（控制理论与控制工程专业论文）混沌和超混沌系统的模型生成及应用研究.pdf

a b s tr a c t ab s t r a c t t h e rea l w o r l d i s n o n l i n e a r . i f h u m a n b e i n g s w a n t t o i n v e s t i g a t e t h e n a t u r e mo re c l e a r l y , i t i s n e c e s s a ry t o s t u d y t h e c o m p l e x n o n l i n e a r s y s t e m . c h a o s , w h i c h i s a d e t e r m i n i s ti c s y s t e m w i t h r a n d o m b e h a v i o r s , e x i s t s i n t h e w o r l d a n d i s o n e o f t h e i m p o r t a n t r e s e a r c h fi e l d s o f n o n l i n e a r s y s t e m s . w i t h t h e c o n t i n u a l e n d e a v o r f o r t h e p a s t f o r ty y e a r s , c h a o s t h e o ry h a s o b t a i n e d l o t s o f s u b s t a n t i a l r e s u l t s a n d a l r e a d y b e e n a p p l i e d i n s o m e fi e l d s s u c h a s c o m m u n i c a t i o n a n d i n f o r m a t i o n p r o c e s s . a t p r e s e n t , it i s n o t d i ff i c u l t t o c o n s t r u c t a g e n e r a l c h a o t i c s y s t e m w i t h t h e a i d o f c o m p u t e r . t h e re a r e n o m a t u r e t h e o r e t i c m e t h o d s t o g e n e r a t e s p e c i a l c h a o t i c s y s t e m s , f o r e x a m p l e o n e s y s t e m w i t h a c o m p l e x a t t r a c t o r b u t h a v 吨 a v e ry s i m p l e a l g e b r a i c f o r m. i t i s a l s o d i ff i c u l t t o c o n s t r u c t n e w h y p e r c h a o s . t h e m e t h o d i s t o c a l c u l a t e t h e l y a p u n o v e x p o n e n t s 妙n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s a n d d e c i d e w h e t h e r i t i s h y p e r c h a o t i c o r n o t . t h e p a p e r i n t r o d u c e s t h e d e v e l o p m e n t o f c h a o s a t fi r s t , a n d t h e n s u m m a r i z e s t h e b a s i c k n o w l e d g e o f d y n a m i c a l s y s t e m s a n d d e s c r i b e s s o m e me t h o d s f o r n u me r i c a l a n a l y s i s o f c h a o s i n d e t a i l s . b a s e d o n t h e c u r r e n t re s e a r c h e s , g e n e r a t i n g s p e c i a l c h a o ti c a n d h y p e r c h a o t i c s y s t e ms a r e s t u d i e d i n t h i s p a p e r . a t la s t , w e a p p l y t h e c h a o ti c s y s t e m i n t h e m i s s i l e s m a n e u