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广西大举顶士学位论丈 捆钾逆镰螬 捆绑逆像熵 摘要 在本文中，我们系统地研究了一个新的熵不变量。本文具体安排如下。 在第一章，我们简要介绍了熵及压的历史背景及一些结论 在第二章，作为经典概念拓扑熵及c h e n g - n e w h o u s e 逆像熵的推广，我们定义 和研究了捆绑逆像熵。类似拓扑熵的一些众所周知的结论，我们得到了捆绑逆 熵的一些性质，例如：积规则、幂规则及拓扑不变性最后，在向前扩张的假设 下，我们指出如何计算捆绑逆像熵。 在第三章，我们介绍了逆像条件测度熵，h 。( t i a ) ，其中4 是概率空间( x b ，曲 中一个d 不变子一代数。我们得到。，。( 列4 ) 满足积规则及幂规则，映射p b 。，。( t i a ) 有仿射性最后，我们提供了逆像条件测度熵的遍历分解 在第四章，我们得到了关于捆绑逆像熵及逆像条件测度熵的一个变分原理。 具体地说，对一个给定的动力系统( x ，r ) ( 其中x 是一个紧致度量空间，t 是一 个从x 到x 的连续映射) 及满足r _ 1 ! f 的b o r e l 划分，我们证明了捆绑逆像 熵( t l ) 的一个变分原理： ( t i f ) = s u p ”。“( t i 【目) ， p m ( x ，t ) 其中蚓表示由生成的子一代数，m ( x ，t ) 是由所有d 不变测度构成的集合 关键词：捆绑逆像熵逆像条件测度熵遍历分解变分原理 广百大学壤士学位论丈捆鲫逆像埔 b u n d l i l i k ep r b i m a g ee n t r o p y a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw es y s t e m a t i c a l l ys t u d yan e wk i n de n t r o p y - l i k ei n v a r i a 赶t si nt h ec a s eo f c o m p a c tm e t r i cs p a c ea n dp r o b a b i l i t y8 p a c e w eo r g a n i z et h et h e s i sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e ro n e ，t h eh i s t o r i cb a c k g r o u n da n ds o m er e s u l t so ft h ee n t r o p i e sa n dp r e s s u r e a r ei n t r o d u c e db r i e f l y i nc h a p t e rt w o ，w ed e f i n ea n ds t u d yb u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p yw h i c hi sag e n e r a l i z a r t i o nt 0t h es t a n d a r dn o t i o no ft o p o l o g i c a le n t r o p ya n dc h e n g - n e w h o u s ep r e - i m a g ee n t r o p y w eo b t a i na n a l o g so fm a n yk n o w nr e s u l t sf o rt o p o l o g i c a le n t r o p y , s u c h p r o d u c tm l e s p o w e rr u l e sa n dt o p o b g i c a li n v a r i a n c e l a s t ，w es h o wh o wt oc a l c u l a t eb u n d l e - l i k ep r e - i n l d 嚼ee n t r o p yu n d e rt h ea s s u m p t i o no ff o r w a r de x p a n s i v e n e s s i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n t r o d u c ean o t i o no fp r e - i m a g ec o n d i t i o n a lm e a s u r e - t h e o r e t i ce l l - t r o p yf o ra l lt - i n v a r i a n ts u b - a - a l g e b r ao fap r o b a b i l i t ys p a c e ( x ，日，p ) ，n a m e l y 即，p ( 丁i 州 w es h o wt h a t _ f l p r ( t i 棚s a t i s i i e sp o w e ra n dp r o d u c tm l e s ，t h em a pp 。 雕，p ( t i a ) i s f l 商2 1 1 e l a s t ，w eg i v et h ee r g o d i cd e c o m p o s i t i o no fp r e - i n l a g ec o n d i t i o n a lm e a s u r e - t h e o r e t i c e n t r o p y i nc h a p t e rf o u r ，w eo b t a i nav a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o rb u n d l e - l i k ep 倍i l n a g ee n t r o p ya n d p r e - i m a g ec o n d i t i o n a lm e a s u r e - t h e o r e t i c ( o rm e t r i c ) e n t r o p y m o r ep r e c i s e l y , f o rag i v e nd y - n a m i c a ls y s t e m ( 置t ) ( w h e r exi sac o m p a c tm e t i r cs p a c ea n dti sac