（通信与信息系统专业论文）bragg声光双稳系统混沌的控制研究.pdf

西南交通大学硕士研究生学位论文第l 页 摘要 目前非线性科学最重要的成就之一就在于对混沌现象的认识。研究混沌的 目的是为了对其进行有效地控制和利用。光学混沌是混沌领域里的一个分支， 声光双稳系统由于其装置简单、容易实现的特点，成为研究光学混沌控制的有 力的实验装置。经过近几十年的发展，混沌控制及其应用研究越来越广泛，以 声光双稳系统为载体的混沌控制研究也已获得了重大的突破性进展。 本文构建了一个b r a g g 声光双稳系统模型，针对其混沌态分别提出外部微 扰反馈及延迟反馈扰动两种混沌控制方案，以达到对系统稳定控制的且的。在 外部微扰反馈法的控制中，分析了不同控制参数下系统状态及l y a p u n o v 指数的 演化；检验了系统的抗噪声能力并讨论系统混沌程度对控制的影响。数值分析 表明，适当选择反馈强度可将原本混沌的系统控制在稳定的周期态上，系统对 小幅度噪声具有一定的抗干扰能力。该方法以恒定信号取代了周期扰动及含时 扰动，实验上更加简便易行，同时仍可达到大范围可控的目的，即不仅能将系 统控制在低周期轨道，还能将其控制到高周期轨道上。 延迟反馈扰动法针对l o g i s t i c 殃射、b r a g g 声光双稳系统及h c n o n 映射的混 沌态，讨论了离散混沌系统中控制干扰信号分别作用于系统局部和整体以及连 续、间隙两种控制方法下系统的状态演化。该方法利用输出信号与延迟信号的 差作为反馈信号加入到系统中去，只要改变反馈强度即可达到对混沌态的控制 目的。在综合考虑控制代价和可控范围的情况下，间隙反馈法具有较突出的优 势，它不仅可将系统从混沌状态控制到各个稳定的周期态，而且系统的稳态周 期数是间隙反馈周期的整数倍；另一方面，当采用较高的间隙反馈周期时，系 统将失去对低倍周期态的控制。 关键词：混沌控制；b r a g g 声光双稳系统；外部微扰反馈；延迟反馈扰动 西南交通大学硕士研究生学位论文第l i 页 a b s t r a c t o n eo f t h em o s ti m p o r t a n ta c h i e v e m e n t si nn o n l i n e a rs c i e n c ei st h ec o g n i t i o no f c h a o s t h ep u r p o s eo f c h a o sr e s e a r c hi st oc o n t r o la n dm a k e1 l s eo fi t o p t i c a lc h a o s i sab r a n c ho fc h a o sd o m a i n a c o u s t o o p t i cb i s t a b l e ( a o b ) s y s t e mi ss t u d i e d e x t e n s i v e l yi no p t i c a lc h a o t i cc o n t r o lr e s e a r c hf o ri t sm a n ya d v a n t a g e sj u s t l i k e s i m p l ed e v i c ea n de a s yt oa c h i e v e a st h ed e v e l o p m e n to ft h i sf i l e d , c h a o sc o n t r o l a n di t sa p p l i c a t i o na r eb e c o m i n gm o r ea n dm o r ee x t e n s i v e t h er e s e a r c ho fa o b s c h a o t i cc o n t r o lh a sa l s og o ta b r e a k t h r o u g h i nt h i sp a p e r , am o d e lo nt h eb a s eo f b r a g ga o b s y s t e mi sc o n s t r u c t e d ，a n dt w o c o n t r o lm e t h o d sf o ra o b sc h a o t i cs t a t ea r ep r o p o s e d t h e s et w om e t h o d sa r e e x t e r n a lp e r t u r b a t i o nf e e d b