v e r i n g , a n d t h e n v e r i 斤t h e v a l i d i t y o f t h i s m e t h o d b y s i m u l a t in g . t h e m a i n w o r k s a r e a s f o ll o w s : 1 . a n e w s m o o t h t h re e - d i m e n s i o n a l q u a d r a t i c a u t o n o m o u s s y s t e m i s r e p o r te d . t h e n e w s y s t e m is a b l e t o g e n e r a t e a s i n g l e t h r e e w i n g s o r f o u r w i n g s a t t r a c t o r . f u r t h e r m o re, t h e re a r e t w o d i ff e r e n t a t t r a c t o r s e x i s t i n g i n t h e s y s t e m w i t h d i ff e re n t i n i ti a l v a l u e s . a n d t h e t w o a t t r a c t o r s c a n b o t h b e c h a o ti c , o n e c h a o t i c t h e o t h e r p e r i o d i c , a n d b o t h b e p e r i o d i c . 2 . t w o n e w h y p e r c h a o t i c s y s t e m s a r e p r o p o s e d . o n e s y s t e m h a s o n l y o n e e q u i li b r i u m a n d t h e o t h e r h a s t h r e e o n e s . t h e t w o s y s t e m s a r e b o t h f o u r - d i m e n s i o n a l q u a d r a t i c mo d i f i e d fr o m t h e l o r e n z s y s t e m . t h e y a r e b o t h h y p e r c h a o t i c w h e n p a r a m e t e r v a r i e s i n a l a r g e r a n g e , a n d t h e y h a v e t w o b i g p o s i ti v e l y a p u n o v e x p o n e n t s . t h e n o v e l h y p e r c h a o ti c s y s t e m c a n b e a p p l i e d i n e n g i n e e r in g w i t h g o o d p r o s p e c t i n t h e o ry . 3 . a p p l y t h e c h a o t i c t i m e s e r i e s i n t o t h e m i s s i l e s m a n e u v e r i n g . t h e e x p e c t e d t r a j e c t o ry o f m i s s i l e i s u n p r e d i c t a b l e . c o n s i d e r i n g t h e p r o p e rt i e s o f c h a o s , w e m i x e d t h e c h a o t i c t i m e s e r i e s i n t o t h e r e f e r e n c e s i g n a l s d i r e c t l y . u s i n g t h e p i d c o n t r o l l e r , w e m a k e s u r e t h e m i s s i l e c a n h i t t h e t a r g e t , a n d t h e n a n a l y z e t h e d a t a o b t a i n e d fr o m t h e c o n t r o l l e d m i s s i l e s y s t e m . t h e t r a j e c t o ry c a n b e c o n s i d e r e d a s c h a o t i c 勿 c a l c u l a t i n g t h e l a r g e s t l y a p u n o v e x p o n e n t . k e y w o r d s : c h a o s , h y p e r c h a o s , 切a p u n o v e x p o n e n t , b i f u r c a t i o n d i a g r a m , a t t r a c t o r , a u t o n o m o u s s y s t e m, t h e a p p l i c a t i o n o f c h a o s , m i s s i l e ma n e u v e r in g 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了 解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容:按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本;学校有权保存学位论文的印刷本和电 子版，并采用影印、缩印、 扫描、 数字化或其它手段保存论文; 学校有权提供目 录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅 览服务; 学校有权按有关规定向国家有 关部门 或者机构送交论文的复印件和电子版; 在不以 赢利为目的的前 提下，学校可以 适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学 位 论 文 作 者 签 名 : tt 叫 年 r 月 诗 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名:学位论文作者签名: 解密时间: 年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下: 谕 落 幕 嚷藻 奔漪受 拜 碑羹 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明: 所呈交的学 位论文， 是本人在导师指导下， 进行 研究工作所取得的成果。 除文中已 经注明引用的内容外， 本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、 己 公开发表或者没 有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体， 均己 在文中以明确方式标明。 本学位论文原创性声明 的法律责任 由本人承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 : 杨勿 a 月 年 全月 l t 日 d e v a n e y 定义: 1 . 拓扑传递性: 对 所 有 在x 之中 非空 的 开区 间u 和x ， 存 在一 个 正 整 数k 使 得产 田) 与v 的 交集不是空集合。 2 . 周期点在x中是稠密的: 如果在x之中的x 点， 存在一个自 然数经过f 函数作用n 次之后等于x自己， 则我们称x 为周期点。对于x 的最小的n 正整数，我们称n为x的最小周期。 如果 对于 任意两 个在x之中 的 数a 与b , a # b , a b ，必 存在周期点p 而 且 a p b ， 则我们称f 的所有周期点 在x之中是稠密的。 3 . 初值的敏感依赖性: 如果存在一个正实数s 使得每一个在x之中的点x 与x 的领域n， 存在一个 在n的点y 以 及一个非负的正整数n 使得x 与y 点经过f 函数n 次的转换后, f ( x ) a n d f ( y ) 的距离大于s 。 混沌的数学含义( l i - y o r k ) 如果区间 0 , 1 上的 迭代x n = f ( x , 1 ) 具有下面性质， 就说它有混沌现象: 迭代x n = f ( x n - 1 ) 的周期点的 周期无上限。 区间 0 , 1 有个不可数子集s 使得: ( 1 ) 对于5 中的任意不同两点x 0 , y 0 ， 考虑迭代x = f ( x n - 1 ) 和y - f ( y n - 1 ) ， 当n l么 趋于无穷 大时， x n 和y n 间 距 离的 上极限 大于0 ， 下极限 等于。 。 ( 2 ) 设x o 是迭 代的 任一周期点， y o 是s 中 的 任 意一点， 考虑 迭代x n = f ( x n - 1 ) 和y n = f ( y n 1 ) ，当n趋于 无穷大时， x . 和y n 间 距离的 上极限 大于。 混沌研究简史 1 9 0 3年法国数学家庞加莱( h .p o i n c a r e , 1 8 5 4 - 1 9 1 2 ) 研究三体问 题时，发现了随机 解。 保守系统k a m定理显示了保守系统中可能出现混沌现象 1 9 6 3 年l o r e n z 的 著名论文 确定 性的非周期流 1 9 6 4 年，法国天文学家伊侬给出了h e n o n 映射 1 9 7 1 年法国数学物理学家d . r u e l l e 与荷兰学者f . 