变换也保持角度不变，它把一个集变换到一个几何全等集特殊情况包 括平移，即具有形式，( z ) = z + o ，所有的点都移动了一个与n 平行的向量；中 心在。的旋转变换，满足i ，( z ) 一n i = i z o l ，z 册；反射( 对称) 是将点映射 到关于某个( n 一1 ) 维超平面对称的镜像点 定义2 2 设( x ，d ) 是度量空间，：x _ x 是一个映射( 变换) ，若存在q ， 0 q 1 ，使得对于任何z ，可x ，有 d ( ，( z ) ，( 可) ) q d ( z ，可) ， 则称，是x 上的一个压缩映射如果等号恒成立，即若d ( ，( z ) ，( y ) ) 三q d ( z ，y ) ， 则，把一个集变成与它几何相似的集，此时称映射为相似映射若存在z o x 使得，( z o ) = 黝，则称跏是，的不动点 定义2 3 设 ，2 ，厶是舻上的压缩变换，那么称【 ) 磐1 是一个压 缩迭代函数系统例如果压缩变换是相似的，则称 五) 整1 是一个相似压缩迭 代函数系统称舻的子集f 对变换【五) 墨1 是不变的，如果f = u 墨1 ( f ) 引理2 1 ( 【1 7 】) 设 ，厶，瓜是印上的压缩变换，使得i ( z ) 一 ( y ) l q i z 一可i ( z ，可舻) ，对每个i ，0 q 1 成立，则存在唯一的非空紧子集f ，使 得f = u 竺。 ( f ) 定义2 4 设 ，尼，厶) 是舻上的压缩迭代函数系统，如果存在非空 开集d ，使得 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 ) u 銎1 ( d ) cd ， ( 2 ) ( d ) n 办( 0 ) = d ，如果i 歹， 则称 ) 满足开集条件特别地，如果存在非空紧集k 满足上面两式则称 五) 满足强分离条件 定义2 5 集合a 的卡氏积a a 的一个子集一ca a ，称为集合a 的一 个关系对任意的a ，6 a ，如果( o ，6 ) 一，就称。与6 具有关系一，记作。一6 j 否则称。与6 不具有关系一，记作a 啪6 足? 定义2 6 ( 等价关系) 集合a 上的关系一称为等价关系，如果以下三条满 ( 1 ) 自反律：对讹a ，有口一o j ( 2 ) 对称律：对讹，6 a ，如果。一6 ，则6 一o j ( 3 ) 传递律：对讹，6 ，c a ，如果。一6 且n c ，则。一c 在此情形下，称集合a 的子集 口】= _ 【6 ao 一6 ) a 是n 所在的等价 类；以等价类为成员的集合称为集合a 关于等价关系一的商集，记作a 一故 a 一2 4 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节符号空间及其与吸引子的关系 3 1 符号空间 设m 2 为正整数，令m = 1 ，2 ，m ) 记象= u 1 忱：蚍m ，i = 1 ，2 ，n ) ，表示长为n 的符号序列的 集合集合象中的元素亦称长为n 的词约定寮= d ) ，称d 为空词 记= u 象，即长为有限的符号序列的集合( 或长度为有限的词的集 合) 任意u 麓的长度记为川 记篙= u 1 忱：蚍m ，i = 1 ，2 ) ，即表示无穷长的符号序列 的集合 设u ：，记 7 0 = 【z = z l z 2 z n 篙：z l z 2 z i u i = u ) ， 兄称为需中的一个柱集，它由头川个符号恰好为u 的无穷符号序列组成 对任意的u 篇，记u i n = u 1 忱，n n 定义映射盯七：篙一箸和映射盯：署一署分别为： 吼( u l u 2 u 3 ) = 后u 1 忱蛐， 盯( u 1 忱) = 忱蛐龇， 其中u l u 2 岫篇，并称盯为移位映射 设u ，丁篙且u 7 ，o 1k 。婚川。) = o 即n n 1k ，。岈川。是单点集 如果o p ，7 _ ) ( ，) n ( o ， 1 ) ，则s p ，7 ) 尼也即当1 i 佗时， = 凡亍：是，u l u 2 = 力见故7 r ( u ) ，丌( 丁) 虬1 屹u 。