（基础数学专业论文）线性流形上矩阵方程atxab的解.pdf

线性流形上矩阵方程a 7 x a = b 的解 摘要 本论文研究线性流形上矩阵方程a ，x a = 口的解，由六章组成 在第一章，我们对矩阵方程a i x a = 口的解问题的历史背景与现状进 行了综述 在第二章，我们研究了线性流形s = f x d 。s 形”i x z = y y = y ( d 2 z ) + d 2 z ，z 7 d 2 y = y 7 d 2 z ，z 彤。 上矩阵方程a 7 x a = b 的d 对称解运用矩阵对的广义奇异值分解，给出了这类线性流形上矩阵方程 a 7 x a = b 存在d 对称解的充要条件及其通解的表达式另外给出了它的 d 对称最小二乘解的表达式 在第三章，我们研究了线性流形s = f x g k s r “| | i x r z l i = r a i n ，kz r “ 上矩阵方程a 7 x a = 日的广义次对称解利用矩阵对的标准相关分 解，给出了这类线性流形上矩阵方程a ， x a = b 存在广义次对称解的充要 条件及其通解表达式，并且导出了极小p r o b e n i u s 范数广义次对称解的表达 式另外，利用矩阵对的商奇异值分解，给出了它的广义次对称最小二乘 解的表达式 在第四章，我们研究了线性流形s = x c s r “”l i i x z 一圳= r a i n ，y ，z 足“) 上矩阵方程a r x a = b 的中心对称解利用矩阵对的商奇异值分解， 给出了这类线性流形上矩阵方程a t x a 一_ b 存在中心对称解的充要条件及 其通解表达式另外，导出了在线性流形上矩阵方程的解集合中与给定矩 阵的最佳逼近解的表达式 在第五章，我们研究了两类线性流形品= x b s r | l x z z l i = r a i n 和s 2 = x b s r “i x z = z ，翠五= 刃k ，五时k = 邑，i = l ，2 ，y 1 z 舻” 上矩阵方程a r x a = b 的双对称最小二乘解运用矩阵对的标准相 关分解，给出了上述两类线性流形上矩阵方程a 7 x a = 口的双对称最小二 乘解的通解表达式 在第六章，我们研究了线性流形s = 0 ，若d 2 x s 酽“，则称x 为d 对称矩阵，d 对称矩阵的全体记为d _ 2 s 舻“，即 d 一2 s r “= x l x = d b ，v b s 碍“ 令 s 一仁d 一2 s b 2 i x z = v y = y ( d 2 z ) + d 2 z ，z 7 d 2 y = y 7 d 2 z ，z ，y 彤琳) ( 2 1 ) 则由文 1 知s 是非空的线性流形本章研究如下问题： 问题i 已知a 酽m ，b m ，求x s 使得a 7 x a = b 问题i i 已知4 舻，b 胛一，求x s 使得怕t x a 一引1 = m i n 2 2 主要结论 2 2 1 问题i 的解 引理2 2 1 1 f i j 设d 。z 有奇异值分解 。2 z = u ( ：) v 7 = 仉吁 4 高校教师在职硕士学位论文 其中 u = ( 巩，u 2 ) o r “”，仉尼。“ v = ( h ，) o r 龇，仉r “” = d i a g ( a l ，0 2 ，吼) ，o 0 ，i = 1 ，2 = ( 蒹：0 p 巩) 呀y 则( 2 1 ) 中的s 集合具有下面的形式 ( 2 3 ) s = u y o u r d + u ( ：三) u 7 。2 j g e s r ( 1 - t ) c n 一。) c za ， 在问题i 中，记 万= 且一a 7 u y o u 2 d 2 a a u = ( a l ，a 2 ) 7 。2 ，4 = ( 凳) ：一。 设矩阵对( a t ，a 2 ) 的广义奇异值分解如下 a i = m e i 尸7 ，a 2 = m e 2 矿 ( 25 ) ( 26 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中a 2 r “。( “) ，a 2 r ( “) ，m r ( h ) ( h ) 非奇异，p p r m m ，q 0 r m 。