（工程力学专业论文）最简规范形及机电耦合非线性系统的分岔、混沌研究.pdf

最简规范形及机电耦合非线性系统的分岔、 混沌研究 s i m p l e s tn o r m a l f o r ma n ds t u d yo n b i f u r c a t i o na n dc h a o so f e l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l e dn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m 学科专业：工程力学 研究生：田瑞兰 指导教师：张琪昌教授 天津大学机械学院 二零零七年十二月 摘要 规范形理论是化简非线性振动系统的重要手段，对于研究分岔和混沌等复杂 动力学问题具有深远的影响。最简规范形是在传统规范形理论和非线性变换理论 的基础上，最大程度地化简微分方程所得到的一种规范形。最简规范形的研究与 实际应用正朝着高维的方向发展，其求解过程非常复杂而繁琐。但是，非线性动 力系统经最简规范形理论加以简化后，可以简捷地获取其平衡点附近的动力学特 性。针对最简规范形和机电耦合非线性动力系统的动力学特性，论文的研究内容 及取得的创新性成果有以下几个方面 ( 1 ) 利用共轭算子法，研究了高维h o p 盼岔和退化h o p 盼岔最简规范形的系 数。引进特殊的非线性变换和内积，进一步简化了中心流形上的方程。获得了几 个关于n o p f 分岔和退化n o p f 分岔的最简规范形系数与传统规范形系数之间具体 关系的定理。借助m a t h e m a t i c a 语言，编制了计算高维h o p f 分岔和退化h o p f 分岔 最简规范形系数的程序。通过该程序，只需输入原动力系统方程，可得到系统具 体的最简规范形。最后利用编制的程序分别计算了一个6 维退化h o p f 分岔系统的 最简规范形和一个5 维h o p f ：分岔系统的最简规范形。结果表明6 维退化h o p f 分岔系 统的非线性项只包含5 阶项和9 阶项，5 维h 0 p f 分岔系统的非线性项只包含3 阶项和 5 阶项。 ( 2 ) 研究了高维n e i m a r k s a c k e r 分岔和退化n e i m a r k s a c k e r 分岔的最简规范形 的系数。根据最简规范形理论，通过引进特殊的非线性变换、直接计算法利第二 数学归纳法，对中心流形上的方程进一步化简，计算出n e i m a r k s a c k e r 分岔和退 化n e i m a r k s a c k e r 分岔最简规范形的非线性项中分别只包含两项。获得了几个关 于n e i m a r k s a c k e r 分岔和退化n e i m a r k s a c k e r 分岔的最简规范形系数与传统规范 形系数之间关系的定理。 ( 3 ) 运用可逆线性变换和近恒同变换，研究了不经计算传统规范形，直接计 算高维非线性动力系统的最简规范形。引进可逆线性变换，将非线性动力系统的 线性矩阵拓扑等价于符合实际研究需求的分块对角线矩阵：相伴矩阵分布在对角 线上，其余元素均为0 。利用低阶项来化简高阶项，得到了高维非线性动力系统 的最简规范形。在该最简规范形中，对应于每一个相伴矩阵的非线性系数矩阵， 只有最后一行含有非0 元素，其余各行元素均为0 。借助m a t h e m a t i c a 语言，编制 了计算高维非线性动力系统最简规范形的通用程序。运行该程序，分别计算了2 维、3 维、4 维、6 维和7 维非线性动力系统直到4 阶的最简规范形。 ( 4 ) 运用含有参数的可逆线性变换和含有参数的近恒同变换，提出了不计算 传统规范形，直接计算含参非线性动力系统最简规范形的一种计算方法。借助 m a t h e m a t i c a 语言，编制了计算含参非线性动力系统的最简规范形的通用程序。 ( 5 ) 利用含有参数的可逆线性变换和含有参数的近恒同非线性变换，得到一 类机电耦合非线性系统的最简规范形。进一步得到了该系统的普适开折以及开折 参数与原系统参数之间的关系。讨论了该系统的余维2 分岔，揭示了各参数对机 电耦合系统动力学行为的影响，对系统的参数设计、稳定运行和故障诊断提供了 理论依据。给出了该机电耦合系统的数值仿真结果，验证了理论分析结果。 ( 6 ) 利用s i l n i k o v 定理，讨论了具有自动频率跟踪功能电磁振动机械系统的混 沌特性。借助卡尔达诺公式和微分方程组级数解分别讨论了该系统的特征根问题 和同宿轨道的存在性，进而比较严密地证明了该系统s i l n i k o v 型s m a l e 混沌的存在 性，并给出发生s i l n i k o v 型s m a l e 混沌所需条件。利用数值模拟得到该类机电耦合 系统的相轨迹图、l y a p o n o v 指数谱和l y a p o n o v 维数，进一步验证了该非线性系统 存在奇怪吸引子。 关键词：最简规范形机电耦合非线性动力系统电磁振动机械余维2 分岔混 沌系统 a b s t r a c t n o r m a lf o r mt h e o r yi so n eo ft h eu s e f u lt o o l si nt h es t u d yo fn o n l i n e a rd y n a m i c s a n ds t r e s s e sap r o f o u n di n f l u e n c eo nc o m p l e xd y n a m i ct h e o r ys u c ha sb i f u r c a t i o na n d c h a o sd y n a m i c s t h es i m p l e s tn o r m a lf o r mi st h en o r m a lf o r mt h a tc a nb eu s e dt o d e e p l ys i m p l i f yt h eo r i g i n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb a s e do nc o n v e