（信号与信息处理专业论文）基于idctdct域的全相位数字滤波和图像内插.pdf

中文摘要 本文将i d c t d c t 和全相位思想结合起来研究数字滤波和图像内插问题。 本文把基于d f t 、w h t 、i d c t 和d c t 域的全相位滤波器( a p d f ) 设计 公式纳入到一个统一的框架中，在原有基于正交变换域a p d f 的设计公式的基 础上得出了逆过渡矩阵g 。1 的表达式。基于正交域的a p d f 设计方法可以统一 起来，加窗方法和不加窗方法也能实现统一。这是通过过渡矩阵g 和逆过渡矩 阵g 。实现的。在全相位滤波器设计理论的基础上，本文证明了基于i d c t d c t 域的a p d f 有零相位特性和子带互补特性。 为了使基于i d c t d c t 域的a p d f 应用于实际，本文提出了三种快速实现 结构，它们都能实时地调节滤波器频率响应，可用于列率域自适应滤波等需要 实时改变滤波器响应的场合。在列率域直接实现结构中充分利用了全相位数据 空间的时移特点和i d c t d c t 的递推性质，推导了由输入数据计算i d c t d c t 的递推算法，适用于连续数据流的场合。在时域等价结构和列率域等价结构中 利用了过渡矩阵变换的表达式，列率域等价结梅尤其适用于窄带滤波的场合。 在一般情况下，时域等价结构的计算复杂度是最低的。 为了改善直接基于i d c t d c t 域设计的a p d f 幅频特性，本文推导了 i d c t d c t 域加窗a p d f 的设计公式。实验表明，无论在i d c t 还是在d c t 域， 加凯塞窗都能使滤波器达到相对而言最好的幅频特性。在相同的频率采样点数 的情况下，i d c t d c t 域加凯赛窗( = 3 2 ) a p d f 的幅频特性较频率采样法设 计的f i r 低通滤波器其通带、阻带更平坦，过渡带更窄。 本文分析了基于i d c t 域设计的菱形半带滤波器在应用于图像采样栅格转 换时的内插特性。将一维傅立叶特性分析方法扩展到二维可以得出：在有预滤 波的情况下，阶数较大的内插滤波器有较好的内插结果，滤波器很好地保持了 边缘，但对图像的纹理部分内插效果稍差一些。 作为d c t 和仝相位思想的结合，本文构造了基于d c t 域的可分离内插函 数，这是一族由余弦函数组成的内插核函数。为= 广实时应用，本文提出了查找 表实现方法。实验表明，采用不同阶数的仝相位d c t 域町分离内插函数，都能 够达到优于6 6 的立方内插的图像质量。 作为刘内插器性能评价准则的研究，本文定义了连续消失矩曲线，它比传 统的基于核函数的傅立叶特性评价方法能更好地解释实验数据。 关键词：i d c t d c t a p d f ；快速实现结构；加窝i d c t d c t a p d f ；采样栅格 转换；基于d c t 域的可分离内插函数：连续消失矩曲线 a b s t r a c t i d c t d c ta n da l lp h a s ep h i l o s o p h ya r ei n t e g r a t e di nr e s e a r c ho nd i g i t a l f i l t e r i n ga n di m a g ei n t e r p o l a t i o n f i r s t l y ，t h ed e s i g nf o r m u l ao fa l lp h a s ed i g i t a lf i l t e r ( a p d f ) b a s e do nd ft w h t , i d c ta n dd c ta r eu n i f i e di no n ef r a m e ，a n db a s e do nt h ee x i s t e dt h e o r yo f a l lp h a s ed i g i t a lf i l t e r i n g ，t h ef o r m u l ao fi n v e r s et r a n s i t i o nm a t r i xg i sd e r i v e d t h e nt h r o u g ht h et r a n s i t i o nm a t r i xga n dt h ei n v e r s et r a n s i t i o nm a t r i xg ，t h e d e s i g nm e t h o do fa p d fb a s e do nd f zw h 正i d c ta n dd c t i su n i f i e d ? a l s ot h e d e s i g nm e t h o do f a p d fa n dw i n d o w e da p d f i su n i f i e d s e c o n d l y , t of i n dt h es u i t e da p p l i c a t i o n ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so fa p d fb a s e do n i d c t d c ta r ed i s c u s s e d z e r o p h a s ea n ds u b b a n df i l t e r i n gw i t hc o m p l e m e n t a r y a r et w oc h a r a c t e r so f a p d f t h i r d l y , t op u tt h ea p d fb a s e do ni d c t d c ti n t op r a c t i c e ，t h r e ef a s t r e a l i z a t i o n sa r ep u tf o r w a r d t h ea m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e f i l t e ra l lc a nb et u n e di nr e a lt i m e ，a n da r ee s p e c i a l l ys u i t e di na d a p t i v ef i l t e r i n g w h e r et h er e s p o n s eo ff i l t e ri sc h a n g i n gi nr e a lt i m e t h er e c u r s i v ef o r m u l ao ft h e d c t i d c to fa l lp h a s ei n p u td a t as p a c ei sg i v e ni nd i r e c ts e q u e n c yf i e l dr e a l i z a t i o n ， a n dt r a n s i t i o nm a t r i xi sa l s og i v e ni nt i m ea n ds e q u e n c yf i e l de q u i v a l e n c er e a l i z a t i o n d i r e c ts e q u e n c yf i e l dr e c u r s i v er e a l i z a t i o ni se s p e c i a l l ys u i t e di nc o n t i n u o u sd a t a p r o c e s s i n g ，a n ds e q u e n c yf i e l de q u i v a l e n c er e a l i z a t i o ni se s p e c i a l l ys u i t e di nn a r r o w b a n df i l t e r i n g i nm o s tc o n d i t i o n ，t h ec a l c u l a t i o n c o m p l i c a t i o no ft i m ef i e l d e q u i v a l e n c er e a l i z a t i o ni st h el e a s t f o u r t h l y , t oi m p r o v et h ea m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c so fa p d f b a s e do i li d c t d c t , t h ed e s i g nf o r m u l ao fw i n d o w e da p d fb a s e do ni d c t d c t i s d e r i v e d e x p e r i m e n t ss h o wt h a t w h e n u s i n g t h ew i n d o wo fk a i s e rb e t t e r a m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s e c h a r a c t e r i s t i c so fa p d fa r ea c h i e v e d o nt h e c o n d i t i o no fu s i n gt h es a m en u m b e ro ff r e q u e n c ys a m p l e s ，t h ea m p l i t u d ef r e q u e n c y r e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c so fk a i s e rw i n d o w e da p d fb a s e do ni d c i 、d c ti sb e t t e r t h a no ff i rd i g i t a lf i l t e rd e