（工程力学专业论文）01规划的综合约束连续化解法及其对结构拓扑优化的应用.pdf

摘要 摘要 结构拓扑优化问题本质上属于0 1 规划问题，利用综合约束方法将0 1 规划 问题映射为等价的非凸、非线性的连续变量规划问题，映射后的规划问题按普通 凸规划的常用近似解法难以求解。利用遗传算法全局搜索能力强和求解条件宽松 的特点，本文采用基于算子修正法的遗传算法求解映射后的规划问题。最后将综 合约束连续化方法及遗传算法应用于结构拓扑优化问题。主要工作如下： 1 推出并证明了综合约束连续化方法。通过综合约束可以将0 1 线性规划、 0 1 非线性规划、一般离散规划问题等价映射为连续变量规划问题。 2 对0 1 线性规划问题的求解方法进行了研究，并用算例证明了所采用方法 的可行性和有效性。对o 1 非线性规划也进行了相应的探讨，研究结果表明本文 方法对非线性0 1 规划问题同样有效。对一般离散变量规划问题首先通过变量替 换映射为o 1 规划问题，然后使用综合约束方法连续化并求解，最后反演得到原 离散规划问题的解。 3 ，对二维连续体结构在位移约束下的拓扑优化问题进行了研究。借鉴 i c m ( 独立、连续、映射，硫l e p d e n tc o n t i r m o u sm a p p i n g ) 方法的建模思想，建立 了以结构重量为目标，以独立拓扑变量为设计变量的准确数学模型并利用综合约 束方法连续化，使用遗传算法求解。多个算例表明该求解方法对于o l 规划问题 的求解是可靠的，在结构拓扑优化上的应用也是可行的。在m s c n a s t r a n 基 础上，利用m s c 他玎r a n 提供的p c l 语言，对二维连续体结构在位移约束下的 拓扑优化问题进行二次开发，并将优化模块融合到p a l 职a n 界面中。 关键词o 1 规划；遗传算法；位移约束；拓扑优化 a b s t r a c t s 饥l c t i l r a lt o p 0 1 0 9 yo p 恤i z a d o nb e l o n g st 0o lp r o 掣a m m i n gp r o b i 眦e s s d a l l y t h e0 1 p r o 孕m 衄i n gp r o b l e m i sc o n v e r t e dt o a ne q u i v a l e n tn o n c o n v e xn o n l i n rc m i 血u o l l s p r o 留m 匝i n gp r o b l 锄b yl l l es y n m 嘶c a lc s 仃a _ i n t sm 如。也ni s d i 硒c l l l tt os o l v et h e p r o 粤籼i n gp r o b l e mm a tw 解c o n v e r t e db yo r d i n a r ya p p m x j n l a t es 0 1 u t i o 衄f b rc o m m o nc o n v 懿 p r o 乎a m m i n g t h eg e 石ca 1 9 0 f i 血mp r o g m m ，w h i c hi sb 雒e do n0 p 啪t o r 锄蛐缸tm e m d d ，i s u s e dt os 0 1 v e 血ec v 删p r o 蓼柚坷- i n gp r o b l e mi n 也i sp a p c rb 棚eo fi 乜既c e l l c n tc a p a b i l i t y f 断9 1 0 b a ls e a r c ha n dr e l a x e ds o l v i n gc a r m i 石o n s a n dt h e nt h es y n t h c t i c a lc o 船自阻i n t sm e m o d 皿d 血eg e n e 血a l g 嘶也ma t l s e di ns 讥l c 咖lt o p o l o g y 印t i m i z a 6 0 np r o b k m t h er c s e 砌m a i n l y i n c i u d 岱f o u o w 