n t i o n a ln o r m a lf o r m a n dn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o nt h e o r y t h es t u d ya n dt h ea p p l i c a t i o no ft h es i m p l e s t n o r m a lf o r ma r ed e v e l o p i n gt oh i g h d i m e n s i o n t h ec o m p u t a t i o no ft h es i m p l e s t n o r m a lf o r mi sv e r yc o m p l i c a t e d b u t ，n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sc a l lb es i m p l i f i e d b yt h es i m p l e s tn o r m a lf o r mm e t h o da n dt h en o n l i n e a rd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h e s e s y s t e m sn e a rc r i t i c a le q u i l i b r i u mc a nb eo b t a i n e dm o r ee a s i l y a i m i n ga tt h es i m p l e s t n o r m a lf o r ma n dt h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h ee l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l e dn o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m , t h er e s e a r c hc o n t e n t sa n dt h ei n n o v a t i v ec o n t r i b u t i o n so ft h i s d i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ( 1 ) t h ec o e f f i c i e n t s o ft h e s i m p l e s t n o r m a lf o r m so fh i g h - d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e dh o p fa n dh i g h d i m e n s i o n a lh o p fb i f u r c a t i o n ss y s t e m sa r ed i s c u s s e du s i n g t h ea d j o i n to p e r a t o rm e t h o d ap a r t i c u l a r 。n o n l i n e a rs c a l i n ga n da ni n n e rp r o d u c ta r e i n t r o d u c e da n dt h ec e n t r a lm a n i f o l de q u a t i o n sa r es i m p l i f i e d t h e o r e m sa r e e s t a b l i s h e df o rt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft h es i m p l e s tn o r m a lf o r m si nt e r m so ft h e c o e f f i c i e n t so ft h ec o n v e n t i o n a ln o r m a lf o r m so fh o p fa n dg e n e r a l i z e dh o p f b i f u r c a t i o n ss y s t e m s s y m b o l i cp r o g r a mi sd e s i g n e dt op e r f o r mt h ec a l c u l a t i o no ft h e c o e f f i c i e n t so ft h es i m p l e s tn o r m a lf o r m su s i n gm a t h e m a t i c a t h eo r i g i n a lo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni sr e q u i r e di nt h ei n p u ta n dt h es i m p l e s tn o r m a lf o r mc a nb e o b t a i n e da st h e o u t p u t f i n a l l y ，t h es i m p l e s tn o r m a l f o r mo f6 - d i m e n s i o n a l g e n e r a l i z e dh o p fa n d5 - d i m e n s i o n a lh o p fb i f u r c a t i o ns y s t e ma r ed i s c u s s e db y e x e c u t i n gt h ep r o g r a m t h eo u t p u t ss h o wt h a tt h e5 t h - o r d e ra n d9 m - o r d e rt e r m sr e m a i n i n6 - d i m e n s i o n a lg e n e r a l