数值分析课程课后习题答案(李庆扬等)

第一章绪论

1、设x>0,x的相对误差为3,求Inx的误差。

［解］设x*>0为x的近似值，则有相对误差为£；(x)=6,绝对误差为£*(x)=廉”,

从而Inx的误差为£(Inx)=|(lnx*“£(x")=二加=S,

相对误差为£；(Inx)=皿*=-A

InxInx

2、设x的相对误差为2除求x"的相对误差。

［解］设x*为x的近似值,则有相对误差为£：(x)=2%,绝对误差为£(x)=2%,*|,

从而x"的误差为£*(lnx)=,£(x*)==2〃％，

相对误差为£；(lnx)=；：|；j)=2〃％。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单

位，试指出它们是儿位有效数字：

x；=1.1021,x；=0.031,x；=385.6,x；=56.430,x；=7x1.0。

［解］x；=1.1021有5位有效数字；x；=0.0031有2位有效数字；x；=385.6有4

位有效数字；x；=56.430有5位有效数字；x；=7x1.0有2位有效数字。

4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限，其中x：,x；,无;,x；均为第3题所给

的数。

*辛辛

(/11)\匹+%+%；

e*(x：+X；+*；)=£萼卜(X；)=£(<)+£(X；)+£(X；)

［解］.

=-xl0-4+-X10-34-lxlO_3=1.05xl0-3

222

(2)x；x；x；；

*/*♦*、、、df/*、/**、/*、/**、/*、/**、,*、

e(七4乙)二Z丁£(%)=(X2X3)£(演)+(x/3)£(Z)+(x/2)£(£)

k=\7

^^^(0.031x385.6)-xl0-4+(1.1O21X385.6)-X1O-3+(1.1O21XO.O31)-X1O-3；

222

=0.59768X10-3+212.48488xl0-3+0.01708255x10-3

=213.09964255xlO-J=0.21309964255

(3)%；/x；。

e*(%；/%；)=££(x：)=­r£(芯)+?)£(%；)

k=\乙(乙)

［解八,xLlk+°O3l,xLl。

56.4302(56.430)22

*•461x_LxI。、=088654x107

(56.430)22

5、计算球体积要使相对误差限为现，问度量半径R允许的相对误差是多少？

4£*(1%(/?*)3)

［解］由1%=£；(—兀(R*)3)=—-------可知，

3加*)3

£*(g〃(R*)3)=l%xg%(R*)3=:%(R*)3£*(/?*)=4乃(R*)2X£*(R*),

从而£(R)=1%X-R,故£；(R*)=*f)=1%X—=-^―o

3R3300

6、设公=28,按递推公式匕=匕1-高(〃=1,2,-一)计算到几0，若取

V783«27.982(五位有效数字，)试问计算丫项将有多大误差？

［解］令匕表示，的近似值，e*(%)=匕一匕，则e*(y0)=0,并且由

匕=匕一看X27.982,/„=一击*历可知，

Yn-Yn=｝；_I_yn_1_-l_x(27.982-V783),即

e*(y„)=e*(%T)-焉X(27.982-7783)=e*(Yn_2)一高x(27.982-A/783)=…，从

W/(yiOo)=^*(^)-(27.982-7783)=7783-27.982,

-3

而-27.982］<|xlO,所以/(7100)=gx10-3。

7、求方程，-56^+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字(V783=27.982)

［解］由x=28±7^5与77^5=27.982(五位有效数字)可知，

/=28+4^=28+27.982=55.982(五位有效数字)。

而马=28-/丽=28-27.982=0.018,只有两位有效数字，不符合题意。

但是x=28-V783=-----3==------=1.7863x10-2

228+V78355.9820

8、当N充分大时，怎样求「'一二dx?

