（控制科学与工程专业论文）欠驱动三杆体操机器人控制策略研究.pdf

摘要 欠驱动三杆体操机器人是一种典型的欠驱动机械系统，具有高度 复杂的非线性特性。由驱动关节通过动力学耦合关系带动非驱动关 节，可以实现回转、摆起倒立等体操动作。由于三杆运动具有高度的 复杂性，使得三杆体操机器人很难顺利地实现摇起倒立等动作。本文 针对欠驱动三杆体操机器入系统的控制问题，研究摇起和平衡控制策 略，通过进行实物设计，对控制策略进行验证分析。 首先利用拉格朗日动力学方程建立三杆体操机器人的动力学模 型，通过分析三杆体操机器人的动力学特性，进一步简化机器人摇起 区和平衡区的划分规则。 接着采用基于二次正定函数的方法设计摇起控制器，确保三杆体 操机器人各杆姿态能满足进入平衡区的条件，采用l q r 设计平衡控 制器，从而实现机器人的控制目标。 为进一步改善控制性能，提出了基于部分反馈线性化的摇起控制 策略，结合基于l q r 方法的平衡控制，实现机器人的控制目标。该 控制策略具有摇起时间短、控制器之间过渡平稳和摇起控制器结构简 单的优点。 最后，进行机器人实物模型的设计，通过对实物模型进行控制仿 真，确定模型机械本体、电机选型、编码器的选取及控制箱的选取。 关键词：欠驱动机械系统，三杆体操机器人，l q r ，二次正定， 部分反馈线性化 a b s t r a c t u n d e r a c t u a t e dt h r e e - l i n kg y m n a s t i cr o b o ti sat y p i c a lm o d e lo f u n d e r a c t u a t e dm e c h a n i c a l s y s t e m ，w h i c hp o s s e s s e sh i g h n o n l i n e a r p r o p e r t y a n di s v e r yc o m p l e x t h i sr o b o t c a nr e a l i z e g y m n a s t i c a p p e a r a n c e ，s u c ha sb o d y sr o t a t i n g ，s w i n g u pa n dh a n d s t a n de t c ，b yt h e m e a n so fd r i v i n gu n d e r a c t u a t e dj o i n t st h r o u g ha c t u a t e dj o i n t sw i t ht h e d y n a m i cc o u p l i n gr e l a t i o n d u et ot h eu n d e r a c t u a t e dp r o p e r t yo ft h i s s y s t e m ，i t sd i f f i c u l tt or e a l i z et h es w i n g u pa n db a l a n c ec o n t r o lo ft h e r o b o t t os o l v et h ec o n t r o lp r o b l e m so ft h r e e l i n kg y m n a s t i cr o b o t ， s w i n g u pa n db a l a n c es t r a t e g i e sa r es t u d i e di nt h i sp a p e r m o r e o v e r , t h e r e a lm o d e lo ft h r e e - l i n kg y m n a s t i cr o b o ti sa l s od e s i g n e di no r d e rt o d e m o n s t r a t et h ev a l i d i t yo fc o n t r o ls t r a t e g i e s f i r s t l y , t h ed y n a m i cm o d e lo ft h et h r e e - l i n kg y m n a s t i cr o b o ts y s t e m i so b t a i n e db a s e do nl a g r a n g ee q u a t i o n ，a n dt h e nt h ed i v i s i o no ft h e s w i n g u p a r e aa n dt h eb a l a n c ea r e aa r es i m p l i f i e d b ya n a l y z i n gt h e d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i co ft h i ss y s t e m s e c o n d l y , as w i n g u pc o n t r o ll a wi sd e s i g n e db a s e do