（基础数学专业论文）素数幂阶子群对群结构的影响.pdf

素数幂阶子群对群结构的影响 摘要 本文主要研究素数幂阶子群的s _ 拟正规，g 正规，完全c 4i 换s - 半置换等正 袈性对有隈群结构( 超可僻性、p 幂零性、p 超可解性) 的影响，得到了一些有意义的 结果全文共四章，主要有如下内窖； 第一章，主要介绍与本文有关的群论发展，介绍了这个科研方向上过去的历史和将 来的趋势以及本文的主要思路 第二章讨论素数幂阶子群岛拟正规，o 正规对群结构的影响利用子群的s - 拟正 麓。o 正规来研究有限群的超可解性已经有相当多的结果本章主耍用。或”条件把s - 拟正规和d 正规结合起来，从而得到有隈群超可解的若干充分条件 第三章，首次提出了完全c + 置换子群概念，利用于群的完全c + 置换性刻划有限群 的矿幂零性，超可解性，并把一些结果推广到包含超可解群类的饱和群系， 第四章，在文献f 2 7 1 中，李世荣教授首次给出如下定义， 设d 为有限p 群p 的最小生成元的个数记m a ( p ) = p 1 ，尼) 为m ( p ) 中满 足n 毛只= 垂( p ) 韵元素的集合，其中m ( p ) 为p 的所有极大子群的集合并创造性 地通过它研究了有限群g 的结构，给出了许多富有新意的结果 本章作为上述研究的继续，主要利用 如( p ) 的每个元的s - 半i 换给出有限群g 为 p 幂零群或超可识群的一些充分条件 幂零 关键词tb y l o w 子群8 - 拟正蕊d 正规完全c + i 换孓半置换超可解p 中图分类号t0 1 5 2 妇q f l u e n c e so fs u b g r o u p so fp r i 姗p o 、7 i 吼 o nt h es t r u c t u r eo ff 玳i t eg r o u p s a b s t r a e t t h et h e s i sf o c u s e so nt h es - q n s i n o r m a l i t y , c - n o r m a l i t y , c o m p l e t e l yc * - p e r m u t a b i l i t y a n d s - s e m i p e r m u t a b i l i t y o f s u b g r o u p s o f p r i m e p o w e r o f a t i n i t e g r o u p a n d a i m s a t 髓u d y - i n gt h e i ri n f l u e n c e so nt h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u p s u c h 龉s u p e r s o l v a b i l i t y , p - n i l p o t e n c y , a n dp - s o l v a b i l i t y , e t c o nt h eb a s i so ft h e s ed i s c u s s i o n s 聊g e ts o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t s t h eb o d yo ft h i st h e s i s ，i na c c o r d a n c e 硒t ht h er e s e a r c hf o c u s e s ，i 8d 新d e di n t of o u r c h a p t e r s t h ef i r s ti sc o n c e r n e dw i t ht h et h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lb a c k g r o u di n f o r m a t i o n sf o r t h ec u r r e n tr e s e a r c h t h es e c o n di st oi n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es - q u s i n o r m a l i t ya n dc - n o r m a l i t yo fs u b g r o u p so fp r i m ep o w e ra n dt h es t r u c t u r eo ft h ec o r r e s p o n d i n gf i n i t e g r o u p t h ei n f l u e n c e so