（基础数学专业论文）一族二次有理函数的动力学性质.pdf

硕士毕业论文 摘要 本文主要研究一族特殊的含参有理函数族中的函数的动力学性质，随着参数 的变化，其动力学性质也相应发生变化我们首先得到了一族f a t o u 集有无穷多个 分支但仅有一个不变分支的有理函数s u l l i v a n 曾猜测对于度为d ( 2 ) 的有理函 数，其判别的稳定域分支循环有上界2 ( d 一1 ) ，上个世纪八十年代s h i s h i k u r a 证明 了这一猜想易见，判别的稳定域分支循环有天然的下界0 ，而这样的下界未免 太过于粗糙，对多项式而言，当它的f a t o u 集有无穷多个分支时，其稳定域循环个 数的下界是2 ，一个自然的问题是对于一般的f a t o u 集具有无穷多个分支的有理 函数，其稳定域循环个数的精确下界也是2 吗? 本文找到的例子说明了对一般的 有理函数，其精确下界是1 其次我们找到了两个j u l i a 集是整个r i e m a n n 球面的有理函数，它们与先前已 有的j u l i a 集为e 的有理函数均不共轭，代表了两类新的j u l i a 集为整个r i e m a n n 球面的有理函数，此外，我们还找到了一族( 不可数个) 具有相同j u l i a 集的有理函 数，但该族中的任何两个有理函数却不能相互交换最后，我们找到了一个形式比 较简单且具有淹没点的几何有限有理函数 关键词有理函数j u l i a 集f a t o u 集 临界点 周期循环 硕士毕业论文 a b s t r a c t i i t h e a i m o f t h i s d i s s e r t a t i o n i s t os t u d y t h e d y n a m i c a l p r o p e r t i e s o f a f u n c t i o n i nac l a s s o fr a t i o n a lf u n c t i o n s ，a n dt h ef a m i l yh a so n ep a r a m e t e r w i t ht h ep a r a m e t e rc h a n g e dt h e p r o p e r t i e s o f t h e f i m c t i o na l s oc h a n g e d f i s t l y w eo b t a i n a c l a s so f r a t i o n a l f _ l l n c t i o n s ，w h o s e f a t o us e t sh a si n f i n i t ec o m p o n e n t sb u to n l yc o n t a i no n ef o r w a r di n v a r i a n tc o m p o n e n t s u l l i v a nc o n j e c t e dt h a tf o ra n yr a t i o n a lf u n c t i o no fd e g r e ed ( 2 ) ，t h en u m b e r so fd i s - t i n c tc y c l e so fd i f f e r e n tt y p eh a v et h eu p p e rb o u n d2 ( d 一1 ) a n ds h i s h i k u r ap r o v e dt h i s c o n j e c t u r ei n1 9 8 0 s o b v i o u s l y , t h en u m b e r so fd i s t i n c tc y c l e so fd i f f e r e n tt y p eh a v et h e n a t u r a lb o u n d0 w h i l et h i sb o u n di sr a t h e ri m p r e c i s e f o rp o l y n o m i a l s ，w h o s ef a t o us e t s h a v ei n f i n i t ec o m p o n e n t s ，t h e r ea r ea tl e a s t2d i s t i n c tc y c l e s a n dan a t u r ep r o b l e mi st h a t w h e t h e rt h eb o u n di s2f