（基础数学专业论文）stein流形局部q凸楔形上的（e）方程解的一致估计.pdf

厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其他个人或集体的研究 成果，均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由 此论文而产生的责任 声明人( 签名) 翁旌囊 妣7 年乡月日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规 定厦门大学有权保留并向国家主管部门或者指定机构送 交论文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目 的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将 学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用 本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( ) ( 请在以上相应括号内打竹，) 黧牟臀 导师签名：1 胗左旋 日期：2 驴1 年尹月形日 日期：砷年 月7 日 曼! 塑煎墅旦叠垡：鱼堡墅占生查堡堡丝二墼笪盐 1 摘要 熟知s t e i n 流形是一个极其重要的流形，在s t e i n 流形上有很多非常数 的全纯函数c n 就是一个s t e i n 流形，所以在s t e i n 流形上研究多元复分 析是很自然的积分表示方法是多元复分析的主要方法之一，它的主要优点 是象单复变数的c a u c h y 积分公式一样便于估计过去人们已经得到了许多 c = ，i 以及s t e i n 流形逐块光滑强拟凸域上为解否l 方程所需的积分公式，由此 也得到了一些( 0 ，8 ) 型微分形式的瓦方程解的h 6 1 d e x 估计和一致估计 c l a u r e n t - t h i e b a u t & j l e i t e r e r 1 q 引进局部铲凸楔形。它是逐块光滑强拟 凸域的拓广，从而得到了c 馆上局部g - 凸楔形的c a u c h y - r i e m a n n 方程解的 一致估计钟同德 1 4 1 利用h e r m i t i a n 度量和陈联络 1 3 1 得到了s t e i n 流形局 部铲凸楔形上s ) 型微分形式的的同伦公式和压方程的解，在此基础上作 者利用c l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r i o 】的思想和r m r a n g e y t s i u s 的方法。得到s t e i n 流形上局部铲凸楔形上8 ) 型微分形式的参方程解的 一致估计 全文分三章，主要是把c n 上的局部酽凸楔形上的参方程解的一致估 计推广到s t e i n 流形上本文假定x 是一复死维s t e i n 流形。dc cx 是一 开集 第一章介绍了s t e i n 流形上的一些定义，基本定理和记号，包括s t e i n 流 形，复切丛，复余切丛。纤维以及最重要的基本定理等 第二章介绍了钟同德1 1 4 】的工作。首先引入s t e i n 流形上局部口凸楔 形。然后利用h e r m i t i a n 度量和陈联络【1 3 l ，并给出了相应的l e r a y 映射，得到 了s t e i n 流形局部哥凸楔形上的同伦公式和参方程的解得到的公式不含 边界积分。从而避免了边界积分的复杂估计由于局部口凸楔形是逐块光滑 强拟凸域的拓广，所以得到的同伦公式是有普遍意义的，它在口- 凸楔形上参 方程的解的一致估计和c r - 流形的全纯开拓上有重要作用 第三章应用c l a u r e n t t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 的思想，利用h e r m i t i a n 度量和陈联络【堋，以及局部化技巧，首先给出了s t e i n 流形局部g 凸楔形 一一 一s t e n 流形局部q 一凸楔形上a 方程解的一致估计 2 上( ，s ) ( r 0 ，8 0 ) 型微分形式的积分算子日核的一些估计。然后利用 r m r a n g e y t s i u n 的方法得到了s t e i n 流形局部口- 凸楔形上( ，s ) 形 式的参方程解的一致估计 关键词：s t e i n 流形；局部q - 凸楔形；h e r m i t i a n 度量；陈联络；一 致估计 a b s t r a c t i t i sw e l lk n o w nt h a t8s t e i nm a n i f o l di sa v e r yi m p o r t a n tm a n i f o l do n w h i c ht h e r ea r em a n yn o n c o n s t a n th o l o m o r p h i cf u n c t i o n s c ni sj u s tas t e i n m a n i f o l d s oi ti sv e r yn a