（基础数学专业论文）一类非线性双重退化抛物方程cauchy问题弱解的惟一性.pdf

二耋堡垡丝丝查堡垡! ! 堑塑整塑墅塑坚二丝 i i i 摘要 本文讨论非线性双重退化抛物方程 u t = d i v ( i v u ”i p - 2 v u ”)( m 1 ，p 2 ) c a u c h y 问题解的惟一陛在给出了般意义上的弱解定义之后，假设初值满足 0 u o ( 。) l 1 ( r ) nl 。( r v ) 的条件下，证明了其弱解的惟性 关键词：退化抛物方程；c a u c h y 问题；弱解惟性 一类退化抛物方程c a u c h y 问题弱解的惟一性 a b s t r a c t t h ec a u e h yp r o b l e mf o rt h en o n n e w t o np o l y p r o p i cf i l t r a t i o ne q u a t i o n u t = d i v ( i v u ”l p - 2 v u “) i sc o n s i d e r e di nt h i sp a p e r ，w h e r em 1 ，p 2 a f t e rg i v i n gt h ed e f i n i t i o n o ft h ew e a ks o l u t i o no ft h ee q u a t i o na b o v e ，a n da s s u m i n gt h a t0 u o ( x ) l 1 ( r n ) n l 。( r ) ，a n e wr e s u l ta b o u t t h eu n i q u e n e s so f w e a k s o l u t i o n so f t h i s e q u a t i o ni so b t a i n e d t i l em a i nt o o l su s e di nt h ep r o o f sa r es t e k l o vm e o x lv a l u e m e t h o d ，p a r t i a ls u m m a t i o ns k i l la n dk r u z h k o v 8m e t h o do fd o u b l i n gv a r i a b l e s b o t hi ns p a c ea n dt i m e ac o m p a r i s o np r i n c i p l ei so b t a i n e da n dt h eu n i q u e n e s s o fw e a ks o l u t i o n so ft h ec a u c h yp r o b l e mi sp r o v e d k e yw o r d ：d o u b l yd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n ；c a u c h yp r o b l e m ；u n i q u e - n e s s 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的 研究成果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研 究成果，均在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担 由此论文而产生的权利和责任。 责任人( 签名) ：f 纪。0 仁 及即年a - - 乒j1 0 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( 何。 ( 请在以上相应括号内打“ ”) 作者签名： 钆毫仁日期：撕，月p 日 导师签名：e l 期：年月日 二耋堡塑丝查堡鱼! ! 墼旦塑塑壁塑坚二些 1 第一节引言 非线性扩散方程作为一类重要的抛物方程，来源于自然界广泛存在的扩散现 象渗流理论，相变理论，生物化学以及生物群体动力学等领域都提出了这类方 程，特别是渗流问题两百多年前( 1 7 5 5 ) 欧拉推导了著名的欧拉方程，对流体运 动给出了最基本的数学描述，开创了流体运动力学的研究在物理上，人们根据 流体本身的切应力与切应变率之间是否满足线性关系，将流体分为n e w t o n 流体 和非n e w t o n 流体 本文考虑类这样的方程，它描述了多孔介质中非n e w t o n 流体的运动规律 设p 为流体的密度，压力为p ，y 为流体在空间每点z 和时间t 上的速度首先 满足多孔状态方程 p c p 7 其次满足连续性方程 k p t + d i v ( p v ) = 0 ， 最后在湍流状态下满足方程 p v = 一m i v ( i ) i p 一2 v 西 这里系数c ，k ，m 均为正的物理常数，指数，y ，和p 满足p 2 ，7 o ，垂：p 掣 联合以上方程我们得到 k 矶：m c 掣d 伽( i v p l + 1 l p - 2 v p 7 + 1 ) ， 略去常数即为非n e w t o n 多方渗流方程 = d i v ( i v u ”1 9 1 v u ”) ， 其中 z = ，y + 1 二鲞堡垡垫堑查堡垡! 