o n t i n u o u sm a pf r o m xi n t oi t s e l f ) a n dab o r dp a r t i t i o nfo fxw i t ht 。! f ，w ep r o v eav a r i a t i o n a lp r i n c i p l e f o rb u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p yh 6 ( t t o ， ( r i f ) = s u p 7 l 即，( 列旧) ， p 朋( 置 w h e r e 旧d e n o t et h es u b - a - a l g e b r ag e n e r a t e db yfa n d 朋( x ，t ) d e n o t et h es e to fi n v a r i a n t m e a s u r e so ft k e yw o r d s ：b u n d h - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p y , p r e - i m a g ec o n d i t i o n a lm e t r i ce n t r o p y , e r - g o d i cd e c o m p o s i t i o n s ，v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下完成的，研究工作所取得的成果和相 关知识产权属广西大学所有，本人保证不以其它单位为第一署名单位发表或使用本论文 的研究内容。除已注明部分外，论文中不包含其他人已经发表过的研究成果，也不包含 本人为获得其它学位而使用过的内容。对本文的研究工作提供过重要帮助的个人和集 体，均已在论文中明确说明并致谢。 论文作者签名： 平自名次 认卿年占月，d 日 l 学位论文使用授权说明 本人完全了解广西大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本： 学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务； 学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文； 在不以赢利为目的的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。 请选择发布时间； 曰卸时发布口解密后发布 ( 保密论文需注明，并在解密后遵守此规定) ：枷礁黜名：焉气1 幽帅 广西大拳硬士学位论文 捆蛳进像埔 1 i n t r o d u c t i o n e n t r o p i e sa r ef u n d a m e n t a lt oo u rc u r r e n tu n d e r s t a n d i n go fd y n a m i c a ls y s t e m s i n1 9 5 8 k o l m o g o r o v 【1 1i n t r o d u c e dt h ec o n c e p to fm e a m t r e - t h e o r e t i ce n t r o p yh a ( t ) t oe r g o d i ct h e o r y 7 i h et o p o l o g i c a le n t r o p y 娜( r ) f o rac o n t i n u o u sm a pto fac o m p a c tm e t r i cs p a c exi n t o i t s e l fi sam 饯l g u r eo fi t sd y n a m i c a lc o m p l e x i t y , w h i c hw a sf i r s td e f i n e db ya d l e r ，k o n h e i m a n dm c a n d r e wf 2 1 ，a n dh t e rw 船g i v e ns e v e r a le q u i v a l e n td e f i n i t i o n sb yb o w e na n do t h e r s ( s e e 【3 ，4 】) t o p o l o g i c a le n t r o p ym e s , b m l e st h em a x i m a le x p o n e n t i a lg r o w t hr a t eo fo r b i t s f o r 阻a r b i t r a r yt o p o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s ，a n dm e a s u r e - t h e o r e t i c 【o rm e t r i c ) 锄t r o p y m 蜘黜髑t h em a x i m a ll o s so fi n f o r m a t i o no ft h ei t e r a t i o no ff i n i t ep a r t i t i o n si na m e a s u r 争 p r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o n ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e s et w ok i n d so fe n t r o p yh a sg a i n e d al o to fa t t e n t i o n i n1 9 6 9g o o d w y n 【5 】s h o w e dt h a th a t ) ，( r ) a n dl a t e rg o o d m a n 1 6 】p r o v e ds u p “( t ) t 叩( ，w h e r et h es u p r e m u mi st a k e no v e ra l li n v 盯i a n tm e a k d r e s ， c o m p l e t i n gt h ec l a s s i c a lv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e f o ra s h o r tp r o o f , s e e 【7 | i n1 