m 耻 0 o ( ) l 0卜 ，0 2 0 0 、， ii e 。：i 。 。 i 8 l 00 厶 l 一。 ii 0 0 0 一- 垡：堕煎堡占堕睦友堡墨! 。墨生三里堕堡一- 5 k = r a n k ( a t ，- 2 ) ，r ：k - r a n k 口。) ，s r a n k ( 一；) + r a n k ( a 2 ) - k ，和1 2 都是单位矩 阵，o 。和0 2 都是零矩阵，s l ：d i a g ( 慨，。) ，s 2 = d i a g ( 氏历，_ 臼s ) ，并且 1 o = 1 a 2 。 0 ，0 卢ls 岛- 风 0 ，s j = d i a g ( 卢l ，岛，卢 0 ，则j s i g 2 2 一b 2 2 j j = m i n 在s r “8 中存在唯一解 0 。2 = s 1 睁* ( b 2 2 s f ls 2 + 笥1 s 2 b 易) j s i - 1 其中 中= ( 妒i ) p 。s ，妒i2i ：互j 黠 i i ，8 证明对于g 2 2 一( g i ) s 彤。和b 2 2 = ( b a ) 尼。8 ；展开 ( 2 1 6 ) $ i g 2 2 $ 2 一b 。1 1 2 = ( g l j f l i 一6 。) 2 十9 ： ( 。：岛一b i j ) 2 + ( c 码风一；) 2 ( 2 1 7 ) i = 1 1 曼o o 1 i ，j r 则式( 3 1 ) 中定义的集合s 可表为 s ； 五十p t & q 7 u 2 e 嘲e s r ( 一附r 1 ) ( 33 ) 嚣地球小旧鸲淼孑岛泸掣霉帆) 旷，慨a ， 址地卿( 川啪8 ”荔器曼脚”巧即。”垆婶4 燃舢掣凳：嘉个i慧雾慧硼css，iii a r xa 在问题中，记百= 口一 ，a i2 a 。尸。5 7 “1 “2 “2 一。1 ” 。 7 设矩阵对( 如，样) 的标准相关分解( c o d ) 为 a 2 ：( 锄o ) e 2 ，a t = w ( e 蛳o ) ( 36 ：迂篙孓誉-i?。e山：e专书毫-：jj一。 。0 一】。t ：o ；h 乳i 。：t 1 她( 轧以a o “ 魂力a 出 诎 吖也哪 “慨h 西堍m “刮 f s 一 锄茹删 零r m 啪嚣也；办阵一， 嵌矩卵 一靴叫是 也是= 奇 都 非 和叫忡 如 一呻 亿胁 4 4 l i批慨慨 3 3 3 i慨蚝岷懈 2 2l毗壤蝴 媚蚝愫 瓦瓦瓦 一瓦一。芋瓦瓦一 m 、， 4 4 4 l妣慨慨 ”一嘞 t m一啊蚝峻 2 2 l 4晚慨和嵋 魂魂峨 口 m = 矿 1 8 高校教师在职硕士学位论文 如。2l + ( 噶+ 瓦。观工= ( ，b = 可蠢，i 幻“尬- ， 尬t ，尬s ，a ， 为任意矩阵 证明因为x = 。+ p 1 1 r q 7 巩e 呀，所以 i i a 7 x a b 2 = | 一7 p 7 q 7 e u 芗一百2 = f i a l e a 2 一司1 2 因此l i a 7 x a b l l 2 = r a i n 等价于，e a 2 一百1 1 2 = u f i n ， 又因为l i a i e a 2 一百l j 2 一i i n n t m 7 e f t - 百j 2 = j i 畸m 7 e m n 2 一n 7 百f 2 ( 3 2 7 ) 将式( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) 代入式( 3 2 7 ) 得： i a l e a 2 一面1 1 2 = l i m l 2 一百1 2 1 | 2 + l i m , 3 一百1 3 i f 2 + s 如2 一百2 2 1 1 2 + l i s 如3 一百2 3 1 1 2 因此j i a ，e a 。一百fj 2 = m i n 等价于 舰2 一百圳= m i n ，i i m l 3 一万1 3 | f = r a i n ，忪尬2 一瓦2j | = m i nf f s 3 一瓦3 | | = m i n 显然m 。= 瓦。，蝎3 = 百。3 ，n 锄= s - ，瓦3 ，慨。= l + ( s 砭+ 玩。s ) ，l ( 订2 瓣1 ，1 。