= k _ 仡h 从 而d ( 7 r 0 ) ，7 r ( 7 - ) ) p d i a m ( k ) ，又因为当n o 。时，p o ，所以7 r 是连续映 射 对于任意的u 篙有： 丌( 以) ) 】= n 。吨 ，l 1 = n 五( 玩。) = ( 丌( u ) ) ) n 之l 也即对于任意i 1 ，2 ，m ) 有，7 ro 吼= 五o7 r 最后，由于 丌( 署) = 丌( 盯，( 嚣) u0 r 2 ( 署) u u ( 筹) ) = 丌( 盯- ( 署) ) u 丌( c r 2 ( 篙) ) u u 丌( ( 篙) ) = ( 丌= ) ) u ，2 ( 丌篙) ) u u 厶( 丌( 署) ) 且7 r 连续，篇为紧空间，从而7 r ( 篙) 是非空的紧集，由自相似集的唯一性知， 丌( 需) = k 口 命题3 5 设五是单射，i = 1 ，2 ，m ，则对于u 当且仅当7 r ( 盯n ( u ) ) = 7 r ( 盯n ( 7 ) ) 这里死= s ( u ，丁) 7 - 篙，7 r ( u ) = 7 r ( 丁) 证明：设u j n = u 1 叻= 力丁2 = 7 _ j n ，由于7 ro 吼= 五o7 r ，所以 丌) = 九( 丌( 矿( u ) ) ) ，丌( 丁) = ( 丌( 矿( r ) ) ) 由题设 是单射，知丸也为单射 所以对于u ，7 篙，丌0 ) = 7 r ( 丁) ) 当且仅当7 r ( 矿p ) ) = 7 r ( 矿( 7 ) ) 口 定理3 1 令c k = u 1 i g m ( kn ) ，如果c k = 0 ，则丌是篙到k 同 胚映射特别地，如果迭代函数系统 ，厶厶) 满足强分离条件时，7 r 是需 到k 同胚映射 证明：首先由命题4 2 知，7 r 是篙到k 的一个连续的满射设7 r ) = 丌( 丁) ) ，则由命题4 3 知 丌( 盯n ( u ) ) = 丌( 盯n ( 丁) ) c k ， 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 这里死= s 0 ，7 - ) 由已知条件c k = 0 ，从而对于i n ，有她= 死即u = 7 ， 7 r 为单射所以7 r 为k 到嚣的一一到上的映射，从而7 r 的逆映射存在不妨 记7 r 的逆为7 r ，对于任给的o ，z ，k 满足露( 丌一1 ) ，7 r 一1 ( 可) ) ，从而 存在n 使得p ，即n s ( 7 r 一1 0 ) ，7 r 一1 ( 可) ) ，这说明z ，耖玩。岘咖，又因为 n _ o o 时，d i 砌( 玩，忱u 。) _ o ，所以7 r 一1 是连续的所以丌是署到k 同胚 映射 推论3 1 设u 荔，虬= 厶( k ) 则玩为k 中的既开又闭的子集 口 证明：因为7 ro 矾= o 丌，从而7 r ( 兄) = 丌o ( ( 篙) ) = 厶o7 r ( 鬻) 又7 r 是篙到k 上的同胚映射，从而 丌( 死) = 丘。丌( 篙) = 厶( k ) = 虬 又由引理4 2 知，死是署上的既开又闭的子集，且7 r 为同胚映射所以，亿是 k 上的既开又闭的子集口 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四节类尘埃图递归集的l i p s c h i t z 等价 4 1 有向图结构 让g = ( k 丁) 是一个有向图，y = ( 1 ，2 ，) 是顶点集，丁是有向边 集( 有限集) ，每条边从y 中的一个顶点出发( 称为“起点”) ，在另一个顶 点结束( 称为“终点”) ，一条边的起点和终点可以是同一个顶点对任意的 u ， v 互。c 丁表示是从起点让到终点钉的有向边的全体，每一个顶点牡至 少有一条边以它为起点 例4 1 如图j ，y = ( 1 2 ，3 ) ，丁= ( e 1 1 ，e 1 2 ，e 2 1 ，e 2 2 ，e 2 3 ，e 3 1 ，e 3 2 ，e 3 3 ，e ：3 ) ，其 中e 巧( t ，歹= 1 ，2 ，3 ) 表示从顶点t 到顶点歹的边，e 易表示从顶点i 到顶点j 的另 一边 4 2 迭代函数系统 图j 三个顶点的有向图 设 五) 磐。