9 7 3 ，r b o w e n 【8 】 d e f i n e de n t r o p yf o rs u b 6 e t so fc o m p a c ts p a c e si naw a yw h i c hr e s e m b l e sh a u s d o r f fd i m e n s i o n t h i sw a su s e dt og e n e r a l i z ek n o w nr e s u l t sa b o u tt h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h eq u a s i r e g u l a r p o i n t so fc a r t 血m e 2 k s l = i i e sa n dt od e f i n ea n o t i o no fc o n j u g a c yt h a ti sac t o s sb e t w e e nt h e t o p o l o g i c a la n dm e a s u r e - t h e o r e t i co n e s i nr e c e n ty e a r s ，t h ee n t r o p yc o n c e p tw a sl o c a l i z e d b yd e f i n i n ge n t r o p yp a i r so rt u p l e s ( e v e ne n t r o p ys e t s 【2 6 】a n de m r o p yp o i n t s 【2 7 ) b o t h i nt o p o l o g i c a la n di nm e a s u r e - t h e o r e t i c a ls i t u a t i o u s ( s e ef 2 8 - 3 4 ) ，a n dl o c a lv e r s i o no ft h e v a r i a t i o n a lp r i n c i p l eo fe n t r o p yh a sb e e ns t u d i e d ( 3 5 ，3 6 1 ) t o p o l o g i c a lp r e s s u r ei sag e n e r a l i z a t i o nt ot o p o l o g i c a le n t r o p yf o rat o p o l o g i c a ld y n a r a i c a l s y s t e m t h en o t i o nw a sf i r s ti n t r o d u c e db yr u e l l e 【9 】9 f o re x p a n s i v ed y n a m i c a ls y s t e ma n d l a t e rb yw a i t e r s 【1 0 f o rg e n e r a lc 8 s e i ti sk n o w nt h a tc e r t s i nr e s u l t sc o n c e r n 咄t o p o l o g i c a l e n t r o p yc a nb eg e n e r a l i z e dt ot o p o l o g i c a lp r e s s u r e i np a r t i c u l a r ，w a t e r s 【9 】g e n e r a l i z e dt h e c l a s s i c a lv a r 址i o n a lp r i n c i p l eo fe n t r o p yf 5 ，6 ，7 】t oo b t a i nt h ef o l l o w i n gv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e p 功= 胙m s u ( p 置脚 缸( 功+ i - x 妒咖) ， 胙m ( 置x ) w h e r e i sac o n t i n u o u sr 朗d - 哦山e df u n c t i o no i lc o m p a c tm e t r i cs p a c ex ，ti s c o n t i n u o u s m a po i lxi n t oi t s e l f , p ( 正功i st h et o p o l o g i c a lp r e s s u r eo f9 ，m ( e 硼i st h es e to fi n v a r i a n t p r o b a b i l i t y m e a s u r e s o f t ，a n d f o r e a c h t - i n v a c i a n t m e a s u r e p ，k ( t ) i s t h e m e a s u r e - t h e o r e t i c ( o rm e t r i c ) e n t r o p yo f _ 【 一 w h e nt h em a p p i n gt u n d e rc o n s i d e r a t i o ni sah o m e o m o r p h i s m ，e x t e n d i n gt h i sp r o c e d u r e i n t o t h e p a s t i n s t e a d o f t h e f u t u r e r e s u l t s i n t h e e n t r o p y 却( t ) o f t h e i n v e r s e m a p p i n g ，w h i c h e q u a l s 泖( t ) h o w e v e r ，w h e nt h em a p i sn o ti n v e r t i b l e ，d i f f e r e n tw a y so f “e x t e n d i n gt h e p r o c e d u r ei n t ot h ep a s t ”l e a dt os e v e r a ln e we n t r o p y - l i k ei n v a r i a n t sf o rn o n - i n v e r t i b l em a p s r e c e n t l y , t h ep r e - i m a g es t r u c t