（基础数学专业论文）麦基函子的fong定理.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 摘要 本文主要是做了以下研究：一是在群g 是少可解群时，把模的f o n g 的定理 推广到了单麦基函子及投射的麦基函子上；另外是把强分次代数上的f o n g 的定理 应用在麦基代数上，把麦基代数版本的f o n g 的定理及g r e e n 不可分定理推广到了 一个统一的框架。 关键词：麦基函子；诱导 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h em a i n l yr e s u l t so ft h i sp a p e ri st h ef o l l o w i n gt w or e s e a r c h ：o no n e h a n d ，w h e n gb eap - s o l v a b l eg r o u p ，w ea p p l yt h et h e o r e mo ff o n gf o rm o d u l e so n s i m p l em a c k e y f u n c t o ra n dp r o j e c t i v em a c k e yf u n c t o r o nt h eo t h e rh a n d ，w ea p p l yt h et h e o r yo f f o n g sf o rf u n yg r o u pg r a d e da l g e b r a so n1 n p x ( g ) i r ，t h em a c k e ya l g e b r av e r s i o n o ff o n g 8t h e o r e ma n dt h eg r e e n i n d e c o m p o s a b l et h e o r e mh a dau n i f i e d k e yw o r d s ：m a c k e yf u n c t o r ；i n d u c e m e n t 博士学位论文 d o c t o r a ld i s s e r t 棚o n 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：南她会日期：砌7 年岁月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 作者签名：南触 孙签名：用廷硌 日期：刎7 年箩月日日期：砷年多月日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。回重诠塞握童卮溢厦! 旦兰生；旦二生；旦三生筮鱼! 作者签名：甬灵翰 日期：炒7 年罗月 耶日 剐蜘 恩 经 妒 戤 师期 导日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节引言 1 1 研究背景 麦基代数i | k ( g ) 与群代数k g 的表示之间有很多相似的性质，一些群代数的 主要定理被推广到了麦基代数的情况，如e r g i i ny a r a n e r i 在参考文献【1 7 1 中推广 了群代数的c l i f f o r d 理论到麦基代数。相应的，许多联系到群代数的c l i f f o r d 理论 的主要定理，如f o n g 的约化定理及g r e e n 不可分定理，都被推广到了麦基代数的 情况。 另一方面，我们注意到，在1 3 1 中，g a n gc h e n 和y u nf a n 把群代数的f o n g 的定理及g r e e n 不可分定理推广到了一个统一的框架。 因此，很自然的，我们很关心麦基代数版本的f o n g 的定理及g r e e n 不可分定 理是否也可以统一到同一框架之下。 1 2本文的主要内容和思路 本文主要做了以下研究：一是在g 是矿可解群时，把模的f o n g 的定理推广 到了单麦基函子及投射麦基函子上；另外是把强分次代数上的f o n g 的定理应用在 麦基代数上，把麦基代数版本的f o n g 的定理及g r e e n 不可分定理推广到了一个统 一的框架。 本文的主要内容如下： 第一节主要介绍了本文的研究背景、大概思路及本文中用到的主要符号。 第二节主要给出了麦基代数和麦基函子的有关概念、基本理论和定理。包括麦 基代数的基底理论、单麦基雨子的结构、生成的麦基函子、麦基函子的极小子群和 麦基函子的诱导等。 