naq u a d r a t i c p o s i t i v ed e f i n i t ef u n c t i o n ，w h i c hg u a r a n t e e st h et h r e el i n k ss w i n gu pi n t o b a l a n c ea r e aw i t had e s i r e dp o s t u r e a f t e r w a r d s ，ab a l a n c ec o n t r o ll a w b a s e do nl q rc o u l dr e a l i z et h ec o n t r o lt a r g e ts u c c e s s f u l l y m o r e o v e r , i no r d e rt oi m p r o v et h ec o n t r o lp e r f o r m a n c e ，as w i n g - u p c o n t r o ll a wb a s e do np a r t i a lf e e d b a c kl i n e a r i z a t i o na n db a l a n c ec o n t r o l l a wb a s e do nl q ri sp r o p o s e d t h i ss t r a t e g yh a st h em e r i t so fs w i n g i n g u pq u i c k l ya n ds w i t c h i n gs m o o t h l yb e t w e e nt h ec o n t r o l l e r s a tt h es a m e t i m e ，t h ec o n f i g u r a t i o no fs w i n g u pc o n t r o l l e ri ss i m p l e a tl a s t ，t h er e a lm o d e lo ft h r e e l i n kg y m n a s t i cr o b o ti sd e s i g n e di n t h i sp a p e r a n dt h et y p eo fm o t o r s ，e n c o d e r sa n dc o n t r o lb o xa r ec h o s e n b a s e do nt h ec o n t r o le x p e r i m e n t so ft h er o b o tm o d e l k e y w o r d s ：u n d e r a c t u a t e dm e c h a n i c a ls y s t e m ，t h r e e l i n kg y m n a s t i c r o b o t ，l q r ，q u a d r a t i cp o s i t i v ed e f i n i t e ，p a r t i a lf e e d b a c kl i n e a r i z a t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包 含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共 同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：垄量控日期：萆年上月堑日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文，允 许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：纽导师签名立垒壁垒日期： 年羔月么日 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 1 】l 研究目的与意义 第一章绪论 欠驱动机械系统由驱动关节通过动力学耦合关系带动非驱动关节完成所需 的动作，该类系统的主动关节( 驱动单元) 少于系统自由度( 关节数) 。从数学描述 角度来说就是构成系统的广义坐标的维数多于控制输入维数的非线性系统【1 ，2 1 。 这类系统具有复杂的内部动态特性、不完整特性、以及反馈的不完全线性化特性 等。这些特性在很多的机器人系统例如多指机器人手、轮式移动机器人、太空机 器人等系统中都存在。因而近年来，欠驱动机器人的运动控制问题引起国内外广 泛的研究兴趣【3 引。 欠驱动机械系统由于驱动的减少，在设计机器人时去掉一些与驱动相关的设 备，使机器人的重量减轻了、成本降低了，同时也减少了能耗，因此欠驱动机械 系统的优点是显而易见的【9 1 3 l ；对某些结构特别紧凑，无法安排驱动转置，或者 对降低成本有特殊要求的场合，也可以考虑非驱动关节的设计；另外，受人体运 动的启发，欠驱动机械系统的运动控制研究对运动机器人以及其它仿生机器人的 研究有重要意义，仿人仿生机器人要实现高效的、优美自然地运动，非驱动关节 的研究是不可缺少的重要内容。 