s i g n e db yf r e q u e n c ys a m p l i n gm e t h o d f i f t h l y ，t h ei n t e r p o l a t i o nc h a r a c t e r so fd i a m o n dh a l fb a n df i l t e rw h i c hd e s i g n e d b a s e do ni d c ta p p l i e di ns a m p l i n gs t r u c t u r ec o n v e r s i o na r ed i s c u s s e d f o u r i e r a n a l y s i sm e t h o di se x t e n d e dt o2 - d i ts h o w st h a th i g h e ro r d e rc a na c h i e v eb e t t e r i n t e r p o l a t i o nr e s u l t s ，a n dt h ei n t e r p o l a t o rk e e p st h ee d g e sw e l lb u tk e e p st h et e x t u r e w o r s e s i x t h l y , a sag o o di n t e g r a t i o no fd c ta n da l lp h a s ep h i l o s o p h y , af a m i l yo f s e p a r a b l ei n t e r p o l a t i o nk e r n e l ，w h i c hi sc o n s t r u c t e db yc o s i n ef u n c t i o n ，i sp u t f o r w a r d l o o k - u pm e t h o di st h e nd i s c u s s e df o rr e a lt i m er e a l i z a t i o n t h es u b j e c t i v e a n do b j e c t i v ee x p e r i m e n t ss h o wt h a tb e t t e r i m a g eq u a l i t yi so b t a i n e db yu s i n g i n t e r p o l a t i o nk e r n e lp r o p o s e dt h a nb yu s i n g6 6c u b i ci n t e r p o l a t i o nk e r n e l a n dt h e c o n t i n u o u sv a n i s hm o m e n tc u r v ed e f i n e dc a ne x p l a i ne x p e r i m e n t a ld a t ab e t t e rt h a n a m p l i t u d ef r e q u e n c yr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c so f t h ek e r n e lo fi n t e r p o l a t i o n k e yw o r d s ：i d c t d c ta p d f ；f a s tr e a l i z a t i o n ；w i n d o w e da p d f ；s a m p l i n g s t r u c t u r e c o n v e r s i o n ；s e p a r a b l ei n t e r p o l a t i o nk e r n e lb a s e d o nd c t ；c o n t i n u o u s v a n i s hm o m e n tc u r v e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：艇缘甬 签字日期： 2 口。占年7 月z 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：走缘砀 导师签名： 5 爰配乏 签字日期：2 。6 年7 月2 日 签字日期：伽( 年7 月v 日 第一章绪论 第一章绪论 本文从i d c t d c t 变换和全相位思想结合的角度研究数字滤波器设计和相 关的数字滤波问题。图像内插从某种意义上来说是一种低通滤波，是一种具体 的数字滤波操作。本章将从两个层面对数字滤波技术进行综述：其一是一维f i r 滤波技术的发展，关于二维数字滤波技术将在第七章介绍；其二是i d c t d c t 变换和重叠思想在数字滤波中的应用。而关于内插技术的综述，放在讨论内插 的章节中。 1 1 数字滤波器设计方法的历史回顾 在数字信号处理( d s p ) 系统中，数字滤波器起到了十分基础的作用 【i 】【2 1 【3 】。