（应用数学专业论文）广义正则半群平移壳的研究.pdf

西安建筑科技大学硕士论文 广义正则半群平移壳的研究。 专 业：应用数学 硕士生：李顺波 指导教师：任学明教授 摘要 半群平移壳在半群的理想扩张理论中占据重要地位自半群代数理论系统研究 开始，正则半群平移壳的研究一直是半群研究的一个重要课题1 9 6 1 年lm g l u s k i n 在i d e a l so fs e m i g r o u p s ) ) 中最先研究了半群的平移壳理论，并刻画了弱可约半群的 结构，为半群的平移壳理论做出了开创性的工作在此后的4 0 年里，m p e t r i c h 在这 方面做出了大量的、杰出的工作由于广义正则半群是正则半群的推广，因此这种半 群的平移壳理论的研究也受到越来越多人的关注 本文以正则半群为出发点，以适当半群为中心，定义了广义正则半群上的左、右 平移映射，给出了若干广义正则半群平移壳的代数结构本文首先利用j bf o u n t a i n 关于e 一半适当半群的概念和g r e e n 等价关系，研究e h ，。半群，即满足左、右 同余条件的e 一半适当半群证明了e h r e s m a n n 半群的平移壳仍然是e r e s m n n n 半群其次借助c ( ”一关系、w r p p 半群的概念，定义了a w r p p 半群，证明了a ，r 卯 半群的平移壳仍然是4 ，w r p p 半群最后利用半格的平移壳理论，研究适当半群平移 壳的半格的结构，证明了平移壳的半格同构半格的平移壳，即e h = n ( e j ) 关键词：平移壳；w r p p 半群；e 一半适当半群；e h r e s m a n n 半群；弱e a m p l e 半群 本研究得到陕西省自然科学基金( 2 0 0 4 a 1 0 ) 和陕西省教育厅专项基金( 0 5 j k 2 4 0 ) 的资助 西安建筑科技大学硕士论文 s o m es t u d i e sf o rt h et r a n s l a t i o n a lh u l l s o ng e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s + + s p e c i a l t y ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s n a m e ：l is h u n b o i n s t r u c t o r ：r e nx u e m i n g a b s t r a c t t h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fas e m i g r o u pp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h et h e o r yo fi d e a l e x t e n s i o n so fs e m i g r o u p s t h es t u d yo ft h et r a n s l a t i o n a lh u l l so fr e g u l a rs e m i g r o u p si s a l w a y so n eo ft h ei m p o r t a n tt o p i c si ns e m i g r o u p s i n1 9 6 1 ，lm g l u s k i ns t u d i e df i r s t l y t h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fas e m i g r o u pi n ( ( i d e a l so fs e m i g r o u p s ，d e p i c t e dt h es t r u c t u r e o faw e a k l yr e d u c t i v es e m i g r o u p ，a n di n a u g u r a t e dt h et r a n s l a t i o n a lh u l lt h e o r y i nt h e n e x tf o r t yy e a r s ，m p e t r i c hd i dm a n ys i g n i f i c a n tw o r k n o w a d a y s ，t h et r a n s l a t i o n a lh u l l s o fg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p s ，w h i c hi st h eg e n e r a l i z a t i o no fr e g u l a rs e m i g r o u p s ，h a v e a t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n