（基础数学专业论文）共形平坦流形和切触度量流形的一些新结果.pdf

摘要 在这篇论文中，我们进行两方面的研究：一方面是共行平坦流形和。k e n m 。8 u 流形 中一些子流形的性质；另一方面是共形平坦的切触度量流形和局部共形余辛流形本身的一 在第一章中，我们首先研究具有常咖截面曲率c 的m k e n m 。t s u 流形中的卷积子流 定理a 设f 面( c ) ，9 ；咖，叼) 是具有常曲- 截面曲率c 的让k e n m 。s u 流形，( 尬，肘2 ， 9 。+ ，。啦) 是蔬。) 中的礼维每碚浸入子流形，结构向量场 与m - 相切，则 竿翱驯。+ ( 半) ”掣“+ 耠峭幽 ) 其中啦：d i m 脱，i ：1 ，2 ，是( m ，9 1 ) 的l a p l a c e 算子，u g o 。( m ( 。) ) 且d 札 叶。 o ，髓= ) 然后，我们对b 极小子流形进行了讨论，并证明了t 定理b 若妒：一( m ，9 ) 是b 一极小予流形当且仅当子流形事：_ 【肘9 1 2 。差第二章中，我们首先在共形平坦的切触度量流形的基础上定义了$ 一r 1 c c l 曲率、( q ) 不变竺警黧嚣篇兹二嚣絮巍黼补截面 定理c 设( m 2 时1 ，9 ；毋，f ，”) 是共形平坦的切触厦量搋彤，右县您扁只制吊妒瞰“ 曲率，则 r i 矿( x ，y ) ：，9 ( x ，y ) ，vx ，y r ( t m ) ， 论1 宙锂e 设? ，是c 。r 的一个开集，( z 1 ，z 2 ，z m ，z ) 是u 的笛卡儿坐标系 定理e 设u 是c “r 的一个开集， ( 。1 ，产，“，z ) 是u 明由5 儿兰巴制”、 u g 。o ( u ) ，考虑 蒜瓤跏 焉强篓 ( a ) 向量场= e “盎， ( b ) u 上的实值函数k ，使得( k ) = o ， ( c ) 1 一形式场叩= e 1 如， ( d ) 双线性形式9 = q 2 + e _ 2 “( 毛d 。d 万+ b 精d 万。d 扩) ， ( e ) 张量场庐= 了蚤( 最。4 刁一了蚤( 刍。拟) 如果我们选取k 使得g 是处处正定的，d “ q = 0 ，则具有结构( ，叩，g ) 的u 是“一 k e n m o t s u 流形，而且每一个札一k e n m o t s l l 流形在局部上都可以由满足上述条件的 ，乱) 生成， 关键词：b 一极小卷积井形平坦札一k e n m o t s u 流形广义复结构 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，f i r s t ，w es t u d y 池e8 u b m a n i f o l d so fc o n f o r m a l l yf l a tm a n i f o l da n dc o n t a c tm e t r i cm a n i f o l d ；t h e n ，w es t u d yt h ec o n f o r i n a l l y 丑a tc o n t a c tm e t r i cm a n i f o l d sa n d c o n f o r m a l l yc o s y m p l e c t i cm a n i f o l d s i nc h a p t e ri ，w es t u d yt h e 、v a r p e d p r o d u c ts u b m a n i f o l d si n “一k e n m o t s um a n i f o l d e q u i p p e dw i t hc o n s t a 珏t 护8 e c t i o n a lc u r v a t u r e ，a n d 、砘p r o v et h ef o l l o 啊r i n gr e s u l t ： t h e o r e mal e t ( a ，( c ) ，g ) e q u i p p e dw i t h ( ，叩) b ea ( 2 m + 1 ) d i m e n 8 i o n a l “ k e n m o t 8 um a n i f o l do fc o n s t a n t 咖一s e c t i o n a lc u r v a 土u r e ，a n d ( f 1 ，蝇，9 l + ，2 5 2 ) b ea n i s o m e t r i ci m m e r s i o no f a n 扎一d i m e n s i o n a lw a r p e d p r o d u c “n t o ( c ) w h o s es t r “c t u r ev e e t o r f i e l d i st a n g e n tt o 尬t h e n 竽翱卅( 竿) ”掣“+ 沁幽卜 w h e r en = d i m 尬，i = 1 ，2 ，i st h el 印l a c i a no p e r a t o ro n ( 尬，9 1 ) ，札c r 。