蛔gp a r c s ： 1 珏es y n m c d c a lc o n s 昀j n 协m e m o di sd c d u c e d 柚dp r o v c di n d l i s p 印o - l1 i n e 缸 p r o 掣卸叫1 i i l g ，o - 1n o n h n e 盯p r o 粤a m m i n g 锄dc 咄m o nd i s c r e t ep 1 0 乒锄衄：i i n gc a nb em 印p c di n t o c o n 血u o u sp r 0 | 驰曲n i n gb ys y t l 血e c a lc o n s 妇i i l t s 2 t h es o l n n gm e 也o do fo 一1l i n 髓rp 】蛰簪籼i n gp r o b l e mi 8r e s e 砌e d a n di ti s 取铡e dt o b ee f f e c 6 v ea n da c c 啪t ei ns o m ee x 锄p l e s 0 - ln 优l l i i l e 盯p r o 粤a m m i n g 砌l e mi sd i s c i 塔s e 正t h e c o n c l u s i o ni sm a tt h em 曲o do f t l l i sp a p e ri se 矗矗v et oo ln o n l i n e a rp r o 孽锄m n i n gp r o b l e mt o o v 撕曲l es u b s t i 伽丘o ni su s e dt oc v e r td i s c r e t cp r o g r a 】1 1 i 【1 i | 唱t o0 - lp r o g 阳m m i n g ，w h i c hi s c o 小，a 巾函t oc o n d n u o p m f 孤n i r l i n gb y 血es y n m e t i c a ic o 衄位l m 拓m e t h o d t h es o l u 6 0 no fm e 0 - 1p r o 乒缸m i “gc a nb ei n v e r s e dt ot h es 0 1 u 6 0 no f t h ed i s c r e t ep r o 掣a m m i n g 3 t h es 饥l c t l l m lt o p o l o g yo p t i m i z a d o no f 腑o d i m e n s i o nc o n 血u o 璐s 虮l c t u 坤u n d c r d i s p l 锄髓tc o 邶蛐t si sf c s e a r c h e d a na c c u r a t em a 也e m a n cm o d e li se s t a b l i s h e db yi c m ( i i l d 印锄d e n tc o n 咖。邺m a p p i i l g ) m o d e lb u i l d i n gi d e n i a t 血e 曲j c c ti ss 廿、l c t i l r a lw e i g h ta n dt h e d c s i 印v 撕a b l e sa r et o p 0 1 0 科v 删b i 铎t h em o d e li sc o n v 鲥荫t oac o n 缸u a 幽p r o 野吼曲g b y t h es y n t h c t i c a lc o 船仃a i n t sm e 也o d ，托dm ec 缸- u o u sp r o 髓咖i n gi ss o l v c db yg e n c t i c a l g o 矗m m s o m en 啪e r i c a le 】【彻1 p l e si n d i t et h a tm ea l g o r i 也mi sc 北d i b l et o0 - lp m 粤m 啪i n g p r o b i 锄，a n di s 鼬i b l e t os 仇l c t u r a lt o p 0 1 0 9 