fs - q n s i n o r m a l i t ya n dc - n o r m a l i t yo fs u b g r o u p so fp r i m ep o w e r o nt h es t r u c t u r eo far u i t eg r o u ph a v eb e e ns t u d i e db yal o n gs e r i e so fp a p e r sa n dt h e r e s e a r c hh a sb e e nc o n t i n u e d i nc o m b i n a t i o no ft h ec o n c e p t so fs - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p a n dc - n o r m a ls u b g r o u p ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e df o rf i n i t eg r o u p st ob e s u r p e r s e l v a b l e i nc h a p t e rt h r e e ，w ef i r s ta d v a n c e san e wc o n c e p t ，a nc o m p l e t e l yc * - p e r m u t a b l e s u b p r o u p o f a f i n i t e g r o u p ，a n de x p l o r e s i t s i n h e r i t a n c e o f a s u b g r o u p a n d a q u o t i e n t g r o u p m o r e o v e r ，t h ep a p e rd i s c u s , q e st h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n so f p m i l p o t e n c ya n ds u p e r s e t v a b i l i t y o faf i n i t eg r o u pa n de x t e n d ss o m eo ft h e mt oaf o r m a t i o n i nt h el i t e r a t u r e 【2 7 】，p r o f e s s o rl if i r s ti n t r o d u c et h ef o l l o w i n g d e f i n i t i o n ：l e tdb et h es m a l l e s tg e n e r a t o rn u m b e ro fap - g r o u pp w ec o n s i d e r t h es e t 缸( p ) = p 1 ，r ) o fa l le l e m e n t so fm ( p ) s u c ht h a tn 垒1 只；雪( p ) ，w h e r e m ( p 、i st h es e t0 fa l lm a x m a ls u b g r o u p so fp h ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo faf i n i t eg r o u pg b ym e j l so ft h em e m b e r so f 如( g p ) f o ra l lp r i m e sp ，w h e r eq s z p ( g ) a tk c h a p t e r w ef o l l o wt h i st r a d i t i o na n dc o n t i n u es t u d y i n gt h es t r u c t u r eo fa f i n i t eg r o u pf r o mt h ep o m to fv i e wo f 如( q ) k e y w o r d s ：s y l o ws u b g r o u p s ；s - q u s i n o r m a l i t y ；c - n o r m a l i t y ；c o m p l e t e l yc * - p e r m u t a b i l i t y ； s - s e m i p e r m u t a b i l i t y ；s u p e r s o l v a b i l i t y ；p - n