b yd e f i n i n gt h el e f ta n dr i g h tt r a n s l a t i o nm a p s ，t h es t r u c t u r eo ft h et r a n s l a t i o n a l h u l l si nt h eg e n e r a l i z e dr e g u l a rs e m i g r o u p si sp r o v i d e di nt h i sp a p e r f i r s t l y ，b yt h e 、t d e f i n i t i o no fa ne s e m i a d e q u a t es e m i g r o u pa n dg r e e nr e l a t i o n s ，t h et r a n s l a t i o n a lh u l l o fa ne h r e s m a n ns e m i g r o u pi ss t u d i e d ，a n di t i sp r o v e dt h a tt h et r a n s l a t i o nh u l lo fa n e h r e s m a n ns e m i g r o u pi ss t i l la ne h r e s m a n ns e m i g r o u p s e c o n d l y ，a na w r p ps e m i g r o u p i sd e f i n e d ，a n di t i sp r o v e dt h a tt h et r a n s l a t i o n a lh u l lo ft h ea w r p ps e m i g r o u pi ss t i l la l l a w r p ps e m i g r o u p l a s t l y , t h es t r u c t u r eo ft h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fa na d e q u a t es e m i g r o u p i si n v e s t i g a t e da n di t i sp r o v e dt h a tt h es e m i l a t t i c eo ft h et r a n s l a t i o n a lh u l li si s o m o r p h i c t ot h et r a n s l a t i o n a lh u l lo fas e m i l a t t i c e ，t h a ti s ，e a ( s ) 2n ( e s ) k e y w o r d s ：t r a n s l a t i o n a lh u l l s ；w r p ps e m i g r o u p ；e s e m i a d e q u a t es e m i g r o u p ； e h r e s m a n ns e m i g r o u p ；w e a k l ye a m p l es e m i g r o u p t h i sr e s e a r c hi ss u p p o r t e db yag r a n to ft h en s fo fs h a a n x ip r o v i n c e ( 2 0 0 4 a 1 0 ) a n dag r a n to ft h es f o fe d u c a t i o nd e p a r t m e n to fs h a a n x ip r o v i n c e ( 0 5 j k 2 4 0 ) 声明 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：鸯，1 是波 日期：2 j 岁一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 谳一本性波翮繇t 吖吼以弦 注：请将此页附在论文酋页。 西安建筑科技大学硕士论文 刖吾 半群是一类重要的代数系统，诞生于二十世纪5 0 年代，现己成为个崭新的代 数学分支半群理论以其特有的研究对象、研究课题和研究方法，早已独立于群论 之外：它在自动机理论、汁算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和模糊数学 等方面都有广泛的应用，因而半群代数理论的研究吸引了众多学者的关注国外的 学者如mp e t r i c h 、j b f o u n t a i n 、a h c l i g o r d 、m y a m a d a 、jm h o w i e 等，以及 国内的岑嘉评、郭聿琦、任学明、郭小江等教授在这方面取得了卓越的成果 