yo p 缸i 刎0 f lb 船e do i im s c 肘a s t ra ns o 细a r e ， 血ep c lc o d e ( 附硼u nc o dl a n g u a g c ) w 鹞8 d o p t e dt os e c o n d a r yd e v e l o p m 蛆tf b r t o p o l o g yo p t i m i z a 虹o no f m o 面m 黜i o nc o n 血u o 璐s 虮l c m 衄d e rd i s p l a c c m e n tc o n s 竹a i n t s 1 1 1 e 0 p 血姗d e s i 弘m o d u l ew 舔证此孕砷e di 玎p a 口ta ni n t e 血c e k e y r d s0 1p r o 孕翟n 主n g ，g e n e 6 ca l g o f i 出m ，d i s p l a c e m e n tc o n s t c a _ m t ，幻p o l o 舒o p 也n i z a 6 0 n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：堕垒丝日期鲨z ：三：芗 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部毋内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：! 丝导师签名 1 1 研究的背景及意义 第l 章绪论 传统的结构设计方法一般是通过经验、类比或试凑的方式给出一种或几种设 计方案，再进行静力及动力分析，从中修正或选出最终设计。显然这种设计带有 很大的盲目性，不能保证所得到的设计方案能最佳地实现设计目标，往往是花了 很大力气，而取得的设计离“最优”仍有很大距离。6 0 年代以来，随着优化方 法、数学规划理论及数值计算方法的发展，高速度大容量计算机的问世与普及， 结构优化学科4 0 多年来经历了从截面优化、形状优化到拓扑优化的低层次向高 层次的发展过程，不仅在理论上取得了一大批成果，而且在结构设计过程中得到 了广泛的应用。进一步，结构优化在理论及方法上都需要完善和发展。特别是结 构的拓扑优化及更高层次的布局优化，问题难度较大，目前正是结构优化领域的 研究热点。 结构拓扑优化本质上属于o 1 变量优化问题，0 1 离散特性表示了单元的有 与无。但由于拓扑变量的o 1 特性造成了解决问题的很大困难，使研究者把拓扑 变量依附于低层次变量上寻求出路，而i c m 方法【i 】将拓扑变量独立出来，通过 映射反演过程，用光滑函数逼近原拓扑变量与各物理量间的离散函数关系。以往 这些方法均属于模型近似的方法。本文在i c m 方法的基础上不使用磨光和过滤 函数，建立关于拓扑变量的准确数学模型。通过综合约束来实现拓扑变量的o 1 离散化，将模型映射为 o ，1 】区间上的连续变量优化问题。转化后的问题虽然是 关于连续变量的优化问题，但具有非凸性，传统适合凸问题的求解方法很难得到 问题的全局最优解。遗传算法具有很好的全局解搜索能力，所以本文采用遗传算 法求解该模型，并将其应用于二维连续体结构在位移约束下的拓扑结构优化问 题。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 结构优化的研究发展 传统的结构优化方法主要可划分为准则法和数学规划法两大类。1 9 6 0 年， s c h i l l i t 【2 】首先给出了用数学规划方法求解弹性结构设计的数学表达，开始了现代 结构优化研究阶段。在这样的表达式中，结构优化设计成为在诸如应力、位移、 北京工业大学工学硕士学位论文 频率等性态函数约束下设计变量空间中目标函数的数学极值问题，由数学规划 方法进行寻优。但是随着设计变量的增加迭代次数迅速增加，因而对于实际结构 的设计效率太低，经济性很差，使方法难于推广到工程结构设计，在这种背景下， 出现了优化准则法。 1 9 6 9 年，y y a 【3 】和g e l l a n y 【4 肄人提出了最优性准则方法，按照预先规 定的最优性准则来选择设计变量的迭代模式，加快了收敛速度。