u r eo fm a p sh a sb e c o m ed e e p l yc h a r a c t e r i z e d v i ae l l - t r o p i c s ( s e e 【1 1 1 6 1 ) s e v e r a li m p o r t a n tp r e - i m a g ee n t r o p yi n v 缸i a n t s ，s u c h 蠲p o i n t w i s e 1 广西大学硕士学位论文捆姊逆像埔 p r e - i m a g ee n t r o p y , p o i n t w i s eb r a n c he n t r o p y , p a r t i a lp r e - i m a g ee n t r o p ya n db u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p y , e t c h a v eb e e ni n t r o d u c e da n dt h e j rr e l a t i o n s h i p sw i t ht o p o l o g i c a le n t r o p y h a v eb e e ne 盘a b u s h e d t h i sw a 8s h o w nt ob ean e wt o o lf o rs t u d y i n gt h et o p o l o g ya n dd y - n a m i c so fc o m p a c tm e t r i cs p a c e s l a t e r ，c h e n g - n e w h o u s e 【1 7 】d e f i n e dap r e - i m a g ee n t r o p y o nac o m p a c tm e t r i cs p a c ea n dam e a s u r e - t h e o r e t i c ( o rm e t r i c ) p r e - i m a g ee n t r o p yo nam e a - s u r es p a c e ，a n dp r o v e da n a l o g so fm a n yk n o w nr e s u l t sf o rt o p o l o g i c a la n dm e a s u r e - t h e o r e t i c e n t r o p i e s i na ne a r l i e rp a p e rw i t hf z e n ga n dk y a n 【1 8 ，t h ea u t h o r sd e f i n e da n ds t u d - i e dan e wi n v a r i a n tc a l l e dp r e - i m a g ep r e s s u r ew h i c hi sag e n e r a l i z a t i o nt oc h e n g - n e w h o u s e p r e - i m a g ee n t r o p yf o rad y n a m i c a ls y s t e m i nt h i sp a p e rw ed e f i n ea n ds t u d yt w on e wk i n d se n t r o p y - l i k ei n v a r i a n t sa n dav a r i a t i o n a l p r i n c i p l er e l a t i n gt h et w o m o r ep r e c i s e l y , i nc h a p t e r2 ，w ed e f i n et h eb u n d l e - l i k ep r e - i m a g e e n t r o p y h b ( t l f ) ：= l i 。r a 。l i r 。a s 。u p 三nl o g s 。u ， p e r ( t l ，6 ，t , t - k ( a ) ) 1 n - 1 = s u p l i r a 圭l o g s u pn ( vt 一卢l t ( 枷) ， o p e nc o v e rp ”。n女n ，a e 6 ； w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o nt 0t h et o p o l o g i c a le n t r o p ya n dc h e n g - n e w h o u s ep r e - i m a g ee n t r o p y d rad 3 ，i l 锄i c a ls y s t e m ( x ，t ) ( w h e r exi sac o m p a c tm e t r i cs p a c ea n dti sac o n t i n u o u s m a pf r o mxi n t oi t s e l f ) ，a n ds t u d yi t sp r o p e r t i e s ，s u c ha sp o w e rr u l e s ，p r o d u c tr u l e sa n d t o p o l o g i c a li n v a r i a n c e l a s t ，w es h o wh o wt oc a l c u l a t eb u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p yu n d e r t h ea s s u m p t i o no ff o r w a r de x p a n s i v e n e s s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ean o t i o no fp r e - i m a g ec o n d i t i o n a lm e a s u r e - t h e o r e t i c ( o rm e t r i c ) e n t r o p yf o ra l lt - i n v a r i a n ts u b - a - a l g e b r aa ( i e t - 1 aca ) o fap r o b a b i l i t ys p a c e ( x ，b ，p ) ， n a m e l yk ( t i a ) w es h o wt h a t 。