（基础数学专业论文）一类被开发的hollingⅡ类功能反应模型的定性分析.pdf

一类被开发的h o l l i n gi i 类功能反应模型的定性分析 基础数学专业 研究生李超指导教师蒲志林( 博士教授) 论文摘要：本文研究了一类捕食种群、食饵种群同时具有收获率的h o l l i n gi i 类 功能反应生态系统，其中食饵种群具有非线性密度制约。捕食者无密度制约。 应用微分方程定性理论讨论了系统的平衡点，分析了中心焦点的阶数以及稳定 性所给定参数满足一定条件时系统不存在极限环，接着根据细焦点的稳定性判 断出在一定条件下极限环的存在性，并验证了极限环的唯一性。最后，证明了 这个系统在一定的条件下具有持久性，进一步，如果这个系统是周期的，那么 在适当的条件下容易验证严格的正周期解的存在性，唯一性，全局吸引性。 关键词。o 极限环；高阶奇点；细焦点；正不变集；持久性；周期 解；唯一性；全局吸引性 第i 页，共2 5 页 t h eq u a l i t a t i v ea n a l y s i so fh o l l i n gi im o d e lw i t h c o n s t a n th a r v e s t i n go fp r e ya n dp r e d a t o r s b a s i cm a t h e m a t i c st h e o r e y w r i t e r ：l ic h a o s u p e r v i s o r ：p uz h i l i n a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e ra nq u a l i t a t i v ea n a l y s i st oap r e ya n d p r e d a t o r s w i t hc o n s t a n tp r e yh a x v e s t i n gu n d e rh o l l i n gi if u n c t i o n a lr e s p o n s es y s t e m i sg i v e n f i r s t l y , t h ee x i s t e n c ef o re q u i l i b r i u mp o i n t sa n dt h e i rp r o p e r t i e s & r e d i s c u s s e d s e c o n d l y , s o m ec o n d i t i o n sf o rt h en o n e x i s t e n c eo fl i m i tc v c l ea r e g i v e n t h i r d l y ，s o m ec o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fl i m i tc y c l e a r e d e r i v e f i n a l l y , i ti sp r o v e dt h a tt h es y s t e mi sp e r m a n e n tu n d e ra p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s f u r t h u e ri ft h es y s t e mi sp e r i o 出c as e to fe a s i l yv e r i f i e ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n st h a tg u a r a n t e et h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a la t t r a c t i v i t yo f s t r i c t l yp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sd e r i v e d k e y w o r d s ：t h el i m i tc y c l e ；m u l t i p l ee q u i l i b r i u m ；w b a kf o c u s ；p o s i t i v e l yi 1 1 - v a r i a n ts e t ；p e r m a n e n c e ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；u n i q u e n e s s ；g l o b a la t t r a c t i v i t y 彤m 1 ) r 0 v j ( 0 , r 2 0 分别表示食饵，捕 食者的内禀增长率；9 1 ，口2 ，e 均为正数，各自有不同的生态意义【1 3 】：e 表示捕捞 强度，9 1 ，9 2 表示捕捞系数，m 0 表示两种种群相互作用的种间作用系数；考虑到实 l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o a n 第2 页，共2 5 页毕业论文 z e 眈 妒 正 眈 翥 引言 际意义，在区域q = z ，y ：z 0 ，y o ) 内对系统( 0 - 2 ) 进行分析。