虽然这样的方法 从理论上讲并不严格，但程序易于实现，且计算量小。7 0 年代，人们把数学中最 优解满足的必要条件作为最优结构满足的准则陋6 ”，使通用性得到提高，理论 性得到加强。优化准则法最突出的特点是迭代次数少，且迭代次数对设计变量的 增加不敏感，因而具有很高的计算效率。优化准则也易于编程。所以此期间，用 于大型结构优化的实用软件多数采用准则法。 在准则方法发展的同时，以数学规划为基础的结构优化方法一直没有间断， 到7 0 年代中期s c h i l l i t 【8 9 等提出了结构优化的近似概念，主要包括：设计变量 连接；准无效约束的删除；利用导数信息对有效约束进行t a y i o r 展开等，从 而使规划方法有了新的生命力。近似概念的引入，实际上将原问题转化成为序列 近似优化问题，通过求解近似问题来逼近原问题的解。近似问题中的目标函数和 约束函数均为显函数，故近似问题易于求解。在整个近似问题的求解过程中无须 再做结构分析，即每形成一个近似问题，只须一次结构分析和敏度分析。近似概 念的提出大大改进了规划方法的计算效率，达到了结构分析次数与准则法同等 的程度。但却保持了更好的通用性和更严密的数学基础。数学规划方法与优化准 则方法的统一主要标志是对偶法的出现。f 1 e u r y 和s a n d e r 【加”】在原有最佳准则 方法的基础上，提出了广义最佳准则以及用对偶公式求解结构优化问题，并研究 了准则法和规划方法的关系。接着s c h l i i i t 和f l e u r y 【珐1 3 疑出了近似概念和对偶 方法结合的算法进一步提高了规划法的效率。上述几项工作把数学规划法和优 化准则法联系并统一起来。m 【1 4 】也提出了与此相近的最严约束法，在每次迭 代过程中，通过结构应力分析，从所有的约束中挑选出最严的约束，利用射线步 将设计点牵移到最严约束面上，这样每次迭代只考虑了一个有效约束，大大降低 了计算量。随着拓扑优化技术的兴起，很多学者也开始了对拓扑优化技术的研究。 d o m 和g o m o 1 5 】提出的采用基结构作为解决结构拓扑优化的方法已得到广泛 认同和采纳。 在国内结构优化设计也取得很大的发展。1 9 7 3 年，在中国科学院力学规划 座谈会上，钱令希【1 6 l 作了题为“结构力学中最优化理论与方法的近代发展”的学 术报告，引起了全国力学界和工程界对结构优化的关注和响应。1 9 8 0 年，钱令 希等人引入倒数设计变量，将目标函数二阶展开，约束函数线性展开，利用l 锄n t u c k e r 条件建立了修改设计变量的迭代关系，通过二次规划方法求解拉格朗日 第1 章绪论 乘子，也是一种准则法和规划法结合起来的混合方法导出了含l a g r a | 1 9 e 乘子的 设计变量迭代模式，还将非线性规划和准则设计两种方法结合起来【”】，把应力约 束和交位约束分开来处理，使结构重分析的次数有了进一步的缩减。大连理工大 学课题组开发出“多单元、多工况、多约束的结构优化设计d d d u 系统” 1 8 】， 把力学概念和数学规划方法相结合，成功克服了一些传统的难点，形成了结构优 化的序列二次规划算法，并环绕这一方法提出了高精度的约束函数近似方法。 1 9 8 1 年，王光远和霍达提出了结构两相优化方法【1 9 ，2 0 】。这种方法将结构优化设 计分为两个阶段进行，第一阶段使准则的力学条件充分满足；第二阶段求解结构 的最轻设计，在每一阶段又都使用了数学规划的方法。夏人伟等人研究了以函数 的二阶近似为基础的对偶算法l z ”，并提出了一种杆系结构几何优化的广义中间变 量近似方法【2 2 】。程耿东等对结构拓扑优化中的奇异最优解作了一定的研究【2 3 】。 孙焕纯等在离散结构优化方面也进行了探讨( 2 4 d 】。隋允康应用两点有理逼近改进 了牛顿法和对偶方法【z 嵋“，利用曲线寻优的理论找到了较直线寻优更有效的近似 解析方法及其逼近方法【2 8 刀】；并对非线性规划的序列有理规划s r p 方法分别按 等效的l p 问题和q p 问题进行了研烈3 0 】：提出了一种方便实用的有理逼近方法 3 ，利用前一步的迭代信息，避免了多次重分析和信息的浪费，改善了优化算法。 