正则半群是半群代数理论的主要研究对象，其中逆半群和完全正则半群是最受 关注的两类正则半群，由m p e t r i c h 撰写的 i n v e r s es e m i g r o u p s 和由mp e t r i c h 与n r e i l l y 共同撰写的 c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ) ) 这两本书分别集中了关 于逆半群和完全正则半群的主要研究成果随着半群理论研究的发展，半群代数理 论取得了杰出的成果，出现了更多的研究分支，如拟( 或丌一) 正则半群、p 一正则半 群、r p p 半群、g v 一半群等，有力地推动了半群代数理论的发展 半群的研究方法大致可分为两种，其一为从半群的内部构件如理想、同余以及幂 等元、逆元、单位等特殊元素出发研究半群的结构与特征；其二为从半群的外部环境 如同余格、口系、范畴等出发研究半群的内部特征半群的平移壳理论在半群代数结 构的理想扩张理论中占据着重要的地位近半个世纪，m p e t r i c h 、p a g r i l l e t 、l m g l u s k i n 、je a u l t 、j b f o u t a i n 、岑嘉评、郭聿琦、郭小江等人在半群平移壳的研究 上作出了大量的工作给定一个带零半群r ，若丁诱导出一个理想扩张半群s ，则 存在从非零半群丁0 到平移壳n ( s ) 的一个部分同态特殊地，s 是弱可约半群时， lm g l u s k i n 在1 9 6 1 年给出了半群s 是弱可约的且半群q 是其稠密嵌入理想，则 半群q 与平移壳u ( s ) 同构大量的研究表明，稠密嵌入理想半群就是一个完全零 单半群1 9 6 8 年。m p e t r i c h i s 】给出了完全零单半群平移壳的代数结构，并指出如果 一个半群有完全单理想半群则隐含着一个正则r e e s 矩阵半群的扩张问题1 9 7 0 年 n 研究了半群和环的平移壳1 9 7 7 年，研究了正则半群平移壳的极大子幺半群， 证明了u q ( s ) u 型n s u ) 1 9 9 4 年研究了正规c r y p t o g r o u p 半群的平移壳理论 西安建筑科技大学硕士论文 2 0 0 2 年【1 1 l 研究了r e e s 矩阵环的平移壳理论在1 9 6 5 年ls p o n i z o v s k i 给出了逆 平移对的定义，证明了逆半群的平移壳仍然是逆半群在此理论基础上，je a u l t 7 1 研究逆半群的平移壳的半格的代数结构，得出逆半群平移壳的半格与半格的平移壳 同构，即e b ( s ) ! q ( 1 冶) 2 0 0 2 年，f j p a s t i j n 。和l a o l i v e i r a 1 2 l 利用半群s 上的 自然偏序“”研究了局部逆半群的平移壳理论上面提到的研究成果都是以正则 半群及其子类为研究对象取得的 1 9 7 9 年，j b f o u n t a i n 2 , 3 】研究了一类重要和有趣的广义正则半群如果对任 意a s ，s 的所有主右理想o s l 作为右s 1 一系都是投射的半群，则称s 为一个主 右投射半群( 简称r p p 半群) ，半群s 为r p p 半群当且仅当关于任意a s ，下集合 非空 a 垒 e e is o s e ，( 比，y s 1 ) a x = a y 寺e 。= e y ， 其中e 为s 的幂等元集同时把正则半群上的g r e e n 关系推广到g r e e n + 关系： p 、冗+ 、7 - + 、口+ 和了+ 对任意a ，b s ，我们定义 a b 甘 z ，口s 1 ) o , x = 删兮b x = 的) 显然c 然后定义了富足群及其子类，富足半群是正则半群的推广，适当半群、 型一a 半群又是逆半群的推广，它们是一类不同于正则半群但受到广泛关注的广义 正则半群，吸引了中外半群专家的兴趣，试图把正则半群上的某些结论推广到广义 正则半群上，进而研究这类广义正则半群上的平移壳理论1 9 8 5 年，j o h nf o u n t a i n 和m a r k l a w s o n l 6 】给出了适当半群和型一以半群的平移壳仍然是这一类型1 9 9 9 年，郭小江和郭聿琦 s l 得出强右型一a 半群的平移壳仍然是强右型一4 半群，并给出 一个推论c r p p 半群的平移壳仍然是c - r p p 半群接着在2 0 0 3 年，郭小江和岑嘉 评【9 】利用半群的等价刻画方法研究型一a 半群的平移壳，得出可消幺半群的强半格 的平移壳仍然是一个可消幺半群的强半格，同时解决了mp e t r i c h 在1 9 8 4 年提出 的一个公开问题，证明了e - r e f l e x i v e 型一a 半群的平移壳仍然是e - r e f l e x i v e 型 一a 半群2 0 0 5 年，商宇和汪立民口4 l 研究幺逆半群的r e e s 矩阵半群平移壳的结构， 利用映射给出了这类半群平移壳的两个结构定理 1 9 9 7 年，唐向东 1 7 1 将口推广为c ( 也记为( t ) ，使半群类得到了进一步的 2 西安建筑科技大学硕士论文 推广令s 为半群，定义s 上的g r e e n ( _ ) 关系c ( t ) ；对任意。