（基础数学专业论文）特征标三元对组的诱导子和限制子及其线性约化.pdf

摘要 摘要 群表示论是近代数学的一个重要分支，而特征标理论是研究 有限群常表示的最主要工具之一特征标三元对( 组) 是特征 标理论中最为基本的研究对象之一，它在群论及特征标理论的 研究中起着很重要的作用 本文进一步讨论特征标三元对( 组) 的诱导子、限制子及其 线性约化在引言中，我们对于论文有关的背景、研究方向以及 发展动态进行介绍，并概述了本论文的主要工作第一章中， 我们给出一些与论文有关的基本概念与重要结论，为后两章奠 定必要的基础第二章中，证明了特征标三元组及其诱导子( 限 制子) 存在中间子三元组，且相应的子群之间及不可约特征标 之间均存在特殊的对应关系，推广了i m 。i s a a c s 在文献f 4 中的结 果第三章中，探讨了特征标三元对( 特征标三元组) 及其诱导 子( 限制子) 的线性约化保对应问题，即在适当的条件下，可用 同一线性特征标将它们线性约化，而且约化后保持诱导( 限制) 关系，并且多重线性约化时以上性质仍将保持 关键词：诱导子；限制子；线性约化 a b s t r a c t t h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r yo ff i n i t eg r o u p si sa ni m p o r t a n tb r a n c h o fm o d e r nm a t h e m a t i c s ，a n dt h ec h a r a c t e rt h e o r yi so n eo ft h em a i n t o o l st os t u d yt h eo r d i n a r yr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y c h a r a c t e rp a i r s ( t r i p l e s ) a r eo n eo ft h em o s tb a s i cr e s e a r c ho b j e c t si nc h a r a c t e rt h e o r y , a n d t h e yp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d y i n go fb o t hg r o u pt h e o r ya n d c h a r a c t e rt h e o r y t h ei n d u c t o r ，r e s t r i c t o ro fac h a r a c t e rp a i r ( t r i p l e ) a n di t sl i n e a r r e d u c t i o na r ef u r t h e rd i s c u s s e di nt h i sp a p e r 。i nt h e 。i n t r o d u c t i o n 、 w eh a v ep r e s e n t e dt h eb a c k g r o u n d s ，r e s e a r c ho r i e n t a t i o n sa n dd e v e n o p m e n tt r e n d sr e l a t e dt ot h i sp a p e r i nc h a p t e rl ，s o m eb a s i cc o n c e p t s a n di m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa r eg i v e ns ot h a tt h e yc a nl a yam a s s i v e f o u n d a t i o nf o rt h en e x tt w oc h a p t e r s i nc h a p t e r2 ，w eh a v ee x t e n d e d t h er e s u l t so fi s a a c s si n 【4 】b yp r o v i n gt h a tt h e r ee x i s t sam i d d l ec h a r a c t e rt r i p l eb e t w e e nac h a r a c t e rt r i p l ea n di t si n d u c t o r ( r e s t r i c t o r ) ，a n d t h a ta s p e c i a lm a pb e t w e e nt h er e l a t e dg r o u p sa n dab i j e c t i o nb e t w e e n t h er e l a t e di r r e d u c i b l ec h a r a c t e r sc a nb ef o u n d i nc h a p t e r3 ，w eh a v e e x p l o r e dt h a ti ns o m es i t