( m ( c ) )a n d d n 叼= 0 ，乱= f ( 钍) f u r t h e r m o r e ，w es t u d yb m i n i m a l8 u b m a n i f o i d 8a n dp r o v e ： t h e o r e mbs u b m a n i f o l d 妒：e ( m ，g ) i 8b i n i n i m a l 主fa n do n l yi ft h ec o r r e _ s p o n d i n g8 u b m a n i f o l d ：。_ ( m ，9 l = e 华9 ) i sm i n i m a l i nc h a p t e ri i ，w ei n t m d u c ec o n c e p t so f t h e 木一r i c c ic u r v a t u r e ，q i n v a r i a n ta n d ( 一q ) 一 。礼t i i n 、r a r i a n tc o n t a c tm e t r i cm a n i f o l d s f o rac o n f o r m a l l yn a tc o n t a c tm e t r i cm a n i f o l d ， w eg e tt h ef o l l o w i n gr e 8 u l t s ： t h e o r e mcl e t ( m 2 “+ 1 ，g ) e q u i p p e dw i t h ( ，叩) b eac o n f o r m a u yf l a tc o n t a c t m e t r i cm a n i f o l dw i t hp o i n t w i 8 ec o n s t a n t 争8 e c t i o n a lc u r v a t u r e ，t h e n r i c + ( x ，l ，) = ，g ( x ，y ) ， vx ，l ，r ( t m ) ，x 上，y 上， f o rs o m ef u n c t i o l l ，o nm 2 “ t h e o r e mdf 、o re v e r yc o n f o r m a l l yf l a t ( 一q ) 一n 扎t i i n v a r i a n tc o n t a c tm e t r i cm a n i f 0 1 d t h e 西一b j s e c t i o n a lc u r v a t u r ev a n i s h e s i i i f - u r t h e r m o r e ，w ec o n s i d e r 一k e n m o t 8 um a n i f o l d s ，a n dg e tal o c a lr e s u l ta st o l i o w s ： t h e o r e m el e t ub ea no p e ns e to f c m ra n d ( z 1 ，名2 ，- ，z m ，z ) b e t h e c a r t e s i a n c o ( ) r d i n a t e si i lu ，g o 。( u ) a n dd 札 d 茁= o c 0 9 s i d e r ( a ) av e c t o r i e l d = e “矗， ( b ) ar e a l - 、吼l u e df u n c t i o nk o nus u c ht h a t ( ) = o ， ( c ) a 1 一f o r m 叩= e 一“如， ( d ) ab i l i n e a r f o r m9 = 矿+ e 一2 “( ；墓蔫d 。历+ 争暑箸旨历。d ) ， ( e ) at e n s o rm d 垂= j 圣( 南 办) 一 二t 蚤( 玉。d ) 仇，、m i ft h ef u n ( ：t i o nkl sc h o s e ni ns u c haw a yt h a tt h eb i l i n e a rf o r m9i sp o s i t i v ed e f i n i t ee v e r y w h e r e ，a n dd 钍 叼= o ，t h e nue q u i p p e dw i t ht h es t r u c t u r e ( ， ，卵，g ) i sa 就一k e n m o t s u r r l a n i f 0 1 d m o r e o v e r ，e v e r y 钍一k e n m o t s ui i l a n i f b l dc a nb eg e n e r a