（固体力学专业论文）无网格方法在断裂分析中的应用.pdf

摘要 随着计算科学及软件技术的发展， 有限元法从理论基础到误差估计都己 十分 成熟， 但其内在固有的局限使它在许多领域失效而难以应用， 例如在高度大变形 问题、 动态裂纹扩展问题、高速撞击引起的几何畸变等问题中， 有限元法存在困 难或者不能解决。 无网格方法以其新颖的数值思想、 先进的数值技术， 得到了学 术界的初步认可和广泛关注。 本文首先分析研究了无网格方法在国内外的发展历史及现状， 并对现行的一 些重要无网格方法作了概括性评述;归纳总结了目前比较流行的无网格近似方 法、不连续性的处理、离散化方法及基木边界条件的实现等。其次， 对目前应用 最为广泛的无网 格方法 一无网 格伽辽金法( e f g m ) 中基函数的选取、 权函数及其 参数的 选择、 影响域半径的求解方法等作了详细的研究， 并得出其取值或选择的 基本规律。 针对目前流行的求解影响域半径方法的局限性， 本文提出了一种新方 法即求解影响域半径的“ 即时” 法; 最后， 详细推导了无网格伽辽金方法的 刚度方程及其位移边界积分形式和应力边界积分形式， 得出了详细的数值求解计 算公式，用c语n 一 编制了无网格方法计算通用程序。 本文采用无网格一伽辽金方法， 选取带有扩展基的奇异基函数以精确计算裂 纹尖端位移场， 并借鉴有限元法中计算应力强度因子的直接位移法， 提出了一种 计算含裂结构裂纹尖端应力强度因子的新方法， 即 无网格一直接位移法。 算例论 证了 该方法具有简捷、 高效的 特点， 可以 准确计算裂纹尖端应力强度因子， 从而 为结构断裂分析提供了一条有效的途径。 关键词:无网格方法， 移动最小二乘法， 无网 格一直接位移法， 应力强度因子， 奇异基 ab s t r a c t a s t h e d e v e l o p m e n t o f c o m p u t a t i o n a l s c i e n c e a n d s o ft w a r e t e c h n i q u e , th e f i n i te e l e m e n t m e t h o d ( f e m ) h a s b e c o m e m u c h p o w e r f u l b o t h i n t h e e s t i m a t i o n o f e r r o r a n d f o u n d a t i o n o f t h e o r y . h o w e v e r , b e c a u s e o f t h e f e m s i n h e r e n t d e f e c t , i t c a n n o t b e u s e d i n m a n y fi e l d s . f o r e x a m p l e , t h e f e m b e c o m e p o w e r l e s s o r c a n n o t s o lv e t h e p r o b l e m s s u c h a s t r e m e n d o u s d i s t o rt i o n , d y n a m i c c r a c k p r o p a g a t i o n , g e o m e t r y a b e r r a t i o n b y h i g h - s p e e d b u m p , a n d s o o n . u n d e r s u c h a c o n d i t i o n s , t h e e le m e n t f r e e m e t h o d b e c o m e b e e n r e c o g n i z e d a n d g a in m o r e a n d m o r e a t t e n t io n b e c a u s e o f i t s o r i g i n a l i d e a a n d a d v a n c e d t e c h n o l o g y i n t h e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n . f i r s t l y , t h i s p a p e r i n v e s t i g a t e t h e h i s t o r y a n d a c t u a l i t y t h a t e l e m e n t f r e e m e t h o d d e v e l o p e d i n t h e w o r l d , a n d a n a l y z e s t h e a d v a n t a g e a n d d i s a d v a n t a g e o f t h e e l e m e n t f r e e m e t h o d , a n d t h e n o u t l i n e s s o m e p o p u l a r m e t h o d s i n e l e m e n t f