i l p o t e n c y c l c ：0 1 5 2 a g a 2 ，则e x p p = p ； ( 4 ) 当p 交换时，v ( p ) = 1 ；当p 非交换时，圣( p ) = z ( p ) = 一； ( 5 ) p 西( p ) 非循环 引理2 1 1 0 1 1 5 】设g 是内超可解群，p 为g 的s y l o wp - 子群若有n 粤g 使 得c n 超可解，则p n 2 2主要结果 定理2 2 1 若g 的每个s y l o w 子群的极大予群均在g 中s - 拟正规或c - 正规， 则g 超可解 证明设g 非超可解，且g 是一个极小反例 ( 1 ) 设g 1 ，则g 可解 假设结论不真设p 是i g i 的最小素因子，p 是g 的s y l o wp - 子群若p 循环， 则由引理2 1 4 ，知g 有正规p 补日因日是h a l l 予群，定理条件对日保持，由归纳 有日超可解，从而g 可解，矛盾 下设p 非循环则p 至少有两个极大子群研和s 2 ，且p = 岛岛若是和s 2 至 少有一个在g 中。正规不妨设毋在g 中g 正规，则有k 旦g 使得g = 昆k ， 岛nk c o r e a ( & ) 记c = c o r e g ( 毋) 若c = 1 ，则有研n k = 1 推出pi 耳i 但 4 广百太学嚷士单位论文 量蠹幂阶子鼻对肆结袖的影响 护ti k l 于是定理条件对耳也保持因k g ，由归纳有k 超可解，从而g 可解， 矛盾赦c 1 考虑g i c 设q s y l 口( g ) ，则q c c s y l 口( v c ) 再设q l q ，则 q 1 叫c q c c 因q 1 在g 中s - 拟正规或g 正规，若p = q ，由引理2 1 1 和2 1 2 ， 知q 1 c c 在g c 中孓拟正规或g 正规，若p q ，由引理2 1 1 和2 1 3 ，知q 1 c c 在g c 中也s - 拟正规或g 正规于是g c 满足定理条件，由归纳有g c 超可解， 从而g 可解，矛盾故可设s 1 和岛在g 中都s - 拟正规 令u 为p 的任意不为1 的子群考察g ( c ，) 设只为g ( u ) 的s y l o wp 一子群， q 1 为b ( 的s y l o wq - 子群，p q 再令q 为包含q 1 的g 的s 可z d q - 子群于是 p q = 研岛q = 岛( 岛= q 岛岛= q p ，即p q 为g 的子群记t = - p q 若g = t ，则 g 已可解，矛盾故可设t g 由于t 是g 的h a l l 子群，t 满足定理条件由归纳知 t 超可解，于是q 司t 故有q 1 = q n g r ( 矿) 司胁( u ) ，推出u q l = u q 1 ，q 1 c a ( u ) 由的口任意性，知g c ( u ) c c ( v ) 是p 一群由f r o b e m i u s 定理引理2 1 7 】，知g 也有 正规p 补日，矛盾 ( 2 ) g 有唯一极小正规子群使得g = n m ，n 为初等交换p 群，m g ，m 为 超可解且c c ( n ) = n = f ( g ) 取g 的极小正规子群，由于g 的可解性，则有i n l = p 口由引理2 1 1 ，2 1 2 和 2 1 3 ，g 满足定理条件由归纳g i n 超可解从而也推出的唯一性若ns 砂( g ) ， 由引理2 ，1 5 ，知g 超可解故可设g 有极大子群m 有不包含显然，g = n m 因nmgm ，n 交换，有nm 笪m = g 由的极小性，有nm = 1 故有g = n ) am ，m 超可解由引理2 ，1 6 ，知nsf ( g ) c g ( n ) 因的唯 一性及c d y ) 旦g c ( n ) = g ，有c 台( ) o m 粤m ，于是c 台( ) nm 璺m = g 因 垡c r g ( ) n m ，有c c ( g ) n m = 1 于是c c ( n ) = c a ( n ) n g m = i v ( c a ( n ) n m ) = n 因此推出c c ( g ) = n = f ( g ) ( a ) l n i = p ，完成证明 令口是i g l 的最大素因子假设p q 令q 是g 的s y l o wq - 子群，则0 是g j 、r 的s y l o wq - 子群因g n 超可解，赦有q n n q g n ，得q n 望g 再令尸 是g 的s y l o w 矿子群，则n p ，从而q n p = q p 为g 的子群因妒为h a l l 子群。