此外他在桁架结构的形状优化和拓扑优化方面作了深入的研究，提出了具有两类 变量的空间桁架分层优化方法【3 2 1 ，将截面优化和几何优化分两步进行，使原问题 转化为一系列子问题的交替求解：找到了桁架结构形状优化的最优目标敏度算法 【”驯；并在桁架结构拓扑优化设计等方面提出了i c m 方法和有无复合体方法。 1 1 2 拓扑优化的研究发展 早在1 9 0 4 年m i c h e l 】就对桁架结构拓扑优化进行了研究【3 6 j ，提出了米歇尔 准则，解决了应力约束下的桁架重量最轻的优化问题，但是这是一个高层次的优 化问题，难度很大，再加上当时结构设计理论和方法的局限，其发展非常缓慢。 直到6 0 年代，在对尺寸优化研究日益成熟的基础上，d o m 等提出了“基结构法” 【15 1 ，使桁架结构拓扑优化转化为广义尺寸优化问题，缓解了结构拓扑形式描述方 面的困难。在7 0 年代，h 锄p 求解了多种不同荷载形式下米歇尔桁架的具体形 式阳，p r a g 盯等提出了经典布局理论【3 s 】，r o z v a n y 等发展为最优布局理论 3 9 】。8 0 年代以来，人们对桁架结构拓扑优化的研究主要集中在模型的求解，黜n g 纰， 融r s c h ，段宝岩和叶尚辉等在用线性规划求解优化问题方面做了大量工作 【3 0 4 1 ，4 2 】，将线性规划引入结构优化可以使求解效率大大提高，但该方法只对于单 工况问题是有效的。程耿东和蒋诤对满足应力约束的桁架结构进行了研究 4 3 】，指 出造成奇异最优解的根本原因，给出了问题可行域的正确表示，清楚地描述了奇 异最优解问题的本质】。程耿东和郭旭提出的e 松弛法改进拓扑优化模型来解决 北京工业大学工学硕士学位论文 奇异最优解问题 4 5 】。孙焕纯等提出了一种解离散变量桁架、框架结构拓扑优化的 启发式算法。b e c i 埘s 和f l 唧将原对偶方法用于桁架拓扑优化【4 7 】。 隋允康教授在专著中指出：由于拓扑变量的o - 1 特性造成了解决问题的很 大困难，使研究者把拓扑变量依附在低层次变量上寻求出路。这样虽然避开了 0 1 特性造成的不连续不可微性，但是拓扑变量由于“降格”依附于截面或形状 的低层次变量上，不能显示出拓扑优化的特性，求解效率不能有较大提高，有时 还出现一些病态问题。要推动结构拓扑优化有突出的发展，必须从基本概念上予 以突破，应当把拓扑变量从依附的低层次变量中升华出来，使之成为具有一席之 地的独立的设计变量层次，通过磨光函数和过滤函数将离散的0 1 型拓扑变量映 射为【o ，1 】区间上的连续变量，提出了i c m 方法，实现了骨架类结构和连续体结 构拓扑优化模型的统一【4 8 枷】，又用“有无复合体”方法对桁架结构和平面连续 体结构进行拓扑优化【5 1 5 2 j 。 1 2 3 整数0 1 规划问题解法的研究发展 结构拓扑优化问题实质上是o 1 规划问题，拓扑变量的0 1 离散性是拓扑问 题求解的难点之一，研究0 1 规划问题的求解方法有很重要的实际意义。o 1 规 划问题的求解方法可以分成离散方法和连续化方法两类。 离散方法是直接解整数规划的解法。传统的直接解法大多属于组合优化方法 1 5 ”4 1 ，如线性整数规划中的穷举法、隐枚举法等。在离散结构优化中组合算法也 有广泛应用 5 5 1 。这类方法随着问题规模的增大计算代价会很大。另一种离散解法 是启发式算法，如用0 ，1 编码表示的遗传算法【5 6 】。直接使用遗传算法在如何处 理约束的问题上存在困难，大部分遗传算法求解0 一l 规划问题的文献都是关于求 解o 1 背包问题，而且没有比较完善和通用的计算程序。 连续化方法是将原问题转化为关于连续变量的规划问题然后求解。最简单的 办法是把o 1 变量松弛为【o ，l 】区间上的连续变量，求解后再“舍入化整”。 胁l p l 锄a n 【5 7 】等对结构离散变量优化中的分段优化方法通过构造力学模型将离 散截面转化为连续杆长，最后要对少数分节秆进行圆整。文【l 】在结构拓扑优化中 提出的i c m 方法利用过滤函数用连续变量逼近o - 1 离散变量。这些o 1 变量的连 续化方法皆为模型近似的连续化方法。这样做虽然能够化离散为连续，但是不能 保证得到问题的真正最优解。