r e e m e t h o d s u c h a s t h e a p p r o x i m a t io n m e t h o d , d i s c o n t i n u i t y d i s p o s a l m e t h o d a n d e s s e n t i a l b o u n d a r y c o n d i t i o n s d i s p o s a l m e t h o d . s e c o n d l y , a i m e d a t t h e b a s i s f u n c t i o n c h o i c e , w e i g h t f u n c t i o n a n d i t s p a r a me t e r c h o i c e a n d o b t a in o f t h e d o m a i n o f i n fl u e n c e i n t h e m o s t p o p u l a r m e t h o d - - e l e m e n t f r e e g a l e r k i n m e t h o d ( e f g m ) , t h i s p a p e r s t u d y s p a rt i c u l a r l y a n d g i v e s o u t t h e b a s i c r u l e s . n e v e r th e l e s s , a n e w m e t h o d , w h i c h i s n a m e d i n s t a n t m e t h o d t o s o l v e t h e r a d i u s o f i n fl u e n c e d o m a i n , i s o f f e r e d t o c o n q u e r t h e l i m i t a t i o n o f e x i s t i n g m e t h o d . l a s t ly , s t iff n e s s e q u a t i o n o f e f g m a n d i t s i n t e g r a l f o r m a t in e s s e n t i a l b o u n d a r y a n d f o r c e b o u n d a r y a r e d e r i v e d . g e n e r a l p r o g r a m o f t h e e f g m i s p r o g r a m m e d b y c l a n g u a g e . a n e w m e t h o d n a m e d e l e m e n t f r e e - d i r e c t d i s p l a c e m e n t m e t h o d ( e f d d m ) i s p r o p o s e d t o c a l c u l a t e t h e s t r e s s i n t e n s i t y f a c t o r s ( s i f s ) o f c r a c k t i p s . t h e e f d d m r e f e r t o t h e d i r e c t d i s p l a c e m e n t m e t h o d w h i c h i s u s e d t o c a l c u l a t e t h e s i f s i n t h e f e m, a n d t a k e t h e e n r i c h e d b a s i s t o e x a c t l y c o m p u t e d i s p l a c e m e n t f i e l d s a r o u n d c r a c k t i p s n u m e r i c a l e x a m p l e s s h o w t h a t t h i s m e t h o d c a n c a l c u l a t e t h e s i f s c o n v e n i e n t l y , e ff e c t i v e l y a n d e x a c t ly . s o t h e e f d d m p r o v i d e a p o w e r f u l a p p r o a c h f o r t h e f r a c t u r e c h a r a c t e r i s t i c a n a l y s i s o f s t r u c t u r e s . k e y w o r d s e l e m e n t - f r e e g a l e r k i n m e t h o d ; mo v i n g l e a s t s q u a r e m e t h o d ; e l e m e n t f r e e - d i r e c t d i s p l a c e m e n t m e t h o d ; s t r e s s i n t e n s i t y f a c to r s ; s i n g u l a r b a s i s 西j 匕 1 _ 业大学硕十学位论文 第 1 章 绪论 第一章绪论 夸 1 . 