垫旦整堑塑鱼坚二：堕 2 我们考虑c a u c h y 问题 协羔并却然? - ， _ j 担q t = ( 0 ，t ) r ，m 1 ，p 2 众所周知方程( 1 1 ) 具有双重退化性当p = 2 时，它是n e w t o n 渗流方程 u t = d i v ( f p u r 2 v u ) ( p 2 ) 这两种特殊情形作为方程( 1 1 ) 的原型早已在一系列文章中有详尽的研究( 对于 n e w t o n 渗流方程见文献 1 】，p l a p l a c e 方程见【2 】) 本文的目标是得到弱解的比较定理和惟性，从而改进了文献 4 中解的惟 性结果在证明中应用了文献f 3 】中处理双变量的k r u z h k o v 方法下面给出 方程弱解的定义及本文的主要结果我们假定0 珏o l 1 ( j ) nl o 。( j ) ， 定义1称个非负函数u ( t ，。) 是方程( 1 1 ) 的弱解，如果 “l 1 ( q t ) nl o o ( q t ) ，, a m l p ( 0 ，t ；w 1 p ( r ) ) ， ( 1 2 ) 且对任意的满足6 l o o ( q t ) ，( 丁，) = 0 ，口( 0 ，r ；w 1 ，( r ) ) nl o o ( q r ) 的非负函数，成立 z ，嫣如班+ z 。“。( o ，) 如= z ，jv t ， p - 2 v u m v f 如出0 3 ) 定理1 假设1 , 1 ( t ，z ) ，2 ( t ，z ) 分别是方程( 1 1 ) 具有初值“0 1 ，u 0 2 的弱解 二袭堡坐垫竺查堡鱼! ! 堑塑墨塑壁塑坚二些 3 那么在( 0 ，t ) 上几乎处处有 上。i “m ，) - 毗川如厶- ( 。) 一钍0 2 ( 圳缸 ( 1 4 ) 特别地，当初值u o 满足0 u o l 1 ( r ) n l o 。( 科7 ) 时，c a u c h y 问题( 1 1 ) 存在惟一的弱解 一一 二叁堡坐塑丝查墨盟! ! 生塑壅塑竖塑坚二堡 第二节几个基本命题 本j 瀚出些有关的预备知识和几个重要的基本命题 设n 为r 中的开区域对0 t ，记n t = ( 0 ，t ) q 当f 2 ：r n 时，特别记n t = q r ，即q 丁= ( 0 ，t ) 如所熟知，空间w 1 ，r ( q ) ( p 1 ) 是c o 。( n ) 是按范数 i i uj j t ，( n ) _ j ju 怯n + j jv uk o 完备化所得到的空间，这里| | 札n 表示u 的护( n ) 范数；空间空间哪，( n ) 是四。( q ) 是按范数 j “1 1 崃，一( n ) = | | v u 完备化所得到的空间 w - 1 , ( n ) 是懈一( n ) 的共轭空间，我们有： ，w 1 一( q ) 铮，= f o + n 五， ，o ，1 ，厶，! + 三：1 设p ，q 1 ，我们说u l q , ( 1 2 t ) 三p ( o ，t ；l 9 ( n ) ) ，如果札在q t 上可测， 对几乎所有t ( o ，t ) ，u ( t ，) l q ) ，且l iu ( t ，) i i q , n e 口( o ，t ) ，即 忆加，= ( z t ( z i u i 。d x ) ：d t ) ； 显然l q , q ( q t ) = l q ( q r ) ，i i “所= 怕忆n ， 我们说u l q ( o ，t ；w 1 ，( q ) ) ，若“在n t 上可测，对几乎所有t ( o ，t ) ， “ ，) w 1 ，9 ( n ) ，且| | “0 ，) 1 1 w l , 一( n ) l q ( o ，t ) 设 l 1 ( 【2 t ) ，对0 t 一竹 f o t - 1j r 。札? 危( ( 钍”) ) d 。出= f o t lf r 。f z ：1 ( ) 打m z 毗 = 上f 。u , ( t - 1 , x ) h ( 联( t - t b x ) 出 一厶r m 删吣胁 一f o t - ”f r 。邑小r ”) d r d x 出 一z t ( 啦， ( “) ) 出= z ，& ： ( r ”) d r d z d t 命题3设u 是方程( 1 1 ) 的弱解那么对任意的k r + ，0 c 字( o ，t ) xr ) ，有 ( u 一) s i 9 佗古( 札一k ) d x d t + f ( o ，) ( u o 一七) s i 9 对( 乱。一k ) d x o ， j r “ ( 2 6 ) lv u ”l ”_ 2v 扩v s i g n + ( u k ) d x d t ， 7户u-k)sign。+o(k-u)dxdjqt。+ 上w 。，。一七s i g n 手七一。出( 2 7 ) j r “ ，nm lv “”f 9 2v u “v s i 夕对( 一u ) d z d t 这里s 匆n 手( r ) 定义为：当r 0 时，s i g ，z 手( r ) = 1 ；当r 0 时，s 园札寺( 7 ) = 0 6 sd 、jp 珏 ”+ ，几 l 一町m 一类退化抛物方程c a u c h y 问题弱解的惟一性 证明令h ( r ) w l , o o ( r ) 定义为 砷，2 氍0 由于u 是方程( 1 1 ) 的弱解，应用命题2 ，我们有 iv u ”i 一2v u ”v 日。