（基础数学专业论文）πhall子群的线性特征标的诱导.pdf

摘要 摘要 诱导特征标研究群g 的特征标与它的子群的特征标之间的 关系，其主要目的是利用g 的子群已知的不可约特征标来获得 g 的一些不可约特征标，从而了解g 的结构线性特征标是有 限群的特征标理论中一类重要的特征标，本文讨论了一类丌h a l l 子群线性特征标的诱导 本文主要结果是：设g 为有限群，h 为g 的丌一h a l l 子群且交 换，对任意的入，弘l i n ( h ) ，则a g = 肛g 的充要条件是a 与p 为n g ( h ) 共轭该定理推广了n a v a r r o 7 中的定理 关键词：丌h a l l 子群；线性特征标；诱导；共轭 ab s t r a c t a b s tr a c t i n d u c e dc h a r a c t e rp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h e c h a r a c t e rt h e o r y o ff i n i t eg r o u p s a p p l y i n gt h ec o n c e p to fi n d u c e dc h a r a c t e r ，w ec a n i n v e s t i g a t et h ei r r e d u c i b l ec h a r a c t e r so fgb yt h ei r r e d u c i b l ec h a r a c t e r so fi t ss u b g r o u p s l i n e a rc h a r a c t e rh a ss p e c i a lp r o p e r t i e s w e i n v e s t i g a t e dt h ei n d u c e dc h a r a c t e r sf r o ml i n e a rc h a r a c t e r so fn i l p o t e n t 7 1 一h a l ls u b g r o u p s t h em a i nr e s u l to ft h ep a p e ri s ：l e tgb eaf i n i t eg r o u pw i t ha n a b e l i a n 丌一h a l ls u b g r o u p i f 入，肛l i n ( h ) ，t h e n 入g = gi fa n do n l yi f 入a n d “a r en g ( h ) 一c o n j u g a t e i tg e n e r a l i z e st h et h e o r e mi n w a sp r o v e db yn a v a r r o 7 】w h i c h k e yw o r d s ：7 r h a l ls u b g r o u p ；l i n e a rc h a r a c t e r ；i n d u c e dc h a r a c t e r ； c o n j u g a t e 2 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成 果。本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均 在文中以明确方式标明。本人依法享有和承担由此论文而产生 的权利和责任。 责任人( 签名) ： 菊娲娟 ：z 0 0 3 年6 月j 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 人有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版。保密的学位论文在解密后适用本规定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密( v ) 。 ( 请在以上相应括号内打 ”) 作者签名：蓖圣黾娟日期：2 口。暑年月岁日 导师签名：加场 日期：如乎年z 月上日 第一章引言 第一章引言 3 群表示论是群论的一个重要分支，于十九世纪末由g f r o b e n i u s 所创 立，它研究的是群在向量空间上的作用，它对群论本身以及对物理，化学 等其它学科有着广泛的应用有限群常表示论( o r d i n a r yr e p r e s e n t a t i o n ) 最 重要的研究内容是特征标理论，有限群表示论在发展的初期就是特征标 理论在群结构中的应用 群表示本质上就是相应的群代数表示 f g ( f ) 土jg b 设至：f g 一( f ) 是代数同态，限制在g 上就是群同态反过来，设 王：g ，g l 。