1选题意义 随着时代的发展， 有限元方法遇到了越来越大的挑战。目前， 有限元等常用 方 法在处 理以 下问 题时 存在困 难或因不能 解决而失 效【 : ( u动态 裂纹扩展问 题， 因网格的限制而失效;( 2 ) 高度大变形问题; ( 3 )内外边界奇异问题;( 4 ) 高速 撞击引起的几何畸变问题; ( 5 ) 工业材料成型问题， 采用网格模拟材料流动变形 带来的不便;( 6 ) 高振荡，陡梯度问 题; ( 7 )自 适应计算问 题: ( s ) 相变问题的 分析:( 9 ) 爆炸问题等。在这些问题的计算过程中，需要不断地重新划分网格， 使计算量加大，精确度降低。 在航空结 构中 2 1 ， 疲劳断 裂是一 种很重要的失效形式。 应用断 裂力学理论时， 由于裂纹尖端存在应力集中， 精确计算裂纹尖端的应力强度因子， 能量释放率或 者j 积分成为结构断裂分析的关键。传统的有限元方法为了得到裂尖精确的解， 在裂纹尖端区域需要十分精细的网格， 并且随着裂纹发生扩展， 相应的网格就需 要重新划分，这样使得计算精度和求解效率大大降低。尽管后来推出了叠加法， 奇异元法和刚度导数等方法， 但这些方法只适用于分析驻立裂纹， 还没有设计出 分析裂纹扩展的有效方法。 近年来， 人们提出了无网格计算方法。 该 方法将整个求解域离散为独立的节 点， 而无须将节点连成单元， 这样可以 完全抛开网格生成和重划。 位移场的近似 采用了基于节点的函数拟合 ( 常规有限元方法采用单元内节点插值) ，可以保证 基本场变量在整个求解域内 连续。 因为无网格方法脱离了单元约束， 无需进行网 格重划， 所以在处理裂纹扩展这类具有动态不连续边界的问题时具有很高的精度 和效率。 因此， 采用无网格方法模拟裂纹扩展或计算裂纹尖端应力强度因子具有 广阔的应用前景。 总结以上论述可以看出， 由于无网格方法在解决不连续问题时所具有的独特 的优势， 使之在疲劳断裂问题的分析研究方面前景远大， 这也是本选题的意义所 在。 西北 1 业人学硕十学位论文第 1 章 绪论 ; 1 . 2文献综述 1 . 2 . 1目前流行的无网格方法 无网格方法 ( m e s h l e s s m e t h o d ) 产生于2 0 世纪8 0 年代。在这2 0多年中， 各种形式的无网格方法如雨后春笋般涌现出来，至今己出现 1 0多种形式，它们 是: ( i ) 光 滑 质点 流体 动力 学 法 -s 1 ( s m o o t h p a r ti c le h y d r o d y n a m i c s , s p h ) ; ( 2 ) 无网格伽辽金法16 - 8 1 ( t h e e l e m e n t - f r e e g a l e r k i n m e t h o d， e f g m) ; ( 3 )局部 p e t r o v - g a le r k in 方 法 19 1 ( m e s h le s s lo c a l p e t r o v - g a le r k in m e th o d ， m l p g m ) ; ( 4 ) 局 部 边 界 积 分 方 程无 网 格 法 1 10 1 ( m e s h le s s lo c a l b o u n d a r y in t e g r a l e q u a t io n m e t h o d ， m l b i e m) ; ( 5 ) 小波伽辽金法1 1 1 1 ( w a v e l e t - g a l e r k i n m e t h o d ， wg m) ; ( 6 ) 小波 质 点 法 d - 1 ( w a v e le t p a r tic le m e t h o d ， w p m ) ; ( 7 ) 再 生 核 质点 法 1 1 3 1 ( r e p r o d u c in g k e rn e l p a t i c le m e t h o d， r k p m ) ; ( 8 ) 多尺 度再生核质点 法 ( m u l t i s c a le r e p r o d u c in g k e r n e l p a rt ic l e m e t h o d ， m s r k p m ) ; ( 9 ) h p 云 团 法 1; 1 ( h p - c lo u d s m e t h o d ， h p c m) ; ( 1 0 ) h p无网 格 云团 法 1 1 ( h p - m e s h le s s c lo u d s m e t h o d， h p m c m ) ; ( 1 1 ) 单 位 分 解 法 1 16 1 ( p a r tit io n o f u n i ty m e t h o d , p u m ) ; ( 1 2 ) 有 限 点 法 1 17 1 ( f in it e p o i n t m e th o d , f p m ) ; ( 1 3 )自 然单 元 法 13 1 ( n a tu r a l e l e m e n t m e t h o d , n e m ) ; ( 1 4 ) 有限 覆 盖无 单 元法 1 19 1 ( f i n it e - c o v e r e le m e n t - fr e e m e th o d , f c e f m) a 无网格方法之所以自 产生以来会出现各种各样的不同方法， 与其本质思想是 密切相关的。 