易知0 p 满足定理假设若q p g ，由归纳q p 超可解，于是q 司q p 但是 q n = q n ，与( 2 ) 中结论c d g ) 一n 矛盾故可设g = q p 若n 圣( p ) ，由 5 广酉夫拳爱士拳位论丈量赣幂阶子群对葬结袖的影响 ( 2 ) ，有p = p n m = ( p n = p n m ，于是p m 从而n m = m g ，矛 盾于是可设p 有极大子群p 1 不包含显然i n ：p 1n n i = l p 1 ：p 1 i = p 若 马在g 中s - 拟正规，则p l q = q 只为g 的子群令d = 只q nn = 县n n 则 d 司( p 1 q ，) = g 由的极小性，得d = 1 于是l n i = p 因c n 超可解。得g 超可 解，矛盾赦可设p l 在g 中g 正规于是有耳里g 使得g = 只k ，p 1 n k g 胛幻( 只) 但c 卯e g ( p 1 ) s f ( a ) = n ，由的极小性，得马n k = 1 这样p i i l 但p 2 t 陋i ，且 p n i n = ( 日，p n n ) = ( h n n , k ，研，于是h n i n 在g n 中完全c + 置换 口 引理3 1 2 1 2 3 】设日sg ，且日可解，如果包含于日的g 的每个极小正规子群 不含于圣( g ) ，那么f ( h ) 为包含于日中g 的所有极小正规子群的直积 引理3 1 3 1 2 4 】设p 为奇素数，p 为g 的s y l o wp - 子群如果对于p 的每个特 征子群日，有口( h ) c a ( 日) 为p 群，则g 为p - 幂零群 引理3 1 4 1 3 】设w 群日作用在卅群g 上，日和g 至少有一个可解，素数 p l i g i 则g 存在三l 不变的s y l o wp - 子群，并且g 的任二王卜不变的s y l o wp - 子群在 c g ( h 1 下共轭 定义3 1 2 拜的集合，称为群类，如果当，包含群g 时，刘，也包含所有与拜 g 同构的群当群g 属于群类，时，我们就说g 是芦一群；当一个群的子群属于芦 时，我们就说这个子群是，子群 称群类芦为一个群系( f o r m a t i o n ) ，如果它满足下列条件t ( 1 ) 若g ，且里g ，则a n 一 ( 2 ) 若g 1 ，g 2 ，则a l ( l n n 2 ) f 称群系，为饱和群系( 8 a t a t e df o r m a t i o n ) ，如果尸满足。g + c g ) ，隐含 g ， 3 2 主要结果 定理3 2 1 谩g 可解，p 是g 的阶的最小素因子，p 是g 的s y l o wp 予拜 若p 的每个s y l o w 子群的极大子群均在g 中完全d 置换，刖g 为p 一幂零 证明设g 非p 幂零，且g 是一个极小反倒 ( 1 ) d p ，( g ) = 1 记h = o p , ( g ) 因p 是g 的s y l o wp 子群，有p 驯日是g h 的s y l o wp - 子 1 1 广西大拳硕士拳位论丈量散幂阶子鼻对肆结抽的影响 群令p 1 n n 是p 的极大子群，其中只是p 的极大子群由定理假设，马在g 中完全0 4 置换，由引理3 1 。l ，知p 1 h h 在g 中完全0 4 置换于是a h 满足定 理假设，若日1 ，则由g 的极小选择，有g h 为p - 幂零，从而也有g 为p 幂零 于是可设o e ( o ) = 1 类似地，设p s k g ，则也有耳为p 幂零 ( 2 ) a 为p - 幂零 设是g 的极小正规子群，则由g 的可解性及( 1 ) ，知是初等交换p 群因p 是o n 的s y l o wp - 子群由引理3 1 1 ，知p 的极大子群在g n 中完全c + 置换于 是a n 满足定理假设由g 的极小选择，有g 为p 幂零，即o g 有正规p 补u n 着n s 圣( g ) ，则g 圣( g ) 为p 幂零，从而g 为p 幂零，矛盾于是g 有极大子群m 满 足g = n m , n n m = 1 令鸠是m 的s y l o wp - 子群，则p = n 靠是g 的s y l o wp - 子群现设马是包含肘；的p 的极大子群记1 = n f lp 1 显然，i n ：m i = p 设 i g l = 矿叮 索对固定的i 1 ，n ) ，令q t s 分k ( g ) 由定理假设，p 1 在g 中完 全c 4 置换，于是存在( a ，q ) ，使得p 1 日= 饼p 1 于是l = np 1 饼旦p l q 鄂对所有的i ，有1 里只饼，于是1 里( p l 饼1 ，p l q ) = g 由的极小性， 即得1 = 1 ，n 是p 阶子群由引理2 1 4 ，知u 有正规p 补k 于是k c h a r u 宴g ，从 而k 璺g 故k 是g 的正规p 补，矛盾完成证明 口 推论3 2 1 设g 可解若g 的每个s y l o w 子群的极大子群均在g 中完全g 置 换。