欠驱动三杆体操机器人是欠驱动机械系统的一个典型例子，它是一个在垂直 平面上运动的三杆机器人，具有三个自由度和两个驱动器。机器人的控制目标是 从垂直向下的稳定平衡点摇起到垂直向上的不稳定平衡点，并最终稳定在这个不 稳定平衡点上。 本文研究欠驱动三杆体操机器人的控制策略，目的旨在探讨欠驱动机械系统 的控制方法。研究三杆体操机器人这样一类欠驱动机器人的控制策略，对于欠驱 动机械系统、复杂非线性系统和太空机器人系统的控制是非常有用的，具有极其 重要的意义。 1 2 国内外研究现状 目前，在国内外大部分关于体操机器人的研究中，都采用a c r o b o t 的欠驱动 两杆体操机器人模型【m 19 1 。a c r o b o t 是一种具有2 个自由度和1 个主动关节的二 连杆机器人，它能简单的模拟体操运动员在单杆上的摆起、倒立、大回环等等体 中南大学硕士学位论文第一章绪论 操动作，其第一个关节是非驱动的，模拟了体操运动员在单杆上的手关节，第二 个关节是驱动的，模拟了体操运动员的髋关节。 含有非驱动关节的欠驱动机器人由于不满足b r o k e t t 条件【l 】，因而对其不可 能采用定常光滑的状态反馈控制方法。对于欠驱动两杆机器人a c r o b o t ，控制时 大多采用分区控制，将欠驱动两杆机器人的运动空间分为摇起区和平衡区并针对 这两个分区，分别采用不同的控制策略进行摇起控制和平衡控制。 s p o n g 提出y n 用部分反馈线性化把a c r o b o t 从垂直向下的稳定平衡点摇起 到垂直向上的不稳定平衡点附近【2 0 2 2 】，并相应地采用线性二次调节- 器( l q r ) 方法 在垂直向上的不稳定平衡点附近设计相应的控制器来平衡它。根据a c r o b o t 两杆 在不稳定平衡点附件的角度值，划分平衡区和摇起区。在平衡区，利用部分反馈 线性化求得a c r o b o t 驱动装置的控制力矩。这一控制力矩作用在a c r o b o t 第二杆 上，并带动a c r o b o t 第一杆使其摆动幅度不断加大。进入平衡区后，利用基于 l q r 的平衡控制器，实现a c r o b o t 稳定在竖直向上的不稳定平衡点上的控制目 标。 b r o w n 等人提出了基于内部部分反馈线性化的p d 控制、状态反馈控制或基 于部分反馈线性化的模糊控制来实现a c r o b o t 的摇起控制，基于l q r 控制或模 糊控制来实现a c r o b o t 的平衡控制，摇起控制和平衡控制都采用智能算法优化各 控制器的参数【2 3 2 5 1 。 x i n 提出了一种考虑系统能量控制方法来实现a c r o b o t 的控制目标 2 6 , 2 7 ，采 用基于l y a p u n o v 函数的摇起控制器，保证能量趋向期望值，确保机器人能顺利 从摇起区进入到平衡区；进入平衡区后，进行控制器的切换，采用基于l q r 的 平衡控制策略，最终实现a c r o b o t 的控制目标。 在文献【2 8 】中，作者提出了一种基于全局稳定性的控制策略【2 9 1 ，选择弱 l y a p u n o v 函数来控制系统能量和驱动关节的姿态，并在弱l a p u n o v 函数中设计 一个时变参数来避免奇异值3 0 ，3 1 1 ，在平衡区设计一个最优控制规律，最终实现 a c r o b o t 的控制目标，并基于非光滑l y a p u n o v 函数来确保从摇起区结束开始，到 整个平衡区过程中系统的稳定。 然而，通过对体操运动员的运动技巧分析可知，人的行为动作是通过多个关 节的互连耦合来实现的，而设计只有一个主动关节和一个自由关节的体操机器人 模型不足以表达人的肢体运动。为了能更好地模拟人在体操运动中的运动控制， 体操机器人至少需要三个关节，与欠驱动两杆机器人a c r o b o t 相比，这类机器人 具有更高的实际应用价值和更复杂的非线性特性。 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 三杆体操机器人具有3 个自由度和2 个主动关节，其中肩关节和俄关节为主 动关节，手部关节为被动关节，是一种典型的欠驱动机器人。该机器人可以有效 地模拟体操运动员肩关节和髋关节的主动控制作用，真实地反应体操运动员的肢 体运动 3 2 , 3 3 】；相比于a c r o b o t ，三杆体操机器人具有更强的非线性和耦合性，其 控制具有高度的复杂性和非线性，可用来检验控制理论和控制方法在类似复杂控 制系统的有效性。 然而，欠驱动三杆体操机器人的控制比欠驱动两杆机器人a c r o b o t 的控制复 杂。因为，欠驱动三杆体操机器人具有两个驱动力矩，在分析力矩方向和大小对 各杆产生的角加速度时，要考虑三个关节角度以及三个杆之间的夹角，使得控制 关系变得非常复杂，很难选取合适的力矩将三杆体操机器人摇起并进入平衡区。 m e t t i n 针对欠驱动三杆机器人，提出了一种基于虚拟约束的方法来规划机器人的 运动轨迹1 3 4 1 ，该方法根据人的运动特性，建立了驱动关节与被动关节之间的运动 约束关系，以实现机器人像人一样运动。