［解］因为("『=dx=arctan(N+1)-arctanN,当N充分大时为两个相近数相

减，设a=arctan(N+1),=arctanN,则N+l=tana,N=tan〃，从而

tan(a-/?)=［③。…”=(N+V)-N=—一，

1+tanatan/?1+N(N+1)N2+N+l

因此f"一［dx-a-B-arctan—；一----。

9、正方形的边长大约为100cm,应怎样测量才能使其面积误差不超过1c加2?

［解］由£*((/*)2)=|［(/*)2、*(/*)=2/*£*(/*)可知，若要求£*((/*/)=1,则

即边长应满足/=100±—

200200

10、设S=；g/，假定g是准确的，而对t的测量有±0.1秒的误差，证明当t

增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。

［证明］因为£*(S)=|(。)*卜⑴=/*£*«)=，

£；。)=守=臀9=至9=出，所以得证。

S上(-t5t

11、序列｛>”｝满足递推关系y“=10y,i-1(〃=1,2,…)，若>0=四=1.41(三位

有效数字)，计算到必0时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

［解］设歹,，为纥的近似值，£*(>“)=工-打，则由卜。=及与

J”=1。-T

v=1411

।可知，£*(%)=彳Xi。-工-%=10("-h1)，即

口=10九-1-12

£*(%)=10£*(y,T)=10"£*(y。),

从而£*(乃0)=101°£*(汽)=10隈310-2=9108,因此计算过程不稳定。

12、计算/=(&-1)6,取0=1.4,利用下列公式计算，哪一个得到的结果最

]

好？(3-2扬3------L,99-7072o

(V2+1)6(3+2V2)3

[解]因为£*(/)=；xl()T,所以对于£=]

(V2+1)6

e*(/；)=M'|e*(L4)=—^^x,xlOT=6.54X1(]T<1*1()-2,有一位有效数字

'I1I(1.4+1)722

对于£=G-2/儿

2-1-1-1

(/2)=|/2y(1.4)=6(3-2x1.4)x1x10=0.12x10<1xl0,没有有效数

字；

]

对于八=

(3+2扬3

l32

e*(£)=L'|e*(L4)=------——Tx-xlO-=2.65X10-<-xl0-,有一位有效数

3TI(3+2x14)422

字；

对于£=99—70匹，e*(£)=e"(L4)=70xgxl()T=35X1()T<gxl()i,没有

有效数字。

13、/(x)=ln(x-A/X2-1).求/(30)的值。若开平方用六位函数表，问求对数时

误差有多大？若改用另一等价公式imx-T7=Tx-ina+TT%)计算，求对数

时误差有多大？

［解］因为,3()2一1=次旃=29.9833(六位有效数字)，f*(x)=-X10-4,所以

2

1

e*(/i)=(/：)*e*(x)=-

t------x-xlO

(30-V302-1)2

------1------x-xlO-4=0.2994x10-2

30-29.98332

e*(32)=|(/2')［e*(x)=-x-xlO-4

x+2

------1------x1xl()T=0.8336xl()F

30+29.98332

X+in10r=in10

14、试用消元法解方程组'2"，假定只有三位数计算，问结果是否

X1+工2=2

可靠?

1A101A10_7

［解］精确解为X=T—，》2=二^。当使用三位数运算时，得到

10'°-1210,°-1

xx=l,x2=1,结果可靠。

15、已知三角形面积，=,出^!1。，其中c为弧度，0<c<三，且测量a,b,c

22

△a\bAc

的误差分别为An,励,Ac,证明面积的误差As满足aW++

ab

i1

6讨sinc"cosc|Ac|,

［解］因为|A(s)|=Z--|A(xt)|=—Z>sinc|Aa|+—a

dXk22

；bsinc„+1

一々sine+-abcosc

22

1

所以absinc

2

AcNbAcAcA/?Ac

++<4-+

btancb

第二章插值法

1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令

1X。X。■,x()

••••••«••

匕（Xo，X|J•,x,i，x)=,证明匕（x）是n次多项式，它的

1人Y〃-1An-I•­冷

1Xx~•••x"