( f ) 是群同态，线性扩张到f g 上就是代数同态因此，我们 对群表示和相应的群代数表示是可以不加区分的，正如大家所熟知的， ( 相似意义下) 表示和( 同构意义下) 模是相互确定的，对于f g 一模y 和g 模y 我们也是不加区分的 设g 为有限群，f 为域，考虑f 上的有限维向量空间v g 在f 上的 一个表示是一个从g 到一般线性群g l ( v ) 的同态映射芏：g g l ( v ) 定义为g 的一个表示，如果它满足下列3 条性质： ( i ) 对每个z g ，x ( x ) 是y 上的线性变换； ( i i ) 对任意的x jy g ，我们有 x ( x y ) = 戈( z ) 戈( ) ； ( i i i ) x ( 1 ) 为y 的单位变换 对g 的任一表示芏如果y 不包含非平凡的g - 不变子空间，称芏为 一个不可约表示否则，王可约y 在f 上的维数称为表示戈的次数 考虑f = a g g ，g g ，口9 f ，则f 成为f 的一个向量空间且d i m f = l g i 第一章引言 4 此外，我们可定义两元素的乘法： ( 啪) ( b ，y ) = b u ( g y ) 令g y = z ，则 。g b g = - b u 9 e gy e g 易知r 为环，称为g 在f 上的群环，记f = f g g g ，g = a x z ， 其中a x ： 1 一9 ， 【0 ，z g - 1 g 为f g 的单位元r 通过右乘成为g - 模我们有一个r 的线性 置换p ， p ( 夕) ：哪一( 硼) 易证p ( a h ) = p ( 9 ) p ( ) ，p ( 1 ) = l ，所以p 为g 在f 上的一个表示，称为 f 上的正则表示 若芏为群g 在y 上的任一表示，则芏( z ) ，z g 为y 的一个线性置换对 r 中的元7 = en 。z ，我们定义线性置换n 。j d ( z ) ，则v 7 = en 。p ( x ) v ( v v ) 定义了7 f g 在y 上的作用这使y 为f g 一模我们称y 为相应于表 示王的f g 一模反之，设y 为f g - 模使得f g 单位元包含y 上的恒同置 换，则_ p ( z ) ：u v x ( v v ) 定义了g 在f 上的表示，称y 提供g 的表 示研究g 的表示因此等价于研究f g - 模 我们关注群同态芏 g o g l 。( f ) 。 八l t r f 矩阵的迹( 即其对角线上元素的和) 在矩阵的研究中是很重要的一个概 念x 称为由笑提供的特征标：x ( g ) = r ( 王( 9 ) ) ，v g g 芏是一个群同 态，打是线性同态，它们的合成x 一般情况下，不能保证是任何形式的 同态 第一章引言 5 w b u r n s i d e 于1 9 0 4 年用特征标理论证明的关于矿口6 阶群的可解性定理 直到1 9 7 2 年才有纯群论的证明；更令人惊奇的是，f r o b e n i u s 关于真正规子 群存在的一个充分条件至今尚无纯群论的证明这两个著名的定理使人 们看到群表示，特别是群特征标的理论对于有限群论来说是何等重要! 从二十世纪三十年代开始，r b r a u e r 等人又进而发展了模表示( m o d u l a r r e p r e s e n t a t i o n ) 的理论，它对于有限群论特别是有限单群的分类问题又提 供了一个有力的工具 我们所考虑的群均为有限群，特征标均为复特征标丌表示一个由 素数组成的集合，i r r ( g ) 代表群g 的不可约特征标集合，i r r 。，( g ) 代表次 数为7 r 7 数的不可约特征标，i r r ( g 0 ) 代表口上方的不可约特征标，x 表 示x 在j 7 v 上的限制，c l g ( 夕) 表示g 的g _ 共轭类集合 诱导表示和诱导特征标是研究群g 的表示与它的子群的表示之间的 关系，其主要目的是利用g 的子群已知的不可约表示来获得g 的一些不 可约表示，从而了解g 的结构 在研究子群的特征标理论如何影响群g 的特征标理论时，b r a u e r 发 现了起决定作用的一类子群既不是所有的循环子群，也不是全部的矿 子群，而是二者的综合，即所谓的基本子群 称e 为p 基本子群，如果e = c xp ，其中c 为循环群而p 为p 群 显然循环群c 也可取一群称e 为基本群，如果存在素数p 使得e 为 p 基本子群一般地，称e 为p 拟基本群，如果e = c p ，其中c 