（基础数学专业论文）格蕴涵代数的l型模糊滤子与理想诱导的同余关系.pdf

河北师范大学研究生硕士学位论文 摘要 格蕴涵代数是与人工智能及智能信息处理密切相关的一个新的数学分支正如布尔 代数是经典的二值逻辑系统的基础一样，格蕴涵代数为一种多值逻辑系统及建立在这种 多值逻辑系统基础上的不确定性推理提供了代数基础因此，关于格蕴涵代数的研究工 作对利用计算机进行智能信息处理具有十分重要的意义 本文在文献 5 9 l 与【6 0 】的基础上研究了格蕴涵代数的l 一型模糊理想与l 一型模 糊滤子诱导的同余关系与格蕴涵商代数，取得了以下结果 i 利用格蕴涵代数的工一型模糊理想定义了格蕴涵代数上的一簇关系，证明了当l 是一个链时，它们都是格蕴涵代数的同余关系，讨论了这簇同余关系诱导的格蕴涵商代 数的性质 2 利用格蕴涵代数的三一型模糊滤子定义了格蕴涵代数上的一簇关系，证明了当l 是一个链时，它们都是格蕴涵代数的同余关系，讨论了这簇同余关系诱导的格蕴涵商代 数的性质 关键词：格蕴涵代数，l 一型模糊滤子，三一型模糊理想，同余，格蕴涵商代数 河北师范大学研究生硕士学位论文 a b s t r a c t t h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ai san e wm a t h e m a t i c sb r a n c hw h i c hi sc l o s e l yr e l a t e d t ot h ea r t i f i c i a li n t e l l i g e n c ea n di n t e l l i g e n ti n f o r m a t i o np r o c e s s i n g l a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r ai st h ea l g e b r a i cb a s ef o rak i n do fm a n yv a l u e dl o g i cs y s t e ma n da p p r o x i m a t e r e a s o n i n gb a s e do i lt h i sk i n do fm a n yv a l u e dl o g i cs y s t e m ，a st h eb o o l e a na l g e b r ai st h e b a s eo fc l a s s i c a lt w ov a l u e dl o g i c a n ds o t h er e s e a r c hw o r k so nt h e nl a t t i c ei m p l i c a t i o n a l g e b r ai si m p o r t a n tt ot h ei n t e l l i g e n ti n f o r m a t i o np r o c e s s i n gb yu s i n gc o m p u t e r b a s e do nt h er e s u l t so fp a p e r 5 9 a n d 6 0 】，t h i st h e s i ss t u d i e dt h et h ec o n g r u e n c e r e l a t i o na n dl a t t i c ei m p l i c a t i o nq u o t i e n ta l g e b r ai n d u c e db yal - f u z z yi d e a lo ral - f u z z y f i l t e r ，o b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t s 1 d e f i n e daf a m i l yo fr e l a t i o no nal a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ab yal - f u z z yi d e a lo f t h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，p r o v e dt h a te v e r yr e l a t i o ni nt h ef a m i l yi sac o n g r u e n c e r e l a t i o no f t h ea l g e b r a ，a n dd i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so f l a t t i c ei m p l i c a t i o nq u o t i e n ta l g e b r a s i