a c kc o n t r o la n dd e l a yf e e d b a c kp e r t u r b a t i o nc o n t r 0 1 i n t h ec o n t r o lo fe x t e r n a l p e r t u r b a t i o nf e e d b a c k , t h ec h a n g e so fs y s t e ms t a t ea n d l y a p u n o ve x p o n e n t 研t hf e e d b a c ki n t e n s i t yh a v eb e e na n a l y z e d t h ee f f e c to fn o i s e a n dc h a o t i cd e g r e et os t a t ee v o l v e m o n ta r ea l s od i s c u s s e d t h er e s u l t so fn u m e r i c a l s i m u l a t i o ns h o wt h a tt h es y s t e mc a nb ec o n t r o l l e dt od i f f e r e n ts t a b l ep e r i o d i co r b i t s b yc h o o s i n gf e e d b a c ki n t e n s i t yp r o p e r l y t h es y s t e m a l s oh a st h e a b i l i t y o f a n t i - j a m m i n gw h e n t h en o i s ei ss m a l l t h i sm e t h o du s e si n v a r i a b l es i g n a li n s t e a do f p e r i o d i co rt e m p o r a lp e r t u r b a t i o n , w h i c hm a k e se x p e r i m e n te a s yt oa c h i e v e a l s o ，t h e s y s t e mc a nb ec o n t r o l l e di nal a r g ea r e a , t h a tm e a l l sn o to n l yc a ni tb ec o n t r o l l e dt o t h el o w e rp e r i o d i co r b i t ，b u ta l s ob ec o n t r o l l e dt ot h eh i g h e rs t a b l eo r b i t s t a k i n gl o g i s t i cm a p ，a o ba n dh e n o nm a pa se x a m p l e s ，t h ed e l a yf e e d b a c k p e r t u r b a t i o nc o n t r o lu s e se s p e c i a lf e e d b a c ks i g n a lw h i c hi so b t a i n e db ys u b t r a c t i n g d e l a ys i g n a lf r o mo u t p u ts i g n a l t h es t a t ee v o l v e m e n to fs y s t e mi sd i s c u s s e dw h e n t h ec o n t r o li n t e r f e r e n c e s i g n a la c t i n g o n p a r t i a ls y s t e ma n dh o l i s t i cs y s t e m r e s p e c t i v e l y t h ei n f l u e n c eo fs y s t e mb yu s i n gm e t h o do fc o n t i n u o u sc o n t r o la n d o c c a s i o n a lc o n t r o li sa l s oa n a l y z e d b ym e a n so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n , t h es y s t e m c a nb ec o n t r o l l e dt od i f f e r e n ts t a b l ep e r i o d i co r b i t sb yc h o o s i n gf e e d b a c ki n t e n s i t y p r o p e r l y t h eo c c a s i o n a lf e e d b a c kc o n t r o lg a i n st h ea d v a n t a g eo v e ro t h e rm e t h o d s f o ri t s1 e s sc o n t r o lc o s ta n dm u c hm o f ec e n t r e l 盯e & a 1 s ot h es t e a d yp e r i o do f s y s t e m 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 ii 页 i st h ei n t e g r a lm u l 卸l eo ft h eo c c a s i o n a lf c c d b a c kp e r i o d o nt h eo t h e rs i d e ，w h e n t h eo c c a s i o n a lf b c d b a c kp e r i o di sh i 曲t h es y s t e mw i l ll o s et h ec o n t r o lo fl o w e r s t a b l ep e r i o d i co r b i t sb yu s i n gt h i sm e t h o d k e yw o r d s ：c i l a o sc o n t r o l ；b r a g ga c o u s t o - o p t i cb i s t a b l es y s t e m ( a o b ) ；e x t e r n a l p e r t u r b a t i o nf e e d b a c kc o n t r o l ；d e l a yf e e d b a c kp e r t u r b a t i o nc o n t r o l 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 页 1 1 论文研究背景 第1 章绪论 目前非线性科学最重要的成就之一就在于对混沌现象的认识l l l 。在自然界 中，许多科学领域都已发现了混沌现象的存在。随着人们对混沌理论的深入研 究，使其广泛运用于自然科学和社会科学的各个门类之中，并取得了普遍的成 功【2 堋。正如混沌学的倡导者之一的m s h l e s i n g e r 所说：“2 0 世纪科学将永远铭 记的只有三件事，那就是相对论、量子力学与混沌。” 混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感依赖性， 或对微小扰动的极端敏感性。对初值的极端敏感性又称为蝴蝶效应。它曾被认 为是一种“麻烦”的性质，在过去的许多年中，人们一般相信混沌运动既是不 可预报的，又是不可控制的。因此，在实践中总是希望避免混沌这个“有害” 的现象，亦即在几乎所有的工程设计中都把目标放在消除系统中的任何混沌行 为。进一步的研究表明，系统所具有的混沌状态，其中存在着微妙的结构。蝴 蝶效应允许使用很小的反馈扰动来控制系统的轨道，这种能力是非混沌系统所 不具有的。因此，它可以使人们不是避开混沌，而是有可能对混沌加以控制和 利用。对给定的一个混沌吸引子，只对系统作小的扰动就可以得到某个预期的 周期行为，这就是控制混沌的基本含义【7 - - 9 1 。 混沌控制包括混沌的控制与诱导。混沌的控制与诱导是非线性动力系统与 非线性控制的新理论和新方法。是智能控制的重要组成部分。混沌控制的目标 主要有：一是基于在混沌奇怪吸引子内存在无穷多的周期轨道，对其中某个不 稳定周期轨道进行有效的稳定控制，根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道； 另一种控制目标则不要求必须稳定控制系统中的周期轨道，而只是通过可能的 策略，方法及途径，达到有效控制得到我们所需的周期轨道即可，或抑制混沌 行为，即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为，包括各种周期态 及其它图样等；三是实现两个或多个相同动力学系统的混沌同步；四是消除多 重的混沌或超混沌吸引子流域。 