述湍流形成机理的新观点 第一次提出用混沌来描 1 9 7 5 年李天岩与美国数学家y o r k e 发表 周期三蕴涵混沌 1 9 7 6 年著名生态学家m a y 发表 复杂动力学过程的简单数学模型 1 9 7 8 -1 9 7 9 年费根鲍姆常数 1 9 8 4 年我国著名科学家郝柏林编撰 混沌一书 第一章绪论 第一章 绪论 第一节 引 言 “ 巴西亚马孙河丛林里一只蝴蝶扇动了 几下翅膀， 几个月 后在美国 的得克 萨斯州引起了一场龙卷风” ，这就是著名的 “ 蝴蝶效应” 。它是由被称为 “ 混沌 之父”的洛仑 兹 ( l o r e n z )在 1 9 7 9 年的 一次 演讲中 提到的。 它生动有趣地阐 述 了系统的演化 对初始条件十分敏感， 继而诞生了 一门新兴的 学科 混沌学。 经典的牛顿力学认为，如果已知物体所受的力和它的 初始状态， 则它在状 态前后的运动是 完全确定的，这类运动 可重 现。 拉普拉斯( l a p l a c e ) 的 决定 论 认为:只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动 力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去和将来的一切情况。可是现实世界 中，初始状态不可能绝对精确， 这取决于尺子的精度。 对于某些系统， 初始条 件哪怕只有微小的差别，最终状态也会截然不同。于是长期的预测变得不可能。 混沌理论否定了包括宏观世界拉普拉斯式的决定型因 果律。 近几十年来， 各个 领域的 学者 投入到混 沌理论的研究中， 掀起了混 沌研究的 热潮。 混沌最主要的特性就是初值敏感性。在很多控制问题中，我们希望能抑制 混沌，使得系 统稳定。而在另外一些问 题中， 却可以 很好地利用混沌。比 如混 沌用于加密中，如果把混沌系统的初值作为密钥，那么密钥相差一丁点也无法 解密。于是，人们寻找结构简单的混沌系统，物理上能很好的实现，另外要求 系统有很好的动力学行为。如何将一个非混沌系统控制到混沌状态或者加强一 个混沌系统，也就是混沌反控制的问题。目前，有意的构造混沌系统是比较容 易的。 不过， 构造简单的有特殊性质的混沌系统或超混沌系统还没有形成一套 系统的比较成熟的理论方法，还需要通过数值仿真手段来研究。 第二节 混沌、超混沌概述 1 . 2 . 1混沌理论的发展 混沌 ( c h a o s ) 一词可以 追溯到公元前8 0 0 年， 来自 于希腊语， 意思是混乱， 完全无序。1 8 8 7 年， 瑞典国 王奥斯卡二世为庆祝他的6 0 岁生日 ， 举办了 一次数 第一章绪论 学问题比 赛， 悬赏2 5 0 0 克郎。比 赛的 题目 是找到n体问 题的 所有解， 证明 太阳 系的稳 定性。 这个 奖最终于 1 8 8 9 年 颁给了 数学家庞 加莱 ( h e n r i p o i n c a r e ) ，因 为他长 达2 7 0 页的论 文 “ 关 于三体问 题的 动态方程” 。简单的说，即 使是在简单 的三体问题中， 方程的 解的 状况也 非常复 杂，以 至于对于给定的初始条件，几 乎是没有办法 预测当时间趋于无穷时的 最终状态。 这种 对于轨道的 长时间 行为 的不确定性，就是混沌理论的起源，不过当时并没有明确提出。庞加莱在著作 中写道: “ 如果我 们可以 正确地了 解自 然定律以 及宇宙在初始时刻的 状态， 那么 我们就能够正 确地预言这个宇宙在 后继时 刻的状 态。不过， 即使自 然定律对我 们己 无秘密可言， 我们也只能近似 地知 道初始状 态。如果情况容许我们以同 样 的 近似度预见 后继的 状态， 这就是 我们所要求的 一切，那我们便说该现象被预 言到了，它受 规律支配。但是，情 况并非总是如 此:可以发生这样的 情况: 初 始条件的微小 差别 在最后的 现象中 产生了 极大的差别。预言变得不可能了， 我 们有的是偶然发生的现象” 1 9 2 7 年， 丹麦电 气工程师v a n d e l p o t 在研究氖灯 张弛振荡 器的 过程中， 发 现了一 种重要的现象 并将它解释为 “ 不规则的 噪声” ， 即所谓v a n d e l p o t 噪声。 二战期间， 英国科 学家重复了 这一实 验并开始提出 质疑， 后来的研究发现v a n d e l p o t 观察到的不 是 “ 噪声” ，而是 一种混沌现象。 1 9 6 1 年，气象学家洛仑兹 ( l o r e n z )为了 预报天 气，他 用计算机求解描述 地球大 气的1 2 个方程式 l 。 在一 次试验中， 洛仑兹用计算机算出了 一长段数据， 并得出了 一个天气变化的系列。为了 对运 算结果 进行核对并节省点时间， 他把 前一次 计算的 一半处得到的数据作 为新的 初始值输入计算机。一个小时 后当 他 又回到计算机旁的时候，一个意想不到的事情使他 目瞪口呆了，新一轮计算数 据与上一轮的 数据相差如此之大， 仅仅表 示几个月的两组气候数据逐渐分道扬 镰， 最后竟变得毫无相近之处，简 直就是 两种类型的气候了 。开始时 洛仑兹想 到可能是他的计算机出了故障，但很快他知道问题出在他输入的数字中。他的 计算机的存储 器里存有 6 位小数， 而在打印时 省些地方只打出了3 位。