i z e dh o p fa n dt h e3 r d - o r d e ra n d5 o r d e rt e r m sr e m a i ni n 5 - d i m e n s i o n a lh o p fb i f u r c a t i o ns y s t e m ( 2 ) t h ec o e f f i c i e n t so ft h es i m p l e s tn o r m a lf o r m so fb o t hh i g h d i m e n s i o n a l n e i m a r k s a c k e ra n dg e n e r a l i z e dn e i m a r k - s a c k e rb i f u r c a t i o ns y s t e m sa r ed i s c u s s e d o nt h eb a s i so ft h es i m p l e s tn o r m a lf o r mt h e o r y , u s i n ga p p r o p r i a t en o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s ，d i r e c tc o m p u t a t i o na n dt h es e c o n dc o m p l e t ei n d u c t i o n ，t h ec e n t r a l ， i i i m a n i f o l de q u a t i o n sa r ef u r t h e rr e d u c e dt ot h es i m p l e s tn o r m a lf o r m sw h i c ho n l y c o n t a i nt w on o n l i n e a rt e r m s t h e o r e m sa r ee s t a b l i s h e df o rt h ee x p l i c i te x p r e s s i o no f 也es i m p l e s tn o r m a lf o r m si nt e r m so ft h ec o e f f i c i e n t so ft h ec o n v e n t i o n a ln o r m a l f o r m so fn e i m a r k - s a c k e ra n dg e n e r a l i z e dn e i m a r k s a c k e rb i f u r c a t i o n ss y s t e m s ( 3 ) a p p l y i n gar e v e r s i b l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o na n dan e a r - i d e n t i t yt r a n s f o r m a t i o n t h es i m p l e s tn o r m a lf o r m sf o r h i g h d i m e n s i o n a ln o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mi s s t u d i e dw i t h o u tc a l c u l a t i n gi t st r a d i t i o n a ln o r m a lf o r m u s i n gar e v e r s i b l el i n e a r t r a n s f o r m a t i o n ，t h em a t r i xo ft h el i n e a rp a r tf o rt h en o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mi s t o p o l o g i c a l l ye q u i v a l e n tt ot h eb l o c kd i a g o n a lm a t r i xt h a ta d a p t st ot h ed e m a n do ft h e p r a c t i c a lr e s e a r c h ：c o m p a n i o nm a t r i x e sd i s t r i b u t eo nt h ed i a g o n a ll i n ea n dt h e r e m a i n i n ge l e m e n t sa r ez e r o i no r d e rt oo b t a i nt h es i m p l e s tn o r m a lf o r m , w eu s e l o w e ro r d e rn o n l i n e a rt e r m si nt h en o r m a lf o r mf o rt h es i m p l i f i c a t i o n so f h i g h e ro r d e r t e r m s 。i nt h es i m p l e s tn o r m a lf o r m ，t h en o n l i n e a rc o e f f i c i e n tm a t r i xc o n t a i n sn o n z e r o e l e m e n t so n l yi nt h er o w c o r r e s p o n d i n gt ot h el a s tr o wo fe a c hc o m p a n i o nm a t r i xa n d z e r oe l e m e n t si nt h er e m a i n i n gr o w s 。