第三节主要是在群g 是矿可解群的情况下，把模的f o n g 的定理推广到了单 麦基函子及投射麦基函子上。 第四节首先介绍了强分次代数的概念、强分次代数的点及由点生成的加法半 群，然后介绍了加法半群之间的同态，最后介绍了g 是少可解群时强分次代数的 f o n g 的定理。 第五节首先介绍了1 u k ( g ) i j 这个强g 分次代数，然后根据投射麦基函 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 子和投射模之间的对应关系，给出了麦基函子的f o n g 的定理，把麦基代数版本的 f o n g 的定理及g r e e n 不可分定理推广到了一个统一的框架。 最后，是参考文献及致谢。 1 3本文用到的主要符号 下面是本文中用到的主要符号： g k 凰( g ) 器y 汐( a ) 勿( a ) n g ( h ) l g h g k = gh gh nqg 有限群 域，一般特征为p ，p 为素数 麦基代数 g 上的单麦基函子 a 的所有点的集合 除子幺半群 h 在g 中的正规化子 u k ( g ) 的单位元 日是g 的子群 k 与h 是g - 共轭的，即3 9e g 使得k = g h g 一1 与日的某个子群是( 二共轭的 是g 的正规子群，即对的e g 有9 - t n g = n g h = g h g 一1 h g = 9 - 1h 9 _ g ( 日) = 华 x 爵= h g ：h gn ) 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节麦基代数与麦基函子 这一部分主要介绍麦基代数与麦基函子的概念、相关结论及定理。 定义2 1 【f 幺1 7 , j 占】麦基函子：令表示g 的子群的集合，该集合在取子 群及共轭两种运算下是封闭的，x 在k 上的麦基函子m 的定义如下： 对vh ，k x 且h k ，有k 一模同态： 塔：m ( k ) - - - m ( h ) ，称为限制变换； 塔：m ( h ) _ m ( k ) 称为诱导雯挟或迩曼执 蚺v g g ，矗：m ( h ) _ m ( 9h ) 秣为头轭芰狭 这些k 一模同态满足下面条件： 对v g ，h g ，h ，k ，l x ， 似，如果h k l ，略= 悸咴，堵= 壤搿，并且穆= 珞= z 如( 日) ； 似，带= 馥k 女； ( m 3 ) 如果h h ，南：m ( h ) 一m ( h ) 是幢等映祭； ( m d 如果日k ，岛塔= 吩g h k 嚷，舂日k 一幻g 日k 略； r 忆，j 佳基公理) 如果h l ，略尝= h 9 k c lt g n , k 7 舔，文 当) ( 是g 的所有子群构成的集合时，则称m 是g 在k 上的麦基函子。 定y z 2 2 【2 ，1 2 ，1 7 麦基代数：，z ( g ) 是由元素塔，搿，岛生成的代数，其中 日，g 且h k ，geg ，满足以下条件： 似) 如果h k l ，略= 嗜心，右= 袭搿； 似 尝= 霞k 喀； 似) 如果h h ，穆= 瑶= 靠i 似，如果h k ，g g ，岛略= 每文，景绣= 备略i 似j 如果h l k ，略凄= 日g k c l 孙，k r 舔，文j f 磊，日 g 备= h g , - g = 1 p z ( g ) i 似，塔，缮，略这三个元素的其他乘积都是零 则结合k 一代数脉( g ) = k o z u z ( g ) 称为麦基代数。 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s g 在k 上的麦基函子有另一种非常有用的定义，其定义方法如下： 在上述定义的情况下，对g 上的任意麦基函子m ，有腿( g ) 一左模 砑= o m ( 日) ； 日g 反过来，若m 是p k ( g ) 一模，则m 对应的g 在k 上的麦基函子j i ，定义：m ( h ) = t g m 变换r 各，t 备，略与腿( g ) 中的元素是一样的。另外，g 的麦基函子的同态 及子函子对应腿( g ) 一模的同态和子模，反过来也是如此。由这种定义知g 在k 上的麦基函子与麦基代数腿( g ) 一模是一一对应的。 设m 是g 在k 上的麦基函子，定义： 虿z = c 备( z ) 其中虿蕊( 日) ，z ，( 日) 则m ( h ) 是晒_ g ( 日) 一模。 定义2 3 设m 是g 在k 上的麦基函子，麦基函子称为m 的子函子，如 果对v g ，有n ( i i ) m ( h ) 且k 一模n ( h ) 在诱导同态，限制同态及共轭 同态下是稳定的。 