t e dl o c a l l yb ys u c h k ，“) ， k e yw o r d sb i n i n i m a ls u b m a n i f o l d s ，w a r p e d p r o d u c tm a n i f o l d s ，a l m o s tc o i l t a c tm e t r i c m a n i f o l d s “k e n m o t s um a n i f o l d s ，c o n f o r m a l l yf l a tm 8 n i f o l d s ，g e n e r a l i z e dc o m p l e xs t r u c t u r e 第一章仳一k e n m o t s u 流形的子流形和b - 极小子流形 1 1引言 子流形的理论是微分几何的重要理论通过深入研究欧氏空间中的曲面的性态，f g a u s s 发现，曲面的g a u s s 曲率由它的第一基本形式完全确定从此，研究由曲面的第一基本形 式决定的几何学便成为一个中心议题对于黎曼几何学来说，子流形理论的研究是非常重 要的首先，许多重要的黎曼流形都是作为已经熟悉的空间( 如欧氏空间，球面等) 的子 流形出现的；其次，一个黎曼流形是否能够实现为某个高维欧氏空间的子流形始终是一个 重要的基本问题此外，在一个黎曼空间( 黎曼流形) 中，子流形的形态是千奇百怪的，其 中也有许多“好”的，具有某种特殊陛质的子流形，它们的存在性，唯一性和几何性质， 以及它们的构造方法和相互联系一直是几何学家所关注的研究课题可以说，在这方面的 研究工作与关于黎曼流形本身的研究相比较显得更加多姿多彩 众所周知，一个黎曼流形( m ，g ) 是共形平坦的当且仅当它的w e y l 曲率张量恒为零 ( 当d i m m = 3 时其c o t t o n 张量恒为零) 这就给我们提供了一个有力的工具来研究共形 平坦流形及其子流形另一方面，近年来对近复流形的研究比较活跃，而切触度量流形是 加了一个切触结构( 咖，q ) 的奇数维黎曼流形，它也有一些很好的性质，从而引发数学工 作者的研究兴趣由于b 一极小子流形和物理中的孤立子有密切的联系，也是数学工作者 的关注对象本章中，我们将着重研究“k e n m o t s u 流形的子流形和b 一极小子流形 1 2u k e n m o t s u 流形中的卷积子流形 1 2 1 研究背景 近年来，切触度量流形( 特别是余辛流形和s a s a k i 流形) 的研究十分活跃，得到的结 果也十分丰富比如j s k i m 和j c h o i 在【1 】中证明了余辛空间形式中予流形的两个 内部不变量( 即截面曲率和数量曲率) 与外部不变量( 即平均曲率的模长) 之间的基本不等 式 dc i o r o b o i u 在【2 1 中得到了s a s a k i a n 空间形式中子流形的类似结果我们所关注 和研究的是切触度量流形中的卷积子流形众所周知，卷积在数学和物理学的研究中起了 第一章“一k e l l m o t s u 流形的子流形和b 一极子小流形 2 重要的作用，对于更多的卷积流形知识，请参看文献3 1 b yc h e n 在【4 】中给出了实空间形式中的等距浸入卷积子流形的平均曲率模长f ：日| | 和卷积函数，的一个关系式： 定理1 2 1 设妒：尬，尬_ + m ( c ) 是具有常截面曲率c 的黎曼流形的卷积子流 形，则有 竽茎掣z 协。， ， 一 4 n 2 ” 1 其中= d i m 舰，i = 1 ，2 ，是晒的l a p l a c e 算子 b y c h e n 还在【5 和【6 中得到复双曲空间和复射影空间形式中的类似结论 k m a t s u m o t o 和i m i h a i 在【7 中考察了具有常加截面曲率的s a s a k i 空间形式中的相关结 论 d w 1 b o n 在【8 】中得到下面结论： 定理1 2 2 设( 灯( c ) ，9 ；，田) 是具有常争截面曲率c 的2 m + 1 维的余辛空间形 式，( 呐，m 2 ，9 l + ，2 现) 是m ( c ) 的等距浸入，而且结构向量场与m l 相切，则 竿轫驯2 + 缸+ 2 ) ， 其中= d i m 尬，i = 1 ，2 ，是( m ，仇) 的l a p l a c e 算子 受此启发，本文考虑具有常咖一截面曲率c 的2 m + 1 维乱一k e n m o t 8 u 空间形式，并 得到了如下结果： 定理a 设( m ( c ) ，9 ；咖，叩) 是具有常咖截面曲率c 的- k e n m o t s u 流形，( 尬，尬， m + ，2 驰) 是砑( c ) 中的礼维等距浸入子流形，结构向量场f 与舰相切，则 竽翱圳2 + ( 罕) 竿“+ 融叼曲) ) 其中讹= d i m 且磊，i = 1 ，2 ，是( 呐，9 1 ) 的l a p l a c e 算子，c o 。