则具有s y l o w 塔性质 证明 设p 是g 的阶的最小素因子。p 是g 的s y l o wp - 子群由假设，p 的极 大子群均在g 中完全c + 置换由定理3 2 1 ，g 为p 一幂零设c ，为g 的正规p 一补由 引理3 1 1 ，可知c ，也满足定理假设由归纳，u 具有s y l o w 性质从而g 具有s y l o w 塔性质 口 定理3 2 2 谩g 为有限群。谩，为包含“的饱和群系剩下列陈述等价； ( o g 笋； ，卅g 有可解的正规子群日使得g h ，且日的每个s y l o w 子群的极大子群均 在g 中完全g 王换 证明 ( i ) 号( i i ) ，取h = 1 ，可得 ( i i ) 号( i ) 设g 是一个极小反例分两种情况来证明， 1 2 广商大学礓士拳 f f t i l t 文 童量幂阶子肆对葬结构的髟响 ( 1 ) h 为p 群，p 为素数 设耳为g 的任意一个非平凡的正规子群若h k ，则a g 兰( a l h ) i ( k i h ) j t 若h k ，我们证明a k 满足定理条件取b k 为h k k 的任一极大子群，则 b = k ( h n b ) ，且i h k k ：b k i = 1 日k ：b i = 1 日耳：k ( h n b ) i = 1 日：h n b i = p 于是日n b 是日的极大子群由定理假设，日n b 在g 中完全c 置换由引理3 1 1 ， 知b 耳= ( h n s ) k k 在o k 中完全c 4 置换而( g k ) ( h k k ) 垡g h k 掣 ( g h ) ( h k h ) ，于是g k 满足定理假设由g 的极小选择，得g k ，因此 g 的任意非平凡商群都在，中 取为g 的，剩余，则日因为，为饱和群系，所以为g 的唯一极小 正规子群，且垂( g ) = 1 由垂( g ) = 1 ，知 日为初等交换群取m 为不含的g 的 极大子群，则有g = m ，且n m = 1 由nsh ，有g = 日m 而日n m 旦g ，若 日n m 1 ，则有n h n m m ，矛盾赦置n m = 1 从而n = h 令g p = h 为g 的s y l o wp - 子群，其中鸩是m 的s y l o wp - 子群再令p 1 是 g ；的包含 知的极大子群则z = 日np 1 旦g p ，l h ：日l l = p 令q 勖k ( g ) ，口p 为 素数由定理假设，z 矗在g 中完全c + 置换则存在( 1 t l ，q ) ，使得凰p = p 研 于是日1 = h n h l ( 产璺h 1 q 。特别地，驴正规化皿由q 的任意性，有g 正规化月l ， 即日l 里g 由即日的极小性，得上h = 1 即日为p 阶循环群由于，为饱和群系，所 以h = c a ( 日) 哉m 垒g h = g c c ( h ) 为阶整除p 一1 的循环群，从而g - “s 只 矛盾 ( 2 ) h 不为素数幂阶子群 由定理假设及引理3 1 1 ，可知日的每个s y l o w 子群的极大子群均在日中完全c 4 置换由推论3 2 1 ，知日具有s y l o w 塔性质从而日有正规的s y l o w 子群p ，故p 翼g 因为( g p ) ( h p ) 掣g i h ，且由引理3 1 1 ，可知驯p 的s y l o w 子群的极大子群 均在o p 中完全c 置换于是c p 和驯p 满足定理条件由g 的极小选择，得 a p ，由( 1 ) 可得g 厂，矛盾 口 定理3 2 3 设g 为有限群。谩，为包含“的饱和群系劓下列陈述等价， ( g f ； 一i 胗有可解的正规子群h 使得g h ，且f ( h ) 的每个s y l o w 子群的极大子 群均在g 中完全c 王挟 广i 夫学硕士学位论丈量数幂阶子肆对肆捃构的影响 证明( i ) 兮( i i ) ，取h = 1 ，可得 ( i i ) 辛( i ) ，假设结论不真并设g 是极小阶反倒设p 为f c h ) 的任意s y l 口p 一 子群，则有p 璺g 我们分三步来完成证明 ( 1 ) p n 圣( g ) = 1 令r = p f l 垂( g ) 若r 1 ，我们证明c i r 和驯p 满足定理条理显然， ( g r ) i ( h i p ) 垒g i h ，且f ( h i r ) = f c h ) i r 现在令q , i r 为f ( h ) i r 的 s y l o wq - 子群的极大子群若q = p ，则q 为p 的极大子群由定理假设，知q 