o ra n yr a t i o n a lf u n c t i o ni fi t sf a t o us e th a si n f i n i t ec o m p o n e n t s ? w ew i l lf i n dan e g a t i v ea n s w e ri nt h i sa r t i c l e a n dt h ee x a m p l ei nt h i sa r t i c l es h o w st h a t f o rc o i n i t l o nr a t i o n a lf u n c t i o n st h ep r e c i s eb o u n di s1 s e c o n d l y , w eg e tt w or a t i o n a lf u n c t i o n sw h o s ej u l i as e t sa x et h ee n t i r ec o m p l e xs p h e r e t h e y a r et h en e wr a t i o n a lf u n c t i o n sa n dt h e yd o n tc o n j u g a t et ot h ef o r m e rf u n c t i o n sw h o s e j u l i as e t sa r et h er i e m a n ns p h e r e a n dm o r e o v e r ，w eh a v eac l a s so fr a t i o n a lf u n c t i o n s w h o s ed e g r e e sa r e2a n dt h e ys h a r et h es a l t l ej u r as e t h o w e v e r ，n o to n l yt w of u n c t i o n s i nt h i sf a m i l ya r ep e r m u t a b l e f i n a l l y , w eo b t a i n8g e o m e t r i c a l l yf i n i t er a t i o n a lf u n c t i o no f s i m p l ef o r ma n di th a st h eb u r i e dp o i n t s k e y w o r d sa n dp h r a s e s ： r a t i o n a lf u n c t i o nj u l i as e tf a t o us e tc r i t i c a l p o i n t p e r i o d i cc y c l e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：扣、良 如年f 月，十日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：b ，葭 一。年上月1 日 指导教师签名：耄擘 。知衫年堂月珥日 硕士毕业论文 1 预备知识及主要结果 本文主要研究一族含参有理函数的动力学性质，找到了一个f a t o u 集有无穷 多个分支但只有一个不变分支的有理函数，此外，我们还找到了一些j u l i a 集为整 个r i e m a n n 球面的有理函数以及一个形式较为简单且具有淹没点的几何有限有理 函数本文主要运用的工具是有理映照动力系统理论以及复分析中的一些理论， 为此，先对这些理论作个简单的介绍( 以下内容可参阅文献 1 5 j ， 1 0 l ， 13 ，f 2 0 l ， 【24 ， 3 0 ， 3 2 】) 1 1 几个概念和定义 1 1 1 球面距离的定义 也洲一j 而鲁斜丽，v z l , z 2 e c 心胸卜 箩一 【、1 j ：研 。 