（信号与信息处理专业论文）超声层析成像理论与实现.pdf

摘要 摘要 超声层析成像技术基于波动方程，根据物体周围的散射波进行成像，这些 散射波携带的物体内部信息更全面，因此能够更加真实地反映物体内部介质的 分布状况；其次，超声层析成像技术是定量的，从而所成的图像更加直观。但 是由于超声散射波和物体内部介质的声学特性参数之间呈非线性关系，使得超 声层析成像问题具有明显的不适定性。本文针对这一问题分别在空域和频域， 就重建算法的效率、参数选择、实验方案设计等进行研究。 空域：基于精确场描述的超声逆散射成像问题，先用矩量法将波动方程化 为离散形式，分别用b i 和d b i 算法不断地在散射场与全场方程之间进行迭代重 建物体内部声学参数分布。影响整个算法的一个关键因素是散射场方程的正则 化求解，具有明显的不适定性。基于l 曲线法，提出以解的范数和残差变化量 的加权形式作为确定f 则化参数的依据，在迭代过程根据问题不适定性程度， 自适应地调整搜索范围。通过实验验证，通过在有限的区域内进行搜索，可以 快速地找到最优f 则化参数。 频域：f o u r i e r 散射定理表明，基于b o m 近似，沿径向采样过程相当于频域 中低通滤波的过程。通过分析分辨率与成像质量的关系，将n u f f t 引入频域重 建，利用均匀网格最邻近的两条投影线上的非均匀样点进行线形角度插值，并 导出了扫描步长满足的必要条件。随后引入带限信号的正则化外推算法来重构 未知的频谱，提高成像质量。由此不仅可以改善成像质量，而且可以提高成像 速度。随着扫描数的增加，重建的像函数将趋于最优。 超声层析成像技术不无论是在理论及实验上均取得了长足的进展，但距离 临床应用仍有很大的距离。本文从生物组织声学特性建模、超声断层图像重建 算法、实验方案设计三个方面展开讨论对超声医学层析成像的应用基础进行 了初步的研究。 关键词：超声层析成像正则化矩量法非均匀f f tg r i d d i n g f o u r i e r 散射投影定理 正则化谱外推 a b s t r a c t a b s t r a c t u l t r a s o u n dt o m o 伊a p h yt e c h n i q u eb a s e do nw a v ee q u a t i o ni st or e c o n s t r u c tt h e i m e m a la c o u s t i cp r o p e r t i e so fo b j e c t 行o ms c a t t e r e du l t r a s o n i cw a v e ，w h i c hc a r r i e s m o r ei n f o r m “o na n dr e f l e c t st h et r u ep r o p e r t i e sd i s t r i b u t i o no ft h eo b j e c t b e s i d e s ，t h e r e c o n s t r u c t e di m a g ei sq u a n t i t a t i v e w h e nu n r a s o n i cw a v et r a s m i t si n h o m o g e n e o u s m e d i a ， t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nu l t r a s o u n da n dt h ep r o p e r t i e so fo b je c ti s n o n l i n e 甄w h i c hm a k e su l t r a s o u n dt o m o g r a p h yp r o b l e mi l l p o s e d t h i st h e s i s i s d e d i c a t e dt od e a lw i t ht h er e c o n s t r u c e da l g o r i t h me 惫c i e n c y ，p a r a m e t e ro p t i o na n d e x p e r i m e n td e s i g no ft h ei l l - p o s e dp r o b l e mi “s a p c ed o m a i na n df e q u e n c yd o m a i n r e s p e c t i v e ly s p a c ed o m a i n ：p