（基础数学专业论文）yetterdrinfeld模范畴上的hopf模代数结构与yetterdrinfeld模范畴中交叉余积.pdf

摘要 在这篇论文中，主要讨论了两类问题：一方面讨论了y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中的h o p f 模代数的结构，并且证明了所有的s m a s h 积都是y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 模代 数；另一方面是y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴上的交叉余积 本文共分三章： 在第一章中，我们主要简单的介绍了h o p f 代数的研究背景和本文研究问题的来源 及意义 在第二章中，讨论了对于给定的一个h o p f 模代数，在什么条件下成为y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 模代数，并且研究了y e t t e r d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 模代数的结构， 并证明了y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中的h o p f 模代数等价于s m a s h 积，从而给出了s m a s h 积的一种新的刻划 在第三章中，首先给出了在y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中右h h o p f 模余代数的概 念，并且研究了在y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中，右h h o p f 模余代数的结构；其次，将通 常条件下的c l e f t 余扩张的定义，推广到了y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中我们可以看到， 在y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中，c l e f t 余扩张就是一个右日一h o p f 模余代数；最后，证 明了在y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中交叉余积成为右h h o p f 模余代数的充分必要条件 关键词：y e t t e r d r i n f e l d 模范畴，h o p f 模代数，h o p f 模余代数，c l e f t 余扩张，交叉余 积 a bs t r a c t i nt h i st h e s i s ，t w om a i nq u e s t i o n sa r ed i s s c u s s e d o nt h eo n eh a n d ，t h es t r u c t u r eo f h o p fm o d u l a ra l g e b r ai nt h ec a t e g o r i e so fy e t t e r d r i n f e l dm o d u l ei sa n a l y z e d t h et o t a l s m a s hp r o d u c t si sp r o v e dt ob ee q u a lt oh o p fm o d u l a ra l g e b r ai nt h ey e t t e r - d r i n f e l d m o d u l ec a t e g o r i e s o nt h eo t h e rh a n d ，t h ec r o s s e dc o p r o d u c t si nt h ey e t t e r d r i n f e l d m o d u l ec a t e g o r i e sh a v eb e e ni n t r o d u c e d t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yi n t r o d u c e dt h er e s e a r c hb a c k g r o u n do fh o p fa l g e b r aa n d t h er e s o u r c e sa n ds i g n i f i c a n c eo ft h er e s e a r c hq u e s t i o n so ft h i sp a p e r i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s s e dt h ec o n d i t i o n st h a tt h eg i v e nh o p fm o d u l a rc o p r o d u c t s b e c o m eh o p fm o d u l a ra l g e b r ai nt h ey e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r i e s a n dt h es t r u c t u r e o fh o p fm o d u l a ra l g e b r ai nt h ey e t t e r d r i n f e l dm o d u l a rc a t e g o r yi ss t u d i e d t h eh o p f m o d u l a ra l g e b r ai ny e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r i e si sp r o v e dt ob ee q u a lt os m a s h p r o d u c t so fw h i c han e wd e s c r i p t i o ni sg i v e n i nc h a p t e rt h r e e ，f i r s to fa l l ，w eg i v et h ec o n c e p t so fr i g h th h o p fm o d u l ec o a l g e b r a i ny e t t e r d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r y , a n dr e s e a r c hr i g h th h o p fm o d u l ec o a l g e b r as t r u c - t u r ei nt h ey e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r y ；s e c o n d l y , t h ed e f i n i t i o no fc l e f tc o e x p a n s i o n u n d e rt h en o r m a lc o n d i