（基础数学专业论文）纤维拓扑的可数紧性.pdfVIP

摘要 内容摘要：可数紧性在一般拓扑空间中占有一定重要的地位，有一些有趣的性质。 同样，可数紧性在纤维拓扑空间中也具有一定重要地位，相应的也有一些有趣的 相关性质。本文结合一般拓扑空间中已有的可数紧性、局部紧性定义及其相关性 质，在纤维空间中讨论了点式纤维可数紧空间、纤维可数紧空间、纤维局部可数 紧空间的定义及其相关性质。并且进一步讨论了在m 只范畴( 对象是不同底的纤 维拓扑空间，对于对象( x ，p ) ，( y ，q ) ，它们之间的态射是连续偶( 厂，旯) ，满足： 兄p = g ) 中的态射满足什么条件时仍能保持( 逆保持) 点式纤维可数紧性、纤 维可数紧性和局部可数紧性。 关键词：点式纤维可数紧性：纤维可数紧性：纤维局部可数紧性：t o p , 范畴： 兀坦范畴。 a b s t r a c t c o n t e n t ：t h ec o u n t a b l ec o m p a c t n e s sh o l d si m p o r t a n ts t a t u si ng e n e r a lt o p o l o g i c a l s p a c e s a n di th a ss o m ei n t e r e s t i n gp r o p e r t i e s a l s o ，t h ec o u n t a b l ec o m p a c t n e s sh o l d s i m p o r t a n ts t a t u si nf i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e s ，a c c o r d i n g l yi th a ss o m ei n t e r e s t i n g p r o p e r t i e s c o m b i n e dw i t ht h ea n a l y s i so ft h ee x i s t e dc o u n t a b l ec o m p a c t n e s s ，l o c a l l y c o u n t a b l ec o m p a c t n e s sa n dt h e i rc o r r e l a t i v ep r o p e r t i e s ，o u rp a p e rd i s c u s s e di n f i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e st h ec o n c e p t i o no fp o i n t - f i b r e w i s ec o u n t a b l ec o m p a c t s p a c e s ，f i b r e w i s ec o u n t a b l ec o m p a c ts p a c e s ，f i b r e w i s el o c a l l yc o u n t a b l ec o m p a c t s p a c e sa n dt h e i rc o r r e l a t i v ep r o p e r t i e s b e s i d e st h ec o n d i t i o n sw h i c ht h em o r p h i s m s h o u l ds a t i s f yt op r e s e r v e ( i n v e r s e l yp r e s e r v e ) p o i n t - f i b r e w i s ec o u n t a b l ec o m p a c t n e s s ， f i b r e w i s ec o u n t a b l ec o m p a c t n e s s ，f i b r e w i s el o c a l l yc o u n t a b l ec o m p a c t n e s si nt h e c a t e g o r y ( t h eo b j e c t sa r et h ef i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e so v e rd i f f e r e n tb a s e s ，f o rt w o o b j e c t sam o r p h i s mf r o mx t oyi sa p a i ro f c o n t i n u o u sm a p ss u c ht h a t 2 , p = g f ) k e yw o r d s ：p o i n t - f i b r e w i s ec o t m t a b l ec o m p a c t n e s s ；f i b r e w i s ec o u n t a b l ec o m p a c t n e s s ；f i b r e w i s el o c a l l yc o u n t a b l ec o m p a c t n e s s ；t o p nc a t e g o r y ；t o p c a t e g o r y 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论 文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表 过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论 文中做了明确的声明并表示谢意。 