t h eg e n e r a lp r o g r a mw i t ht h em a t h e m a t i c a l a n g u a g ei sp r o v i d e d , w h i c hc a nc o m p u t et h es i m p l e s tn o r m a lf o r mo fa n 。a r b i t r a r y n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e me a s i l y f o rn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m so f 2 d i m e n s i o n a l ， 3 - d i m e n s i o n a l ，4 一d i m e n s i o n a l ，6 d i m e n s i o n a la n d7 - d i m e n s i o n ，t h es i m p l e s tn o r m a l f o r m su pt oo r d e r4a r ed i s c u s s e db ye x e c u t i n gt h ep r o g r a m ( 4 ) a p p l y i n gar e v e r s i b l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o na n dan e a r - i d e n t i t yn o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o nw i t hs m a l lp a r a m e t e r s ，t h e c a l c u l a t i n gm e t h o da c c o r d i n gt o t h e s i m p l e s tn o r m a lf o r m so fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sw i t hp e r t u r b a t i o np a r a m e t e r s i so b t a i n e d t h eg e n e r a lp r o g r a mw i t ht h em a t h e m a t i c al a n g u a g ei s p r o v i d e d ，w h i c h c a nc o m p u t et h es i m p l e s tn o r m a lf o r mo ft h em e n t i o n e da b o v en o n l i n e a rd y n a m i c a l s y s t e me a s i l y ( 5 ) a p p l y i n gar e v e r s i b l el i n e a rt r a n s f o r m a t i o na n dan e a r - i d e n t i t yn o n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o nw i t hp a r a m e t e r s ，t h es i m p l e s tn o r m a lf o r mo fa ne l e c t r o m e c h a n i c a l c o u p l e dn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e mi so b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h eu n i v e r s a lu n f o l d i n g a n dt h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e ni t sp a r a m e t e r sa n dt h ep a r a m e t e r so ft h eo r i g i n a l n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e ma r eo b t a i n e d t h ec o d i m e n s i o n t w ob i f u r c a t i o ni s a n a l y z e da n dt h ee f f e c t so fv a r i o u sp a r a m e t e r st ot h ed y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h e s y s t e mm e n t i o n e da b o v ea r er e v e a l e d , w h i c hl a yat h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf o rt h e p a r a m e t e rd e s i g n ，s t a b l eo p e r a t i o na n df a u l td i a g n o s i so far e a ls y s t e m t h en u m e r i c a l s i m u l a t i n gr e s u l t so ft h ee l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l e dn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e ma r e o b t a i n e d ，w h i c hv e r i f yt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e t i c a la n a l y s i sr e s u l t ( 6 ) b a s e d0 1 1t h es i