（基础数学专业论文）非常旗曲率einsteinranders度量的解析构造.pdf

摘要 摘要 本文给出了r 4 中一个非常旗曲率e i n s t e i n - r a n d e r s 度量的解析构造首先 从个已知的r i e m a n n 度量出发，利用活动标架法，求出了其r i c c i 曲率为0 ， 从而此r i e m a n n 度量是一个e i n s t e i n 度量r i c c i 曲率为0 的证明可以先算出 所给l ：( i e m a n n 度量的所有联络系数，然后利用r i c d 曲率张量r i c 的分量嘞 与联络系数之间的关系，求出r i c c i 曲率为0 但是本文没有采用通常办法而 是利用活动标架法，使得证明更加简洁其次利用局部单参数等距变换群求出了 由该度量生成的一个k i l l i n g 向量场本文中，我们并没有直接由度量所诱导的 k i l l i n g 场的方程入手去解，因为即使是四维的情况其方程也是不容易解的最 后，利用r i e m a n n 流形上的z e r m e l o 航海问题把上述度量和其k i l l i n g 场变成 相应的b a n d e r s 度量因为我们所选择的r i e m a r m 度量是e i n s t e i n 的，并且是 非局部射影平坦的，从而我们得到的新度量也是e i n s t e i n 的，并且是非常旗曲率 的 关键词旗曲率，r i c c i 曲率，e i n s t e i n 度量，r a n d e r s 度量 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e rw eg i v ea na n a l y t i cc o n s t r u c t i o no fa ne i n s t e i n - f i n s l e rm e t r i c w i t hn o n c o n s t a n tf l a gc u r v a t u mi n r 4 f i r s t l y , u s i n go fa c t i v ec o o r d i n a t e w e g e tt h er i c c ic u r v a t u r e so ft h er i e m a n nm e t r i cw h i c he q u a l st oz e r o s ot h i s r i e m a n nm e t r i ci sa ne i n s t e i nm e t r i c w ew a n tt op r o v et h a tt h er i c c ic u r v a t u r e s o fr i e m a n nm e t r i ci sz e r o w ec a nu s ef o l l o ws t 印s o n e ，w ec o m p u t ea l lo ft h e c o n t a c tc o e f f i c i e n to fg ”t w o ，u s i n go ft h er e l a t i o n s h i po fb e t w e e n 4 0 ft h ep d c c i c u r v a t u r e sa n dt h ec o n t a c tc o e f f i c i e n to fg a , w ep r o v et h a tt h er i c c ic u r v a t u r e s o fr i e m a n nm e t r i ci sz e r o ，b u t ，i nt h i sp a p e r ，w ed o n tu s eg e n e r a lw a ya n dm a k e f u l lu 8 eo fa c t i v ec o o r d i n a t e ，t om a k et h ev e r i f i c a t i o ni s e a s y t h e nb yu s i n g t h e1 - p a r a m e t e rg r o u po fi s o m e t r i ct r a n s f o r m a t i o n sw eg e tas p e c i a lk i l l i n gf i e l d g e n e r a t e db yi t h e r ew ed i dn o ts o l v et h ee q u a t i o no ft h ek i l l i n g 矗e l d sw h i c h i ss t i l lv e r yh a r de v e ni nt h ec a s eo ff o u rd i m e n s i o n w i t ht h a tw et r a n s f o r m t h i sr i e m a n n - e i n s t e i nm e t r i ci n t oar a