t u r a lt or e s e a r c hi n t oc o m p l e xa n a l y s i si ns e v e r a lv a r i a b l e so ns t e i nm a n i f o l d s t h ei n t e g r a lr e p r e s e n t a t i o nm e t h o di so n eo fm a i n m e t h o d so fc o m p l e xa n a l y s i si ns e v e r a lv a r i a b l e s i nt h ep a s t ，m a n yi n t e g r a l f o r m l l l a sf o rs o l v i n gt h e0 - e q u a t i o n so nc na n ds t e i nm a n i f o l d sw e r eo b t a i n e d b a s e do nt h e s ei n t e g r a lf o r m u l a s ，t h eh s l d e re s t i m a t e sa n du n i f o r me s t i m a t e s o fs o l u t i o n so ft h eo - e q u a t i o n sf o r ( 0 ，s ) d i f f e r e n t i a lf o r m sw e r ea l s o g i v e n c l a u r e n t - t h i e b a u t & j l e i t e r e r 1 0 】i n t r o d u c e dl o c a lq - c o n v e xw e d g e si nc n ， w h i c ha r ee x t e n s i o n so fp i e c e w i s es m o o t hp s e u d o c o n v e xd o m a i n s ，o b t a i n e dt h e h o m o t o p yf o r m u l aa n dt h eu n i f o r me s t i m a t e sf o rt h ec a u c h y - r i e m a n ne q u a - t i o no nq - c o n v e xw e d g e si nc n b yu s i n gt h eh e r m i t i a nm e t r i ca n dc h e r n c o n n e c t i o n 堋，t o n g d ez h o n g 1 4 】o b t a i n e dt h eh o m o t o p yf o r m l a sf o rn8 ) d i f - f e r e n t i a lf o r m sa n ds o l u t i o n so f ( 蚕- e q u a t i o no nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i n m a n i f o l d s o nt h eb a s i so f 【1 0 ，1 4 ，b ym e a n so ft h ei d e a so fc l a u r e n t - t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 1a n dt r i c ko fr a n g e s i n s ) t h ea u t h o ro b t a i n st h e u n i f o r me s t i m a t e so ft h es o l u t i o n so f 参e q u a t i o n sf o r ( r ，8 ) d i f f e r e n t i a lf o r m s o nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i nm a n i f o l d s t h ew h o l ed i s s e r t a t i o ni n c l u d e st h r e ec h a p t e r s t h ea i mo ft h i sp a p e r i st og e n e r a l i z et h eu n i f o r me s t i m a t e so fs o l u t i o n so fo - e q u a t i o n so nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si nc nt os t e i nm a n i f o l d s s u p p o s et h a txi sas t e i nm a n i f o l d o fc o m p l e xd i m e n s i o n 扎a n ddc cx i sa no p e ns e t