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第四节有理函数与简单无理函数的积分一、有理函数的积分二、简单无理函数的积分,一、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，它具有如下形式：其中n,m为非负整数,a0,a1,an和b0,b1,bm都是实数，且a00,b00。假定分子与分母之间没有公因式,定理:如果真分式的分母可分解为两个因式Q(x)与R(x)的乘积,则此真分式等于两个部分分式之和(1)如果分母的因式中含有单因子x-a,则部分分式中含有的项，其中A为待定常数。例,(2)分母中含有因子(x-a)k(k1),则部分分式中含有其中A1,A2,，Ak为待定常数。例(3)如果分母的因式中含有x2+px+q,则部分分式中含有其中p2-4q1),则其中,p2-4q0,Ai,Bi(i=1,2,s)为待定常数。例便于求积分必须把真分式化为部分分式之和,同时要把上面的待定的常数确定,这种方法叫待定系数法。,例3-40求解由于所以,例3-41把真分式化为部分分式之和。解方法一：令两边去分母后，得即比较两端系数，得,方法二：令两边去分母后，得取x=1得：B=1；取x=0得：-A+1+D=0；取x=-1得：-4A+2+4D-4C=-2；取x=2得：5A+5+2C+D=2，得方程组解得所以,例3-42求解由例子3-41的结果，得,例3-43求解令化去分母后,得令x=0得A=1;x=1,x=2,x=-1,代入上式,得其中,二、简单无理函数的积分例3-44求解令，则,例3-45求解令，则,例3-46求解由于,令,则,应当指出由于初等函数在其定义域内连续,所以其原函数存在,但是有些初等函数的原函数却不能用初等函数表示。例如：如果一个初等函数的原函数不能用初等函数表示，称这个函数的不定积分“积不出来”。注意：一个初等函数的不定积分“积不出来”，并不是指这个不定积分不存在，而是指它的原函数不是初等函数。,内容小结,1.可积函数的特殊类型,有理函数,分解,多项式及部分分式之和,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,2.特殊类型的积分按上
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