定义2 4 麦基函子m 称为单麦基函子，如果m 没有真子函子。 定理2 5 【1 7 1 设h 、k 跑遍g 的所有子群，夕跑遍双陪集h g k c _ c 的代表 元，跑遍日gn k 的子群的共轭类的代表元，则亡易c 弓r 箩构成p ( ( g ) 的一组自由 k 一基。 定义2 6 设m 是g 在k 上的麦基函子，巡g 是m 的极小子群，如果日是 使得m ( h ) d 的极小子群。 定义2 7 【1 2 1 设m 是g 在k 上的麦基函子，e 是m 的子集，如果对v h g 都有e ( h ) c m ( h ) ，令( e ) = n _ 【f 是m 的子函子，e 俐删 ，则称( e ) 是由 e 生成的m 的子函子 定理2 8 【f 彳】设s 是g 在k 上的麦基函子，且h 是s 的为极小子群，则： ( i ) s 是由s ( h ) 生成的即s = 峪( 、h 沁； 以矽若。9 例以则巡gk 特别的，s 的极小子群构成一个共轭类； 6 l o s ( h ) 是单g ( h ) 一模 4 定理2 9 【7 设日g ，v 是单的k - 9 6 ( e ) 一模，则： 存在g 在k 上的同构唯一的单麦基函子踞矿，y 以日为的极小子群，且 躁y ( 日) 笺u 一砂g 的任一单麦基函子都是瑶y 的形式，其中日g ，v 是单的w c ( h ) - 模； 一i 砂g 的两个单麦基函子踞矿与蹯，同构的充要条件是? 存在9 g ，使得 h = g h ，v 7 竺c ；，( y ) 由于g 在k 上的麦基函子与麦基代数胀( g ) 一模是一一对应的，根据模的限 制与诱导我们可以得到麦基函子的限制与诱导之间的关系。 【1 7 】设m 和t 分别是g 上和日上的麦基函子，日g ，则限制函子与诱导 函予的定义分别为： 【譬m ：是p k ( 日) 一模l m 。( 4 ) m t 譬t ：是胀( g ) 一模腿( g ) 1 p k ( h ) o 卢k ( 日) t 其中1 腿( h ) 是u k ( h ) 的单位元。 令= 日 g 磊设h g ，9 g ，m 是日在k 上的麦基函子，m 可视为 u x ( h ) 一模，则共轭函子：i 备m _ - - _ gm 是u k ( g h ) 一模m 其模结构为：对v x 腿( 9 日) ，m m 定义： z m = ( 一, x t g ) m 关于诱导函子还有另外一种形式的定义，其定义方法如下： 【1 7 】设h g ，m 是日在k 上的麦基函子，对v g ，有 ( t 嚣m ) ( ) = om ( e a k 9 ) k g h g 这种关于诱导函子的定义是非常有用的。 定理2 1 0 【1 7 设l k ，m 是k 在k 上的麦基函子，则有： 【h li l km 竺ot 嚣n ，kj ，g h k n ，耳| 女m h g k c l 定理2 1 1 【1 7 1 设h 厶g ，假设对坳g 有o h 厶路，是l 上的单 麦基函子，令v t n g l ( ( 日h ；u 则t z 踮，u 是g 上的单麦基函子的充要条件是? y 是单 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 模；在这种情况下，t 2 硝，c ，掣踞y 6 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节麦基函子的诱导理论 这部分是在g 是p 可解群的的情况下，把模的f o n g 的定理推广到了单麦基 函子及投射的麦基函子上。 定义3 1 g 在k 上的麦基函子m 称为投射的麦基函子，如果m 对应的 脉( g ) 一模是p k ( g ) 一投射模 定理3 2 设g 是p 一可解群，若算y 是g 在k 上的单投射麦基函子，则存在 g 的h a l l - p 子群h 及h 上的单麦基函子，使得箕y 垒t 譬研知 证明：因为s f , y 是g 在k 上的单投射麦基函子，由【1 2 】的( 1 3 2 ) 知y 是 k n a ( 1 ) 的单投射模，_ g ( 1 ) = g ，即y 是k g 的单投射模，又g 是矿可解群， 那么由模的f o n g 的定理知，存在k h 一模彤，使得y = 倡w 又因为v g g 有 9 1 = g l g 一1 = l h ，由上述定理2 1 1 知，结论成立。 