h a i k o vc r i t e r i o n ，t h ec h a o t i cc h a r a c t e r so fm e c h a n i c a l l ya n d e l e c t r i c a l l yc o u p l e dn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m sa r ed i s c u s s e d u s i n gc a r d a n o f o r m u l aa n ds e r i e ss o l u t i o no fd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，e i g e n v a l u ep r o b l e ma n dt h e e x i s t e n c eo fh o m o c l i n i co r b i ta r es t u d i e dr e s p e c t i v e l y f u r t h e r m o r e ，ar i g o r o u sp r o o f f o rt h ee x i s t e n c eo fs i l n i k o v - s e n s es m a l eh o r s e s h o e sc h a o si sp r e s e n t e da n ds o m e c o n d i t i o n sw h i c hl e a dt ot h ec h a o sa r eo b m i n e d t h es p a c et r a j e c t o r y , t h el y a p u n o v e x p o n e n ta n dt h el y a p u n o vd i m e n s i o na l ei n v e s t i g a t e dv i an u m e r i c a ls i m u l a t i o n ， w h i c hs h o wc h a o t i ca t t r a c t o re x i s t e di nt h en o n 1 i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s k e yw o r d s ： s i m p l e s tn o r m a lf o r m ，e l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l e d ，n o n l i n e a r d y n a m i c a ls y s t e m , e l e c t r o m a g n e t i c v i b r a t e m a c h i n e ， c o d i m e n s i o n - t w ob i f u r c a t i o n ，c h a o t i cs y s t e m v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在可! ! j j ：j 指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文啤一特别加以标汴和致端之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得玉逢垃或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本讲究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：l 习群三 签f i 期：2 驴7 9 年2 月2 夕| _ 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解丞壅盘堂 育关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件删融髓。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：田2 年三 导师签名： 孤篌汤 签字r 期： 厶。口g 年三月箩t - t签字r 期：加d 矽年2月移f t 第一章绪论 1 1 研究背景 第一章绪论 现实中的动力系统总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间 隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元 器件饱和特性、控制策略非线性等等。通常在某些情况下，线性系统模型可提供 对真实系统动力学行为的很好逼近。然而，这种线性逼近在许多情况下并非可靠 的，被忽略的非线性因素有时会在分析和计算中引起无法接受的误差，使理论结 果与实际情况有着失之毫厘，差之千里之别。特别对于系统的长时问历程动力学 问题，即使略去很微弱的非线性因素，也常常会在分析和计算中出现本质性的错 误。 近年来，非线性动力学在研究深度和j “度上都取得了重要进展，呈现一派欣 欣向荣的景象。借鉴数学、物理学等基础学科，与计算机、测控技术相结合，与 航天、航空、机械、车辆、船舶、土木等工程学科相融合，非线性动力学在研究 方向和研究内容上发生了重大变化，新的研究领域不断涌现。例如，通过学科交 叉产生了柔体、刚体和液体耦合系统的动力学、智能结构动力学、微机电系统动 力学等新的研究方向；在一些研究分支基础上提炼出了带有共性的研究方向，如 b i r k h o f f 和h a m i l t o n 系统动力学，非线性系统的全局摄动、全局分岔和混沌动力 学，非线性动力系统的规范形理论与计算方法、非线性随机振动系统的h a m i l t o n 理论框架、分段光滑动力系统的分岔与混沌控制，时滞系统的非线性动力学等。 研究非线性动力学的方法可以分为定性方法和定量方法两大类。定性方法一 般不直接求解非线性动力系统，而是从非线性系统的动力学方程入手，研究系统 在状态空问的动力学行为。