根是为，》2,…，X,I,且匕（Xo，X|,…=V,i（Xo，X|,…，X“_|）（X—Xo）・一（X-X“T）。

"T

匕a。,*,…,x.T,x)=nn(Xj-Xj>n(x-Xj)

［证明］由'=：.j=°可得求证。

n-l

=V,T(Xo，XDX,Li>n(x-Xj)

j=o

2、当x=l,-l,2时，/(x)=0-3,4,求/(x)的二次插值多项式。

(x-x)(x-x)(x-x)(x-x,)(X-Xo)(X-X|)

}!20

L,(x)=y0------------=-+y,------------=-+y,---------------

(x0-x,)(x0-X2)(X|—Xo)(X|一/)(x2-x0)(x2-X1)

*„-i(x+l)(x—2)(x—l)(x—2)(x—l)(x+1)

［r解］=0x-——-----+(-3)x———----—+4x-——-——-

(1+1)(1-2)(-1-1)(-1-2)(2-1)(2+1)

=--(%2-3x+2)+—(x2-1)--x~+—x~—

23623

3、给出fM=Inx的数值表用线性插值及二次插值计算In0.54的近似值。

X0.40.50.60.70.8

Inx-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144

［解］若取为=05,%,=0.6,

则%=/(/)=/(。5)=-0.693147,y,=/(%,)=/(0.6)=-0.510826,则

*/、x—x.x—x,x—0.6„/see/x_0.5

L.(x)=y------+y.-----n-=-0.693147x---------0.510826x-------

101

Xo-/-x,-x00.5-0.60.6-0.5,

=6.93147(x-0.6)-5.10826(x-0.5)=1.8232lx-1.604752

从而L,(0.54)=1.8232lx0.54-1.604752=0.9845334-1.604752=-0.6202186。

若取3=0.4,x,=0.5,x2=0.6,则氏=f(x0)=/(0.4)=-0.916291,

%=/(/)=/(0.5)=-0.693147,y2=/(x2)=/(0.6)=-0.510826,则

,<、(j-x.Xx-xJ(x-x0)(x-x2)(%-%0)(%-%))

L,(x)=y()+y2

(x0-X])(x0-x2)(x,-%0)(%,-x2)(x2-x0)(x2-xj

x5x6

=-0.91629lx(-°-X-°-)+(-0,693147)x

(0.4-0.5)(0.4-0.6)(0.5-0.4)(0.5-0.6)

+(-0,510826)x*一04)(x-0-5)

(0.6-0.4)(0.6-0.5)

=-45.81455x(x2-1.lx+0.3)+69.3147x(x2-x+0.24)

-25.5413(r-0.9x+0.2)

=-2.04115x2+4.068475x-2.217097

从而&(0-54)=-2.04115x0.542+4.068475x0.54-2.217097

=-0.59519934+2.1969765-2.217097=-0.61531984

4、给出cosx,0°Wx<90°的函数表，步长力=1'=(1/60)°,若函数具有5位有效

数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

［解］设插值节点为/<X<X］=/+/?,对应的COSX值为先,必，函数表值为

了0，不则由题意可知，瓦―焉|<gxlO-5,近似线性插值多

项式为乙。)=歹。土』-+月士迎，所以总误差为

与一尤IX|一Xo

R(x)=/(x)-L,(x)=f(x)-L,(x)+L,(x)-L,(x)

=/；)(x-Xo)(x-X|)+(>()一歹0)^~~+(yi~—

,从而

2!x0.X]x{-x0

COSJ/、/、/_xx-x./_xX-XG7X

=一一-(x-x0)(x-x,)+(y0-y0)-------+(%一%)------,穴(x()，xJ

2%一七%,-x0

AAx-x

|R(X)K1cosJ(X-x0)(x-X|)|+瓦一y0|_'+'一yj0

X-X,1…5x-x。

——(X-Xg)(x_X])+—xlOX-----+-X10x------

人一匹2

1h2

<----+-X10-5=-x——+-X10-5=-x6.94xl0-5+-X10-5=3.47x1O-5

-242214400222

5、设占=%()+劭，k=1,2,3,求max，2(x)|

x0-x-x2

(X-Xo)(X-X|)(X-X3)