，b s ， n c ( ”b 甘 ( v x ，y s 1 ) ( a x ，a y ) 冗甘( b x ，b y ) 亿) ， 其中冗是半群s 上通常的g r e e n 冗关系显然cc ( ”接着杜兰、岑嘉评| 1 8 】 定义了w r p p 半群，。如果半群s 满足下列条件： ( i ) s 的每一个c ( t ) 类包含至少一个幂等元， ( i ) 对任意e e ( l g ) ，n = a e ，其中e ( l 3 t ) 是l g 的幂等元集 本文在第三章定义了a w r p p 半群，即幂等元可交换的适当w r p p 半群，并研究a w r p p 半群的平移壳理论 1 9 9 9 年，j bf o u n t a i n 等人 1 3 , 1 4 , 1 5 】对g r e e n 关系做了进一步的推广，定义了 g r e e n 关系令s 为半群，且包含e 作为s 的子半群对任意a ，b s ，o c e b 当且 仅当a ，b 有相同的右恒等幂等元集；o 佗e b 当且仅当o ，b 有相同的左恒等幂等元集 即 a e e b 甘o e = b e ，a t z e b 铮e 4 = e o 显然p e p 是右同余，但e 未必是右同余特殊地，若冗小e 满足 左、右同余条件，这样的e 一半适当半群称为e h r e s m a n n 半群本文在第二章 从e h r e s m a n n 半群的性质出发研究e h r e s m a n n 半群的平移壳理论 3 西安建筑科技大学硕士论文 第一章基本概念和若干准备 1 1 半群的平移壳 令s 为半群，z ，y 为半群s 中的任意元素，s 上的变换入称为s 的一个左平 移，如果a ( x y ) = ( a x ) y s 上的变换p 称为s 的一个右平移，如果( z y ) p = z ( y p ) s 的左平移a 和右平移p 称为相连的，如果对任意z ，y s ，x ( a y ) = ( x p ) y 这样的 变换对( a ，p ) 称为s 的双平移记h ( s ) 为s 的左平移组成的集合，记p ( s ) 为s 的右平移组成的集合，易知，关于变换的合成，h ( s ) 和p ( s ) 都是半群，而s 的双 平移组成的集合a ( s ) 构成半群a ( s ) p ( s ) 的子半群 定义1 1 1s 的所有双平移组成的集合构成半群a ( s ) p ( s ) 的子半群，称为s 的平移壳，记为q ( s ) 注：令( a ，力，( ，) n ( s ) ，定义平移壳上的乘法：( a ，p ) ( a ，, 0 t ) = ( a a 7 ，p ) 其中，a 定义左变换a ，的乘积( 先后a ) ；类似地，p p 定义右变换p ，p 的乘 积( 先p 后p ) 称半群s 满足m 条件，如果对任意a s ，存在幂等元e ，e ( s ) ，有 = d a = a 1 引理1 1 2 令半群s 满足m 条件 ( i ) 若a 1 和a 2 是半群s 上的左平移，则a l = a 2 当且仅当对任意e e ( s ) ，a , e = a 2 e ( i i ) 若p l 和p 2 是半群s 上的右平移，则p 1 = 戊当且仅当对任意e e ( s ) ，e p l = e p 2 证明：证明( i ) 成立，必要性是显然的，下面证明其充分性，设a l e = a 2 e ，对任意 n s ，存在幂等元e 满足o = e n 有： a 1 a = a l ( e n ) = ( a l e ) o = ( 2 e ) o = a 2 ( e o ) = a 2 0 由a 的任意性知a l = a 2 ；因此( i ) 成立 ( i i ) 必要性是显然的，证明其充分性，设e p ，= e p 2 ，对任意o s 满足m 条件 则存在幂等元e ，有a = a d ， 4 西安建筑科技大学硕士论文 a p l = ( a e ) # i = a ( e p l ) = a ( e m ) = ( a e ) p 2 = a p 2 由。的任意性知p l = p 2 ；因此( i i ) 成立口 定义1 1 3 设s 为一半群，s s ，s 上的变换h 称为由s 诱导的s 上的内左平 移，如果对任意z s ，k z = s z j 类似地，s 上的变换p 。称为由s 诱导的s 上的 内右平移，如果对任意z s ，z p 。= 蔫s ；这样的变换对。= ( 。，几) 称为由s 诱导 的s 上的内双平移所有的内双平移构成的集合n ( s ) 称为q ( s ) 的内部分类似 地，所有的内左平移构成的集合r ( s ) 和所有的内右平移构成的集合( s ) 分别称 为a ( s ) 和p ( s ) 的内部分 注：令n ，6 s ，( 入。