由于非线性微分方程一般没有统一的精确解法，所以 定量方法主要包括数值法和各种近似解析法。近似解析法有平均法、k b m 法， 多尺度法，谐波平衡法等等。数值法包括边值法、点影射法、胞映射法等。定性 方法和定量方法可以相互补充，定性法可以得到系统解的拓扑结构和系统参数之 问的关系，定量方法可以得到确定参数时的数值解。在研究各种复杂的非线性动 力学问题时，两种方法缺一不可。 随着计算机代数、数值模拟和图形技术的进步，非线性动力学理论和方法所 能处理问题的规模和难度不断提高，已逐步接近实际系统。在工程科学界，以往 第一章绪论 研究人员对于非线性问题绕道而行的现象已经发生了变化。人们不仅力求深入分 析非线性对系统动力学特性的影响，使系统和产品的动态设计、加工、运行与控 制满足日益提高的运行速度和精度需求，而且开始探索利用分岔、混沌等非线性 现象造福人类，例如发明了混沌振动筛、混沌保密通信技术等。 在非线性动力学分析中，一般首先从自然科学和工程问题中提炼出相应的非 线性动力学模型，建立动力学方程( 偏微分方程、常微分方程或代数微分方程) ， 然后利用一些方法( 平均法、k b m 法、多尺度法等) 求解该模型，得到动力系 统的平均方程。然后采用数值方法、近似解析法进行非线性动力学分析，如果平 均方程过于复杂，就需要对其进一步化简，由此产生了规范形理论。利用规范形 理论简化非线性动力系统，从而更简捷地获取其平衡点附近的动力学特性。目前， 非线性系统的最简规范形是国内外研究的热点。 在现实生产中，有许多问题的数学模型和动力学方程都可用非线性系统来描 述，例如考虑振动机械系统和电机系统之间以及两个电机子系统之问相互耦合关 系的双轴惯性式振动机、双转子激振的单质点弹性连杆式振动机、宽槽双振头电 磁振动给料机；实现电子闭环控制的电磁振动系统；实现自动频率跟踪的电磁振 动系统；考虑非线性振动理论与电机的瞬变理论有机结合的交流发电机和同步发 电机等。如何研究这些非线性系统的分岔和混沌等动力学问题是国际上非线性动 力学领域的前沿课题，并且已经列入了我国力学学科“十五”发展规划。目前， 我国学者正从以下几方面开展研究 ( 1 ) 基于k o v a c i w i g g i n s 全局摄动法、h a i l e r - w i g g i n s 所提出的能量一相位法 方法、以及c a m a s s a 等人提出的广义m e l n i k o v 方法，发展适用于研究高维非线 性系统全局分岔和混沌动力学的全局摄动法，使这种全局摄动法能够研究大部分 高维非线性系统，能够解决多自由度非线性系统的全局分岔和混沌动力学问题。 ( 2 ) 利用标准m e l n i k o v 方法、微分几何理论和不变流形纤维丛理论发展用于 研究外周期激励作用下多自由度非线性系统的全局摄动法，使这种方法能够解决 含外周期激励的多自由度非线性系统的全局分岔和混沌动力学。研究高维平均系 统的同宿分岔、异宿分岔和全局分岔，找出平均系统中由奇点组成的奇点环，进 而研究高维平均系统中的s i l n i k o v 型混沌运动。 ( 3 ) 研究高维平均系统的规范形，针对同时具有一对双零特征根和一对纯虚 特征根等高余维分岔，研究规范形和普适开折的计算。在共轭算子法，多重l i e 括号方法直接方法的基础上，利用数学软件给出简便有效的计算高维非线性系统 的规范形和普适开折的方法，使之得到最简规范形。 ( 4 ) 针对具有斜碰撞、摩擦等分段光滑因素的复杂高维动力系统，研究其模 型的降维方法，采用微分包含、分段映射等解析方法，发展基于几何的数值分析 2 第一。章绪论 方法，研究系统的稳定性、局部分岔和全局分岔特性。 本论文对高维非线性系统的最简规范形进行详细研究，并借m a t h e m a t i c a 语 言，实现计算高维非线性动力系统最简规范形的通用程序化，因而可以方便地将 该最简规范形理论应用到实际的工程计算中去。同时，运用含有参数的可逆线性 变换和含有参数的近恒同变换，得到了不计算传统规范形，直接计算含参非线性 动力系统最简规范形的一种计算方法。在此基础上，讨论了一类机电耦合非线性 系统的分岔和混沌运动特性，从理论上解释了该类机电耦合系统的多种失稳振荡 现象，从而对该类机电耦合系统的结构参数设计有一定的理论指导意义。 1 2 规范形理论研究现状 规范形理论是研究非线性常微分方程的强有力工具之一，特别是在研究非线 性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了非常重要的作用。在平衡点某个邻域内， 它与原方程是等价的，这样大大简化了原动力系统，因而对动力学系统的后续研 究和分析，提供了很大的方便。 1 9 世纪末，法国数学家p o i n c a r e 首先提出了规范形理论，阐述了规范形理论 的基本原理。其基本思想是通过一系列非线性近恒同变换将非线性系统拓扑等价 于一个更简单的非线性系统，其实质是消去起次要作用的非线性项。2 0 世纪2 0 年代，美国科学家b i r k h o f f 在其著作动力系统亦对规范形的思想作了阐述。 由于规范形理论在研究非线性动力系统的稳定性和分岔方面发挥了非常重要的 作用，近2 0 年来该理论得到了迅速的发展。 规范形计算问题本质上被划分为两类 ( 1 ) 给定矩阵，确定满足规范形定义的所有可能的矢量场集合，即所谓规范 形类的问题； ( 2 ) 给定具体非线性系统( 即常微分方程组) ，确定相虑的规范形系数。 规范形就其简化过程和结果的简洁程度而言，可分为传统规范形和最简规范 形。最简规范形的计算与传统规范形的计算有较大区别。计算传统规范形时，k 阶的非线性变换仅用于化简k 阶的规范形系数，没有用到的非线性变换直接设为 零【1 】。因此对于传统规范形而言，低阶变换根本不会在高阶规范形求解中出现。 而最简规范形求解则不同，在化简k 阶的规范形时未用到的非线性变换并不设为 零，保留到高阶规范形的计算中，用于化简更高阶规范形。因而最简规范形的形 式比传统规范形的形式更加简单，而且仍然保留了系统在平衡点附近的动力学特 性，这样可以使人们更容易研究原系统的稳定性、分岔的动力学特性。经过多年 的研究工作，低维动力系统的规范形理论已日趋成熟，许多学者已经开始将研究 第章绪论 重点转向高维系统传统规范形和最简规范形的计算。 