n d e r sm e t r i ci nt h ew a yo ft h ez e r m e l o n a v i g a t i o np r o b l e mo nr i e m a n nm a n i f o l d s s i n c et h er i e m a n nm e t r i cw ef i n di s a ne i n s t e i nm e t r i ca n dn o to fl o c a l l yp r o j e c t i v e l yf l a t t h en e wm e t r i cw eg e ti s a l s oe i n s t e i n i a na n dn o to fc o n s t a n tf l a gc u r v a t u r e k e y w o r d s ：f l a gc u r v a t u m ，碰c 商c u r v a t l l r e ，e i n s t e i n - m e t r i c ，r a n d e r s - m e t r i c 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得 北京工业大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料，与我一 同工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了嘎确的说明 并表示了谢意 签名：型! 墨日期：坦z ! ! ：! ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以 公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保 存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名；当：显导师签名：t 蚴日期；坳：旦 引言 引言 f i n s l e r 度量可以说是没有二次限制的p d e m a n n 度量，在f i n s l e r 度量中，一 类非常有意义的度量是e i n s t o i n 度量每个二维流形上可存在一个常( 高斯) 曲 率的完备的r i e m a n n 度量，从而是e i n s t e i n 的( 见【1 】 1 4 】【2 7 ) 但由于一些拓 扑等方面的障碍，三维，四维的e i n s t e i n 度量的例子是很少的陈省身先生曾经 不止一次地公开提出这样个同题：是否每个光滑流形上都可存在一个e i n s t e i n 度量由于拓扑方面的障碍铲s 1 上就不存在r i e m a n n - e i n s t e i n 度量，从而 在此流形上也就不存在e i n s t e i n - r a n d e r s 度量 对于四维的情况，在文献 1 2 】中指出；一个四维流形是e i n s t e i n 流形的充 要条件是它的曲率算子( 作为2 - 形式上的自伴线性算子) 与h o d g e 星算子是可 交换的 常旗曲率e i n s t e i n - f i n s l e r 度量已经有一些具体例子，但是非常旗曲率的例 子是不多的本文从一个r i e m a n n - e i n s t e i n 度量出发在r 4 中给出了个非常旗 曲率e i n s t e i n - f i n s l e r 度量的解析构造第二部分中介绍了此r i e m a n n - e i n s t e i n 度量，第三部分找到了此度量对应的一个k i l l i n g 向量场，第四部分我们利用 r i e m a n n 流形上的z e r m e l o 航海问题把此r i e m a n n 度量变成了相应的e i n s t e i n - f i n s l e r 度量 i i i 第1 章绪论 1 1 本文背景 第1 章绪论 f i n s l e r 空间的最初概念可以追溯到r i e m a n n 的著名论文 6 e rd i eh y p o t h e s e n ，w e l c h e l e rg e o m e t r i ez u g r n d el i e g e n 1 8 5 4 年，r i e m a n n 在他的演 讲中提出了微分几何的度量可以用二次形式的平方根来定义，或用四次微分形式 的四次方根来定义后来，他更进一步引进了基本弧长微元幽= f ( x ，d z ) 为其 度量函数这就奠定了r i e m a n n 几何的基础 后来，b l i s s ，l a n d s b e r g 和b l a z c h k e 注意到了微分几何与变分学某些方面 的特殊反射变换关系并且b l i s s 和l a n d s b e r g 在不是欧式背景下得到了他们的 几何理论1 9 1 8 年，p f i n s l e r 在他的博士论文中也讨论了基本变分定义度量 