p a r d a l o s 【5 鼬现提出通过引进新的设计变量，可以把 原问题转化为线性互补问题进行求解。瞄嘶d 等【椰1 提出通过利用求解凸规划的 b r e g m a n 临近点算法来求解大规模o 一1 规划问题。李兴斯【6 l 】等人利用互补约束代 替o 1 条件，并利用凝聚函数法进行光滑处理来求解0 1 规划问题。这些方法属 于模型准确转化的连续化方法。无论近似的还是准确的连续化方法由于化为连续 4 第1 蕈绪论 变量问题，在一定程度上降低了0 - 1 规划问题的求解难度，提高了求解速度。但 是到目前为止，还没有比较成熟通用的o 一1 规划问题的连续化解法，上述这些连 续化解法一般都只适用于某一类o 1 规划问题，应用上有局限性。 1 3m s c 软件及其二次开发平台 1 3 1m s c 脚r a n & n a s t r a n 简介 m s c p a 廿髓及m s c n a s 仃孤软件作为美国m s c s o f 啊a r e 公司的产品，是当 今世界流行的大型通用结构有限元分析软件之一。其开放式多功能体系结构可将 工程设计、工程分析、结果评估、用户化和交互图形截面集于一身，构成一个完 整的c a e 集成环境。m s c p a 仃a n 是工业领域著名的并行框架式有限元前后处理 软件，可与m s c n 蛐、m s c d y t r a i l 、m s c m a r c 、a i l s y s 及a b a q u s 等多种有 限元求解器接口。可从p r 0 忸、s 0 1 i d e d g e 等多种c a d c a m 软件系统中直接导 入几何模型数据，软件自身的有限元建模功能非常强大，结果可视化后处理功能 非常丰富。m s c n a s 仃砬软件是具有高度可靠性的结构有限元分析软件之一，通 过了无数考题及大量工程实践的检验。对解题的自由度数、带宽或波前没有任何 限制，己成功地解决了超过5 百万自由度以上的实际问题。然而，m s c p a 仃a n 及m s c n 勰扛孤软件并不是专注于结构优化设计的软件，其优化设计功能非常有 限。 1 3 2p c l 语言 m s c ，p a l 限a n & n a s t i m n 作为大型c a e 分析软件，其二次开发扩展的功 能非常强大。通过二次开发可以很好地解决用户一些特殊的需要，以适应实际工 程问题的千变万化。m s c p ! a 1 承a n 命令语言p c u p a t 鼬nc o n n a n dl a l l g l l a g e ) 是其二次开发的主要工具。它是一个类似于c 语言和f o r ：r r a n 语言，可用于 生成应用程序或特定的用户截面、显示自定义图形、读写p a l r a n 数据库、建 立或增强新的功能，同时利用p c l 可将其它商品化或自编分析程序集成到 鼢皿u n 的软件系统中去。 p c l 语言的主要功能包括：命令行表达式输入、可编译的命令库函数、开发 用户图形界面、递归的子程序和函数调用、条件分支语句、条件循环语句、虚拟 内存数组及数组内存管理功能、跟踪调试工具、数组排序和搜索、二进制及文本 文件读写功能、多种数学函数程序、丰富图形函数、模型管理程序、系统实用工 北京工业大学工学硕士学位论文 具等。 利用p c l 语言，用户可以在m s c ，p a ：r r n 平台上进行二次开发，编写满 足自己多方面要求的程序，根据实际问题开发相应的计算模块，并根据实际问题 形成可视化的操作界面。通过p c l 语言可以使计算更加快速、方便、有效。 1 3 3 与n a s t r a n 进行数据交换 对n a s t i 渔n 进行二次开发就是让用户使用n a s t i i a n 核心计算程序的计 算结果，将所需数据提取出来，在自编程序中进行操作。用户程序跟n a s l r a n 的程序之间的关系，如图1 1 所示： 图1 1用户程序和n a s n n 之间的数据传递 f i g l l n e d a 组曲丑s f o r m b e 脚e 乩u s e rs o 脚躺a n d n a s t r a n 具体的操作步骤：对于任意一个模型，都有一定的初始条件，根据初始条件 在升玎黜n 中直接建立有限元模型，并将模型信息数据提交n a s l l r a n 进行分 析，得出分析结果。