是舻上的一族相似压缩迭代函数系统，则存在唯一的非空紧集 ec 舻使得 e = u 五( e ) ， ( 4 2 ) t = 1 紧集e 称为关于相似压缩函数迭代系统 五) 磐1 的自相似集f 17 】( 或称为不变集) 通常情形下e 或者e 的边界是分形集如果( 4 2 ) 的右边为不交并，则称e 是 类尘埃的 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对每个让y ，我们让一个度量空间孔与之对应，在这篇文章里我们考虑 k 是欧氏空间( 剧，d ) 的情形对每个e 五，。，相应的我们定义一个压缩白相 似映射& ：五_ 五，压缩比风( 0 ，1 ) 我们称( & ) 。丁为一个图递归相似压 缩迭代函数系统由文献【1 1 】知：存在唯一的非空紧集族 r ) 鉴，满足 令 n 只= uu & ( 乃) ，i = 1 ，2 ， ( 4 3 ) j = 1e 五，j 我们称g 为g + = ( v 丁，& ) 的底图，称 只 些1 为g + = ( v 丁，& ) 上的图 自相似集( 或图递归集) ，或称为关于图递归相似压缩迭代函数系统( & ) 。7 的不 变集( 吸引子) 如果( 4 3 ) 的右边为不交并，则称 只) 丝1 是类尘埃的显然图 递归相似压缩迭代函数系统和图自相似集是相似压缩迭代函数系统和自相似集 的推广 4 3引理及证明 引理4 1 设_ 【邑) 丝1 ， 只) 丝1 分别是g ，= ( v 丁，冗) 和日= ( v 丁，& ) 上 的图递归集如果 仁) g = 日，也即 俐v e 丁，& ，正，有相同的压缩比纯， 例 易) 磐， 只) 鉴。都是类尘埃的， 则? 对任意i y ，届竺只 证明：因为 最) 竺1 是似尘的，所以根据定理3 1 ，对任意z 晟，存在唯一 的一条从顶点z 出发的无限路径使得 1 0 r u 汹 = f 乏 1 = z 、乃乃& u 瓯 e u 触 = r 弓 瓦 u 瓯 e u 触 = 邑 其中，i k 是e k 边的终点，正。：e 。= 正。o 正。 记z = e l e 2 e 3 ，令，：易_ 只， ，( z ) ) = n 旧。( 黾) 七= 1 显然厂是一个双射下证厂满足( 1 1 ) 设z = e l e 2 e 3 ，z 7 = e i e ：e ：易，令仇使得e l e 2 e m = e j e ：e 乞 成立的最大的整数由于z 和z 7 都在正。( 最。) ，我们有 i z z 7 i 垅。仇正。( e 。) = ( 风。) 出o m ( 忍。) t = 1 另一方面，由m 的最大性，我们有 i z z 7 l d ( 正。+ 。( e 。+ 。) ，正。e 。e m e 幺+ ，( 忍幺十。) ) 2 ( n 銎，p 。) 罂i 共d ( 疋( 易) ，正，( 易，) ) ， 其中最小值取遍所有从顶点z 出发的不同的两个边( e ，e ，) ，让歹，j 分别表示 e 和e 的终点由于e 和e 7 从同一个顶点i 出发，所以正( 易和互，( 易，) 是蜀 的两个不交的闭子集，因此最小值是一个正数，所以，存在一个仅依赖于g + 的 常数使得 类似的，存在一个仅依赖于日的常数使得 丐1 ( 风；) l ，( z ) 一，( z ，) i c 2 ( 如) i = 1 t = l 于是有，c f l 丐1 i z 一一i i ，( z ) 一，( z ，) l c l c 2 i z z t 所以，对任意z y ， 忍! 