，j 妯 因此问题v 的解如式( 3 2 6 ) 第四章线性流形上矩阵方程a ? x a = b 的中心对称解 4 1 引言 。= ：1 ( i ki i ) z ， 噶i k0 三l k ) s ， 问题v i i 已知贾即“，求义+ 使i l 叉一x + | 1 = 。r a 。i 。n 。i i x 一l l ，其中 2 0 高校教师在职硕士学位论文 4 2 主要结论 4 2 1 问题v i 的解 首先讨论c s r , 1 “的结构 引理4 2 1 1 i l q 矩阵x c s r ”m 的充要条件是x = 炙x s 引理4 2 1 2 【1 l 】不论n 是偶数还是奇数，c s r “的矩阵的一般形式均 为 。( ：垆， 其中ger 机一k ) x 恤，f r k x “ 当n 为偶数时，d 如( 4 2 ) 式；当n 为奇数时，d 如( 4 3 ) 式 引理4 2 1 3 【1 2 设z ，y r “，记 。7 y = ( 兰) ，。7 z = ( 主) ，h ，z ，e 兄扣一 m ，m ，易e r m ， 弱= ( 互易0 ) ， k ，k 的奇异值分解为 m ：u ，t0 1 0o j k ：尸f ，20 1 00 其中 0 7 = p l 。q f u = ( 仉， 巩 ) o r ( 一) 。( 一“，v = ( h ：v 2 ) o r ” t 1n 一一r l p = ( p 1 ，岛) o r 。” t 2一t 2 t i = r a n k m ) ，唧= r a n k ( y 2 ) ，1 2 = d i a g ( c q ，0 - 2 ，毋2 ) 0 q = ( 0 1 ，0 2 ) e o r “。“ r 2m r 2 d i a g ( ) 、l ， 2 ，a n ) 0 线性流形上矩阵方程a 7 x a = b 的解 ( 44 ) 则( 4 1 ) 中的s 集合具有下面的形式 s ： d x o d 7 + dfq 呀oh g l 洲“) x ( n - k - r 1 2 r 。x ( k - r 2 ) 0g 2 胃 不难看出，s 是一个线性流形 记百= b a 7 d x o d 7 a ，d 7 a ( 几a 1 ) a 1 r ( 7 “) “，a 2 r 。”，呀a 1 = _ 1 ，蹬a 。= - 2 下面介绍矩阵对( 月 ，a 2 r ) 的商奇异值分解( q s v d ) ”】，其具体分解形式 为： 给定a t 胛x ( ”一“，4 胪一，存在m 阶非奇异方阵m 和正交矩阵 n o r ( n 一“) ( “一“，h o r 一，使得 其中 祥= m e l n 7 ，艇= 2 h 7 t l f l t l 一8 l t 13 1n k t l s 1十t l 一1 1s l ? 1 一t l s 式中1 1 ，1 2 ，为单位阵；0 为零矩阵，且 s = d i a g ( 5 l ，如：，6 。，) ；瓯 o ( i = 1 ，2 ，s i ) 且l l = r a n k ( a ，a ) ，l = f 1 一r a n k ( a t ) ；s 1 = r a n k ( 月 ) + r a n k ( a t ) f l 再设矩阵对( 麓，霹) 的q s v d 如下： - - 月t l ：s 1 1 e 7 ，- - a 2 t = w f l 2 f 2 ( 45 ) ( 4 6 ) 2 l o o b 0 o ， 0 0 0 0 0 0 ，。，。 = 2 e s h h 一 一 “ 乱h m o s o o h o 0 0 ， | | 2 2 直壁墼堕垄里堡圭兰垡亟塞一 其中w 凡m m 非奇异， 口o r ( 一女一) 加- k - r 1 ) ，p o r 2 一”。一， t 2s 2n k r l 一2 8 2 七一t 2 + t 2 1 2s 22 2 一2 5 2 式中厶，厶，为单位阵；0 为零矩阵，且a = d i a g ( h ，协，一，。) ；m o 。 1 ，2 ，。) ，l ：。a n k ( 麓，- - t ：) ，t 。：f 。一r g n k ( x ；) is 。；r a n k 离) + r a n k 淀。) 一k 作矩阵n r g 。