r o b l e mo f2 一du l t r a s o u n dd i 行r a c t i o nt o m o g r a p h yb a s e do n p r e c i s ef i e l dd e s c r i p t i o no ft h ei o s s l e s sc i r c u m s t a n c ei sc o n c e r n e d f o rt h ei n v e r s e p r o b l e m ，t h em o m e n tm e t h o di sa d o p t e d t od i s c r e t i z et h ea c o u s t i cw a v ee q u a t i o n s ，a n d t h e nw er e c o n s t r u c tc o n t f a s tf u n c t i o nu s i n gd b ia n db ia l g o t h mr e s p e r e e i v e b lt h e r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d sf o rs c a t t e r i n ge q u a t i o ns e r i o u s l ye f f e c t st h ep e r f o m e n c eo f r e c o n s t r u c t i o n ，w h i c hi si l l - p o s e d b a s e do nt h el c u r v e ，w ep r o p o s e dan o v e lm e t h o d o fr e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e rd e t e r m i n a t i o nc o n s i d e r i n gt h ev a r i a t i o n si nn o r ma n d r e s i d u a lo fs o l u t i o n sc o m p r e h e n s i v e l yi nt h i sa r t i c l e 。t og e tt h eo p t i m a lr e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r ，af a s ts e a r c ha p p l y i n ga d a p t i v es e a r c hr a n g ea c c o r d i n gt oi l l p o s e d n e s sw i l l w o r kd u r i n gi t e r a t i v ep r o c e s s t h es i m u l a t i o nr e s u l ts h o w sw ec a nf i n dt h eo p t i m a l r e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e ra ss o o na sp o s s i b l ei nad e s i g n a t e da r e ai na d v a n c e f r e q u e n c yd o m a i n ：a c c o r d i n gt of o u r i e rs c a t t e r i n gt h e o r e m ，t h e l df o u r i e r t r a n s f o r mo fp r 蜘e c t i o n sd e r i v e sf r o mal 。w p a s sn i t e r i n gf o rs p e c t r u mo ft h e o b j e c t r e l a t i o nb e t w e e nr e s o l u t i o na n di m a g i n gq u a l i t yi sa n a l y z e d ，t h ee s s e n t i a l c o n d i t i o no fs c a n n i n gs t e pi sd i s c u s s e d ， ar e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mi nf e q u e n c y d o m a i ni sp r o p o s e dt or e d u c es t o r a g ea n dc o m p u t a t i o n 。