洛 仑兹 原本认为 舍弃这只有千分之一大小的 后几位数无关紧要;但结果却表明，小 小 的误差却带来了巨大的 “ 灾难” 。这种对初值极为敏感的现象后来被称为混沌。 2 0 世纪7 0 年代开始， 科学界 掀起了 混沌研究的第一次热潮， 混沌理论 研究 在多个领域广 泛展开，并取得了很 大成就。 1 9 7 1 年法国 物理学家d . r u e l l 和荷 兰数学家f . t a k e n s 发表了“ 论湍流的 本质” 一文2l，首先提出了 用混沌来描 述 第一章绪论 湍流形 成机理的 新观点，引 入 “ 奇怪吸引 子” 这一概念。1 9 7 5年美籍华人李天 岩 ( t . yl i ) 和美国 数学家j . y o r k 在 数学月刊杂志上 发表了 论文 “ 周期3 意 味 着 混沌 3 ， 揭 示了 从 有 序到 混 沌的 演 变 过 程。 1 9 7 6 年 美 国 生 物学 家r . m a y 在 自 然杂志上发 表了“ 具有极复杂的动力学的简单数学模型” 一文14 1 ，重 点 讨论 了l o g is tic 方 程， 展 示了 一 些 简 单的 数 学 模 型 也 能 产 生 倍 周 期 分 岔 和 混 沌 运动。1 9 7 7年在意大利召开的 第一次国 际混沌会议，标志 着混沌学 正式诞生。 1 9 7 8 年 美国 物 理 学 家 费 根 包 姆 ( m . j . f e i g e n b a u m ) 在 统 计 物 理 学 杂 志 上发 表关于 普适性的文 章 “ 一类非线性 变换的定量的普适性” 1 5 1 ，把混沌研究从定 性分析推进到定量计算阶段，成为混沌研究的一个重要里 程碑。 2 0 世纪8 0 年代， 人们着重研究如何从有序进入新混 沌， 以 及混沌的性 质和 特点。 美籍法国数学家曼德布罗特 ( b . b . m a n d e l b r o t ) 用计算机绘制了 世界 上 第 一 张m a n d e lb r o t 集 的 混 沌图 像 6 1 。 后 来， 德国 的p r ic h te r 教 授 和h . p e it g e n 教授共同 研究分形流域的边界，作出了 精美绝伦的混沌图 像。1 9 8 3年， 加 拿大 物理学家 g r a s s b e r g e r 在 物理学杂志上发表文章 “ 计 算奇 异吸引 子的 奇 异程 度” 71 ， 开 创 了 全 世 界计 算 时 间 序 列 维 数 的 热 潮 。 1 9 8 4 年， 中 国 著 名 的 混 沌 科 学家郝柏林 混沌一书在新加坡出 版1 8 1 ，为混沌科学的发 展起到了一定的 推 动作用。 t a k e n s 等人根据拓扑嵌入定理提出重构动力学轨 道相空间的 延迟法a - g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c ia 首 次 运 用 相空 间 重 构 方 法 【10 , 1 1 ， 从 试 验 数 据 时 间 序 列 计 算出混沌吸引子的 统计特征， 混沌理论研究 进入实际 应用阶段。 进入9 0 年代， 混沌科学与其 它科学 相互渗透。 在生 物学、 生理学、 心理学、 物理学、化学、数学、电子学、信息科学、音乐和艺术等领域都有广泛的应用。 美国 海军 部官员m . s h l e s i n g e r 说 “ 2 0 世纪科学将永远铭记的只有三件事， 那就 是相对论，量子力学和混沌” 。物理学家j . f o r d 认为混沌是 2 0 世纪物理学第三 次最大的革命，他说 “ 相对论消除了 关于 绝对空间和时间的幻象; 量子力 学则 消除了关于可控测量过程的 牛顿式的梦; 而混沌则消除了 拉普拉斯关于决 定论 式可预测性的幻想。 ” 客观世界丰富多彩， 复杂多变，这正是非线性系统的杰作。 非线性科学几 乎涉及 自 然科学和社会科学的各个领域，也越来越受到各个学科的关注。而混 沌作为非线性科学中重要的 分支，被各领域深入地研究。棍沌是一种在确定性 系统中 所出 现的 类似随机而无规则的动力学行为，是非线性系统中存在的 一 种 普遍现象，它是非线性系统所特有的一种复杂状态。 第一章绪论 1 . 2 . 2超混沌系统 超馄沌系统是混沌系统中的一种特殊情况。混沌系统统计特征之一为 l y a p u n o v 指 数 ， 其 大 小 说明 混 沌 系 统 对 初 值 的 敏 感 程 度。 一 般 的 混 沌 系 统 只 有 一 个 正 的l y a p u n o v 指 数， 而 有 两 个以 上 正助a p u n o v 指 数的 混 沌 系 统 则 称 为 超 混沌系统。 1 9 7 9 年， r o s s l e r 发现了 第一个超混沌系 统 12 1 。 随后有人发 现了l o r e n - h a k e s 系 统 13 1 ， 超 混 沌c h u a 电 路 14 16 ， 超 混 沌 陈 系 统 171 以 及 超 混 沌吕 系 统 18 等 。 这些都是4 维的自 治系统。更高维的系统更 容易产生超混沌现象 0 9 1 ，不过由 于 系统太复杂了，这方面的研究还不是很多。 