它对模拟滤波器的取代具有重要意义，因为数字滤波过程可以通过 编制计算机程序来完成而不必依赖于电子硬件。数字滤波器最初是采用和模拟 滤波器相同的分析性设计方法。分析性设计技术需要较小的计算量，然而所设 计的滤波器仅限于经典的无限脉冲响应滤波器( i i r ) ( 巴特沃斯、契比雪夫或 椭圆滤波器) 。而且，经这种滤波器滤波后的信号存在着严重的相位失真。因此 许多设计方法涉及到采用均衡器以减小相位失真，或者同时优化幅值误差和群 延迟误差。这种思路不太实用，因为方法本身涉及到高阶的非线性方程【4 1 。 随着d s p 领域的发展，f i r 滤波器发展起来。最广泛应用的f i r 滤波器是 线性相位滤波器，这种滤波器不存在相位失真。然而在相同阶数的情况下，f i r 滤波器的频响要差于i l r 的频响。换句话说，要达到同样的频响特性。f i r 滤 波器需要更高的阶数。然而由于数字滤波器价格低廉，使得人们不太关注f i r 滤波器的这一缺点。f i r 滤波器的设计大致可分为两大类：一类是可得到关于 滤波器系数的封闭表达式的方法。窗函数法和频率采样法均属于此类。而另一 大类是数值优化的方法，p a r k s m c l e l l a n 设计方法即属于此类【1 】。在设计方法 的发展过程中，f i r 滤波器的设计问题是首先由加窗解决的，滤波器的单位脉 冲响应由理想频响和有限长度窗函数相乘得到。另一方面，尽管这样能得到与 理想频响近似的频率响应，但需要远大于滤波器长度的频率采样点数，靠加窗 截取单位脉冲响应改善纹波，不仅牺牲了过渡带频率特性，也使频率采样点的 上的响应失去控制【5 】。窗函数设计法是从时域出发的一种设计方法，但一般设 计指标是在频域中给出的，因此，频率采样法更为直接，尤其是对于滤波器频 响公式较复杂，或其不篚用封闭公式表示而用些离数值表示时，其优势更为 天津大学博士学位论文 明显。这种方法是对滤波器的频响函数在频域内n 点等间隔采样，再对这n 点 值进行i d f t ，从而得到滤波器的单位脉冲响应。虽然频率采样法能精确实现采 样点的频率响应，但需要插入过渡点以改善纹波，截止频率不易控制，过渡点 也需要优化设计【5 】，通带、阻带误差也不易控制。设计所得到的滤波器是次优 的，因为在满足或超过滤波器特性的前提下，有其它滤波器设计方法可以找到 更小的滤波器长度n 值i l 】。另一大类f i r 滤波器设计方法是把滤波器设计看成 一个优化问题，代价函数通常是理想频响和设计频响之间的误差的函数。最常 用的代价函数是按均方根和契比雪夫准则( 绝对值的最大值) 的幅值、相位、 或群延迟误差。最小均方根误差的设计问题用线性代数中的最小平方技术比较 容易得到解决，而契比雪夫问题比较难解决。契比雪夫滤波器设计问题和应用 数学领域中的最佳逼近问题类似。在研究契比雪夫滤波器设计问题的时候，实 函数的最佳逼近发展得比较成熟，已有了雷米兹最佳逼近算法【6 】。线性相位滤 波器的传递函数可以看成是一个实函数。然而对于非线性相位和复数滤波器， 契比雪夫设计仍然是一个困难的问题。而且，即使是用契比雪夫方法设计f i r 线性相位滤波器，也不能精确控制特定频率点上的响应，而且设计过程复杂。 若希望既不插入过渡点，也不增加频率采样点，在改善纹波的同时，保持采样 点的频率响应不变，这是传统的滤波器设计理论难以解决的问题。 1 2 正交变换的引入 由于本论文的工作将滤波器的设计扩展到傅立叶变换域以外的正交变换 域，因此有必要先回顾正交变换的概念及其发展，而本文所研究的1 d c t 和d c t 域是论述的重点。 正交变换是数字信号处理的重要工具。正交变换总的可分为两大类：即非 正弦类正交变换和正弦类正交变换【2 】。前者包括w a l s h - h a d a m a r d 变换( w h t ) 、 h a r r 变换( h r t ) 及斜变换( s l t ) 等，后者包括离散傅立叶变换( d f t ) 、离散余弦 变换( d c t ) 、离散正弦变换( d s t ) 等。由于傅立叶变换有明确的物理意义， 其变换域反映了信号包含的频率内容因此傅立叶变换是信号处理中最常用的 变换。然而其它正交变换有其各自的理论研究背景、优势和应用领域。一般来 说，各种正交变换都能在不同程度上减少随机向量x 的相关性，从而有利丁信 号的处理，这是正交变换的本质作用。d f t 虽然不是全部地，但是有去掉数据 相关性的倾向；k l t 完全去掉了数据的相关性，而d c t 则很接近于k l t 7 】 ( k a r h u n e n l o e v et r a n s f o r m ) 。当引入了广义频率即列率【7 1 的定义后，非正弦 类正交变换和正弦类正交变换就可以在同一框架f 进行研究。在所有的非正交 变换中生命力最强的是w h t 。虽然它的性能不如正弦类变换，但它既具备某 第一章绪论 些正弦类变换的特点，又由于不需乘法而易于硬件实现，因而被广泛应用。正 弦类变换一般具有快速算法。