口 定理3 3 设g 是p 一可解群，h 塑g ，瑶y 是g 在k 上的单投射麦基函子，则 存在g 的子群l ，及l 上的单麦基函子器，c ，使得蹯，矿竺t z 蹈，c ， 证明：因为s 嚣矿是g 在k 上的单投射麦基函子，由【1 2 】中( 1 3 2 ) 知y 是 k n g ( h ) 的单投射模，冈g 是p - 可解群，所以_ g ( 口) 是p - 可解群，从而存在 _ g ( 日) 的h a l l - 子群丙l ( h ) ，及k 丙l ( ) 的模u ，使得v ，t n g l ( ( h h ；u 由日鱼g ， 则- n l ( h ) = z ，并且对的g 有9 hsl ，由上述定理2 1 1 知，s 等，y 掣t 2 踮，口 定理3 4 h 翼l 里g 使得g l 是p 一群，磊矿是g 在k 上的单麦基函子，如 果v 是相对于- n l ( h ) 一投射的瓯( 日) 一单模，则存在l 上的单麦基函子器w ， 使得瑶，矿= t l “璐旷 证明： 由l 里g ，则- f l d h ) 里- f l o ( h ) ，h 塑l ，则n l ( h ) = l 因为畿黑= 嬲笳笺g l 而g l 是矿群，由【7 】的g r e e n 定理知，存在呔l ( 日) 一模 w ，使得矿= t 雾：器w 由y 是单模知w 是丙l ( 日) 一单模，且由日里l 翼g 知对 的g 有g h l 由上述定理2 1 1 知，结论成立。 口 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第四节 强分次代数理论与f o n g 定理 这一部分主要介绍强g - 分次代数的定义和强g - 分次代数的重要理论及f o n g 的定理。 【1 7 】一个肛代数a 称为强g - 分次的，如果a = o 。ga 卫也是a 的 赆子模，且对v x ，y g ，有屯a ”= a 鲫，其中a z ”是由所有有限和ta i b i ， 啦屯，b i 6 九构成的a 的赆子模，a 1 是a 的单位子代数。 记u ( a ) 为a 的单位群，如果钍u ( a ) ，并且存在z g ，使得让a z ，则称 让是一个分次单位，z 称为让的次数。如果对比g 都有u ( a ) n a 茁是非空集合， 则称a 是g 在a 】上的叉积。 如果a 是g 在a 1 上的叉积，则对v x g ，e u ( a ) na 。有a 。= a l 魄= u x a l ，因为对比a z 有o l = a 乱；1 魄，而a u ；1 a 。a z l = a l 即a e a l 同理有 a e u a a 3 1 赆代数a 的点q 是a 的本原幂等元的a 共轭类，是a 的可逆元构 成的乘法群。记夕( a ) 为a 的所有点的集合。 对于a 的任意幂等元e ，有一个正交集厶cu 口伊( 日) q 使得e = 坨，ei 令 m 鲁= i 厶no zi 称为点o l 在e 中的重数，m 三与正交集厶的选择无关。 设a 是强g - 分次代数，s g ，子模a s = o 。sa 。称为a 的g 分量。 【3 】设a = o 七ga 。是强g - 分次的k 代数，a 的除子幺半群9 ( a ) 是由 汐( a ) 生成的自由加法幺半群，k 和h 是g 的任意两个子群，并且k 日则包 含映射a k _ a 诱导幺同态 f 未，h ：9 ( a k ) - - ，9 ( a h ) ，p 一磁o l ， a e ：尹( a n ) 其中p 汐( a 七) ，j p 特别的，令风= 何n h 卫，z g ，则有幺同态 磅= 0f 怠，日：9 ( a 也) 叶勿( a 日) gx e g 8 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 另外，对比夕( a k - ) 决定了a 舻一个极小幂等理想 m n = a k 。a a k 而a 芏m n a 一，是a 的幂等理想；反过来， a z l ( a = m a a z 一1 ) a z = 竹z a 即a z m a a 一是a k 的极小幂等理想，而该极小理想决定了月k 的一个点记作 矿，从而存在双射汐( a 舻) 汐( a k ) ，所以有幺同构 从而有幺同态 仡是z ：勿( a k z ) _ 9 ( a 耳) k 备= o f 龟一。，日。艽龟一。声：o 勿( a 凰) _ 9 ( 4 日) g z g 定理4 1 【? 】设g 是有限的p 一可解群，a = o 。ga z 是强g 一分次的k 代 数，日是g 的h a l l 一子群，则有差分上核同态j 。础刚巩) 鲁刚日) 监州g ) 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第五节f o n g 定理在麦基代数和麦基函子上的应用 这部分首先讨论关于1 n 肛k ( g ) i n 是一个强分次代数的知识，然后讨论f o n g 的定理在麦基函子和麦基代数上的应用，把麦基代数版本的f o n g 的定理及g r e e n 不可分定理统- - n 了同一框架。 