1 1 2 等度连续的概念 由度量空间( x ，d ) 到度量空间( 弱，d 1 ) 的映照族户称为在点x o ( ex ) 是等度连 续的，如果对垤 0 , 3 6 0 ，使得对v f ，以及比x ，当d ( x ，x o ) 6 时，有 d l ( f ( x ) ，f ( x o ) ) 倘若函数族，在x 中的每点均等度连续，则称函数族，在x 中是等度连续的 硕士毕业论文 1 1 3 区域以及区域的连通度 e 中的连通开子集称为区域，给定区域d ，如果区域e d 由n 个分支组成 则称d 为n 连通的特别地，如果d 中的任一闭曲线均能收缩为d 中的一点 则称d 为单连通的，记d 的连通度为c ( d ) 1 1 4 欧拉特征 设s 是紧的或者是有界曲面( 可以认为它是e 或e 中一个子区域且其边界为 有限条简单闭曲线) s 的三角剖分t 是s 的一个分划，分s 为彼此互不相交的有 限个子集，只有一个点的集合称为顶点，有内点的子集称为面，其余的称为边，并 满足： i 每个顶点是s 内的点； n 对于每一个边e ，存在一个同胚：( 0 ，1 ) 一e ，且可以扩张为【0 ，1 上的一个 连续映照，使得( o ) 和( 1 ) 为t 的顶点； n 每一个面，存在一个欧氏三角形q 和一个同胚妒：国一，且妒映q 的顶点 为t 的顶点，映q 的边为z 的边 进一步，称t 中的每一个元为一个单纯形，易见顶点的拓扑维数为0 ，边的拓扑维 数为1 ，面的拓扑维数为2 如果s + 为一个m 维的单纯形，定义s + 的欧拉特征 为x ( s + ) = ( 一1 ) ”，若s 0 为有限个单纯形s 】，昌的并集( 这些单纯形互不相 交) ，并设岛的拓扑维数为哪0 = 1 ，2 ，r ) ，那么规定s b 的欧拉特征为 ( s o ) = ( 岛) = ( 一1 严 2 l，= l 特别有( s ) = 口的面数) + ( t 的边数) 一口的顶点数) 易见，x ( e ) = 2 ，x ( d ) = 1 ( 这里 d 为一个开的或闭的非退化圆盘) 硕士毕业论文3 如果区域d 关于e 的余集由个互不相交的闭的拓扑圆盘轨，q 2 ，吼( 每 个圆盘的边界为一条闭的j o r d a n 曲线) 构成，即d 为k 连通的，那么 2 = ) ( ( e ) = x ( d ) + x ( 哂) = x ( d ) + k 3 = 1 于是d 的欧拉特征x ( d ) 与d 的连通度c ( d ) 之间有如下关系： x ( d ) = 2 一c ( d ) 1 1 5r i e m a n n 曲面 r i e m a n n 曲面是指一个连通的h o u s d o r f f 空间，加上一族 ( ，钿) ) ，满足下 列条件： i 每一个是w 上的开集，对应的是到开平面c 的开集z 。( ) 的拓 扑映照； i i 所有的组成w 的开覆盖，即w = u ； n 如果n 0 ，则映照 钮。z a _ 1 ：( n ) 一印( n ) 是一一解析的映照，即共形映照通常我们称族 ( ，) ) 为r i e x l m n n 曲面的复结 构 1 1 6 分支覆盖 设s l 与岛是两个r i e m a n n 曲面，解析映射f ：岛一是称为d 层分支覆盖 ( d o 。) ，如果对钆s 2 ，存在u 的领域w ，使得 i f - 1 ( m u 净，鱼( ，勺) 这里是u 的逆像，勘是勺的领域且v n v j = o ( i j ) ； 硕士毕业论文 4 i i 存在同胚九：一，c j ( z j ) = 0 ，奶：w a ，咖( u ) = 0 ，使得 奶。，o 九。z ) = z k j ； n b = d j = l b 称为，在点勺的局部度，如果b22 ，则称勺是，的分支点，此时b 又称为是 z j 的分支指标，b 一1 为分支点的重数，无分支点的分支覆盖为覆盖映射 1 2 复解析动力系统理论的介绍 整体的复解析动力系统的研究初创于第一次世界大战期间，p f a t o u 和g j u l i a 受n e t o w 迭代法以及m s b i u s 变换群子群的极限集的启发，产生了r i e m a n n 球面上 复解析动力系统的研究思想，两人独立地发表了相当数量的研究简报，此后又发 表了很长的学术论文j u l i a 的主要工作发表于1 9 1 8 年，f a t o u 的主要工作发表于 1 9 1 9 至1 9 2 0 年，当时他们运用新的正规族理论( 如m o n t e l 定理等) 于动力系统， 证明了一系列非凡、漂亮的结果，完成了复动力系统的奠基工作，形成了经典的 f a t o u - j u l i a 理论，在此后的5 0 多年间，该方面的研究工作进展不大上个世纪8 0 年代以来，随着电子计算机的迅速发展，这一领域又受到了广泛的关注，许多国际 上著名的数学家如a d o u d y ，j h h u b b a r d ，w t h u r s t o n ，i n b a k e r 和j c y o c c o z 等均在这一领域作出了杰出贡献，本节所介绍的主要是经典的f a t o u - j u l i a 理论 1 2 1 一个有理映射是指具有如下形式的函数 