i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ea u t h o ri n t r o d u c e ss o m ed e f i n i t i o n s ，t h eb a s i c l e m m aa n dn o t a t i o n so ns t e i n m a n i f o l d s ，i n c l u d i n ga s t e i nm a n i f o l d ，t h ec o m - p l e xt a n g e n tb u n d l e ，t h ec o m p l e xc o t a n g e n tb u n d l e ，f i b r e ，a n dt h em o s ti m - p o r t a n tb a s i cl e m m aa n ds oo n i nt h es e c o n dc h a p t e r ，t h er e s u l t so ft o n g d ez h o n g 枷a l ei n t r o d u c e d t h el o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i nm a n i f o l d sa r ed e f i n e d t h e n ，b ym e a 3 1 8o f t h eh e r m i t i a nm e t r i ca n dc h e m c o n n e c t i o n 捌，t o n g d ez h o n g 1 4 c o n s t r u c t e da l e r a ym a p ，a n do b t a i n e dt h eh o m o t o p yf o r m u l a sa n ds o l u t i o n so f0 - e q u a t i o n o nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i nm a n i f o l d s t h ei n t e g r a lf o r m u l ad o e sn o t i n v o l v eb o u n d a r yi n t e g r a l s ，s oo n e c a na v o i d c o m p l e xe s t i m a t e so ft h eb o u n d a r y i n t e g r a l s m o r e o v e r ，al o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i nm a n i f o l d si sa ne x t e n s i o n o fp i e c e w i s es m o o t hp s e u d o c o n v e xd o m a i n ，s ot h eh o m o t o p yf o r m u l ah a si t s g e n e r a l i z a t i o nm e a n i n g ，i th a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nu n i f o r me s t i m a t e so f a - e q u a t i o na n dh o l o m o r p h i ce x t e n s i o no fc r - m a n i f o l d s i nt h et h i r dc h a p t e r ，b ym e a n so ft h ei d e a so fc l a u r e n t t h i e b a n ta n dj l e i t e r e r 堋，a n db yi n t r o d u c i n gt h eh e r m i t i a nm e t r i ca n dc h e r nc 伽【n e e t i o n 【1 3 1 a n du s i n go ft h el o c a l i z a t i o nt e c h n i q u e ，t h ea u t h o ra d m i t ss o m ee s t i m a t eo f t h ei n t e g r a lo p e r a t o rh f o r s ) ( ， 0 ，s 0 ) d i f f e r e n t i a lf o r m so nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i nm a n i f o l d s t h e nb ym e a n so ft h et r i c ko fr a n g e - s i n t r i c k s t h ea u t h o r sc o m p l i c a t e d l yc a l c u l a t et h eu n i f o r me s t i m a 