为p l 一 循环群而p 为p 群由定义可知p 拟基本群是特殊的p 幂零群，其正 规p 补恰为循环群 b r a u e r 证明了g 的每个不可约特征标均可表为由基本子群决定的单 项特征标之整系数线性组合 b r a u e r 诱导特征标定理：g 的每个不可约特征标) ( 均可表为) ( = a e ( a e ) g ，其中n e z ，e 为g 的基本子群，而a e 为e 的线性特征标 r g o w 于1 9 8 3 年在f 6 】中证明了可解群g 的丌一h a l l 子群日的两个线性 特征标入与妒，若a g = 妒g ，则a 与妒是n c ( h ) 共轭的g a b r i e ln a v a r r o 在 7 】中指出这个结果的证明也适用于p 可解群g ，对g 的s y l o w - p 子群，p 第一章引言 6 的两个线性特征标若诱导到g 上相同，则为人台( j p ) 一共轭的n a v a r r o 于 2 0 0 1 年在 2 】中指出若g 为矿可解，设p 为g 的s y l o wp - 子群，x i r r p , ( g ) ， 则存在与x 相伴的ael i n ( p ) ，此时它们将构成一个a b ( p ) 轨道；反之， 对于p 的线性特征标至少存在一个) ( i r r p ，( g ) 使得a 与x 相伴之后 n a v a r r o 于2 0 0 3 年在n a v a r r o 中指出：若g 为有限群，p s y l p ( g ) 交换， 则可得出与【6 】中相同的结果 本文主要想推广n a v a r r o 7 】中的结论我们知道可解群的丌一h a l l 子群一 定存在，且任意两个丌h a l l 子群是共轭的对于非可解群而言，它的丌一h a l l 子群是不一定存在的，即使存在也不一定是共轭的譬如g = a 。，丌= 3 ，5 ， 则g 中不存在7 r h a l l 子群又如g = g l ( 3 2 ) = p s l ( 3 ，2 ) 是1 6 8 阶单群， 把g 看作8 阶初等交换一2 群以的自同构群，则g 传递地变换a 的7 个 2 阶子群，也传递地变换a 的7 个4 阶子群，于是g 关于某个2 阶子群 和某个4 阶子群的稳定子群是g 的两个不共轭的 2 ，3 ) 一h a l l 子群 第二章：我们给出一些与论文有关的基本概念和重要结论，包括丌一 可分群，以一群，b 一群，代数整数以及重要的基本定理比如w i e l a n d t 定 理等等，为第三章奠定必要的理论基础 第三章：运用幂零丌h a l l 子群的性质解决本学位论文探讨的问题，正 如定理3 2 所呈现出的：把【7 中的s y l o w - 子群交换的这个条件推广到了 7 r h a l l 子群交换的条件 引理3 1 设g 为有限群，日为g 的幂零丌一h a l l 子群，记c l ( a ) 为g 的共轭类集合，对任意的k o l ( a ) ，则下列之一成立： ( a ) ki - ic a ( h ) 为空集 ( b ) knc c ( h ) 为n a ( h ) 的一个共轭类 特别地，记= k c l ( a ) l knc a ( h ) ) ，其中为空集则k k n ( ) 定义了一个从到c l ( n a ( h ) ) 的单射 定理3 2 设g 为有限群，h 为g 的丌一h a l l 子群且交换，对任意的 a ，p l i n ( h ) ，则a g = p g 的充要条件是入与p 为n g ( h ) 一共轭 条件进一步弱化，h 为g ( h ) 的丌一h a l l 子群，去掉交换的条件后得 第一章引言 7 到 引理3 3 设g 有限群，为n o ( i t ) 的丌一h a l l 子群，则 瓜而而( ( 1 h ) g ) 日为h 的特征标 当丌一h a l l 子群交换时还可得到特征标厩而- 而( ( 1 h ) g ) h 的具体取值： 定理3 4 设g 为有限群，h 为g 的丌一h a l l 子群且交换，对任意的a l i n ( h ) ，记= 两抽( ( 1 h ) g ) 何，则 ( a ) ( z ) = l c g ( z ) ：c ( z ) 1 ( b ) ( a g ) h = a “ 第二章预备知识 第二章预备知识 在这一章里，我们要介绍一些有关定义，引理和定理，这些结果对于 本文以后主要定理的证明是重要的 定义2 1 1 2 ，p l ，】以丌表示一个由素数组成的集合，丌表示丌在全体素 数集合中的补集称群的元素z 为一个丌一元素( 或丌7 一元素) ，如果x 的阶 o ( x ) 的素因子分解式中仅出现丌中( 或丌7 中) 的素数设是正整数，我 们以丌表示能整除并且素因子全在丌中的最大整数当丌= p ) ，我们 记丌为p 称群g 为一个丌群，如果i g h = j g l 定义2 2 【1 2 p l ，2 1 设丌是一个素数集合称g 的子群，为g 的一个丌一h a l l 子群，如果| i i l = l g i 。