的一般原则，并由此讨论了这类空间中的曲线和曲面的性质特征f i n s l e r 几何 从此得以命名( 见 2 0 1 ) 1 9 3 4 年，e c a f t a n 发表了关于f i n s l e r 几何论文，他定义了c a f t a n 联络 并且引进了曲率的概念，这使得f i n s l e r 几何发生了历史性的变化1 9 4 8 年， s s c h e r n 引进了c h e m 联络，这更加引导着f i n s l e r 几何向着更广的方向发展 ( 见 1 3 】 19 】【2 4 】 2 6 1 ) 自此以后，国内外许多几何学家都投入到了f i n s l e r 几何 盼研究中，如：d ，b a o 、沈忠民，莫小欢、程新跃等 与r i e m a n n 度量最为接近的f i n s l e r 度量是r a n d e r s 度量，这一直是f i n s l e r 几何学家们研究的热点9 0 年代以前，以日本人t y a m a d a 等人为代表主要采 用张量分析的方法研究渔，p ) 一度量，主要得到了关于r a n d e r s 度量。m a t s u m o t o ，1 北京工业大学理学硕士学位论文 度量等的一些性质，但几何的本质往往被复杂的张量计算所掩盖，所以这方面的 进展缓慢( 见 1 5 一【1 8 】) 9 0 年代以后，z s h e n 引入新的运算模式并大量应用 m a p l e 程序运算，为( n ，p ) 一度量的研究注入了新的活力( 见 7 1 2 8 1 2 9 1 【3 2 1 3 4 1 3 5 3 6 】) 到目前为止，许多人对r a i d e r s 度量做了很多的研究，得到许多很好 的结果 在f i n s l e r 度量中，一类非常有意义的度量是e i n s t e i n 度量每个二维流形 上可存在一个常( 高斯) 蓝率的完备的p d e m a n n 度量，从而是e i n s t e i n 的( 见 【1 1 【1 4 【2 7 ) 但由于一些拓扑等方面的障碍，三维、四维的e i n s t e i n 度量的例 子是很少的陈省身先生曾经不止一次地公开提出这样一个问题：是否每个光滑 流形上都可存在一个e i n s t e i n 度量。由于拓扑方面的障碍s 2 s 1 上就不存在 r i e m a n n - e i n s t e i n 度量，从而在此流形上也就不存在e i n s t e i n - r a n d e r s 度量 对于四维的情况，在文献【1 2 】中指出：一个四维流形是e i n s t e i n 流形的充 要条件是它的曲率算子( 作为2 一形式上的自伴线性算子) 与h o d g e 星算子是可 交换的 本文从一个k i e m a n n e i n s t e i n 度量如出发在秘中给出了一个e i n s t e i n - f i n s l e r 度量f 的解析构造，并且对其曲率性质进行了讨论得到此度量是非常旗 曲率的 1 2 概念与记号 定义1 2 1 吲光滑流形m 上的f i n s l e r 度量是指切丛t m 上的一个函数 f ：t m 【o ，+ o o ) ，满足 一2 - 第1 章绪论 ( 1 ) 正则性：f 在t m ( 0 ) 上光滑 ( 2 ) 一阶正齐次性：f ( z ，a y ) = a f ( z ，) ，va 0 ； ( 3 ) 强凸性t 矩阵( 肋) = ( 睦f 2 】矿矿) 在? m o 上处处正定，其中 y 是由m 上局部坐标函数一诱导的t m 的局部坐标函数( ，y 4 ) 的分量， i f 2 b ：= 磊品 定义1 2 2 n 光滑流形m 上的p a e m a n n 度量是关于m 上任一点z 的切空 间t z m 上的一族内积 啦k e m ，满足函数g , a x ) ：= 啦( 刍，南) 是光滑的 因为每一个如是一个内积，从而矩阵( 舫) 是正定的记 g = g i j ( x ) c l x 。o d ：d 则g 通过以下方式做成一个f i n s l e r 度量 f ( z ，y ) ：= 啦0 ，y ) 从而每一个r i e m a n n 流形( m ，g ) 都是f i n s l e r 流形 定义1 2 3 a 7 设d ：= v 历, a z ) y j 是微分流形m 上的r i e m a n n 度量， 口：= “( 。) 矿是m 上的1 - 形式，则当忪忆：= i 虿i 丐 1 ( 其中( a i j ) = ( a o ) 一1 ) 时，f ：= a + 是m 上的f i n s l e r 度量，称为r a i l d e l s 度量 这类度量不仅在物理上有深刻的背景，而且在构造具有各种曲率性质的f i n s l e r 度量时十分有用，是f i n s l e r 几何研究的重要内容 定义1 , 2 4 1 ”i 设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，定义其r i e m a n n 曲率为； r ! f ：= 磁d 扩。