一躲巷书 日期：舯心 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完伞了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 及学校有权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅 和借阅。本文授权辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库并进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。保密的学位论文在解密后使用本授权书。 一鼢鸯中 指导撕签名：专易驴 日 期：。俐。 岁 1 前言 1 1 问题的提出 纤维拓扑空间是以某一拓扑空间为底的。当底空间只有一点时，纤维 拓扑空间理论就是一般拓扑学理论了。以拓扑空间b 为基的纤维拓扑空间 是一偶( x ，p ) ，其中x 是拓扑空间，p 是连续映射，x 上的纤维拓扑是使连续 的任意拓扑。最粗的拓扑是由p 导出的，h p x 的每个开集是b 中开集的逆象。 例如：对于任意拓扑空间t ，b 和t 的拓扑乘积b t 就可以看作是以b 为底 的纤维拓扑空间。早在两个世纪以前，r i e l n a n n 就己经提出了纤维拓扑的思 想但是直到上个世纪三十年代，h u r e w i c z 研究纤维空间时才发展了这一理 论。再晚些时候，w h i n t e y 研究纤维丛时发展了纤维观点，于是在他们研究 的基础上产生了现代纤维拓扑理论。w h y b u r e 是第一个采用纤维观点的拓扑 学家，接着w h y b u r e 前面的工作之后，c a i n 【1 】和其他人又做了一些工作，包 括p a s y n k o v 2 和他在前苏联的学生b o o t h 和b r o w n 3 】，【4 】第一次在纤维映射空间 构造了令人满意的纤维拓扑。最近，b o o t h - b o r w n 拓扑己被l e w s i 恢复 5 】。在纤 维拓扑空间中，许多概念都是一般拓扑空间中重要概念的纤维对应。在某些 情况下，纤维拓扑空间具有的特殊性质等价于它的每个纤维具有这些性质。 但是大多数情况下，这种等价性是不存在的。于是就要求底空间上的拓扑起 到一定的作用。例如：以b 为基的纤维拓扑空间x 是纤维闭的，若p 是闭的。许多 著名的数学家都对研究纤维拓扑空间有很大的兴趣，得出许多重要的结果， 参见6 1 1 1 1 。i m j a m e s 在1 9 8 7 年对纤维拓扑空间理论进行了系统的整理【1 2 】。 在 1 2 1 的前半部分，i m j a m e s 详细地阐述了纤维拓扑空间的来源，给出了纤维 拓扑空间中紧性质和局部紧性质的定义和许多相关重要性质。而在一般拓扑空 间中数学家们对紧性进行了进一步的推广，其中就讨论到了可数紧性，得出许 多重要的结果，参e 1 3 1 一 1 5 1 。那么我们自然会想到在纤维拓扑中可数紧性也会 有其相应的定义和性质等待我们去讨论。而且大多数数学家给出的纤维拓扑空 间的性质都只是同底纤维拓扑空间具有的，我们自然会想到不同底的纤维拓扑 空间之间是否仍具有这些性质? 这就是本文所要讨论的一些问题。 1 2 文章结构与内容简介 除前言外，文章分成五部分第一部分介绍了正文中一些符号的含义以及 必要的预备知识。本文主要是讨论纤维拓扑范畴中的可数紧性质，所以第二， 三，四部分分别讨论了在同底纤维拓扑空间范畴中点式纤维可数紧性、纤维可 数紧性、纤维局部可数紧性的定义及其相关性质。第五部分进一步讨论了在不 1 纤维拓扑的可数紧性 同底纤维拓扑空间范畴中态射满足什么条件时仍能保持( 逆保持) 点式纤维可 数紧性、纤维可数紧性和局部可数紧性。 2 预备知识 令b 是一基集，以b 为底的纤维集是一偶( x ，p ) ，其中x 是任意集，称p 为 投射。对于任意点，x 的子集称为纤维。纤维有可能是空的，因为并不要求p 是 满射。对于任意b 的子集，x 的子集称为以b 为底的纤维集。令b 是一给定的拓 扑空间，x 是以b 为底的纤维集。若x 上的拓扑使得p 是连续的，则称x 上的拓 扑为纤维拓扑。以b 为底的纤维集及其上的纤维拓扑构成以b 为底的纤维拓扑 空间。x ，y 是以b 为基的纤维拓扑空间，p ：x b ，q ：y d 是连续 映射。