砟) = 器 其中p ( z ) 和q ( z ) 为互质多项式，我们定义有理函数r 的度，即d e g ( r ) 如下 d e g ( r ) = m a x d e g ( p ) ，d e g ( q ) 硕士毕业论文 5 其中d e g ( s ) 是多项式s ( z ) 的次数( s = p q ) 其意义即为平面上的一个点求逆像 的个数，倘若r ( z ) = c ( c 为有限复数或o 。) ，则我们规定其度即d e g ( n ) = 0 给定一 个关于z 的复系数有理映射r ( 。) ，我们考虑其动力系统r ：e e ，其中e = c u o 。) ， 记 r “= r o r o o r 、- - - - - - - - - 、，- - - - - - - 一 n 称r “为r 的n 次迭代，我们规定础( z ) = z 1 2 2 不动点及其分类 椰，加篓 硕士毕业论文 1 2 3 点循环及其分类 6 点( 称为是有理映射r 的一个周期点，如果它是r 的某次迭代r ”的不动 点，对于这样的( ，存在正整数n ，使得 ( ，r ( ) ，r n - i ( e ) 是相互判别的，但r ”( ( ) = ( ，点( ，r ( ) ，舻。( e ) 组成的有限集称为是点的 一个循环，正整数n 称为是( 的周期易见( r “) 在循环中的每一点均具有相同 的值，于是我们可以把上述对不动点的分类推广到对循环的分类上，也即有超吸 性循环，吸性循环和有理中性循环之分 1 2 4 临界点 点z 称为a ( z ) 的临界点，如果r ( z ) 在z 的任何领域内都不是单叶的，也即 r ( z ) 的零点及其r ( z ) 的重级极点( 如果有重级极点) 称为r ( z ) 的临界点，r 在 临界点的值称为临界值，r 的临界点的集合通常记为c k ，指的是i 占界点集c k 的向前轨道 倘若d e g ( r ) = d 2 ，则r 有2 d 一2 个i 临界点( 参见文献 1 ) 1 2 5 f a t o u 集和j u l i a 集 v z e ，点z 称为关于r 是正规的，如果函数序列 r “：n 1 ) 在z 的某 个领域内是等度连续的，r 的正规点的集合称为r 的f a t o u 集或稳定集，记为 f = f ( r ) ，它是e 中最大的正规开子集，f 的最大连通非空开子集称为它的分支或 稳定域，f 的余集记为j = j ( r ) = e f ( r ) ，称，为r 的j u l i a 集或不稳定集， 由定义可知 r ”：n 1 ) 在与j 相交的任何区域上均不正规 硕士毕业论文 1 2 6 向前不变与向后不变 设x 为一非空集合，g 为一有理函数且g ：x x ，e 为x 的非空子集 那么 i 如果g ( e ) = e ，则称e 关于g 是向前不变的 i i 如果g - 1 ( e ) = e ，则称e 关于g 是向后不变的； i i i 如果g ( e ) = e = g - 1 ( e ) ，则称e 关于g 是完全不变的 1 2 7 f ( r ) 与j ( r ) 的一些性质 性质1j u l i a 集是非空的即j ( r ) 0 性质2f a t o u 集和j u l i a 集是完全不变的，即r ( f ) = f = r _ 1 ( f ) ， r ( j ) = j = r - 1 ( l ，) 性质3 对于任意的自然数p ，r 与础具有相同的f a t o u 集和j u l i a 集 性质4r 的j u l i a 集j ( r ) 是至少含有三个点的最小完全不变闭集 性质5 有理映射r 的f a t o u 集f ( r ) 有0 ，1 ，2 或无穷多个分支 1 3 有理映照动力系统中的一些基本定理 1 3 1 覆盖映射的r i e m a n n - h u r w i t z 公式 7 定理a 2 0 批设f 0 和f 1 为有理函数r 的f a t o u 集f 的两个分支，且 r ：f o f l ，则存在正整数m ，使得r 是f 0 到f 1 的m 重覆盖映射且 x ( 昂) + 如( f o ) = m x ( f 1 )( 1 ) 其中x ( f o ) 和) ( ( f 1 ) 分别指f 0 和f 1 的欧拉特征，6 n ( f o ) 是指f 0 内的临界点 总数，上述( 1 ) 式称为r i e m a n n - h u r w i t z 公式 硕士毕业论文 1 3 2 s u l l i v a n 定理 8 在介绍s u l l i v a n 定理之前，我们先介绍如下定义 