嘉足m 一是m ， 一3 - 其中 其中 北京工业大学理学硕士学位论文 砭= z 筹一器矿+ z 筹一雾器 = 扣胪b 犷一i f 2 协 称为f 的测地系数 定义1 2 5 8 设f i n s l e r 流形( m ，f ) 上的r i e m a n n 曲率为 r = 磁出固丽0 【。：疋m e m ， vy ( 0 ) 正m 及与y 线性无关的u 已m ，定义旗曲率为 k ( z ，g ，“) ：一g ，( y , y 鱼) g v 倒( u , u 塑) - ! g l v ( y , u ) ： 在r i e m a n n 流形的情形，巩即为r i e m a n n 度量，r 即为通常的p d e m a n n 曲率张量，并且k ( x ，y ，u ) 即为关于 玑扎) 张成平面的截面曲率所以说，f i n s l e r 几何中的旗曲率是r i e m a n n 几何中截面曲率的推广( 见 2 1 】) 定义1 2 6 设( m ，f ) 为n 维f i n s l e r 流形，吃为其r i e m a r m 曲率，令 r i c - 9 ( 心( e ) ，e j ) ， = 1 其中“) 为疋m 的一组基，：= g ，( e i ，勺) ，0 莳) = ( 肋) ，则r i c 是 t m o ) 上整体定义的数量函数，称为r i c c i 曲率 注：由定义1 , 2 4 可知r i c c i 曲率实际上就是r i e m a n n 曲率的迹 若存在m 上的数量函数k = k ( x ) 使得 r i c = ( n 一1 ) x f 2 第1 章绪论 则称f 是e i n s t e i n 度量 定义1 2 7 uc p 上的f i n s l e r 度量f = f ( z ，y ) 称为射影平坦的，如 果u 中所有的测地线均为直线 注；其他相关概念，记号参考i s 或( 2 5 】 1 3 相关定理及结论 定理1 , 3 1 【1 0 lf i n s l e r 度量f = f 0 ，y ) 射影平坦的充要条件是f 满足 e - 一矿一e t = 0 由此定理可知，我们要判断一个f i n s l e r 度量是否是射影平坦的只需验证上 述方程是否成立即可 定理1 , 3 2 ( b e i t r a m i ) 局部射影平坦的r i e m a n n 度量的截面曲率是常数 实际上，其逆定理也是成立的，从而r i e m a n n 度量是常曲率的充要条件是 此度量是局部射影平坦的 定理1 3 3 设( 吖，是截面曲率为c 的常曲率空间，则在任意一个局部标 架场e i 下，曲率形式f 2 i j = 一i 屿反之亦然 定理1 3 4 设m 截面曲率为c 的常曲率空间，则m 的r i c c i 曲率和数量 曲率分别是( m 一1 ) c 和m ( 研一1 ) c 定理1 3 5 nf i n s l e r 度量f 是r a n d e r s 度量的充要条件是f 满足r , i e m a n n 流形( m ，h ) 在扰动向量场彬h ( ww ) 1 下构成的z e r m e l o 航海问题。而且 此度量f 是r i e m a n n 度量的充要条件是w = 0 。 一5 北京工业大学理学硕士学位论文 设f 是r a n d e r s 度量且f = f ( z ，) = o ( z ，y ) + 卢( z ，f ) = 瓦五万驴+ 瓯( z ) 矿，其中a 为r i e m a n n 度量，p 为1 一形式，则定理1 3 3 具体可表示为 = b - - r + 等等，b l = - 妥， 其中w = w 鑫，姒= ，a = 1 一1 w 1 2 正是借助z e r m e l o 航海问题，d b a o ，c r o b l e s 和沈忠民对常旗曲率的 r a n d e r s 度量进行了完全分类( 见 9 ) 此定理也为我们构造新的r a n d e r s 度量提供了一种很好的方法，在本文中 我们就是采用这种方式构造了个新的e i n s t e i n - r a n d e r s 度量此部分的具体讨 论可参考吲 2 1 3 1 等 定理1 3 ，6 1 9 1 设f 是满足r i e n m n n 流形( m ，h ) 在扰动向量场彤是( 彤w ) l 下构成的z e r m e l o 航海问题的r a n d e r s 度量，则( m ，f ) 具有常旗曲率的 充要条件是存在常数，使得 ( 1 ) h 具有常截面曲率k + 去f 2 ； ( 2 ) 是关于h 的相似向量场，即 l w h = 一a h ，( l w h ) _ j = 眦1 j + h = 一a h o 而且，若 不是平坦的，则必有盯= 0 定理1 3 7 i l o l 设f 是满足r i e m a n n 流形( m ，h ) 在扰动向量场眠h ( mw ) 1 下构成的z e r m e l o 航海问题的r a n d e r s 度量，则( mf ) 是e i n s t e i n 流形满足 r i c = m 一1 ) k ( x ) f 2 的充要条件是存在常数口使得 ( 1 ) h 是e i n s t e i n 度量，即r i c = ( n 一1 ) ( z ) + 击口2 h ； 6 - 第1 章绪论 ( 2 ) w 是关于h 的相似向量场，即 l w h = 一f ，( l w h ) t i = 碱h + i 。