!:

max|/2(x)|max------------------——

.VQ—A*—

%%(x2-x0)(x2-Xj)(x2-/)

(x—x)(x—x—h)(x—x—3h)

［解］=max000

(2/2)A(-/2)

=—ymax\(x-x0)(x-x0-=(x-x0-3/i)|

/(x)=(x-x)(x-x-h)(x-x-3A)

令0QQ，则

=x—(3XQ+4/?)x"+(3x；+8//?+3/J，)x—(x；+4/zxj+3h~)

*22

f\x)=3x-2(3X(,+4h)x+(3x；+8xoh+3h),从而极值点可能为

22

_2(3x0+4//)±74(3x0+4/?)-12(3x^+8xoh+3h)

6,又因为

_(3x0+4/i)±V7/?_4±V7

--=X(\।fl

3°3

4-y［l4—V^71--\［1—5—V71/z-3

/(xH-------h)=------hx------hx--------h=—(14V7—20)/i',

0333327

4+近4+V7,1+77,77—5,1一不，3

f(xH-------/z)=------hx------hx------h=----(20+14J7)/?,

°n333327

显然/Go+4,h)</(x0+4+?h)，所以

34

max\l2(x)|f(x0+4+S力)=_-L(20+14-J7)/?=疗。

但宝2\42/1332/2727

6、设与(j=0』,)为互异节点,求证：

1)£x；/j(x)三■?(/J=0,1,••■,«)；

j=o

2)-x)Z(x)三/(k=1,2,­­•,/?)；

7=0

［解］1)因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2)设/(>')=(y-x)*，则左侧是/(>')=(y-x)k的n阶拉格朗日多项式,令y=x,

即得求证。

8、在-4Wx<4上给出/(x)=e，的等距节点函数表，若用二次插值求e,的近似

值，要使截断误差不超过1CT6,问使用函数表的步长h应取多少？

[解]由题意可知，设x使用节点X0=X//2,不，/=七+%进行二次插值，则

&(x)=工”(x-%0)。-玉)(x-x2)

插值余项为N'，

=-[x-(x,-h)](x-xl)[x-(x]+/2)],Je(x0,x2)

o

322

令fW=[x-(Xj-h)](x-x])[x-(Xj+/?)]=x-3xjX+(3x；-h)x+x1(xf-h?),

2

则/'(%)=31-6x]x+(3xf-h),从而/(x)的极值点为x=x1土gk,故

Irx|V3,〃V32A/33玲

max/((x)=-/?.(14----)h-(1--)//=--/r,而

eq3339

33

\R2(X)\<—max|/(x)|<-^-h=­h,要使其不超过10」,则有

1

6*女216927

<10-6,即//W"2Yelxlo"-3.48%10-2=0472x10-2。

27e27.389

9、若y“=2",求A4y“及b'y,,。

4

A"=(E-/)y„立㈠)/。4rL江㈠丫门》一

j=0\JJj=0\jJ

[解]=(_l)o]：卜+4+(—1)(：卜+3+(-1)2(；卜短+(-1)31卜M+(-1)4[：>,。

,,+4,,+2,,+l

=2-4x2"3+6x2-4x2+2"

=16x2"-32x2"+24x2"-8x2"+2"=2n

3%=(£-/)4y“=之(-1)，(4归*"葭

=Z(T)，(：卜=Z(T)(:卜“+2-j

j=0\JJj=0\JJ

=QI)］>,+2+(T“(J4、x+i+(T)(a4、+(T(口4、小+((T4、)。

=2n+2-4x2n+1+6x2"-4x2"-'+2"-2

=16x2"--32x2"T+24X2"T一8x2"一+2"<=2"-2

10、如果"x）是m次多项式,记V（无）=〃％+力）一/（尤）,证明/（x）的k阶差分

N/（x）（0W&Wm）是加一人次多项式，并且N"+，/（x）=0（1为正整数）。

［证明］对k使用数学归纳法可证。

11、证明A（九gQ=5kgz+fM。

^fgk)=fkiS-fg=fk+\gk+「fkgk+i+f8ki-fkSk

［证明］k+Mkkk+

=(A+i-fk)gk+i+=(g*+i-g«)=Mkgk+i+

，一1.一I

12、证明X力3=/.g“—/ogo—Zg"+M。

k=OA=O

［证明］因为

1yr,一!