f 是x n y 的映射若f 是连续的且满足qoi = p 则称f 为x n y 的一个连续 纤维映射。以b 为底的纤维拓扑空间为对象，以连续纤维映射为态射构成一个 范畴，称为纤维拓扑范畴，记为t o p e 范畴。同样以不同基的纤维拓扑空间为 对象，以连续映射为态射也构成一个范畴，我们称为广义纤维拓扑范畴，记 为t o p 范畴。现在我们给出t o p 范畴中的一些概念，对于更多的细节可以 参考f 1 2 】如无特殊声明本文所讨论的空间都是指拓扑空间，映射都是连续的， 邻域都是开邻域。 定义2 1 设x ，y 是b 上纤维集，相应的投射分别为p ，q ，如果，：x - y 满 足：q0r = p 且f 是开的，则称f 是x 至! i j y 的纤维开映射。 定义2 2 设x ，y 是b 上纤维集，相应的投射分别为p ，q ，如果，：x _ y 满 足：qo ，= pl f l _ f 是闭的，则称f 是x 到y 的纤维闭映射。 定义2 3 设x ，y 是b 上纤维集，相应的投射分别为p ，q ，如果满足：goi = p 1 t f , 是连续映射，则称f 是x n y 的连续纤维映射。 定义2 4 设x ，y 是两集合，如果映射i ：x y 满足：对任意y e y ，- x ( 秒) 为 有限集，则称f 是x 到y 的有限对一映射。 定义2 5 设x 是一个拓扑空间，如果x 的每一个可数开覆盖都有有限子覆 盖，则称拓扑空间x 是一个可数紧空间。 定义2 6 设x 是一个拓扑空间，如果每一点都具有一个紧领域，则称拓扑 空间x 是一个局部可数紧空间。 定义2 7 设x 为无限集，如果点x 的任何邻域包含集合x 的无限个点，则称 点x 为无限集的u 聚点。 定义2 8 设x 是b 上的纤维拓扑空间，拓扑空间x 是点式纤维可数紧空间： 任意x b ，b b ，对于溉的每一个f h x 的开集组成的可数开覆盖r ，都存在r 的 有限子族覆盖x b 。即x 的每个纤维都是可数紧的。 2 纤维拓扑的可数紧性 定义2 9 设x 是b 上的纤维拓扑空间，拓扑空间x 是纤维可数紧空间：任 意x b ，b b ，对于的每一个由x 的开集组成的可数开覆盖r ，都存在w p ( 6 ) 和r 的有限子族i 、，使得r ，覆盖x 。 定义2 1 0 设x 是b 上的纤维拓扑空间，拓扑空间x 是纤维局部可数紧空 间：任意x 6 ，b b ，存在w p ( 6 ) 和u p ( z ) ，使得u 在x 中的闭包x wn 口在w 上是纤维可数紧的。 定义2 1 1 设x 是b 上的纤维拓扑空间，如果对任意z ，z 7 e x 6 ，b e b 且z z 7 ， 在x 中都存在x ，z 的两个不交邻域，则称纤维拓扑空间x 是纤维h a u s d o r f f 空间。 定义2 1 2 设x 是b 上的纤维拓扑空间，如果对任意x e x b ，b e b ，y 掣( z ) ，都 存在w e 肛( 6 ) ，u c p ( z ) k u x w ，使得u 在x w 的闭包x wn 驴包含在v 中，则 称纤维拓扑空间x 是纤维正则空间。 定义2 1 3 设x ，y 是b 上的纤维集，相应的投射分别为p ，q ，如果f ：x _ y 满足：入op=q o ，且对任意，k ，b e b ，】= y b ，则称堤x 到y 的同底保 纤维映射。 定义2 1 4 设x 是b 上的纤维集，y 是d 上的纤维集，相应的投射分别 为p ，q ，如果，：x y ，a ：x y 满足下图可交换，且对任意x b ，b e b ，使 得f x b 】= y x ( b ) ，则称f 是x 到y 的不同底保纤维映射。 x ly p 上口上 b 立_ d 定义2 1 5 设x 上的纤维h a u s d o r f f 空间，y 是上的纤维拓扑空间，相应 的投射分别为p ，q ，如果f ：x _ y 满足：a 0p =q0 ，且f 是闭的，对任 意y e y ，f - 1 ( ) 是x 中紧集，则称f 是x t j j y 的完全纤维映射。 3 点式纤维可数紧空间 3 1 点式纤维可数紧定义 在一般拓扑空间中，可数紧具有重要的作用，纤维拓扑空间是以某一拓扑 空间为底的。当底空间只有点时，纤维拓扑空间理论就是一般拓扑学理论 了。所以，一般拓扑空间中的许多概念和性质都可以过渡到纤维拓扑空间中， 但通常要考虑到该概念和性质与纤维空间的每个纤维的关系。下面讨论由一般 拓扑空间中的可数紧概念过渡而来的纤维空间中的点式纤维可数紧概念及其等 价刻划。 3 纤维拓扑的可数紧性 命题3 1 1 ：x 是b 上的纤维拓扑空间，则拓扑空间x 是点式纤维可数紧空 间当且仅当任意，b b ，x 中任何一个非空闭集族 r ) z + 在上交空，则 # k n z + 使得 气) 知1 在上交空。 证明：( 弓) 设x 是b 上的纤维拓扑空间，且拓扑空间x 是点式纤维可数紧空 间， r ) z + 为x 中任何一个非空闭集族且在上交空，即 ( n 只) n x b = 垂， i c z , + 则1 砰 - i z + 是的可数开覆盖。