= 一盯 而且，若h 不是r i c c i 平坦的，则必有口= 0 定理1 3 8 1 9 , 2 qr 一上的r a n d e r s 度量f = o t + 卢射影平坦的充要条件是o t 是射影平坦的且p 是闭的 定理1 3 ，6 及定理1 3 7 又为我们通过定理1 3 5 的方法构造具有特殊曲率 性质的r a n d e r s 度量提供了一种保证我们要构造一个非常旗曲率的e i n s t e i n - r a n d e r s 度量只需找到一个r i e m a n n - e i n s t e i n 度量，而且此度量是非射影平坦 的，再由r i e m a n n 流形上的z e r m e l o 航海问题变成相应的r a n d e r s 度量即可 接下来我们就介绍一个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章一个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量 2 1 r i e m a n n - e i n s t e i n 度量g 。 设h 是三维球面s 3 上的标准度量。a = 矿( 一z 2 d z l + 一如2 一。4 如3 + z 3 出4 ) i 是s 3 到r 4 上的标准拉回对于任意实数a ，以下g a 为酽挖去0 点的p d e - m a i l l l 度量其中血为以下形式 g a = p 2 h + p - 2 ( p ( d p l + a a ) 2 这样m 是一个r i c c i 平坦的度量 下面为了讨论问题的方便，我们引入一个球的参数表示如下 事实上 我们知道 而 z 1 = c o s 0 1 c 0 8 如 写2 = c o s o ls i n 0 2 z 3 = s i n 0 1c o s 0 3 z 4 = s i n 0 1s i n 8 3 斧= r 2 砰皇c 1 e 1 s 3 ： i 蜀1 2 + i 汤1 2 = 1z 1 ，历c 1 s 3 用彤中坐标来写就是 ( x i ) 2 + ( 。2 ) 2 + ( x 3 ) 2 + ( z 4 ) 2 = 1 8 而 叉 所以 同理 所以 即 设 第2 章 一个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量 乙g 1 z 2 c 1 历= z 1 + t z 2 汤= z 3 + z l l 2 = ( 。1 ) 2 + ( 。2 ) 2 历f 2 = ( x 3 ) 2 + 扛4 ) 2 五1 2 + l z 2 尸= 0 1 ) 2 + 如2 ) 2 + ( z 3 ) 2 + 4 ) 2 ： j 五1 2 + j 历2 = 1 汤i = s i n 0 1 z 1 = c o s 0 1 e 。2 = c o sl ( c o s o = + i s i n 0 2 ) 历= s i n o r e 4 如= c o s 0 1 ( c o s 0 3 + i s i n o s ) _ 北京工业大学理学硕士学位论文 所以 z 1 2c o s 口lc o s 2 。2 = c o s 0 ls i n 如 z 3 = s i n 0 1c o s o z z 4 = s i n e is i n 0 3 注：以上的参数表示称为两个圆周的连接 有了以上坐标系，我们可以对已给出的度量吼作以下讨论 h = 矿( ( d z l ) 2 + ( 如2 ) 2 + ( d x 3 ) 2 + ( d x 4 ) 2 ) = ( d 8 1 ) 2 + c o s 2 8 l ( d e 2 ) 2 + s i n 2 口l ( d e z ) 2 a = 矿( 一z 2 d x l + z 1 如2 一x 4 d x 3 + 石3 如4 ) = c o s 2 口l d 0 2 + s i n 2 口l d 0 3 夕。= p 2 ( ( d 占1 ) 2 + c o s 2e l ( d e 2 ) 2 + s i n 20 1 ( d 0 3 ) 2 ) + p - 2 ( p ( d p ) + a ( c o s 2 口l d 日2 + s i n 2e l d e 3 ) 2 = ( 如) 2 + p 2 ( 硼，) 2 + ( 矿c o s 2 0 t + 筹c o s 4 o d ( d 蚴2 + ( p 2s i n 20 1 + a 2s i n 4 ( d 如) 2 + 了2 a c o s 20 1 ( d p ) d o 2 p as i n 20 t ( d p ) d 0 3 + - 等c o s 20 1s i n 20 x d 0 2 蛾 从而其基本张量的分量组成的关于坐标( p ，以，如，如) 度量矩阵为 其逆矩阵为 1 0 0 ：c o s 2 p 1 矿0 s i n 2 0 1 0 ；c o s 2 口l 0 p 2 c o s 2 p 1 + 拳c 。