ZfZk+2^+1颂=E(fZk+gk+i颂)

k=ok=ok=o，故得证。

,一！.一!

=Z1/(g&+i-g*)+g*+i(/*+i-/月=Z(g“J*+i一/g*)=/"g"一/og。

k=Ok=0

w-I

i3>证明：Z'x=4v〃一八打。

j=O

JLI.?一!

［证明］Xx=Z(△>加一划)=-△)’()。

j=oj=o

n

14、若f(x)=a0+a,x+---+an_,x''+%x"有n个不同实根x”/，…，怎，证明

»x：JO,0<k<n-2

马广(乙)=后,k=n-\

［证明］由题意可设f(x)=an(x-)(x-x2)•••(x-xn)=a“什(x-xj,故

(=i

，

f(xj)-anY[(xj-%,),再由差商的性质1和3可知:

沏/=1

=£[3——=，工"区,…，招]=’富?，从而得证。

““(为7，)明明("

i=\

Mj

15、证明n阶均差有下列性质：

1)若F(x)=t/(x),则“XtpXi，…,x“]=c/[Xo，X],…,七」；

2)若F(x)=/(x)+g(x)，则F[x(),X1,…,x,』=/[xo，x”…,x,』+g[xo，xnx,」。

eF(x)"cf(x：)

产[尤°,莅,x,』=--------=--------

网fl"—,)xfj(Xj-巧)

f=o/=0

[证明]1),由o

Vf(Xj)

C

=L-------------=cf[xQ,x1,---,xn]

j=°n(Xjf)

i=0

由

„r]v尸(Xj)</(X/)+g(Xj)

网立⑴-马)六。n(xy-x,.)

i=Oi=0

2)'刃叼

//(Xj)g(Xj)rr1「1

=L~—:——:—=/[/，再，…，苞』+矶工。，M，…，1,』

>=o

>="n(x7-x,.)n(x7.-x,.)

、f⑻冉0

16、/(x)=/+/+3x+l,求/[2°,21・・,27],/[2°,21,---,28]=^—^=-=0o

8!8!

[解]/[2°,2',-,27]=q=1,/[20,2',-,28]o

17、证明两点三次埃尔米特插值余项是

&*)=/">0"—与)2*—4+|)2/4!,(4,4+1),

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。

Q

[解]见P30与P33,误差限为。①)+—hmax园。

271

19、求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足尸(0)=P'(0)=0,

/1)=所1)=1,P⑵=1。

%4ax32

［角星］设P(x)=<24+i^+的/++/，贝UP'(x)=4tz4x+3a3x+2a2x+at,

再由尸(0)=〃(0)=0,p(l)=p/(l)=l,P(2)=l可得:

0=a八

0=P(0)=劭0

0

0=/(0)=%=%

9

1=尸⑴=a+a+a+a+〃0解得<=ao从而

432142

1=P'(x)=4%+3。3+2的+

«!3

+2cli+6Z—=a3

1=尸⑵=16%+8%+02

1

—a

14=4

2“X-3-

…1433922X

P(x)=-x——X+—x=—(x-6x+9)=o

42444

20、设〃x)eC［a,b］,把［a,"分为n等分，试构造一个台阶形的零次分段插值函

数/(x),并证明当n->8时，e.(x)在以㈤上一•致收敛到/(x)。

sup/(x)+inf/(x)