a x 是点式纤维可数紧空间知，存在铭瓦使 得 气) 饕- 覆盖托，即 u 露2 捣 j = l 则 ( u 巧) c ( ) c ， j = l 所以 ( n 巳) n x b = 圣 j = l ( 乍) 任意x a ，b b ，设r = a ) 诞缉是的由x 的开集组成的可数开覆 盖，即 u a i2 i e z + 则 ( n 鬈) nx b = 圣 c z + 故 a ；) i z + x x 中一个非空闭集族且在上交空，由已知条件知，存在礼 丑使得 ( na 艺) nx b = 垂 j = l 从而 n ( na 0 ) 。2x b 即存在r 的有限子族覆盖托。所以，拓扑空间x 是点式纤维可数紧空间。 4 r 、一哆 a n u 州 此因 纤维拓扑的可数紧性 推论3 1 2 ：x 是b 上的纤维拓扑空间，则拓扑空间x 是点式纤维可数紧空 间当且仅当任意x b ，6 b ，x 中任何一个在托上具有有限交性质的非空闭集 族 r ) t 4 在上交不空。 命题3 1 3 ：x 是b 上的纤维拓扑空间，则拓扑空间x 是点式纤维可数紧空 间当且仅当任意，6 b ，x 中任何一个与托交非空的下降闭集列 r ) 讵巩在托上 有非空交，即 ( f1 只) nx b 圣 i 6 z + 证明：( 弓) 设 r ) t z + 为点式纤维可数紧空间x 的非空下降闭集列，假 设( n 乙e ) nx b = 圣。于是， 耳 缉是的一个可数开覆盖。由拓扑空 间x 是点式纤维可数紧空间知，它有有限子覆盖，设为 冗) 銎。，由此可得 设f = r a x n t ：，t 。) ，则fnx b = 圣，与已知矛盾。所以 ( n 只) nx b 圣 i 6 z + ( 乍) 任意托，6 b ，设 e ) f z + 是x 中任何一个与交非空的下降闭集列 且在上有非空交，h p ( n i 厶e ) nx b 西，假设拓扑空间x 不是点式纤维可数 紧空间，则存在，6 b ，和它的一个可数开覆盖，设为 阢 t 4 没有有限子 覆盖，即任意i 缸，令 t = 【j ， j = l 则_ 【k ) t z + 为的一个可数开覆盖，且无有限子覆盖。显然k k ，因此w ，曙，垮，是与交非空的下降闭集列，所以 ( nk 。) n 圣 i 孔 由此可见u i z + k 不包含拖。也就是说，( k ) i z + 不是x b 的一个开覆盖，矛盾。 所以，拓扑空间是点式纤维可数紧空间。 命题3 1 4 ：x 是b 上的纤维拓扑空间，则拓扑空间x 是点式纤维可数紧空 间当且仅当任意，b b ，托中任意序列在托中都有聚点。 5 r 、一 n u 趟 i e i = nr 竹n m i un 纤维拓扑的可数紧性 证明：( 昔) 任意x b ，b b ，设 z n ) 为托中的序列，令r = z 。+ t ：i = 0 ，1 ，2 ) ( n = l ，2 ，) ，则f = i 可是上具有有限交性质的可数闭集 族，t a x 是点式纤维可数紧空间知，f 在尥上交非空，即存在z 且z n n 孔瓦，故 z n ) 在中有聚点x 。 ( 乍) 设 r ) n e z + n x o e 在扎交不空的一个具有有限交性质可数闭集族，取 则 z n ) 为中序列，所以 z 。) 在托中有聚点，设为x ，显然z r ，( t t = 1 ，2 ) ，即在托中具有有限交性质的可数闭集族 r ) n e z + 在上交不空。 命题3 1 5 - 设x 是b 上纤维拓扑空间，对任意托，b e b ，中每一序列在 中都有聚点，当且仅当恐中每一无限集都有u 聚点。 证明：( 弓) 设对任意x b ，b o b ，x 6 中每一序列在虬中都有聚点，设a 为 中一无限集，设由a 中不同的点形成的序列为【) n 。4 则【) 。z + 在甄中有 聚点，设为x 显然，x 为a 在上的“，聚点。 ( 乍) 设对任意x b ，b e b ，托中每一无限集都有u 聚点。设 艇z + 为 中序列，分情况： 此序列中不同点所组成的集合是无限集，则此无限集在也中有u 聚点所 以此聚点为 ) n e z + 在溉上的聚点 此序列中不同点所组成集合为有限集，则存在某点x 在序列中出现无限 次，于是组成托中无限集a = z ，z ，) 三显然z 为a 的u 聚点且唯一，所 以z e 甄又因为= z 对于无限个自然数1 2 都成立，则点z 是 k ) 饿4 的聚点所 以 x n ) n 。z + 在中有聚点。 命题3 1 6 ：设x 是b 上纤维h a u s d o r f f 空间，对任意硫，b e b ，凰中无限集都 有u 聚点，当且仅当中无限集都有聚点。 证明：( 爿) 由u 聚点定义知，显然中无限集都有聚点。 ( 乍) 对任意托，b e b ，设a 为拖中一无限子集，x 为a 在拖中的凝聚 点。若存在u e u ( z ) ，使得na 为有限集，则b = ( u na ) z 】也是一有限集 因为x 为b 上纤维h a u s d o r f f 空间，则b 为托中闭集。贝u u b 为x 的一开邻域。 但 ( b ) ( z ) 】na = 与x 为a 在托中的凝聚点矛盾。 