s 4e 1 尹a 2c o s 2 口ls i n 2 以 s i n 20 1 0 尹a 2c o s 2 口1s i n 2 口1 p 2s i n 2 p l + 7 a 2 * 1 4 p 1 1 0 - 第2 章一个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量 ( 矿) 4 。4 = 0 一劳一争 毒0 0 0 赢0 0 0 尹而1 以下我们用活动标架法证明所给度量如是r i c c i 平坦的，即其r i c c i 益率张量为0 设 妒1 = a = c o s 2 巩d 9 2 + s i n 2 p l d 0 3 晚= c o s ( 0 2 + e 3 ) d 0 1 + s i no xc o s 0 1s i n ( 0 2 + 0 3 ) ( d 0 2 一d 0 3 ) 讥= s i n ( 日2 + e 3 ) d 0 1 一s i n 0 1c o s o zc o s ( 0 2 + 0 3 ) ( d 0 2 一d 0 3 ) 则可以验证h = ( 仉) 2 + ( 妒2 ) 2 + ( 他) 2 ，且 再令。l = 觯“。2 = 鹏，奶= 砒，啪2 印+ ；瓴= d p + 寺吡，则 2 矿h + ( 如+ ；a ) 2 = 喀+ 岍2 叶w 2 2 + u ； 如= 一三u 一l l 。 一尹 + d 4 1 0 一 一 ，。 如 饥 惦 也 如 饥 = i l i i 砒 讹 讹 ，ii_lj、l_li- 北京工业大学理学硕士学位论文 并且我们有 = d ( d p + 一扣m + ；咖t = 一号u 。 妒+ 警忱 如 ；一兰( u o u 1 2 2 u 3 ) = 一万( u o u 1 一劾2 u 3 ) d u i = d ( p 妒1 ) = d p a 讥+ 彬砂l = 0 3 0 a 妒1 + 2 p 妒2 a 讥 = j a w l + 2 比 d 。2 二d ( 如) = d p a 母2 + p d 妒2 = 一墨“，t ) 妒2 + 2 f c s 也 = 一号u 忱+ ；( 帅 。+ 。 u - ，= 一歹u 1 忱+ 石( 帅 u 2 + 3 u 1 ) d 岫= d ( p 如) = 如a 讥+ 卸幽 = 一昙u - ) 讹+ 2 鲫- 也 = 一号u ，a o j 3 + ；( 蛳 岫+ 知z u 。)2 一歹。1石( 蛳 岫+ 扎1 “2 ) 设“4 ，0 l ，j 3 为联络形式，则它们应该满足如下的第一结构方程 f 籼：q 呦 【哟 - w j l 2 0 1 2 第2 章 一个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量 利用结构方程第二式“的反对称性。把结构方程的第一式具体展开来写，就是 也，0 = w 1 a w l 0 + 她ac u 2 0 + w 3 a o 如l = 一咖a0 j 1 0 一岫a u l 2 + a 岫l d w 2 2 一蛐a w 2 0 + w 1 a t m l 2 0 j 3 a w 2 3 d w 3 = 一岫a u 3 0 一w 1 a0 2 3 1 + w 2 a “2 3 把这四个式子与之前求出的d 咄的表达式相比较，可猜出一组满足上面 四个方程，即 u 加= 岫a = 参岛；一z u 。= 蛐，= 专如一；如 岫= 地= 一号如一万1 如 如此一来，由r i e m a _ i l n 几何基本定理，上面给出的u 廿就是联络形式接下 来考虑曲率形式 如 ：= 妣，一k a w k j ，0 ，j ，3 由于哟满足非常好的反对称性，我们证明这些对称性也体现在上例 q l o = 缸1 0 一 岫 = 扎l o w 1 2 a w 2 0 一“1 3 a w 3 0 = d w l o t d 3 0 a w 2 0 + “2 0 a “3 0 = ( ”l o + 2 o a “ 一1 3 - 北京工业大学理学硕士学位论文 而另一方面 这就证明了 同理可得 q 2 3 = 幽2 3 一a u j k 3 k = 砒3 一w 2 0 w 0 3 一w 2 1 a “1 3 = d w l o + w 2 0 a w 3 0 一3 0 a w 2 0 = d “，1 0 + 2 w 2 0 a w 3 0 q 1 0 = q 2 3 = d w l o + 2 w 2 0 a “3 0 f 1 2 0 = 1 = d w 2 0 + 2 w 3 0 a w l d f 2 3 0 = q 1 2 = a 幻3 0 + 2 w 1 0 a u 2 0 现在把之前求出的联络形式w i 0 的表达式代入上面这些曲率形式的表达式 中，利用= “ 白k l u k a w t ，就可求出曲率张量r j 埘具体地 f l l o = d w l o + 2 w 2 0 a 0 3 0 = d ( 吾帅一；“t ) + 。