然而，该策略很难找到驱动关节与被动 关节的约束关系，对其进行摆起控制，从而无法通过规划机器人运动轨迹的方法， 来实现三杆体操机器人的摇起控制目标。 对于三杆体操机器人的摇起控制，x i n 提出了一种基于能量和角度的摇起控 制策略【3 5 ，3 6 1 ，通过坐标转换将含有驱动关节的第二杆和第三杆转换为一个主动关 节，这种策略能够控制能量和角度，从而将欠驱动三杆摆起到不稳定平衡点附近。 但是该控制策略很难避免摇起过程中存在的奇异值，使得体操机器人不能顺利地 进入到平衡区。 在文献 3 7 1q b ，李祖枢提出了一种仿人智能控制策略，将体操机器人的摆起 倒立运动过程规划成六个串行的目标阶段p 8 ，3 9 1 ，并针对六个阶段分别采用 b a n g b a n g 控制、p d 控制等等，这种控制策略能够规划体操机器人的运动姿态 并且兼顾摆起过程中能量递增的控制目标。但是，基于仿人智能的控制策略需将 控制过程划分为六个阶段，由于体操机器人系统的复杂非线性，并且需要考虑控 制器之间的平滑转换，使得各阶段的控制策略设计变得十分复杂。 由于三杆体操机器人的强耦合特性以及复杂非线性特性，因而，很难设计控 制策略来实现三杆体操机器人摆起倒立的控制目标，目前三杆体操机器人控制存 在的问题主要有：运动区间划分条件太苛刻，使三杆体操机器人很难满足进入平 衡区的条件；为了实现从摇起区顺利过渡到平衡区，在控制三杆体操机器人的能 量和姿态时，由于模型复杂，难以避免奇异值现象的产生；很难快速实现从摇起 区过渡到平衡区。 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 3 研究内容 本文针对三杆体操机器人难以控制的问题，简化运动区间的划分，设计基于 二次正定函数和基于部分反馈线性化的控制策略，进行仿真试验，并设计三杆体 操机器人实物模型。本文的研究内容主要包括以下三个方面： ( 1 ) 建立三杆体操机器人的动力学模型，分析机器人的动力学特性，简化机 器人运动区间的划分，在此基础上，提出一种基于二次正定函数的控制策略，来 控制系统的能量和驱动关节的姿态，确保能够将三杆体操机器人顺利摇起并进入 到平衡区； ( 2 ) 在三杆体操机器人由摇起区过渡到平衡区时，由于角速度的存在，难以 使输入力矩变化平滑，因而，采用基于部分反馈线性化的控制策略，对三杆体操 机器人的驱动杆进行控制，使驱动关节的角度和角速度朝着收敛为零的方向运 动，确保三杆体操机器人能平稳地进入到平衡区； ( 3 ) 设计三杆体操机器人实物模型，包括设计实物的机械本体、确定电机选 型、确定编码器以及选取控制器。 1 4 论文组成 根据研究内容，本文后面各章的内容如下。 第二章提出三杆体操机器人的物理模型，推导建立它的动力学模型，分析讨 论机器人的动力学特性。 第三章根据三杆体操机器人的动力学特性，将三杆体操机器人的运动空间分 为两个区域：摇起区和平衡区。在摇起区，应用基于二次正定函数的控制方法， 来增加系统的能量和控制驱动杆的姿态，通过添加能量期望值的裕量，来避免奇 异现象的出现。利用相同的角度期望值，调整驱动杆姿态，实现驱动杆的联动， 来确保系统顺利进入平衡区；在平衡区，采用基于l q r 的平衡控制器，将系统 稳定在竖直向上的位置，实现系统控制目标。最后用仿真结果验证了控制策略的 有效性。 第四章提出一种基于部分反馈线性化的控制策略。在摇起区利用部分反馈线 性化设计摇起控制器，对第二杆与第三杆进行联动控制，确保欠驱动三杆体操机 器人迅速摆起，并且摆起后第二杆和第三杆自然伸展；进入平衡区后，采用基于 l q r 的平衡控制器，将系统稳定在期望的位置，实现系统控制目标。最后用仿 中南大学硕士学位论文第一章绪论 真结果说明控制策略的有效性。 第五章设计三杆体操机器人实物模型。确定实物模型的机械本体、电机选型、 编码器的选取及控制器的选取。 第六章对全文做出总结，提出对后续研究的展望。 中南大学硕士学位论文第二章三杆体操机器人动力学模型 第二章三杆体操机器人动力学模型 欠驱动三杆体操机器人是一个在垂直平面上运动的三杆机器人，在讨论它的 控制策略之前，首先需要建立其动力学模型。本章采用拉格朗日力学的方法建立 三杆体操机器人系统的动力学模型【4 0 , 4 1 1 ，该方法利用物体能量的平衡关系，来建 立系统的动力学模型。 2 1 体操机器人的物理模型 三杆体操机器人的模型如图2 1 所示，由手臂、躯干和大腿三部分组成，其 中肩关节和髋关节为主动关节，手部关节为被动关节，连接在对应关节上的参数 和变量定义如下：三杆的长度分别为厶、厶、l ：；质心轴心距为、厶、厶；三 个杆的质量为m ，、m ，、m ，；以质心为转动轴时的转动惯量为，、 、，；三 杆与垂直位置的夹角为鼠、0 2 、0 3 ，以倒立位置为0 度，顺时针为正：关节上 的电机质量为m c ，、m c ，、肌c ，；三个关节上的摩擦力矩系数为c 1 、c ，、岛；关 节上的力矩为梯，、”，、甜：，顺时针为正。 