e ，h t g 2 f 和m 一1 - b w ，并分块如下： g 弹g 粤g i 2 卜 舻g 1 e = lg 导g 兽g 圳s ， ( 屯7 ) g 辨g 嚣g 嚣n 一一，一s - h t c 一2 f = 曛弱3 2 蠹2 = lg 掣 g 罢 g 嚣l s t g 鼎 n ( 2 ) g 嚣2 l 一- 一s ， m 一百w 。= ( 蚕萎套蒸一2一。 ( 4 8 ) ( 49 ) t 2却2 2 一2 5 2m 一1 2 定理4 2 1 1 设4 形，b 咒m m ，给定矩阵对( 砰，4 乳( 聱：霹) 的 q s v d 分别由式( 4 5 ) 和式( 4 6 ) 给出，矩阵n t g l e ，1 1 7 g 2 f ，m 一1 吾w 坷分别 按式( 4 7 ) 、( 4 8 ) 和( 4 9 ) 进行分块，则问题v i 有解的充分必要条件是： ( b l 3 ，b 1 4 ) = 0 ，( b 2 3 ，b 2 4 ) = o ，b 3 1 = o ，( b 4 1 ，口4 2 ，b 4 3 ，口4 4 ) = 0 ( 4 1 0 ) 靶 一 幻b 一 一 屯 曲如 m 、i 0 0 0 0 ， o 0 d o o o ，。 1 l k 一 如b 一 如 乩如 m 、 0 a 0 0 b 0 o o ，。，一 = n 线性流形上矩阵方程a 7 x a = b 的解 当式( 4 1 0 ) 成立时，其通解可以表示为 渺+ 。( g ? g 麓) 矿 其中 g l = n g 2 = h b l lb 。a 一- g p 岛。g 罢g 磐i e r g 兽g 要g 5 j g 曾g 曾g 霉 g 暑b 2 2 一s g 粤a 岛3l f r g 算b 3 。j ( 41 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 式中g 。，0 。) ，g 署，g 髫，g ，g 嚣，g 骝，g 掣，g 管，g 霉，g 。( 2 ，g 窑是任意矩阵 证明由引理4 2 l3 可知，矩阵方程a ，x a = b 若在s 上有解，则解可 表示为式( 4 4 ) ，且 以a 划瞰+ dfg 曙o 1d t a 0g 2 蹬 其中g 。和g ：满足方程： a r c 。万1 + 一手g 2 _ 2 = 百 将式( 4 5 ) 、( 4 6 ) 代入式( 4 1 4 ) ，并注意到m ，w 为可逆阵，可得 ( 4 1 4 ) 1 n t g l f q + 2 h t g 2 f n l l = m 一1 百w 7 一t ( 4 1 5 ) 再把式( 4 7 ) 、( 4 8 ) 和( 4 , 9 ) 代入式( 41 5 ) ，整理得 b l lb 1 2b 1 3b 1 4 b 2 lb 2 2b 2 3 岛4 b 3 lb 3 2 岛3 岛4 b 4 l 既2b 4 3 b 4 4 ( 4 1 6 ) 、 o删三删o r l r l 弛 g ”2 卜砷2 础乳鳓。 g 2 磷5 ；o o ，。一 2 4 高校教师在职硕士学位论文 比较式( 4 1 6 ) 的两边可知式( 4 1 0 ) 成立，并且 g 譬= 口1 1 ，g 凹= b 1 2 a ，g 并= s - 1 1 3 2 l ，g 署= b 2 3 ， g 髫= b 3 2 ：g 嚣= b g 蛰= 岛2 一s g 墨) a ，v g 粤r 8 - “8 。 故矩阵方程a t x a = 口在线性流形s 上的解可以表示为式( 4 1 1 ) 的形式 g ，= ( s 。b 1 i “i ) e 7 ；g z 又因为 郴( g g 麓) 叽s 椴慨胂 。( g ? g 羔) 砒 = a 7 d x o d a + a g l 万l + 月；g l 才2 因此，x 是矩阵方程a t x a = b 在线性流形s 上的解 4 2 2 问题i 的解 由式( 4 1 1 ) 知问题v i 的解集合是一个闭凸集，因此，对给定的戈曰1 。“ 一定存在唯一最佳逼近解 2 f 、 3 3 o 如融 2 20 昆岛 0 0 0 ，。 日 、 0 邑玩0 2 2 2 鼠岛玩。 