应 用简单的混 沌系统实现的信息隐 藏并不总是安全的2 0 1 ， 这个缺点可以 用 高维的超混 沌系统来解决，因为超混沌系统具有更强的随 机性和更高的不可 预 测 性 12 11 。 对 于 超 混 沌 系统 ， 由 于不 只 一 个 正 的助 a p u n o v 指 数 ， 动 力 学 系 统 在 不 只一个方向扩展，进而产生更复杂的吸引子。超混沌系统具有更复杂更无序的 特 性 ， 可 以 应 用 在 非 线 性电 路 2 2 1 ， 保 密 通 信 2 31 ， 激 光24 1 ， c o lp itt s 振 荡 器 25 1 ， 控制2 6 1 与同 步 2 7 , 2 8 1 等 众多 领域中。 要生 成超混 沌， 必须 满足两个条 件: ( 1 ) 嵌 入超混 沌吸引 子的 相空间 至少是4 维的， 也就是说 祸合的 一阶自 治微分方程必须是4个以 上。 ( 2 ) 产生不稳定的 祸 合方 程数目 必须多 于两个， 其中 一个必须有非线性函数 1 2 1 .当 然这些条件只 不 过是必要的， 要想产生超混 沌还需要其它的特殊条件。 李玉霞等 人通过反馈 控 制方法在生成 超混沌系统方面取得了 一些成果2 9 1 。如 何构 造具有特殊统计性 质 的 超 混 沌 系 统 ， 比 如 正l y a p u n o v 指 数 很 大 ， 仍 是今 后 有意 义 且 极 富 挑 战 性 的 工 作。 第三节 本文的主 要工作和研究内 容 大自 然是复杂的，人类征服自然的步伐从未停止过。在人类探索的征途中， 面临越来越多的非线性问 题， 这些是线性系统理论无法解决的。 我们 必然要努 力探索非 线性的 世界。自 混沌理论提出的4 0 多 年时间 里， 吸引了 各行各业的 科 学家、 工程师们 投入大量精力孜孜不 倦的 研究，无论在基础科学还是实际 应用 上都取得了令人瞩目 的成果， 但仍未形成 普遍适用的结论和方法，需 要各界 学 者的继续努力。 第一章绪论 本文在大量已 有混沌系 统的 基础上，提出了一些新的混沌、超混沌系统。 这些新的 系统具有更好的非 线性动力学特性。本文共分为六章，其结构安排如 下: 第一章为 绪论， 介绍了 混沌、 超混沌系 统的 发展状况。 第二章为混沌动力学基础，介 绍了混沌的一 些基础知识。 重点介绍了 混沌 系统一些常用的分析方法， 如何 通过计算机数值计算来辅助分析系统的动力学 特性。 第三章提出了一个新的 三维混 沌系统。这个新的系统是连续光滑的， 最高 的非线性项是 二次的， 系统能产生一个单一的 三翼或四 翼吸引 子。 第四章提出了两个新的超混沌系统，这两个系统都是四维的。相对于己知 的 超 混 沌 系 统， 它 们 拥 有 两 个 较 大 的 正 的l y a p u n o v 指 数。 选 择 不同 参 数， 系 统 可以是周期、准周期、混沌、超混沌的。 第五章中是混沌的 一个应用研究。由于混沌具有不可预测的随机特性，我 们将混沌序列加入到导弹弹 道偏角 设定信号中，希望导弹的 轨迹具有较好的机 动能力，通过理论分析说明了这一方法的可行性. 第六章是对本文的总结 和后续 工作的展望。简单总结了 本文的创新点以 及 需要进一步研究的方向。 第二章 混沌动力学 第二章 混沌动力学 第一节 混沌的基本概念 2 . 1 . 1 l o g i s t i c 模型 在介绍混 沌定义 之前， 先来 看看l o g i s t i c 映 射， 这是离散系统中 著名的 混沌 模型。 在自 然生态上，人类或昆 虫 种群的个体 数量为 “ 人口” 或 “ 虫口” ， 其多 少取决 于食物来源，竞争者， 捕杀者等诸多因素。人们己 建立了各种模型来计 算和预测人口 或虫口 数。 经修正 过的l o g i s t i c 映 射( 虫口 模型) 如差分方程式 ( 2 . 1 ) 所示: x k , 1 = f u x k ( 1 一 x k ) ( 2 . 1 ) 其 中 ，0 k ” ( e ) 存 在 “ 的 不 可 数 子 集 s o , 对 任 意 x , y e s o , 有 浊i- f if (x ) 一 f (y ) 一 ” 对于闭区间i 上的 连续自 映 射ax ) ， 如果存在一个周期为 3的周期点， 就 一定 存在任何 正整数的周期 点， 即 一定存在混沌现象。 上述定义只说明 子集s 的 点相当 分散又 相当 集中; 并 且子集s 不会趋近于任意周期点。 这个定义只 是预言 非周期轨道的存在性，没有描述它们的测度和稳定性。 ( 2 ) d e v a n e y 意义的 混沌 在介绍d e v a n e y 混 沌定 义前， 先给出拓扑传递和敏感依赖性的定 义。 定义 2 . 1 : f: l - +i 称为 具有拓扑传递性，如果对任意两个开集u , v e i , 存 在k 0 ， 使 得尹( u ) 门 v # 护 。 定义 2 . 2 : f : i - + i 称为是 有对初值敏感依赖性，如果存在s 0 ， 对任意 : 。 和 二 的 任 意 邻 域 n ， 存 在 ， e n , n ? 0 ， 使 得 i f ( x ) - f ( y )卜 。 