朋qc i 2 2 动力学模型推导 图2 - 1 体操机器人模型 驱动关节 非驱动关节 ( 函各杆的重心 o 末端执行器 将三杆体操机器人系统的动能和势能之差定义为拉格朗日函数，即 6 中南大学硕士学位论文第二章三杆体操机器人动力学模型 l ( o ，目) = t ，0 ) 一v ( o )( 2 1 ) 其中t ( o ，矽) 和矿( 臼) 分别是以系统的动能和势能，而且p = 暇0 ：色】r 。 对于三杆体操机器人系统，其拉格朗日运动方程为： 昙者妒砌一者硼勃+ 毒，( 彩= ，渊，2 ，3 ( 2 2 ) 其中是作用在第舛1 二的输入力矩，由第一关节为欠驱动关节可得z ，= 0 ，f ( 矽) 为系统各关节损耗的能量。根据( 2 1 ) 式和( 2 2 ) 式，拉格朗日方程可以进一步表达 为： 旦( 型) 一c 3 t ( o , o ) + o r ( o ) + 一o f ( o ) ：甜 d t j 8 9 j 8 88 8a 9 ( 2 - 3 ) 其中z ，为三杆体操机器人系统的输入力矩 = 【o 甜：1 3 】r ) 即系统所受驱动力， o 、矽分别为三个关节的角度( 口= t o , 0 20 3 r ) 和角速度( 矽= t o , 幺馥】r ) 。t ( o ，矽) 为系统的动能，矿( 乡) 为系统的势能，f ( 毋) 为系统各关节摩擦损m 嵇h yl 疗a 匕p _ 里，且 t ( o ，矽) 、矿( 乡) 、，( 矽) 分别定义为： 丁c臼，矽，=圭喜以彩+胁； 磊d ( 登i - i 。s i n 吼+ 佃彬 + ( 丢( 磐一s o k 蛳吣) ) 2 哇弘 c 丢垫c o s 盯+ c 磊d 登i - 1 痢盯 ( 2 - 4 ) 3i - 13f l y ( 秒) = 聊f g ( 1 ic o s o ，+ l c o s o , ) + m c ，g ( l ic o s o , ) ( 2 5 ) f = lk = i 一2f - 2k = ，- 2 13 f ( 矽) = 去c ，( 谚一谚一。) 2 厶f = l ( 2 6 ) 将( 2 - 4 ) 式、( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式代入拉格朗日动力学方程( 2 3 ) 式，可得三杆体操 机器人系统的动力学方程为： a ( o ) o = b ( o ，臼) + c ( 秒) + d 7 ( 2 7 ) 中南大学硕士学位论文第二章三杆体操机器人动力学模型 其中4 ( 臼) 是惯性矩阵，b ( o ，矽) 是利里奥利力和离心力的结合，c ( 臼) 为重力，它 们分别定义为： 式中 彳c 臼，= 三兰三兰 4 ， 4 ： 4 ： 彳2 3 彳2 2 彳3 3 骂。 e ： b ( o ，曰) = b 1 2 b 2 2 色2 = 聊l 牙+ j 1 + ( 所2 + 历3 + m c 2 ) 茸 = 聊3 乞lc o s ( 0 3 一0 1 ) = ( ，聍2 l r 2 + ( m 3 + m c 2 ) 三2 ) 三1c o s ( 0 2 - o , ) = m 3 ，3 三2c o s ( a s 一幺) = 聊2 鬈+ ，2 + 仰3 + m c 2 ) 丘 = m 3 噻十j ； = 一( c l + c 2 ) 矽l f - c 1 c ( 口) = lc ：l ，d 【- c 3 j = ( c 2 + ( m 2 1 2 + ( m 3 + m c 2 ) 2 ) 三ls i n ( 0 2 一只) 臼2 ) 臼2 = m 3 ，3 l ls i n ( 0 3 一b ) 彰 b 2 1 = ( c 2 一( m 2 ，2 + ( ，押3 + m c 2 ) 2 ) 三is i n ( 0 2 一0 1 ) 0 , ) g b ， b 2 3 色： 最： 色， = 一所。l s l 。s i n ( 0 3 一幺) 卯 = p 3 + 所3 乞三2s i n ( o s 一目2 ) o s ) a s p 3一m 3 厶三2s i n ( o s 一见) 幺) 幺 = 一( c 2 + c 3 ) 臼2 = 一c 3 b = ( ，强，1 + ( m 2 + m 3 + m c 2 ) 1 ) g s i n b c 2 = ( m 2 1 2 + ( 所3 + m c 2 ) 2 ) g s i n 目2 = 聊3 1 3 9 s i n 以 假设x = 1 7 1x 2x 3x 4 咯蚝r = 程式( 2 7 ) 可改写为： 8 幺】r ， f o 制 ( 2 - 8 ) ( 2 9 ) ( 2 - 1 0 ) ( 2 - 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 则动力学方 1j b 为 弘 b b b u 甜 b b 艿b 。l ， 1_1 b 丝 好 4 4 4 中南大学硕士学位论文 第二章三杆体操机器人动力学模型 其中 t2 屯= x 5 毛= 讫 冀= f ( x ) + b l ( x ，“) j t 2 = 五( x ) + 吃( x ，u ) j c 3 = f a ( x ) + b 3 ( x ，甜) 可以将( 2 2 6 ) 式- ( 2 31 ) 式简单地表示为 贾= f ( x ) + 6 ( x ，u ) 厂 ) = 【k x 6z ( x ) 以( x ) 六( x ) 】r 6 ( x ) = 【o 0 0 b l ( x ，“) 6 2 ( x ，甜) 吃( x ，z ，) i r z ( 工) l 厶( x ) l = a 。