乞i e 8o fs o l u t i o n s o fa - e q u a t i o no nl o c a lq - c o n v e xw e d g e si ns t e i nm a n i f o l d s k e yw o r d s ：s t e i nm a n i f o l d ；l o c a lq - c o n v e xw e d g e ；h e r m i t i a nm e t r i c ； c h e r nc o n n e c t i o n ；u n i f o r me s t i m a t e s t e i n 流形局部g - 凸楔形上乱方程解的一致估计宰 引言 现代数学的特点之一是高维，而多元复分析正是反映这一特点的方向之 一多元复分析研究的主要内容是复流形的分析与复几何，而多复变与复几何 是一门交叉性极强的方向，反映了数学的统性，是现代数学的核心与前沿之 一由于内容十分广泛和深刻，所以几乎用到现代数学的所有方法 早在1 8 3 1 年，c a u c h y 发现了以其名字命名的著名的c a u c h y 积分公 式。数学家就认识到积分表示在复分析中的重要性自从上个世纪7 0 年代 g m h e n l 【i n 【1 ，2 】和h g r a u e r t i l i e b 3 1 分别得到了c 竹空间中强拟凸域上参 方程的解的积分公式后，多复变数的积分表示方法迅速发展起来，成为多元复 分析的主要方法之一，它的主要优点是象单变数的c a u c h y 积分公式一样便于 估计 熟知，c n 空间中全纯函数和光滑函数的积分表示及其应用已经有许多 研究 1 - e ! ，自从w k o p p e l m a n 7 1 于1 9 6 7 年得到了舻空间中( 0 ，s ) 型微分形 式的k o p p e l m a n 公式有关空间中( 0 ，s ) 型微分形式的积分表示理论也 已经有许多研究1 4 一1 9 7 0 年g m h e n l 【i n 【1 1 和h g r a u e r t i l i e b l 3 开始 了对c n 空间中具有光滑边界的强拟凸域上的压方程解进行研究1 9 7 3 年 r m r a n g e y t s i u i s 首先给出了c 竹空间中具有逐块光滑边界的强拟凸域 上( 0 ，s ) 型k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其乱方程解的一致估计对于 一般的具有逐块光滑边界的强拟凸多面体，g m h e n k i n & e m c h i r k a 9 给 出了k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式及其压方程解的一致估计 1 9 9 3 年c l a u r e n t t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 】构造了一个关于入是非线 性的l e r a y 映射，从而得到了中局部 国家自然科学基金资助项目( 项目批准号t 材 口- 凸楔形上的同伦公式和参方 1 0 5 7 1 1 4 4 ) 和厦门大学新世纪优秀人才计 兰! 呈垫煎璺旦塑垡二凸堡垄土生查墨堡鳗二墼笪过 6 程解的一致估计对于q = 铭一l ，由定义，局部争凸楔形是逐块光滑强 拟凸邻域因此局部口凸楔形代表了一类很广泛的域，它被g m h e n k i n r a a i r a p e t j a n 1 1 1 ，a a n d r e o t t i & h g r a u e r t 1 2 等广泛应用于讨论c r 流形， 切线c a u c h y - r i e m a n n 方程，c r - 函数的全纯开拓和参上同调理论 j p d e m a i l y c l a u r a n t t h i e b a u t 【1 3 】研究s t e i n 流形上的( r ，s ) 型微 分形式的积分公式，它和c n 的( ，s ) 型微分形式及s t e i n 流形上的( 0 ，s ) 型 微分形式不同，这时不能像俨空间一样采用e u c l i d 度量，因为此时e u c l i d 度量不是全纯变换下的不变度量，为了解决不变度量的问题，j p d e m a i l y c l a u r a n t t h i e b a u t1 1 3 利用h e r m i t i a n 度量和陈联络，构造了s t e i n 流形关 于ns ) 型微分形式在不变度量下的积分核，得到了s t e i n 流形上k o p p e l m a n 公式和k o p p e l m a n - l e r a y - n o r g u e t 公式和压方程的解，这个思想非常重要 在此基础上钟同德i x 4 1 利用h e r m i t i a n 度量和陈联络，构造了s t e i n 流形局部 铲凸楔形上( r s ) 微分形式在不变度量下的各种积分核，得到了s t e i n 流形局 部铲凸楔形上的同伦公式和压方程的解如此得到的公式不含有边界积分， 从而避免了边界积分的复杂估计，并且积分核也不必定义在边界上而只需定 义在区域内，它可来讨论全纯开拓的问题 接着自然是对由积分公式给出的良方程进行估计首先给出了c n 空间 中有俨边界的强拟凸开集和强拟凸域上的蚕方程解具有1 2 - h s l d e r 估计 接着又得到一系列的c 中边界非光滑和边界逐块c 1 光滑的强拟凸域以及强 拟凸多面体上的扛方程的解具有一致估计 4 - s 1 9 7 0 年。