，p 。) ，( 入b ，p b ) 是由o ，6 诱导的s 上的内双平移，定义其乘 法：( 。，p 。) ( 入b ，p b ) = ( 入8 b ，p 。b ) 一些记号，对任意正，g s ： a ( s ) = a ：s - 一+ s l 入( z g ) = ( z ) g ) ， j p ( s ) = p ：s s i ( z y ) p = 。( g p ) ) ， r ( s ) = a 。in s ，( s ) = p 。lo s ) ， a ( s ) = a a ( s ) l ( a ，p ) n ( s ) ，存在p ) ， p ( s ) = p p ( s ) i ( a ，p ) q ( s ) ，存在入) ， h ( s ) = ( a 。，p 。) in s ，a 。z = n z ，z p 。= z o ) ， a ( s ) = ( 入，p ) a ( s ) p ( s ) iz ( 入g ) = ( z p ) g ) ， ( s ) = ( 入，p ) a ( s ) i ( 入，p ) ( 肛，t ) = ( p ，t ) ( a ，p ) = i ) ， 存在( 弘，1 - ) q ( s ) ，其中t = ( i s ，i s ) ，i s 是s 的恒等变换( s ) 是平移壳q ( s ) 的 子群的单位一 引理l 。1 4 令s 为半群，则下列各款成立： ( i ) r ( s ) = a ( s ) 当且仅当s 有左恒等元i ( i i ) n ( s ) = q ( s ) 当且仅当s 有巨等元j ( i i ) 若s 为交换半群，则a ( s ) = a ( s ) ，p ( s ) = p ( s ) 定义1 1 5 半群s 称为弱可约( w e q k l yr e d u c t i v e ) 半群，如果对任意z s ，o z = b z ，茁o = z b ，。，6 s ，可推出q = b 西安建筑科技大学硕士论文 弱可约半群在研究半群平移壳理论中有着重要的地位若半群s 是一个弱可 约半群，则半群s 在映射z 一( a 。，m ) 下同构于( s ) 由于h ( s ) 是a ( s ) 的理想， 可以认为半群s 包含在其平移壳a ( s 1 中 半群s 称为左可约的，如果对任意z s ，z q = x b 可推出n = b ；对偶地，半群 s 称为右可约的，如果对任意z s ，a 2 9 = b x 可推出a = b 半群s 称为可约的，如 果对任意z 只有x a = x b 号a ；b ，a ：t = b x 寺o = 6 成立 引理1 1 6 令s 为半群，则下列各款成立? ( i ) 若s 是右可约的，则s ! r ( s ) 2 n ( s ) ，n ( s ) = 五( s ) j ( i i ) 若s 是可约的，则a ( s ) ! a ( s ) ! p ( s ) j ( i i j ) 若s 是可约的交换半群，则a ( s ) ! a ( s ) 定义1 1 7 半群s 称为可消( c a n c e l l a t i v e ) 半群，如果对任意a ，b ，。s ，有z 。= z 6 号n = b 。z = b x 兮a = b 成立 引理1 1 8 令s 为半群，则下列各款成立j ( i ) 若s 是半格，则a ( s ) 也是半格i ( i i ) 若s 是左可约、右可消的，则a ( s ) 是右可消的j ( i i i ) 如果s 是可消的，则a ( s ) 也是可消的 1 2 基本定理 环理论是代数理论的一个重要部分，设a 是一个非空集合，定义其上的两个 运算“+ ，”，a 关于“+ ”构成一个交换群，关于“”构成一个半群且满足左、 右分配律；则称代数系，+ ，) 是一个环1 9 3 6 年v o nn e u m a n n 定义了正则环 的概念，即环关于“- ”构成的半群( a ，) 上的每一个元a ，存在z a 满足 o z n = o 依据此定义演绎出了正则半群的概念，定义一旦给出就成为研究的热 点，j a g r e e n 、k s s n a m b o o r i p a d 、mp e t r i c h 等人在这方面作出了杰出的贡献 定义1 2 1 设s 为半群，称s 中的元素。为正则的，如果存在o s 满足a t a = a ， 若s 中所有元素都是正则的，则称半群s 是正则半群 1 9 5 1 年，j a g r e e n 定义了半群上的一类等价关系，在正则半群、完全正则半 6 西安建筑科技大学硕士论文 群、逆半群等中有着广泛的应用，这一等价关系就是著名的g r e e n 等价关系令s 为半群，a s ，包含。的s 的最小左理想s 口u o ) 称为由a 生成的主左理想，记 s 1 a = s a u o ) 定义1 2 2 定义半群s 上的关系c ：n c 6 当且仅当由a ，b 生成的主左理想相等，即 当且仅当s 1 a = s 1 b 类似地定义关系t t ：o 佗6 当且仅当由a ，b 生成的主右理想相 等即当且仅当a s l = b s l 显然，关系和冗都是等价关系 引理1 2 3 令s 为半群，对任意a ，b s ，o c 6 当且仅当存在z ，y s 1 满足。