只 口 特别的对只有一个顶点，有限条边的类尘埃的有向图集，我们有下列命题 邑 水 正 n 胁 = 、， z r l 、i ， p 仇澍 ， c 一 z z 一 吼p m 澍 一1 c 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 推论4 1 设e 和f 分别是关于相似压缩迭代函数系统_ 五) 墨1 和【吼) 篓1 类尘埃的自相似集，对所有的1 i ，五和吼的压缩比相同，则e 竺f 1 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五节文章主要定理的证明 5 1定理的1 1 证明 在这一节里，我们是利用s 的几何描述来证明定理1 1 把一个单位正方形等分为九个小正方形，保留其中的三个而把其余的去掉， 然后对保留下来的三个小正方形进行同样的操作，并且无限的进行下去得到的 集合我们称它为类c a n t o r 尘设岛表示单位正方形，易表示等分岛为九个小 正方形后保留下来的三个边长为1 3 的小正方形组成的集，易表示将目的三 个小正方形分别进行同样的操作后得到的3 2 个边长为3 - 2 小正方形组成的集， 按此方法下去，则岛表示由3 七个边长为3 “的小正方形组成的集类c 疵o r 尘f 是由所有属于玩的点组成，确切的说f = n 毋构成b 的3 七个边长为 七= o 3 山小正方形我们称为f 的第七级基本区间，最称为构造的第尼步当然，保 留不同位置的小正方形可以用来构造不同的类c a n t o r 尘，记s 7 表示所有按上述 方式得到的类c a n t o r 尘显然，集合s 7 与s 的元素之间存在一一对应，因此对 它们我们不加区别，看成同一个，不妨就记= s 例5 1 若d 1 = ( o ，o ) ，c f 2 = ( 1 ，2 ) ，d 3 = ( 2 ，2 ) ，磁= ( o ，o ) ，呓= ( 1 ，1 ) ，镌= ( 2 ，2 ) ，则磁，d 。，d 3 ) ，d 幺吗) 的第一级基本区间如图2 所示 饵口 蜘蜘 图2 臻。，d 。，如) ，礞i ，呓，呓) 的第一级基本区间 5 1 1 定理的1 1 证明 证明：由等价关系“一”的定义，我们知道集合s 中任意两个类c a i n t o r 尘如 果其中一个可由另一个通过全等变换得到，我们就说它们等价为了方便，当两 个类c a l l t o r 尘可通过全等变换相互得到时，我们就默认它们等价而不再在证明 过程中强调说明因为是全等变换，下面证明中我们不妨主要考虑保留的三个小 正方形位于行的情形 1 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( 1 ) 保留的三个小正方形位于同一行的情形 在这种情形下，只有3 个类c a n t o r 尘，它们彼此可通过平移变换得到， 我们选其中一个为代表元，不妨选a ( 如图4 ) ( 2 ) 保留的三个小正方形在每一行，每一列都有的情形 在这种情形下，只有6 个类c a n t o r 尘，其中2 个恰好是单位正方形的两 条对角线，可通过旋转变换相互得到，选其中一个为代表元，不妨选b ( 如图4 ) ， 另外4 个有一个为c ( 如图4 ) ，其它3 个可通过c 依次绕单位正方形的中心逆时 针旋转4 5 。，9 0 。，1 8 0 。得到，选c 为代表元 ( 3 ) 保留的三个小正方形在中间一行没有，其余两行都有的情形 由于考虑的是全等变换，所以在这里不妨只考虑第一行有一个小正方形 被选中，第三行有两个小正方形被选中的情形在这种情形下，第三行被选中的 两个小正方形有( 如图3 ) lm ，三种情况，不管是那种情况，第一行被选中的 一个小正方形都有( 如图3 ) l 7 ，m 7 ，7 三种情况所以保留的三个小正方形在第 一行有一个小正方形被选中，第三行有两个小正方形被选中的情形下共有9 个 类c 锄t o r 尘 1 lm n 町册皿 图3l ，m ，ns l l ，m f ，n | o 当第三行为厶第一行为l 7 或m 7 时，相应的两个类c a i l t o r 尘可通过 对称变换相互得到 6 当第三行为m ，第一行为m 7 或时，相应的两个类c 舡l t o r 尘也可 通过对称变换相互得到，且它们都可通过a 中提到的两个类c a i l t o r 尘平移得到 c 当第三行为工，第一行为7 ；第三行为m ，第一行为l 7 时，相应的两 个类c a i l t o r 尘可通过对称变换相互得到，且易知与上面得到的类c a l l t o r 尘都不 等价 1 4 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s d 当第三行为，第一行为l 7 或7 时，相应的两个类c a n t o r 尘也可通 过对称变换相互得到，且易知与上面得到的类c a n t o r 尘都不等价 e 当第三行为，第一行为m 7 时，易知这个类c a n t o r 尘与上面得到的 类c a n t o r 尘都不等价 综合上面分析，在保留的三个小正方形在中间一行没有，其余两行都有 的情形，我们可选d ，e ，f ，g ( 如图4 ) 为代表元 ( 4 ) 考虑保留的三个小正方形在相邻两行都有的情形 由于考虑的是全等变换，所以这里不妨只考虑第三行为空，第一行有两 个小正方形被选中，第二行有一个小正方形被选中的情形同情形( 3 ) 一样的讨 论，我又可以找到三个等价类，选日，j ，j ( 如图4 ) 为其代表元 于是驯一= “州，【引，【q ，【d 】，【e 】，【f 1 ，【g 】，【日】，【n 【川) ，其中代表元a ，男，c ，d ， e ，f g ，日，j ，j 的第一级基本区间如图4 所示 即4 ( s 一) = 1 0 1 5 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 口田圈口 a bcd 嚣品岔口口蜘硼朝 ef 口田 g 图4a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，i ，j 的第一级基本区间 h 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 5 2 定理的1 2 证明 命题5 1 设s = 磁。，d 2 ，d 3 ) ：( d 1 ，如，d 3 ) d 】，对任意的臻。，d 。，d 。) ，硝。哎，呓) s ，若磁。，d ：，出) 一磁，d ；，d 3 ) ，则瑶。，d 。，如) 2t 龟，呓，呓) 证明：因为臻。d 2 ，d 。) 一维，呓磁) ，所以存在全等变换，：臻。，d 2 d 。) 一 臻i ，d ；，吗) ，使得，( 臻。d 2 d 3 ) ) = ，d ；，d 3 ) ，且对任意z ，可臻。，d 2 d 3 ) 有i ，( z ) 一 ，( y ) i = i z y i 所以磁。，d 。，d 3 ) 型t 复，呓，吗) 口 5 2 1 定理的1 2 证明 证明：( 1 ) a ，b 任意一个都不与c ，d ，e ，f ，g ，日，j 等价 根据文献【圳，类c a n t o r 尘a ，b 是全连通的，c ，d ，e ，f g ，日，j ，了是全不连 通的，所以a ，b 中任意一个都不与c ，d ，e ，只g ，日，j ，j 拓扑同胚因此，a ，b 任意一个都不与c ，d ，e ，只g ，日，j 等价 ( 2 ) a 竺b 如图5 ，a 是区间【o ，1 】，b 是图中所示正方形的对角线设，表示到z 轴的 垂直射影，则，：b _ a 是一个双射，且满足不等式2 - 1 i z 一! ，i l i ，( z ) 一，( y ) l 2 l z 一可i 所以a 竺b jly 一 1 一 o x 图5 集合a 与b ( 3 ) c ，d ，e ，只g ，日，j ，j 两两l 咖s c 花z 等价 不失一般性，只证c2 d ，记c = 臻。