g m h e n k i n 2 利 用由h e n k i n 和l ：b , n l i r e z 构造的积分公式获得了c n 上俨强拟凸开集的参 方程解的一致估计，并且h s l d e r 估计也由g m h e n k i n a v r o m a n o v l l 5 】所 证明 对于局部口凸楔形，当f 点嘿r ( d ) 时，1 9 7 3 年，r m r a n g e y t s i u 8 l 证明了当g = n 一1 且p = 0 时扣方程解的一致估计。对于任意g ，但边界 a d 光滑和p = 0 ，1 9 7 4 年w f i s c h e r 和i l i e b 1 6 】给出了证明对于p 0 ， 但光滑边界o d 和q = n 一1 时的乒方程解的一致估计于1 9 8 6 年由i l i e b & r m r a n g e 1 7 l 获得( 也可参考b f i s c h e r 1 8 | ) 但是这些都是考虑l e r a y 映射 s t e i n 流形局部q 一凸楔形上a 方程解的一致估计 7 关于入是线性的情况，因此可以对入直接积分当拓广强拟凸域后，即考虑 1 g n 一2 且边界a d 的光滑数增加时。人们就遇到了困难：l e r a y 映 射关于入不再是线性的当这个问题首次被r a a i r a p e t j a l l g m h e n k i n 1 1 l 提出时，他们发现当l e r a y 映射关于入是非线性的时候，对a 直接积分变的 很难，因此他们提出一个很重要的思想。如果l e r a y 映射关于a 是以某一特 殊有序的形式存在时，利用推广的f a n t a p p i e - f e y n m a n 公式 1 q ，消除积分还 是有可能的接着h e n k i n 1 9 l 提出t 1 ) 构造一个关于入是特殊有序的形式的l e r a y 映射， 2 ) 利用推广的f a n t a p p i e - f e y n m a n 公式对a 积分 3 ) 对获得的积分模进行估计 但是c l a u r e n t t h i e b a u t j l e i t e r e r 1 0 】发现要完成这个结果也很难， 所以他们就修改了h e n k i n 的方法t 不找特殊形式的l e r a y 映射，而是利用由 r m r a n g e y t s i n i s 和w f i s c h e r & i l i e b 1 6 l 推广构造的映射且证明 了在某一狭义意义下，这个l e r a y 映射是所讨论的特殊形式虽然这时对入 进行消除积分还是不可能，但是通过r a a i r a p e t j a n g m h e n k i n 1 1 l 推广 的f a n t a p p i e - f e y m n a n 公式类似的辅助估计，可以得到这个积分的适当的估 计从而得到了伊上局部铲凸楔形上( n ，r ) 形式的参方程解的一致估计 本文的目的是应用c l a u r e n t - t h i e b a u t 和j l e i t e r e r 1 0 l 的思想，利用h e r - m i t i a n 度量和陈联络 1 s l 以及局部化技巧，对s t e i n 流形局部俨凸楔形上a 方程的解进行一致估计 第一章，简单介绍了s t e i n 流形上复切丛，复余切丛，纤维等基本定义以 及基本引理，还有一些记号和预备知识这些初始工作是为后面的积分公式， 参方程和一致估计作准备的 第二章，设dc cm 是s t e i n 流形上局部争凸楔形，( ，p l ，触) 是俨标架，给出关于a 非线性的l e r a y 截面，利用h e r m i t i a n 度量和陈联络 【埘，构造s t e i n 流形关于( r ，8 ) 型微分形式在不变度量下的各种积分核从而得 到了s t e i n 流形上局部口- 凸楔形d 上的同伦公式和参方程的解【 第三章，在s t e i n 流形上，利用h e r m i t i a n 度量和陈联络1 1 3 1 以及局部化 s t e i n 流形局部g 一凸楔形上乱方程解的一致估计 8 技巧。