( 导岫一；地) ( 一a 忱一；岫) 4 a 24 d 2 = 一7 f 岫 u 1 + 7 r 叻 蛐 ( 这里利用了d p = u o 一；a 。w - ) 由此可见 = 喝- = 苦 。= 喝m z = 警 r l o l j = 0 ， l ，j ) ( 1 ，o ) 或 2 ，3 ) 一1 垂 第2 章 一个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量 r 2 3 1 0 = _ = 萼 z 2 3 2 3 = - r 2 3 3 2 歹4 a 2 r 2 3 i # = 0 ， ，j 1 0 ) 或 2 ，3 同样地，我们可算出 q z 。= 歹2 a 2 咖al d 2 - - 歹2 a 2 u ， 耻等峋 的一务 鲍 r 2 0 0 2 = - 氇0 2 0 = 恐1 0 2 = - - r 3 1 2 0 = 7 2 a 2 兄0 3 1 = 一冗2 0 1 3 = 飓1 3 l = 一r 3 n 3 = 一j 2 a r 2 月2 0 玎= r 3 l 幻= 0 ，0 ，j ) t 2 ，o ) 或 1 ，3 ) 置3 0 0 3 = 一r 3 0 3 0 = 置1 2 0 3 = 一盈1 2 3 0 = 万2 a 2 r 3 0 1 2 = - - 恐0 2 l = 2 = 一见2 2 1 = 一万2 a 2 飓叼= 冗1 2 i j = 0 ，托) 3 ，o 或6 1 ，2 可见在忍州中，只有当四个指标全不相同，或前后两组指标相同，其值才 不霉杖榉南r ；p 一骗骨能帝譬 r i c j ：= 忍螂 可见，当i j 时，r i c i j = 0 以下只需考虑r i c ，0 is3 事实上，利用前面求出的结果，很快可以得出 r i c o o = 1 1 0 + r 。2 2 0 + r 0 3 3 0 = - r 1 0 1 0 一r z 0 2 d r 舢= 0 1 5 - 北京工业大学理学硕士学位论文 同样，r i c l l = r l l + j r l 2 2 l + r 1 3 3 l = 0 ，r 2 2 = r z 0 0 2 + r 2 1 1 2 + r 2 3 3 2 = 0 ，r 3 3 = 尼0 0 3 + r 3 1 1 3 + r 3 2 2 3 = 0 这样就验证了所有的崩= 0 ，0 i ，j 3 所以度量乳是r i c c i 平坦的 以下我们证明所给度量如是非射影平坦的； 如果如具有常截面曲率c ，则由定理1 3 4 知r i c = ( m 一1 ) c 而现在上面已证r i c = 0 ，所以c = 0 又由定理1 3 3 知f 2 巧= 一龇 哟，而c = 0 ，所以q “= 0 而前面计算了很多q “是不为0 的，所以矛盾 所以鼬不是常曲率，从而乳不是射影平坦的 2 2 本章小结 在这部分的讨论中，我们介绍了r 4 中的个特殊的r i e m a n n - e i n s t e i n 度 量靠此度量不仅是r i c c i 平坦的，而且是非常截面曲率的，在后面的讨论中我 们将利用此度量来构造新的f i n s l e r 度量 1 6 第3 章度量乳的k i l l i n g 向量场 第3 章度量吼的k i l l i n g 向量场 3 1 k i l l i n g 向量场的方程 要求出度量啦对应的k i l l i n g 向量场，也即求向量场w 满足以下k i l l i n g 场的方程 其中 ( l w g ) t i = w , v + w j | | = 0 ( ) 彤i 户丽o w , 一r ；毗t ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ( 4 ) 式也即 堕+箬一2焉帆：00，xj。如； ” 从以上方程我们可以看出，若想得到k i l l i n g 场的解，我们可以先求出度量如的所 有联络系数f 。k ，然后求解以上方程但是直接去解上述微分方程来求出k i l l i n g 场仍然是不容易的 下面我们利用r 4 上的一族局部单参数变换群来确定乳的个k i l l i n g 向量 场 3 2 一个特殊的k i l l i n g 场 先来回忆一下单参数变换群的一些基本知识 所谓微分流形m 上的一个单参数变换群是指这样一种映射 r xm _ m 一1 7 北京工业大学理学硕士学位论文 ( r i p ) 一协( p ) 满足下面两个条件： ( 1 ) v r r ，：p ，协是m 上的一个变换； ( 2 ) vr ，s r ，p t 妒，+ 。