n d u c e db yt h e s ec o n g r u e n c er e l a t i o n s 2 d e f i n e daf a m i l yo fr e l a t i o no nal a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r ab yal f u z z yf i l t e ro f t h el a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，p r o v e dt h a te v e r yr e l a t i o ni nt h ef a m i l yi sac o n g r u e n c e r e l a t i o no ft h ea l g e b r a ，a n dd i s c u s s e dt h ep r o p e r t i e so fl a t t i c ei m p l i c a t i o nq u o t i e n ta l g e b r a s i n d u c e db yt h e s ec o n g r u e n c er e l a t i o n s k e yw o r d s ：l a t t i c ei m p l i c a t i o na l g e b r a ，l f u z z yf i l t e r ，l f u z z yi d e a l ，c o n g r u e n c e ， l a t t i c ei m p l i c a t i o nq u o t i e n ta l g e b r a 一1 1 1 河北师范大学研究生硕士学位论文 1 引言 格蕴涵代数是上个世纪九十年代在研究非经典逻辑和不确定性推理的过程中发展起 来的一个基础数学的研究领域其内容能够直接用于非经典逻辑与不确定性推理的研 究在短短的十余年中格蕴涵代数已在非经典逻辑和不确定性推理的研究中得到很好的 应用正如布尔代数是经典的二值逻辑系统的基础一样，格蕴涵代数为一种多值逻辑系 统及建立在这种多值逻辑系统基础上的不确定性推理提供了代数基础，对利用计算机进 行智能信息处理具有十分重要的意义 本文在徐扬等人研究工作的基础上，讨论了格蕴涵代数的厶型模糊理想和l 型模 糊滤子诱导的格蕴涵代数的同余关系及商代数 本节将介绍本文的写作背景并简要介绍本文的主要工作 1 1 信息处理的数学基础 数学被称为所有科学的语言，在所有的科学研究领域中数学无处不在数学同样也 为计算机信息处理提供了有力的工具坚实而丰厚的数学理论是计算机产生的基础，也 是利用计算机进行信息处理的基础 计算机在数值计算和确定性信息处理方面的能力非凡，远非人类的大脑所能比拟 人们自然期望计算机也能够像人类的大脑那样可以快速处理模糊的、不确定性的信息 然而计算机的产生和早期的信息处理技术是以经典数学为基础的，经典数学因其清晰、 严格和高度概括、抽象的特征而只能适用于处理确定性信息或可确定化的信息为使计 算机能够进行模糊信息和不确定性的处理，需要突破经典数学自身的限制，为模糊信息 和不确定性信息的处理提供理论基础和数学模型 1 9 6 5 年，控制论专家z a d e h 发表了著名的论文模糊集合【1 】，从数学的基础上突 破了经典数学的束缚这篇论文的发表使数学产生一次质的飞跃，模糊数学宣告诞生 考虑一个集合x 的子集a 在经典数学中，集合x 的一个元素x 要么属于x 的子 集a ，要么不属于a ，不存在第三种可能这就是经典数学中一个集合的子集所必须具有 的精确性z a d e h 改变了这一点他提出了一个集合x ( z a d e h 称之为论域) 的模糊子集 的概念对于论域x 的模糊子集a ，x 的元素z 并非是要么属于a 要么不属于a 的 而是对x 的每个元素x 都用闭区间f 0 ，1 】上的一个数来表示x 的属于a 的蒙属度” 隶属度为o 表示不属于a ，隶属度越大表示属于a 的程度越高，隶属度为1 则表示完全 属于a 从z a d e h 的模糊子集的定义可以看出，模糊子集适合于描述不确定性的信息和模糊 概念例如，如果论域是所有人的集合，则这是一个精确的概念而“秃子”则是一个模 糊概念因为在有些时候很难判定一个人是不是秃子用经典数学的方法定义秃子的集 合，就必须对一个人要么是秃子要么不是做出不容含糊的判断，这显然是不符合人的思 一1 一 河北师范大学研究生硕士学位论文 维习惯的这个例子也从个侧面反映了经典数学对模糊信息的无奈用z a d e h 的模糊 子集就可以很容易地处理这样的模糊概念可以认为“秃子”是一个模糊子集，一个人 属于这个模糊子集的隶属度就反映了这个人秃顶的程度因此z a d e h 的模糊集合为模糊 信息的描述提供了一个很好的数学工具 尽管模糊集合可以简单直观地描述模糊概念，但它也有不足之处由于一个元素属 