所有这些方法的共同点是: 摆脱了 单元的束缚， 采用节点信息及其 局部影响域上的权函数实行局部精确逼近， 然后通过配点法或伽辽金法对偏微分 方程进行求解。 然而， 局部逼近方式和偏微分方程求解途径都存在多种实现方式， 两者之间的交叉组合便会产生不同形式的无网格方法。 按无网格方法积分求解方 式的不同， 可将无网格方法分为两大类。 一 类是目 前比 较流行的无网 格伽辽金法 类 ( 如d e m, e f g m, m l p g m, r k p m, ml s r k m, p u m等) ， 它从微分方程 的弱变分原理出发以导出求解问题的代数方程。这类方法的特点是求解精度较 高， 但计算量大， 需要“ 背景网 格” ( b a c k g r o u n d c e ll ) 作为数值积分的 积分 域。 另一 类 如s p h , h p c m, f p m) 是基于配点型的无网 格方法， 该类方法直接在 离散点上满足微分方程或边界条件以建立求解问 题的代数方程。 无网格方法主要依靠形函数逼近来实现，形函数揭示了各种方法的逼近本 西北 1 业人学硕十学位论文第 1 章 绪论 ; 1 . 2文献综述 1 . 2 . 1目前流行的无网格方法 无网格方法 ( m e s h l e s s m e t h o d ) 产生于2 0 世纪8 0 年代。在这2 0多年中， 各种形式的无网格方法如雨后春笋般涌现出来，至今己出现 1 0多种形式，它们 是: ( i ) 光 滑 质点 流体 动力 学 法 -s 1 ( s m o o t h p a r ti c le h y d r o d y n a m i c s , s p h ) ; ( 2 ) 无网格伽辽金法16 - 8 1 ( t h e e l e m e n t - f r e e g a l e r k i n m e t h o d， e f g m) ; ( 3 )局部 p e t r o v - g a le r k in 方 法 19 1 ( m e s h le s s lo c a l p e t r o v - g a le r k in m e th o d ， m l p g m ) ; ( 4 ) 局 部 边 界 积 分 方 程无 网 格 法 1 10 1 ( m e s h le s s lo c a l b o u n d a r y in t e g r a l e q u a t io n m e t h o d ， m l b i e m) ; ( 5 ) 小波伽辽金法1 1 1 1 ( w a v e l e t - g a l e r k i n m e t h o d ， wg m) ; ( 6 ) 小波 质 点 法 d - 1 ( w a v e le t p a r tic le m e t h o d ， w p m ) ; ( 7 ) 再 生 核 质点 法 1 1 3 1 ( r e p r o d u c in g k e rn e l p a t i c le m e t h o d， r k p m ) ; ( 8 ) 多尺 度再生核质点 法 ( m u l t i s c a le r e p r o d u c in g k e r n e l p a rt ic l e m e t h o d ， m s r k p m ) ; ( 9 ) h p 云 团 法 1; 1 ( h p - c lo u d s m e t h o d ， h p c m) ; ( 1 0 ) h p无网 格 云团 法 1 1 ( h p - m e s h le s s c lo u d s m e t h o d， h p m c m ) ; ( 1 1 ) 单 位 分 解 法 1 16 1 ( p a r tit io n o f u n i ty m e t h o d , p u m ) ; ( 1 2 ) 有 限 点 法 1 17 1 ( f in it e p o i n t m e th o d , f p m ) ; ( 1 3 )自 然单 元 法 13 1 ( n a tu r a l e l e m e n t m e t h o d , n e m ) ; ( 1 4 ) 有限 覆 盖无 单 元法 1 19 1 ( f i n it e - c o v e r e le m e n t - fr e e m e th o d , f c e f m) a 无网格方法之所以自 产生以来会出现各种各样的不同方法， 与其本质思想是 密切相关的。 