若n g ，则记1 为腿( ) 的单位元，1 n = 日 亡备= 日 c b 设n 翼g ，令岛= l 芭，则岛e i n # k ( g ) 1 n 定理5 1 【1 7 1 设魍g 则有 俐成胀( ) = 3 y # x ( n ) 当且仅当x n = y n ； 以砂熊- i k ( n ) = 脉( ) 尻； ( i i i ) i n # k ( g ) i n = o g n e a n 3 y g # x ( n ) 证明：( i ) 对比g ，有成e 1 n # k ( g ) i n 令 尾= 1 n m l n ，m 肛k ( g ) ， 则 ；b z l n = 】| 3 z = 1 9 8 z 所以f 1 # x ( n ) = 3 ” z x ( n ) 当且仅当岛一，。p k ( ) = p k ( ) ，而以一t 。= 玩- - 1 x 1 n 腿( ) ，所以有y - 1 x n ，即z = y n 反过来，如果x n = y n ，则y - i x n ，则 岛一- 正是z k ( n ) 的一个单位，有以一，z 敝( ) = 脉( ) ，即尾腿( ) = f l y # k ( n ) ( i i ) 由定理2 5 知，胀( ) 的基是易c n ，j k ，其中h n k ，n n ，j 日”nk ，对v x g 有 8 i t h 。j c n j r k j = = l x h l b h t 。j l n j lk j = 一= h ，( 。j ) c x ( z n ，x ) - 1 r 离嚷 = t z h t ( 。j ) c x ( 。n j x ) - 1 r 笛胁 由翼g ，易c r 笋是腿( ) 中的元素当且仅当翌一t ( 。j ) 商1 r ( z 。k 刀是腿( j ) 中的 元素，所以有尾腿( ) = 脉( ) 忍 1 0 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( i i i ) 由定理2 5 知易碍7 歹，其中h n k ，h g k g ，j h 9n k 构 成了1 n k ( g ) i n 的自由k 一基。对g g ，g 属于唯一的一个陪集x n ，如果 g = z 佗，n n ，则 所以 甥碍7 箩= 略幽t h ，。c ，n ，k = 尾亡嚣苟r 箩成胀( ) 1 n # k ( g ) i , v = f l - # 弘x ( n ) 0 n e o n 另外，尾是1 n # k ( g ) i n 的单位，所以元素以t 。h - ，c n j ，j k ，h n k ，日佗k ，j 日“nk 构成了忍p k ( ) 的自由k 一基，如果 则 尾。h j c n ，7 ，j k = 岛亡蜀c m r p 以一t z 易c 3 r 歹= t 。，y 一- 。l 。z 。h j 吁“- l x n 。k = t l h m i c m it - k i f 由定理2 5 知，k 7 = k ，_ 1 h = 日，m k ， ( i ) 知， = h 7 y 一1 x n k 7 这表明n = y - 1 x n ，由 玩脓( ) = 纯脉( ) 所以i n p k ( g ) i n 的任意基元素属于唯一的一个直和项岛卢k ( ) ，所以和 是直和。 阻k ( ) g n e g n 口 定理5 2 【1 7 1n j g , 1 n p x ( a ) 1 n = o g g f l - # # k ( n ) 是强g n 一分次代 证明：要证明该结论只需要证明对呖，西g n ，有 岛。腿( ) 艮p k ( ) = 岛。卯p k ( ) 1 1 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 而由定理4 3 的( i i ) 知， 所以结论成立。 的。 岛。脉( ) 艮腿( ) = = = = 风腿( ) 腿( ) 如 岛，i z k ( n ) f 1 9 2 岛。如腿( ) 如鸵脓( ) 定理5 3 【1 7 圈ex 爵上的麦基函子与i 舭k ( c ) i 一模一一对应。 