( m ( c ) ) 且如 ”= 0 ，= ( 札) 1 2 2 预备知识 设( 面，g ) 是( 2 n + 1 ) 维黎曼流形如果面上存在( 1 ，1 ) 型光滑张量场，光滑切向 量场和1 次外微分式”，使得 2 = 一i d + 町圆，卵( ) = 1 第一章一k e n m o t s u 流形的子流形和b 一极子小流形 g ( x ，= g ( x ，y ) 一q ( x ) q ( y ) ，口( x ) = f ( x ，) ，x ，y r ( t 矿) 则称m 为近切触度量流形， ( 妒，叶) 称为( m ，g ) 上的近切触度量结构 令西( x ，y ) = g ( 咖x ，y ) ，如果近切触度量流形面满足 d 中= 0 及d 卵= 0 ， 则称m 为近余辛流形 一个规范的近余辛流形称为余辛的，其中规范是指满足关系式 ( x ，y ) + 2 咖( x ，1 7 ) = o ，vx ， 7 f ( r m ) n i j e n h u i s 张量 厂为 v ( x ，y ) = ( 咖x ，庐明一咖眵x ，明一西【x ，明+ 咖2 ，y 1 局部共形余辛流形是指局郝上共形于余辛流形的近切触度量流形文献f 9 1 给出了局 部共形近余辛流形的一种刻划； 定理1 2 3 设m 是近切触度量流形，则m 是局部共形近余辛流形当且仅当存在 叫a 1 ( ) 使得砸= 圣，咖= “j q ，础= o 文献f 1 0 1 给出了一k e n m o t s u 流形的定义： 定义设m 是近切触度量流形如果存在m 上的光滑函数u 使得 d 圣= 2 如 西，却= 0 ，d “ 町= o 成立，则m 称为近* k e n m o t s u 流形，称规范的近“一k e n m o t s u 流形为伽k e n m o t s u 流 形 对任意的p m ，二维截面7 r r ( 易m ) 称为妒一截面，如果7 r 上，币( 7 r ) = 7 r ，如果截 面曲率k ( 7 r ) 的值不依赖于咖截面”r ( 弓m ) 和点p m 的选取，就称m 具有常咖 截面曲率在文献【1 0 中，作者给出了具有常咖一截面曲率c 的u k e n m o t g u 流形的曲率 3 第一章 u k e n m o t s u 流形的子流形和b 一极子小流形 4 张量五的表达式 五( x ，z ，) = 生芋兰三 口伍，w ) g ( kz ) 一目( x ，z ) g ( w ) ) + 半 舭棚) 北阍刊刖珈( 一2 9 ( x ，y ) 9 ( z ，妒w ) ) 一( 掣“) 川私m 孙舭，砌( 跏( w ) + 9 ( ez ) q 咩) 叩( ) 一9 ( ew ) 叩( x ) 叩) ) ( 1 2 1 ) 设( 炳，口1 ) ，( 尬，口2 ) 是维数分别为n ，n 2 的黎曼流形，是( 尬，9 1 ) 上的正值函数， 则称积流形( 尬，9 l + ，2 9 2 ) 为卷积( 尬，) 设妒：尬，a 如- m ( c ) 是一等距浸入予流形，记 为妒的第二基本形式，凰= 去t r a c e ，t r a c e 玩是t r a c e 在舰上的限制如果对任意与晒相切的x 和任意与尬 相切的z ，都有 僻，z ) = o 成立，则称妒为混合全测地的( m i z e d 耐冽f f9 e d d e s i c ) 设妒：m _ m ( c ) 是光滑浸入，则g a u s s 和w e i n g a r t e n 公式分别为： v x y = v x l ，+ 九( x ，y ) ；v x = 一a ? r + v 女， 对任意的x ，y f ( 丁吖) ，r ( t 上m ) ，其中v ，v ，v 上分别是m 的黎曼联络，m 和 法丛t 上m 的诱导联络第二基本形式 和形状算子a 之间的关系为 9 ( x ，y ) ，) = 9 ( a x ，y ) 对任意的x r ( t m ) ，记t j l x = p x + f x ，其中p x ，f x 分别为咖x 切分量和法分 量取单位正交的切标架场 e 1 ，e 2 ，e 。，e 叶l ，e 2 讯+ 1 ) 使得 e 0 = e 1 ，e 2 ， 为 m 的切标架场， e 。) = e 什，e 2 。+ 为丁上m 的标架场定义p 的模长为 | | p | | 2 = 9 2 ( 慨e j ) i ，= l 如果p 恒等于零，流形m 就称为全实子流形，即：对任意的x r ( 丁 ，) ，9 ( x ，西x ) = o 记平均曲率为日，第二基本形式，t 的模长为例1 2 = ? ，9 ( ( e i ，e ，) ， ( e i ，e ，) ) 如果 h = o ，则称m 是全测地的；如果日= 0 ，则称m 是极小的 第一章一k e n m o t s u 流形的子流形和b 一极子小流形5 对任意的p m ，定义其数量曲率r 如下 r ( p ) = k ( 龟( p ) e j ) ) t ( j 1 2 3 定理及其证明 f 1 22 1 5 i 埋1 2 4 议o l ，0 2 ，n n + 1 是n + 1 个买瓤，满足： ( 喜。