( p ) = 妒，( 妒，( p ) ) 对于局部单参数变换群可以类似定义，只需定义r 在0 的某个邻域内而p 定义在m 的一个开子集上( 见 2 3 ) v p m ，取b 为血线z ( r ) = 协p ) 在p = 妒o p ) 点的切向量，这样我们 就得到m 上的一个向量场x ，称为由单参数变换群( 协 诱导的向量场对于 局部单参数变换群，任取m 上个向量场x ，可以找到一个局部单参数变换群 t 使得x 是由 协) 诱导的 设u 是m 维r i e m a n n 流形m 的一个非空开子集，x 是c ，上的光滑向量 场，妒( r i p ) 是由x 确定的局部单参数变换群，即对于任意的p m ，妒( r p ) 是初值问题 掣叫卅枷川= p 的解如果对于任意的r ，由p 一协( 力= 妒( r ，p ) 给出的映射都是等距， 则称x 是m 上的一个k i l l i n g 向量场( 或无穷小等距) ( 见【3 9 ) 首先我们已知科上的一族单参数变换 帆) 如下； 仇：r 4 _ r 4 茁= ( $ 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 ) h( c o s ( t ) x 1s i n ( t ) x 2 ，c o s ( t ) = 2 + s i n ( t ) x 1 ，c o s ( t ) z 3 s i n0 x 4 ，c o s ( t ) z 4 + s i n ( t ) x 3 ) 1 8 第3 章度量啦的k i l t i n g 向量场 我们把以上变换作用在前面引进的坐标变换上 纯：( p c o s 8 lc o s 日2 ，p c o s 8 1s i n6 2 ，p s i n 8 1 t o s s 3 ，p s i n f f ls i n s a ) h ( p c o s ( t ) c o s 0 1c o s 0 2 一p s i n ( t ) c o s 0 1s i n 0 0 2 ，；c o s ( o c o s 0 1s i n 0 0 2 + p s i n ( t ) c 0 8 0 0 1c o s 0 0 2 p c o s ( t ) s i n 0 0 lc o s 0 0 3 一p s i n ( t ) s i n 0 0 ls i n 0 0 3 ，；c o s ( t ) s i n 0 0 1s i n 0 0 3 + f l s i n ( t ) s i n 0 1c o s 锄 ：( ；c o s 0 1c o s ( 目2 + t ) ，；c o s 8 1s i n ( 0 0 z + f ) ，p s i n 0 1c o s ( 0 0 s + ) ，p s i n b ls i n ( 0 0 s + t ) ) 以上变换忱用由以，o z , 蹦构成的坐标系来写 妣：y = ( n 曰l ，如，日3 ) h ( n 巩，如+ t ，如+ t ) = p ，s 2 ，8 3 ，8 4 ) = 5 先证明以上慨关于t 作成单参数变换群 vp 口由 妒t ( 妒。( y ) ) = 妒t ( p ，口1 ，如+ 口，如+ 口) = ( p ，p 1 ，如+ n + t ，日3 + 口+ t ) 一妒件。( 鲈) 又 伽= i d ， 故 慨) 关于t 作成单参数变换群 其次，我们断定红均为等距，为此只需验证 妒；9 。= g 。 一1 9 - 北京工业大学理学硕士学位论文 设( 以。) 为r 4 上任一局部坐标系，我们只需验证上式在自然基底 击 上成 立即可，即 ( 咖杀，刍) = 颤杀，易) ，口，声- 0 71 心3 其中。o = p ，z 。= 以针对我们所选取的坐标系，我们先取q = 0 ，p = 1 的情形 ( 池) ( ，岳) = 如知叠) = 乳c 高，高， = 乳c 易，蒜， 我们再取q = 0 ，p = 3 的情形 而 又因为 所以 ( ) ( 品，蠢)批易，o p t , 蠡，啦历，丽) 。f j lj l l 乳【硒硒) i 2 a m 叭2 - 3 2 ) 乳( 易，叠) = 万2 a 躺- s 1 2p ，s 2 = p 1 ( 幽) ( ，去) 叫品，蠢) 一2 0 - 其余验证类似 哦g 。= 乳 第3 章度量如的k i n n g 向量场 从而 帆 确定了r 4 上对应于吼的一个k i l l i n g 向量场 w = 毫+ 毫 3 3 本章小结 本章中我们并没有求出第二章所介绍的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量g 。对应的所 有k i l l i n g 向量场，而只是利用单参数变换群求出了一个k i l l i n g 向量场 2 1 北京工业大学理学硕士学位论文 第4 章e i n s t e i n f i n s l e r 度量的构造 4 1e i n s t e i n - f i n s l e r 度量的构造 由以上两部分的讨论，我们已经知道了度量乳是一个r i c c i 平坦的r i e m a n n - e i n s t e i n 度量，w 是对应于吼的一个k i l l i n g 向量场 下面我们考虑r i e m a n n 流形( 以如) 上关于向量场w 的z e r m e l o 航海同 题，我们可以得到一个新的p m n d e r s 度量 f ( z ，掣) = 口( 。，y ) + 卢( 曩掣) = o 巧( z ) 扩y