在g 中 完全c 4 置换再由引理3 1 1 ，知q i r 在c i r 中完全c + 置换若q p ，刚q = q 1 r ， 其中q l 为f c h ) 的s y l o w 口一子群的极大子群由定理假设，知q 1 在g 中完全c + 置换再由引理3 1 1 ，知q 1 r i r 在g i r 中完全c 卓置换于是v l r 和驯p 满足定理 条理由g 的极小选择得g r ，因为rs 圣( g ) ，有g v ( g ) ，而，为饱和群 系，所以g ，矛盾 ( 2 ) p = 只只，其中只为g 的p 阶极小正规子群，i = 1 ，文 由( 1 ) 及引理3 1 2 ，知p = p 1 x 只，其中只为g 的极小正规子群，i = 1 ，s 下证对任意i 1 ，s ，只为p 阶的由( 1 ) ，知只垡圣( g ) 于是存在g 的极大子群 m ，使得g = m 只易知m n 只= 1 令q = 鸩只为g 的s y l o wp 一子群，其中鸠 为m 的s y l o wp 一予群设上 为q 的包含屿的极大子群再令r l = p n l - 1 1 ，于是 r 1 里g p 且lp ：r 1l = p 设 g = 矿鹾1 赤对固定的j 1 ，n ，令劬s y 屯( g ) 由定理假设，r 1 在g 中完全c + 置换则存在z ( r 1 ，劬) ，使得r 1 够= q r 1 于 是r 1 = r n r l 锈望r 1 研特别地，叼正规化置由毋的任意性，有g 正规化r 1 ， 即r l 里g 于是见n 只粤g 由只的极小性，得髓n 只= 只或者r 1n 只= 1 若 蜀n 最= 只，则有只扁，从而只研于是q = 鸩只= 研忍= 研，矛盾所以必 有r 1n 只= 1 ，于是p = r 1 只，从而1 只卜lp ：r li - p 即只为p 阶循环群 ( 3 ) 完成证明 由( 2 ) 知f ( 日) = j ，1 五，其中x 为g 的素数阶的极小正规子群，t = 1 ，t 对每个l 1 ，t ) ，我们有国( 咒) = c 台( 五) n h 里g ，并且v c 日( 墨) 循环由定理 假设，g 日且，为包含“，于是g 9 h ( 五) ，因为 t ( f ( 日) ) = f1 ) ， 1 4 广酉太学硬士学位论丈量苏綦价子肆对鼻结构的影响 以及，是饱和群系，所以g c h ( f c h ) ) ，另一方面，因为日可解，由定理( 【1 3 】第 v 章，定理4 3 ) ，有c r ( f ( h ) ) f ( 日) 于是c ! h ( f ( 日) ) = f ( 日) 即g f c h ) ，由 于f ( h ) = 噩五，并且每个五璺g ，易见g 主的包含f 旧) 的每个因子是循环 的因此g ， 口 定理3 2 4 设p 为奇素数，p 为g 的s y l o wp 一子群如果 r g ( p ) 为p 一幂零拜， 且p 的极大子辟在g 中完全g 置换。那么g 为p 一幂零群 证明假设结论不真，且g 为极小反倒 由引理3 1 1 ，易知定理条件对g o r ( g 3 成立如果q ，( g ) i ，由g 的极小选择， 得g i o , ，( g ) 为p 幂零，从而6 1 为p 幂零因此，可以设0 ，( g ) = 1 类似地，如果 p s 日g ，那么日为p - 幂零 由引理3 1 3 知，p 存在特征子群r 使得舀( 为非p 幂零我们选择特征子群 t 满足：对于p 的每个适合t s k 的特征子群k ，恒有舀( t ) 为非p 幂零，但n g ( k ) 为p 幂零 由于g ( p ) n g ( t ) ，而g ( p ) 为p 幂零故有n a c p ) n c ( t ) ，即g ( ? ) = g 于是tso ；( g ) 这样对于p 的每个适合q ( g ) k 的特征子群k ，恒有n g ( k ) 为 p 幂零再由引理3 1 3 ，得g 0 0 ( g ) 为p 幂零于是对任意q ( g ) ，q p ，由引理 3 1 4 知，存在g 的s y l o wq - 予群q ，使p q 成一群若p 0 g ，则p q = pkq 于 是q c o ( o p ( g ) ) 0 l ( g ) ，矛盾所以g = p q 令为g 的极小正规子群，则n p ，且定理条件对g i n 保持由g 的极小 选择，得g i n 为p - 幂零由于p 幂零群系是饱和群系，故为g 的唯一极小正 规子群，且n = c a c n ) = o p ( g ) = f c c ) 西( g ) 于是存在g 的极大子群m ，使得 g = m ，m a n = 1 令g ；= 屿为g 的s y l o wp 一子群，其中为m 的s y l o wp