所有这些方法的共同点是: 摆脱了 单元的束缚， 采用节点信息及其 局部影响域上的权函数实行局部精确逼近， 然后通过配点法或伽辽金法对偏微分 方程进行求解。 然而， 局部逼近方式和偏微分方程求解途径都存在多种实现方式， 两者之间的交叉组合便会产生不同形式的无网格方法。 按无网格方法积分求解方 式的不同， 可将无网格方法分为两大类。 一 类是目 前比 较流行的无网 格伽辽金法 类 ( 如d e m, e f g m, m l p g m, r k p m, ml s r k m, p u m等) ， 它从微分方程 的弱变分原理出发以导出求解问题的代数方程。这类方法的特点是求解精度较 高， 但计算量大， 需要“ 背景网 格” ( b a c k g r o u n d c e ll ) 作为数值积分的 积分 域。 另一 类 如s p h , h p c m, f p m) 是基于配点型的无网 格方法， 该类方法直接在 离散点上满足微分方程或边界条件以建立求解问 题的代数方程。 无网格方法主要依靠形函数逼近来实现，形函数揭示了各种方法的逼近本 西北 仁 业大学硕士学位论文第 1 章 绪论 质。 按形函数逼近方式不同可将无网格方法分为三类: 积分核近似估计类， 这类 有 s p h , r k p m, ml s r k m等;移动最小二乘逼近类，这类有 d e m, e f g m, r k p m, m q m, f p m, h p c m, h p m c m, p u m等; 单 位分解类， 这 类有h p c m , p u m 等。这种分类方法不仅清楚地区分了上述方法的逼近属性，而且找到了它 们之间的内在的联系，如最小二乘逼近 ( ml s )可以组成单位分解函数，ml s 的权函数与积分核函数可以一致起来，这样的内在联系将会使各种方法相互结 合， 形成广阔的发展空间 2 o 1 . 2 . 2国外无网格方法研究历史及现状 在国 外， 1 9 7 5 年p e r r o n e , k a o 2 1 等 人 最早 采 用 任 意网 格( a r b it r a r y m e s h e s ) 技术将传统有限差分法进行扩展， 并提出了广义有限差分法， 这可以看作是无网 格 技术的 最初萌芽。 l a n c a s t e r , s a l k a u s k a s 2 2 等人在研究曲 面插值时， 通过引 入 移动最小二乘插值 ( m o v i n g l e a s t s q u a r e a p p r o x i m a t i o n s ) 思想将标准最小二 乘插 值 进 行 推 广， 提出了 移 动 最小 二乘 方 法 ( m o v in g le a s t s q u a r e m e t h o d , m l s m ) a n a y r o le s z 3 等将移动最小二 乘方 法运用于 边值问 题的 求解， 提出了 散 射单 元 法 ( d i ff u s e e l e m e n t m e t h o d , d e m ) 。 在该方法中， 节点虽p 以像有限元法一样进行 布置， 但其采用了最小二乘法来局部拟合试函数而不是基于单元的形函数插值获 得。 d e m方法由于忽略掉了插值函数 ( 在无网 格方法中，经常将形状函数或者 拟合函数称为插值函数， 但由于形状函数并不通过数值点， 所以形状函数并不是 真正的插值函数)导数表达式中的一些项，其计算精度大受影响。1 9 9 4年 b e l y t s c h k o l(l 在l a n c a s t e r 和s a lk a u s h a s 等 人的 基 础 上 导出 了 被d e m方 法 忽 略 掉 的 插值函数导数表达式中的这些项，提出了无网 格伽辽金方法 ( e f g m ) 。 这种 方法采用基于m l s 方法的伽辽金方程进行求解， 取得了 很好的效果。 b e l y t s c h k o 和 其 合 作 者 对 此作了 许多 研 究并 解决了 一系 列问 题t 8 美 国 学者l iu 等 i3 基于 再生 核( r e p r o d u c i n g k e rn e l ) 思 想 提出了 再 生 核 质点 法 ( r k p m) 。该方法采用窗口函数和傅立叶变换建立了新的插值函数，由于窗 口 函数可以平移、 缩放， 从而以另一种形式达到了 无需单元以及网格细化的目 的。 接着他利用小波分析的伸缩尺度平移、 多分辨率等特点， 提出了多尺度再生核质 点法 ( ms r k p m)和小波质点法 wp m) ，并实现了该方法的自适应分析。这 西北 仁 业大学硕士学位论文第 1 章 绪论 质。 按形函数逼近方式不同可将无网格方法分为三类: 积分核近似估计类， 这类 有 s p h , r k p m, ml s r k m等;移动最小二乘逼近类，这类有 d e m, e f g m, r k p m, m q m, f p m, h p c m, h p m c m, p u m等; 单 位分解类， 这 类有h p c m , p u m 等。