只有快速变换，即那些具有快速算法的正交变换 才能在实际问题中得到应用【8 】。总的来说，无论是在滤波、编码等方面或是在 便于理论分析方面，正弦类变换均远较非正弦类变换优越。随着计算机技术和 v l s i 工艺的发展，非正弦类变换易于实现的优势正逐渐减退，正弦类变换的研 究仍是研究的重点。由于本论文所论述的是在i d c t 域和d c t 域中的数字滤波 器的设计，因此有必要先引入d c t s 的定义。 按照w a n g 9 的定义，有四种离散余弦变换： ( 1 ) d c t i ； 【咄。k = 寺”【。酬m 矿n t ) 】 m ，押= 叭一，； ( 2 ) d c i - i i ； 蜉卜( 护 【四】。= ( 争“2 ( 4 ) d c t - i v ： 【c r 】册 = ( 秽2 c m + 扣+ 扣 m ，n = 0 , 1 ，n l ； m ，刀= 0 , 1 ，n 一1 ； m ，疗= 0 ，l ，n l ； 这里，k = l ，如果j o - _ 勃v ；k ，= ，如果j = o 或 。 2 d c t - i i 首先是由a h m e d ，n a t a r a j a n ，和r a o 1 0 提出的。显然，d c t - i i i 是 d c t - i l 的转置，d c t - i v 是d c t - i 的移位变形。本论文的研究都是基于d c t - i i 和d c t - i i i 的( 为简明起见，在论文中以下的章节称d c t 和i d c t ) 。 d c t 的提出，在很大程度上是为了寻找一种既有快速算法，又在对m a r k o v 过程解相关方面最接近统计最优变换k l t 。d c t 是正交的和可分的。前者表明 信号的能量被保存于其在d c t 域的映射。而后者表明多维d c t 能由一系列的 维d c t 变换实现，这。性质决定了维d c t 的快速算法能直接扩展到多维 挲一 字一 天津大学博士学位论文 变换。在应用方面，d c t 的实现首先在板级实现，进而由通用d s p 芯片实现【l l 】， 同时，基于d c t 的图像压缩板和多处理器工作站发展起来【1 2 】。后来又有了专 用v l s i 芯片去实现在视频工作频率下的d c t 标准组织( c c i t t , c c i r ，i s o ) 将d c t 作为远程会议、可视电话、渐进图像传输、高清晰度电视信号数据压缩 的一个主要成分。d f t 因为它有基本的频率分解能力和简单的卷积乘法特性， 因而在d s p 领域占重要地位，而另一方面，d c t 因其有有效的带宽缩减能力， 在数据压缩方面极占优势。d c t 在图像、语音数据压缩编码，抽取和内插，正 交镜像滤波器、转复用器、h d t v 图像编码，表面纹理分析，渐进图像传输等 方面得到了广泛的应用【1 3 】。不需要精读技术理论的发展就可知道，在d f t 之 后，d c t 是最广泛应用的正交变换。至今，d c t 仍是研究热点。【1 4 1 5 1 6 1 7 是对d c t 快速算法和实现结构的研究。因为目前处于应用的编码技术都是基于 d c t 的，因此基于d c t 域的编码、以至转换编码中的新算法比较多【1 8 】【1 9 】【2 0 】， 这是应用d c t 的数据压缩能力。另外，d c t 还用于图像特征提取【2 l 儿2 2 1 。关 于基于d c t 的数字滤波将在下文1 4 节中作出具体的讨论。关于基于d c t 的 抽取和内插将在第八章中作出具体的讨论。 1 3 重叠思想的应用及全相位概念的提出 重叠思想的应用之一是m a l v a r 针对块信号处理提出的重叠正交变换 【2 3 1 1 2 4 2 5 】( 1 a p p e do r t h o g o n a lt r a n s f o r m ：l o t ) ，它是为了解决图像和语音编码 中的块效应而提出的。用d c t 作图像压缩是将一幅大的图像分成8 x 8 或1 6 x 1 6 的块分别实现的。由于截断而产生的块效应在重建的图像上表现为较明显的 方格，在重建的语音信号中则表现为周期性的噪声。重叠正交变换包含了相邻 块的d c t ，使得这种正交变换的基函数具有由中间向边界逐渐衰减的特性。这 使l o t 在低比特率的图像和语音编码中能有效抑止边界不匹配误差。m a l v a r 指出，l o t 等价于一个有效的正交镜像滤波器组，其分析和综合滤波器有相同 的f i r 响应 2 6 1 。重叠思想在数字信号处理中运用十分广泛。 以重叠变换在数宁滤波中的应用为例，【2 7 1 1 2 8 1 是重叠正交变换在滤波器组 中的应用，【2 9 1 将重叠变换引申到阿达马变换，【3 0 将重叠变换应用于白适应滤 波中。 此外，重叠相位思想隐含在窗函数的构造中 3 1 3 2 1 3 3 。如果仔细观察常 见窗函数的频率表达式，则可以看到，它和伞相位滤波思想有类似之处。设窗 长度为n ，且关于( 一1 ) 2 对称，则矩形窗的频率响应为【3 1 - i w r ( e ，。) = 刀h ( 月) 】_ w r ( m ) e 1 丁。 