u a t i o n sw ec a nu s et h es a m el i n e a rc h a r a c t e r t ol i n e a r l yr e d u c eac h a r a c t e rp a i r ( t r i p l e ) a n di t si n d u c t o r ( r e s t r i c t o r ) ， a n dt h a t “i n d u c t i o n “lr e s t r i c t i o n “、a l s oh o l d sb e t w e e nt h er e d u c e d c h a r a c t e rt r i p l e s k e yw o r d s ：i n d u c t o r ；r e s t r i c t o r ；l i n e a rr e d u c t i o n 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研究成果本人 在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果，均在文中以明确方式 标明本人依法享有和承担由此论文而产生的权利和责任 声明入( 签名) ：文佻在 加o g 年6 月1 日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定厦门大学有 权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的纸质版和电子版，有 权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书 2 、不保密( v ) ( 请在以上相应括号内打“ ”) 作者签名： 导师签名： 刘燃， 0 胞 日期：b d p 年月le t 日期：枷9 年舌月1 日 引言 引言 本文中除非特别声明，所指的群均为有限群；所指的特征标均为复数 域上的特征标本文所使用的符号和术语都是标准的，可参看【1 】与【1 1 】 群表示论是近代数学的一个重要分支，而特征标理论是研究有限群 常表示的最主要工具之一特征标三元组是特征标理论中最为基本的研 究对象之一，它在群论及特征标理论的研究中起着很重要的作用，目前 已经取得了大量研究成果 例如，林静 1 3 1 定义了s b p c - 相关幂零群：如果有限群g 的真子群 只有素数幂阶群，则称g 为s b p 群；设0 i r r ( n ) ，如果对任意的l ( ) = n i 鼍i r r ( l ) ，使得= 味均有l 司司，则称为0 一相 关幂零群；设0ei r r ( ) ，n 为0 一相关幂零群且为s b p 群，则称为 s b p 0 一相关幂零群；如果对任意的0 i n ( ) ，n 均为s b p0 一相关幂零 群，则称为s b p c - 相关幂零群她的主要结果对i s a a e s 在文献【2 】2 中的 结果做了推广： 设g 为有限群，n 笪g ，n 是s b p c - 相关幂零群，) ( i r r ( g ) ，则) ( 的 所有相对于的稳定限制有相同的次数 冯海辉1 1 4 】首先考虑了特征标三元组的本原性和拟本原性之间的关 系，其次引入了x 一幂零群的概念，研究了它的性质 张伟伟，靳平【1 5 1 探讨了与特征标三元组( g ，n ，0 ) 相伴的上同调元素 u ( p ) h 2 ( g i v ，伊) 的若干乘法性质，并用此研究了两个特征标三元组的 同构问题，以及可解正规子群上完全可分解的特征标到大群的扩张问题 在文献 1 ，只。】中，i m i s a a c s 给出了特征标三元组的定义： 设g 为有限群，n 里g ，0 i r r ( n ) 且为g - 不变的( 即对v 9 g ，有 0 9 = p ) ，此时称( g ，n ，0 ) 为特征标三元组 然后i s a a c s 给出了特征标三元组同构的定义： 定义1 【1 ，p l s ，】设( g ，n ，0 ) 和( r ，m ，) 均为特征标三元组，再设7 - ：c n f m 为群同构对于冬日g ，设r ( 驯n ) = h r m 若对每一个满足 引言2 何冬g 的群日及x ，妒o h ( h i e ) ，均存在映射d r h ：c h ( h i o ) 一c h ( h 1 4 ) 满足以下条件： ( a ) a h ( x + 矽) = o h ( x ) + 翰( 砂) ； ( 6 ) 【x ，妒】= 【口日( x ) ，仃日( 1 ；f ，) 】； ( e ) a k ( x k ) = ( 即( x ) ) k r ； ( d ) a h c x p ) = 盯何( x ) p r ，v p i r r ( h n ) 令盯=u 盯j = r ，则称( r ，盯) 是从( g ，n ，0 ) 到( r ，m ，) 的同构 n c h c g i s a a c s 利用特征标三元组同构理论深入研究了群的特征标次数估值及 特征标扩张问题，得到了如下的主要结果： 推论1 【1 p 1 1 设ngg ，x i r