光学混沌是混沌领域里的一个分支，由于光通信有许多无线电通信所不具 西南交通大学硕士研究生学位论文第2 页 备的优点，故光混沌通信的研究吸引了人们的关注。早在2 0 世纪6 0 年代初第 一台激光器研制出来后，研究人员就在实验上观察到激光器输出的尖峰效应及 跳模现象，这实际上就是混沌现象。1 9 7 5 年，德国学者h h a k e n 在研究激光器 的不稳定结果的基础上，建立了描述单模、均匀加宽激光器的“洛仑兹一哈肯” 方程，该方程在形式上与描述大气运动的“洛仑兹”方程完全一致，从而预言 了该类激光器存在混沌，并讨论了混沌存在的条件【l o l ，几年后，此预言得到了 实验的证实。2 0 世纪8 0 年代到9 0 年代初是光学混沌发展比较快的时代，取得 了很多令人瞩目的研究成果。1 9 8 2 年e y a r e c h i 等人通过调制光学谐振腔的内 损耗，在实验上观察到了c 0 2 激光器混沌【】，1 9 8 3 年c o w e i s s 等人在h e - n e 激光器上完成了通过三种途径进入混沌的实验i l2 1 同年，r s g i o g g a 和 n b a b r a h a m 等人在实验上观测到了x e 激光器混沌【1 3 】。1 9 8 5 年，c o w e i s s 等 人专门设计了n h 3 分子激光器，并观测到了洛仑兹型混沌，从而证实了h h a k e n 的理论结果【1 4 1 。1 9 8 5 年前后，开始出现关于非线性光学现象中的混沌的报道， 在关学混频的二次谐波、光注入半导体激光器的四波混频、相位共轭、光折变， 以及在光纤实验中的受激b r i l l o u i n 散射，受激r a m a n 散射等非线性光学混沌现 象中，均观测到混沌。 关于光学混沌的研究，近年来成果不断增加，进展相当迅速。光学混沌具 有极丰富的信息，在光信息科学技术方面，有很大的应用潜力，等待着人们去 开发。它不仅使人们对光学现象的认识向着纵深方面发展，而且就其本身来说， 在信息科学方面，也将开辟出新的应用领域。 目前看来混合光学双稳系统研究是一个新的热点。其双稳装置是一种光和 电的混合装置，用来模拟含有非线性介质的法布里一伯罗腔的光学双稳现象曾 在1 9 7 3 年由a a k a s t a l s k i i 完成。最早研究光学双稳系统中混沌的是i k e d a ，他 首次指出在含有吸收介质的环形腔中会发生混沌 t 5 , 1 6 1 。当g i b b s 的研究组在混 合光学双稳装置上观察到了混沌现象【17 】后，非线性光学系统( 包括被动系统和 激光系统) 中混沌的研究掀起了高潮。由于这是第一个被观察到的光混沌系统， 具有装置简单、容易实现的特点，因此，光学双稳系统成为研究混沌控制的有 力的实验装置。声光光学双稳系统研究主要是声光晶体内光场与声场相互作用 机理研究。声光效应是声波作用于某晶体时，产生光弹性作用，使折射率发生 变化，从而达到光调制的目的。对于声光双稳系统中的混沌行为研究绝大部分 西南交通大学硕士研究生学位论文第3 页 为布拉格( b r a g g ) 型的双稳系统。理论和实验已经证明，当反馈系统引入一个 大于系统响应时间的附加延迟时，整个声光双稳系统就会出现自脉冲、倍周期 分岔、高次谐波及混沌行为。 1 2 国内外研究现状 自美国物理学家o t t 、g r e b o g i 以及y o r k e 首次于1 9 9 0 年从理论上提出控制 混沌的参数微扰方法( o g y 方法) 以来【l 引，随着人们对混沌本质的认识以及它在 各学科所显现出的极大的应用价值，混沌控制及同步研究进展迅速。几乎与 o g y 控制混沌的开创性工作的同时，美国海军实验室学者t l c a r r o l l 和l m p e c o r a 等发表了运动轨道同步化的论文【1 9 】，提出了混沌自同步方案；d i t t o 作出 非晶磁致弹条系统及电路系统混沌现象控制的实验：h u n t 等人做出控制激光系 统混沌的实验以及c a r r o l l 等人实现了利用混沌同步化进行保密通信的实验。控 制与同步化混沌现象的理论和实验得到同步地巨大发展。迄今，混沌控制已成 为国际国内令人瞩目的前沿课题。人们也在不断地开拓新的应用领域 2 0 - 2 2 。由此 产生了一系列的控制方法，归纳起来可以分为两类：一是通过调节参数达到对 系统混沌行为的控制，如o g y 方法、谐波微扰法m 】等；二是对系统的变量实 旌反馈或无反馈控制，如脉冲反馈法【“0 5 1 、自适应反馈法 2 t 2 7 1 、非线性时滞反 馈法【2 8 】等。