o = b ，加= a o 冗6 当且仅当存在u ，u s 1 满足a u = b ，b y = a 引理1 2 4c 是右同余，冗是左同余i 且co 冗= 冗o 定义1 2 5 定义其它g r e e n 等价关系 ( 1 ) 口关系表示等价关系c 和冗的连，即d = c v 冗= o r j ( 2 ) “关系表示等价关系c 和冗的交，即“= c a 冗j ( 3 ) 了关系表示由元素生成的主双侧理想相等，即n 了b 当且仅当s 1 a s l = s 1 b s l ， 当且仅当存在。，y ，t ，u s 1 满足x a y = b ，u b v = a ， 它们之间的关系可以用如下h a s s e 图表示： c 注：在群g 中有：h = c = 冗= 口= 了= 毋9 ，在交换半群总有：h = = 冗= d = 了 引理1 2 6 设s 为正则半群，则存在从s 到q ( s ) 的单同态， 证明：对任意a ，b s ，定义半群s 上的映射：s q ( s ) ，即：o 一( a 。，雎) 有： ( 0 6 ) = ( a 。6 ，p ) = ( a 。，几) ( a b ，p b ) 一( o 庐) ( 6 ) 7 西安建筑科技大学硕士论文 则映射庐是同态映射，假设a 。= 扎，p 。= m ，令o y ( o ) ，b y ( b ) ，则：o = a a o = ( k n ) o = ( a 6 0 ) o = b a 7 n 有r 玩，类似地有：厶l b ，忌5r 口，l b 厶， 则a7 - 1b ，即a 和b 在同一个咒类里，因此，a a = b b ，a a = 6 6 ；a = b a o = b b b = b ， 映射是单射因此毋是s 到n ( s ) 的单同态口 定义1 2 7 令s 为群 ( 1 ) 一个不合零元的半群s 称为单半群，如果它没有真理想i ( 2 ) 一个含有零元的半群s 称为0 一单半群，如果 0 ) 和s 是它的仅有理想，且 s 2 o ) ； ( 3 ) 一个幂等元称为本原幂等元，如果它是非零幂等元集中的极小元，即e ，f e ( s ) ，e ，= ，e = f 0 辛e = f ，则e 是本原幂等元i ( 4 ) 半群s 称为完全0 一单半群，如果s 是含有本原幂等元的0 单半群 1 9 4 0 年，d r 舱s 为了构造完全o - 单半群的结构，引出了r e e s 矩阵半群；对刻 画正则半群、完全0 一单半群、富足半群的代数结构有着重大的作用 令g 是含有恒等元e 的群，a 是非空指标集，a ，矩阵p = 慨 ) 是o - 群 g o ( = gu o ) 的元；称矩阵p 是正则的，如果p 的每一行，每一列都含有非零元， ( v i ，) ( j a a ) p m 0 ， 令s = ( j xgx a ) u 0 ，定义s 上的乘法： 哆，= 蓦 ( i ，o ，x ) o = o ( i ，a ， ) = 0 0 = 0 其乘法满足结合律，s 是一半群( 称为r e e s 矩阵半群) ，有： 引理1 2 8 ( r e e s 定理) 令g o 是0 一群，a 是非空指标集，ax ，矩阵p = p m ) 是0 - 群g o 的元i 假设矩阵p 是正则的，令s = ( ，xg a ) u 0 ) 定义如上乘 8 西安建筑科技大学硕士论文 法，则半群s 是完全o 一单半群反过来，任意一个完全0 单半群同构于这样构成 的r e e s 矩阵半群即m o 【g ，a ，尸】2s 1 9 6 8 年m a r i op e t r i c h 利用r e e s 定理研究了完全零单半群平移壳的代数结构， 给出了半群平移壳的性质和特征；1 9 7 0 年，他系统的研究了半群和环的平移壳，指 出正则r e e s 矩阵半群的平移壳仍然是正则r e e s 矩阵半群；1 9 7 7 年，他研究正则 半群上的极大子幺半群的平移壳，并给出了它的结构定理 定义1 2 9 半群s 称为逆半群，如果对任意x ，y s ，( x - i ) - 1 = z ，z z l l z = z ，z z 一1 可可一1 = y y 一1 z z 一1 引理1 2 1 0 令s 为半群，则t 5 , 1 各款等价j ( 1 ) s 是逆半群j ( 2 ) s 是正则的且幂等元可交换i ( 3 ) s 的每一个一类和每一个冗一类包含唯一的幂等元j ( 4 ) s 的每一个元有唯一的逆元 9 西安建筑科技大学硕士论文 第二章e 一半适当半群的平移壳 2 1 引言 1 9 7 9 年，j b f o u n t a i n 定义了g r e e n + 关系，把正则半群推广到富足半群，得到 了一类更广的半群类；打开了半群在广义正则半群上新的思路，开辟了一个崭新的 领域 令s 为半群，定义s 上的关系口，对任意a ，b s ，( a ，6 ) e 当且仅当a ，b 在 s 的超半群上有g r e e n 关系即( a ，b ) ef 当且仅当对任意z ，y s 1 ，a ：t = a y 当且仅当b x = b y 对偶地，( a ，b ) e 彤当且仅当对任意z ，y s 1 ，。