第一章绪论 而汉宁窗的频响可表示为 纾( p 。) = 用1 f ( 一) 】 = 0 5 ( c o ) + 0 2 5 1 w r c 一函堋+ 函胪争 = ( ) p 1 r 由此可见，汉宁窗的频响相对于矩形窗的频响，其相位没有发生变化，而 其幅度函数是矩形窗幅度函数的加权移位和。不难发现，哈明窗、布莱克曼窗 的频响表达式也隐含着类似的规律。 全相位思想也可说是一种重叠思想的应用【5 】。对于分段长度为n 的时间序 列中的一点x ( n ) ，存在也只存在个( n 1 ) 包含该点的具有不同截取相位的 数据向量。例如，若将信号时间序列分段为长度为n = 8 的信号序列段，则有8 个数据段包含信号时间序列中的一点x ( n ) ： i ( n ) x 时1 ) x ( n + 2 ) x ( n + 3 ) x ( n + 4 ) x ( n + 5 ) x ( n + 妨x ( n + 7 ) x ( n - 1 ) i ( n ) x ( 叶1 ) x ( n + 2 ) x ( n + 3 ) x ( 叶4 ) x 5 ) x ( n + 6 ) x ( n - 2 ) x ( n - ol ( n ) x ( n + 1 ) x ( n + 2 ) x ( 1 l + 3 ) x ( n + 4 ) x ( i l + 5 ) x ( n - 3 ) x ( n 2 ) x ( n - 1 ) i ( n ) x ( n + 1 ) x ( n + 2 ) x ( n + 3 ) x ( n + 4 ) x ( n - 4 ) x ( n - 3 ) x ( n - 2 ) x ( n - 1 ) i n ) x ( n + dx ( 1 l + 2 ) x ( 叶3 ) x ( n 5 ) x ( n - 4 ) x ( n - 3 ) x ( n - 2 ) x ( n - i ) q n ) x ( n + t ) x ( 2 ) x ( n - 6 ) x ( n 5 ) x ( n - 4 ) x ( n - 3 ) x ( n - 2 ) x ( n - 1 ) x ( ) x ( 1 l + i ) x ( n - 7 ) x ( n - 6 ) x ( n 一5 ) x ( n 4 ) x ( n - 3 ) x ( n 2 ) x ( n - i ) i ( n ) x ( n ) 在第k 个数据段中的位置是k ( k - l 2 ，8 ) ，因此，x ( n ) 将遍历数据段 中的所有时刻。全相位滤波是将每段n 个输出结果中对应x ( n ) 的输出的算术平 均作为系统输入为“n ) 时的输出，因此，全相位变换域滤波的本质是输入信号 在变换域滤波的加权平均。为表达简明，论文中在以下的章节称用全相位方法 设计的滤波器为a p d f ( a l lp h a s ed i g i t a lf i l t e r ) 。 1 4 在d c t 域内滤波的研究 为了使d c t 变换在数字滤波域中得到充分发挥，研究基于d c t 的数字滤 波需要解决以下问题：由于在很多场合要避免波形失真，基于d c t 的数字滤波 器需要具有线性相位：尽量地减小数字滤波的方块化效应；以及有好的快速算 法以减少所需计算量及简单的硬件实现结构。 天津大学博士学位论文 d c t - l i 的卷积特性最初是由c h e n 和f r a l i c k 3 4 得到的。对于任意可分的 变换，这种卷积特性可以扩展到多维。一些在d c t 域对图像进行滤波的例子由 图卜1 表示。c h e n 和f r a l i c k 采用了图1 1 的结构，在框图中选择了高通滤波 器，得到了锐化的图像( 高频细节) ，而没有边缘效应。边缘效应是图像块的 d f t 滤波的缺点，因为信号或图像经d f t 后具有隐含周期性。文献【3 5 】认为， d c t 域滤波在处理信号边沿时要优于d f t 这可能是因为，在处理边沿时，变 换的隐含对称性比隐含周期性更为重要。这说明d c t 域滤波比d f t 滤波更能 克服吉布斯效应。 图l l 直接d c t 域图像滤渡 n g a n 和c l a r k e 研究了在d c t 域对图像进行低通滤波【3 6 】。d c t 滤波器由 基于二阶t s c h e b y s h e v 和椭圆滤波器实现，并由二维的b u t t e r w o r t h 滤波器去修 正。在已滤波的图像的后处理的过程中，5 0 的重叠用于减小块效应。这说明 减小块效应是在正交变换域设计滤波器的一个需考虑的重要因素。文献中所提 出的方法的信号处理流程如图1 2 所示( 图1 1 和1 2 中c ( 2 ) 代表在d c t 域里 的映射) 。 a 黼定滤波响应 b ) 较为复杂的基于d c t 域的低通滤波 图i - 2 d c t 域圈像滤波 上面介绍的研究至少有以下不足之处：首先，所讨论的d c t 域滤波一般不 具有线性相位特性。其次，信号处理流程较复杂，且还不成为一种系统的滤波 第一章绪论 器设计方法。