设r 为次数不小于2 的有理函数，n 是f a t o u 集f 旧) 的一个分支，则我们 称q 是 i 周期的，如果存在某个正整数n ，使得舻( q ) = q ； i i 预周期的，如果存在某个正整数m ，使得j p ( n ) 是周期的； i i i 游荡的，如果集合 r “( q ) ，n o ) 是两两互不相交的 早在上个世纪初，f a t o u 就猜想，对有理函数来说，不存在游荡的f a t o u 分 支这个猜想直到上个世纪8 0 年代s u l l i v a n 引进了有理函数的拟共形形变才获 得证明，即为如下定理： 定理b 洲2 0 】口4 ( s u l l i v a n 定理) f a t o u 集的每一个分支都是预周期的 1 3 3 f a t o u 集向前不变分支的五种可能性 定理c 舯】【2 4 1 ( 分类定理)设f 为有理映射r 的f a t o u 集，f 0 为f 的一 个向前不变分支，则f 0 为如下五种类型之一： i 吸性分支( b 6 t t c h e r 域) ，如果f o 中含有r 的吸性不动点 ； i i 超吸性分支( s c h r 6 d e r 域) ，如果岛中含有r 的超吸性不动点( ； i i i 抛物分支( l e a u 域) ，如果f 0 的边界0 f 0 上有r 的有理中陛不动点( ，且 对v z f o ，有r “( z ) 一( ( n 一。) ； i v s i e g e l 盘，如果r ：f 0 一昂解析共轭于单位圆盘到其自身的欧氏旋转； v h e r m a n 环，如果r ：f 0 一f o 解析共轭于某圆环到其自身的欧氏旋转 硕士毕业论文 9 1 3 4 点循环与j u l i a 集以及f a t o u 集之间的关系 在1 2 3 中，我们对点循环作了定义，而且还对该种循环作了分类，以下我们 将给出不同的循环与j u l i a 集、f a t o u 集之间的关系 定理1 3 4 1 【1 】 设r 为d e g ( r ) 22 的有理函数，则r 的每个有理中性循环 的每一点都在j u l i a 集j ( r ) 中 定理1 3 4 2 设r 为d e g ( r ) 22 的有理函数，则r 的j u l i a 集是r 的斥 性周期点集的闭包 易见，r 的吸性和超吸性循环的每一个点均在f a t o u 集f ( r ) 中，而对无理 中性循环而言，情况则较为复杂，它可能在f ( r ) 中，也可能在l ，( r ) 中，若该循环 落入f ( r ) 中，则称该循环中的点为s i e g e l 点，否则称为c r e m e r 点 1 3 5 花瓣定理 就有理函数r 而言，其在抛物点邻近的动力学性质也较为复杂，但是可以在 某种程度上刻画清楚，有如下的花瓣定理： 定理d i l l l 2 0 1 1 2 4 1 ( 花瓣定理) 设z = 0 为有理函数r 的有理中性不动点倘若 r 在z = 0 的附近具有如下展式 r ( z ) 一z ( 1 一n 矿+ ) ，n o ，s 1 则在不动点0 的附近，r 有s 个l e a u 域l l ，l 2 ，l 。，且在l k ( k = 1 ，2 ，8 ) 中 有r n ( n 1 ) 局部一致趋于0 ，每个l k ( k = 1 ，2 ，一，s ) 含有一个向前不变的吸性 花瓣p k ( k = 1 ，2 ，8 ) ，l k 或是单连通的，或是无穷连通的 硕士毕业论文 1 3 6 稳定域与临界点之间的关系 定理e ”】【2 4 】设r 为度d e g ( r ) 2 的有理函数 性) 循环的直接吸性域中至少含有r 的一个i 缶界点 定理f 【1 1 1 2 0 2 4 】 设r 为度d e g ( r ) 2 的有理函数 直接吸性域中至少含有r 的个临界点 1 0 则r 的每个吸性( 超吸 则r 的每个中性循环的 定理g 【1 1 1 2 0 1 1 2 4 l 设 n 1 ，f 1 2 ，) 为有理函数r 的一个s i e g e l 盘或h e r m a n 环循环，则瞄的闭包包含o f 2 j ( j = 1 ，2 ，q ) 定理h 【1 5 1 设r 为度d e g ( r ) = 2 的有理函数，则r 没有h e r m a n 环 1 4 本文的主要内容 本文主要研究一族含参有理函数的动力学性质，随着参数的变化，其动力学性 质也相应发生变化我们将分为四部分来介绍其内容，共有六个定理，定理1 和 定理2 在第二章中介绍，定理3 在我们的第三章，定理4 和定理5 