d i f 诧r e n tf - r o ma ni t e r a t i v e r e c o n s t r u c t i o nm e t h o db a s e do nn u f f t ，w ep u tf o r w a r dan o v e ia l g o r i t h mo f i n t e 印o l a t i o nu s i n gn u f f t ， w h i c hc o m p u t et h ee q u i s p a c e dr e s u l t sf 两mt h e i i 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：桶又 础年扩月乡日 第1 章绪论 第1 章绪论 超声技术以超声波作为一种信息载体与能量形式，因无电磁辐射、对人体 无害且制造成本低廉，被广泛应用于诸多领域。本章就超声技术在医学成像领 域的应用及发展历史作简单回顾，并在最后给出本文研究的主题，意义及大致 结构。 1 1 引言 超声波即为高过人耳的听觉范围( 2 0 h z 一2 0 k h z ) 的声波，因其频率高，波 长小，指向性更好，且能作用并反映物体的微观结构，因而被广泛地应用于生 物医学工程、无损检测、地球物理、模式识别等领域。研究超声波与生物组织 的相互作用机理、规律及其应用的学科分支统称为医学超声。它包括两大方面： 超声诊断技术( 将超声波作为被探测信息的载体) 和超声治疗技术( 将超声波 作为能量源) 。 超声诊断研究如何利用各种组织的声学特性的差异来进行区分，特别是区 分e 常组织和病变组织。具有不同密度、声速等理化特性的生物组织器官对外 来的声波能量将产生反射、透射、散射、衰减和非线性效应等，运动组织还会 产生多普勒效应，提取、分析或显示这些生物组织对超声波作用后的信息，就 可以反演出生物组织的病理特性。由于声波可以穿透很多不透光的物体，且对 人体无害，因而利用超声成像技术可获得不透光的物体的内部声学特性图像。 ) (超声成像技术始于本世纪4 0 年代，随之取得了长足的发展，特别7 0 是年代以 ，、_ ，- 、h - ，h - ，_ 、_ _ 、_ r k j 一。 后，由于微电子技术、计算机技术的快速发展，超声诊断装置引入了实时和灰 阶两大技术，诊断效力大为提高，多功能b 超显示仪和超声彩色血流成像仪是 其中的代表。目前，诊断用超声仪器又在三维显像、彩色显像、动态聚焦、动 态光圈、动态变迹、传输区域增强、三维图像重构、全数字化数据采集和处理 技术、体腔内探查技术、多种图像显示技术、多用途复合型诊断仪等方面取得 了长足的进展，诊断的效力和提供的信息量都有了很大提高，使得超声诊断的 应用范围迅速扩大，从传统的腹部与心脏扩展到皮肤、颅内、腔内、血管内等， 第l 章绪论 诊断的内容从形态扩展到功能、组织性质、组织弹性、血液灌注等，使得医学 超声几乎涉及到人体的每一个部位。这种发展趋势使得医学超声在临床与医学 研究中的作用和意义越来越重要。 传统的超声成像技术是指根据物体外部收集到的物体内部介质对超声波的 散射信息，构造物体内部结构，但目前成功地应用于医学领域的超声成像设备 大都是基于反射波，且其成像也只是定性的，根据超声散射波的信息，定量地 生成人体内部的结构图，是超声应用技术的研究者追求的新目标。 另一方面，超声治疗学的起步相对早于诊断学，但其发展却不及诊断学。将 超声波作为能量源作用于人体组织，利用产生的物理生化效应达到治疗的目的。 根据其作用机制，超声治疗可分为如下三种： ， 1 机械效应：在超声波的作用下，生物组织将受到力的作用，并产生速度 和加速度方面的变化，如美容，超声手术，超声碎石等。 2 温热效应：超声波在生物组织中传播的过程中，部分声能将被生物组织 吸收，因而会产生局部温度升高的效应，如超声治癌等。 3 理化效应：由于上述两种效应，常常会引发某些生物组织内部的物理化 学变化，如物质交换的速率变化，空化，分子分解与合成的改变等，常用于超 声理疗，药物辅助吸收等。 超声成像技术之所以广泛地应用于生物医学领域，其主要原因是由于超声 成像与x 一射线断层成像相比有以下优点： ( 1 ) 超声波无电离辐射，在诊断用功率的范围内对人体无伤害，可反复地 使用。 ( 2 ) 超声波对生物软组织的鉴别能力较高，尤其是对软组织疾患的诊断具 有一定的优势。 ( 3 ) 超声成像仪器及附属设备价格便宜，携带和使用都很方便。 