后来，【3 7 也实现了基于d c t 域的线性滤波，但用的是级联结构， 比较复杂。【3 8 - 4 2 1 是基于d c t 系数，即压缩域的滤波。【4 3 4 4 是基于d c t 域的自适应滤波。【4 5 】是基于d c t 的线性相位仿酉滤波器组的研究。由上面的 分析可以知道，基于d c t 具有线性相位的经典时域滤波的研究并不多。 和本文的工作最为相关的研究有以下的发展过程：文献 4 6 1 提出了重叠数 字滤波器的概念和其在频域中的实现，这是为了克服图像处理中的方块化效应。 文献【4 7 】将重叠滤波的概念扩展到d c t 域，但并未对其作更迸一步的研究。文 献( 4 8 】【4 9 】【5 0 】对重叠滤波器做了较深入的研究。文献 5 5 q 1 5 2 5 3 对d f t 域 内的数字滤波器的设计、实现和应用做了较为深入的研究。其中，文献【5 】提出 了全相位的概念。文献 5 q 给出了全相位d f t 滤波器的直接频域网络结构。文 献 5 2 1 给出了全相位d f t 滤波器的一种等价结构。文献 5 3 1 给出了全相位加窗 d f t 滤波器的设计。另外，文献【5 4 1 用全相位d f t 滤波器设计了半带滤波器用 于构造两通道完全重构正交镜像滤波器组。文献i s 5 将全相位d f t 滤波器用于 谱分析中。文献【5 6 】【5 7 】将全相位思想用于自适应滤波算法中。以上提到的文献 都是在d f t 域的研究。 由前面的讨论可知i d c t d c t 是数字信号处理中最有效的工具之一，而重 叠或全相位思想又是一种好的信号处理的思想。但对于全相位思想和 i d c t d c t 的结合是否是一种好的数字滤波方法这一问题，并不能简单地得出 结论。它有什么和全相位思想与d f t 结合相类似的好的性质，又有什么独特的 应用，这也是需要探求的问题。仅有文献【5 8 】提出了离散余弦数字滤波器的设 计方法，但对其性质、应用等还未进行充分的探讨。 综上所述，传统的滤波器设计方法具有难以克服的局限性。而正交变换有 其好的性质和快速实现算法，d c t 本身具有隐含对称性，重叠思想又能有效地 克服信号处理中的方块效应。现有的基于d c t 域的滤波的研究还不充分，因此 将全相位思想和i d c t d c t 相结合去讨论数字滤波，是一个值得研究的问题。 1 5 本论文的组织 本论文的组织线索是这样的： 第二章是全文的理论基础，将全相位f i r 数字滤波器的设计方法纳入到一 个统一的框架内，得出了基于d f t 、w r i t 、1 d c t 、d c t 域的封闭的滤波器系 数的表达式。所设计的滤波器足零相位滤波器，没有相位延迟，其幅频特性也 较窗函数法和频率采样法有所改进；设计方法又较契比雪夫滤波器设计方法简 单。其中过渡矩阵g 和逆过渡矩阵g 。的表达式使得滤波器的列率响应和滤波 器的单位脉冲响应建奇= 了联系。 天津大学博士学位论文 要把基于i d c t 和d c t 域设计的a p d f 易于硬件实现，就需要研究滤波器 的快速实现结构。快速实现结构的提出需要充分利用i d c t 和d c t 变换的性质。 这是论文第三章的研究内容。 实验表明，直接基于i d c t 和d c t 域设计的a p d f 其频率响应并不理想。 这就需要对滤波器加窗以改善其滤波性能。在第四章里推导了i d c t d c t 的加 窗a p d f 的封闭表达式，具体讨论了加各种窗函数的滤波器性能，并将基于 i d c t d c t 的加窗a p d f 和用传统窗函数和频率采样法设计的滤波器的幅频特 性进行了比较。 第五章说明了各正交变换域内的滤波器设计方法可以统一起来，说明了理 论之间的内在联系，也方便了滤波器的设计。同时d f t 加窗a p d f 可以用 i d c t d c t 不加窗的a p d f 实现：i d c t d c t 加窗a p d f 可以用i d c t d c t 不 加窗的a p d f 实现，从而使滤波器省去窗函数结构。在这一章里同时讨论了 i d c t 和d c t 域内的a p d f 的性质并将其和d f t 域内的a p d f 的性质作了比 较。 如果要将i d c t d c t 全相位滤波器应用于图像，则应把前文所讨论的方法 扩展到二维。虽然这里的滤波器设计公式是用可分离原理设计的，但设计出来 的滤波器做二维不可分离滤波器使用。第六章说明全相位i d c t 滤波器设计方 法同时是一种较好的菱形半带滤波器的设计方法，探讨了设计出来的滤波器用 于不可分离图像栅格转换的内插性能。这是图像内插的内容之 在第七章里讨论了图像内插的内容之二，即可分离内插，内插的结果是图 像数据和两个一维滤波器的乘积作卷积得到的。在这种内插方法里滤波器是时 变的。用稍作修改的全相位思想，以及利用离散和连续信号的关系，可构造出 基于d c t 的一族内插核函数来。文中对所构造的这一族核函数的性质进行了讨 论，提出了查找表实现方法，在数字电视视频格式转换和医学图像缩放、旋转 实验中验证了其内插性能，并用定义的连续消失矩曲线对实验数据进行了解释。 