( “一”) d x d t 。o t = 一( 钍t ，皿( 札“一k m ) f ) 出 ( 2 8 ) = 上，6 ( 趣( r ”- k m ) 抛疵 考虑到 l i m 皿( r ) = s 匆n 击( r ) e u + 因此当e 趋向零时，等号右边项变为 z ，矗z ：s t 9 n 古( r 一南，d r d z d t 2 正，铷“) 或妒枷“) 删 + 上。印，) ( u o - k 瑚9 n o + ( u o - k ) 如 至于第一项积分，我们有 上，lv p - 2v u 1 v 刚u m - - k ”) d x d t 日。( “一k ) v u p 一2 v u ”v s d x d t j 0 7 + z 刑吣吣，fv 队捌t 7 一类退化抛物方程c a u c h y 问题弱解的惟一性 8 在( 2 8 ) 式中，令一0 ，得 6 ( 让一七) s i 9 n 击沁一k ) d x d t + f ( o ，) ( “o k ) s i g n + ( u o k ) d x j q t j r “ lv u ”i p - 2v z ，v f s i 目对( 札一k ) d x d t j o t 至于不等式( 2 7 ) ，我们只需用皿( 七“一扎”) 代替皿( “”一护) f ，仿照前面 的讨论便可得证 口 一类退化抛物方程c a u c h y 问题弱解的惟一性 第三节主要定理的证明 引理1设u 0 1 ，u 0 2 l 1 ( r 。) n l o 。( 尉”) ，“1 ，u 2 分别是方程( 1 1 ) 具有初 值u o ，? a 0 2 的弱解则对任意的非负函数c ? ( o t ) r 。) 和几乎处处的 t ( 0 ，t ) 有 r ( iv u 71 9 2v u ? 一iv u ? l 一2w 7 ) v f s i g n + ( u l u 2 ) d x d t j ， 矗( “1 一u 2 ) s t 9 扎手( u l u 2 ) d x d t( 3 1 ) j 9 7 + f ( o ，) ( u 0 1 一u 0 2 ) s i g n + ( u o l u 0 2 ) d x 小也c 卧孔) d r 蜊8( 3 2 ) = v u ? l 一一2v 札? v ，( 月。( u ? 一u ? 0 ，z ) ) a 一) d y d s ， j q t 二耋堡垡丝堑查堡垒! 堡坐塑塑堑竖塑堕二堂一1 0 同时对几乎处处的( s ，y ) ( 扣有 厶，一h u 0 2 吲曰( s ) _ r m 皿砌础( 3 3 1j 口t o 【5 0 i = iv u ? j ，一2v 四v 。( 日：( u ? ( s ，y ) 一札孑) ( 1 ，n ) d x d t j 口7 两等式在q t 上分别关于( t ，。) ，( s ，y ) 积分，然后相减得 。) 。f ) d r 一( ( 2 ，。) 。f ”卫( 四一，) 酬 。) 。 ”一 一( ( 2 ，n ) t 卫( 嵋lr ”) d r l j u 0 1 o u 0 2 iv 乱? i ，一2v “，v 。( 也( “? 一“孑) 6 ，n ) 一lv “孑l ，一2v u ? v 。( 日：( u ? 一t 君) 6 ，n ) 】 等式两边分别记作 ，2 关于1 1 ，我们有 u 碘 = 【( ( 1 ，) 。心- 一u t ) + ( ( 1 m ) t ( ，一“。) 】s t 9 礼手( 钍一“。) 5 ” j q t q t + 臼n p ，茁，0 ，耵) ( 札0 1 一u 2 ) s i g n + ( u 0 1 一u 2 ) j q v o r “ + q ，。( o ，z ，s ，) ( u l u 0 2 ) s i g n + ( u 1 一“0 2 ) j o ) 冗”q t ：o , p 5 ( t ，石) ( 扎1 一u 2 ) s i g 礼8 - ( u 1 一u 2 ) j q t x q t + ( o ，z ) 卯( 一s ) p 。x 一) ( 吼1 一u 0 2 ) s i g n + ( u 1 一0 2 ) j 0 r 日t = 1 1 1 + 1 1 、2 j 己并蕊 。，慨m 2 z ，州u - 。瑚耐( 札- 一z ) 揪 考虑函数 砂。，( 。，。，! ，) ：丁矾( 一r ) d r p 。( z 一) f ( 0 ，z ) = t 舻d r p 如训吣) t 0 旧 州厶_ 二查堡丝塑丝查墨垡竺堕e 塑墨塑竖塑坚二些一一一1 1 注意，当礼充分大时，对任意的z r v ，咖，。( z ，- ) c ? ( o ，t ) r ) 于 是在( 2 6 ) 中令让= u l ，= 咖，。( z ，) ，= 0 , 0 2 得到 厶，2 = 一( 咖n ) 。( 乱1 一u 0 2 ) s i g n + ( u l u 0 2 ) 。孵】。r “ 咖，。x ，0 ，可) ( u 0 1 一u 0 2 ) s i g n + ( u o l u 0 2 ) ( 3 4 ) j r n x o ) 。