r ( g ) ，0 h r ( ) ，若 口，x n 】0 ，则勰整除 i g ：9 1 推论2 1 1 ，p l 】设司司g 且为交换群，则呶i r r ( g ) ，x ( 1 ) 整除i g ： r i 推论3 【1 p l 】设( g ，n ，0 ) 为特征标三元组若对g n 的任一西罗子群 p 均有0 可扩张到p 则0 可扩张到g 在文献【5 】的第五节“r e s t r i c t o r sa n di n d u c t o r s ”中，e c d a d e 给出了 特征标三元组的诱导子、限制子的定义： 定义2 【5 ，p 3 9 , 1 设( em ，妒) ，( g ，n ，0 ) 均为特征标三元组，且g = n h ，m = n 胃若0 = 妒，则称( em ，妒) 为( g ，n ，0 ) 的诱导子；若妒= o n ，则称 ( 日，m ，妒) 为( g ，n ，0 ) 的限制子 在文献【4 】的第四节“t h en u c l e u so fac h a r a c t e r ”中，i m i s a a c s 给出 了特征标三元组对应理论中一个很重要的定理： 引理1 1 4 ，p r o s 设( g ，n ，0 ) 为特征标三元组，k g ，n k = g ，n f lk = m 妒i r r ( m ) 为k 一不变的，即( k m ，妒) 也是特征标三元组若【o m ，纠= 1 ， 定义映射g ：i r r ( g o ) 一i r r ( k i o ) ，g ( x ) = f ， x k ，科0 ，其中) ( i r r ( a o ) 则g 为从i r r ( g t 0 ) 到i r r ( k 1 8 ) 的双射；且若9 ( x ) = ，则【x k ，f 】= 1 ，器= 器 i 、i ，i s a a c s 随后给出了两个推论，见本论文第一章的引理1 2 1 ，引理1 2 2 。 引言 3 在本文第二章中，我们主要是对i m i s a a c s 的上述结果加以推广，证明了 特征标三元组及其诱导子( 限制子) 存在中间子三元组，且相应的子群之 间及不可约特征标之间均存在特殊的对应关系，这是本文第一方面的主 要结果： 方便起见，记螂= l i n l 日) 定理2 3 设( g ，n ，p ) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( 日，m ，妒) 为 ( g ，0 ) 的诱导子，定义映射，：螂_ 硝，lhn l ，其中l 嗍，则 有 ( a ) s 为双射；且对于任意的k m z ，有厂1 ( k ) = hnk = l 螂； ( b ) 设i ( l ) = k ，其中l 瑶，则( 厶m ，妒) 为( kn ，口) 的诱导子，此时 按特征标的诱导关系有双射( ) k ：i r r ( l i 妒) 一i r r ( k 0 ) ，ph 胪 定理2 4 设( g ，n ，9 ) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( ，m ，妒) 为 ( g ，n ，p ) 的限制子，定义映射，：础叶m z ，lhn l ，其中l 硝，则 有 ( a ) i 为双射；且对于任意的k m z ，有厂1 ( k ) = h nk = l j i 碍； ( b ) 若f ( l ) = k ，其中l 端，则( l ，m ，妒) 为( k ，n ，p ) 的限制子，此时 按特征标的限制关系有双射( ) l ：i = ( k l e ) 一i r r ( l i t o ) ，口hq l 定理2 5 设( g ，n ，口) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( 日，m ，妒) 为 ( g ，n ，口) 的诱导子，定义映射i ：懈一喇，khk nn = l ，其中k 懈， 则有 ( a ) ，为单射；特别地，当日拟正规时，为双射 ( b ) 若f ( k ) = l ，其中k 皤，则( k ，l ，矿) 也为特征标三元组，且 ( em ，妒) 为( kl ，矿) 的诱导子，( kl ，矿) 为( g ，n ，9 ) 的诱导子，此时 i r r ( h i t ) ，i r r ( k 妒l ) ，i r r ( g 1 8 ) 三者彼此间存在双射 定理2 6 设( g ，n ，移) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( 置m ，妒) 为 ( g ，n ，p ) 的限制子，定义映射，：懈一m g ，khk n n = l ，其中k 懈， 则有 ( a ) ，为单射；特别地，当日拟正规时，为双射 引言 4 ( b ) 若f ( k ) = l ，其中k 懈，则( k ，厶九) 也为特征标三元组， 且( 日，m ，妒) 为( k ，l ，眈) 的限制子，( k ，l ，0 l ) 为( g ，n ，0 ) 的限制子；此时 i r r ( l 妒) ，i r r ( k 1 0 l ) ，i r r ( g i o ) 三者彼此之间存在双射 在文献【2 】2 中，i m i s a a c s 给出了特征标稳定极限的定义： 定义3 【2 鼬，】设o = n 璺g ，x i r r ( c ) ，0 i r r ( x l n ) ，t o = t = ，g ( p ) 则由 c l i f f o r d 定理知，存在唯一的特征标7 7 满足叩i r r ( x t ) n l r r ( t 8 ) ，此时称，7 为 x 关于0 的c l i f f o r d 对应元同样地，对于l 璺t o ，设0 l i r r ( v l 1 ) ，噩= t ( 口1 ) 则存在唯一的，7 。