而称，为g 的h a l l 子群，如果对某个素数集合丌 来说，是g 的丌一h a l l 子群 等价地，是g 的h a l l 子群，如果( i l ，i g ：hj ) = 1 定义2 3 【1 2 p 5 - 】设q = a ，p ，1 ，) 是一个非空集合，其元素称作点 s n 表示q 上的对称群所谓群g 在l t 上的一个作用妒指的是c 到& ：内 的一个同态即对每个元素z g ，对应q 上的一个变换妒( z ) ：q _ q 。，并 且满足 ( q 。) = q ”，x ，y g ，q f t ； 或者 妒( z y ) = 妒( z ) 妒( y ) ，z ，y g 如果k e o = 1 ，则称g 忠实地作用在q 上，这时可把g 看作q 上的变换 群而如果k e r c ，o = g ，则称g 平凡地作用在q 上 定义2 4 1 2 ，】群的置换表示指的是群到置换群中的同态如果同态 像是传递置换群，则称为传递置换表示 定义2 5 1 2 1 e a 】称有限群g 为丌一可分群，如果存在g 的一个正规群 列 g = n o n 】 n 2 g r ， 8 第二章预备知识 使人j + l 为丌一群或丌一群，i = 0 ，1 ，r 一1 而称g 为丌一可解群，如果g 中存在上述正规群列，使l 2 + 为丌7 群或矿群，其中p 7 r ，i = 0 ，1 ，r 一1 引理2 6 1 ，p 2 。】设) ( 是g 的特征标如下定义d e t x ：g _ c 设芏提供 x ，令 ( d e t x ) ( 9 ) = d e t x ( g ) 则d e t x 是被唯一定义的g 的线性特征标 证明因为相似的矩阵有相同的行列式，故d e t x 仅依赖于表示x 的相 似类，亦即仅仅与x 有关，这表明定义合理又d e t x ：g _ c 为群同态， 故d e t x 为g 的线性特征标 口 定义2 7 1 ，p 8 s 】设) ( 是g 的特征标在引理2 6 中令d e t x = a 记o ( x ) = o ( 入) ，称o ( x ) 为x 的行列式阶 定义2 8 【1 ，p 8 s 1 砂为g 的特征标，xe i r r ( g ) ，若妒= e x ，其中e 为正整 数，则称特征标妒为齐次特征标若不可约特征标限制到正规子群后是 齐次的，那称此不可约特征标是拟本原的 定义2 9 1 3 , p 1 0 0 1 设g 为丌- 可分群称) ( i r r ( g ) 为7 r 一特殊，如果 ( i ) x ( 1 ) 为7 r 一数， ( i i ) 对n 司司g ，x 的所有不可约成分p ，都有行列式阶o ( 0 ) 是一个丌 数 定理2 1 0 1 2 , p 3 9 s 设g 为7 r 一可分群，日为g 的7 r h a l l 子群，假设入i r r ( h ) 则存在唯一的极大子群2h ，满足 h = a ，其中，y i r r ( w ) ，此时入扩张 到，中唯一的丌一特殊，y 进一步地，若入是拟本原的，则7 g 是不可约 的 定义2 1 1 2 , p 3 8 9 在定理2 1 0 中若a i r r ( h ) 是拟本原的，则皿( a ) 可被 唯一定义为1 i ，( a ) = 砂= 7 g 9 第二章预备知识 定义2 1 2 1 3 ，n 0 1 】设x i r r ( g ) ，) ( = q p ，其中q 为丌一特殊， 臼为丌7 一特 殊，我们称x 为丌一因子可分解的 定义2 1 3 3 ，p 1 0 3 设g 为丌一可分群，称( s ，6 ) 为g 的一个次正规丌一因 子可分解对，如果sq 司g ，6 i r r ( s ) 为丌因子可分解记爵( g ) 为g 的 次正规丌一因子可分解对的集合，露( g ) 为爵( g ) 中的极大元所组成的集 2 0 口 定理2 1 4 3 , p 1 0 3 设g 为7 r 可分群，x i r r ( g ) 则 ( a ) 存在( u ，0 ) 莎+ ( g ) 满足( u ，0 ) ( g ，x ) ( b ) 如果( v 妒) 莎( g ) 满足( v 妒) ( g ，) ( ) ，则存在g g 使得( k 妒) 9 ( p ) 定理2 1 5 1 3 , p 1 0 6 1 设g 为丌一可分群，( s ，叩) 莎+ ( g ) 令t = i g ( s ，6 ) = 夕c l s g = s ，6 q = 6 ) 则诱导定义了一个双射：i r r ( t 7 7 ) _ i r r ( c l w ) 定理2 1 6 1 3 , p , o s 设g 为丌一可分群，( s ，0 ) 莎+ ( g ) 设q ，p 分别为0 的 丌一特殊和丌7 一特殊因子则下列之一成立 ( i ) l g ：i c ( s ，n ) i 在丌7 中有个素因子 ( i i ) l g ：z a ( s ，p ) i 在丌中有个素因子 无论哪种情况都有，g ( s0 ) g 定义2 1 7 3 ，p m 8 设g 为7 r 一可分群，1 ；f ，i r r ( g ) ，则由定理2 1 4 知存在 ( s ，6 ) 露( g ) ，使得( s ，6 ) ( g ，妒) 令t = z c ( s 6 ) = g c l s 9 = s ，伊= 6 】， 设i r r ( t 1 6 ) ，则由定理2 1 5 知g = 妒若为丌一因子可分解，则( s ，6 ) = ( g ，妒) = ( t ，) 否则，由定理2 1 6 知s g ，t g 重复上述过程，对( 丁，) 作与( g ，砂) 相同的工作，直到得到丌因子可分解特征标& 记( t k ，) = ( 彬7 ) ，则7 为丌因子可分解，此时称( 彬7 ) 为砂的核 记焉( g ) = 妒i r r ( g ) l ( w , 7 ) 为砂的核且7 为丌一特殊的) 定理2 1 8 1 2 , p 4 0 1 设g 为丌- 可分群，妒屏( g ) ，假定( 彬7 ) 为妒的核 则映射q 一( a 7 ) g 是一个从 q i a i r r ( w ) ，q 为丌特殊) l 到i r r ( a ) 的单 射 1 0 第二章预备知识 定义2 1 9 2 , n 。t 】在定理2 1 8 中把形如( 1 ) g 的不可约特征标叫做砂 b 。( g ) 的卫星 定义2 2 0 2 , p 4 0 1 设g 为丌一可分群，h 为g 的7 r h a l l 子群，假设x i r r 。，( g ) ，如果x 是皿( a ) 的卫星，则称日的线性特征标入与x 相伴 定义2 2 1 1 2 ，p 2 。】设y 是域f 上n 维线性空间，则y 的所有可逆线性变 换对乘法组成一个群，它同构于f 上全体n 阶可逆方阵组成的乘法群 这个群记作g l ( n ，f ) ，称为域f 上的n 级全线性群 令s l ( n ：f ) 为所有行列式为1 的几阶方阵组成的集合，则s l ( n ：f ) 是 g l ( n ，f ) 的子群，叫做f 上的n 级特殊线性群 又由线性代数得知，g l ( n ，f ) 的中心z 由所有n 阶非零纯量阵组成 我们称 p g l ( n ，f ) = g l ( n ，f ) z 为f 上n 级射影线性群又 p s l ( n f ) = s l ( n f ) ( zns l ( n ，f ) ) 为f 上的n 级特殊射影线性群 命题2 2 2 1 2 ，p 2 4 】 ( 1 ) l a l ( n ，q ) i = ( q ”一1 ) ( q “一q ) ( q ”一q n - 1 ) ； ( 2 ) i s l ( n ，q ) i = i ，) g l ( 7 l ，q ) i = l g l ( n ，q ) l ( q 一1 ) ； ( 3 ) ip s l ( n ，q ) i = i s l ( n ，q ) l ( n ，q 一1 ) 其中q 为素数 命题2 2 3 1 2 ，p 4 s 】设g 是矿阶初等交换p 群，则g 同构于g f ( p ) 上凡 维向量空间的加法群 定义2 2 4 1 3 ，p s o l 群g 称为日群，如果g 至少有一个丌一h a l l 子群； 群g 称为g 群，如果g 是b 一群且g 的任意两个丌一h a l l 子群在g 中共轭； 第二章预备知识 群g 称为d 。一群，如果g 是g 一群且g 的任意丌子群被包含在g 的 某个丌一h a l l 子群中 群g 称为d ：一群，如果g 是d 。一群，且g 的丌一h a l l 子群可解 群g 称为e 笋一群，如果g 有一个幂零的丌一h a l l 子群 群g 称为碟一群，如果g 有一个s y l o w 子群都循环的丌一h a l l 子群 定义2 2 5 ，p 3 3 1 代数整数是一个复数，它是形如 z t l - 4 - a n - i x “一1 + + a 。 的多项式的根，其中a l z ，0 i n 一1 定理2 2 6 9 , p 2 5 。 ( w i e l a n d t 定理) 若h 为g 的幂零丌一h a l l 子群，则对于 g 的任何丌子群k ，存在g g ，使得舻h 特别地，g 的所有丌一h a l l 子群是共轭的 定理2 2 7 1 2 ，p l a t 设g 是有限群，则下述事项等价： ( 1 ) g 是幂零群； ( 2 ) 若h g ，则日 0 ( 日) ； ( 3 ) g 的每个极大子群mqg ( 这时l g ：m i 为素数) ； ( 4 ) a 的每个s y l o w 子群都是正规的，因而g 是它的诸s y l o w 子群的直 积 引理2 2 8 ，p 6 。】( 诱导特征标常用到的三个计算公式) 设g 为有限群， h g ，妒i r r ( h ) ，对于任意g g ，则 ( a ) 妒g c 9 ，2 - 斋三妒。c z 9 z 一1 ，2 ：昌暑妒。z 9 z t ，：z z 夕g z x - 一- 1 隹何h , 其中丁为h 在g 中的右陪集代表组成的集合 t g t , 一1 岳， l g l 一1 l | 1 2 9妒 仉旧 ，、i、 = 一 g妒 灯 l l 9 g 妒 b 第二章预备知识 ( c ) 以萨俐售揣 其中z 。，珐，z 。为c l g ( 9 ) nh 在的共轭作用下形成的共轭类的代表 元 证明( a ) 见 4 p 6 2 ( b ) 设 g = h t luh t 2u 日。，t = t l ，t 2 ，。) ，g g 由( a ) 可得 以9 ，= 高薹洲哪。1 ，= 高喜互。洲掣。卜 取h t i h t i ，则有 矿( h t g ( h t i ) - 1 ) = 妒。( 如g t ? 1 ) 这是因为 妒。( h t t g ( h t i ) 一1 ) = 妒。( h t g t ；1 h 一1 ) 10 ，h t 9 i l h 。1 岳日， 【妒( 如g f l h 一1 ) ，h t i g t 1 h 一1 h j0 ，t i g t ( 1 日， l ( _ p ( t i g t ；1 ) ，t i g t f l h = 够。( t i g t 1 ) 从而 妒。( z g x l ) = 俐妒。( t i g t - _ 1 ) 所以 妒g ( 9 ) = 网1 眺f 1 ) = 妒i 1 ) = 妒。( t g t 一1 ) i = 1t = l t e t ( c ) 断言：当z 取遍g 时，g 中恰有i c g ( g ) 1 个z 满足x g x 。= 其中 g g 1 3 第二章预备知识 这是因为z i c l g ( 9 ) ，设x g x 一1 = 以= y g y 一，有y - 1 x c o ( g ) ，从而 z y c b ( g ) ，而l y c c ；( g ) l = i c g ( g ) 1 故断言成立 此时由( a ) 可得 妒g c 夕，= _ 导薹妒。c z 9 z 一1 ，= 其中砂为空集 0 ， 日nc l a ( g ) = 咖， 斜薹圳c l 出圳h n c l g ( 彬 引理证毕 口 引理2 2 9 1 ，p , 3 1 ( 诱导的传递性) 设g 为有限群，h k g ，妒i r r ( h ) ， 贝0 ( 妒k ) g = 妒g 证明设h 在k 中的一个右陪集代表元集为t ，k 在g 中的一个右 陪集代表元集为s ，则丁s 为h 在g 中的右陪集代表元集对任意g g ， 我们有 ( 蝴护( 蝴s 旷1 ) = 兰舳s - 1 ) 删s g s s 1 - 1 譬k k , 蚝s l 急r r 门叫 当s g s - 1 k 时，我们有 妒k cs夕s一1，=e挺丁妒。(tsg(ts)-1)=：耋。s9。5，一-，。tssgg。(。tss)，一-。1隹日h, 而对s g s 。1 譬k 时，对每个t t ，均有t s g ( t s ) _ 1 譬k ，从而t s g ( t s ) - 1 隹h 表明 ( ) 。( s g s 一) = 妒。( t s g ( t s ) 。) 总成立 所以 ( 够k ) g ( 夕) = 矿( t s g ( t s ) 一) = 妒g ( 9 ) ， 亦即 ( 9 k ) g = 妒g 1 4 第二章预备知识 引理证毕 定义2 3 0 1 p g a 设g 为有限群， g ，h h ，定义妒9 ( 9 ) = 妒( ) 口 任意h g 妒i r r ( h ) ，对任意g 1 5 引理2 3 1 ( 共轭与诱导) 设g 为有限群，h n g ，p i r r ( h ) ，对任 意g g ，有( o n ) 9 = ( e g ) 胛 证明对任意a n ，有 p 1 1 9 ( 矿) _ ( 0 ) _ 高p 扛盯1 ) ， 9 ) 弋扩) - 南。