接下来简要回顾一下超声层析成像技术的发展历史。 1 2超声层析成像的发展 层析成像( c o m p u t e dt o m o g r a p h y 简称c t ) 技术是指通过从物体外部检测到 的数据重建物体内部信息的技术，也叫计算机辅助断层成像技术。层析成像技 术可以应用多种能量波和粒子束：如x 射线、y 射线、电子、中子、质子、红 第1 章绪论 根据这一初始估计，运用光学中的射线跟踪方法来校正声波的传播路径，修正 折射系数和传播路径长度之间的关系式，继而求得更精确的折射系数分布：如 此反复，直至收敛。 ( 3 ) 衍射层析成像 基于波动声学理论，将介质看成声学参量( 密度p ，声速c 等) 连续变化的 非均匀体，其中声波的传播可通过波动方程的解来描述。在b o m 、i o v 近似下， 以傅立叶衍射投影定理为基础，建立了投影的傅氏变换与像函数频域之间的联 系，反射及透射数据分别对应于e d w a r d 圆的高频与低频，它们对图像重建提供 的信息量是相等的 k a k 9 9 。由于作了理论近似，这一技术仅适用于弱散射介质。 ( 4 ) 基于精确场描述的层析成像方法 上世纪6 0 年代，r i c h m o n d r i c h m o n d 6 5 】给出了微波通过二维物体时散射场 的精确描述方法矩量法。随后，j o h n s o n j o h n s o n 8 3 】等人将这一方法运用于 超声散射场的精确描述问题中，去反演物体内部的结构。由于这一方法基于散 射场的精确描述，在反演物体内部结构时不再利用近似的假设，这就大大地拓 宽了这一方法的适用范围，使其不但适用于较强散射物体，而且对弱散射体的 成像质量也有了大大的提高。其基本思想是将一个泛函方程转化为代数方程， 从而用人们熟知的方法进行求解。 前两种属几何声学范畴，对声波的散射效果完全忽略，因而其可信度令人 质疑，本文不予考虑。衍射层析成像方法基于傅立叶衍射投影定理，采用b o m 或 i m o v 近似物体内部的全场分布，揭示了投影的傅氏变换与像函数频域之间的联 系，使用范围受限，但运用f f t ，重建速度较快，能够产生准实时的成像。基于 精确场描述的层析成像方法完全考虑了声波的散射特性，其应用范围较前几种 方法广，为近似物体内部的全场分布，这类方法采用了反复迭代的方法，来逼 近物体内部的全场和未知函数，所需要的计算量和存储量均较大；另一方面， 在迭代过程中存在一个不适定方程的求解问题。对于不适定性问题，较小的误 差可能会引起解的较大偏离，因此对这一不适定方程的处理方法是这类成像方 法的关键。本文将针对上述两种算法分别进行研究。 1 3 本文的意义、目的和结构 第l 章绪论 1 3 1 本文的意义 传统的超声成像模型较为简单，未考虑介质对声波的散射，且所成像的图 像是定性的，仅能显示轮廓。超声层析成像技术基于波动方程，根据物体周围 的散射波( 包括反射、折射、衍射、透射等) 进行成像，这些散射波携带的物体内 部信息更全面，因此能够更加真实地反映物体内部介质的分布状况：其次，超 声层析成像技术是定量的，所成图像真正地反映了物体内部介质的声学特性参 数( 如声速、折射系数、衰减系数等) ，从而所成的图像更加直观。 超声层析成像问题在数学上属于逆问题范畴，具有明显的不适定性。射线 模型较为粗糙，本文主要针对衍射模型，根据其研究方法大致可以分为两类： ( 1 ) 空域法：基于精确散射场描述，不断地在全场方程与散射方程之间迭 代，来逼近像函数和r o i ( r e 舀o no f i n t e r e s t ) 的全场分伟。其实质上将问题转化为 大型方程组进行求解，具有很强的非线性与不适定性【c h e w 9 0 】，随着图像分辨率 提高，问题的复杂性呈几何指数增长。 ( 2 ) 频域法：根据傅里叶散射投影定理，超声逆散射成像问题实质上是由 二维频域非均匀采样值重建像函数。重建方法可分为两种：一种是滤波反投影 法，计算较费时；另一种是频域插值法( g r i d d i n g ) 法 w a j e r o o 】，将频域不均匀 采样值插值到均匀的网格上，然后通过f f t 快速重建。频域法应用范围较窄， 但不受问题规模的制约，如何结合这两种算法的优点也是研究的一个方向。 1 3 2 本文的目的 由于超声散射与物体内部介质呈非线性关系，使得超声逆问题具有明显的 不适定性，具体表现为b o m 及变形b o r n 迭代过程对物体内部全场初始近似的 敏感性，散射方程的求解值的不稳定性等。