从n a s t t a n 中读入结果到p a l r a n 中，提取所需要的数 据( 关键点的应力、应变数据，应力、位移最大值等) ，提取属性值( 如：材料密度 等) 。利用所提取到的数据建立数学模型或使用准则法进行相应处理，通过计算 得到设计变量的更合理的结果。如果得到的结果满足要求则问题解决，否则根据 新的结果修正模型继续进行分析计算，直到得出满意的结果。 1 3 4 二次开发的程序编写和用户界面的形成 p c l 语言集成了大量的函数，其开放式的开发功能很强大，用户也可以很方 便地编写满足自己需要的子函数、子程序。完成子程序后如何集成到p a t r a n 中去呢? 在p 觚i l a n 的根目录下有一个“t p d 文件，在p a l 卫a n 启动时，先执 行这个文件，其中包含两个命令：! ! i n p u tp 3 p r o l o g p dn o e r r o r 和! ! d 心u t p 3 印i l o g p dn o e r r o r 。执行这两个命令时，将文件p 3 p r o l o g p c l 和p 3 印i l o g p c l 进行编译。在p 3 p r 0 1 0 9 p d 中可以定义一些变量，以方便在程序中随时调用。在 p 3 印i l o g p c l 编译所有的用户函数( 用户自己编写的子函数) 。用户还可以在础p d 文件中增加语句“f i l ea d dp a 血( 9 9 9 ，u s e rp a t l l ) 来增加一个路径，将用户函数 放在该目录下，利于程序的维护。当p a t r a n 启动后，程序会自动从已有的路 第1 章绪论 径中找如1 c 6 0 nn 黝e p d 文件并进行编译。 为了方便操作，交互性程序需要有操作界面以方便参数的输入，求解器的选 择等等。在p c l 中提供了一系列生成窗口和菜单的函数，如：1 1 im e n uc r e a t e ( ) 产 生菜单、l l if o 衄c r e a t “) 产生窗口、1 l ib u t t o nc r e 州) 产生按钮、 u i _ d a t a b o x 渊t e ( ) 产生数据输入空格等等( 函数括号中有对应于这些对象属性 的参数，还有一些与窗口和菜单位置及大小有关的参数，如f o r mw ds m l 定义窗口的宽度、b u t t o nw i d h a l f 定义了按钮宽度的一半等等。这些函 数和参数可以在用户自己编写的子函数中调用以生成满足自己需要的界面。当使 用者在界面中输入了相应参数后可以通过调用u i w i d e l v s 伍n 甙) 、l l i 咄) 等函数将参数赋值给某个变量使用。 1 4 本课题的目标和主要内容 1 4 1 本课题的目标 随着结构优化设计领域研究的深入发展，结构拓扑优化设计己成为该领域的 研究热点之一。结构拓扑优化实质是寻求结构最佳传力路径，其本质上是0 1 离 散变量优化问题，各种求解方法，包括i c m 方法均为近似连续化方法，也就是 通过模型近似处理来解决问题。本文依据拓扑优化建模理论建立关于拓扑变量的 准确数学模型，它与i c m 方法的主要区别就是不对拓扑变量进行近似处理。 求解所建立的准确数学模型就是求解o 1 规划问题。但是目前求解o 1 规划 问题还没有比较成熟的方法。本文的目标是寻求一种求解0 一i 规划问题的比较有 效的方法并且将其应用于求解上述的拓扑优化模型。最后要将该算法集成到 p a l r a n 中，利用p a ：n ia n 的二次开发功能实现一个完整的拓扑优化系统。 1 4 2 课题的主要内容 本文借鉴i c m 方法【l 】的建模思想，以拓扑变量本身为设计变量，但是不使 用过滤和磨光函数，利用综合约束对拓扑优化问题建立准确的连续变量数学模 型。该数学模型是一个非凸数学规划问题，求解起来有一定的困难。本文使用遗 传算法来求解该规划问题，得到它的最优解。最后将该求解方法推广到结构拓扑 优化中，并在m s c 伊a 1 i i a n 平台上作二次开发，利用p c l 语言编写了程序。 