引进优型形式和m 型算子给出了积分算子目的一些估计然后再利 用r m r a n g e y t s i u n 的方法给出参方程解的一致估计 第一章s t e i n 流形的有关定义和基本引理 在这一章里，我们介绍了s t e i n 流形的有关定义和基本引理，为后面的 定理和估计作准备 1 1s t e i n 流形 定义1 1 1 4 ，5 】设x 是一复n 维的复流形，秽= o ( x ) 为x 上的全纯 函数x 称为s t e i n 流形，如果它满足下列三个条件 ( i ) x 是全纯凸的，即对x 中任一紧集k ， ri 硒= z x ：i ，( 2 ) i s u pi i ，v o ( x ) l k j 也是x 中的紧集； ( 珏) x 中的全纯函数可分离x 上的点，即对于任意的z ，加x ，名锄，存在 ，秽( x ) ，使得f ( z ) ，) ； ( i i i ) x 上的全纯函数可给出x 的局部坐标，即对于任意的名x ，存在 ，厶d ( x ) ，( ， ) 是z 的一个邻域的局部坐标 注，h g r a u e r t 1 9 5 8 有个深刻的定理，即如果x 是一复流形，具有 强多次调和穷竭函数，那么x 是s t e i n 的，但是只要用条件( i ) 和( i i ) 就可以 证明s t e i n 流形有一强多次调和穷竭函数因此由g r a u e r t 定理可知在s t e i n 流形的定义中条件( i i ) 是多余的 定义1 1 2 4 ，5 l 复切丛和复余切丛及其范数 设x 是一个复n 维的复流形，令 ( ，吻) 是x 的全纯坐标卡设 巧c cx 令g 巧( z ) ：= 气。酊t ( z ) ，2 阢n ，这里j h i o h 7 1 ( z ) 是h i o 町1 在名 的j a c o b i 矩阵那么在职n 巧n 巩有g j k = q 知由过渡函数g 巧定义x 上的全纯向量丛用t ( x ) 表示，称作x 上的复切丛由过渡函数( 哦j ) 。定义 x 上的全纯向量丛用r ( x ) 表示，称作x 上的复余切丛，这里( g 岛) 。是g 岛 的转置t ( x ) 和t + ( x ) 在z x 的纤维用( x ) 和( x ) 表示t ( x ) 曼! 塑鎏垄星塑望二鱼塑丝占生查堡竖丝= 墼鱼煎 1 0 和t ( x ) 关于投影x x x ，( z ，( ) 一z 的拉回分别记为t ( x x ) 和 t ( x x ) t ( x ) 的全纯截面分别记为s c z ，( ) ，即有 s ( z ，e ) ：x x 叫t c x x ) ， 选择x 的一组局部有限开覆盖 ，使得对每一歹，有一组全纯坐标 b ：一。以及全纯平凡化略：t c x ) i u , 一舻其次，命 均) 为 从属于 的c 单位分解那么每一t ( x ) 值形成s ( 名，e ) 在集合d x 上可以和一向量组 s o ) 等同，其中向量组 s o ) ) 由在h j ( v j nd ) 伊 上的穆全纯函数的向量s d ) = ( 晔，职) 所构成的定义s ( z ，( ) 的 范数为 慨“) 忙均( z ) e i i s y ( h a 圳，z d j r - - - - i 其中0 鹳( 如( 名) ) l i 是系数为8 y ) c a a 名) ) 的向量的欧氏长度 1 2 基本引理 下面的基本引理可参见文献 8 】中的引理4 2 4 引理1 。2 1 【4 】设x 是一个复死维的s t e i n 流形，t ( x ) 是x 上的复切 丛再假设x 是一个更大s t e i n 流形上相对紧开集那么存在一个全纯映射 s ：x x 啼t c x ) 和x x 上的全纯函数妒满足以下条件， ( i ) 对于任意的z ，e x ，s ( z ，e ) ) ( 即s ( z ，e ) 是丛t ( x ) 关于映射 x x 弓( z ，( ) 叫z x 的拉回上的截面) ) 对任意固定的z x ，s ( z ，z ) = 0 ，从x 到( x ) 的映射s ( z ，e ) 在( = z 的邻域上是双全纯的 ( i i i ) 对任意的z x ，妒( z ，z ) = 1 ( i v ) 如果b 是由s 生成的x x 伊的解析子层，那么妒f s ( ( x x ) ( z ，z ) ：z x ) ) 曼! 堕鎏堑旦塑垒：鱼塑受占重：查堡壁笪= 墼笪过 1 1 ( v ) 存在个整数杖0 使得t ( x ) 中对于任意的范数1 1 0 ，函数忪0 2 在( x x ) ( z ，z ) ：z x ) 是俨的 注，引理中假设，_ x 为一更大的s t e i n 流形的相对紧开子集”可以不 要，引理照样成立 1 3记号和预备知识 命t ，= ( 钉l ，) 和t i = ( u l ，) 为复- 流形x 上的复c ( 1 ) 一函 数定义 = t l t t l + + t 正n ， u ( u ) = d u la ad u n ， ( 移) = ( - - 1 ) j - l v ja d r , ， j - - 1 矗向 咖，= 锹等拶 如果e 表示x 上的变量而函数码和还依赖于其他变量，则记为吣， 和q c 如果吻和中的独立变量不止一个，则这些独立变量都要标出 以下我们假定 ( ，如) ) 是x 的全纯坐标卡集使得对所有的歹，c c x 如果d 是x 中的开集，则记t ( x ) 和p ( x ) 在d 上的限制为t ( d ) 和p ( d ) 根据定义1 1 2 ，现在固定全纯平凡化奶：r ( ) 啼c n 和 蝣：t ( 玛) 一铲使得 ( z ，( 吼( z ) ) ( ) = 蛾。蜉1 ( 名，( ) ，( z ，( ( ) 一1 ( z ) ) e ) = 僻。