本文主要研究内容主要包括以下几 个方面： ( 1 ) 正则化参数选取：研究二维理想情况下，基于精确场描述的超声逆散 射成像问题，先用矩量法将波动方程化为离散形式，分别用b i 和d b i 算法进行 迭代重建。影响整个算法的一个关键因素是散射场方程的正则化求解，具有明 显的不适定性。基于l 曲线法，提出以解的范数和残差变化量的加权形式作为 确定正则化参数的依据，在迭代过程根据问题不适定性程度，自适应地调整搜 索范围。 s 第1 章绪论 ( 2 ) 计算量的降低：分析分辨率与成像质量的关系，提出频域重建算法。 将n u f f t 引入频域重建，利用均匀网格最邻近的两条投影线上的非均匀样点进 行线形角度插值。由此不仅可以改善成像质量，而且可以提高成像速度。随着 扫描数的增加，重建的像函数将趋于最优。 ( 3 ) 研究正则化的谱外推法对成像质量的改进：f o u r i e r 散射定理表明，沿 径向采样过程相当于频域中低通滤波的过程。基于b o m 近似，工作频率又不可 能太高，通过引入带限信号的正则化外推可以由低频采样值来推得高频的采样 值，增加信息量，进而提高成像质量。 ( 4 ) 分析激励源对成像质量的影响：现有的超声层析成像算法研究都是声 波稳态场，未考虑换能器的实际特性。不同的激励方式直接影响着换能器的输 出特性，进而影响成像质量。 ( 5 ) 实验方案的设计。 1 3 3 本文的结构 在第二章中，给出了超声波在生物组织中传播的波动方程，生物组织的声学 特性，它们是超声成像的理论基础。随后介绍了矩量法，用于对积分方程进行 离散化，从而给出了声波穿过非均匀介质时，精确的散射场的代数描述形式， 为空域法超声成像作铺垫。接下来从频域出发，以傅立叶衍射投影定理为基础， 建立了投影的傅氏变换与像函数频域之间的联系。 在第三章中，首先给出了空域法超声逆散射成像的问题描述，紧接着超声 层析成像的两种基本迭代算法：b i 及d b i 。随后讨论了离散不适定问题及其正 则化，最后给出f 则化参数的选取策略及其在超声层析成像问题中的应用。 在第四章中，首先给出了频域法超声逆散射成像的问题描述，分析了图像 分辨率，扫描步长成像质量间的关系，随后具体介绍了n u f f t 及基于n u f f t 的插值法。针对标准的s h e p p l o g a n 模型，分别用滤波反投影法和本文提出的插 值法进行图像重建，最后引入了正则化的谱外推法。在第五章中，进行超声医 学层析成像的应用基础研究，最后在第六章是对本文的展望。 第2 章超声层析成像的理论基础及方法 第二章超声层析成像的理论基础及方法 理想流体中的声波动方程描述了超声在理想流体中传播规律，揭示声场与 生物组织的作用机制，它是医学超声成像的理论基础。本章由波动方程出发， 讨论理想流体中小振幅声波的传播规律，并引入矩量法对积分形式的波动方程 进行离散化，作为基于精确场描述的超声成像法的铺垫，随后介绍频域法超声 层析成像法。 2 1 理想流体中波动方程及其近似 超声波是机械波，即振动在连续介质中的传播。本节从理想流体中声波动 方程出发，导出声场的积分形式的解，并在r t o v 及b o m 近似下，给出超声逆散 射成像问题的表述形式。 2 1 1 波动方程 在小振幅近似下，考虑一个无限长的圆柱状的物体，背景为无损、均匀的 介质。柱体在线源的激励下，内部全场满足非齐次h e m h o l t z 方程【k a k 9 9 】： ( v 2 + 砖) 尸( ，) = 一d ( 广) p ( 广) ( 2 1 ) 此方程即为声波在非均匀介质中传播的非齐次波动方程，式中的像函数d ( ，) 表 示为： 忡矿( 赤一扑等 仁2 ， 式中c 0 为背景介质中的声速，口( ，) 是与衰减有关的量，c ( ，) 是物体内部的声速。 本论文讨论口( ，) = o 的情形，即介质是无损的，此时p ( ，) = 碍p 2 ( ，) 一l 】，定义 ，z 2 ( ，) 一1 = 爵( ，) c 2 ( ，) 一1 为物体的对比度 j 0 h n s o n 8 3 】，它是描述物体内部介质声 学特性参数的参量。 通常情况下，超声波穿过非均匀介质时产生的压力场可以写为两部分之和 p ( ，) = ( ，) + p ，( ，) ( 2 3 ) 其中( ，) 为入射场，它表示声波穿过均匀介质时的场，满足齐次波动方程 第2 章超声层析成像的理论基础及方法 ( v 2 + 碍) ( ，) = o ，见( ，) 为散射场，它表示声波穿过不均匀物体时产生的场， p ( ，) 为全场，同理可知风( ，) 满足非齐次波动方程( v 2 + 七：) 见( ，) = 一d ( ，) p ( ，) 。 2 1 2 波动方程的解 借助格林函数，可将上述微分方程化为积分形式。