t ) 2 = c 竹，( 喜。；+ n 。+ t ) ， c - 。s ， 则2 n l n 22 + 1 等号成立当且仅当o i + n 2 = 0 3 一= 定理a 设( 面( c ) 朋毋，叩) 是具有常咖截面曲率c 的u k e n m 。t s u 流形，( 尬，尬， 9 。+ ，z 虫) 是面( c ) 中的礼维等距浸入子流形，结构向量场与m l 相切，则 竽翱硎2 + ( 学) ”竿“+ 沁叼蛐豫) ，。匈 其中n = d i m ，i = 1 ，2 ，是( a 矗，9 1 ) 的l 印1 a c e 算子，钍g o 。( m ( c ) ) 且如 叩= 0 ，u 7 = ( ) 证明由于( 地，尬，仇+ ，2 跏) 是m ( c ) 中的等距浸入，由卷积流形的定义可以得 到 飞x z = 可z x = 之0 x n z ， 对任意与a 矗相切的x 和任意与a 如相切的z 如果x ，z 是单位切向量场，则由x ，z 张成的二维截面的截面曲率k ( x y ) 为 k ( x y ) = 9 ( v z v x x v x v z x ，z ) = ( v x x ) ，一x 2 ，) ( 1 2 5 ) 取定局部单位正交的标架场 e l ，e 。+ l ，e 2 。十- ) ，使得e ，e 。，= 和相 切，e 。扎，e 。和尬相切，e 。十l 和日平行，则对任意的r n 1 + 1 ，n ) 下式成 立： 竽：量酢r ) ( 1 2 6 ) f厶一、。j 、7 箜二童 坐鉴! 竺坐! ! ! ! ! 煎垄笪i 煎璺塑里：壑至! 煎丝 6 由g a u s s 方程 r ( x ，z ，) = 蠢( x ，y ，z ，1 ) + g ( 危( x ，) ， ( kz ) ) 一g ( ( x ，z ) ， ( w ) ) ， ( 1 2 7 ) 得到 z r = 竿巾 1 ) + 兰鱼半1 1 p 酽一掣( 2 礼一2 ) ) + n 2 i l 日旷一i i 1 p ( 1 2 8 ) 记 丁一 华山- 1 ) + 华| | p | | 2 坐# 胁_ 2 ) ) _ 扣一( 1 z 9 ) 把( 1 2 8 ) 代入( 1 2 9 ) ，得到 舻1 l 丑1 j 2 = 2 ( 6 + 恻j 2 ) 在上述所选定的标架场下，( 1 2 1 0 ) 式就是 ( 静1 ) 2 = z 卜黔甲+ 如果令n 1 ：埘1 ，n 2 = 邑 矿1 ，n 3 = 高，+ 1 寸1 ，则( 1 2 1 1 ) 式就变为 ( 1 2 1 0 ) f 壹。；12 ：。 a + 壹+ ( 矿1 ) 2 + 董妻( 。 ( 善吼) 划p 若n ，篆。矿) 2 + ，三。吾劲2仁ll 扛1 l ( 铷9 7 2 n + 2o ，j 。l 一，。铲1 ；声1 一 彗1 矿1 ( 1 2 1 2 ) 2 ，七“l “1 + l 茎s t 茎n j 由引理1 2 4 ，( 1 2 1 2 ) 式就是 铲1 危譬1 + 譬1 矿1 l s j s “1 ”1 + l s s t ” ；+ ( 嗡1 ) 2 + ；( 九， ( 1 2 1 3 ) 一 2 m + l “ 。 n 1 + l a 卢 n 。r = n 十2n ，芦= 1 等号成立当且仅当 ( 1 2 1 4 ) 扩 0 。唧 芝一 忙， 埘 叶能 。一 = 时 m 斟 第一章“一k e l l l o t s u 流形的子流形和b 一极子小流形 另一方面，由( 1 2 2 ) 式和( 1 2 6 ) 式可以得到 ( e j e 女) l 兰， 兰n 1 r 一嘤 n 1 ) k ( e 。) “i + 1 s s e s n 半3 9 z ( p e j ) l 茎 女s “1 掣”一瓢到 ! 二塑熊二型 8 c + u 4 3 9 2 ( e 。，p e c ) “1 + 1 s t “ 2 m + 1 ( 一( 蚝) 2 ) r + n 十1l 兰3 “ 由( 1 2 1 3 ) 式和( 1 2 1 5 ) 式可得 毗竽熊华型+ 学 c + u 2 + 4 “ 4 d n l 礼2 一互 半3 矿( e i j p e j ) 4 l 丢矗。，一”“ 掣，s 积凡) 由( 1 2 9 ) 式，( 1 2 1 6 ) 式就变为 ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) 竽s 扣旷+ ( 竿) ”( 掣“) + 等二蓑。s 卉， 翱圳。+ ( 竿) ”( 竿“) + 沁叼幽) 这就是所要的结论 由全实浸入的定义和定理a ，容易得到 推论l 设( 面( c ) ，g ；咖，口) 是具有常毋一截面曲率c 的u k e n m 。t s u 流形 9 。+ ，。9 。) 