在第四章，而 定理6 则作为我们的第五章 1 4 1 f a t o u 集只含有一个不变分支的有理函数 无理中性不动点可以属于f a t o u 集，也可以属于j u l i a 集，如果属于f a t o u 集则称这样的点为s i e g e l 点，否则则称为c r e m e r 点有理函数的无理中性不动 点是否属于f a t o u 集完全取决于该有理函数在这个不动点的充分小领域内是否可 线性化( 可参见文献【2 0 ) ，于是何时能局部线性化成为了一个至关重要的问题， 为此，我们有下述的s i e g e l 定理： s i e g e l 定理1 2 0 设a = e 2 ”i t ( t 为无理数) ，倘若存在正数6 和m ，使得对任 硕士毕业论文 意的自然数p 和q 有 i t - 轮毒 则对任意的在原点具有如下t a y l o r 展式的解析函数， y ( z ) = a z + a 2 2 2 + ，a = e 2 r i t ( t 为无理数) 它在原点附近可线性化，即存在( z ) = z + c 2 2 2 + ( c 2 为常数) ，使得o o _ 1 ( 。) = a o 有时我们称上述的不等式为s i e g e l 型的丢番图条件 定理1 设r ( z ) 。e 2 ”。f 南，其中t 为无理数，且满足s i e g e l 型丢番图条 件，则f ( r ) 有无穷分支，但仅有一个分支是不变分支( 记为d o ) ，而且对f ( r ) 的 任意分支d ，都存在自然数k ，使得r 2 ( d ) = d o 我们不禁会问定理1 的逆定理是否成立呢? 关于这方面我们有如下的结果： 定理2设n ( z ) 是次数为2 的有理函数，f ( r ) 有无穷多个分支，且存在 f ( r ) 的分支d o ，使n ( d o ) = d o ，若对任意的f ( r ) 的分支，相应存在自然数k ，使 得r ( d ) = d o ，则d o 一定为r 的s i e g e l 盘 1 4 2 一些有理函数其j u l i a 集为o 定理3 对有理函数 如果a 满足如下两个条件之一 剐沪志 i ( 4 a 2 + n + 4 ) 2 ) 2 + 4 a 3 ( a + 4 ) 2 = 0 且a 一1 i i 【( ( 4 a 2 + ( a + 4 ) 2 ) 2 + 4 a 3 ( a + 4 ) 2 ) 2 + 4 a 4 ( a + 4 ) 2 ( 4 a 2 + ( + 4 ) 2 ) 2 】2 + 4 a 5 ( a + 4 ) 2 ( 4 a 2 + + 4 ) 2 ) 2 ( ( 4 a 2 + ( a + 4 ) 2 ) 2 + 4 a 3 ( a + 4 ) 2 ) 2 = 0 且a 一4 ； 硕士毕业论文 则j ( r ) = e 1 4 3j u l i a 集相同的二次有理函数 在有理映照的动力系统理论中，若两有理函数可交换，则其j u l i a 集相同，以 下定理告诉我们反之未必成立 定理4 设乃：= 取( ：) = 万兰萍ia 1 ) ，则对姻 丑，t ，( 凡) = 【o ，o 。 此外，我们有如下定理： 定理5 若乃：= 地( z ) = 万竺嘉1 1 1 的几何有限有理函数，如果，的j u l i a 集j 是连通 的，那么j 是局部连通的) 知上述定理中的有理函数的j u l i a 集是局部连通的，从 而由乔建永在文【23 】中的结论知r 的j u l i a 集上有淹没点 硕士毕业论文 2 f a t o u 集只含有一个不变分支的有理函数 2 1 问题的提出及主要结果 1 4 s u l l i v a n 的终于周期性定理告诉我们，有理函数f a t o u 集的每一个分支都是 终于周期的，结合分类定理给出的五种判别稳定域分支类型，我们知道不同的稳 定域有着不同的周期循环一个自然的问题是对于度为d 的有理函数，其判别的 稳定域分支循环究竟会有多少呢? 如果不能给出确切的数值，那么能否给这样的 循环数找一个精确的界? s u l l i v a n 2 5 】证明了对于度为d 的有理函数，其判别的稳 定域分支循环数有上界8 ( d 一1 ) ，他猜测这样的上界可精确到2 ( d 一1 ) 利用拟共形 手术，s h i s h i k u r a 在上个世纪8 0 年代解决了这一猜想，他证明了如下的一些结 果为此我们先引入一些记号，记n 。( ，d ) 为，的位于d 中的临界点个数( 计算 重数) ，n 。d i f f ，n 。，。? 