所谓格林函数即为点源 激励下常微分方程的解( v 2 + 瑶) g ( ，| ，) = 一万( ，一，) 。在三维情况下格林函数为 g ( ，f ，) = 筹 ( 2 4 ) 其中r 为散射源所在的点，7 和接收点，之间的距离：足= l ，一，i ，二维情况下， 格林函数可由第一类零阶汉克尔函数表示 g ( ，l ，) = 专联”( r ) ( 2 5 ) 可见格林函数为距离r 的函数，故可写为g f ，夕的形式。借助于格林函数， 若我们将研究的散射场区域看作散射点的阵列，则经入射场激励后，产生的散 射场可以表示为这些点源散射场的叠加 p ，( ，) = i g ( ，一，) d ( ，) p ( ，) 毋 ( 2 6 ) 由此，物体内部的全场( 2 3 ) 可表示为 p ( ，) = p 。( ，) + i 。，g ( ，一，7 ) d p ) p ( ，7 ) 毋7 ( 2 7 ) 它们分别为第一类、第二类f r e d h 0 1 m 积分方程【刘家琦8 5 】，被称为散射场方程与 全场方程，通常情况下，入射场是可测。已知物体内部结构及声学特性，研究 超声波穿过物体时内部全场及物体外部的散射场的问题成为前向散射问题，反 之，若测得物体外部的散射场，反演物体内部结构的问题称作逆向散射问题。 2 1 3 波动方程的近似 散射场不仅与对比度函数有关，还与物体内部全场有关，因而问题的求解 具有较强的非线性。本节介绍两种重要的b o m 和r y t o v 近似，用于将其转 化为线性问题，这两种近似是我们研究逆散射问题的基础，也是f o u r i e r 散射投 影定理的基础。 8 第2 章超声层析成像的理论基础及方法 以( ，) 2 高胁- ，脚耽( ) 2 j 3 满足r u y o v 近似的必要条件为： 驴 掣 ( 2 1 4 ) 由于v 么表示散射场单位长度上的相移，只要求在一个波长上的相移很小而不是 在整个传播路径上，即可满足i 姚o v 近似。因而，脚o v 近似不同于b o m 近似， 它与物体的尺寸无关。由于脚o v 近似是对散射场相移的近似，适用于高频， b o m 近似适用于低频 h a d d a d i n 9 8 】。 2 2 声波与生物组织的作用机理 人体组织7 0 左右的成分是水，在讨论不同的问题时对模型的近似程度的 要求是不一样的。最粗略的近似是把骨骼看作各向同性的均匀固体，用其纵波 声速、横波声速、密度、声衰减系数来描述其声学性质的，声波在其中的传播 服从固体中的波动方程；软组织和各脏器被视为均匀液体，横波不能在其中传 播，只用纵波声速、密度、声阻抗率、声衰减等描述。人体某些组织声学参量 列于下表。 表2 1 人体组织的声学参量 2 2 1 声阻抗率 在超声波过程中，介质的压强夕和介质中各质点的振动速度v 是相互关联的， 这种关系是由介质自身的特性决定的，我们据此定义一个描述介质声学特性的 l o 第2 章超声层析成像的理论基础及方法 物理量声阻抗率乙 互= 旦 ( 2 1 5 ) v 由于相位的作用，声阻抗率可以是复数形式，其相角表示声压与振动速度之间 尺蚴抛躺栅抗掣黼远约鬯耋竺塑。x d 占蟛 ，、，-、， 一、一_ ”l - _ p - 一， 南、弋= ，一 2 2 2 反射与折射 超声波入射于两种不同组织界面时，将会发生反射与折射。如果界面的曲 率半径a 大于声波波长旯，即妇 o 为一小的正数，那么，对于这一问题的正则化是指： 用一族有界算子 r 替代伪逆算子丁，求解= 吃，占并使其逼近原始问题的 解x 。在对上述有界算子方程的求解问题中，常常涉及到f 则化参数a = a ( 万，1 ，6 ) 的选择问题，正则化参数口的选择应满足【l i n d 西露d e 9 8 】： 娥帆内j ，j 一丁y 5 kj ，艿i i 0 称为正则化参数，在t i l ( h o n o v 正则化方法中，正则化参数a 选取的越 大，则在目标函数中赋予解的范数的权就越大，从而可以保证所求的解的范数 较小，但此时以牺牲节的精确性为代价；反之，正则化参数越小，则上式越接 近于未正则化的原问题，此时正则化后的问题，可能还存在某种程度上的不适 定。 若记吃为正则化问题的解，则可以证明，求( 2 5 0 ) 式达到最小的解屹等 价于下述方程的解： 厂丁。丁+ 口，) 屹= r j ， ( 2 5 1 ) 其中口 d ，此时相当于用正则化算子疋= ( r r + 口，) 一r 来替代原问题的伪 逆算子z ，其正则化解为： = ( r r + 口，) - z 。1 ：， ( 2 。