于一个模糊子集的程度是由一个0 到1 之间的数值决定的，这就致使在用模糊集合处理 不精确信息时两个不同元素的隶属度必须是或人为地看作是可以比较的，即这两个元素 的隶属度要么是相同的，要么是一个元素的隶属度比另一个元素的隶属度大但是，在 现实世界中，有些概念不仅具有模糊性还具有不可比较的特性为克服z a d e h 的模糊集 合的缺陷，j a g o g u e n 于1 9 6 7 年将z a d e h 的模糊集合中的隶属度推广到两个元素有 可能不可比较的一般的代数格上，提出了二型模糊集合( l - f u z z ys e t ) 的概念【2 】 人们之所以经常把计算机与人类的大脑进行类比是因为计算机除了能进行数值运算 外还能进行逻辑推理并根据不同的推理结果进行不同的处理计算机进行逻辑推理的理 论基础是精确的非此即彼的二值逻辑这也是制约计算机进行模糊信息、不确定性信息 处理的一个因素要使计算机在不确定性信息处理方面能够达到人类对它的更高期望， 就必须使计算机能够像人类的大脑一样超越二值逻辑的制约进行更加智能化的推理因 此，突破经典二值逻辑限制的多值逻辑对人工智能领域的研究是非常关键的理论基础 经典二值逻辑的真值域是真和假，或0 和1 在经典逻辑中一个命题要么成立要么 不成立，二者必具其一，且只具其一这就是经典逻辑中的排中律而多值逻辑的真值 域却不再局限于这两个真值，而是认为一个命题可以有除成立与否之外的其它真值，这 也就否定了排中律这种思想由来已久，亚里士多德是有文献记载的第一个怀疑排中律 的人对多值逻辑进行系统研究的开创性工作始于上世纪二十年代初但由于其应用前 景不明朗而未能引起广泛关注而且多值逻辑开创者的工作仅限于研究三值逻辑，其理 论成果很难与计算机信息处理的需要相吻合针对智能信息处理的需要，从上个世纪六 十年代开始，对多值逻辑及建立在其上的不确定性推理的研究蓬勃兴起并取得一大批理 论和应用成果 在对多值逻辑的研究中，一个引人注目的方向是逻辑值域为个代数格的格值逻辑 但在上世纪九十年代以前多数关于格值逻辑的重要结论却是在真值域为区间 0 ，1 】或有 限链的前提下取得的尽管这在某种程度上可以满足实际应用的需要，但在理论及应用 上都还存在着很大局限性，不能解决具有不可比较性的实际问题另一方面，逻辑系统 是为推理提供基础的，而推理是通过蕴涵算子来进行的但九十年代前只有极个别的研 究者将蕴涵算子作为多值逻辑的真值域上的一种运算而讨论真值域构成的蕴涵代数 徐扬教授在1 9 9 3 年将格与蕴涵算子相结合创造性地提出了一种逻辑代数格蕴 涵代数的概念【4 】之后徐扬、秦克云，宋振明、刘军、马骏等对以格蕴涵代数为真值域的 格值命题逻辑系统及一阶格值逻辑系统的语义和语法性质进行了广泛的研究，得到了一 一2 一 河北师范大学研究生硕士学位论文 系列深刻的结果 a 4 - 5 2 1 文献【3 4 - 3 6 ，4 4 ，5 1 - 5 4 】以基于格蕴涵代数的格值逻辑为基础， 研究了既能处理全序性也能处理非全序性不确定性信息的推理理论和推理方法、基于归 结的格值自动推理理论以及基于格蕴涵代数的近似推理理论显示了格蕴涵代数的强大 生命力及对不确定性信息进行处理的能力 1 2研究现状与本文工作简介 一格蕴涵代数的研究现状 从1 9 8 9 年到1 9 9 3 年期间，徐扬在研究智能信息处理与非经典逻辑的过程中深入地 研究了与逻辑密切相关的代数结构，首次提出格蕴涵代数这一新的代数结构【4 】文献 4 】 中还同时提出了格日蕴涵代数的概念并对格蕴涵代数与格日蕴涵代数的性质作了开创 性的研究工作，指出了蕴涵运算与格运算的关系，为以后对格蕴涵代数及基于格蕴涵代 数的格值逻辑的研究工作奠定了基础之后，鉴于格蕴涵代数在格值逻辑与智能信息处 理中所起的重要作用，徐扬教授与他的学生们及国内外同行一起对格蕴涵代数进行了深 入而广泛的研究 在文献 5 】中，徐扬给出了格蕴涵代数中蕴涵同态与格蕴涵同态的概念并讨论了它 们之间的关系，指出了格蕴涵代数在蕴涵同态下的一些不变性质，运用滤子和对偶核的 概念给出了格蕴涵代数中的同态定理文献【6 中讨论了格蕴涵代数的格论性质并给出 了格蕴涵代数的子代数的一种等价描述文献 7 】中给出了格蕴涵代数中( s ) 条件的概 念，讨论了( s ) 条件的基本性质以及格蕴涵商代数与积代数中( s ) 条件的等价描述文 献 8 中证明了格蕴涵代数是一个真类，并证明了格日蕴涵代数与b o o l e a n 代数等价 格蕴涵代数中的滤子在格蕴涵代数与基于格蕴涵代数的格值逻辑系统的研究中起着 重要的桥梁作用文献 1 5 】中首次提出了格蕴涵代数的滤子与关联滤子的概念并讨论了 它们之间的关系，并给出滤子的结构定理关于滤子的其它研究工作可在文献【1 7 ，2 2 ， 2 3 ，3 2 1 中找到徐扬和刘军以滤子为工具对格蕴涵代数的结构进行了研究，证明了每一 个有限格蕴涵代数都是一个有限l u k a s i e w i c z 链或几个有限l u