i r r 0 7 l t l ) ni r r ( t 。1 0 1 ) 这样一直下去，每一步得到的仇都 称为x 的复合c l i f f o r d 对应元，记为琅c c c ( x ) 把c c c ( x ) 中的极小元 称为x 的稳定极限若在以上过程中每一步都要求ts 则这样所得 的稳定极限称为x 的相对于的稳定极限 i s a a c s 利用特征标三元组及其诱导子的性质深刻研究了特征标相对稳 定极限的相关性质，奠定了稳定子极限理论研究的基础，主要得到了下 面的结果： 定理i 2 ，p 鱼s e 设n 塑g 且幂零，x i r r ( g ) 则x 的所有相对于的 稳定极限都有相同的次数 在文献【3 ，p 1 】中，e c d a d e 和m l o u h k i 引入了特征标三元对的概念： 定义4 1 3 , p d 设g 为有限群，若n 里g ，0 i r r ( n ) ，则称t = ( g ，n ，9 ) 为特 征标三元对显然，特征标三元组是特征标三元对 接着给出了特征标三元对的线性约化的定义： 定义5 s , p d 设t ，( h ，m ，妒) ，t = ( g ，n ，妒) 均为特征标三元对，且rsf 若jl n ，l 璺g ，入l i n ( o l l ) ，使得h = g ( 入) ，且妒是满足妒i r r ( m a ) 且p = 妒的m 的唯一的不可约特征标，则称r 为r 的线性约化， 记为r l r ( t ) 若存在以t o = t 为始，以l = r 为终的有限链， 满足正l r ( t t 1 ) ( i ：1 ，2 ，珏l 则称丁7 为丁的多重线性约化，记为 t 7 m l r ( t ) ：并称死，n ：，瓦为从丁到丁7 的线性约化链若t 7 m l r ( t ) 引言 5 且r 的线性约化只有它自身，则称r 为t 的线性极限，记为r l l ( t ) e c d a d e 和m l o u k a k i 得到了一个重要结果，简化了m l o u k a k i 在文献 【8 】8 中的主要定理的证明文献【4 】的主要结果为： 定理2 【3 忍1 特征标三元对的任何两个线性极限都是等价的 由此可见，线性约化在特征标理论的证明中可以起到化繁为简、事半 功倍的效果本文第三章主要研究了特征标三元组( 对) 及其诱导子的 同时线性约化保对应问题，首先证明了对于特征标三元对及其诱导子( 限 制子) 在适当的条件下，可用同一线性特征标将它们线性约化，而且线性 约化后保持诱导( 限制) 关系，并且多重线性约化时以上性质仍保持；接 着证明了对于特征标三元组及其诱导子( 限制子) ，仍可用同一线性特征 标将它们线性约化，而且线性约化后保持诱导( 限制) 关系，并且多重线 性约化时以上性质仍保持以下即是本文第二方面的主要结果： 定理3 2 设t = ( g ，n ，p ) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元对，且r 为 t 的诱导子，若l m ，l 笪g ，【l ，l 】k e r ( t ) ，则有 ( a ) l i n ( 妒i l ) 1 2 f ，l i n ( 0 i l ) g ； ( b ) 设a l i n ( 妒i l ) ，贝0 丁( a ) = ( g ( 入) ，( 入) ，以) l r ( t ) ， r ( 入) = ( 日( 入) ，m ( 入) ，叭) l r ( r ) ； ( c ) r ( 入) 为丁( 入) 的诱导子 定理3 3 设t = ( g ，n ，口) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元对，且r 为 r 的诱导子，若l n ，l 璺g ，【l ，l 】k e r ( t ) ，m 璺g ，则有 ( a ) l i n ( 妒l l n m ) g ，l i n ( 0 i l n m ) 1 2 f ； ( b ) 设p l i n ( 妒i l nm ) ，则r ( p ) l r ( r ) ，丁( p ) l r ( t ) 且r ( p ) 为t ( u ) 的诱导子 定理3 6 设t = ( g ，n ，p ) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元对，且r 为 ? 