［解］令处(x)=3当——产巴一，i=l,2,3,…,*

21、设/*)=1/(1+/)，在—5Wx<5上取”=10,按等距节点求分段线性插值

函数〃(x)，计算各节点中点处的，(x)与/(x)的值，并估计误差。

［解］由题意可知，h=\,从而当xw［x*,x*+J时，

，/、r,,,1X~X,.+|L1X-Xk

/%(x)=fklk+fk+L+l=----7------+--------r-------

l+k-x-xl+(k+l)-x-x

kk+lk+lko

11

=-------(X-4+1)­*--------------(x-)

h(\+k2)/i(i+a+i)2］

22、求〃x)=/在上的分段线性插值函数/%(x),并估计误差。

［解］设将［a,"划分为长度为h的小区间a=x0WX|W…Wx.=8,则当

xe［x£，4+J,%=0,1,2,…,〃一1时,

，/\一，，2元-4+12X~XkXk+\(X—4)一Xk(X—Xk+\)

Ih(%)=fJk+fk+Jk+\=Xk+Xk+\

X「Xk+iKf

XX

_X(X；+1-年)+4+1X；~k+\k_/.rrY

一84+］十4J4+14

3-4

从而误差为此(X)=萼(f)(x-％)=(f-

力2

故艮（幻|二|（%一九）。一匕+）K彳。

23、求/。）=/在鼠”上的分段埃尔米特插值，并估计误差。

［解］设将划分为长度为h的小区间。=与《玉工…工%=。，则当

xe民,Z+J，k=0,1,2,…，〃-1时,

/力(x)=fk%+fk+l%+［+fkBk+fk+lBk+1(X)

可Ud（f）+4认二:卜一心

r(4)(Q

2222

从而误差为R2(x)=-(x-xA.)(x-xk+］)=(x-xk)(x-xk+}),

故网⑴=|（X7*）2（X-X*+1）2归而。

24、给定数据表如下：

Xj0.250.300.390.450.53

yj0.50000.54770.62450.67080.7280

试求三次样条函数S（x）,并满足条件:

1)5/(0.25)=1.0000,5z(0.53)=0.6868；

2)S〃(0.25)=S"(0.53)=0。

［解］由％=0.30—0.25=0.05,4=0.39-0.30=009,h2=0.45-0.39=0.06,

h.hM

/?=0.53-0.45=0.08,及(8.10)式儿=——2—,(J=1,•••,«-1)

37}

hJ,T,+/?,J.h

0.090.062

可知，40.05+0.094=

/?1+h0.09+0.065

0.084

4=

h2+h30.06+0.087

0.055%0.093

4=---，〃2

60+h]0.05+0.091424+0.09+0.065

力20.063

出=

h2+/z30.06+0.087

由(8.11)式勺+(j=l,…〃一1)可知,

9/(xj-/(x°)।5/(4)-/(花)

g,=3(A1/[X0,XI]+//1/[X1,X2])=3[]

14%1-%014x2-Xj

c/90.5477-0.500050.6245-0.5477

=3x(—x---------------------+一x-)--------------------

140.30-0.25140.39-0.30

个，94775768、19279

=3x(—x------1—x-----)==2.7541

14500149007000

2/(X)-/(X,)3/(X)-/(X)

-------------2--------------------1---------------3----------------2---

g2=3(A2/[x1,x2]+x/2/[%2,x3])=3[1

5x2—x.5x3-x2

c20.6245-0.547730.6708—0.6245、

=3x(z—x______________।x______________)

50.39-0.3050.45-0.39

.,27683463、4x256+3x463

=3x(-x------1—x-----)———13

590056001000

4/（七）-/区）+3/缶）-/5）

g3=3(A,/[X2,X3]+//3/[X3,X4])=3[]