( 蝣) 一1 ( 名，( ) ， z 阢n ，( c n 如果z 和a 正( x ) ( 口( x ) ) ，那么具有咖a ) = ( z ，) ( 够( 8 ) = ( z ，吩) ) 的向量吩c n 称为n 关于 ( 码，b ) 的表示如果z 阢i 1 ， n 正( x ) ，b ( x ) 且 z i ，吩，2 i i ，吃分别为a ，b 关于( 阢，鬼) 和( ，吗) 的 表示，那么有 a i = 吼( z ) ，玩= ( ) 一( z ) b j 墅堕煎垄旦塑坌些堡垄占生壅墨壁丝二墼垡盐 1 2 因此，下述定义是正确的 定义1 3 1 【5 l 如果z x ，口疋( x ) 和b 贮( x ) ，则可任意选择一歹 使z 巧并定义 ：= ， 其中如和吩是b 和a 关于( ，如) 的表示 现在命d x 为开集，为一实的c 0 ) 一流形，并命a ：dxn 啼 t ( x ) 和b ：d n 辛p ) 为c o ) - 映射，使得对所有的( z ，y ) d n 有a ( z ，可) 正( x ) 和6 ( 名，y ) ( x ) 命：( di i ) n 辛c n 和 b ：( di i ) xn 一伊为a 和b 关于( ，) 的表示则 以( b d z ，可) ) ( 吼( z ，秒) ) = q ( ( z ，可) ) ( 吩( z ，秒) ) ，z d n y n 酪，y 因此有下述定义 定义1 3 2 【5 1 如果d x 为一开集，为一实的c ( 1 ) 一流形， 口： d x n 啼t ( x ) 和b ：d x n 哼p ( x ) 为c ( 1 ) 一映射，使得对所有的( z ，掣) dx n 有a ( z ，y ) 正( x ) 和b ( z ，y ) ( x ) 命：( dn ) xn 一和 如：( di i ) xn c n 为口和b 关于( ，吗) 的表示则可任意选择一歹 使z d i i 并定义在d n 上的连续微分形式u ：( 6 ( 之，秒) ) 屿( 口( z ，可) ) 以( 6 ( z ，影) ) a 屿( 口( 名，箩) ) = 以( b ( z ，箩) ) 屿( 哟( z ，秒) ) ，z di 1 ，秒 下面我们引进下述有关雪( z ，e ) 的定义 定义1 3 3 4 ，5 】引进一保持纤维的c 一映射 矿：t ( x ) 一t ( x ) 它相应于c n 中的映射z 一乏，使得满足下列条件。对所有a t ( x ) ， 0 并且映射 l l a l l 一：= ( ) 主，口t ( x ) 在t ( x ) 的每一纤维上定义一范数这样的映射口可以按下述方式定义；如 果z ，口正( x ) 且是a 关于( ，b ) 的表示，则记乃口为( x ) 中 璺! 塑煎垄旦叠垡：凸堡垄土生友堡蟹丝二墼笪盐 1 3 的向量，它关于( ，b ) 的表示为弓选择一从属于的c o o _ 单位分解勋 并定义 o t l ：= 尥( 加，a ，n t x x ) ，z x j 并记s ( z ，e ) ：- - - a s ( z ，e ) ( 这样吾( z ，e ) 就可以替代c n 中的映射于一2 ) 记t ( x x ) 和t ( x x ) 是通过映射x x _ x ，( 名，( ) hz 定义的 t ( x ) 和p ( x ) 的拉回相应的，尹( x x a k ) 是由映射( z ，e ，入) h 名 定义的t ( x ) 的拉回 命0 是个t ( x x ) 上的c 的h e r m i t i a n 矩阵 命d ，v 和分别是于xx ) ，于( x x ) 和于( x x a k ) 上相对 于口，扩和伊的c h e r n 联络其中扩，伊是于( x x ) 和尹( x x a k ) 上由口引导处来的h e r m i t e 矩阵 假设( 勺) 饕l 是r x ) 上的全纯局部标架在这些标架下，矩阵9 用个不依赖于变量2 的正的c o o h e r m i t e 矩阵来表示 命牡，钍+ ，色分别是s ，9 和雪相对于全纯标架的表示则d u + ( h _ 1 0 h ) a u 是全纯标架下d s 的表示，其中s ，酽和雪如f 1 3 】中定义 命v = v + 矿，其中v ”= 覆，c a = ，+ a ”，其中 ：c 嚣，r ( x x k ，e 事) 一c ”o o l ，口，( xxx k ，e ) ， ”：嚷，( x x k ，e ) _ c 器+ 1 ，r ( x x k ，e ) o 嚷，件l ( x x a k ，彦) 则我们有a u = 曰( 晚，c ( 曰一1 秒) ) ，a ”口= ( 魂，c + 以) u 秒是7 7 的坐标表示， 刀 如【1 3 】所定义 璺! 堕煎垄旦塑望二鱼堡垄土垒友堡堡丝= 墼笪盐 1 4 第二章s t e i n 流形局部g - 凸楔形上的同伦公 式和沪方程的解 首先介绍了了一些记号和准备知识，然后给出局部铲凸楔形的定义，再 利用h e r m i t i a n 度量和陈联络，给出了相应的l e r a y 映射，从而得到了s t e i n 流形局部q - 凸域上的同伦公式和覆方程的解 2 1记号和预备知识 命j = u l ，五) ，1 z 0 0 ，为整数的有序集记l j l = z ，j ( 痧) = o l ，力一1 ，力+ l ，歹1 ) ，= 1 ，z ，记歹j 如果歹 j l ，五) 命n 1 是一