对系 统( 0 - 2 ) 作时间变换：d t = ( 1 + 7 l x ) d t ，仍用t 记7 - ，经整理得 = a l x + a 2 x 2 + a 3 x 3 a 1 2 x y = 一d l y d 2 y 2 + d 3 x y + d 4 x y 2 ( 0 - 3 ) 求0 1 0 ，否则食饵种群会灭绝，进而捕食种群也将灭绝，所以n 1 0 ，从 再次作变换，令z = 毫矿，也= 击班+ ，秒= 老矿，仍以z ，y ，亡分别记z ，矿，t 得 害2 a - z + 4 2 2 2 + a 3 2 3 一z 可2p ，驯 (阻4)d i 面y 刮z - 1 ) + b l y 2 ( z 喝) 刊训) 卜叫 其中，a 1 = 署 o , a 2 = 等 o , b x = 音盎0 ，b 2 = 血d l 血d 4 0 l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o a n 第3 页，共2 5 页 毕业论文 如一出匆一如 第一章平衡点性态分析 1 1 基本知识 本节我们给出研究线性方程组的特征根一个为零，但线性项系数不全为 零时，附加非线性项后奇点的性质f 1 4 1 这时相应的线性方程的特征跟一个为零，另一个不为零，不失一般性， 可设平面系统已化为如下形式： d x 出= 恳( z ，秒) ，面d y = 秒+ q 2 ( z ，秒) 此外，还假设o ( o ，o ) 是上式方程的孤立奇点，p 2 ( z ，秒) ，q 2 ( z ，y ) 是 在o ( o ，0 ) 附近次数不低于2 的解析函数。 由隐函数的存在定理在点o ( o ，0 ) 的充分小领域& ( d ) 内可从y + q 2 ( z ，影) 解出爹= 咖( 。) ，( z ) 也是& ( 0 ) 内的解析函数，且有( o ) = ( o ) = 0 令 妒 ) = p 2 ( z ，多( z ) ) = a m x m + 陋 m + 1 其中吲m + 1 代表矽 ) 中次数不低于m + l 的那些项的和。若a m 0 ，m 2 ， 则有： ( i ) 当m 是奇数r a m o 时，o ( o ，o ) 是不稳定的结点； ( i i ) 当m 是奇数且口m o 得，o ( o ，o ) 为鞍点 ( 2 ) 现在考虑秒：a 1 + a 2 z + a 3 2 2 与拶= 0 的交点问题。即考虑如下方程 的解得问题：m ( x ) = a 1 + a 2 z + a 3 2 2 = 0 , a = 么；一4 a l a s 对m ( z ) 求 导并令其为。可得到方程m ( z ) = 2 a a x + a 2 = 0 , m 7 ( z ) = o 只有唯一的 根= 一鑫 0 ( a ) 当：0 时，m ( x ) = a 1 + a 2 z + a 3 2 2 = 0 只有唯一根x 0 ，0 ) ，其对应 的系统( 0 - 4 ) 的变分矩阵行列式的特征值为a l + 2 a 2 x o + 3 a 3 x 3 与z o 一1 此时，m ，( z o ) = 0 ，当o 0 ，故a 2 m + 1 = 一a 3 o 时m ( z ) = o 有两个不同的实根z m ，z 竹，z m z n ，讨论如下： ( a ) 当z m ，x n 同为负数时，有z m + z n = 一条 o ，与前面的假设 矛盾； ( b ) 当z m ，x n 同为正数时，有z m + z n = 一叁 o ，b 2 = 1 时，系统( 0 - 4 ) 变为： l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o c i l 第6 页，共2 5 页 ( 1 - 4 ) 毕业论文 0 p ， l l 秒删 叫 3 = 妤 d a _i 州 汁 护 毋 a d + 一 z e 心 ，z a 畎 如一如匆一如 第一章平衡点性态分析 系统的垂直等倾线为：z = 0 与可= a 1 + a 2 x + a 3 x 2 系统的水平等倾线为：y = o , x = 1 此时，y = a 1 + a 2 x + a 3 2 2 与z = 1 在区域q 内有交点r ( 1 ，珈) ，其中细= m ( 1 ) ，其性质如下： 引理1 2 1当m ( 1 ) 0 时，系统( 1 4 ) 在q 内有唯一的正平衡 点r ( i ，y o ) ，其中珈= a i + a 2 + a 3 ，当p = a 2 + 2 a s 0 时，点r 为不稳 定的焦点，当芦 o 时，考虑系统( 1 4 ) 的变分矩阵行列式对平衡 点r ( 1 ，y o ) 有 ：f a + 2 如t 3 a 3 咄。| = y o + b l y 3 ：舰帕懈 0 y o + b 1 缩0l 对应行列式的迹 i 当p o 时，点r 为不稳定的焦点 t r = a 2 + 以3 = 芦，当芦 0 ，且b 1 = 0 ，则系统 ( 0 - 4 ) 在区域q 上无极限环。 