，d 2 ，d 3 ) ，d = i ，呓，呓) ，= 【o ，1 】【o ，1 】， 这里d 1 = ( o ，o ) ，d 2 = ( 1 ，2 ) ，如= ( 2 ，1 ) ，啦= ( o ，o ) ，必= ( 1 ，1 ) ，呓= ( 2 ，2 ) ，则 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s c = u ：1 ( c ) ，d = u 1 爿( d ) ，其中五( z ) = a - 1 扛+ 画) ，爿 ) = a - 1 + ) 因为 ( c ) c 1 ( ，) u 2 ( j ) u 3 ( ，) ，庀( c ) c ，2 1 ( j ) u 厶2 ( ，) u ，2 3 ( j ) ，3 ( c ) c 厶1 ( ) u ，3 2 ( j ) u 3 ( ，) ，而从类c a n t o r 尘c 构造的第二步易看出( 1 ( ，) u 2 ( j ) u 3 ( ，) ) n ( 尼，( j ) u 止z ( j ) u 厶3 ( ) ) n ( l ( j ) u ，3 z ( j ) u 3 ( j ) ) = 仍，所以 c = u 警1 五( c ) 的右边为不交并，同理可知d = u 薹1 月( d ) 的右边也为不交并， 所以c ，d 是类尘埃的由推论4 1 知c 竺d 故8 ( 酬竺) = 2 1 8 口 参考文献 【1 】c o o p e rd ，p i g n a t a r ot o nt h es h a p eo fc a l l t o rs e t s j d i f fg e o m ，1 9 8 8 ，2 8 ： 2 0 3 _ 2 2 1 d 撕dg ，s e m m e ss n a c t l l r e dn a c t a l sa n db r o k e nd r e a i 璐：s e l f - s i m i l 缸 g e o m e t r ) rt h r o u g hm e t r i ca n dm e a s u r e o x f o r du n i vp r e s s ，1 9 9 7 f c o n e rk j ，c l a s s i f i c a t i o no fq u a s i - c i r c k sb yh a u s d o r f rd i m e n s i o n n o n l i n e 盯i t y ，1 9 8 9 ，2 ：4 8 9 4 9 3 【4 】f a l c o n e rkj ，m a r s hdt o nt h el i p s c b j t ze q u i v m e n c eo fc a n t o rs e t s m a t h e m a t i k a ，1 9 9 2 ，3 9 ：2 2 孓2 3 3 【5 】r a oh ，r u a nhj ，x ilf l i p s c l l i t ze q u i v a l e n c eo fs e l f s i m i l a u rs e t s cr a c a d s c ip 缸i ss e rim a t h ( c o m p t e sr e n d u sm a t h e m a t i q u e ) ，2 0 0 6 ，3 4 2 ( 2 ) ：1 9 l 一1 9 6 【6 】w b nzy ，lf r 电l a t i o n s 锄o n gw h j t n e ys e t s ，s e l f - s i m i l a ra r c sa n dq u a s i a r c s i s r a u e ljm a t h ，2 0 0 3 ，1 3 6 ：2 5 1 - 2 6 7 【7 】x i lf l i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fs e s o c o n f o r m a l s e t s jl o n d o nm a t h s o c ，2 0 0 4 ，7 0 ：3 6 9 3 8 2 【8 】w hm t h ei n u l t i f r a c t a ls p e c t r u mo fs o i n em o r a nm e a u s u r e s s c ic l l i n as e r a ，2 0 0 5 4 8 ( 8 ) ：1 0 9 7 _ 1 1 1 2 【9 】r