( 9 ) 【b ( 9 ，矽) + c ( p ) 】 l 六( x ) i 瞄卜目 ( 2 - 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) ( 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) 显然，三杆体操机器人系统是典型的多输x ( u ：，z ，) 多输出( 舅，0 2 ，幺) 的非 线性多变量系统，从系统运动模型可知，在系统的各变量( 鼠，幺，0 3 ) 间存在很 强的耦合作用，且这种耦合作用将随机器人的运动而不断变化。 本文在m a t l a b 中利用仿真工具s i m u l i n k l 4 2 州1 ，建立三杆体操机器人的系统 仿真模型( 如图2 2 所示) ，模型中各参数的取值如表2 1 所示【3 8 ，4 5 1 ，在系统模型 的基础上进行三杆体操机器人动力学特性分析。 9 中南大学硕士学位论文第二章三杆体操机器人动力学模型 表2 1 三杆体操机器人模型的参数 符号代表的值 单位符号 代表的值单位 厶 o 3 4m j l 0 0 1 2 1 8 k g m 2 l 2 0 2 9m j 2 0 0 3 9 8 5 k g m 2 厶 o 5 2m 以0 0 4 8 7 1 k g m 2 l l o 1 7m c 1 o 0 2 6 9 3n m s l s o 1 4 5m c ， o 0 2 6 9 3 n m s ，3 0 2 6m c 3 0 0 2 6 9 3n m s m l 1 2 5 8 k g 册q 0 k g 肼2 5 6 8 6 k g m c 2 0 k g m 3 2 1 6 2 k g m c 3 0 k g 图2 - 2 三杆体操机器人模型m a t l a b 仿真框图 2 3 动力学特性分析 根据三杆体操机器人的动力学模型，分析三杆体操机器人的控制特性，以驱 动杆的联动为前提，简化三杆体操机器人运动空间的划分条件。 2 3 1 控制特性分析 三杆体操机器人具有复杂的非线性和高度耦合性，在机器人整个运动空间 l o 中南大学硕士学位论文 第二章三杆体操机器人动力学模型 中，很难把三杆体操机器人用一种控制策略从垂直向下的稳定平衡点摇起到垂直 向上的不稳定平衡点，并稳定在这个平衡点上 3 5 , 3 8 】。这样，需要将三杆体操机器 人的整个运动空间分为不同的子空间，按不同的分区来对三杆体操机器人进行分 区控制。 对于体操机器人运动区间的划分，在两杆体操机器人a c t o b o t 运动区间的划 分中，直接考虑a c r o b o t 数学模型中的非线性成份，在满足条件时将模型近似线 性化，将近似线性化需要满足的条件作为运动区间的划分条件【4 6 棚1 。这种方法 对于三杆体操机器入这种非线性更强，模型更复杂的系统有一定的局限性，采用 这种方法得到的平衡区进入条件非常复杂，使得控制时三杆体操机器人很难进入 平衡区。 三杆体操机器人的动力来自于两个主动关节的转动力矩，这使得它的运动复 杂性高于只有一个驱动力的a c r o b o t 系统。如式( 2 7 ) 所示，在分析力矩方向和大 小对每个杆件产生的角加速度时，需要考虑三个关节的角度以及三个杆之间的夹 角，根据模型中的非线性成分得到的三杆体操机器人平衡区进入条件非常复杂， 从而很难实现三杆体操机器入的摇起控制目标。 2 3 2 运动空间分析 根据2 3 1 小节对三杆体操机器人控制特性的分析可知，我们需要对机器人 实行分区控制。并且，为确保机器人能顺利的进入到平衡区，不能仅根据平衡区 附近机器人模型中的非线性因素，来进行机器人运动空间的划分。针对三杆体操 机器人的特性，为了顺利实现从摇起区过渡到平衡区的过渡，设计摇起控制器时， 考虑控制策略能够实现体操机器人第二杆和第三杆的近似联动运动，从而实现两 个驱动杆近似联动，来简化运动区间的划分。 针对欠驱动两杆机器人a c r o b o t 系统，根据a c r o b o t 动力学方程式中的非线 性成分【5 0 5 2 1 ，可以用两个小的正数屈和及来定义a c r o b o t 的子运动空间：摇起 区与平衡区。 定义1 令a c r o b o t 的整个运动空间为，摇起区定义为，平衡区定义为 ，可得a c r o b o t 运动区间空间的划分： 摇起区：，：= 一， 平衡区：e 2 ：i q li 屈ni q l + q 2 i 及 其中n 为与符号，u 为或符号，仍、g ：分别为a c r o b o t 第一关节和第二关节的角 度。 中南大学硕士学位论文 第二章三杆体操机器人动力学模型 对三杆体操机器人系统的运动空间，由三杆体操机器人的动力学方程( 2 7 ) 式，可以将三杆体操机器人系统方程在平衡区内近似线性为： 曼= 彳x + b u 其中，x = 瞩包岛馥幺晚】丁为状态矢量。 ( 2 3 7 ) 根据( 2 - 8 ) 式中所包含的非线性项c o s 只、s i n 0 , ( f - 1 ，2 ，3 ) 、c o s ( 0 。一目。) 、 s i n ( a m 一0 。) ( m = 2 , 3 ；n = 1 , 2 ) ，在平衡区使用如下近似： c 。嬲；害s 谚i n ( 象嚣鬈幺。m 寰2 , 3 ；n 1 , 2 仁38 ， l c o s ( 巳一幺) l ；眈一或) 既一幺( = = ) 。7 可以推导出 a = b = o oo 垒垒 m m ooo 鱼垒 4 ： m 4 ， m l0 o ol0 0 0l 0o 0 o o o oo o f 2 - 3 9 ) ( 2 4 0 ) 其中，m 为满足式( 2 - 3 8 ) 时矩阵爿( 臼) 的行列式，e ( f _ 1 ，2 ，3 ) 是与模型有关的常 量，五( f ，歹= 1 ，2 ，3 ) 为满足式( 2 3 8 ) 时矩阵彳( 臼) 的伴随矩阵中各项的值，m 、e 及 a ( o ) 的伴随矩阵彳( 臼) 可分别定义为： m = a i l 4 2 4 3 + 2 a a 2 4 3 a 1 3 一a l l 4 刍一a 2 2 以- a 3 。4 磊( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 。一鸺一m一鸲m一鹕m o o o厶矗 。一鸲一m一一m一鸲一m o o o一mfm一m o o。(邪百一百一生m g e 崛狮堋厶 伽一bo十+ 以”帆 + + m。 一所 m = 中南大学硕士学位论文第二章三杆体操机器人动力学模型 互：j 。； 五2 2 叠：，i 五，：五。，i ( 2 - 4 3 ) 类似于a c r o b o t 摇起区和平衡区的定义l ，根据式( 2 9 ) - 式( 2 - 1 1 ) 、式( 2 1 4 ) - 式( 2 2 5 ) ，可以用6 个小的正数丑( f = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ) 来定义三杆体操机器人的摇起 区和平衡区。 定义2 令三杆体操机器人整个运动空间为q ，摇起区定义为q ，平衡区 定义为q ，可得三杆体操机器人运动区间分区的划分： 摇起区：f 2 ，：= q q ， 平衡区：q ：防l n1 0 2 i 彳：n 睇i 五n 陆一0 1 l 以n1 0 3 一1 9 1i 以n 1 0 3 - 0 2 i 九 从定义2 与定义1 的关系式，可得出三杆体操机器入平衡区的进入条件比两 杆体操机器人a c r o b o t 复杂，即三杆体操机器人从摇起区转换到平衡区的约束比 a c r o b o t 从摇起区转换到平衡区的约束多，从而加大了摇起过程中三杆体操机器 人进入平衡区的难度【3 5 , 3 8 】。为了保证体操机器人摇起后的三杆能顺利进入到平衡 区，设计三杆体操机器人的摇起控制器使第二关节与第三关节实现联动( 如图2 3 所示) ，这样第二关节的角度b 可近似看作等于幺，从而也满足l 幺一幺l 0 ，简 化定义2 中摇起区和平衡区的划分，可以得到三杆体操机器人控制区间改进后的 定义： 图2 3 第二杆和第三杆联动的体操机器人 n 饥 孔 44彳 l = 、， 臼4 中南大学硕士学位论文第二章三杆体操机器人动力学模型 定义3 ：在摆起过程中，控制三杆体操机器人的驱动杆实现联动时，可以将 定义2 的摇起区和平衡区的划分条件简化为： 摇起区：q ，：= q q ， 平衡区：q ：慨l 五n1 0 2 l 五nl o z - o l i 五 由定义3 重新定义的三杆体操机器人的平衡区进入条件类似于a c r o b o t 的平 衡区进入条件，与定义2 相比减少了平衡区的进入约束，使得摇起后的三杆体操 机器人系统比较容易进入平衡区。这样，再对三杆体操机器人不同运动空间，根 据不同运动空间的特点，相应设计不同的控制策略，以实现其控制目标。 2 4小结 本章介绍了三杆体操机器人的物理模型，采用系统的动能和势能之差作为拉 格朗日动力学函数，基于拉格朗日动力学方程，推导建立三杆体操机器人的动力 学模型；根据动力学模型，对机器人的控制特性和运动空间进行分析，以驱动杆 实现联动为前提简化其运动空间的划分条件，使得简化后运动空间的划分条件类 似于两杆体操机器人运动空间的划分条件，为设计三杆体操机器人的控制策略提 供基础。 1 4 中南大学硕士学位论文第三章基于二次正定函数的控制策略 第三章基于二次正定函数的控制策略 三杆体操机器人的控制目标是把它从垂直向下的稳定平衡点摇起到垂直向 上的不稳定平衡点，并稳定在不稳定平衡点。本章在第二章已推导出三杆体操机 器人动力学模型与简化运动空间划分条件的基础上，来研究它的控制策略。根据 运动区间的划分，分别设计摇起控制器和平衡控制器。在摇起区，根据其模型特 性，选取包含机器人驱动杆角度和系统能量的二次正定函数来设计摇起控制器， 并通过引入能量裕量，来避免同时考虑能量和角度时存在的奇异值问题；在平衡 区，采用基于l q r 的平衡控制策略，将三杆体操机器人稳定在不稳定平衡点。 