的限制子，若l l 受g ，【l ，l j g e t ( t ) ，m 旦g ，则有 ( a ) l i n ( e l l ) g ； ( b ) 设a l i n ( e l n ) ，弘= a l n m 贝4 丁( a ) l r ( t ) ，t ( p ) l r ( r ) ； ( c ) t ( p ) l r ( t ) 且【丁( p ) 1 ( 入) = 丁( a ) ； 引言 6 ( d ) r ( p ) 为丁( p ) 的限制子 定理3 9 设t = ( g ，n ，口) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且r 为 t 的诱导子，若m9g ，l n ，l 里g ，【l ，l 】k e r ( t ) ，则有 ( a ) l i n ( i ，o l lnm ) 历，l i n ( 0 1 lnm ) 历； ( b ) 设芦l i n ( 妒i lnm ) ，贝0f ( p ) l r ( f ) ，丁( 弘) l r ( t ) ，此时r ( 弘) ，t ( z ) 均为特征标三元组，且r ( p ) 为r ( p ) 的诱导子 定理3 1 2 设t = ( g ，n ，口) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且r 为 r 的限制子，若m 璺g ，l n ，l 璺g ，陋，l 】k e r ( t ) ，则有 ( a ) l i n l ) a ； ( b ) 设a l i n l ) ，记p = a l n m ，贝0t ( 入) l r ( t ) ，r ( p ) l r ( r ) ； ( c ) t ( p ) l r ( t ) 且【r ( p ) 】( a ) = r ( a ) ； ( d ) r ( p ) ，r ( p ) 均为特征标三元组，且r ( p ) 为丁( 芦) 的限制子 第一章预备知识 7 第一章预备知识 在这一章中，我们先来介绍一些预备知识 定义1 i 3 , p d 设g 为有限群，若n 璺g ，p i r r ( n ) ，则称t = ( g ，n ，p ) 为 特征标三元对并记k e rt = k e r ( 俨) ，称它为特征标三元对t 的核 定义1 2 3 p 5 1 设h g ，妒i r r ( h ) ，x i n ( c ) ，若p ，柚】0 ，则称妒在x 的下方，记为妒) ( ，此时也称x 在妒的上方，记为x 妒，记i r r ( g k o ) = x i r r ( g ) l x ，妒】o ) ，i r r ( x l h ) = 妒i r k h ) i 1 ，o c , x 】o ) ，l i n ( h ) = a i r r ( h ) l a ( 1 ) = l ，l i n ( x l h ) = l i n ( h ) ni r r ( x l h ) 定义1 3 f 4 ，p o s 记( n ，口) ( g ，x ) 表示n g ，口i n ( n ) ，x i r r ( g 1 0 ) 定义1 4 【3 - p l j 设t = ( g ，n ，妒) ，r = ( 日，m ，妒) 均为特征标三元对若 日g ，m = nnh ，妒t r r ( 妒l m ) ，则称r 为t 的一个子特征标三元对，简 称子对，记为r t 定义1 5 【1 - p - s e 设g 为有限群，n 璺g ，9 i r r ( n ) 且为g 不变的( 即对 v 夕g ，有0 9 = p ) ，此时称( g ，n ，0 ) 为特征标三元组显然特征标三元组是 特征标三元对 定义1 6 s , p 3 9 s 设r = ( h ，m ，妒) ，t = ( g ，n ，p ) 均为特征标三元组， g = em = nn 日，若口= ，则称( 日，m ，妒) 为( g ，n ，0 ) 的诱导子；若 妒= 阶，则称( 日，m ，妒) 为( g ，n ，0 ) 的限制子其关系如下图所示： ( n ，目) 一( g ，x ) f1 ( m 妒) 一( 日，妒) 仿照定义1 6 ，我们引入 定义1 7 设t = ( g ：n ，口) ，r = ( 只i f ，妒) 均为特征标三元对，且t 7 t ， 若p = 则弥( j i ，9 ) 为( g n p ) 的诱导子；若夕= o n 则称( m9 ) 为( g ，n ，口) 的限制子 第一章预备知识 8 定义i 8 1 3 ，n l 设r = ( 圮m ，妒) ，t = ( g ，n ，纠均为特征标三元对，且 r z 若jl n ，l 璺g ，入l i n ( 妒 l ) ，使得h = g ( a ) = g g i 入g = a ) ， 且妒是满足妒i r r ( m a ) 且妒= 矽的m 的唯一的不可约特征标，则称r 为t 的线性约化，记为r l r ( t ) 若存在以t o = t 为始，以瓦= r 为 终的有限链，满足正l r ( t t 一1 ) ( i = 1 ，2 ，n ) ，则称r 为r 的多重线性约 化，记为rem l r ( t ) ，并称蜀，死，兀为从t 到r 的线性约化链 定义1 9 【1 1 ( c a p t e r7 ) ，p 2 】设g 和日是给定的有限群若妒是日到a u t ( g ) 内的一个同态映射我们就称妒为在g 上的_ 个作用 定义1 1 0 1 1 ( c h a p t e r ”，刚设妒是群h 在g 上的个作用，a g ，称 a 为日一不变的，如果a 冬a ，v h h 定义1 1 1 设h g ，若对g 的任意子群l 均有h l g ，则称日为g 的拟正规子群 引理1 1 2 1 1 ( c 脚衙1 ) ，p l ：1 ( 模律) 设a b g ，c g ，则有bn ( a c ) = a ( b n c l 引理1 1 3 1 1 ( c a p t ”2 ) ，r 。】