是面( c ) 中的全实等距浸入，而且结构向量场与尬相切，则 竽兰踟聃( 罕) ”竿“， 口 ( 尬，尬 7 ( 1 2 1 7 ) 第一章“一k e n m o t s u 流形的子流形和口一极子小流形 8 其中n = d i m 尬，i = 1 ，2 ，是( 尬，9 1 ) 的l a p l a c e 算子，“c o 。( m ( c ) ) 且毗 叩= o ，u = ( u ) 特别地，等号成立当且仅当m 是混合全测地的且n 1h 1 = n 2 h 2 证明由( 1 2 1 4 ) 和全实予流形的定义，容易得到( 1 2 1 7 ) 而且等号成立当且仅当 和 蟛= o ，1 j 曼他1 ，礼1 + 1 ts 礼，礼+ 1 r 2 r n + 1 由( 1 2 1 4 ) 和( 1 2 1 8 ) 可以得到 ( 1 2 1 8 ) 口 推论2 设( 面( c ) 删咖，q ) 是具有常咖一截面瞌率c 的乱一k e n m 。t s u 流形，( 尬，尬 9 1 + ，。虫) 是面( c ) 中的等距浸入，而且结构向量场与m 2 相切，则有 竽s 翱聃( 竿) ”唑竽+ 警+ 沁幽) 1 其中m = d i m _ l 五，i = 1 ，2 ，是( 尬，9 ) 的l a p l a c e 算子，珏g 。( m ( c ) ) 且d “ 町= o ，= ( t 1 ) 推论2 的证明和定理a 的证明类似 1 3b - 极小子流形 1 3 1 研究背景 平均曲率流和r i c c i 流与物理学有密切的关系，因而关于它们的研究也就非常有意 义 设m 是光滑流形，( ，9 ) 是一个黎曼流形，t 【o ，t ) ，r ：m _ + 是( ，g ) 的一簇光滑浸入如果r 满足盖r = 凰，其中凰表示r ( m ) 的平均曲率向量 场，则称r ( m ) 是具有初始值f 0 ( m ) 的平均嗌率流的解如果这些解沿着一个共形向 +m 一 3 时，( m “，g ) 为局部共形平坦的充分必要条件为它的w e y l 曲率张量c 三o 如果w e y l 曲率张量c 三o ，则称( m “，g ) ( m 4 ) 是共形平坦流形 设( m 2 “，g ) 是具有切触结构( 妒，叩) 的切触度量流形，v ，咒，崩c ，q ，r 分别表示 ( m 2 ”“，9 ) 上的黎曼联络，曲率张量( r ( x ，y ) = 【v x ，v y 】一v 陋，川) ，r i c c i 张量， r i c c i 算子( 兄i c 畔，y ) = g ( q ) ，y ) ) 和数量曲率定义+ 一r i c c i 张量r i c 为 兄i c 4 ( x ，y ) = 妄t r a c e ( z r ( x ，y ) 咖z ) ，x ，z r ( t n f ) 用r i c + ，9 ，r 表示 一r i c c i 张量， r i c c i 算子( 兄i c 啤，y ) = 9 ( q + ) ，l 厂) ) ，t 一数量衄 率称切触度量流形( 盯州，g ；咖，已q ) 是固) 一不变的，如果g ( q ( 咖x ) ，y ) = 尼c ( 戈，l ，) 一 即( y ) r i c ( x ，) ；称切触度量流形( m 2 ”“，9 ；西，卵) 是( 一q ) 一不变的，如果9 ( q ( 庐x ) ，币y ) = 一r i c ( x ，y ) + 口( y ) r i c ( x ，) 定义切触度量流形( m 2 1 ，9 ；曲，q ) 的双截面曲率为 懈朋= 而丽葡黔崭蔫丽， 第二章共形平坦的切触度量流形和“一k e n m o t s u 流形1 9 其中x ，z ，w 是m 的任意光滑切向量场则m 2 扎的截面曲率k ( x ，y ) = 女伍，ky ，x ) v x ，y r ( t m ) ；m 2 ”+ 1 的咖一截面曲率h ( x ) = ( x ，x ，x ，x ) ，其中x r ( t m ) ，x j _ m “的争双截面曲率日( x ，y ) = 七降，x ，y ) ，其中x ，y r ( t m ) ，x j _ f ，y 上 如果对于任意的x r ( t m 2 叶1 ) ，x 上f ，日( x ) 都是只依赖于点p m 2 ”+ 1 的值 ，( p ) ，则称m 2 n 十1 逐点具有常咖截面曲率特别地，如果日( x ) 的取值即不依赖于x r ( ，m 2 “+ 1 ) ，x 上的选取，也不依赖于点p m 2 扎+ 1 的选取，则称m “+ 1 具有常毋- 截面 衄率同样的，如果对于任意的x ，y r ( t m “+ 1 ) ，x 上，y _ l ，打( x ，l ，) 都是只依赖于 点p m “的值，( p ) ，则称m 2 n + 1 逐点具有常咖双截面曲率特别地，如果日僻，y ) 的取值即不依赖于x ，y r ( t m ) ，x h ，y h 的选取，也不依赖于点p m 孙+ 1 的选取， 则称m 2 “+ 1 具有常咖双截面曲率 命题2 1 9 设( m 2 1 ，g ；咖，卵) 