r “ 一iv u ? i 一2v 钍? v 咖 j q t ) ( o ， 】础 显然，( 3 2 ) 中最后一项积分当2 趋向o 。时趋向零，并且由于 r t 审1 。( z ，0 ，y ) = n ( 一r ) d r p 。( z g ) f ( o ，z ) j 0 = p n ( x 一) ( o ，z ) 所以 l i m1 1 2 ( o ，z ) ( “0 1 一u 0 2 ) s i g n + ( u o l u 0 2 ) d x z n + o 。 j r n 。，概+ 。 正，6 ( u l - - u 2 净9 n + ( u l - - u 2 ) 揪 + 上。鲫，。( u 0 1 - - u 0 2 瑚9 n + ( 。，0 2 ) 出 至y - 如项，我们有 iv 札? i ，一2v “? v 。( i t 。( u t u 孑) 臼一) j q t x q t 一iv 多1 ，一2v 岈- v 。( 巩( u ? 一四) e 。，n ) j q t q t ， 函岛。( ? 一札? ) v 。0 ，z ) f l q t q t - ( iv “? l 一2v u p iv “? i p - 2v u ) + 三臼，。( v ，? 一v 。u 孑) oj q t 0 t n o p 一“ f j ( 1v u ? 1 9 2v u ? 一iv u 孑i p - 2v “? ) 一类退化抛物方程c a u c h y 问题弱解的惟一性 1 2 显然 。糖。锄= z ，( iv u ? l p - 2v u h v “斗。v 碉v 耐( “呲) l i m 1 2 ，2 0 e - o 1 n o o 于是 乞，( iv u ? l p - 2 v u h 讹”2 孔抄v 枷古( u l - - u 2 ) 如出 岛( u 1 一钍2 ) s i 9 对( u 1 一u 2 ) d x d t j q t + ( o ，) ( “0 1 一u 0 2 ) s i g n + ( u 0 1 一u 0 2 ) d x j r 引理得证 口 定理的证明如果“1 ( t ，。) ，u 2 ( t ，z ) 分别是方程( 1 1 ) 具有初值u 0 1 ，札o 。的 弱解，那么在弓f 理1 中通过逼近可选取= o 圆1 ，这里0 n 翠( o ，t ) ) 易 得 二，啦t 。) l ( u 0 1 - - u 0 2 ) 勘n 由此可导出 厶( u ( 如) 咄( 。) ) + 如j r n ( u 旷。z ) 饥j 甜 交换u 1 和2 ，则对几乎处处的0 t 1 ) ，b ( s ) = 0 ， 时方程( 4 2 ) 就是非n e w t o n 多方渗流方程( 1 1 ) 对于多维的般方程，无论是 存在性还是惟性，技术上都比n e w t o n 流困难的多，这困难是由方程的强非线 性所造成的在 5 ， 6 】， 7 1 等一系列文章中，尹景学证明了( 4 2 ) 的第边值问题 连续的b v 解是惟一的 注2 本文要求初值u 0 既属于l 1 ( 咒) 又属于l 。( r ) 是很苛刻的所得 的广义解u l 1 ( q t ) nl 。( q t ) 这一限制也是很强的它意味着要求“在无穷 远处很小，就连平凡的非零常数解也排除在外了不过研究具有紧支集的初值所 确定的广义解是满足这样的要求的对仅属于l 。( r ) 的初值确定的广义解的惟 性仍没有结果 一类退化抛物方程c a u c h y 问题弱解的惟一性 参考文献 1 d g a r o n s o n ，t h ep o r o u sm e d i u me q u a t i o n ，i n ：a f a s a n o ，m p r i m i c e r i o ( e d s ) n o n l i n e a r d i f f u s i o np r o b l e m s ( m o n t e c a t i n it e r m e1 9 8 5 ) ，l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c s ( v o t1 2 2 4 ) n e wy o r k ，b e r l i n ：s p r i n g e r ，1 9 8 6 1 - 4 6 2 e d i b e u e d e t t o ，d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s m ，n e wy o r k ，b e r l i n ：s p r i n g e r ，1 9 9 3 3 f o t t o ，l 1 _ c o n t r a c t i o na n du n i q u e n e s sf o rq u a s i l i n e a re l l i p t i c p a r a b o l i cp r o b l e m s j j d i f i e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 6 ，1 3 1 ：8 2 7 - 8 4 8 4 】赵俊宁，袁洪君，类非线性双重退缩抛物方程的c a u c h y 问题m 数学年刊，1 9 9 5 ，1 6 a ：2 ： 1 8 1 1