风岛0 0 b ，_iilj_lliil-l-、 = m 日 + + a a d d x x d d = l 线性流形上矩阵方程a 7 x a = b 的解 引理4 2 2 1 1 1 _ 给定e ，f 肿x m ，& = d i a g ( a l ，n 2 ，一，吼。) ，岛= d i a g ( b 1 ，b 2 ， 则问题9 ( g ) 垒| i g e l f 2 十l l s o a s 。一f i l 2 = m i n 在酽。”中存在唯一解0 ( b + s n f s b ) ：其中= ( ) r n ，b2 订南霹，江1 ，n ，j = 1 撕d ：俘x “卜。 棚- i u ：e 锻x 3 1 瓣k kt 。咱 7 贾- = l 爰1 ) 墨冠 ls 。 戈 ：弱；h 一一。一s ， h 2 1 x 2 2 p 2 f 戈f ： 司： 弱： 夏g 墨： 嗣i a f 2 + t 2 一f 25 2 1 2 一t 2 8 2 对问题v i 的解集合，相应问题i 的最佳逼近解存在且可表为 其中 一( g g ) 矿 f b 1 l b 。2 a 。贾是 is 一- b 2 ，g 箬，冠； i 冠：霹：憨； 咖瞳兰卜 ，i ，= ( ) 5 2 ；2 研1 2 l ，钆j21 ，s z m ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) f 42 0 1 s t一 乱h 2 l 2 l 2 1厨冠霹 ，-i_i_iil-、 2 6 高校教师在职硕士学位论文 证明因为 幅叫r d t x d - x o - ( g g 洲 = 1 1 2 。一g 。啄。十贾。i i 。+ i i 豆。l l 。+ l l 豆。一g 。蹬2 因此1 1 2 一x l l 2 = r a i n 等价于 戈i 。一g 1 啦! 1 1 2 + l 豆2 一g 2 f 乒1 1 2 = r a i n( 4 2 1 ) 又因为1 1 爻。，一g ，呀1 1 2 + 1 1 ：7 。2 一g 2 田1 1 2 = l i 元。u g 1 呀u l l 2 + 1 1 元。p g 2 f 乒p j i 。= 贾1 。u , 1 1 2 + 1 1 2 ，一g 1 ij 2 + jj 豆。p l | | 。+ 1 1 2 2 2 恳一g 。| j 2 因此1 1 2 。g - 叼1 1 2 十i l 元z g 。垮1 1 2 = m i n 等价于 贾1 1 u 2 一g l i l 2 + l l 豆2 岛一g 2 | | 2 = r a i n 又凼为 元1 。巩一g 。 2 + l f 戈2 2 b g 2 2 = f l 7 戈1 1 u 2 e 一7 g l e l l 2 + i i h 7 豆2 p 2 f h 7 g 2 f 2 ( 4 2 2 ) 将式( 4 1 2 ) 、( 4 1 3 ) 、( 4 1 8 ) 和( 4 1 9 ) 都代入式( 4 2 2 ) 得： 耍，。u 2 一g ，i f 2 十l i 豆2 b g 2j | 。= | | 元g b n | | 。+ 厨i 一b - 。a 一1 | | 2 + lj 膏f ：一 g 掣f z + i l x 。, s - 1 岛，1 1 2 + l 冠j 一g 掣。十i l 戈 ；一g 四l i 。十弱j 一g 嚣1 1 2 + l 更5 一 g 劣 1 2 + l l 叉5 ：一g 兽1 l z + i l 又是一g 鲁1 1 2 十1 l 元曼一g 罾 j 。+ l 戈f ；1 一a ；1 1 2 + 1 1 冠；一g 罢1 1 2 + j 冠字一b 。+ s g 粤a f | z + i 贾尹一b 2 3 2 + j 贾：一g 辨1 1 2 + l f 冠：一玩。| | 2 + j | n - s ( 。2 一上毛3 i i 2 因此l i 贾。一g 。 l 。+ i 【兑：p 2 一g 2 2 = r a i n 等价于 l i 碧掣一g p i i 。= r a i n ， i 弱：一g 鼎i l 。= r a i n ，| | 弼：一g 兽l f 2 = r a i n ， 1 l 元；g 岩l i z = r a i n ，l l 冠；一g 措2 = r a i n ， f 元导一g ；：i i 。