命题3 1 7 ：设x 是b 上纤维h a u s d o r f f 空间，则为点式纤维可数紧空间当且 仅当对任意，b e b ，中每无限集在拖中都有聚点。 证明：由命题3 1 3 ，3 1 4 ，3 1 5 ，3 1 6 易证。 6 b xn n n 岸 n z 纤维拓扑的可数紧性 3 2 点式纤维可数紧空间的性质 在一般拓扑空间中，给出可数紧概念后，相应产生了许多关于可数紧空间 的性质。纤维拓扑空间是以某一拓扑空间为底的。当底空间只有一点时，纤维 拓扑空间理论就是一般拓扑学理论了。所以，一般拓扑空间中的性质都可以过 渡到纤维拓扑空间中，但通常要考虑到该性质与纤维空间的每个纤维的关系。 我们给出了点式纤维可数紧空间的概念，与给出一般拓扑空间中可数紧概念一 样，相应的也会产生关于点式纤维可数紧空间的性质。例如：点式纤维可数紧 空间是否具有闭遗传性，映射满足什么条件时可保持( 逆保持) 点式纤维可数 紧性，点式纤维可数紧空间的和空间是否仍然是点式纤维可数紧空间等等。下 面我们对点式纤维可数紧空间的这些性质进行讨论。 定理3 2 1 ：点式纤维可数紧空间的每个闭子空间也是点式纤维可数紧 的。 证明：设x 是b 上点式纤维可数紧空间，a 为x 闭子空间，对任意a ， b e b ，则存在x b ，b e b ，使得a 6 = x bna 设 a ) i e z + 为a 6 的在a 内可数开覆盖， 则存在x 的开集族 c d i e z + 使得a i = gna ，i e z + ，则 ( ij g ) ua 。2 f = 1 因为x 为点式纤维可数紧空间，则存在m e z + 使得 则 令鼠j = g ，n a ，则 t t i ( u ) u a 。三x b j = l c u c , j ) u a2x bna = a ， j = l ( u 毛) u a b 所以，a 为点式纤维可数紧空间。 定理3 2 2 ：设x 是b 上点式纤维可数紧空间，y 是b 上纤维拓扑空间，： x y 为保纤维映射，则y 也是点式纤维可数紧空间。 证明：设对任意k ，b e b ，设 以) i z + 为k 的可数开覆盖，由f 是保纤维映 射，知【，一1 【玩】k z + 为的可数开覆盖，因为x 是点式纤维可数紧空间，则存 在m e z + ，使得 m u 厂1 【】x b 7 纤维拓扑的可数紧性 则 所以，y 也是点式纤维司数紧空间。 定理3 2 3 ：设x 是b 上纤维拓扑空间，y 是b 上点式纤维可数紧空间，f ： x _ y 为保纤维开映射，则x 也是点式纤维可数紧空间。 证明：设对任意x b ，b e b ，设= a i ) i 。z + 为托的可数开覆盖，由f 是保纤 维开映射，知【厂t 】k 况为k 的可数开覆盖，因为y 是点式纤维可数紧空间， 则存在m 4 ，使得 ，f a 巧】) 器l 为k 的有限子覆盖，又因为f 是保纤维开映射， 则 a 匆 器l 为溉的有限子覆盖，所以，x 也是点式纤维可数紧空间。 定理3 2 4 ：设x ，y 是b 上纤维拓扑空间，：x y 为保纤维闭映射，对 任意v c y , ，1 ( ) 是点式纤维可数紧的，z 为y 中任意点式纤维可数紧子集， 则厂- 1 【刁为点式纤维可数紧的。 证明：对任意托，_ 1 ( 司，b e b ， 设 疋 艇z + 为弱上具有有限交性质的闭集族，往证 ( n 只) nx b 西 a e z + 由沩闭映射知，f z ：，- 1 【司一z 为闭映射，则 ，【只】) 。z + 为z 的在k 上具有有 限交性质的闭集族。因为z 是点式纤维可数紧的，则存在 班( n ，【只】) nw b n z z + 则对任意s c z + ， f - i ( 秒) n 疋n ，一1 v b 】= fl ( 影) n e n x b 圣 所以， ，一1 ( 芗) ne ，fl ( ) nx b 圣 又因为，一1 ( 秒) 为点式纤维可数紧的， e ) - 。z + 为上具有有限交性质的闭集族 则 ，以( 秒) nx bn ( nr ) 圣， 则 托n ( n e ) 垂 所以，。【刁是点式纤维可数紧的。 8 圪 r 、一 耽 m u 触 纤维拓扑的可数紧性 定理3 2 5 ：和空间。日。s x ，( 其中对任意s e s ，b 上纤维拓扑空间咒垂 ) 是点式纤维可数紧空间，当且仅当每个x 。是点式纤维可数紧空间且s 是有限 集。 证明： ( 乍) 对任意的托o b 。s 也，设设= a i i 。z + 为的可数开覆盖， 则对任意s e s u ( a t n a s ) i = l 为x 舶的可数开覆盖。因为。k 为点式纤维可数紧空间，则存在f 乏0 ，使得 所以， n 0 u u 2u 五。= 托 占e s i = l占e s 因为s 是有限集，则可由 a f k z + 的有限元覆盖。 ( = 辛) 对任意咒。e 墨，b e b ，设= a 以k z + 为咒。的可数开覆盖，则 u u a 乳 8 e s 诞z 为 u k 。= 尥 8 s 的可数开覆盖因为o b ，。s x 。为点式纤维可数紧空间，则存在 a 以) ：记瓦，5 e s ) 的有限子族覆盖则存在嘞4 ，使得 所以，x 。是纤维可数紧空间。 