并且，仿真结果验证这种控制策略的有效性。 3 1 摇起区的控制策略 由于三杆体操机器人的动力学方程非常复杂，在二次正定函数中考虑驱动杆 的角速度，将很难避免摇起过程中存在的奇异问题，因而在设计摇起区控制策略 时不考虑驱动杆的角速度，仅考虑系统的能量和角度。同时，为满足简化后的三 杆体操机器人平衡区进入条件，设计摇起控制器来实现驱动杆的联动。 3 1 1考虑能量和角度的摇起控制规律 为了使三杆体操机器人从摇起区过渡到平衡区，构造如下二次正定函数，来 设计摇起控制区控制规律： 1 y ( x ) = 去( 口。霹+ 届x ；+ 履巧2 ) ( 3 1 ) e ，= e ( x ) 一e o ( 3 - 2 ) 上式的口。、崩和：是正常数，e ( x ) 是系统总能量，e 。是系统在竖直向上位置 的势能，x ：和x ，分别为第二杆和第三杆的角度。 由( 2 5 ) 式、( 2 6 ) 式、( 2 7 ) 式及( 3 - 2 ) 式可推导出系统总能量e ( x ) 的导数为： 左c x ，= c x ， ：i 因此，二次正定函数矿( x ) 的导数为： ( 3 3 ) 中南大学硕士学位论文 第三章基于二次正定函数的控制策略 矿( x ) = k l 五：x 5 z f 2 + 口l e x x 6 z ，3 + 屈x 2 x 5 + 2 x 3 x 6 】( 3 4 ) 提取公因式，可将上式转换为： 当 矿c x ，= k ，e 甜：+ 届x ：a 。e 甜，+ 反x ，( 二i e x = e ( 功一e o 0 时，可以将摇起区的控制规律设计为： 驴盼 等等 r 因此，控制规律可以保证下列条件成立： 矿c x ，= 一k ，x 。( 二i 巨 其中，0 巨 毛，t l = e ( x ) 一e o - a 1 ，t 2 = e ( x ) 一e o - a 2 ( 0 5 1 a 2 ) 。 这样，根据能量e 的大小来将摇起过程划分为两个分过程：摇起前期和摇起后 期，通过改变能量裕量的值，来确保系统能量迅速增加和避免输入力矩过大的 i 口- j 题。 根据值的切换，可分别得到两个不同值的二次正定函数： k ( x ) ：i 1 ( 口。碍+ 届x ：2 + 履x ，2 ) ( 3 - 1 1 ) 匕( x ) = 昙( 口，砭+ 届x ；+ 尾) ( 3 - 1 2 ) 式中，乜= e ) 一：s o - a ，( 扛1 ，2 ) ，根据切换条件可得 e 0 这样，由a ， a ：可知，在摇起区控制策略的切换时刻f 。 k ( z ( ) ) 吒 ( f 。) ) 成立，这样能保证摇起过程中， 二次正定函数得到的控制规律是收敛的，从而避免了控制规律的来回切换。在避 免奇异值问题的同时，也保证了控制性能满足控制要求。这样，可以在定义3 的 基础上将摇起区划分为两个子区间，摇起区l 定义为q 1 l ，摇起区2 定义为q 。： 摇起区1 ：q 1 1 = q 1 一q 1 2 摇起区2 ：q 1 2 ：e ( x ) 一巨0 在摇起区1 采用基于二次正定函数( 3 1 5 ) 式设计的控制规律，在摇起区2 采用基 1 7 一一瞩一喊 中南大学硕士学位论文第三章基于二次正定函数的控制策略 于二次正定函数( 3 1 2 ) 式设计的控制规律。 3 1 2 实现联动的摇起控制 摇起控制器的控制目标是将三杆体操机器人系统的能量增大到竖直向上平 衡位置时候的能量，并且三个杆的角度在竖直向上的位置附近，以满足平衡区的 进入条件。如果平衡区的进入条件太苛刻，会导致摇起后的体操机器人很难顺利 地进入平衡区，这样就无法实现摇起控制及整个运动区间的控制目标【3 6 1 。因而， 采用定义3 对三杆体操机器人的运动区间进行重新划分，而这种划分需要满足的 条件是体操机器人的驱动杆实现联动。 ( 3 1 0 ) 式的控制规律是由( 3 1 ) 式推导得出的，在( 3 1 ) 式的二次正定函数中， 矗和丘分别代表第二杆和第三杆的角度，第二杆和第三杆角度的期望值相同， 都为零。第二杆和第三杆的角度同为竖直向上方向法线的夹角，在摇起过程中， 岛和的值将同时趋向于零，在系统状态接近平衡区时，我们可以取一和的 值为： 蚓孝， i = 2 ，3 ( 3 - 1 6 ) 式中，善为任意小的正数。这样，三杆体操机器人的两个驱动杆的夹角的值黾可 表示为： i 2 4( 3 1 7 ) 在孝足够小的时候，两个驱动杆的夹角将近似为零。这样，两个驱动杆自然伸展， 实现了近似的联动，从而能够满足定义3 对三杆体操机器人运动区间的划分进行 简化的条件。 3 2 平衡区的控制策略 采用摇起控制策略，增加系统能量同时调整各驱动杆的姿态，在系统能量达 到不稳定平衡点所具有的势能时，三杆体操机器人在一定情况下就能进入平衡 区。当三杆体操机器人进入平衡区时，切换控制器，采用线性二次调节器( l q r ) 来平衡机器人，以实现平衡区的平衡控制。 3 2 1 平衡区的近似线性化 在平衡区，三杆体操机器人的动力学模型采用在垂直向上的不稳定平衡点附 近的近似线性化模型来近似表示，采用l q r 控制来进行平衡控制。 三杆体操机器人的近似线性化模型如( 2 3 2 ) 式所示，近似线性化模型中a 和 b 的值由(