t i o n si se x t e n d e dt ot h ey e t t e r d r i n f e l dm o d u l e s ，w ec a ns e et h a t i nt h ey e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r y , c l e f tc o e x p a n s i o ni sar i g h th h o p fm o d u l ec o a l - g e b r a ；f i n a l l y , w ep r o o f e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a tc r o s s e dc o p r o d u c t s b e c o m er i g h th h o p fm o d u l a ec o a l g e b r ai nt h ey e t t e r - d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r i e s k e yw o r d s ：y e t t e r d r i n f e l dm o d u l ec a t e g o r i e s ，h o p fm o d u l ea l g e b r a ，h o p fm o d u l e c o a l g e b r a ，c l e f tc o e x t e n s i o n s ，c r o s s e dc o p r o d u c t s i i i 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 关于论文使用授权的说明 日期： 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名：至磁 导师签名： 日期：丝艺! 笪：笸 4 9 第一章引言 在本章中，首先对h o p f 代数及其相关作用的背景知识、发展过程加以简单地介绍 其次，阐述本文主要问题的提出过程和用到的一些相关知识 1 1h o p f 代数的背景知识 h o p f 代数是人们在研究拓扑时发现的二十世纪四十年代，h o p f 在研究拓扑群中的 余链( c o c h a i n s ) 时构造了既有代数结构又有余代数结构的代数结构后来c a r t i e r ，h a r l g e n ， b o r e a l 也做过类似研究，直到1 9 6 5 年j c m o r e 和j w m i l n o r 在a n n o fm a t h 上合作 发表了文章【1 】后，上述概念才正式被称为h o p f 代数他们的这篇开拓性的文章给h o p f 代数的研究奠定了基础自此，h o p f 代数引起了数学家们的广泛重视，并且取得了丰硕 成果特别是近二十年来，主要是量子群的兴起，i k a p l a n s k y 某些猜想卜的成功解决， 以及h o p f 代数作用理论的发展使之成为一门新的科学体系 h o p f 代数广泛应用于各个领域，如被作为工具用来研究域k 上的l i e 代数p 1 八十 年代，前苏联物理学家d r i n f e l d 揭示了量子群，h o p f 代数及量子y a n g - b a x t e r 方程的 关系h o p f 代数不但与物理学中的量子力学等诸多领域有着非常密切的关系，并且在 数学领域也几乎无处不在在数论( 形式论) 到代数几何( 仿射群概系) ，l i e - 理论( 李代数 的泛包络代数是h o p f 代数) ，伽罗瓦理论和可分解域扩张，分次环理论，算子理论，局部 紧群理论，广义函数论( 分布论) ，组合数学，表示论等等很多领域 h o p f 代数是数学中最活跃的领域之一，其发展大致可分为五个阶段：第一阶段，积 分理论和m a s c h k e 定理的发现第二阶段，l a g r a n g e 定理的证明第三阶段，h o p f 代 数作用的研究这一阶段最重要的成果文献是【4 】在这一阶段m o n t g o m e r y 和b l a t t e r 还证明了对偶定理第四阶段，量子群的研究著名的y a n g - b a x t e r 方程在数学及物理领 域都起到了很重要的作用，用对称的方法去求解y a n g - b a x t e r 方程引出了量子群理论 第五阶段，辫子h o p f 代数的研究1 9 8 6 年和t o y a l 和s t r e e t 引入了辫子张量范畴的概 念见文献 5 】这是超对称的推广 在h o p f 代数中，辫子m o n o i d a l 范畴是一个重要内容，它在量子群、低维拓扑、三 维流形、辫理论、纽结理论、量子y a n g - b a x t e r 方程及场论等领域都有很多重要的应用 p 剐辫子m o n o i d a l 范畴的一个重要背景是由f e d d v ，r e s h c t i k i n 及t a k h t a j a n 等构造 第二章y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中的h o p f 模代数结构 在本章中，己为数域k 上的h o p f 代数，且有双射对极既，日则为y e t t e r d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 代数我们首先讨论了对于给定的一个右h h o p f 模代数，在什么 条件下成为y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 模代数，并且研究了y e t t e r d r i n f e l d 模范 畴上的h o p f 模代数的结构，并证明了y e t t e r d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 模代数等价于 s m a s h 积，从而给出了s m a s h 积的一种新的刻划 2 1y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中的右h h o p f 模代数相关定义 为了更好的区分作用与余作用，我们给出： 若b 为左l 模，v b b ，z l ，其中模作用为： 妒：l b - + b ，f 圆bh z _ b 其中_ 表示左l 模作用 若b 为左l 余模，v b b ，z l ，其中余模作用为： 仃：b l b ，bhb 一1 b o 特别的，余结合性为： b 一11 b 一12 。b o = b 一1 圆b o 一1 。