4 纤维可数紧空间 4 1 纤维可数紧定义 在某些情况下，纤维拓扑空间具有的特殊性质等价于它的每个纤维具有这 些性质。但是大多数情况下，这种等价性是不存在的。于是就要求底空间上的 拓扑起到一定的作用。i m j a m e s 在1 9 8 7 年对纤维拓扑空间理论进行了系统的整 9 墨 r 、一 0 xu q u 触 即 x r 、一町 a u 闩 纤维拓扑的可数紧性 理f 1 2 】。在f 1 2 1 中，i m j a m e s 详细地阐述了纤维拓扑空间的来源，给出了纤维拓 扑空间中紧性质的定义和许多相关重要性质。其中提到，纤维紧空间的一等价 定义为：设x 是b 上的纤维拓扑空间，x 是纤维紧空间：x b ，b e b ，对于托的每 一个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在w p ( 6 ) 和r 的有限子族r ，使得r ，覆 盖x w 。该定义不仅考虑到一般拓扑空间中紧性与每个纤维之间的联系，进一 步考虑到它与底空间领域的纤维的关系。于是，我们进一步讨论在考虑到每个 纤维与底空间领域的纤维后，可数紧性在纤维空间中的概念的过渡及其等价刻 划。 命题4 1 1 ：x 是b 上的纤维拓扑空间，则拓扑空间x 是纤维可数紧空间 当且仅当任意虬，b b ，x 中任何一个非空闭集族 r ) i e z + 在x 6 上交空，则存 在w p ( 6 ) ，n 4 使得_ ( r ，) 翟】在x w 上交空。 证明：( 乍) 设x 是b 上的纤维拓扑空间，且拓扑空间x 是纤维可数紧空 间， 只) t 4 为x 中任何一个非空闭集族且在托上交空，虽l j ( n 记乳r ) n = 西，则( 砰) l z + 是的可数开覆盖。由x 是纤维可数紧空间知，存在w p ( 6 ) ，佗况使得 吆) 譬1 覆盖x w ，即 所以 ( u 吒) 。( 撕) 。 j = l 则 n ( n a , ) n x w = 圣 j = t ( ) 任意托，b b ，设r = a i i z + 是托的由x 的开集组成的可数开覆 盖，即u i 4a i2x b ，则( n i z + 筲) nx 6 = 圣，故 禽) t z + 为x 中一个非空闭集 族且在上交空，由己知条件知，存在w p ( 6 ) ，n 4 使得 ( n 月0 ) nx w = 圣， j = t 则 ( na 0 ) 。2x w j = l 所以 ua 咕2 蜥 j = t 即存在r 的有限子族覆盖x 。所以，拓扑空间x 是纤维可数紧空间。 1 0 x r 、一 n u 岸 纤维拓扑的可数紧性 4 2 纤维可数紧空间的性质 在i m j a m e s 整理的系统的纤维拓扑空间理论e 1 2 。i m j a m e s 详细地阐述 了纤维拓扑空间的来源，给出了纤维拓扑空间中紧性质的定义和许多相关重要 性质。这些性质在我们给出纤维可数紧概念后是否依然成立呢? 例如：纤维可 数紧空间是否具有闭遗传性，映射满足什么条件时可保持( 逆保持) 纤维可数 紧性，纤维可数紧空间的和空间是否仍然是点式纤维可数紧空间等等。下面我 们对纤维可数紧空间的这些性质进行讨论。 命题4 2 1 ：纤维可数紧空问的每个闭子空间也是纤维可数紧的。 证明：设x 是b 上纤维可数紧空间，a 为x 闭子空间，对任意a b ，b e b ，则存 在x b ，b e b ，使得a 6 = x bna 设【a ) 记z + 为a 的在a 内可数开覆盖，则存在x 的 与a 交不空的开集族( q k z + 使得a = g r la ，i e 2 r + ，则 ( u g ) u a 。2x b i = l 因为x 为纤维可数紧空间，则存在叫( 6 ) ，m e z + 使得 c u c , ，) ua 。2x w j = l 则 m u c , j ) ua 2x wr la = a b ， j = 1 令黾j = g j r la ，则 ( u b i j ) u a w j = x 所以，a 为纤维可数紧空间。 命题4 2 2 ：设x 是b 上纤维可数紧空间，y 是b 上纤维拓扑空间，f ： x y 为保纤维映射，则y 也是纤维可数紧空间。 证明：设对任意，b e b ，设 以k 4 为k 的可数开覆盖，由f 是保纤维 映射，知( 厂一1 【阢m 。z + 为托的可数开覆盖，因为x 是纤维可数紧空间，则存 在w e p ( b ) ，m c z + ，使得 u 厂1 y d x w j = l 则 m u 2 y w ， j = x 所以，y 也是纤维可数紧空间。 1 1 纤维拓扑的可数紧性 命m 4 2 3 ：设x 是b 上纤维拓扑空间，y 是b 上纤维可数紧空间，f ： x y 为保纤维开映射，则x 也是纤维可数紧空间。 证明：设对任意x b ，b e b ，设= a h z + 为托的可数开覆盖，由f 是保纤 维开映射，知 ，陋i 】k 缉为k 的可数开覆盖，因为y 是点式纤维可数紧空间， 则存在w c # ( b ) ，m c z + ，使得 ，陋t ，】) 凳1 为的有限子覆盖，又因为f 是保纤维 开映射，贝1 j a i j ) 凳l 为x w 的有限子覆盖，所以，x 也是纤维可数紧空间。 