第二章馄沌动力学 1 9 8 9 年d e v a n e y 给出 了 一 个 更 直观 更 便 于 理 解 的 混 沌定 义 3 11 . 设 x 是 一 度 量空间， 一个连续映射f: x- + x称为x上的混沌， 如果 满足 下列条件: ( a ) f 具有对 初值的敏感依赖性 (b ) .f 是拓扑传递的 ( c ) f 的周期点在x中稠密 混 沌 系 统 的 初 值敏 感 性 ， 意 味 着 初 值 为x 和y 的 两点 ， 无 论 其 距 离 多 近 ， 在 . f 的作 用下两者的轨道可能 分开很 大的距离，这是混沌的本质特征，由 于计算 误差存在，也隐含表明了混沌系统的不可长期预测性。拓扑传递性意味着任一 点的邻 域在.f 作用下将遍历整个度 量空间。这两条正是随机系统的 特征， 但第 三条周期点的 稠密性，表明了 混沌系统的确定性和规律性。 这个定义 说明 貌似 随机实 则有序是 混沌系统的特性。 j . b a n k s等 五人在1 9 9 2 年发表的 论文中 证明 : 在上述 定义中， 拓扑传 递性和周期点的稠密 性便蕴含了 对初值的 敏感性3 2 1 。 2 . 1 . 4奇异吸引子 在2 . 1 .2 小 节中， 状态空间的相图能直 观表 示动力系统的 行为。 一般的 动力 系统， 最终都会趋向于某种稳定态， 这种 稳定态 在相空间里是由点 或点的 集合 来表示的。 这种点或点的集合对周围的轨 道似乎有种吸引的 作用， 从附 近出 发 的 任何 点都要趋近于它。系统的 运动也只 有到 达这个点或点集上才能 稳定下来 并保持下去， 这种点 或点 集就是 “ 吸引子” 。 它表示着系统的 稳定 态， 是动 力系 统的 最终归 缩，即 系统行为最终 被吸引到的 子空间。 经典力学指出，有三种类型的 吸引 子。 一种是稳定的不动点，它 代表一个 稳定状态， 也就是系统的 平衡点 ( 或 称为 不动点) ，如图2 . 3 a 中的定常 吸引子: 第二种是稳定 的“ 极限环” ， 即相空间中的 封闭 轨线， 在它外边的 轨线都向 里卷， 在它里边的轨线都向 外伸，都以 这个封闭曲 线为 其极限 状态， 极限 环代表一种 稳定的周期运动，如图 2 . 3 b中的周期吸引子;第三类吸引子是稳定的环面，代 表系统的准周期运动，见图 2 . 3 c中的环面吸引子。经常把这三种吸引子称为平 庸吸引子，其 特点是:初始状态相近的轨道， 始终比 较接近，误差始终局限在 一定范围内，因此系统的长期行为是可以预测的。 对一个动力系统来说，在长时间后系统的性态只可能是吸引子本身，其它 的性态都 是短暂的。所以 吸引子的一个重要特征是 “ 稳定性” ，它表示 着运动的 第二章 混沌动力学 最终 趋向 或 “ 演化目 标” ， 运动一旦进 入吸引 子， 就不会再离开它; 当一 个小的 扰动使系统暂时偏离吸引 子后， 它也必然会再返回来的。吸引子的另 一个重要 特征是 “ 低维性” ， 它作为相空间的点 集合， 其维数必定小于相空间 的维 数。 上述 几类吸引子， 都代表规则的 有序运动， 所以 只能用于描 述经典 动力系 统， 而不能描 述混沌运动。 有耗散的 混沌系统的 长期行为也要稳定于 相空间的 一 个低维的点 集合上， 这些点 集合 也是一 种吸引 子。但是混沌绝不可能 最终 到 达规则的有序 运动;因而 在它的吸引 子内 部，运动也是极不稳定的。 在这种吸 引 子上，系统的行为呈现典型的随 机性，是易变和不确定的。更为奇 特的是， 混沌系 统的吸引子 ( 点集合) 具有极其复杂的几何图像。奇怪吸引子( s t r a n g e a t t r a c t o r ) 既具 有稳定性和低维 性的 特点， 同时 还具有一个突出的 新特点， 即非周 期 性 它永 远不会自 相重复， 永远不 会自 交或相交。 因此，奇怪吸引 子的轨 线将会 在有限 区域内 具有无限长的长 度， 如图2 . 3 d 所示。 奇怪吸引 子也叫做奇 异吸引子或混沌吸引子。 a一定 常 吸 弓 仔b周期吸引子 奇异 吸引 子 图2 . 3几种不同 类型的吸引 子 图 2 . 2中所给出的 “ 洛仑兹吸引子” ，是在三维空间里的一类双螺旋线:系 统的轨 道在其中的一叶上由 外向内 绕到中 心附 近， 然后突然跳到另一叶的外 缘 由 外向内 绕行; 然后又突然跳回 原来的 那一叶上。 但每一叶都不是 一个单层的 曲 面， 而是有多层结构。 从中取出 任意小的 一个部分，从更精细的 尺度上看， 又是多层的曲面。所以这种螺旋线真是高深莫测、复杂异常。它永远被限制在 有限的空间内，却又永不交结，永无止境。 第二章 混沌动力学 第二节 混沌系统的常 用分析方法 2 . 2 . 1吸引子图像 离散的混沌系统一般是 用差分方 程表示的，而连续的是 用一阶微分方程组 表示的。 最直观的 观察动力系统的运动轨迹就是绘制其吸引 子图像，也就是系 统的相图。 对于自 治系统， n 维系统 有n 个状态变量， 求解差 分方 程或微分方程 后， 理论 上以 各状态变量为 某坐标，就可以绘 制 n维的相图。不过， 几何图 形 只能在三维以 下的空间展现出来，所以大于三维的系统只能选择部分状态变量 来绘制， 也就是在低维空间的投影。