2 a r t ，分别表示中性循环数，超吸性循环数，吸性循环 数和无理中性循环数，用n 日r 表示h e r m a n 环循环数 定理2 1 1 5 】 设r 是任意的度为d 的有理函数，则 n 。( f 1 r ) + n i ，+ 2 n h r 2 ( d 一1 ) 由定理2 1 易见有如下的结论成立 推论2 1 设r 是任意的度为d 的有理函数，则 n s 哪r + ；q a t t r + n i n d i l y + 2 n h r 2 ( d 一1 ) 此即为s u l l i v a n 的猜想对h e r m a n 环，s h i s h i k u r a 也给出了一个上界， 即n h r d 一1 ，从而度为2 的有理函数就没有h e r m a n 环，此即我们前面的定理 h 事实上，对于f a t o u 集具有无穷多个分支的有理函数，其判别的稳定域分支 循环数有一个天然的下界0 ，但这样的下界显得过于粗糙，能否有一个更精确的 硕士毕业论文 1 5 下界呢? 对特殊的有理函数多项式而言，其下界可精确到2 即倘若p ( z ) 为多项 式，如果f ( p ) 有无穷多个分支，则f ( p ) 至少含有n - l 不同的稳定域分支循环， 也就是含有无穷远点的分支民以及一个有限的稳定域分支循环进一步，对一 般的f a t o u 集具有无穷多个分支有理函数，情形又如何? 本章找到了一族有理函 数，它们的f a t o u 集有无穷多个分支但只含有一个不变分支，即为我们的定理1 此外，还对其逆定理进行了探索 定理1设r ( z ) 2e 2 ”7 r = ，其中为无理数，且满足s i e g e l 型丢番图条 件，则f ( r ) 有无穷分支，但仅有一个分支是不变分支( 记为d o ) ，而且对f ( r ) 的 任意分支d ，都存在自然数k ，使得r o ( d ) = d o 定理2设r ( z ) 是次数为2 的有理函数，f ( r ) 有无穷多个分支，且存在f ( r ) 的 分支d o ，使r ( d o ) = d o ，若对任意的f ( r ) 的分支d ，相应存在自然数k ，使 得r o ( d ) = d o ，则d o 一定为r 的s i e g e l 盘 2 2 定理的证明 2 2 1 定理1 的证明 给定一个有理函数，当它具备什么条件时就会有s i e g e l 盘一直是一个热门的 话题，人们一直都在努力寻找其充分必要条件，但到目前为止，判断有理函数是否 有s i e g e l 盘的只有充分条件，仅有极少数特殊类型的函数才具有充要条件判断 有理函数是否有s i e g e l 盘的充分条件很多，这里我们仅对s i e g e l 定理进行介绍 无理中性周期点可以属于f a t o u 集，也可以属于j u l i a 集如果属于f a t o u 集 则称这些点为s i e g e l 点，否则则称为c r e m e r 点无理中性周期点是否是s i e g e l 点将归结为有理函数在该点能否局部线性化，于是何时能局部线性化成为了一个 至关重要的问题，为此，我们有下述的s i e g e l 定理在介绍该定理之前，我们先 定义一个s c h r s d e r 函数方程 硕士毕业论文 1 6 设( z ) 在z = 0 附近全纯且具有如下展式 y ( z ) = a z + a 2 2 2 + ，其中 0 我们称方程 妒。，= a 妒 为s e h r 6 d e r 函数方程，其中v ( z ) = 。+ c 2 2 2 + s i e g e l 定理【2 q倘若存在正数6 和m 使得对任意的自然数p 和q 有 i t - 轮嘉 ( 2 ) 则对任意的函数 f ( z ) = a z + a 2 2 2 + ， = c 2 1 r i t ( 其中t 为无理数) s c h r 6 d e r 方程有解 有时我们称条件( 2 ) 为s i e g e l 型丢番图条件，我们可以证明对几乎所有的 t ( o ，1 ) ，都有s i e g e l 型的丢番图条件成立( 可参阅参考文献【1 ) 由s i e g e l 定 理我们还可以看出，如果用有理数去对无理数进行逼近，当逼近程度不好时便有 s i e g e l 点 定理1 的证明：由r ( z ) = z ，得r 的不动点为0 , 1 + 、，伊而和l 一、孕丽，由于 1 为r 的重级极点，所以1 为n ( z ) 的临界点，由r 弘) = 0 得r 的另外一个临 界点为一1 ，因为r ( z ) 2e 2 “高且满足8 1 e g e l 型丢番图条件，所以f ( r ) 