第八章是结论和讨论，指出本文工作的收获和不足。 第二章全相位列率滤波器的设计 第二章全相位列率滤波器的设计 这一章将讨论在四个正交域的列率滤波。这四个正交域为d f t 域、w h t 域、i d c t 域和d c t 域。虽然本文主要论述基于i d c t 和d c t 域的a p d f 但 为不失一般性，本章把全相位滤波的概念纳入到正交变换域的统一的框架内讨 论其设计方法，是全文的重要理论依据。本章先从时域列率滤波出发，推导出 在四个正交域中的滤波矩阵h 。的表达形式。再引入全相位数据空间，由滤波 矩阵h ，推出四个正交域下滤波器的单位脉冲响应h 。( n ) 。同时推导了在所讨论 的每一正交域列率滤波中的三个重要矩阵的表达式。这三个重要矩阵分别是： 由正交域列率响应向量的逆正交变换求单位脉冲响应的加权矩阵w 。；由正交 域列率响应向量求单位脉冲响应的过渡矩阵g 。；由单位脉冲响应求正交域列 率响应向量的过渡矩阵的逆g ：。这三个重要矩阵在后文的推导中都有定义。 2 1 列率概念的引入和时域列率滤波 频率一词适用于正弦( 周期) 函数。而非正弦正交函数由方波或矩形波组 成，属于这样的函数组的各个函数可以用一个被称为列率的参量来区别，其定 义为：每单位时间内过零点平均数的一半。列率用于区别那些在一个区间内的 过零点非等间隔地分布，同时又不一定是周期性的函数【7 】。 用离散变换对数字信号进行列率滤波的传统方法是：从数字序列中截取一 段数据组成一个维向量x 。，经过变换t 的运算后它成为变换域中的向量 a 。，通常称a ，为x 。的列率谱。f 是所期望的数字滤波器的列率响应，也是 维，它与a 。做对应元素的相乘的运算，形成在变换域中的已滤波向量b 。，对 b 。旌以反变换k 1 ，就得到时域的已滤波信号y 。，如图2 1 所示。上述的列率 滤波可只在时域中通过矩阵运算进行，即y 。= h 。x 。下面推导在给定的正交 变换和列率响应下，滤波矩阵h 。的数学表达式。 设n x n 的离散正交变换的正变换l 和逆变换k 矩阵分别为：d 。和p 。 图2 1 传统列串域滤波器的原理图 天津大学博士学位论文 而 令 则 由图2 - 1 有a = r x ，即 n - ! 以u ) = 口，( ，一) “( 月) n = 0 毋( f ) = a u ) 目( ，) 一l = ( ，帕目( f ) ( 一) y = 巧1 民，即 n - i 】_ ( 朋) = 风( m ，) 风( ，) ，。o ，= 0 ，l ，n - 1 ，= 0 , 1 ，一l n - in - i = 反( 聊，) o ，咖目( ，) “) i = on f f i o n - in - i = 【风( 所，1 ) a 。( ，帕目( ，) 】以( 疗) m = o ，l ，n 一1 n = 0i = 0 n - 1 月r ( 册， ) = 风( 脚，t ) a ( ，玎) 目( ，) m ，一= 0 , 1 ，一1( 2 。1 ) i = 0 - 1 y ( m ) = ( ，n ) x ( ) ，m = 0 , 1 ，一1 ，e p n = 0 b = h ，x ( 2 - 2 ) ( 2 1 ) 式即是滤波矩阵h 。的数学表达式。显然，对于不同的正交变换和列 率响应，它将有不同的形式。下面我们分析一下在几种有代表性的正交变换中 它的具体表现形式。 2 1 1d f t 的情况 对于离散傅立叶变换，我们有如下关系【3 】： a n ( m ，”) = 碱( 埘，由 口( m ，”) = g n ( t l ，脚) 由( 2 1 ) 式 第二章全相位列率滤波器的设计 n - i h m ( m ，功= 风( 辨，1 ) a x ( i ，行) 目( ，) l - i 2 专荟西( m , 1 ) 慨7 ) 目( 7 ) 2 专篓口。o 一埘，) 目u ) 一i = 风沏鸭0 f 。( 0 2 厶( 栅一n )( 2 - 3 ) 式中厶伽一栉) 是列率响应k 的i d f t 谱中标号为( 珊一玎) 的谱分量。这时h 。可 以写成： 厶( 一1 ) ( o ) 厶( 1 ) 厶( 一2 ) l n 0 厶( 一1 ) ( o ) 矗( 一3 ) 厶( 一+ 1 ) ，n 卜n + 码 厶( 一+ 3 ) 厶( o ) 在一般情况下，列率响应r 取实对称向量，亦即：目( ”) = 目( 一刀) ， 0 疗n 一1 ，此时其i d f t 谱亦为实对称向量，即有厶( 一帕= 厶( 疗) ，从而 上式可以写成： h = 厶( 0 ) ( 一i ) 厶( - 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( o )厶( - 1 ) 厶( 2 ) ( 2 )厶( 1 )厶( o )厶( 3 ) ；i； 厶( 一1 ) 厶( ，一2 ) ( 一3 ) ( 0 ) ( o ) ( 1 ) ( 2 ) ： 厶( 1 ) ( o ) ( 1 ) ( 2 ) 厶( 1 ) 厶( o ) 矗( 一1 ) ( 一2 ) (