口 由该定理知，若n 塑g ，n k g ，则x 菇上的麦基函予与a 耳一模一一对应 定义5 4 设厩，m 2 是麦基代数脉( g ) 的模，对应的麦基函子分别是m i ， 定义 m = m 1 + = 而+ 而i 厩舰i = l ，2 】 则m 对应的麦基函子为m 1 + 该定义是合理的，因为对v h g ，有 m i ( h ) = 嚣厩， 如( 日) = t 嚣厩， m ( 阿) = 备砑 = t 嚣( 磁+ 厩) = 备磁+ 嚣厩 = m ( 日) + m 2 ( h ) 定义5 5 x 需上的麦基函子m 称为主不可分麦基函子，如果m 对应的 1 n # k ( g ) i n 一模m 是1 n # k ( g ) i n 的主不可分模，其中n 塑g 。 1 2 记p h ( x ) 为x 爵上的主不可分麦基函子的完全代表系，记勿( x 爵) 是由 p h ( x 譬) 生成的加法半群。 下面给出关于9 ( x 品) 的同态 设n 璺g ，n k g ，n h g ，且k n = 一k - a = 驯， a = i n # k ( g ) i n = 0 9 g p 扭k ( ) ，a k = o 石霄卢扣k ( ) ， a h = o 元_ g l z k ( n ) ，则： ( i ) 存在同态 磕耳： 9 ( x 搿) _ 9 ( ) ( 嚣) ， m h 磁地， a e # ( a n ) 其中m e p i n ( x 菇) 且m - a k j ，歹是a k 的本原幂等元，肘0 笺a 日a 因为a k = 0 七霄酗k ( ) = 1 n # k ( k ) i n 则由1 n # k ( k ) i n 的主不可分模与 x 衢的主不可分麦基函子一一对应知夕( a ) 尸h ( x ：| ：；) 存在双射。又因为9 ( a ) 和勿( x ；：f ) 分别由汐( a ) 及p i n ( x k ) 生成的自由加法半群，所以也存在双射 9 ( a ) 0 9 ( x 衢) 已知勿( a k ) _ 缪( a 日) 存在同态，从而勿( x ；i ；) 一9 ( ) ( ；：；) 存在上述 同态，即： 即 a h ) ) ( h ) 所以结论成立。 ( i i ) 特别地，令两= _ n 矿，矿= x - 1 h 5 ，则有同态 略= o 龟，霄：o 9 ( ) ( 爷) _ 勿( x 务) z e g x e g 因为n h g ，n 鱼g ，所以，对v x e g 有 n ：2 ；- 1 n x c x 一1 h 暑：h 2 g 日n h z = 也 1 3 匮 态一 显 同一 k al xm 忧 勿 9 垃 单 d 西如 ，j 1 双 胁 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 那么由1 n ，z k ( h = ) i n 的主不可分模与x 爷的主不可分麦基函子一一对应，已知 。勿( a 凰) _ 勿( a 日) z e g 存在同态，由( i ) 的过程知 因为 所以同态皓= o z g 瓷，霄：o z g 勿( x ) _ 9 ( x ：；) 成享。 ( i i i ) 设n k g ，n 璺g ，z g ，则有同构 碟z ：9 ( x 簧2 ) 一勿( x ：! ：；) ， 因为k g ，n 里g ，v x g ，有 n = z 一1 n x c x 一1 k x ：k x 汐( 4 ) 暑p ，礼( x 菇) 沪( a k z ) 暑p ，n ( ) ( ：| ：f 2 ) 存在双射，又勿( a ) 和勿( a 肛) 分别是由汐( a ) 和夕( a 舻) 生成的而勿( ) ( 衢2 ) 和9 ( ) ( 衢) 分别是由m n ( x z ) 和p i n ( x 衢。) 生成的，已知9 ( a 舻) 竺勿( a k ) 即： 所以该结论成立。 ( i v ) 设日g ，n 鱼g ，z g ，则有同态 皤= o f 怠。仡怠“i ： z g 1 4 9 ( ) ( 妒) _ 勿( ) ( 影) 勿+l 雎 墅 如 以m 9 勿 9+i 煦 盟 盟 盟 m 忧 础 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 已知o z g9 ( a 皿) _ 勿( a 日) 存在同态，根据( i ) 的过程知 所以结论成立。 定理5 6 n j g ，且使得g n = 可是有限的p 一可解群，a = i 胀( g ) 1 = o g n g n 胁k ( ) 是强召分次k 一代数，耳= 驯是否的h a l lp 一子群，则有 差分上核同态 。础地争) 寺嘲鱼煳 证明：由定理4 1 知，当g 是p - 可解群，a = o 。