这种分类方法不仅清楚地区分了上述方法的逼近属性，而且找到了它 们之间的内在的联系，如最小二乘逼近 ( ml s )可以组成单位分解函数，ml s 的权函数与积分核函数可以一致起来，这样的内在联系将会使各种方法相互结 合， 形成广阔的发展空间 2 o 1 . 2 . 2国外无网格方法研究历史及现状 在国 外， 1 9 7 5 年p e r r o n e , k a o 2 1 等 人 最早 采 用 任 意网 格( a r b it r a r y m e s h e s ) 技术将传统有限差分法进行扩展， 并提出了广义有限差分法， 这可以看作是无网 格 技术的 最初萌芽。 l a n c a s t e r , s a l k a u s k a s 2 2 等人在研究曲 面插值时， 通过引 入 移动最小二乘插值 ( m o v i n g l e a s t s q u a r e a p p r o x i m a t i o n s ) 思想将标准最小二 乘插 值 进 行 推 广， 提出了 移 动 最小 二乘 方 法 ( m o v in g le a s t s q u a r e m e t h o d , m l s m ) a n a y r o le s z 3 等将移动最小二 乘方 法运用于 边值问 题的 求解， 提出了 散 射单 元 法 ( d i ff u s e e l e m e n t m e t h o d , d e m ) 。 在该方法中， 节点虽p 以像有限元法一样进行 布置， 但其采用了最小二乘法来局部拟合试函数而不是基于单元的形函数插值获 得。 d e m方法由于忽略掉了插值函数 ( 在无网 格方法中，经常将形状函数或者 拟合函数称为插值函数， 但由于形状函数并不通过数值点， 所以形状函数并不是 真正的插值函数)导数表达式中的一些项，其计算精度大受影响。1 9 9 4年 b e l y t s c h k o l(l 在l a n c a s t e r 和s a lk a u s h a s 等 人的 基 础 上 导出 了 被d e m方 法 忽 略 掉 的 插值函数导数表达式中的这些项，提出了无网 格伽辽金方法 ( e f g m ) 。 这种 方法采用基于m l s 方法的伽辽金方程进行求解， 取得了 很好的效果。 b e l y t s c h k o 和 其 合 作 者 对 此作了 许多 研 究并 解决了 一系 列问 题t 8 美 国 学者l iu 等 i3 基于 再生 核( r e p r o d u c i n g k e rn e l ) 思 想 提出了 再 生 核 质点 法 ( r k p m) 。该方法采用窗口函数和傅立叶变换建立了新的插值函数，由于窗 口 函数可以平移、 缩放， 从而以另一种形式达到了 无需单元以及网格细化的目 的。 接着他利用小波分析的伸缩尺度平移、 多分辨率等特点， 提出了多尺度再生核质 点法 ( ms r k p m)和小波质点法 wp m) ，并实现了该方法的自适应分析。这 西北工业大学硕士学位论文第 1 章 绪论 种方法引入了柔性可调窗口函数进行积分变换，适合对局部进行细致的数值分 析。 1 9 9 5 年美国t e x a s 大学的著名学者o d e n 和他的学生d u a r t e 1 4 提出了 基于云 团 概念的h p - c l o u d s 无网 格方法( h p c m ) ， 该方法利用最小二乘原理建立单位分 解函数以进行场量的近似表达， 再通过伽辽金变分， 建立求解的刚度方程。 波兰 学 者l i s z k a 等 “ 5 1 提出 了h p 无网 格云 团 法( h p m c m ) ， 同h p c m不同 ， h p m c m 采用配点法建立求解的刚度方程， 无需背景网格作为积分域， 是一种纯无网格方 法。 1 9 9 5 年美国 计算 力学 学者b a b u s k a 和 他的 学生m e l e n k 1 6 1提出了 单位分 解法 ( p u m ) 。 其基本思想是先分片进行局部精确近似， 再将各片 “ 粘合” 从而形成 对全域的全局近似。 1 9 9 6年西班牙数值分析中心的 o n a t e和 i d e l s o h n等【 1 7 提出了 有限点法 ( f p m) , 该法采用基于高斯型权函数带权正交最小二乘插值函数， 应用配点法， 将偏微分方程离散成非积分的形式， 再结合广义有限差分法， 成功解决了 扩散对 流问题。 a r l u r i 及z h u le 在局部边界积分方 程 ( l i b e )的 基础上，采用微分方程的局 部对称弱形式( l o c a l s y m m e t r i c w e a k f o r m, l s w f ) ， 运用移动最小二乘法构造局 部子域上的试函数和权函数， 并采用权函数的影响域作为局部积分域， 就可以将 在全求解域上的g a l e r k in 方程简化为在各子域上的局部g a l e r k i n 方程进行求解， 从而导出了 不用网格的一 种新无网格方法 无网格局部伽辽余法 ( m l p g m) o 这一方法可看作是一种特殊形式的子域法。