5 2 ) 现假设r 是紧算子，其特征系统为( 吒：叱，) ，由式( 2 4 5 ) 可知： 屹2 莓毒( 弘) ( 2 5 3 ) 从上式可以看出，当口一0 时，t i l l h o n o v f 则化解趋向于m o o r e p e n r o s e 伪逆解。 2 5 2 3 截断奇异值展开 截断奇异值展开方法是另一类重要的正则化方法 h a l l s e n 9 0 】，由于根据奇异 值分解理论，可以较好地分析问题的解的特性，我们简单介绍如下。 假设r 是紧算子，且具有特征系统( 吒：，) 由表达式( 2 5 3 ) 知，造成算 子方程戥= y 的伪逆解不定的主要原因是，当奇异值吒较小时，若数据项j ，有 一个较小的扰动，则可能使得解有较大的变化，正因为如此，截断奇异值展开 方法就是将伪逆解中对应较小的奇异值部分截去，选取参数，使得： 铲驴喜 n ，即方程组为超定的。 实验装置我们采用圆环形结构，如图f i g3 1 所示，m 个换能器均匀分布在 2 0 为半径的圆环上，整个装置浸于均匀的背景介质中。在这种结构中，当某 一个换能器发射超声波时，周围的换能器接收来自物体的各个方向的散射波， 因此这种结构采集到的散射波信息较为全面；旦这种结构固定下来，我们只 要改变发射换能器和接收换能器的工作时序，就可以完成对物体一周的扫描， 不必改变物体与换能器之间的相对位置，因而实现较为简单；另一方面，采用 这种环形结构，散射场计算公式中的系数矩阵较之直线形结构简单，降低了计 算复杂度 f r a i l c h o i s 9 7 】。 3 1 2b o r n 迭代和变形b o r n 迭代法 由上可知，求解逆散射问题就是根据测得的散射场与入射场，在物体内部 全场未知的情况下，求解描述物体内部声学特性的未知函数o ，实际情况是，物 2 4 第3 章空域法超声层析成像及其正则化方法 体内部全场也是物体声学参量的函数，使得问题的求解具有较强的非线性。为 求解这一非线性方程，j o l s o n 等人采用了迭代的方法，即在求解未知函数和全 场之间反复迭代，来逼近物体内部的声学参数分布达到精确近似的目的。接下 来我们逐一简要地介绍。 3 1 2 1b o r n 迭代算法 r f i g3 1 实验装置 实际问题中，我们可以测得入射场和物体外部的全场，用全场减去入射场 后就得到物体外部的散射场，即实测散射场。b o m 迭代算法的基本思想是：在 已知实测散射场的情况下，根据声波散射场方程和全场方程，反复迭代，逐次 逼近物体内部的全场和未知函数，具体如下 w | a n 9 8 9 】： 求b o 值逆解仇 j 确定金场= 仃一啦) q 矿 j 一 i n 一“ 求散射场背= 口q 砖 修正o l d + 仇 并计算衅= “露 。，- ，w 7 m ， j i 多， 出方程酬”= d a d l 群 寐改变爨a 仇 根据b o m 近似，假设p ( ，) = p ( ，) ，由( 3 1 1 ) 式求出像函数的初始解d o ，常 第3 章空域法超声层析成像及其正则化方法 体内部全场也是物体声学参量的函数，使得问题的求解具有较强的非线性。为 求解这一非线性方程，j o l s o n 等人采用了迭代的方法，即在求解未知函数和全 场之间反复迭代，来逼近物体内部的声学参数分布达到精确近似的目的。接下 来我们逐一简要地介绍。 3 1 2 1b o r n 迭代算法 r f i g3 1 实验装置 实际问题中，我们可以测得入射场和物体外部的全场，用全场减去入射场 后就得到物体外部的散射场，即实测散射场。b o m 迭代算法的基本思想是：在 已知实测散射场的情况下，根据声波散射场方程和全场方程，反复迭代，逐次 逼近物体内部的全场和未知函数，具体如下 w | a n 9 8 9 】： 求b o 值逆解仇 j 确定金场= 仃一啦) q 矿 j 一 i n 一“ 求散射场背= 口q 砖 修正o l d + 仇 并计算衅= “露 。，- ，w 7 m ， j i 多， 出方程酬”= d a d l 群 寐改变爨a 仇 根据b o m 近似，假设p ( ，) = p ( ，) ，由( 3 1 1 ) 式求出像函数的初始解d o ，常 第3 章空域法超声层析成像及其上e 则化方法 称其为b o m 逆解。 将第尼次的像函数d 。代入( 3 1 0 ) 式，求出更接近实际的物体内部全场e q 由第步求得的全场，带入散射场方程，求出散射场群“，并求计算散射场与 实测散射场的差l i 趔5 | i = | | 砭“一p j i | ，若| l 趔。l l 小于事先给定的万，则停止迭 代，否则，转。 根据散射场增量趔“，由方程卅d = 圾q 磁。