7X3-x27x4-x3

c40.6708-0.624530.7280-0.6708、

=3x(—x---------------------+-x---------------------)o从而

70.45-0.3970.53-0.45

44633472、4x463+9x1181457汽八…

=3x(—x-----1—x-----)=---------------------=-------=2.0814

760078001400700

5

209

142.7541--x1.0000

142.1112

23

1）矩阵形式为:2m2.4132.413，解得

552

m31.7871

432.0814--X0.6868

027

7

0.9078

二

m20.8278从而S(x)=Z[y(x)+(x)]。

j=o

m30.6570

2)此为自然边界条件，故

V-嚅曾=3嚼口62；

^3x0.7280-0.6708572

Sn=3/[X“T，X,』=3X=3x—=2.145,

X“_X"_10.53-0.45800

21000

9c5八八

—2—00mo-2.862-机0

1414m2.7541仍

23]

矩阵形式为：0-2-0m=2.413,可以解得m,从而

5522

2.0814m

八八4c3机33

00-2-2.145

77机4加4

4

000-2

7

S(x)=^[yJaJ(x)+mj/3i(x)]。

j=0

25、若/(x)eC2[a向，SQ)是三次样条函数，证明

1)[\f\x^dx-[[Sr(x)]2dx=[[f\x)-S\x)]2dx+2p7x)[/7x)-S\x)]dx；

2)若/(%,.)=S(xJ(i=0,1,…,〃)，式中巧为插值节点，且a-x0<xt<-<xn-b

则fS"(x)""(x)-S\x)]dx=S\b)[f\b)-5W-S\a)[fXa)-S'⑷]。

f[/7x)-S\x)]2dx+2fS"(x)""(x)-S\x)]dx

=£[f\x)-5*(x)]2+2S\x)[f\x)-S*(x)]Jx

[解]1)=f{LT(x)-S"(x)]+2S'(x)}""(x)-S"(x)]dxo

=f""(x)+S"(x)]""(x)-S'(x)Mx=f""(x)]2-[Syx)]2dx

=[[f\x^dx-[[S\x^dx

2)由题意可知，S"(x)=A,XG[a,b],所以

fs"(x)""(x)—S"(x)mx={S"(x)"'(x)—S'(x)]}：-j"'(x)-S'(x)]S"(x)dx

=S\b)[fXb)-S\b)]-S\a)[fXa)一S'(。)]-A^[f\x)-S\x)]dx

=S"S)"'(b)—S'3)]—S'(a)"'⑷一S'(。)]一A[f(x)-S(<

=S"3)"'(b)-SQ)]-S〃⑷"'⑷一S'(a)]

第三章函数逼近与计算

1、(a)利用区间变换推出区间为以力］的伯恩斯坦多项式;

(b)对/(x)=sinx在0,^上求1次和3次伯恩斯坦多项式并画出图形，并与

相应的马克劳林级数部分和误差做出比较。

[解](a)令x=a+(b-a)f,则从而伯恩斯坦多项式为

B„(/,%)=之心-呼处(X),其中”(X)=[卜(b-a-xy-k。

(b)令X=5f,则从而伯恩斯坦多项式为

线(九口=f/(当6(x),其中Pk(x)=>(9x)5

仁2〃2

Bi(九X)=£樗刈⑴=/明若7卜/式.

»

=sinOx^y-x^+sin^xx=+x=x

3

”(/，x)=Z/(K)鼻(X)

7(端)笛令伊(/)2

+吗微弓2+"羽Y-"

O

=sinOxf-+sin—x3x(--x)2+sin—x3x2(—~x)+sin—xx3

(2J62322

3.71.23-732/〃、33/%223、3A/3.7123、3

=­X(----X)-H----X(-----X)4-X=­(----X~~TCX.^+X')H-----(—X-X)+X*

22222422

=叱X_」%(2_扬》2_J_(3百_5)1

842

2^求证:(a)当机时，m<<M；

(b)当/(x)=x时，Bn(f,x)=xo

［证明］(a)由线(/,x)=£/(勺G(x)及aW/(x)WM可知,

k=0〃

机fP,(x)<£mPk(x)<Bn(f,x)<YMPk(x)<MYPk