该法与e f g m 的主要区别在于采用 了 局部对称积分形式， 使得数值积分在子域上完成， 而后者在全域上进行数值积 分。 只要选取与节点数相同的子域数， 就可以得到与未知量个数相等的代数方程， 但导出的总体方程系数为非对称矩阵， 当然非对称系数矩阵需要较多的计算内 存 和时间， 但无网格局部伽辽金方法具有灵活、 容易实施数值计算、 精度高、 特别 在工程应用中容易实现智能化的自 适应算法等优点。 近年来， 许多国家的专家学者对无网格方法产生了 浓厚的兴趣， 投入了 很大 的 精力 并 取 得了 许多 成就。 1 9 9 9年k r y s l , b e l y t s c h k 。 等= 1,2 5 分 别 对无网 格 g a l e r k i n 法的体积闭锁现象和用无网格g a l e r k i n 法分析任意三维裂纹的动态扩展 西北工业大学硕士学位论文第 ! 章 绪论 进行了研究。2 0 0 1 年，新加坡国立大学的g u 和l i u 等人发展了无网格g a l e r k i n 法和边界元的祸合方法来分析二维固体的应力状态等，并取得了很好的效果。 l i u 等人结合其研究成果编写了无网格计算软件mf r e e 2 d 1 . 2 ， 可以分析解决一些 工程问题。 1 . 2 . 3国内无网格方法研究历史及现状 国内对无网格方法的研究始于2 0 世纪9 0 年代。 1 9 9 5 年， 清华大学的周维垣 教授对无网格方法的基本理论进行了比较全面的阐述， 并首次将无网格方法应用 于岩土工程力学问题中。 清华大学工程力学系的陆明万和张雄等于 1 9 % 年开始研究无网格方法，受 国家自 然科学基金资助， 取得了许多研究成果: ( 1 ) 以紧支函数作为试函数，以 加权残量法为离散方法， 建立了紧支试函数加权残量法及最小二乘配点型无网格 方法，并在此基础上建立了加权最小二乘无网格方法。这些无网格方法吸收了 g a l e r k i n 法和配点法各自 的 优点， 显著的 提高了 精度和效 率2 6 ,2 7 1 ; ( 2 ) 建立了 基 于子域法的无网格方法， 控制方程的残差在每个子域内予以消除， 避免了目 前广 泛采用的基于g a l e r k in 无网格法借助背景网格积分的做法， 是一种真正的无网格 方 法2 8 1 ; ( 3 ) 将其建立的无网 格法成功地应用于求解弹塑性问 题、 波动传播问 题、 对流一扩散方程等问题中， 充分显示了无网格法在求解某些特殊问题中的优 势。 刘欣、 朱德憋1 9 ,3 0 1 对无网 格方法进行了 较为深入的 研究， 提出了一 种确定覆 盖大小 ( 即节点影响域半径大小) 的四象限法则， 并对边界奇异性半解析无网 格 方法进行了初步探讨，提出了 基于流行覆盖思想的无网 格方法。 庞作 会、 葛修润1 3 1 -3 3 1 等学者 对无网 格伽辽金 方法进行了引 入、 改 进和 推广研 究，并将该法用于边坡开挖问题， 所得的结果与f e m计算结果十分接近。 湖南 大学的 龙述尧3 5 受国 家自 然科学基金资助对无网 格局部边界 积分方程 方法进行了 研究， 提出了弹性力学平面问 题的 局部p e t r o v - g a l e r k i n 方法。 该方法 可以 推广到求解非线性问题及非均匀介质的力学问 题， 在工程中具有广阔的应用 前景。 陈建、 吴 林芝等3 5 1 采用无网 格方 法计 算了 含边沿裂纹功能 梯度材 料板的 应力 强度因子。 西北工业大学硕士学位论文第 ! 章 绪论 进行了研究。2 0 0 1 年，新加坡国立大学的g u 和l i u 等人发展了无网格g a l e r k i n 法和边界元的祸合方法来分析二维固体的应力状态等，并取得了很好的效果。 l i u 等人结合其研究成果编写了无网格计算软件mf r e e 2 d 1 . 2 ， 可以分析解决一些 工程问题。 1 . 2 . 3国内无网格方法研究历史及现状 国内对无网格方法的研究始于2 0 世纪9 0 年代。 1 9 9 5 年， 清华大学的周维垣 教授对无网格方法的基本理论进行了比较全面的阐述， 并首次将无网格方法应用 于岩土工程力学问题中。 清华大学工程力学系的陆明万和张雄等于 1 9 % 年开始研究无网格方法，受 国家自 然科学基金资助， 取得了许多研究成果: ( 1 ) 以紧支函数作为试函数，以 加权残量法为离散方法， 建立了紧支试函数加权残量法及最小二乘配点型无网格 方法，并在此基础上建立了加权最小二乘无网格方法。这些无网格方法吸收了 g a l e r k i n 法和配点法各自 的 优点， 显著的 提高了 精度和效 率2 6 ,2 7 1 ; ( 2 ) 建立了 基 于子域法的无网格方法， 控制方程的残差在每个子域内予以消除， 避免了目 前广 泛采用的基于g a l e r k in 无网格法借助背景网格积分的做法， 是一种真正的无网格 方 法2 8 1 ; ( 3 ) 将其建立的无网 格法成功地应用于求解弹塑性问 题、 波动传播问 题、 对流一扩散方程等问题中， 充分显示了无网格法在求解某些特殊问题中的优 势。 