k a s i e w i c z 链的乘积( 参见 文献 1 9 - 2 1 ) 1 9 9 5 年，秦克云与徐扬提出了模糊格蕴涵代数与格蕴涵代数的模糊滤子的概念并研 究了它们的性质i t 4 1 9 9 7 年宋振明与徐扬研究了格蕴涵代数上的同余关系，给出了同余关系诱导的格蕴 涵商代数、蕴涵同态诱导的同余关系，证明了一个格蕴涵代数的所有滤子构成的格与所 有同余关系构成的格是两个同构的完备格【1 6 ，3 引 在1 9 9 8 年到1 9 9 9 年期间徐扬、秦克云与韩国的同行y o n gb a ej u n 、e u nh w a n r o h 一起引入并讨论了l j 一理想、超l ，一理想、模糊l ，一理想，正规模糊l j 一理想的概 念与性质，证明了具有可加性质的格蕴涵代数的子集可扩充为一个超l 理想叼拼 2 0 0 1 年至2 0 0 2 年期间赵光峰、徐扬、宋振明等对格蕴涵代数的公理体系，关联理 一3 一 河北师范大学研究生硕士学位论文 想、模糊关联理想及模糊滤子等作了更深入的研究 5 5 - 5 r 1 二本文的主要工作 数学有其自身的研究规律当每一种新的数学结构诞生后，数学家总要从各个方面 对它进行深入研究和拓展，以期透彻地理解和完善这一新的数学结构、发掘新结构与原 有数学结构的联系格蕴涵代数诞生以后也是这样，许多学者对它的结构进行了深入细 致的研究其中有许多研究是针对格蕴涵代数本身的，像子格蕴涵代数、滤子、理想、关 联滤子、关联理想、模糊滤子、模糊理想、模糊关联滤子、模糊关联理想及其相互之间的 关系等 在本节第一小节我们已经述及，j a g o g u e n 将z a d e h 的模糊集合概念中的蒙属 度”由连续闭区间【0 ，1 】改变为一般的代数格，提出了三一型模糊集合的概念【2 】另一方 面，计算机在本质上只能处理离散信息或只能以离散的方式处理连续的信息，而模糊集 合要涉及到一个连续的实数闭区间如果用( 传统) 模糊集合的思想和方法处理不确定性 信息，那就必然需要一个离散化的过程所以，l 一型模糊集合同更适合计算机信息处 理的需要从数学的观点看，一个连续实数区间是一个特殊的代数格但是一般格的结 构和形式更加丰富多样因此，l 一型模糊集合也就具有更加广泛的涵义和应用空间 因此，文献【5 9 】与【6 0 】将格蕴涵代数的模糊代数结构拓展到l 一型模糊代数结构并 对其进行了深入研究本文在文献【5 9 与 6 0 】的基础上研究格蕴涵代数的l 一型模糊理 想与工一型模糊滤子诱导的同余关系与格蕴涵商代数 本文在这一方面主要做了以下工作： 1 利用格蕴涵代数的l 一型模糊理想定义了格蕴涵代数上的一簇关系，证明了当l 是一个链时，它们都是格蕴涵代数的同余关系，讨论了这簇同余关系诱导的格蕴涵商代 数的性质 2 利用格蕴涵代数的二一型模糊滤子定义了格蕴涵代数上的一簇关系，证明了当三 是一个链时，它们都是格蕴涵代数的同余关系，讨论了这簇同余关系诱导的格蕴涵商代 数的性质 一4 河北师范大学研究生硬士学位论文 2 预备知识 为了研究格值逻辑系统，徐扬在文献 4 】中对格与蕴涵作了深入的研究，提出了格蕴 涵代数的概念并对其基本性质进行了研究格蕴涵代数以公理的形式对蕴涵算子给出了 深刻的刻划目前格蕴涵代数已成为研究多值逻辑系统的强有力的数学工具，对格蕴涵 代数本身的研究也已取得大量的成果并正在对其进行更深入的研究工作 本节将介绍格蕴涵代数与二一型模糊集合的基本知识 2 1格蕴涵代数的定义与基本性质 这一节将简要介绍格蕴涵代数的基本知识，它是本文中有关格蕴涵代数内容的基础 定义2 1 【4 】设( l ，v ，a ，) 是一个有泛界d ，j 的有余格，是l 上的偏序关系， 如果映射 - + ：l l 一三 满足tv x ，y ，z l 都有， ( 厶) z _ 十( 9 - z ) = 9 - - 9 - - 名) ， ( 1 2 ) z _ z = ， ( 1 3 ) z _ 9 = y 7 _ z 7 ， ( 厶) 茹_ y = y _ z = ，亭z = y ， 限) p _ y ) - y = ( y _ + z ) jz ， 则称( l ，v ，a ，7 ，_ ，) 是一个拟格蕴涵代数 ( 2 1 一 ) ( 2 1 一厶) ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 一厶) ( 2 1 一厶) 注记2 2 在定义2 1 中，_ 是一个二元映射，即一个二元运算按照二元运算符 的使用习惯，用z _ + y 表示- ( z ，) 定理2 3 【4 】设( l ，v ，a ，- ) 是一个拟格蕴涵代数，则 v y ) oz = p _ 十名) a ( y z ) 与 z _ ( z ) = ( z y ) a ( z _ z ) 等价； p y ) _ z = oz ) v ( y _ z ) 与 $ - ( y v z ) = _ y ) v - 名) 等价 