是共形平坦的切触度量流形，则有 冗i c 4 ( x ，y ) = 互i 【r t c ( x ，y ) + r i c ( 咖x ，】，) 一卵( y ) r i c ( x ，f ) 】 一高郴，y ) 一卵( x ) 目( y ) 】，v x ，y r ( t m ) ( 2 1 2 ) 证明由于( m “，g ) 是共形平坦的，由( 2 1 1 ) 式呵得 r ( x ，y ，z ，w ) = 志 r i c ( k z ) 9 ( x ，) 一崩c ( x ，z ) f ( ew ) + 9 ( z ) 尉c ( x ，w ) 一9 ( x ，z ) 冗i c ( w ) ) 一甄西 习 g ( y ，z ) 9 伍，) 一目( x ，z ) 夕( kw ) ) ( 2 1 3 ) 设 e 1 ，e 。，。+ 1 = 如一，e 2 。= 加。，e 2 。+ 1 = ) 是( 吖2 计1 ，g ；咖，f ，q ) 的一个局部单位 正交标架场，则 r 记y + ( x ，y ) = ；兄( x ，咖y ) 曲e a ，e a ) 2 r = ；r ( x ，r 咖e 。，) + r ( x ，y ) 循，) ：；量f 杀中c ( 删瞄私，叫坷c ( 刖舶) 第二章共形平坦的切触度量流形和h k e n m o t s u 流形 2 0 其中 + g 【驴r ，妒e n ) “z c 【a ，j g 【a ，妒e n j “o c ( 咖，j j 一孬i j 嘉二巧【9 ( 咖e 。) 9 ( x ，e n ) 一g ( x ，咖e n ) 9 ( e n ) 1 j = ； 爵三j 2 月i c ( x ，y ) + 2 尉c ( 咖x ，咖y ) 一2 q ( y ) 冗i c ( x ，) 一南m x ，y ) 一2 q ( x ) q ( y 】j = 互i 1 _ 【r i c ( x ，y ) + 兄i c ( 西x ，曲y ) 一目( y ) r i c ( x ，) 】 一西南囟( x ，y ) 一q ( x ) 叩( y ) 】j 觑c ( 咖加。) 9 ( x ，) = r c ( 曲x ) ， q = l 2 r i c ( x ，庐e 。) 9 ( ke 。) = 一r t c ( x ，y ) + 叩( y ) r c ( x ，e ) n = 1 2 n 9 ( r ) r i c ( x ，e 。) = 兄i c ( x ，l ，) 一q ( y ) r i c ( x ，f ) ， n = 1 2 n g ( x ，e 。) r i c ( e 。) = 一刷c ( 咖k 曲x ) ， a = 1 2 n 9 ( 西y ，e 。) 9 ( x ，) = g ( x ，y ) 一叩( x ) 卵( y ) ， n = t 2 n 9 ( x ，曲e 。) 9 ( y ，e 。) = 一g ( x ，y ) + 叶( x ) 叩( y ) 推论2 1 1 0 设( m 2 叶1 朋，q ) 是共形平坦的切触度量流形，则 r = 击( r 一2 耽( 钺) ) 由命题( 2 1 9 ) 可以直接得到推论( 2 1 1 0 ) 2 1 3 定理及证明 口 定理c 设( m 2 n “删屯f ，叩) 是共形平坦的切触度量流形，若其逐点具有常曲一截面 第二章共形平坦的切触度量流形和伽k e n m o t s u 流形 曲率，则 r i c 4 ( x ，】，) = ，9 ( x ，y ) ， vx ，y r ( t f ) ，x j _ ，y j _ 其中，是( m 2 时1 ，9 ) 上的函数 证明由于( m 2 n + l ，9 ；妒，f ，叩) 逐点具有常一截面曲率，所以存在( m 2 ”l ，9 ) 上的函 数，使得 日( x ) ( p ) = ，( p ) ，v x r ( t m ) 由咖截面曲率的定义可以得到 ，胡= 而丽福篙器勰衙葡丽 又由( 2 1 3 ) 式可得 ，9 ( x ，x ) = 互i l _ 僻i c ( x ，x ) + 冗i c ( 咖x ，庐x ) 2 n ( 2 n 一1 ) g ( x ，x ) ， vx r ( r f ) ，x j _ f ( 2 1 4 ) 用x + y ( y r ( t m ) ，y 上f ) 替代( 2 1 4 ) 式中的x 可得 尉c ( x ，y ) + 尉c ( 咖x ，y ) = ( 2 住一1 ) ，+ 云】9 ( x ，l ，) vx ，l ，r ( 丁m ) ，x 上f ，y j _ f f 2 1 ，5 1 把( 2 1 5 ) 式代入( 2 1 4 ) 式可得 只i c + ( x ，y ) = 互i b f ( 2 礼一1 ) ，一卵( y ) 冗i c ( x ， ) + 又因x ，y r ( t f ) ，x 上，y 上，所以 崩c + ( x ，y ) = ，9 ( x ，l ) 2 n ( 2 n 一1 ) q ( x ) q ( y ) 定理d 每一个共形平坦( 一q ) 一不变切触度量流形的咖一双截面盐率为零 证明设( m 2 叶1 ，9 ；屯f ，q ) 是共形平坦( 一q ) 一不变切触度量流形设 8 一，e n + 1 西e 。