o = y a 当且仅 当x b = y 6 显然c + ，冗冗+ 如果半群s 的每一个类含幂等元，称s 是r p p 半群( 或称右富足半群) ； 类似地，如果半群s 的每一个彤类含幂等元，称s 是l p p 半群( 或称左富足半 群) 半群s 称为富足半群如果每一个c 类和每一个彤类都含幂等元( 既是r p p 半群又是幻甲半群) 如果半群s 是左富足半群且幂等元可交换，则称s 是左适当 半群对偶地可以定义右适当半群一个富足半群称为适当半群如果它的幂等元可 交换显然，正则半群是富足半群，逆半群是适当半群一类更近似逆半群的广义正 则半群是型一a 半群( 或a m p l e 半群) ，称适当半群s 为型一a 半群，如果对任意 aes ，e e ( s ) ，e s n a s = e a s ，s e n s a = s a e 类似正则半群，富足半群还有其它g r e e n * 等价关系： = 口a 甜；d + = 口v 7 才= o 冗+ ；a j + b 甘，( o ) = ，( 6 ) ；其中，( a ) 为s 含n 的口一渗透和亿+ 一 渗透的最小理想这些关系可以用如下h a s s e 图表示： 1 0 西安建筑科技大学硕士论文 引理2 1 1 令s 为半群，对任意o s ，e e ( s ) ，则下列各款等价j ( i ) ( e ，。) 口i ( i i ) a e = a ，对任意z ，y s 1 ，a x = a y 号e x = e y 引理2 1 2 是右同余，佑是左同余 引理2 1 3 若s 是适当半群，则s 的每一个类和冗+ 类有唯一的幂等元 注：对适当半群s ，我们把和。在同个类唯一的幂等元记为。+ ，和n 在同 个冗+ 类难一的幂等元记为o + 引理2 1 4 令s 为适当半群，对任意a ，bes ，则下列各款成立? ( i ) 口+ b 当且仅当a + = 扩，口弦b 当且仅当口十= 矿i ( i i ) ( a 5 ) = ( o ) + ，( a b ) + = ( o b + ) + j ( i i i ) a a + = o - = a + a 如果左适当半群s 满足对任意。s ，e e ( s ) ， a e = ( a e ) + a ( a l ) 则称半群s 是左a m p l e 半群( 或左型一a 半群) 类似地，如果右适当半群s 满足对任意nes ，e e ( s ) ， c a = a ( e a ) +( a r ) 则称半群s 是右a m p l e 半群( 或右型一a 半群) 若半群s 既是左a m p l e 半群又是 右a m p l e 半群，则称s 是a m p l e 半群( 或型一a 半群) 引理2 1 5 令s 为适当半群，月 1 - f p i 各款等价： ( i ) s 是型一a 半群， ( i i ) 对任意o s ，e e ( s ) ，e a = o ( e n ) + ，a e = ( a c ) + n 引理2 1 6 令半群s 满足m 条件若( a 。a ) q ( s ) ，i = l ，2 ，则下列各款等价? ( i ) ( a 1 ，p 1 ) = ( a 2 ，p 2 ) i ( i i ) p 1 = p 2 i ( i i i ) a 1 = a 2 证明：由于( i ) 兮( i i ) 和( j ) 咎( i j j ) 是对偶地，且( i ) 号( i i ) 是显然的我们只需证明 ( i i ) 号( i ) 成立即可 西安建筑科技大学硕士论文 假设p l = p 2 ，半群s 满足m 条件，则对任意幂等元e e ，有幂等元，满足： a l e = f ( a l e ) = ( f m ) e = ( ，p 2 ) e = ，( a 2 e ) 同理，存在幂等元h 满足 2 e = h ( k e ) 依据引理1 2 3 有) q ec 2 e 利用m 条件 有，对于幂等元g e ( s ) ，a l e = ( a = e ) g ，则a l e = ( a = e ) gg = q l e ) g 由于c ， 则a , e a 2 e 由d 的定义知a = e = ( a 2 e ) g ，有a l e = a 2 e 依据引理1 1 2 知 x l = a 2 ，因此( a 1 ，p 1 ) = ( a 2 ，以) 成立口 2 2e 一半适当半群 1 9 9 1 年，m v l a w s o n 在 s e m i g r o u p sa n do r d e r e dc a t e g o r i e s 中定义了b 半 适当半群和e h r e s m a n n 半群，这类半群最初是由c e h r