ga 是强g - 分次的k 代 数，日是g 的h a l l 一子群时，有差分上核同态 西础州凰) 寺卯h ) 生刚g ) 又根据 嬲麓； 1 5 口 勿，i 雎 墅 凰 矾 9 易 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 f 1 】1 f r a n kw a n d e r s o na n dk e n tr f u l l e r ，r i n g sa n dc a t e g o r i e so fm o d u l e s ， g t m l 3 ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 2 【2 】s b o u c ，g r e e nf u n c t o r sa n dg s e t s ，l e c t u r en o t e si nm a t h ，v 0 1 1 6 7 1 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 9 7 【3 】3g a n gc h e na n dy u nf a n ，f u u yg r o u pg r a d e da l g e b r a sa n dat h e o r e mo f f o n g ，j o u r n a lo fa l g e b r a ，3 0 1 ( 2 0 0 6 ) 1 6 5 1 7 3 【4 】4 y u nf a na n dl l u i sp u i ga n dy u a n y a n gz h o u ，o nat h e o r e mo ff o n g ，j o u r n a l o fa l g e b r a ，2 3 9 ( 2 0 0 1 ) 7 3 5 7 4 1 【5 】h f o t t n e ra n db k i i l s h a m m e r ，o ni n d e c o m p o s a b l ea n di m p r i m i t i v em o d u l e s f o rf i n i t eg r o u p s - ag a l g e b r aa p p r o a c h ，j l o n d o nm a t h s o c ，5 9 ( 1 9 9 9 ) 8 2 8 8 4 4 6 】p f o n g ，s o l v a b l eg r o u p sa n dm o d u l a rr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 0 3 ( 1 9 6 2 ) 4 8 4 4 9 4 【7 】j a g r e e n ，o nt h ei n d e c o m p o s a b l er e p r e s e n t a t i o n so faf i n i t eg r o u p ，m a t h z ， 7 0 ( 1 9 5 9 ) 4 3 0 4 4 5 【8 】t h o m a sw h u n g e r f o r d ，a l g e b r a ，g t m 7 3 ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 4 【9 】n a t h a nj a c o b s o n ，b a s i ca l g e b r ai ，s a nf r a n c i s c o ：w h f r e e m a na n dc o m p a n y , 1 9 8 0 【1 0 】 1 1 】 n a t h a nj a c o b s o n ，b a s i ca l g e b r ai i ，s a nf r a n c i s c o ：w h f r e e m a na n dc o r n - p a n y , 1 9 8 0 h n a g a oa n dy t s u s h i m a ，r e p r e s e n t a t i o n so ff i n i t eg r o u p s ，s h o k a b op u b - l i s h i n gg r o u p ，1 9 8 7 【1 2 】j t h 6 v e n a za n dp w e b b ，t h es t r u c t u r eo fm a c k e yf u n e t o r ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，3 4 7 ( 1 9 9 5 )