b o o 若b 为右日模，v b b ，h h ，其中模作用为： 7 ：b0h b ，b hh b 厶_ h 其中厶- 表示右日模作用 若b 为左日模，v b b ，h h ，其中模作用为： 5 ：日0b b ，h bhh - 7b 其中_ 7 表示左日模作用 7 第三章y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中的交叉余积 本文主要给出了，在y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中，具有卷积可逆的交叉余积成为右h h o p f 模余代数的充分必要条件 3 1y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中的模余代数的相关定义 定义3 1 1 一个余代数c 称为y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中右日一模余代数，若满足s ( 1 ) ( c ，厶- ) 是y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中右日一模；其中c 的右日一模结构映射为： co 日_ c ，c hhc 厶- h ( 2 ) a ( clh ) = c ( 1 ) l ( c ( 2 ) - 1 _ ( 1 ) ) oc ( 2 ) o 厶_ 危( 2 ) ；e ( c 上_ h ) = e ( c ) e ( ) 定义3 1 2 设日为y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中h o p 代数，c 称为y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中余代数，则在y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中，c 有右日模和右日余模结构 c oh _ c ，c 圆hh c 厶- h , p ：c c 圆h ，p ( c ) = c ( o ) 圆c o ) ，则称c 为y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中右日一h o p 模余代数，若其满足： ( 1 ) 在y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中，c 的左c 余模结构；a c ：c _ c 圆c ，c 为左c 右日双余模； ( 2 ) c 为y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴中右日一模余代数； ( 3 ) c 为y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中右h h o p 模 定义3 1 3 设( c ，a c ，e c ) 和( d ，a d ，g d ) 是y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中余代 数，f ：c _ d 是线性映射，若满足a d f = ( f f ) a c ，g d f = e c ，就称f 是 y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中余代数同态 3 2y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中的交叉余积成为右h g o p f 模佘 代数的充分必要条件 1 9 参考文献 1 j w m i l n o ra n dj c m o o r e o nt h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a s 【j 】a n n m a t h 1 9 6 5 ，8 1 ：2 1 1 2 6 4 【2 】i k a p l a n s k y b i a l g e b r a s r 】u n i v e r s i t yo fc h i c a g ol e c t u r en o t e s ，1 9 7 5 【3 】r l a r s o na n dj t o w b e r t w od u a lc l a s s e so fb i a l g e b r a sr e l a t e dt ot h ec o n c e p t so f ”q u a n t u mg r o u p s ”a n d ”q u a n t u ml i ea l g e b r a s j 】c o m m a l g e b r a ，1 9 9 1 ，1 9 ：3 2 9 5 3 3 4 5 【4 】s m o n t g o m e r y h o p fa l g e b r a sa n dt h e i ra c t i o n so nr i n g s 【m 】p r o v i d e n c e ：a m e r i c a nm a t h - e m a t i c a ls o c i e t y , 1 9 9 3 【5 】a j o y e da n dr s t r e e t b r a i d e dm o n o i d a lc a t e g o r i e s 【r 】m a t h e m a t i c sr e p o r t8 6 0 0 8 ，m a c - q u a r i eu n i v e r s i t y ，1 9 8 6 6 】p j f r e y da n dd n y e t t e r b r a i d e dc o m p a c tc l o s e dc a t e g o r i e sw i t ha p p l i c a t i o nt ol o w d i m e n s i o n a lt o p o l o g y 【j 】。a d v 。i nm a t h ，7 7 ( 1 9 8 9 ) ，1 5 6 - 1 8 2 【7 】a j o y e da n dr s t r e e t b r a i d e dt e n s o rc a t e g o r i e s j 】a d v m a t h 1 2 0 2 ( 1 9 9 3 ) ，2 0 - 7 8 【8 】8c k a s s e l q u a n t u mg r o u p s 【m 】g t m l 5 5 ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 5 【9 1d 。n 。y e t t e r 。q u a n t u mg r o u p sa n dr e p r e s e n t a t i o no fs o e 【j 】t 1 0 8 ( 1 9 9 0 ) ，2 6 1 2 9 0 。 