证 考虑d u l a c 函数法 1 3 1 取d u l a c 函数b ( x ，y ) = z 。y r - 1 ( 其中r 待定) ，并且令b l = o ，则关于系 统( 4 ) 有d 三c o ( 百p r b ) + o ( 却q b ) = z 一1 矿一1 2 a 3 2 2 + ( a 2 + r ) z r 】，f i 2 中( z ，7 _ ) = 2 a 3 x 2 + ( a 2 + r ) x r ，取适当的7 使得圣( z ，r ) 为定号，即取7 使得圣( z ，r ) = 0 ，关于z 无实根，因而只要r 满足不等式 ( r ) = b 2 4 a c = ( a 2 + r ) 2 + 8 a 3 7 0 当a 2 + 2 a 3 o 时， ( r ) = o 有正实根r 1 和r 2 ，r l 0 时，只要取r 满足r 1 r o , a ( u ) = 臂夕( z ) 如= e z z 子= e u - - u - - 1 ，g ( 士。) = ( 3 ) ( 描) ，- 型啐孝俨 从而。、c g g ( c 缸z ) h ，7 分别在( 一。，o ) 与( o ，+ 。o ) 上小于o ，从而得描分别 在( 一o o ，o ) 与( o + ) 内不下降，且当o o ；西( 秒) c ( - c o ，+ o 。) 单调且满 足l i p s c h i z 条件，西( u ) 在留= o z _ ，右导数存在，且圣0 ( 钉) 圣( 钉) 0 l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o 。c n 第1 1 页，共2 5 页毕业论文 第二章极限环 由张芷芬唯一性定理定理知 1 4 ，次系统至多存在一个极限环，若存 在，必稳定 综上，当y 0 = a 1 + a 2 + 如 0 , 0 p 。f ( t ) m i n a l ，c 2 ( i = 1 ，2 ) 1 0 那么对于系统( 3 1 ) ，我们引入以下的方程： q 。= ( z 1 ，z 2 ) t i o o = 1 ，2 ) ) b i 目 第1 3 页，共2 5 页 ( 3 - 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) 第三章持久性 则q 。在系统( 3 1 ) 下是一个正不变集且毕竟有界。换句话说，对于每 一个解( z l ( ) ，z 2 0 ) ) t 其中筋( o ) o ( i = l ，2 ) ，存在t 0 ，当舌t ，使 得( z 1 ( 亡) ，z 2 ( 亡) ) t q o 证明假设扛1 ，。2 ) 丁是系统( 3 - 1 ) 的一个解，其中( o ) o ( i = 1 ，2 ) ，则 有： 磊勉( r u 一8 z + k 。m 一。距。) ，( i = 1 ，2 ) ( 3 - 7 ) 由( 3 - 7 ) 和( 3 - 5 ) 我们得到五i ：b 。 b 时，五b i ( r u 一口 鼠+ 后拦l 璀1 ) 鼠，那么存 在正 o ，使得当t 正时戤( 亡) b i ( i = 1 ，2 ) 令t = m a x t 1 ，易) o ，如果t t ，那么( z 1 ( 亡) ，x 2 ( t ) ) r q 。证毕 但是所有在q d 内的解并不能确保系统的持久性，也就是说，不能确保 存在一个k o 使得无论当戤( t ) o ( i = 1 ，2 ) ，有1 i m 。骂匕戤( 亡) 州1 7 】，所以我 们要构建一个正象限的紧集，使得到坐标平面的距离为正。 现在引如以下方程： 邶。) ：1 ( r 一垫) c 淝) = 虿( 乒百+ l 1d v b 3 糕) 令玩 0 b i o ) ，存在一个? o 使得( z l ( ) ，z 2 ( 亡) ) r q 1 ，t t 因 l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o e l l 第1 4 页，共2 5 页毕业论文 第三章持久性 此，系统( 3 - 1 ) 具有持久性。 证明 令 1 ，z 2 ) t 是系统( 3 1 ) 的一个解，且满足黾( 0 ) o ( i = 1 ，2 ) ，通过 引理3 0 1 我 f n - - i 以不失一般性的假设这个解满足( z l ，z 2 ) t q o ，对于任 何t 0 由系统( 3 - i ) ，我们有： 叠。独( r 8 r 铲孥) 由( 3 - 9 ) ，r 一鸶笋 o 另一方面，通过引理3 0 1 的证明，可以选择充分 接近磁的岛来确保插足r 一芝争 o 。通过( 3 - 8 ) ，我们得到： z 1 i z 。：b ，6 1 ( 7 一。r 6 1 一d m b 2 ) o 当z 1 0 因此，存在乃 0 使得 x l ( 亡) b it 乃 ( 3 - 1 0 ) 当亡 互，有： 啦z 2 ( 乒牡。