e s m a n n 研究半群和最小 序范畴引出的接着j b f o u n t a i n 、g ms g o m e s 、v g o u l d 1 3 ，1 4 , 1 5 】等人作出了许 多杰出的工作 j b f o u n t a i n 1 3 , 1 5 】定义了且适当半群给定一个半群s ，包含半格e 作为s 的子半群，即e e ( s ) 如果半群s 的每一个( 或冗+ ) 类含e 中的幂等元，称 s 是右( 或左) e 适当半群如果半群s 既是左b 适当半群又是右b 适当半群， 则称s 是口适当半群 注：若e = e ( s ) ，则定义的半群前面的e 可以去掉，即适当半群 假设e e ( s ) ，令e 是半群s 的一个可交换子半群且满足s 中的每一个 元在e 中都有一个左恒等元定义s 上的偏序关系“s ”：a b 当且仅当存在 e e ，a = e 6 这是e 上的自然半格序当e = e ( s ) 时，“”就是s 上的自然 偏序 半群s 是个右b 适当半群，a s ，由引理知o 。+ = a ，如果对e e ，a e = a 则a * e = a + ，则在半格e 上有a + 5e 即在集合 a e = e e ：a e = o ) 有最小元矿；对偶地，集合e 。= e e ：e a = o 有最小元a + 若集合e 。非空， 则是一个子半格且是e 的滤子，同理a e 也是我们定义半群s 上的关系磊和 1 2 西安建筑科技大学硕士论文 琵e ，对任意n ，b s n 磊b b e = b e 甘( e e ：n e = o 铸b e = b ) o 宠e b 甘e 8 = e 6 铮 ee e ：e a = a 铮e b = 6 ) 显然，c e 和7 已e 是等价关系，它俩的交“e 也是等价关系 定义2 2 1 若每一个c f 类障每一个冗e 类，含有幂等元，称半群s 是右儆 左j e 一半适当半群若半群s 既是左e 一半适当半群又是右e 一半适当半群则称s 是e 一半适当半群 令e 是半群s 的子半格，若s 是右b 半适当半群，则对每一个a s ，关于 “”集合o e 都包含一个最小元，记为矿，对于e e ，e = 矿，则最小的幂等元是 唯一的；对任意o ，b s ，o 磊b 当且仅当矿= b + 由于( n + ) + = n + ，则。磊n + ，显然 a 是和。有c e 关系e 上的唯一的幂等元 对偶地，对任意a ，bes ，a 7 z e b 当且仅当a + = 6 十 如果s 是口半适当半群，记e 1 = e u l s ，对任意a s ，x e 1 ，存在函数， d ：e 1 _ e ，尾：f 1 _ e z 口。= ( x a ) + ，z 风= ( n z ) + 若半群s 是逆半群，则j i 巳_ 冗，。磊= 事实上， 。= ( x a ) + = ( x a ) 1 ( z o ) = a - 1 x a 这就是w d m u n n 关于逆半群上的一种表示，口。，风是e a a 一1 到e a 一1 0 的同 态 。 引理2 2 2 令s 为e 一半适当半群则下列各款成立： ( i ) 对任意o ，b s ，( 曲rsb ，( a b ) + 墨0 + i ( i i ) 对任意a ，b s ，映射o t 。，忍，e 1 一e 保持序 证明：( i ) 对任意。，b s ，( n 6 ) 矿= a b ，依据“的定义及( n 6 ) + z e ( 0 6 ) ，有 ( o b ) + 扩；同理有( 。b ) + sa + 1 3 西安建筑科技大学硕士论文 ( 峨对任意o s ，z ，y e 1 满足z y 则 z 口。= ( z ) + = ( x y a ) + ( y a ) + = o 。 映射理。保持序；，同理0 6 也保持序口 冗+ 是左同余但是元e 未必是左同余如果宠e 是左同余，则称半群s 满足左 同余条件( g l ) 类似地，如果磊是右同余，则称半群s 满足右同余条件( c r ) 定义2 2 3 如果e 一半适当半群s 满足左、右同余条件( c l ) ( c r ) ，则称s 是 e h r e s m a n n 半群记为( s ，e ) 注：( 1 ) 若s 是正则半群，则冗= 冗+ = 冗e ，= = c e ( 2 ) e h r e s m a n n 半群是适当半群在e 一半适当半群上的推广因此，适当半群是e h r e s m a n n 半群， 但e h r e s m a n n 半群未必是适当半群当e = e ( s ) 时，e h r e s m a n n 半群就是适当 半群 定义2 2 4 如果左e 一半适当半群s 满足( c l ) ( a l ) 条件，则称s 是弱左e - a m p l e 半群如果右e 半适当半群s 满足( c r ) ( a r ) 条件，月, l g rs 是弱右e a m p l e 半 群若半群s 既是弱左e a m p l e 半群又是弱右e a m p l e 半群，则称s 是弱e