( f r a t t i n i 论断) 设g 作用在集合q 上，并且g 包含一个子群j v ，它在q 上的作用是传递的，则g = g q n ，q 引理1 1 4 【1 ，伽5 2 l ( f r o b e n i u s 互反律) 设g 为群，h g ，x 与p 分别 为g 和日上的类函数，则有x j j r 】= 【，x 】 引理1 1 5 1 , t h e o r 伽6 2 】( c l i f f o r d 定理) 设g 为群， n 翼g ，x i r r ( g ) ，口 i r r ( x n ) 且0 = 秽1 ，晚，巩是移的互不相同的g 共轭，则m = e 矾，其 中e = 【x n ，外 引理1 1 6 【1 ，n e 卯。m6 ，1 1 】( c l i f f o r d 对应定理) 设g 是有限群，n 司g ，口 i r r ( ) 记t = 如( p ) ，a = i r r ( t l e ) ，层= i r r ( a l e ) ，则按特征标的诱导关系有双 射： ( ) g ：a 一召 妒h 妒g 第一章预备知识 9 特别地，如果妒a 满足= x 8 ，那么9 是属于a 中的珩的唯一的 不可约分量，且有妇，刎= 阪，明一般地，记妒= 洳 引理1 1 7 1 1 , 如m m5 1 1 】设日g ，p 为何上的特征标，则k e r ( 7 g ) = n ( k e r o ) 9 g e g 引理1 1 8 【1 ，一s 】设h k g ，妒为日上的类函数，则有( 妒k ) g = 妒g 引理1 1 9 【1 ，竹s l 设ek g 且g = h k ，妒为何上的类函数，则有 ( 妒g ) 耳= ( 幻n 片) k 引理1 2 0 【1 ，期】设h ，k g ，咖为日上的特征标，若( 妒g ) x i r r ( k ) ，则 奄g = h k 引理1 2 1 4 ，锄础盯，4 3 1 设t = ( g ，n ，口) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元 组，且r 为t 的诱导子，则按特征标的诱导关系有双射： ( ) g ：i r r ( h 妒) 一i r r ( v 1 0 ) 砂一砂g 引理1 2 2 1 4 , c o a t a r 4 2 】设t = ( g ，n ，p ) ，r = ( h ，m ，妒) 均为特征标三元 组，且r 为丁的限制子，则按特征标的限制关系有双射： ( ) h ：i r r ( g l o ) 一i r r ( n k o ) 引理1 2 3 3 p r 。p 乱溉3 4 】设t = ( g ，n ，砂) 为特征标三元对，l n ，l 塑g ， 则有 l i n ( 砂l l ) d 铮【l ，l 】k e r ( t ) = k e r ( b g ) ， 其中翻表示l 的导群 引理1 2 4 3 p r 。p 。s n 伽3 7 】对特征标三元对t = ( g ，n ，妒) ，存在群k 及 k l i n ( 移l k ) 满足k 里g ，z ( t ) = z ( 谚g ) sk ( k ) ；且丁的任一线性约化 均可化为丁( k ) = ( g ( k ) ( k ) ，以) 的形式 第一章预备知识 引理1 2 5 ( 3 ，p r o p o s i t i o n3 1 i j 设丁= ( g ， 妒) 为特征标三元对， 三要g k lsn ，k 璺g ，入l i n ( g , l l ) ，7 7 = a k ，则t ( ，7 ) = ( g ( 7 7 ) ，n ( r ) ，) l r ( t ) ，而且 f 丁( 露) j ( a ) = t ( n 其中的群和特征标关系如下图所示： ( n ，t f ) 一( g ，x ) f； ( ( t 7 ) ，) 一( g ( f 7 ) ，) ?