警+ 糕) 由( 3 9 ) 和引理3 0 1 的证明，我们可以选择充分接近磁的玩来确保满 足奶( b 3 o ) ，通过( 3 - 8 ) ，我们得到： 吼。旅6 2 ( 乒n 如：警+ 糕) 。 当z 2 0 因此，存在正 噩使得 z 2 ( 亡) b 2t 乃 ( 3 - 1 1 ) 最后，令t = 正，通过( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) ，我们得到( z 1 ，2 ；2 ) r q 1 t t 也就是说，系统( 3 1 ) 是具有持久性的。 注：显然通过定理3 0 2 的证明可以得到q 1 为正不变集 通过定理3 0 2 的证明我们可以得到以下的推论： l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o a n 第1 5 页，共2 5 页毕业论文 第三章持久性 推论3 0 1假设系统( 3 - 1 ) 满足引理3 0 1 的条件和 d 挚( 2 ) ( ) 则系统( 3 - 1 ) 具有持久性。 i e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o a n 第1 6 页，共2 5 页 毕业论文 第四章周期解 4 1 周期解的存在性 本章我们要通过b r o u w e r 定理来得到系统( 3 1 ) 的严格正周期解的存在 性。为了得到这个结果，我们需要构建另一个正不变集。 我们令 畸= 扣一警， 噶= 扣一警+ 黼k l d l h * ， 引理4 1 1若系统( 3 - 1 ) 满足引理3 0 1 和 r b t d m b ；，r + 稀k l d l h * t d m b , ； 则q 2 = 扛l ，x 2 ) t i 苁e ) 是系统( 3 - 1 ) 的一个正不变集。 ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) 证明假设( z 1 ，x 2 ) t 是系统( 3 1 ) 的一个解，满足 6 奶( o ) 霹( i = 1 ，2 ) ( 4 - 3 ) 由系统( 3 1 ) ，我们有： 疵( r y n 既+ 尼拦1 d 拦1 ) 由( 3 - 4 ) 蚓铂：彤o 通过( 4 - 3 ) ，我们得到 。t ( 亡) 露t 0 进一步，我们还可以得到z 1 z ( r 一n r z l t d m r b * ) 通过( 4 - 1 ) ( 6 的定义) ，( 4 - 3 ) 和z l ( o ) 6 ，我们得到： z 1 ( 亡) 醴t 0 n f 4 ；y 法，我们得到： a 2 _ x 2 ( 砖叫沈一警+ 鞲b 竺l l d l i * ) 。 第17 页，共2 5 页 ( 4 - 4 ) ( 4 - 5 ) 第四章周期解 通过( 4 1 ) ( 6 的定义) ，( 4 - 2 ) 和( 垂3 ) ，我们得到： x 2 ( t ) 蜒t 0 ( 4 _ 6 ) 显然，6 o ( z = 1 ，2 ) 是系统( 3 1 ) 的其余解通过毋的不变 性，可以令 祝( 亡) = i n v i ( t ) ，2 i ( t ) = i n x i ( t )( i = 1 ，2 ) 运用l y a p u n o v 函数 u ( 亡) = 瞰亡) 一础) i ，t 0 现在我们可以通过系统( 3 - 1 ) 的解计算汐( 亡) 的右偏导d + u ) ： d + ( 亡) = d + 眦) 一磊( 亡) i = d + m ) 一或( ) i = s 9 礼( 祝( ) 一或( 亡) ) ( 魂( 亡) 一稚) ) 喜 砥禹v i 毪a ( t 熬x i 丽她“驯+一鲁。( q 一1 ( 亡) + 一l ( t ) ) ( 白一) +一1 ( 亡) ) r 卜从吖 “卜u 吖 - a i ( t ) + 石疋万j 乏笔篆旁犏) i 饥 ) 一规( 亡) i + 揣h + l ( 亡) - - x i + i ( 亡) 1 - - 砉 罐铲州她_ 1 ( 卅( 哪以) + 觜撇h 圳+ 鬻川d - - x i + 1 ( 圳= 喜c 锵咱+ 紫+ 糍m 舡h 圳 一q ( t ) i v i ( t ) 一现( 亡) l = 一q ( 亡) ie x pt ( t ) 一e x p ：誊删0 i , e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o c l l 第2 0 页，共2 5 页 ( 垂9 ) 毕业论文 第四章周期解 所以u ( ) 为单调不增，因此0 u ( t ) 扩( o ) 因为秽( 芒) 在q 1 内有界，玩 忱( ) 鼠( i = 1 ，2 ) 因此，祝( t ) ( t = 1 ，2 ) 是有界的通过 l 曩( 亡) i i 饶( 亡) 一磊 ) i + 魂 ) i u ( t ) + j 谠( 亡) l u ( o ) + l 谠( 亡) i( i = l ，2 ) 我们得到磊( 亡) 和既( 亡) 0 = 1 ，2 ) 都是有界的不失一般性，我们假设存在m o 0 使得 m 口z 陬( 亡) i ，l 祝( 亡) l ( t = 1 ，2 ) ) m o 所以我们有 e e x p 矛i ( t ) 一e x ps ：t ( t ) i = ee x p 邑( 亡) i 祝( 亡) - - x t ) i 7 7 ei 魂( 芒) 一娩 ) i = m u ( t ) i = 1i = 1i = 1 ( 4 - 1 0 ) 这里，已( 1 ) 是在魂( j ) 和豇( 亡) 之间的一个有界函数，m = e - m o 0通过 ( 4 - 9 ) 和( 4 - 1 0 ) ，得到 d + u ( t ) - m a ( t ) u ( t ) ( 4 - 1 1 ) 通过比较定理的方式，得到 0 紫+ 觜+ 丽d i - x ( t ) ( 渊 2 ) 如果系统( 3 - 1 ) 满足( h 1 ) 或者( h 2 ) 的假设，那么系统( 3 - 1 ) 具有唯 一的严格正t 一周期解的全局吸引性。 证明：如果系统( 3 1 ) 满足( h 1 ) ，令 一q = 鼢h 卅、k i ( t ) 矿d i ( t ) + 哿+ 措施_ 1 ，2 ) ) 。， 则我们选择如下q ( 亡) ：q ( 亡) = o t 运用定理4 2 1 得到系统( 3 - 1 ) 具有唯一的严格正t 周期解的全局吸引 性。 如果系统( 3 - 1 ) 满足( h 2 ) ，我们可以用同样的方式证明。 l e e 3 2 4 5 2 0 y a h o o a l l 第2 2 页，共2 5 页毕业论文 参考文献 1 】h i l b e r t ，d ，m a t h m a t i s c h ep r o b l e m ，a r c h i vd e rm a t h u p h y s 1 9 0 1 ，1 ，2 1 3 - 2 3 7 【2 】d u l a c ，h ，s u rl e sc y c l e sl i m i t e s ，b u l l s o c m a t h d ef r a n c e ，1 9 2 3 ，5 1 ，4 5 1 8 8 【3 】3d i l i b e r t o ，s ，p o ns y s t e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c o n t r i b u t i o n t ot h et h e o r yo fn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，1 9 5 0 ，i ，1 - 3 8 4 】史松龄，二次系统( 易) 出现至少四个极限环的例子( j 】，中国科 学，1 9 7 9 ，1 1 ，1 0 5 1 1 0 5 6 【5 】5 陈兰荪、王明淑，二次系统极限环的相对位置与个数 j 】，数学学 报，1 9 9 6 ，2 2 ，6 ，7 5 1 7 5 8 【6 】z e n gg u a n g z h a o ，c h e nj u f a n g p e r s i s t e n c ea n dp e r i o d i co r b i t s f o rt w o - s p e c i e sn o n a u t o n o m o n sd i f f u s i o nl o k t a - v o t e r r am o d e l s j m a t h e m a t i c a l a n dc o m p u t e rm o d e l l i n g ，1 9 9 4 ，2 0 ( 1 2 ) ：6 9 - 8 0 7 】y a n g p i n g h u a ，x u r u g l o b a l a t t r a c t i v i t y o ft h e p e r i o d i c l o k t a - v o t e r r a s y s t e m j j o u r n a l o fm a t h e m a t i c a l a n a l y s i s a n d a p p l i c a t i o n s ，1 9 9 9 ，2 3 3 ( i ) ：2 2 1 2 3 2 8 】沈聪，沈伯毒一类稀疏效应下的捕食系统存在唯一极限环的充要条 件 j | 生物数学学报，2 0 0 3 ，1 8 ( 2 ) ：2 0 7 - 2 1 0 【9 】丘宗敏，胡志兴一类具功能反应的食饵一捕食者两种群模型的极限环的 唯一性【j 】生物数学学报，2 0 0 5 ，2 0 ( 2 ) ，1 6 9 - 1 7 2 【1 0 】l i x i u y i n g ，w a n g w e n - d i q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fp r e d a t o rp r e ys y s t e m w i t hh o l l i n gt y p eif u n c t i o nr e s p o n s e j j o u r n a lo fs o u t h w