1 o 1 线性规划问题的求解( 第2 章) 因为结构拓扑优化问题本质上属于o - 1 规划问题，研究0 1 规划问题的求解方法具有重要的意义。本章中通过综合约束 7 北京工业大学工学硕士学位论文 ( 增加一个体现o 1 特性的等式约束) 将0 。l 线性规划问题映射为 o ，1 区间上的连 续变量线性优化问题。转化后的数学模型是非凸的非线性规划问题，普通用于凸 规划的解法求解该问题很困难。由于遗传算法具有很强的全局搜索能力，能比较 好地得到问题的全局解，本章将o 1 线性规划问题通过综合约束转化为连续的问 题后利用遗传算法程序g e n o c 0 p 进行求解，由于问题具有强非凸性，所以在 g e n o c o p 程序中，提高了边界变异算子的发生率，有利于问题的求解。数值算 例表明该方法能比较好地得到0 1 线性规划问题的最优解。 2 0 - l 非线性规划及离散规划问题( 第3 章) 0 1 非线性规划问题的应用也很 广泛，在讨论了o 1 线性规划问题的求解后进而对o 1 非线性规划问题的求解进 行了讨论和算例计算。求解离散规划问题同样具有很重要的现实意义。离散规划 问题属于组合优化的范畴，其组合个数随着设计变量的增加呈高次指数增长，当 设计变量比较多的时候求解难度非常大。离散规划问题可以通过变换映射为o 1 规划问题然后求解，而o 1 规划问题的求解相对容易。数值算例表明映射到o - 1 规划后可以求得离散规划问题的最优解。 3 二维连续体结构在位移约束下的拓扑优化( 第4 章) 在拓扑问题的建模过 程中，结构拓扑优化归结为解决组成整体结构的子系统的“有”与“无”的最优 分布。传统的拓扑变量用l 代表“有”，用o 代表“无”，因而离散值的拓扑变量 建立起来的优化模型为一个整数规划问题。由于求解整数规划问题目前还没有高 效的算法，所以通常人们将拓扑变量依附于尺寸或材料等低层次变量上，这样不 能体现拓扑变量的特性，而且建模的过程中还会带来其他一些问题。i c m 方法【l 】 将拓扑变量独立出来，通过映射、反演原理建立拓扑优化的数学模型。本章中借 鉴i c m 方法的建模思想，建立了以结构重量为目标的模型，但是在模型的建立 过程中不使用磨光函数和过滤函数，建立关于拓扑变量的准确的数学模型。使用 第2 章中的解法进行求解。以m s c 为平台进行二次开发，使用p c l 语言编写程 序，实现数据提取和拓扑优化模型的建立。使用p c l 语言调用c + + 语言编写的 模型求解器来求解该模型，然后生成结果文件，并且提取结果中的数据重新建立 模型并分析计算，如此直到得到结构的拓扑图形。其中关于拓扑建模的程序大部 分是在师兄、师姐们程序的基础上完成，求解器是对g e n o c 0 p 程序进行相应 的修改得到。各程序之间数据的传递主要靠中间文件传输。算例表明，该程序运 行良好，能够得到结构合理的拓扑图形。 第2 章o j 线性规划问题的求解 2 1 概述 第2 章0 1 线性规划问题的求解 如前所述拓扑优化河题本质上属于o 1 规划问题，所以本章先讨论o ，1 线性 规划问题的求解方法。以o 一1 线性规划设计变量的o 1 离散特性为出发点，通过 增加一个关于设计变量的非线性等式约束代替设计变量的o 1 离散限制，将原规 划表示成一个 o ，1 】区间上的等价连续变量规划问题。该问题是一个非凸的非线 性( 引入的综合约束非线性) 规划问题。 普通凸规划算法( 如序列二次规划、序列线性规划等) 很难保证得到问题的全 局最优解，而且设计变量数目比较多的时候，计算效率也比较低。因为遗传算法 具有很强的全局搜索能力，且对模型没有过多要求。本章中使用遗传算法程序 g e n o c o p 对连续化后的模型进行了求解。对所增加的非线性等式综合约束分别 使用乘子法和约束松弛法处理。 2 20 1 线性规划问题在综合约束下的等价连续化 对于下面的o l 线性规划问题： 求f 。= o 或1 ( f ；l ， ) 使形：窆t w ，_ m i n ( 2 - 1 ) l = l s t g ，( f ) ：窆g ，一季，ou = 1 ，m ) l # l 可以等价地表述为如下的连续变量优化问题： 求f e 4 使= f f w f _ m i n t -