三，( 伊) o ( 护矿( 矽) - 1 ) 2 高。吾n g ( 伊) o ( ( 觚z 一一2 高x e n 矿( 加z 。1 )z g r g ioo g l i 由a 的任意性可知 ( 曰) 9 = ( 伊) m 口 引理2 3 2 i n , p 4 9 】任意z g g ，则( ( z ) ) 9 = c g ( z g ) 引理2 3 3 7 ，p 5 9 a 设g 为有限群，妒是g 的特征标，a 是一正整数，若 ( n ，l a l ) = 1 ，对g 中任意元z ，在代数整数环r 中有凸整除妒( z ) ，则：妒为g 的特征标 定义2 3 4 1 5 ，p l u s 有限群g 称为f r o b e n i u s 群，如果存在g 的非平凡的 子群日满足日nh 9 = 1 ：v g g h 称h 为g 的一个f r o b e n i u s 补 该定义是f r o b e n i u s 群的抽象定义，另外f r o b e n i u s 群还有关于置换群 的定义 定义2 3 5 1 2 , p 2 s 】设g 是q = 1 ，2 ：，n 】上的传递置换群，它对点1 的稳定子群g 。1 ，但只有单位元素才有两个以上不动点，这时称g 为 f r o b e n i u s 群 定理2 3 6 1 5 , p 1 4 6 】设g 是以为f r o b e n i u s 补的f r o b e n i u s 群则存在g 的唯一的正规子群使得g = n h 称n 为g 的一个f r o b e n i u s 核 第二章预备知识 定义2 3 7 1 2 】设g 是有限群，pe s y l p ( g ) 如果g 有正规子群v ，满 足a np = 1 ，n p = g ，则称g 为p 幂零群，而称为g 的正规矿补 定义2 3 8 1 p 6 ， 设) ( 是g 的特征标，若) ( = a g ，其中a 是g 的子群的 线性特征标，称x 为g 的单项特征标若对所有的) ( i r r ( g ) 均为单项 特征标，则称g 为 ，一群 1 6 第三章主要结果 第三章主要结果 引理3 1 设g 为有限群，h 为g 的幂零丌一h a l l 子群，记c l ( g ) 为g 的共轭类集合，对任意的k c l ( a ) ，则下列之一成立： ( a ) knc g ( h ) 为空集 ( b ) knc c ( h ) 为g ( 日) 的一个共轭类 特别地，记= k c l ( a ) i k nc c ( h ) ) ，其中为空集则k knc a ( h ) 定义了一个从到c l ( n c ( h ) ) 的单射 证明假设kn ( 日) 非空 因为 c a ( h ) 里g c ( h ) ， 故对每个 r t n g ( ) ，有 ( knc a ( h ) ) n = k ”nc c ( 1 4 ) ”= k ”nc g ( h ) = k nc a ( h ) ， 所以n c ( h ) 可作用在knc a ( h ) 上 对任意的z ，y knc a ( h ) ，则由x ，y c a ( h ) ，可知 h ( z ) ，h c c ( y ) 再由x ，y k ，k e l ( g ) ，可知存在g g ，使得 y2 3 7 , g 由h ( z ) 知 h 9 ( z ) 9 = c a ( z 9 ) = ( ) 又h c g ( y ) ，h 为g 的幂零丌一h a l l 子群，故h ，h g 均为c c ( v ) 的幂零 丌一h a l l 子群由w i e l a n d t 定理可知存在c c b ( u ) ，使得 从而 h 9 。= h g c g ( 日) 1 7 第三章主要结果 因 y = y 。= ( 护) 。= z 弘 故z 与y 为n c ( n ) 一共轭 从此不难看出knc g ( h ) 为n c ( h ) 的一个共轭类 特别地，当对任意的k 时，由上段证明可知一k nc k ( 1 i ) 是 一个从到c l ( g g ( h ) ) 的映射，单射是显然的 口 定理3 2 设g 为有限群，为g 的丌h a l l 子群且交换，对任意的 入，p l i n ( h ) ，则) 、g = p g 的充要条件是入与p 为n o ( h ) 一共轭 证明对任意的z h ，令k = c l g ( z ) ，n = n g ( h ) ，则knh 非空 因h 交换，故 h c o ( h ) ， 从而 z knc a ( h ) ， 所以knc a ( h ) 非空 由c n ( x ) n ，可设 n = u j 翌i c n ( z ) y j 其中y 3en 为翰( z ) 在中的陪集代表，m = i n ：c n ( ： 0 1 断言knh = x y - ，：t y 2 ，z 跏) 这是因为h 交换，从而日为c 的幂零子群，由引理3 1 可知 k n ( ) = c l n ( x ) 故 knh=k n ( c a ( ) nh ) = ( k nc g ( h ) ) nh = c l n ( z ) nh 注意到h 塑n c ( i i ) ，x h ，则有 c l n ( z ) h ， 从而 kn h = c l n ( x ) 1 8 第三章主要结果 又 故 所以 n = u 凳1 ( z ) 协 c i n ( x ) = ，1 v = ：r c n ( 。) 蜥1 1 j r n ) = ：玑1 1 j m ) ， knh = c i n ( x ) = z 玑，z 搬，z ”) ， 从阳断吾厩互 因knh h ，h 可换，故在knh 上的共轭作用是平凡的 由诱导公式，对入l i n ( h ) ，有 心垆俐嵩揣= 料争卟揣善气 若入：肛l i n ( h ) ，a g = p g ，贝4 张垆揣赢n ) = 嘏扣以垆揣三出h 因 鼎舢 所以 a ( 扩) = 肛( 扩) ， 从而 = 矿， j ：- - 一j 二- - 一一 所以入与p 为共轭 反之，若a 与p 为一共轭，则存在n n ，使得a = 矿 因 a = ( p ”) = ( p “) ”= ( p ) ”= p ， 再由诱导的传递性知 入g ：“g 1 9 第三章主要结果 定理证毕 口 引理3 3 设g 为有限群，h 为u c ( h ) 的丌一h a l l 子群，则 瓜晶而( ( 1 h ) g ) h 为h 的特征标 证明令妒= ( ( 1 ) g ) h ，对胃中的任意元z ，有 北) _ ( ) g ) 出) = 南薹1 , - 9 _ 1 ) = 槲， 其中a 。= 9eg l z g ) 记n = n g ( h ) ，断言可右乘作用在a z 上 这是因为对a 。中的任意元9 ，n n ，z 9 h ，有 z 9 n = 礼z g n 一1 h 故 9 n a z 由乘法结合律可知j 、r 可右乘作用在九上 断言成立 又右乘作用无不动点，所以i i 整除f 以。| 显然，以。，故i ：，i 整 除l 以。：l ，所以l ：，l 整除妒( z ) 因，为g ( h ) 的丌一h a l l 子群，所以 ( i n c ( 月) ：h i ，i h i ) = 1 ， 由引理2 3 3 可知厩而丽( ( 1 h ) g ) h 为h 的特征标 口 定理3 4 设g 为有限群，h 为g 的丌一h a l l 子群且交换，对任意的 a l i n ( h ) ，记= 南( ( 1 h ) g ) h ，则 ( a ) ( z ) = l c b ( z ) ：c y ( z ) i ( b ) ( 入g ) h = a n 证明由定理3 2 的证明过程可知 张垆篇三n ) _ 揣例。藐廿厕i c c ( x ) l 。赢”) 第三章主要结果 ( a ) 令a = 1 h 即有 ( z ) = i ( z ) ：c n ( x ) ( b ) 由z 的任意性，可知 定理证毕 ( a g ) 日= n 6 n | h 口 2 1 参考文献 参考文献 1 i m i s a a c s ，c h a r a c t e rt h e o r yo ff i n i t eg r o u p s m a c a d e m i c p r e s s ，1 9 9 4 2 i m i s a a c sa n dg n a v a r r o ，c h a r a c t e r so fi f - d e g r e eo fp - s o l v a b l e g r o u p s j j a l g e b r a ，2 0 0 1 ，2 4 6 ：3 9 4 4 1 3 i m i s a a c s ，c h a r a c t e r so f7 i - - s e p a r a b l eg r o u p s j j a l g e b r a ，1 9 8 4 ， 8 6 ：9 8 1 2 8 【4 】i m i s a a c s ，e x t e n s i o n so fc h a r a c t e r sf r o mh a l l7 r s u b g r o u p so f 丌- s e p a r a b l eg r o u p s j p r o c e d