命题4 2 4 ：设x ，y 是b 上纤维拓扑空间，f ：x y 为保纤维闭映射，对 任意y e y , f - 1 ( ) 是纤维可数紧的，z 为y 中任意纤维可数紧子集，则厂1 【z 】为 纤维可数紧的。 证明：对任意托f - 1 【z 】，b e b ， 设 只) 。瓦为x 上具有有限交性质的闭集族，往证 ( n 冗) n x b 西 8 e z + 由伪闭映射知，y z ：f - 1 【别一z 为闭映射，则 ， b 】) 艇z + 为z 的在虼上具有有 限交性质的闭集族。因为z 是纤维可数紧的，则存在 班( n ， e 】) ny b s e z + 则对任意s e 瓦， f - x ( 秒) f qe nf - 1 阱】= f - 1 ( y ) nenx b 圣 所以， f - 1 ( 秒) ne 圣，f - 1 ( y ) nx w 圣 又因为厂一1 ( 可) 为纤维可数紧的， e ) 。z + 为x 上具有有限交性质的闭集族则 厂1 ( y ) nx bn ( ne ) 圣， 则 托n ( nr ) 圣 所以，f - 1 【勿是纤维可数紧的。 命题4 2 5 ：和空间0 b 。巧x 。( 其中对任意s e s ，b 上纤维拓扑空间扎西 ) 是纤维可数紧空间，当且仅当每个磁是纤维可数紧空间且s 是有限集。 证明： ( 告) 对任意的托e o 且蚶托，设设= 【a i i 。z + 为的可数开覆盖，则 对任意s e s ， u ( a tn a 。) i = l 12 纤维拓扑的可数紧性 为咒。的可数开覆盖。因为托为纤维可数紧空间，则存在w e # ( b ) ，n 。e z + ，使得 n u ( a 弓u 咒) 2 咒w j = l 所以， n j u u 2u 咒。= x w 8 e s i = l8 e s 因为s 是有限集，则x 可由( a i h z + 的有限元覆盖。 ( 争) 对任意墨。e 托，b e b ，设= a * ) 记z + 为瓦。的可数开覆盖，则 u ua 啾 j e s 记z 上 为 u 咒。= 3 s 的可数开覆盖因为0 b 。s x ，为纤维可数紧空间，则存在e p ( 6 ) ，( a 以：i c z + ，s e s ) 的 有限子族覆盖x ，则存在仉e z + ，使得 n j u a 即2x 。w i = 1 所以，咒是纤维可数紧空间。 5 纤维局部可数紧空间 5 1 纤维局部可数紧定义 在某些情况下，纤维拓扑空间具有的特殊性质等价于它的每个纤维具有这 些性质。但是大多数情况下，这种等价性是不存在的。于是就要求底空间上的 拓扑起到一定的作用。i m j a m e s 在1 9 8 7 年对纤维拓扑空间理论进行了系统的 整理f 1 2 1 。在1 2 1 中，i m j a m e s 详细地阐述了纤维拓扑空间的来源，给出了纤 维拓扑空间中紧性质的定义后进一步给出了局部紧性质的定义和许多相关重 要性质。其中提到，纤维局部紧空间定义为：设x 是b 上的纤维拓扑空间，对 任意x e x b ，b b ，存在w p ( 6 ) 和u 肛( z ) ，u x w ，使得u 在x 中的闭 包x wn 驴在w 上是纤维紧的，则称拓扑空间x 是纤维局部紧空间。于是，我们 进一步讨论局部可数紧性在纤维空间中的概念的过渡及其等价刻划。 1 3 纤维拓扑的可数紧性 5 2 纤维局部可数紧空间的性质 在i m j a m e s 整理的系统的纤维拓扑空间理论中f 1 2 】。i m j a m e s 详细地阐述 了纤维拓扑空间的来源，给出了纤维拓扑空间中局部紧性质的定义和许多相关 重要性质。这些性质在我们给出纤维局部可数紧概念后是否依然成立昵? 例 如：纤维局部可数紧空间是否具有闭遗传性，映射满足什么条件时可保持( 逆 保持) 纤维局部可数紧性，纤维局部可数紧空间的和空间是否仍然是点式纤维 可数紧空间等等。下面我们对纤维局部可数紧空间的这些性质进行讨论讨论。 定理5 2 1 ：令砂：x y 是开连续纤维映射，其中x 、y 是b 上纤维拓扑， 若x 是纤维局部可数紧且纤维正则的，则y 也是纤维局部可数紧且纤维正则的。 证明：任意m ，b b ，y y b ，任意v p ( 可) ，y y ，任意z 西- 1 ( y ) ， 则多1 i v l p ( z ) 其中z x 。若x 是纤维局部可数紧的，则存在w p ( b ) ， b b ，u 肛( z ) ，z x w ，使得x 中u 的闭包x wn 可是w 上纤维局部可 数紧的，且x wn 可- 1 i v 】。因为是开映射，所以- 1 【明p ( 夕) ，y y w ，矽【卅在蜥中闭包沌n 妒 卅是w 上纤维可数紧的且蜥n 矽眇】v 。 定理5 2 2 ：令西：x y 是闭纤维，任意b b ，其中x 、y 是b 上纤维拓 扑。如果y 是纤维局部可数紧的，则x 也是纤维局部可数紧的。 证明：令z x b ，b b ，如果y 是纤维局部可数紧的，则存在w 芦( 6 ) ，白) 的邻域y 蜥，使得v 在蜥中的闭包哳ny 是w 上的纤维可数 紧的，因为西为连续纤维映射，则_ 1 i v l x w 是x 的邻域。