一5 一 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 河北师范大学研究生硕士学位论文 定义2 4 4 1 设( l ，v ， ，_ ) 是一个拟格蕴涵代数如果v x ，9 ，z l 都有， ( t 1 ) pvy ) - + z = _ z ) ( y - z ) ， ( f 2 ) a y ) _ z = - 名) v ( y - z ) ， ( 2 6 - 1 1 ) ( 2 昏f 2 ) 则称( l v ，a ，+ ) 是一个格蕴涵代数 注记2 5 由定理2 3 ，在格蕴涵代数中下列两式成立 ( f 3 ) 茁手( ! ，v 名) = ( z y ) v ( 茁子名) ，( 2 6 - 1 a ) ( 1 4 ) z ( y z ) = ( z y ) a ( z z ) ( 2 6 一“) 注记2 6 本文中将用或类似的字体表示格蕴涵代数 定理2 7 1 4 1 拟格蕴涵代数( c ，v ， ，7 ，_ ) 是一个格蕴涵代数当且仅当对任意z ，y ，z c 下列三个条件成立， ( 1 ) _ y ) _ + y x v y ， ( 2 ) z y 骨z _ y = i ， ( 3 ) za ( 9vz ) = ( z y ) v ( za 名) 定理2 8 1 4 在格蕴涵代数，v ， ，叶) 中，蕴涵运算_ 有如下性质 ( 1 ) oy = ，当且仅当z y ( 2 7 ) ( 2 ) o z = j ( 2 8 ) ( 3 ) z - - 9 o = 一 ( 2 9 ) ( 4 ) j - z = z ( 2 1 0 ) ( 5 ) zo ，= i ( 2 1 1 ) ( 6 ) z _ y v y ( 2 1 2 ) ( 7 ) z - y ( y - 名) - 一z ) ( 2 1 3 ) ( 8 ) 一9 ) _ y = z v 9 ( 2 1 4 ) ( 9 ) ( ( 可斗z ) 暑，7 ) 一。 y ( 2 1 5 ) ( 1 0 ) 若2 y 则- z y - + 名( 2 1 6 ) ( 1 1 ) 若z 9 贝z - 。z _ y ( 2 1 7 ) 一6 一 河北师范大学研究生硕士学位论文 定理2 9 1 4 1 设( c ，v ，a ，- ) 是一格蕴涵代数，v x ，掣，z c ，下列等式都成立 ( z - - + z ) + ( - - + 名) = y ( zv 名) = ( z 斗z ) - + ( y + z ) ，( 2 1 8 ) ( z $ ) - - + ( 名叶y ) = az ) - - + y = _ + z ) _ - 可) ( 2 1 9 ) 定义2 1 0 【8 】设( c ，v ， ，- ) 是一个格蕴涵代数如果v x ，y ，z c 都有， 茹vyv ( a y ) _ + 名) = i ( 2 2 0 ) 则称( ，v ，a ，- + ) 是一个格日蕴涵代数 定理2 1 1 i s 设是一个格蕴涵代数c 是一格日蕴涵代数当且仅当下列条件之 一成立 ( 1 ) v x ，y ，z ，z - ( y - z ) = - + y ) 叶 - 名) ， ( 2 ) v x ，y ，z c ， - + ( y - - - yz ) ) - ( - y ) _ - z ) ) = i ， ( 3 ) v x ，y ，z c ，x - - - y ( 暑，- z ) = ( z 暑，) _ z ， ( 4 )v x ，y c ，z - ( z - y ) = z _ y ， ( 5 )v x ，y c ， _ y ) 一x = x ， ( 6 ) v z c ，zvz 7 = ， 命题2 1 2 若c 是一个格日蕴涵代数则v x ，y ，z c ，都有 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( x _ y ) - z = 一z ) - ( y 叶z ) ( 2 2 7 ) 证明 ( x _ + 钞) 7 _ 名= - + - - - yy ) = z - - + ( y 7 _ + g ) = ( z oy ) - ( z - $ 7 ) = ( y - 名) _ - - yz ) = 0 _ z ) _ _ 名) 7 一7 一 口 河北师范大学研究生硕士学位论文 2 2 滤子与理想 定义2 1 3 1 5 1 设c 是一格蕴涵代数，a c 如果a 满足 ( 1 ) i a ， ( 2 ) v x ，y ，若z a ，z _ y a 则y a ， 则称a 是c 的一个滤子 定义2 1 4 2 6 1 设c 是一个格蕴涵代数，a c ，如果a 满足 ( 1 ) o a ， ( 2 ) ，y ，若( z - - 9 - 3 ，) a ，y a ，则z a ， 则称a 是c 的一个理想 2 3 同态与商代数 定义2 1 5 【5 】设c 1 ，c 2 