= r a i n ，i f 元f i 一g 罾2 = r a i n ，i i 嗣：一g 兽lj 2 一r a i n ， ( 4 - 2 3 ) i i x 。“1 ) 一g 舞| | 。= r a i n ，l 冠：一g 嚣。= r a i n ， l 爱一g 髫j l 。+ i l 元 ；一b 2 。+ s g 粤aj z = r a i n 因此 一一 堡些照垄占丝堕立堡墨! 点墨三旦塑壁 2 7 由式( 4 2 3 ) 的最后式并结合引理4 2 2 1 知 g 劣= k + 冠i + s ( b 2 。一是：) a 其中= ( b ) j l = c 一5 = 。丽1 弼，。= 1 霹冠 = = 础础 霹憨 f f f f n g g 冠冠 = = 础础忍群 | | i 札也 g g n ”归u x x | f | | ”u g g 第五章线性流形上矩阵方程a 丁x a = b 的双对称解 5 i 引言 令舻、o 毋“、s r ”( s 研”) 分别表示所有r ax m 阶实矩阵、 n 阶实正交阵、n 阶实对称( 实对称半正定阵) 的全体、，a + 表示a 的 m o o r e p e l z r o s e 广义逆， 表示k 阶单位矩阵，鼠表示k 阶反序单位矩 阵 r ( a ) 表示爿的列空间，n ( a ) 表示a 的零空间，r a n k ( a ) 表示矩阵a 的秩对a = ( 。) ，b = ( b o ) e r “a 女b 表示a 与b 的h a d a z n a r d 乘积，其 定义为a b = ( a i j b 。f ) r ，并且定义a 与b 的内积为 = t r ( b 7 a ) ， 由此内积导出的范数为f j 一、压1 i 万歹= ( 打( 4 7 4 ) ) i 1 ：则此范数为f r o b e n i u s 范数，并且口一构成一个完备的内积空间 矩阵方程及特征值反问题是线性代数的重要研究领域之一文1 5 1 研究 了一个来源于振动理论反问题的矩阵方程的最小二乘问题，分别对于s r ”“ 和s 瑚“矩阵集合，研究了矩阵方程a r x a = d 的最小二乘解，并利用奇 异值分解( s v d ) 给出了这两类最小二乘问题的通解在工程应用中，当所 考虑的问题关于中心对称时，所对应的矩阵往往是双对称矩阵因此，双 对称矩阵同样具有广泛的应用前景文1 6 1 研究了矩阵方程b 7 x b = f 的 双对称最小二乘解，文【7 1 研究了矩阵方程a x = b ( 逆特征值问题) 双对称 矩阵的最小二乘解，文f 1 7 j 给出了上述方程在线性流形上双对称矩阵的一 类逆特征值问题本文在两类线性流形上考虑矩阵方程a 7 x a = b 的双对 称最小二乘解 定义5 1 1 若a ：( 。f ) 舻”满足a j = a j ：= o 州扎i ，j = l ，2 ，n 则称a 为双对称矩阵所有n 阶双对称矩阵之集合记为b s 彤“令 k = ，m 表示不超过z 的最大整数 给定矩阵a ，y z 形一，b ，p x m 岛= x b s r “i i i x v z lj = r a i n ( 5 1 ) s 2 = x b s r “。“i x y = z ，妒五= 霉1 m ，z , h + m z i ，i = 】，2 ，y ) z r ”。”) ( 5 2 ) 2 9 3 0 高校教师在职硬士学位论文 厂m 、 这里d 7 y = l “l 圪 当n = 2 时，d = d t z = 玩 去( 耋三) 乩 当n = z m + 时，。2 击( 兰i 薹j ，h ，z - e r 忙+ 1 ) m 5 2 几个引理 。y = ( 羔) ，。7 z = ( 主) 其中m ，z ，er ( ”) m ，且m 的奇异值分解( s v d ) 为 h = u ( 言：) v 7 = 仉- 岬 其中 ( 5 3 ) ( 5 4 ) - 2d i a g ( 口- ，一。，珥- ) 。，令锄2 刁了1 西，1 t ，n ，= ( 锄) 彤l m 的奇异值分解( s v d ) 为 托= 尸( 言：) 7 = 尸i z q ； ( 55 ) 线性流形上矩阵方程a 7 x a = b 的解 其中尸= ( h ，) 2 ) o r 。