，e 2 。= 西e 。，e 2 。+ 1 = 是它的一个局部单位正交标架场 口 2 1 第二章共形平坦的切触度量流形和h k e n m o t s u 流形 2 2 由( 2 1 2 ) 式 r ( x ，咖x ，k 咖y ) 2 互；三1 b ( 咖x ) 崩c ( y ) 咖x ) 一9 ( 西x ，咖y ) r 钯( x ，y ) + 9 ( 咖x ，y ) r i c ( x ，y ) 一目( x ，y ) r i c ( 西x ，西l ，) 一面孑j 嘉二可b ( 咖x ，y ) g ( x ，妒y ) 一9 ( x ，l ，) 9 ( 西x ，y ) ( 2 1 6 ) 由于( m 2 n + 1 ，9 ：曲， ，q ) 是( 一q ) 一不变切触度量流形和x ，y r ( t m ) ，x k ，y 联，故 月钯( x ，) = r i c ( 庐y ，x ) ，r i c ( x ，y ) = 一兄i c ( 垂x ，y ) ( 2 1 7 ) 把( 2 17 ) 式代入( 2 1 6 ) 式可得 兄( x ，x ，k 咖y ) = 南k ( 咖x ，y ) 2 + 9 ( x ，y ) 2 ( 2 - 1 8 ) 令x = y ，则 日( x ) 。丽赤习， 也即( 吖如+ 1 ，9 ，叩) 逐点具有常一截面曲率 由定理c 的证明过程可以得到 兄i c ( x ，y ) + 兄i c ( 咖x ，砂y ) = 【( 2 n 一1 ) ，+ 轰k ( x ，y ) ，vx ，y r ( ，凹) ，x 上 ，y - l 叉因 兄i c ( x ，l ，) = 一r i c ( x ，咖y ) 这就意味着丁= o 从而( 2 1 8 ) 式为 r ( x ，庐x ，f y ) = o 由西一双截面曲率的定义可知，结论成立 2 一 札一k e n m o t s u 流形的局部结构 2 2 1 研究背景 口 众所周知，k 弛l e r 流形是具有可积近复结构并且该复结构与其黎曼度量和黎曼联络 相容的黎曼流形，因而有很多好的性质比如：复结构是可积的，k a l l l e r 形式和r i c c i 形 第二章 共形平坦的切触度量流形和“一k e n m o t s u 流形 2 3 式是闭的等等由于切触度量流形的切触结构是在奇数维流形上类似复流形的复结构的一 种结构，因而研究切触结构是十分自然的和有意义的在文献【2 9 中，作者利用d i r a c 结 构，给出了复流形和切触度量流形的广义复结构，并指出了奇数维流形m 的广义复结构 和向量丛1 ( m ) 的自同态j ( = 一i d ，j 关于( ，) 是正交的) 是一一对应的关于d i r a c 结构和广义复结构的更多相关知识，请参阅 3 0 ，3 1 】 在文献 3 2 】中，作者指出：对于实值光滑函数f g ”( m ) ，只要由 一。淼 构成的矩阵是处处正定的，则 = 凡f d od 与局部复坐标系( u ；一) 的选取无关，因 而给出了m 上的一个h e r m i t e 结构，而且相应的流形是k 融l e r 流形这个事实在构造 k 孔l e r 流形的例子时很有用处 受此启发，在文献【3 3 】中，作者给出了s a s a k i a n 流形的类似结果： 定理2 2 1 设u 是c “r 的一个开集，( z 1 ，z 2 ，z “，z ) 是u 的笛卡儿坐标系， 考虑 ( a ) 一个向景场= 鑫， ( b ) u 上的一个实值函数k ，使得( k ) = o ， ( c ) 一个l 一形式场”= 出+ 二t 墨l ( k ，t d ) 一j 墨l ( k i d 矛) ， ( d ) 双线性形式g = 叩2 + 2 k i d d 驴， ( e ) 一个张量场妒= 玎蓥( 暑十了k ，i 差) 办一二t 薹( 寺一丁k ，j 岳) 。 d 如果我们取k 使得口处处正定，则具有结构( 咖，目，口) 的u 是一个s a 8 a k i a n 流形，而且 每一个s a s a k i a n 流形在局部上都可以由满足上述条件的k 生成 很自然的，考虑共形余辛流形是否会存在类似的结果就很有意义了，我们得到了； 定理e 设u 是c m r 的一个开集，( z 1 ，z 2 ，2 ，。) 是u 的笛卡儿坐标系， a 。( u ) ，考虑 ( a ) 一个向量场= e “盎， ( b ) u 上的一个实值函数k ，使得( k ) = o ， ( c ) 一个1 一形式场q = e “如， ( d ) 双线性形式g = 叩2 + e 一2 “( 毛焉d 历+ b 黯历。d ) ， 第二章共形平坦的切触度量流形和一k e n m o t s u 流形 2 4 ( e ) 一个张量场= v c 了圣