【1 0 】l a l a m b ea n dd e r a d f o r d a l g e b r a i ca s p e c t so ft h eq u a n t u my a n g b a x t e re q u a t i o n 【j 】j a l g e b r a ，1 5 4 ( 1 9 9 3 ) ，2 2 8 - 2 8 8 【1 1 】d e r a d f o r da n dj t o w b e r y e t t e r - d r i n f e l dc a t e g o r i e sa s s o c i a t e dt oa na r b i t r a r yb i a l - g e b r a 【j 】j p u r e a p p l a l g e b r a ，8 7 ( 1 9 9 3 ) ，2 5 9 - 2 7 9 【1 2 】y d o i h o p fm o d u l e 饥y e t t e r - d r i n f e l dc a t e g o r i e s j 】c o m m a l g e b r a ，2 6 ( 9 ) ( 1 9 9 8 ) ，3 0 5 7 - 3 0 7 9 【1 3 1 崔杰，吴章清日d p f 模代数结构【j 】。复旦学报( 自然科学版) ，1 9 9 8 ，3 7 ( 5 ) ：2 0 - 2 5 。 【1 4 】d e r a d l f o r d t h es t r u c t u r eo fh o p fa l g e b r a sw i t hap r o j e c t i o n 【j 】i j a l g e b r a ，1 9 8 5 ，9 2 ：3 2 2 3 4 7 y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴上的h o p f 模代数结构与y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中交叉余积 【1 5 】r j b l a t t n e r ，m c o h e na n ds m o n t g o m e r y c r o s s e dp r o d u c t sa n di n n e ra c t i o n so fh o p f a l g e b r a s 【j 】t r a n sa m s ，1 9 8 6 ，2 8 9 ：6 7 1 7 1 1 【1 6 】s d s s c d l e s c u ，g m i l i t a r na n ds r m a n n c r o s s e dc o p r o d u c t sa n dc l 啦c o e x t e n s i o n s 【j 】 c o m m i na l g e b r a ，1 9 9 6 ，2 4 ( 4 ) ：1 2 2 9 1 2 4 3 【17 】y d o ia n dm t a k e u c h i a e y tc o m o d u l ea l g e b r a sy o rab i a l g e b r a 【j 】c o m m i n a l g e b r a ，1 9 8 6 ，1 4 ：8 0 1 8 1 8 【1 8 】m e s w e e d l e r h o p fa l g e b r a s 【m 】n e wy o r k ：b e n j a m i n ，1 9 6 9 【1 9 】e a b e h o p fa l g e b r a 【m 】c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 8 0 f 2 0 1t h o m a sw h u n g e r f o r d a l g e b r a ( m 】s p r i n g e r - v e r l a gi n c ，s e a t t l e ，w a s h i n g t o n ，1 9 8 0 【2 1 】c k a s s e l q u a n t u mg r o u p s 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 5 【2 2 】r k m o l n a r s e m i - d i r e c tp r o d u c t so yh o p fa l g e b r a 【j 】j a l g e b r a ，1 9 7 7 ，4 7 ( 1 ) ：2 9 - 5 1 【2 3 】r b l a t t n e r ，m c o h e na n ds m o n t g o m e r y c r o s s e dp r o d u c t sa n di n n e ra c t i o n so fh o p f a l g e b r a s 【j 】j t r a n so ft h ea m s ，2 9 8 ( 1 9 8 6 ) ，6 7 1 7 1 1 【2 4 r b l a t t n e ra n ds m o n t g o m e r y c r o s s e dp r o d u c t sa n dg a l o i se x t e n s i o n so fh o p fa l g e b r a s 【j 】p a c i f cj m a h ，1 3 7 ( 1 9 8 9 ) ，3 7 - 5 4 【2 5 】s c a e n e p e e l ，s d s s c h l e s c u ，s r a i a n u c o s e m i s i m p l eh o p fa l g e b r a sc o a c t i n g o n c o a l g e - b r a p r e p r i n t 2 6 】s c a e n e p e e l ，s d d s c h l e s e u ，s r a i a n u am a s c h k e - t y p et h e o r e mf o rc r o s s e dc o p r o d u c t s ，t o a p p e a r 【j 】a n n o fo v i d i n su n i v c o n s t a n t a 【2 7 】m c o h e n ，d 。f i s c h m a n s e m i s i m p l e e x t e n s i o n sa n de l e m e n t s o ft r a c e l 【j 】j a l g e b r a 1 4 9 ( 1 9 9 2 ) ，4 1 9 4 3 7 【2 8 】s d a s c s l e s c u ，s r a i a n u ，y z h a n g f i n i t eh o p f - g a i o i sc o e x t e n s i o n s ，c r o s s e dc o p r o d u c t s a n dd u a l i t yt oa p p e a r 【j 】j a l g e b r a 参考文献 【2 9 】y d o i c o h o m o l o g i e so v e rc o m m n t a t i v eh o p fa l g e b r a s 【j 】h o p fa l g e b r a s ，j m a t h s o c j a p a n ，2 5 ( 1 9 7 3 ) ，6 8 0 - 7 0 6 【3 0 】y d o i c ：啦c o m o d u l ea l g e b r a sa