2 ，q = ( 0 1 ，q 2 ) o r m m ， 2 2 蜊以，矗z ) 。，令2 瓣1 ，l i ，j 汛妒= ( ) 韪= d ( _ ) ：l 二! ) 。7 + 。( 巩薯呀b 兰哆) 。7 ) 其中g 1 s r ( “一川) 。( n - - k - - r 1 ) ，g 2 s r ( k - 2 ) ( 引、 耻u ( 批笛；幢e i - p 写 0 粥卜叼z - 1 砖卸( 旧笱主慧钾粥皿钾0 粥) 胪 曙易q i 1 _ r q 。r 2 , 则 ( 56 ) ( 57 ) ( 58 ) u 2 r ( “一。) 。( ”一。一) ，p 2 r 2 。( k - r 2 ；巩，p 2 均为单位列正交阵，且r ( 巩) = ( 圩) ，月( p 2 ) = ( 垮) ，r z = r a n k ( m ) ，r 。= r a k ( k ) 引理5 2 2 f 7 令 e 0 2 ( z l 寸+ z l 叶0 7 一m 叶易吁+ 。易# ，。，一k 垮，) c s 。， 易眩+ ( 易坩) 7 ( 一k 圩) 则 岛= d c o d t + d ( 叼岛兰砑) 吖 慨圳 其中g 1 s r 竹一“一n ) 。( n - a - r 1 ) ，g 2 s r ( k r 2 ) 。佧一r ，u 2 r ( n k ) ( n k 一力) ，r r k 。( k - r 2 ) ；u 2 ，p 2 均为单位列正交阵，且r ( 巩) = ( 坪) ，月( 恳) = ( 理) ，r ，= r a n k ( y 1 ) ：r 2 = r a n k ( y 2 ) ，k ，z 。如( 5 3 ) 式 由文 1 6 1 知s - 与昆都是非空的线性流形 为了研究问题v i i i 和问题i x ，我们首先考察下述更为一般的问题： 问题p 给定a 舻一c t t n m ，f r m ，寻找x s r , n 一，y s r k 使得 i i a x a 7 + c y c 7 一f | = m i n( 5 1 1 ) 高校教师在职硕士学位论文 x u ，w e i 和z h e n g 得到了关于问题p 的解的如下性质 引理5 2 3 【1 8 1 设问题p 中的矩阵对，g 的标准相关分解( c c d ) 为 a = u e a ，o 巧1 ，c = u 【。，o 】j 譬1 ，( 5 1 2 ) 其中u 0 r “，a 鼻甲n ，。b y * 一，e a ，玩分别是n n 与k 阶非奇 异矩阵，且 这里 g a = 0 l 耻( 耋) ja j = d i a g ( a i + a ，a i + 2 ，a 啪) 1 a a i + 2 t a m 0 ， 【j = d i a g ( d , + l ，f i i + 2 ，- ，文+ ，) 0 0 ， la j = d i a g ( 瓯+ l ，盈+ 2 ，- - ，盈+ j ) 0 s 一慨u 0 讲w 2 g 。孵一g 舻尉一m 卜， ( 6 。) 吩 ( 6 8 ) g 2 c s r ( ”一”) “( ”+ 2 ) 其中阢巩和巩如( 61 ) 式和( 6 2 ) 式，五，m 0 = 1 ，2 ) 如( 64 ) 式 引理6 2 2 f 2 2 】设g r ”，甘e 彤“，d l = d i a g ( a l ，2 ，一，嘶) o ， d 2 = d i a g ( 3 j ，胁，屏) 0 ，则存在唯一的m o s r 使得 【l d l m o d l 一g 1 2 + l i d 2 m 0 0 2 一h i l 2 = m i n ( i l d l ，i d l g 胪十i l d 2 m d 2 一h i l 2 ) ， 其中m o = d l ( g 十g r ) d 1 + d 2 ( 1 4 + 日r ) d 2 】，驴= ( 巧) 口”，如= 碍扬 引理6 2 ，3 1 2 3 给定e f p “，f 舻，则存在唯一的矩阵台酽“， 使得 9 ( g ) = | g e 1 1 2 + l l c 尹一f i l 2 = z 礼，且0 = j ( e + 7 ) 在引理6 23 中，若取r i , = n ，e = f ，则忪一驯2 = r a i n 在1 5 f 口”内有唯 m 眇0 、，r k 一 睢 n | j y 似 r 0 、叫n q r q n _ i q中其 线性流形上矩阵方程a 7 x a = b 的解 一解0 = ；( e + e ) 令a u ：( 4 1 ，钞百：b a u y o u t a t rn r 五= a 。