吸引子是系统长期演变后的稳定行为， 而 混沌对初值非常敏感，于是求解系统选择不同 初值， 必然影响到系统以 后的运 动。 不过， 绘制吸引 子只是为了观察各变量间 的关系， 只要舍弃足够时间的过 渡数据，吸引 子的形 状一 般都是一样的。 2 . 2 . 1 . 1离散系统 离散系统是以简单的迭代映射表示的，用计算机求解非常方便，其解为无 数的 点集 合。以二维 离散h e n o n 映 射举例1 3 3 1 。 h e n o n映射方程为: (x ,. = 1 - a x . + b y l n + i = x . ( 2.3) - :i .5 图2 . 4 h e n o n 映射吸引子 第二章 混沌动力 学 在流的作用下，经 过时间r 图2 . 1 0 l y a p u n o v 指数定 义示意图 2 . 2 . 3 . 1一维离散系统 首 先来 计算 最 简单的 一 维 离散 映 射的 l y a p u n o v指 数。 假设 一 维映 射为 x + , = f ( x ) ， 两 个 相 邻 的 初 始 点 为 x o 和x 0 + a x o 。 在 一 步 迭 代 之 后 ， 新 的 点 y ff 离 为: 4 , = f (x o + a x o ) 一 f ( x o ) - a x o f ( x o ) ( 2 .8 ) 其中f = d f l d x o n 次迭代 后， 这两点之间的 距离则变为: a x. = if( )(、 十 、 一 f )(x )i= df (n xo) -a xo = enle .axo (2.9 ) 取极限n 斗。，则有 l e = 1im in 丛 -帆 一 lim 1 in df (n)(xo)dx ( 2. 1 0) 通过链式 求导 法则， ( 2 . 1 0 ) 可以 改写成: 五e=h m in ,-o in if (x ) i ( 2 . 1 1 ) “称 为l y a p u n o v 指 数， 代 表 相 邻 点 之间 的 距 离 在多 次 迭 代 中 平 均 每次 迭 代所引起的指数分离大小。 对于一 维映射:当l e 0 时， 相邻点 最终按指数方式分离，这意味着运动轨道的 局部不稳定， 如果轨道有整体的 稳定因素， 则在此作用下反复折叠，形成混沌吸引 子。 在分 岔点时，l e二 0 ，系统的解在稳定的边缘。 第二章 混沌动力学 那 么 ， 对 于l o g i st i。 映 射( 2 . 1 ) ， 将/ ( x ) = ,u ( 1 一 2 x ) 代 入( 2 .1 1 ) 可 得l o g i st ic 的l y a p u n o v 指数的 计算公式: ; = 嗽黔、 一 2x;)i ( 2. 1 2) 常 用a 来 表 示助 a p u n o v 指 数 。 选 择x 0 为( 0 , 1 ) 之 间 的 任 何 值 ， 对 计 算结 果 影 响 不 大 。 这里 选 择x 0 = 0 .3 , l y a p u n o v 指 数 随 着n 增 大的 演 进 图 如 图2 . 1 1 所示 : 三 郎舫 月门口， 位n几 讨 0.1a0 500 1000 isao moo hm- 图2 . 1 1 l o g is t i c 映 射k = 4 时l y a p u n o v 指 数 演 进 图 图2 . 1 2 l o g is t i c 映射的l y a p u n o v 指数谱图 上面是对一个固定 系统的l y a p u n o v 指数的 计算， 更常 用的 是当系统中某个 参数变化时， 对应的切a p u n o v 指 数的 变化情况， 也就是指 数谱图. 同分岔图的 第二章 混沌动力学 横 坐 标 一 样， l y a p u n o v 指 数 谱图 也 是 控 制 参 数， 只 不 过 纵 坐 标 是 系 统的l y a p u n o v 指数。在绘图中， 对于每一个变化参数的取值， 计算足够长时间，认为最后所 得 的 则 是 此 确 定 系 统 的l y a p u n o v 指 数。 再 次以l o g is ti c 为 例， 参 数at 在 2 .8 ,4 1 区 间 取 值， 计 算 绘 出 的l y a p u n o v 指 数 谱图 (2 .1 1 ) 。 对比 图 ( 2 .1 ) 的 分 岔图 ， 可以 发 现是一 致的，它 们都 很好的 表现了 系统随参数变化的不同 特性.由于 场a p u n o v 指数的大小还从量上表示了混沌系统的初值敏感性，因此应用很广。 2 . 2 . 3 . 2多维系统 上面是对于一维离散系 统的求法。但是高 维系统的计算就稍微有点不同。 从己 知 的 非 线 性 方 程 计 算l y a p u n o v 指 数 ， 基 本 原 理 为: 选 择 适 当 的 初 值 ， 数 值 积分求 解方程， 将得 到一条基准轨线;同 时， 对系统的 线性化方程，选 择 n组 正交的 初始值积分求 解; 刀 个向 量在切流形作用下， 幅值改 变， 但是n 个向量都 会倾向 于最大切a p u n o v 指数方向，