是两个格蕴涵代数如果映射 f ：c 1 岛 满足 v x ，y c l ，( z + y ) = ，( z ) ，( 可) ， ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 则称，是一蕴涵同态 定理2 1 6 n 如果c 1 ，岛是两个格蕴涵代数，f ：c 1 2 是一蕴涵同态，那么 ( 1 ) 对任意z ，y c l ，( zvy ) = f ( x ) v ，( 暑，) ， ( 2 ) 若f ( o ) = 0 则，是格蕴涵同态 定义2 1 7 蚓设( v ，a ，_ ) 是一格蕴涵代数，一是c 上的一个等价关系如 果对任意z 1 ，x 2 ，y l ，y 2 c 都有 - t 1 一z 2 ，y l 一沈2 = ( x l y 1 ) ( $ 2 _ y 2 ) 则称是格蕴涵代数c 的一个同余关系 定义2 1 8 1 6 1 一是格蕴涵代数，v ，a ，- ) 的一个同余关系对于。c ，z 的 同余类是指集合 陋】= 3 ，i f c ，z 暑， 一8 一 河北师范大学研究生硕士学位论文 c 中所有元素的同余类的集合记为j c n ，即 c n - - - - k 】i $ 在c 上将运算v ，a ，+ 定义为；对任意陋】，m c 一， mv 【们= p v 胡 ma 【y 】= 陋a 纠 扛】7 = k ，】 m + m = 陋- y 】 则可以证明( c 一，v ，a ，- + ) 也是一个格蕴涵代数称其为格蕴涵代数c 关于同余关系 一的格蕴涵商代数 定理2 1 9 1 6 】设c 是一个格蕴涵代数，a 是c 的滤子在c 上定义二元关系一 为，对任意z ，y c ， z y 当且仅当z - - yy ，y - z a 则一是上的一个同余关系称c 的格蕴涵商代数i ：一为a 诱导的格蕴涵商代数， 并记为j c a 引理2 2 0 2 6 设a 是c 的一个理想，c 上的二元关系定义为： $ y = 争( z _ + y ) a ，( ! ，- 茹) a 则一是c 上的同余关系 2 4l - 型模糊集合 定义2 2 1 2 ，删设x 是一经典集合，l 是一格称映射 a ：x 一工 为x 上的一个工一型模糊子集 注记2 2 2 本文中将把经典集合x 上的所有三一型模糊子集的集合记为。统，( x ) ， 特别地将一个格蕴涵代数c 上的所有工一型模糊子集的集合记为玩( c ) 定义2 2 3 2 ，叫设a 。纥) ，a l 令 a a = 。i a ( z ) a ， 称a 为a 的a 一截集 一9 河北师范大学研究生硕士学位论文 3 己一型模糊理想诱导的同余关系 3 1l 一型模糊理想的定义与性质 在文献【6 0 】中提出了厶一型模糊理想的概念并讨论了它的基本性质为了对l 一型 模糊理想进行更深入的研究，在此首先给出格蕴涵代数的l 一型模糊理想的定义与有关 性质 定义3 1 【矧设( 厶v ，a ，7 ，- - - + ，i ，o ) 是一格蕴涵代数，l 是一格，a 。多2 ( ) 如 果a 满足： ( 1 ) v x c ，a ( x ) a ( d ) ， ( 2 ) v x ，y c ，a ( x ) a ( ( z 暑，) ) a a ( 耖) ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) 则称a 是c 的一个l 一型模糊理想 定理3 2 1 6 0 设a 是格蕴涵代数c 的个l 一型模糊理想，z ，! ，c 如果z y ， 贝 a ( $ ) a ( ! ，) 定理3 3 1 6 0 设l 是一格，c 是个格蕴涵代数，a 。纥( c ) a 是c 的个二一 型模糊理想当且仅当v a l ，若a 乃，则a 是c 的一个理想 定理3 4 l e o 设a 是c 的一个工一型模糊理想，则a 是c 的一个工一型模糊子格 蕴涵代数当且仅当a 是一常值l 一型模糊集 定理3 5 1 6 0 设l 是一格，c l ，c 2 是格蕴涵代数，：c 1 c 2 是格蕴涵同态， a 玩( 2 ) 若a 是c 2 的l 一型模糊理想，则广1 ( a ) 是1 的l 一型模糊理想 注记3 6 设a 是格蕴涵代数c 的一个l 一型模糊理想，记 a ( c ) = a ) l $ c ( 3 3 ) 由定理3 2 可知，a ( i ) 是a ( c ) 的最小值，a ( o ) 是a ( c ) 的最大值 3 2二- 型模糊理想诱导的一簇同余关系 定义3 7 设c 是一个格蕴涵代数，a 是c 的一个l 一型模糊理想v a a ( c ) ， 一1 0 河北师范大学研究生硬士学位论文 定义c 上的一个二元关系a o ( 即c c 的一个子集) 为； 当o t o t ，a ( ( 暑，+ $ ) ) a ) ，( 3 4 ) 当o t = a ( o ) 时， a o = 0 ，u ) l c x ，y ) ，a ( 暑，) ) = a ，a ( - - - z ) ) = 口) ( 3 4 7 ) 引理3 8 设a 是格蕴涵代数c 的一个三一型模糊理想，则 v o , a c l ) ，a o g 证明v a a ) ，如果a 是格蕴涵代数c 的一个l 一型模糊理想，则无论定义3 7 中的哪一种情形，a o 至少含有元素d ，因此小g 口 引理3 9 若a 是格蕴涵代数c 的一个l 一型模糊理想则当o t = a ( o ) 时，巾 是上的一个同余关系 证明若a 是格蕴涵代数c 的l 一型模糊理想，口= a ( d ) ，则由引理3 3 可知厶 是c 上的一个理想另由注记3 6 与( 3 4 ，) 式得， a o = ： ( z ，y ) i ( z ，y ) c c ，a c ( x ! ，) ) = a ，a c ( y - a tz ) ) = a ) = ( $ ，y ) i ( z ，y ) cxc ，a ( ( z - - - 1 掣) ) o ，a ( - - + $ ) ) a ) = ( z ，y ) l ( 茹，y ) c c ，( z - - - 3 ，) a o ，( y - - + 茁) a a ) 因此，当o t = a ( o ) 时，a o 就是由c 的理想厶诱导的二元关系由弓i 理2 2 0 可知俨 是c 上的一个同余关系 口 引理3 1 0 如果a 是格蕴涵代数c 的一个l 一型模糊理想，那么，对任意o t a ( c ) ， 俨是c 上的一个自反关系 证明由引理3 9 可以证明当0 1 = a ( o ) 时结论成立 如果o t a ( 0 ) ，则口 o t ， 所以 v z c ，( $ ，z ) a 口 因此，a 8 是c 上的一个自反关系 口 引理3 1 1 若a 格蕴涵代数是c 的一个l 一型模糊理想，则v o , a ( ) ，a o 是 上的一个对称关系 一】1 一 河北师范大学研究生硕士学位论文 证明由定义3 7 ，这是明显的 口 注记3 1 2 在本节余下的部分中，我们将就l 是一个链时的情形讨论辱t 的性质 在一个链中任何两个元素都是可比的，并且， q v 卢= m a x q ，卢) ，o 卢= m i n q ，卢) ，v a ，卢l 引理3 1 3 设l 是一个链，a 是格蕴涵代数c 的一个三一型模糊理想，q a ( c ) ，o l a ( o ) 贝，v ( x ，y ) a 。，v z c 者5 有 a ( ( - z ) - + ( y - - 9 名) ) ) o ， ( 3 5 ) a c ( c v - z ) - + 扛- - + 2 ) ) ) o ，( 3 6 ) a ( ( 0 _ 茹) - 0 - ! ，) ) ) o l ， ( 3 7 ) a f t ( * - y ) - + ( z - z ) ) 7 ) n ( 3 8 ) 证明v ( x ，y ) a 。，v z c ，由( 2 1 一厶) 式，( 2 1 一 ) 式，( 2 1 4 ) 式，( 2 1 7 ) 式以及 ( 2 7 ) 式得： a f t ( 0 一名) - - + 白- - 9 z ) ) 7 _ ( y - 9 z ) ，) ，) = a ( ( 白_ + z ) - ( 一名) - - 4 ( y - z ) ) ) 7 ) = a ( ( 0 - z ) _ ( y _ ( - - + 名) - z ) ) ) 7 ) = a ( ( ( _ + z ) - - 4 ( + ( z vz ) ) ) ) = a ( i ) = a ( o ) a ( 3 9 ) 再由( z ，y ) a o 知 a ( ( 可 z ) ) a ( 3 1 0 ) 因为a 是c 的三一型模糊理想，所以由不等式( 3 9 ) 与( 3 1 0 ) 可得 a ( ( - - + 名) - - 9 白- 名) ) ) a ( ( ( _ z ) _ + 0 _ + z ) ) - _ z ) ，) ，) aa ( 一z ) ) = m i n a ( ( ( _ z ) _ ( y - + 名) ) 7 _ ( y _ z ) ，) ，) ，a ( _ z ) 7 ) ， q 此即( 3 5 ) 式 一1 2 河北师范大学研究生硕士学位论文 v ( z ，y ) a o ，v z c ，由( 2 1 一s ) 式，( 2 1 一 ) 式，( 2 1 4 ) 式，( 2 1 7 ) 式以及( 2 7 ) 式 得： a c c c ( z z ) 斗0 - 可) ) _ - + ! ，) ，) ，) = a ( ( _ y ) o ( 0 - + z ) - ( 名- 可) ) ) ) = a ( ( ( z _ + z ) _ ( - - 4 y ) - ( z _ + ) ) ) 7 ) = a ( ( ( z - + z ) - ( z - ( - + y ) - + 可) ) ) 7 ) = a ( ( ( z + 茹) ( z + ( $ v 暑，) ) ) 7 ) = a ( x ) = a ( o ) q ( 3 1 1 ) 再由( z ，y ) a “知 a ( _ ! ，) 7 ) o ( 3 1 2 ) 由( 3 1 1 ) 式，( 3 1 2 ) 式以及a 是c 的l 一型模糊理想可得 a ( ( ( z z ) ( 名- - 4 可) ) ) a ( ( ( ( z - z ) - + 0 - 可) ) - _ + ) ，) ，) aa ( - 暑，) ) = m i n a ( ( ( ( z - z ) - 0 - ! ，) ) 7 - - - 4 剪) ，) ，) ，a ( - 可) ) ) o t 此即( 3 7 ) 式 利用引理3 1 1 和( 3 5 ) 式可得( 3 6 ) 式类似地，利用引理3 1 1 和( 3 7 ) 式可得( 3 8 ) 式 口 推论3 1 4 如果l 是一个链，4 是格蕴涵代数c 的一个l 一型模糊理想，a a ( c ) ，a a ( o ) ，那么v ( x ，y ) a o ，v z c 都有 0 _ z ，y _ 名) 矛， ( z - z ，z - y ) 矛 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) 证明利用( 3 5 ) 式和( 3 6 ) 式可得( 3 1 3 ) 式，利用( 3 7 ) 式和( 3 8 ) 式可得( 3 1 4 ) 式 口 定理3 1 5 设a 是格蕴涵代数c 的l 一型模糊理想，则v q a ( c ) ，口a ( d ) ，a o 都是c 上的等价关系 证明引理3 1 0 和引理3 1 1 已分别说明二元关系小的自反性和对称性所以只需 要再证明二元关系a o 的传递性 一1 3 河北师范大学研究生硕士学位论文 v ( z ，! ，) ，( y ，z ) 夺，下证( z ，z ) 和 由( x ，) 矛及引理3 1 3 可得 a ( ( _ 名) - + ( y - - + z ) ，) ，) = a ( ( 白- - 4 * 名) - + 0 - - + z ) ) 7 ) q r 3 1 5 ) 又由于( y ，名) a o ，所以 a ( - - - + z ) 7 ) 口 ( 3 1 6 ) 因此，由( 3 1 5 ) 式和( 3 1 6 ) 式以及a 是c 的模糊理想可得， a ( - - 4 - 名) 7 ) a ( ( p - - 4 - z ) 7 ( y - 4 z ) ) ) a a ( + 名) ) = m i n a ( ( ( x _ z ) - + 白- z ) ，) ，) ，a ( _ z ) ) ) 口 ( 3 1 7 ) 类似可证 a ( ( z - z ) ) q ( 3 1 8 ) 因此，利用( 3 1 7 ) 式和( 3 1 8 ) 式及定义3 7 得 ，z ) a o 口 定理3 1 6 设l 是一个链若a 是格蕴涵代数c 的l 一型模糊理想，则v q a ( ) ， 小是c 上的同余关系 证明当n a ( o ) 时引理3 9 已经说明印是上的同余关系 对于任一a a ( c ) ，a a ( d ) ，设( z ，箩1 ) ，( 茁2 ，y 2 ) 是a o 的任意两个元素则由推 论3 1 4 可得， ( x 1 _ x 2 ，y 1 _ z 2 ) e 矛， ( y l _ + 茹2 ，y l _ y 2 ) 矛 再由j p 的传递性可得 ( z 1 z 2 ，y 1 y 2 ) 矛 所以c 上的运算_ 与等价关系豕是相容的 因此矛是c 上的同余关系 口 一1 4 河北师范大学研究生硕士学位论文 注记3 1 7 设l 是个链，a 是格蕴涵代数的l 一型模糊理想令 = 五& l q a ( ) 则么不空另由定理3 1 6 知铱中的每一成员都是c 上的一个同余关系( ，) 构 成一个偏序集，其中是二元关系的包含此偏序集诱导的格记为( 铭，v ， ) 定理3 1 8 设三是个链，a 是格蕴涵代数c 的个l 型模糊理想，q ，卢a ( c ) 如果a 卢则a o a p 证明( 1 ) 如果卢一a ( d ) ，则必有口= a ( o ) 因此a o = ，它们都是由( 3 4 ，) 式 定义的二元关系 ( 2 ) 对任意( z ，) a 8 ，都有 当o l o t 且a ( 白- z ) ) o t ， 当o t = a ( d ) 时，a f t = - - 4 ) 7 ) = d 且a ( ( 可- - 4 z ) 7 ) = a ， 所以，当卢 卢且a ( ( 。) ) 卢 因此，( z ，y ) 乃所以，矛乃 口 定理3 1 9 设l 是一个链如果a 是格蕴涵代数c 的一个l 一型模糊理想，那么 ( 够么，s ) 是个链 口 推论3 2 0 设l 是一个链若a 是格蕴涵代数的一个l 型模糊理想，则a ( 7 ) 是( 髫l ，) 的最