刘欣、 朱德憋1 9 ,3 0 1 对无网 格方法进行了 较为深入的 研究， 提出了一 种确定覆 盖大小 ( 即节点影响域半径大小) 的四象限法则， 并对边界奇异性半解析无网 格 方法进行了初步探讨，提出了 基于流行覆盖思想的无网 格方法。 庞作 会、 葛修润1 3 1 -3 3 1 等学者 对无网 格伽辽金 方法进行了引 入、 改 进和 推广研 究，并将该法用于边坡开挖问题， 所得的结果与f e m计算结果十分接近。 湖南 大学的 龙述尧3 5 受国 家自 然科学基金资助对无网 格局部边界 积分方程 方法进行了 研究， 提出了弹性力学平面问 题的 局部p e t r o v - g a l e r k i n 方法。 该方法 可以 推广到求解非线性问题及非均匀介质的力学问 题， 在工程中具有广阔的应用 前景。 陈建、 吴 林芝等3 5 1 采用无网 格方 法计 算了 含边沿裂纹功能 梯度材 料板的 应力 强度因子。 西北工业大学硕士学位论文第 1 章 绪论 李卧 东、 王 元汉及方电 新 3 6 -; 3 1 等 采用罚函 数 法满足无网 格法的 位 移 边界条 件， 给出了罚因子的选择方案， 并用无网格g a l e r k i n 方法模拟了岩体介质中裂纹 面实际的应力状态及计算平板弯曲问题。 清华大学的张见明、 姚振汉s e 提出了一 种新型边值问 题求解方法 杂交节 点法， 该法将用于杂交边界元法的修正 变分原理与移动最小二乘方法相结合， 不 但具有边界元降维的优点，而且亦属于一种 “ 真正的无网格方法” ，该法既不需 要插值网格，也不需要积分网格， 输入数据只是求解域边界上的离散点， 域内米 知量的计算也不需要像边界元法中那样， 再一次沿边界积分。 数值实例表明该法 计算精度高、 收敛性好， 可以 基于三维弹性理论求解宽厚比达到微米级甚至纳米 级的薄型结构问题。 周瑞忠、 周小平等4 0 研究了无网格方法的 权函数问 题， 提出了 求解权函数影 响域半径的自 适应方法， 计算表明采用自 适应影响半径的权函数对求解应力集中 或断裂力学问题具有较大的优越性。 中国 科技大学的 何沛 祥、 李子 然等 14 1 】 提出了 采用无网 格g a l e r k i n 法与 有限 元 方法相祸合的方法来计算功能梯度材料中含裂结构的j 积分， 这种方法不仅解决 了 无网格g a le r k i n 力学边界条件施加的难点， 而且还克服了无网格g a l e r k i n 耗时 多的缺点。 袁振、 李 子然等14 2 ! 学者 提出了 用无网 格g a l e r k i n 法模拟构件在1 - 1 1 复合型 裂 纹下的疲劳裂纹扩展路径并预估其疲劳寿命的方法， 该法能够自 然模拟疲劳裂纹 的扩展，不需要网格重构，避免了裂纹扩展过程中计算精度的受损。 1 . 2 . 4无网格方法评价 在短短的2 0 几年内，各种无网格方法如雨后春笋般地涌现出来，这些方法 有着各自 的优缺点。 归纳起来， 无网格方法的优点主要有: ( 1 ) 避免了大量的单 元网格划分工作并克服了 有限元法中由于场函数的局部近似所引起的误差;( 2 ) 为得到离散的代数方程组仅需要对节点和边界条件进行描述; ( 3 ) 场函数及其梯 度在整个求解域内 是连续的， 无需寻 求光滑梯度场的后处理: ( 4 ) 无需网 格， 抗 畸变能力强;( 5 )适合进行自 适应分析。 但无网格方法作为一种正处于发展中的新方 法， 还有许多不成熟的地方， 如 s p i t的最女弱点是精度不太好，计算量大;e f g m 采用拉格朗日乘子引入位移 西北工业大学硕士学位论文第 1 章 绪论 李卧 东、 王 元汉及方电 新 3 6 -; 3 1 等 采用罚函 数 法满足无网 格法的 位 移 边界条 件， 给出了罚因子的选择方案， 并用无网格g a l e r k i n 方法模拟了岩体介质中裂纹 面实际的应力状态及计算平板弯曲问题。 清华大学的张见明、 姚振汉s e 提出了一 种新型边值问 题求解方法 杂交节 点法， 该法将用于杂交边界元法的修正 变分原理与移动最小二乘方法相结合， 不 但具有边界元降维的优点，而且亦属于一种 “ 真正的无网格方法” ，该法既不需 要插值网格，也不需要积分网格， 输入数据只是求解域边界上的离散点， 域内米 知量的计算也不需要像边界元法中那样， 再一次沿边界积分。 数值实例表明该法 计算精度高、 收敛性好， 可以 基于三维弹性理论求解宽厚比达到微米级甚至纳米 级的薄型结构问题。 周瑞忠、 周小平等4 0 研究了无网格方法的 权函数问 题， 提出了 求解权函数影 响域半径的自 适应方法， 计算表明采用自 适应影响半径的权函数对求解应力集中 或断裂力学问题具有较大的优越性。 中国 科技大学的 何沛 祥、 李子 然等 14 1 】 提出了 采用无网 格g a l e r k i n 法与 有限 元 方法相祸合的方法来计算功能梯度材料中含裂结构的j 积分， 这种方法不仅解决 了 无网格g a le r k i n 力学边界条件施加的难点， 而且还克服了无网格g a l e r k i n 耗时 多的缺点。 袁振、 李 子然等14 2 ! 学者 提出了 用无网 格g a l e r k i n 法模拟构件在1 - 1 1 复合型 裂 纹下的疲劳裂纹扩展路径并预估其疲劳寿命的方法