，p ( tj a ) s a t i s f yp o w e ra n dp r o d u c tm l e sa n dt h em a p p 。j k ，p ( t i a ) i sa , f f i n e l a s t ，w eg i v et h ee r g o d i cd e c o m p o s i t i o no fi t i ti sn a t u r a l 乞oa s kw h e t h e rt h e r ei s 眦a n a l o g u eo fv a r i a t i o n a lp r i n c i p hf o rt h i sp r e h n 8 9 e e n t r o p y w ew i l la d d r e s st h i sq u e s t i o ni nc h a p t e r4 t h a ti s ，f o rag i v e nd y n a m i c a ls y s t e m ( x ，t ) a n dab o r e lp a r t i t i o n o fx w i t ht 。f ! f ，w ep r o v eav a r i a t i o n a lp r i n c i p l ef o r b u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p yh b ( t 1 6 ) ： h b ( t l f ) = s u p ，( ? i 旧) ， p e m ( 置 w h e r e 旧d e n o t et h es u b - a - a l g e b r ag e n e r a t e db yfa n dm ( x ，t ) d e n o t e t h es e to fi n v a r i a n t m c 弛, s u l e so fz 2 广西大学硕士拳位论丈捆姊逆像 2 b u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p y i nt h i sc h a p t e r ，w ed e f i n ea n ds t u d yt h eb u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p ya n di t sp r o p e r t i e s d e n o t eb ynt h es e to fa l ln a t u r a ln u m b e r s a s s u m e ( x ，d ) i sac o m p a c tm e t r i c8 p a c e a n dt ：x _ xi sac o n t i n u o u sm a p w ec o n s i d e rt h eb o w e n - d i n a b u r gm e t r i c sg e n e r a t e d b yt ， 厶( z ，可；t ) ；n l 0 ，几na n das u b s e tkcx ，as u b s e teo fki ss a i dt ob e ( 竹，e ) s e p a r a t e d w i t hr e s p e c tt oti fz ，y e ，z yi m p l i e s 厶( z ，! ，；t ) e as u b s e tfo fki ss a i dt o b ea n ( n ，e ) 一s p a n n i n gs e tw i t hr e s p e c tt oti ff o re a c hz k ，t h e r ei say fs u c ht h a t 厶( z ，弘t ) f l e tr ，lk ) b et h em a x i m a lc a z d i n a l i t yo fhe ) - s e p a r a t i n gs e to ftf o r ko rt h es m a l l e s tc a r d i n a l i t yo f ，e ) 一s p a n n i n g 哦o ftf o rk i fo ti sa no p e nc o v e r so f x ，a n dt h e nd e n o t eb yn ( c t i k ) t h es m a l l e s tc a x d i n a l i t yo fm b c o v e ro fqw h i c l lc o v e r sk w h e nk = x ，w ew r i t en k ) s i m p l y ( 口) i ti sn o th a r dt 0s e et h a tn ( c d k ) n ( d i k ) f o re a c ho p e nc o v e r sn ，卢w i t ha5p ( i e f o re a c hb p ，t h e r ei sa na o ls u c ht h a t acb ) i fna n d 卢a r et w oo p e nc o v e r so fxl e tq v 卢= a nb ：a o ，b p ) a n d t - 1 q = t - 1 ( a ) ：a a f o r a no p e nc o v e r a l e t n - i t o = q v t - 1 n v v t 一( 1 ) q ， i = o a n dt h es t a n d a r dt o p o l o g i c a le n t r o p yo ft ( s e e 【2 1 ) i sd e f i n e db y 1 n - i ( t ) = 卫一l i r a 。- 。1l o g n ( v ，t - i a ) c o v e r o t o 钟n n _ + n l e tfb ea n yp a r t i t i o no fx ，a n db u n d l e - l i k ep r e - i m a g ee n t r o p yo ftw i t hr e s p e c tt of i sd e f i n e da s ： 1 删归l i r a l i m s 。u p 三n l o g k 裟r ( ”，正t - 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