迄今为止共有六种计算规范形的常用方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代 数表示论法、李括号法、直接计算法、符号程序法。一般来讲，当系统的维数和 需要规范形的阶数比较低时，使用矩阵表示法和直接计算法【2 】就可以比较方便的 使上述问题得到解决。但当系统维数和相应规范形阶数有一个变大时，两种算法 均因各自工作量的迅速增加而使算法失效。共轭算子法、李代数法和李括号法虽 然涉及到了比较高深的数学知识，但是计算量相对比较小。随着计算机的计算速 度和计算机容量的飞速发展，以及m a p l e ，m a t l a b ，m a t h e m a t i c a 等数学软件应运 而生，给研究者提供了一种用计算机符号语言编程计算系统规范形的方法。规范 形的计算程序化，节省了相关研究者大量的时间和精力，为深入地研究高维复杂 非线性动力系统的动力学特性奠定了良好的基础。本文在研究h o p f 分岔和退化 h o p f 分岔系统的最简规范形时，利用了共轭算子法。在讨论n e i m a r k s a c k e r 分 岔和退化n e i m a r k s a c k e r 分岔的最简规范形的系数时，利用了直接计算法。在考 虑不含参和含参非线性动力系统最简规范形的计算时，利用m a t h e m a t i c a 语言编 制了通用程序。 1 2 1 传统规范形理论的发展 经过一个多世纪的发展，传统规范形理论 1 - 2 6 】已日趋成熟。在传统规范形理 论的发展过程中，很多学者作出了贡献。加拿大的c h o w 、北京大学的李承治、 王铎【3 4 】对研究传统规范形的常用的三种方法( 矩阵表示法、共轭算子法、李代 数法) 进行了全面的介绍，给出了各种余维1 和余维2 系统传统规范形的形式。 张伟【5 ，6 7 】利用矩阵表示法计算了具有z 。对称性的非线性动力系统的3 阶和5 阶传 统规范形，用共轭算子法计算了具有幂零线性部分和不具有z 。对称性的非线性动 力系统的2 阶、3 阶和4 阶传统规范形，并且研究了含有参数激励的非线性动力 学系统的高余维系统的传统规范形，得到了含参系统的传统规范形和参数为零时 的传统规范形的形式上相同的结论。c u s h m a n 8 ，9 l o 】将李代数表示论方法运用到传 统规范形理论中来。t a k e n s t l l l 利用李括号计算了向量多项式的传统规范形。另外， 美国的n a y f e h t l 2 】详尽地介绍了如何利用多尺度方法以及复规范形法计算自治及 非自治的单自由度系统、参激振动系统、两自由度系统、多自由度系统的传统规 范形。张琪副13 1 、a n d r e w t l4 1 、韩景龙【15 1 、张伟亿等人证明了平均法与规范形 方法的等价性。 目前，传统规范形程序化已经取得丰硕的研究成果。张琪副1 3 j 用代数语言 m a t h e m a t i c a 计算了h o p f 分岔的传统规范形。吴志强、陈予恕【l7 1 8 1 提出了一种求 解传统规范形的直接方法，并利用该方法计算了具有双零特征根以及双h o p f 分 4 第。章绪论 岔系统的传统规范形，毕勤胜【1 9 】利用这种方法用m a p l e 语言编制了一套计算半 单系统传统规范形的程序。刘长根【2 0 】把对传统规范形的求解同求解非线性振动系 统的平均法结合起来，编制了计算两维和三维系统规范形的电算程序。张伟等1 2 l j 发展了一种计算高维非线性系统的方法，借助m a p l e 符号软件给出了计算三阶规 范形的程序，并应用于非线性悬臂梁模型的研究上。陈棉，张伟【2 2 】研究了六维非 线性系统三阶规范形，利用共轭算子法得到了三阶规范形。张琪昌，l e u n g 2 3 j 垂 用单步非线性变换方法，借助m a t h e m a t i c a 语言给出了经中心流形降维，计算高 维半单系统规范形的通用计算程序。l e u n g 、张琪昌【2 4 j 借助m a t h e m a t i c a 语言给 出了不经中心流形降维，计算高维半单系统规范形的通用计算程序。针对非半单 系统，吴志强【2 5 】提出了求解其规范形的直接方法，并运用该方法计算了具有双零 特征根系统的传统规范形。但由于问题的复杂性，人们目前还未得到计算其传统 规范形的通用程序方法。 1 2 2 最简规范形理论的发展 现代意义下，传统规范形的进一步化简实质上是通过引进一系列的非线性近 恒同变换，使原系统拓扑等价于形式更简单的非线性动力系统。所谓最简规范形， 也就是最大程度的化简原系统所得到的系统规范形。它比传统规范形更适合进一 步分析原系统的非线性动力学行为普适开折、局部分岔、全局分岔等。 1 9 8 4 年，日本的u s h i k i 2 7 】首先提出最简规范形的概念，并最早得到了有限阶 给定向量场的最简规范形。h i r o s h i ，h i r o e 和w a n g 2 8 】把线性分次代数运用到拟 齐次规范形理论，定义了阶规范形并给出了存在最简规范形的充分条件。 b a i d e r 和s a n d e r s 2 9 】考虑了t a k e n s b o g d a n o v 的最简规范形类。在此基础上， w a n g t 3 0 j 、法国的c h e n 和北京大学的w a n g 基于l i e 代数方法，对t a k e n s b o g d a n o v 向量场的最简规范形类进行了深入研究，给出在某些情况下其最简规范形的表达 式。w a n g 3 1j 解决了一般情况下t a k e n s - b o g d a n o v 向量场的最简规范形。加拿大 的y u 3 2 j 利用p o i n c a r e 规范形理论，通过引入三个定理证明了h o p f 及广义h o p f 分岔系统的传统规范形可以进一步简化，得到极坐标形式的最简规范形只含有三 阶项和五阶项。y u 等人【3 3 别提出了在不截断的前提下，基于l i e 变换方法计算 了含有参数的具有单零特征根以及h o p f 分岔系统的最简规范形。c h e n ，d e l