求得未知函数的改变量q ， 然后更新目标函数q + 。= q + q 。 由新的未知函数值d ，返回步骤，进一步求更精确的散射场。 3 1 2 2 变形b o m 迭代算法 在b o r n 迭代过程中，系数矩阵d 是固定不变的。矩阵d 是自由空问格林函 数和基函数之积在一网格上的积分，仔细观察b o r n 迭代可知，随着迭代的进行， 未知函数的改变标志着散射体特性的改变，而格林函数是某一点源散射特性的 描述。最开始，我们假设未知函数为零，核函数为自由空间的格林函数，随着 迭代过程的进行，未知函数发生改变，若能据此来修j 下格林函数，则更会逼近 实际情形，使得迭代速度加快。w c c h e w 等对b i 法进行了改进，在迭代过程 中，利用已经获得的介质信息修正各向异性介质中的格林函数，从而大大地加 快了收敛速度，这就是变形b o m 迭代算法。现简述如下 c h e w 9 0 ： 根据b o m 近似，假设尸( ，夕= 尸俐f ，夕，由( 3 11 ) 式求出像函数的初始解纯 将第足次的像函数仇代入( 3 1 0 ) 式，求出物体内部全场叼 根据仇修正系数矩阵峨= d f ，吸| ，然后将掣、仇、级带入( 3 。l o ) 第3 章空域法超卢层析成像及其止! l ! q 化方法 改进。 3 3 1 实验模型以及有关参数设置 3 3 1 1 实验结构的设置 在实验结构上，我们在3 1 节已经讨论了圆环型结构在各方面要优于直线 型结构，因此，在以下的仿真实验中，均采用圆环形结构。换能器均匀地设置 在围绕物体的圆环上( 如图f i g3 1 ) ，为避免瞬问消失波的影响，圆环半径通常 取为2 0 兄。 我们假设被成像物体是圆柱状的，沿圆柱轴的方向密度是变化的，而在同 一个横截内，物体的密度变化较小。选取背景介质为水，且发射器和接收器均 浸在水中，由于人体软组织的声学特性与水相差不大，这样可以避免从发射器 到水和从水到被成像物体之间的散射。由于我们采用的是迭代算法，初始解基 本上是取b o r n 逆解( 由d b i 算法的迭代过程知，其实质是选定初始解为o ， 然后采用迭代逐步逼近强散射的情况，为使初始解( b o r n 逆解) 不过分偏离真实 解，对于大的物体或对比度较高的物体，采用的入射超声波的频率不宜过高， 以确保超声穿过物体时的相移不过分的大。通常情况下，选取的入射波频率在 1 0 0 5 0 0 k h z 之间。在以下仿真实验中，我们均采用2 0 0 k h z 的超声波作为入射 波，此时，超声波在水中的波速约为靠= l5 0 0 朋s ，波长约为五= 7 5 肌m ，对应 的波数为k = 0 8 3 7 9 。 空域法超声逆散射成像实质上将问题转化为大型方程组进行求解，随着图 像分辩率提高，问题的复杂性呈几何指数增长，因此在本章的仿真实验中，我 们仅对较小的狄度图像进行数值仿真。按照矩量法，我们对包围物体的f 方形 区域进行均匀采样，采样间隔均为五1 0 = 0 7 5 磁辨，采样点的个数为3 2x3 2 。 为了数值仿真，我们将图像的灰度值线性地转化为物体的对比度函数，例如我 们假设物体的对比度变化是2 0 ，则是将物体的灰度值( 0 2 5 5 之间) 线性地 转化到区间 一0 1 ，+ 0 。1 上，此时我们可以根掘物体的对比度函数的变化范围 一0 1 ，+ 0 1 ，将对比度函数转化为声速的变化范围为1 4 3 0 c 1 5 8 0 ，其他情 况类似，不进行一一列举。 对于3 2 3 2 的图像，为了收集足够的声波穿透物体时的散射信息，我们 假设有4 0 个发射器均匀地坐落在物体四周的圆环上，且每个发射器同时又是接 第3 章空域法超声层析成像及其止则化方法 收器，那么此时所形成的逆散射方程为一个具有1 0 2 4 个未知数( 各像素的对比 度值) 和1 6 0 0 个方程的方程组。当然，我们也可以采用不同的发射器和接收器 的个数，但有两点是必须保障的，第一，发射器最好在物体四周3 6 0 上均匀 地设置，从而可以收集到物体不同方位上的散射信息。第二，发射器个数和接 收器个数之积要大于未知数的个数，从而保证逆散射方程是一个超定方程组 g u i l i e m l i n o o 。 3 3 1 2 仿真数据的产生 由前面的介绍可知，在实际散射问题中，我们能够测量到的声场是入射场 和物体存在时物体外部的全场，而散射场则等于全场减去入射场。在仿真实验 中，我们采取下述策略产生各种场的数据。 首先，入射场表示的是超声波在背景介质中传播所形成的场，考虑到水的 各向同性，并假设声波在水中的传播是无损的，发射器发射的是单频波，则由 第二章介绍知，激励源为均匀柱面波，可表示为零阶