在0 点有s i e g e l 盘d o 事实上f ( r ) 有无穷多个分支，这是因为r 在s i g e l 盘d o 上 是单射，从而r 一- ( d o ) 至少有一个异于d o 的分支，记为d - 相应地r - 1 ( d ) 也 至少有一个异于d 1 的分支，若不然，则有r - 1 ( d 1 ) = d 1 ，从而r ( d 1 ) = d 1 ，这 是不可能的记r 一1 ( d 1 ) 的异于d 1 的分支为d 2 ，则f ( r ) 有三个不同的分支， 因此f ( r ) 有无穷多个分支 硕士毕业论文1 7 记f ( t i ) 内的临界点个数为n c ( f r ) ，r ( z ) 的无理中性循环数和h e r m a n 环循 环数分别为n 和n h r ，由于d e g ( r ) = 2 ，所以n h r = 0 ，易见0e f ( n ) 由于 r 2 ( 1 ) = 0 ，则le f ( r ) ，故7 1 , c ( f r ) = 1 从而由定理2 1 知，n 。s1 ，所以f ( r ) 仅 有一个s i e g e l 盘循环，且d o 为f ( r ) 的不变分支，由s u l l i v a n 定理，对于f ( r ) 的 任意分支d ，都存在自然数k 使得r o ( d ) = d o ，定理1 证毕口 由于r ( 。) = 0 ，所以定理1 中的f a t o u 集的不变分支d o 是有界的，且在定 理1 中，若取扛! ：；，则r 在原点有s i e g e l 盘 2 2 2 定理2 的证明 定理2 的证明：显然f ( r ) 仅有一个稳定域分支循环( 该循环仅有一个分支 d o 所组成) 且r 仅有两个i f 缶界点因为r ( d o ) = d o ，所以由定理c 即分类定理 知d o 为如下五种类型之一： ( i ) h e r m a n 环；( i i ) s i e g e l 盘；( i i i ) 超吸性域；( i v ) 吸性域；( v ) 抛物域 因为d e g ( r ) = 2 ，所以由定理h 知d o 一定不是h e r m a n 环倘若d o 为超 吸性域、吸性域或抛物域，则由定理e 和定理f 知d 0 中至少含有一个临界点， 所以r ：d o d o 至少为二重覆盖映射，又因为d e g ( r ) = 2 ，从而d o 为r 的完 全不变分支这是不可能的( 因为f ( r ) 有无穷多个分支，且对任意的f ( r ) 的分支 d ，相应存在自然数k ，使得r k ( d ) = d o ) ，故风一定为r 的s i e g e l 盘，定理2 证毕口 由定理2 的证明我们可以看出，有理函数r 的度为2 起了至关重要的作用， 这是二次有理函数特有的性质，对于次数大于2 的有理函数则结论可能一般不成 立 硕士毕业论文1 8 3 一些有理函数其j u l i a 集为e 3 1 引言及主要结果 在介绍本章内容之前，我们先来看看关于两有理函数共轭的概念及其一些相 关的性质，在以下讨论中r 和s 均指有理函数 定义3 1 1 】r 和s 共轭当且仅当存在m 6 b i u s 变换g 使得s = g 。r o g 由共轭的定义，易见有如下一些性质成立 性质1倘若r 和s 共轭，则有d e g ( n ) - - - - d e g ( s ) 性质2 设r 和s 共轭，即存在m 6 b i u s 变换g ，使得s = g 。r 。g - ，则 有s “= 9o r “o q 性质3 倘若r 和s 共轭，则s 以g ( 。) 为不动点当且仅当r 以。为不动 点 由上述的性质2 易见，共轭的两函数r 和s 具有相同的动力学性质，所以如 果我们想了解r 的动力学性质而又难以研究时，可以考虑其共轭函数s ，以此来 达到研究r 的目的 在动力系统的研究中，对f a t o u 集和j u l i a 集结构的研究是一个极其重要的 方面，由于j u l i a 集一般呈分形的结构，所以较为复杂，极难刻画j u l i a 集是非 空的，它或为整个l c t i e m a n n 球面或者具有空的内部，早在1 9 1 8 年，l a t t b s 就 找到了一个j u l i a 集为o 的有理函数，即 pz ，= 等等 他利用w e i e r s t r a s s 椭圆函数的性质来对此进行了证明另外一个j u l i a 集为e 的 有理函数是q ( # ) ：( 三) 2 ，由上述共轭函数的性质我们知道，与p ( ：) 共轭的 有理函数，其j u l i a 集为e