q 。，五= a 。 矩阵对晤，五 的商奇异值分解( q s v d ) 如下 a 1 = 且矿五? ，a 2 = 且矿五f t = f | | 0 0 0 1 0 1 s 1 k l 一1 5 l m k 1 0 ，2 0 0 o l h 0 l s l i 厶lk j o l s t j。 0 ，m 一l ( 6 9 ) ( 6 1 0 ) ( 61 1 ) n r r 2 + t l k l8 1a l t l s 1 其中m 是mxm 阶非奇异矩阵， n o r ( 一- ) ( 一u ，f 0 r ( r 一一) ( 一) r - = r a n k ( 五，五) ，t 。一k l - r a n k ( 五) ，s 。= r 。n ( 五) + r a n k ( 五) 一岛，1 ，如，1 3 都 是单位矩阵，0 z 与0 。都是零矩阵s l = d i a g ( 6 。，5 2 ，以。) 0 对m t 百m r 进行如下分块： ( 6 1 2 ) 4 1 晚o o o = 屯 r m h 七 一、n 巩一艮d手 凸芋民。芋“ h民如乩 目岛岛反 ，。，t=_ | | t 圹日 一 m - 4 2 壹焦墼塑壅塑亟主堂焦丝塞 t 2 f 6 1 3 1 ( 6 1 4 ) ( 6 1 5 ) 定理6 2 1 给定a 胛一，b r m ，a u 和百如( 6g ) 式，五和五 如( 6 1 0 ) 式，矩阵对 彳。，五】的商奇异值分解( q s v d ) 如( 6 1 1 ) 式，m - 1 b m 4 按( 6 1 2 ) 式分块，则 a ) 矩阵方程a x a 7 = b 有解的充要条件是b 7 = b ，3 1 3 0 ，b 1 4 = 0 ，启2 4 = 0 ，蟊：0 ，瓯= 0 ( 6 1 6 ) 且当f 6 1 6 ) 式成立时，其通解为 x = u y o u t + uf q 2 g l 孵 。 协 ( 6 1 7 ) 0w 2 g 2 w 孑， 其中g 。= n b 1 2 s i l 己s i l ( 百2 2 一g 2 2 2 ) s i l 晤f 暖g 2 1 1 萎g 2 1 2g ”2 l a t b ) 存在唯一的贾如，使得i f 贾j = m z 圳x f ( 6 1 8 ) ( 6 1 9 ) 、 如 您 嘞 q ，一 q = 扎 妒 加船 价 叫 n r 、， 黾邑日如 ，ii、 = 于 q 令 噼 t s 轧 以 一七 、=-i吖一、ll小 仇魄现坛k一 2 2 2 r 0 ： ： 比如如比k如趣 n! o d d d 一 = 日 】 2 3 一 工 l l 0 ， 、您 t 、ilfii， 3 3 3 l 2 3 g g g 丛生堕堡占踅堕立堡竺茎生三堡塑壁4 3 且贾= u k u 7 + u ( q 2 乏1 q 7 兰w 芗) u 7 ， 豆t 豆。s 1 g ；。 其中g t = 、，is i l b 5s i - ( 鼠。一g ，- 1g ：2 3l r io 五。o i j 。e 。j 仁。g l 。氏1 。 g 。卅f 铝。g l ；。扇af f 7 o 五。磁百。j 这里0 ，。3 一一；( d ，3 + d 3 1 ) ，0 ，3 。= 一 ( _ j ! ) 。+ d 磊) ， 0 ，。3 = 一i ( d 。3 + d 3 2 ) ，0 2 。1 = 一 ( 工。+ l 五) ， 0 z ，。= 一j ( l - 2 + l 。) ，岛”= 一；( l ，3 + l 3 ，) ， g ；2 。= ；* 【( l 2 2 十l 萎) + s i l ( d ：2 + s i l 岛2 s i ，) 笥 = ( 锄) 。，= 熊 证明n ) 设x s ，则。由引理6 1 1 知 x ：u 托u r + 矿( q 2 0 1 。i 。1 u ， 0w 2 g 2 w ( 62 0