； ( k ，叩) 一( l ，a ) 一( ( a ) ，枞) 一( g ( a ) ，地) 1 0 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 1 1 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 特征标三元组在群论及特征标理论的研究中起着很重要的作用这 一章我们主要对特征标三元组和它的诱导子( 限制子) 进行一下讨论 先证明两个引理 引理2 1 设a b c ，( a ，q ) ( c ，7 ) ，则必存在p i r r ( b ) 满足 ( a ，口) ( b ，p ) ( c ，7 ) 证明由( a ，a ) ( c ，y ) 知，f q ，m 】0 ；再由引理1 1 4 知， 陋， y a 】= 【a ，( 7 b ) a 】 = 【口b ，蚀】 0 ， 则必存在p i r r ( b ) 满足p i r r c b l a ) ni r r ( 7 l b ) ，即( a ，口) ( b ，p ) ( c ，- y ) 口 引理2 2 设n g ，p i n ( m ) ，a i n ( o i l ) 对均g ，则有 ( a ) ( a 2 v ) g = ( a 9 ) 胛； ( b ) ( e l ) g = ( 伊) 酗； ( c ) 若l 鱼n ，则( 口a ) 9 = ( p g ) 舶 证明( a ) 对v n n ，则有 矿m2 面1 三( ) o ( x n g x - i ) 2 面1 三( 妒( 卿飞旷1 9 。1 ) i 一雨1 ( 入) 。 ( g x g 。1 ) n ( g x g 。) 以】 n z 急v v 2 面1 善( 妒( y n y - 1 ) = 入n ( n ) = ( a ) 9 ( 伊) 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 1 2 故( 2 n ) g = ( ) 肿 ( b ) 对v f l ，贝i j 有 【( 伊) 工，】( 伊) = ( 伊) ( ) = o c l ) = ( 气) ，( p ) 故( 眈) 9 = ( 伊) d ( c ) 先证v g g ，【( ( a ) ) 】9 = 9 ( ”) 由于 n g n g ( ) 营 营 营 n n ，( a 9 ) n 9 = a 9 = ( a n ) 9 n n ，入= 入n n ( 入) 2 , g ( ( 入) ) 9 ， 贝4 【( ( a ) ) 】9 = 9 ( ) 由于( l ，a ) ( ( 入) ，以) ( n ，口) ，贝0 ( l g ， ) ( 【( 入) p = j 7 v 9 ( 舻) ，( 以) 9 ) ( n g ，伊) 由引理1 1 6 知，( p ， ) ( 肭( 舻) ，( 伊) ，) ( n g ：伊) 由唯性知，( 以) 9 = ( 伊) 肌 i - 1 i s a a c s 在文献【4 】中证明了特征标三元组和它的诱导子及限制子的不 可约特征标之间的一一对应关系，见引理1 2 1 ，1 2 2 下面的定理2 3 2 6 将其结果加以推广 方便起见，记m s = l i n l h ) 定理2 3 设( g ，p ) ，( 只m ，妒) 均为特征标三元组，且( 日，m ，妒) 为 ( g ，n ，护) 的诱导子，定义映射，：螂一m z ，lh 厶其中l i 硌，则 有 ( a ) f 为双射；且对于任意的k 孵，有f - 1 ( k ) = h nk = l 碍； ( b ) 设y ( n ) = k ：其中l m z ，则( l ，m ，妒) 为( k n ，p ) 的诱导子，此时 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 按特征标的诱导关系有双射( ) k ：i r r ( l k o ) 一i r r ( k l o ) ，ph 胪 ( n ，口) 一( k ，p k ) 一( g ，x ) lff ( m ，妒) 一( l ，p ) 一( h ，妒) 证明( a ) ，为映射：对于任意的l 蚓，有m l h ，则 n = n m 曼n lsnh = g 即i ( l ) = n l m z ，故，为映射 ，为单射：对于任意的l 1 ，l 2 螂若，( 1 ) = f ( l 2 ) ，则n l - = n l 2 下证l 1 = l 2 ，从而可得，为单射由n l l = 如知，日nn l l = h nn l 2 由于l i h ( i = 1 ，2 ) ，再由引理1 1 2 知， 日nn l t = l i ( 日n ) = l 1 m = l 1 ， nn l 2 = l 2 ( hn ) = l 2 m = l 2 从而l 1 = l 2 ，为满射：任意的k 孵，则n k g 取l = knh ，则 m = nn h knh h ， 于是l m z ，且由引理1 1 2 知， f ( t ) = n l = n ( k nh ) =k n ( 日) =k ng =k 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 1 4 故，为双射，且由上述证明知，对于任意的k m z ，有广1 ( k ) = h nk = l 坞 ( b ) 由f ( l ) = k ，l m g 知，k = n l m z ，且m = n i 1l 由( g ，n ，0 ) 为特征标三元组且ns sg 知，ngk ，0 i r r ( n ) 为k 不变的，从而 ( k ，n ，0 ) 为特征标三元组同理( l m ，妒) 也为特征标三元组又= 0 ， 故( 厶m ，妒) 为( k n ，0 ) 的诱导子再由引理1 2 1 知，按特征标的诱导关 系有双射( ) ：i r r ( l k o ) _ i r r ( k 1 0 ) ，卢h 口 定理2 4 设( g ，n ，口) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( 圩，m ，妒) 为 ( g ， 0 ) 的限制子，定义映射，：础_ m z ，lhn l ，其中l m g ，则 有 ( a ) ，为双射；且对于任意的kem g ，有f - 1 ( k ) = h i 1k = lem g ； ( b ) 若f ( l ) = k ，其中l m g ，则( 厶m ，妒) 为( k ，n ，0 ) 的限制子，此时 按特征标的限制关系有双射( ) l ：i r r ( k l o ) 一i r r ( l k o ) ，口ho t l ( n ，0 ) 一( k ，o t ) 一( g ，x ) fll ( m ，q o ) 一( l ，q l ) 一( h ，妒) 证明同定理2 3 可知( a ) 成立，且( l ，m ，q o ) 为( kn ，0 ) 的限制子再由 引理1 2 2 知，按特征标的限制关系有双射( ) l ：i r r ( k 1 0 ) 一i r r ( l k o ) ，ahq l 口 定理2 5 设( g ，n ，9 ) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( 日，m ，妒) 为 ( g ，n ，0 ) 的诱导子，定义映射，：墙一础，k 一耳nn = l ，其中k 懈， 则有 ( a ) ，为单射；特别地，当日拟正规时，为双射 ( b ) 若f ( k ) = l ，其中k 懈，则( k ，l ，矿) 也为特征标三元组，且 ( 日，m ，妒) 为( ，l ，矿) 的诱导子，( k ，l ，矿) 为( g ，n ，0 ) 的诱导子，此时 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 1 5 i r r ( h l 妒) ，i r r ( i 矿) ，i r r ( g l e ) 三者彼此间存在双射 ( n ，p ) 一( g ，x ) ff ( l ，妒l ) 一( k ，妒k ) ff ( m ，妒) 一( h ，砂) 证明( a ) i 为映射：对任意的k 懈，则f ( k ) = knn 由于 m = hnn kon n ， 则i ( k ) = k nn = l 喇 ，为单射：对任意的甄，尬懈若，( 雎) = ，( 配) ，则n a k l = n 鲍 下证k = 鲍，从而可得，为单射由n 局= n 鲍知，h ( n nk 1 ) = h ( nn ) 由于h k ( 汪1 ，2 ) ，再由引理1 1 2 知， h ( nok t ) = k l oh n = k l ng = k 1 ， h ( no 恐) = 鲍nh n = 鲍n g = 鲍 从而，k 1 = 妃 当日拟正规时，要证，为双射，只须再证，为满射v l 螂，由于h g 拟正规，则日l g 且日l i 瑁由于 f ( h l ) = h l nn = l ( h nn ) = l 3 i =e 第二章特征标三元组的诱导子、限制子_ 一1 6 则，为满射从而，为双射 ( b ) 由特征标三元组( e m ，妒) 为( g ，n ，p ) 的诱导子知，g = n h ，m = nnh ，口：p n 由于n 望g ，k g ，贝0l=k nn 翼k 设a = 妒l ，由于 p = ( 妒l ) = q = 0 i r r ( n ) ， 则a = 矿i r r ( l ) 下证口为h 一不变的由引理2 2 知，v h h ， 矿= ( 矿) = ( 矿) 驴 = 矿 = 口 故q 为h 不变的，从而q 为舴不变的，故( kl ，矿= q ) 为特征标三元 组再由g = n h ，h k 知，g = n k 又 o t = ( 妒l ) = p = 0 i r r ( n ) ， 故( k ，l ，泸) 为( g ，n ，0 ) 的诱导子又k = l 日，ms lnh nnh = m ，故 ln ：m 又矿= q i r r ( l ) ，故( h ，m ，妒) 为( k ，l ，妒l = q ) 的诱导子再 由引理1 2 1 知，i r r ( h l 妒) ，i r r ( k i 妒工) ，i r r ( a 1 0 ) 三者彼此间存在双射 口 定理2 6 设( g ，n ，9 ) ，( h ，m ，妒) 均为特征标三元组，且( h ，m ，妒) 为 ( g ，n ，0 ) 的限制子，定义映射，：m z 一蟛，kh knn = l ，其中k 懈， 则有 ( a ) ，为单射；特别地，当日拟正规时，厂为双射 ( b ) b 若，( k ) = l ，其中k j 瑶，则( k ，l j0 l ) 也为特征际三元组， 且( 日m 妒) 为( ，l ：既) 的限制子， ( k l 铊) 为( g n p ) 的限制子；此时 第二章特征标三元组的诱导子、限制子 1 7 i r r ( h k o ) ，i r r ( k l o l ) ，i r r ( o 0 ) 三者彼此之间存在双射 ( n ，0 ) 一( g ，x ) ff ( l ，