因为妒是闭映 射，- 1 【y 】在x w 中的闭包x wn 一1 【y 】= - 1 【蜥n _ 】。又因为是连续的并 且，( x b ) = m ，故- 1 【f l - 】是纤维可数紧的，所以x wn 一1 【是纤维可数紧 的。 b 上纤维拓扑空间x 是纤维正则：若任意z ，b b ，任意v p ( x ) ，存 在w p ( 6 ) ，u p ( z ) ，u x w 使得u 在x w 中的闭包x wnu v 定理5 2 3 ：设：x y 是一完全纤维映射，其中x 、y 是b 上纤维拓扑空 间，若x 是纤维局部可数紧且纤维正则，则y 也是纤维局部可数紧且纤维正则。 证明：任意，b b ，任意y k ，v p ( y ) ，则。 v l 是1 ( 秒) 的邻域 因为x 是纤维局部可数紧，多_ ( 可) 是紧的，则由上性质知存在w p ( 6 ) ，u p ( 曲一1 ( 可) ) ，u x w 使得u 在x 中闭包x wn - f f 是w _ k 纤维可数局部紧的且包 含在_ 1 i v 】中由于是闭的，则存在u u c u ) ，u 蜥使得q 【】u ， 则c 厂7 在中闭包蜥n 矿包含在矽( x wn - ) 中，且在w 上也是纤维可数紧的且 包含在v 中，则y 也是纤维可数紧的且纤维正则。 定理5 。2 4 - 令x 是b 上的纤维局部可数紧且纤维正则的，则任意z 拖，b b 且任意v p ( z ) ，v x ，存在u x w 使得u 在x w 中的闭包x w n 1 4 纤维拓扑的可数紧性 可是w 上的纤维可数紧的且x wn 可y 。 证明：由于x 是b 上的纤维局部可数紧的，则存在w 肛( 6 ) ，u “( o ) ， x ，使得u 在x ，的闭包x ，n 沙7 是上的纤维可数紧的。由于x 是纤维 正则的，则存在w ，彬w p ( 6 ) ，存在u x w ，u x w ，使得u 在x w 中 闭包x n 可x w n u 7 n y 。由于x n 矿是w 上的纤维可数紧，n 矿是w 上 纤维可数紧的，且x wn 移在x n - 0 7 中是闭的，因此x wn 可是w 上的纤维可数 紧且x n y 。 定理5 2 5 ：x 是b 上的纤维局部可数紧且纤维正则的，c 是托的紧子集， 任意b b ，v 是x 中c 的邻域，则存在w p ( 6 ) ，u 弘( c ) ，u 垦x w 使 得u 在x w 中的闭包x wn 可是w 上纤维可数紧且包含于v 。 证明：由于x 是纤维局部可数紧的，则任意z c 托，存在p ( 6 ) ， 肛( z ) ，观x w 使得巩在x w , 中的闭包x w = n 瓦是肌上纤维可数紧的且包 含于v 中，则族 ：z c 构成紧空间c 的一开覆盖，故可取一有限子覆盖，记 为 观；) 冬1 取w = 。n n ，u = x wn ( u ：l 玩。) 则 x wn u = x wn 【u 两厕= u i x , n 两厕= u 两丽了 t = 1i = li - - - - 1 任意z c ，u 丽丽面习为x wn 瓦的闭子集，则西石了而j 纤维可数紧，所 以u ：l ( x wf 1 。) 纤维可数紧且包含于v ，即存在w p ( 6 ) ，b b ，u p ( c ) ， v x w 使得u 在x w 的闭包x wn - g 是w 上纤维可数紧且包含于v 。 6 t o p , 范畴中可数紧性的讨论 6 1t 0 只范畴中点式纤维可数紧性的讨论 在第三节点式纤维可数紧空间性质的讨论中，我们得到这样的结论：保纤 维的连续纤维映射保持点式纤维可数紧性；保纤维的开纤维映射逆保持点式纤 维可数紧性。那么在范畴中两个不同底的纤维拓扑空间仍要满足这些性质，两 个底之间的映射应该符合哪些要求呢? 这就是下面要讨论的内容。 定理6 1 1 ：下图可交换，其中( x ，b ) ，( k d ) o b ( t o p , ) ，其中( ，a ) h o m ( x ，y ) ，：x y 是保纤维映射，a 为有限对一的连续映射，若x 是点式 纤维可数紧空间，则y 也是点式纤维可数紧空间。 x 三一y 1 5 - d上j b 纤维拓扑的可数紧性 证：对任意虼，d d ，设a = a i i z + 为k 的由y 的开集组成的任意可数开 覆盖，因为f 保纤维映射，则 ，- 1 陋 m z + 为x 的开集族。又因为入为有限对一的 连续映射，则存在b 1 ，b 仉b ，使得 入q ( d ) = | b 1 ，b 2 ，6 m ) ， 则 ，- 1 陋i m z + 为u 銎lx h 的可数开覆盖因为x 是点式纤维可数紧的，所以 托。，( i = 1 ，m ) 为可数紧，故u 警。托；为可数紧。所以存在凡况使得 厂1 【a 巧】) 努。为u 罂。x b 。的 有限子覆盖，因此u ：la 玎2k ，m 为纤维可数紧，y 也为点式纤维可数紧。 定理6 1 2 ：下图可交换，其中( x ，b ) ，( y ；d ) o b ( t o p , ) ，其中( ，a ) h o m ( x ，y )