但某些方法运用到实际系统中存在一定的难度与弊端，如o g y 方 法抗干扰能力差，对高周期轨道控制困难；自适应反馈法在控制过程中需要不 断地改变系统参量，较难操作。 对于光学混沌研究中的声光双稳系统，由于该系统具有相当丰富的动力学 行为，同时又较容易实现，在光学驱动、光开关以及弱信号放大等领域占有重 要地位，因此在理论和实验上一直被受到广泛的重视和研究。目前对b r a g g 声 光双稳系统混沌控制的方法报道甚多：脉冲控制法通过选择适当的间隔却将一 定强度的脉冲加到系统变量上进行扰动【2 9 】；外周期激励控制法将外周期信号加 在双稳系统动力学方程的正弦函数内部实现了对混沌的控制唧】：1 9 9 9 年刘玉怀 等人提出的外部正弦调制法使用正弦信号对系统混沌态进行调制，使系统状态 呈现出间歇性混沌及多种演化模式【3 l 】；间隙线性反馈法对g u e m e z 等提出的o l f 法加以改进，拓宽了控制范围，提高了控制速度【3 2 l ：2 0 0 4 年吕翎等人提出变量 旋转法，该方法利用变量间的耦合干扰原混沌系统，迫使其向周期轨道转化【3 引。 西南交通大学硕士研究生学位论文第4 页 以上方法在原有的混沌控制方法基础上做了适当的改进，使声光双稳系统混沌 态的控制速度加快，可控范围增大，控制效果也更加明显。 经过近几十年的发展，目前混沌控制及其应用研究越来越广泛，以声光双 稳系统为载体的混沌控制研究也已获得了重大的突破性进展。人们已逐渐改变 了对混沌运动的不稳定性、不可控性及不可靠性的陈见，开始逐步认识到混沌 的重要作用，并开始利用混沌。所有这些都是一个良好的开端，对这些问题的 研究，将不仅具有重大的理论价值，而且具有重要的实际应用价值。 1 3 论文主要研究内容及结构安排 本文构建了一个b r a g g 声光双稳系统模型，针对其混沌态分别提出外部微 扰反馈及延迟反馈扰动两种混沌控制方案，以达到对系统的稳定控制。主要研 究内容及结构安排如下： 第l 章绪论。阐述了论文的研究背景，对光学混沌中b r a g g 声光双稳系统 的混沌控制做了简要介绍，概述其国内外研究现状。并介绍了论文研究的主要 工作及总体框架。 第2 章混沌的基本理论。简要介绍了混沌的定义、基本特征、应用及混沌 控制的基本含义。 第3 章外部微扰反馈对b r a g g 声光双稳系统混沌的控制。推导出双稳系统 模型的延迟方程，并对其基本特性进行研究。针对该系统的混沌态，利用外部 微扰反馈的方法对其进行控制，分析不同控制参数下系统状态及l y a p u n o v 指数 的演化，并与初始模型进行对比；为检验该微扰反馈法控制的有效性，对系统 引入噪声，检验其抗噪声的能力：讨论系统混沌程度对控制的影响。 第4 章延迟反馈扰动对离散混沌系统的控制。提出延迟反馈扰动法，利用 输出信号与延迟信号的差作为反馈信号加入到系统中去，讨论离散混沌系统( 包 括l o g i s t i c 映射、b r a g g 声光双稳系统及h e n o n 映射) 中控制干扰信号分别作用 于系统局部和整体以及连续、间隙两种控制方法下系统的状态演化。 结论部分对以上两种控制方法进行总结，分别讨论其优缺点。 西南交通大学硕士研究生学位论文第5 页 第2 章混沌的基本理论 在现代非线性理论中，混沌是泛指在确定体系中出现的貌似无规则的、类 随机的运动。简单地说，混沌理论所研究的是非线性力学混沌，目的是要揭示 貌似随机的现象背后所隐藏的规律。混沌作为一门科学，在2 0 世纪8 0 年代和 9 0 年代以惊人的速度向前发展着，各学科都在探索本领域的混沌现象和它们的 可能的应用，人们对混沌的认识逐渐深入。本章将着重介绍混沌的基本定义、 特征、应用及其控制。 2 1 混沌的定义 混沌( c h a o s ) 一词是李天岩( t yl i ) 和约克( j 丸y o r k e ) 在1 9 7 5 年首 次提出的。他们在“周期3 意味着混沌”的文章中给出了混沌的一种数学定义1 ， 现称为l i - y o r k e 定义： 定义l 设连续自映射，：i - - - 1 i t - r ，是r 中一个子区间。如果存在不可数 集合s c ，满足 1 ) s 不包含周期点。 2 ) 任给置，x 2 s ( 五x 2 ) ，有 j 鳃, - p l l ( 五) 一，。( 五) i o ( 2 - 1 ) 脚i n f l 厂( 五) 一厂( 五) | _ 0 ( 2 2 ) 这里，( ) = 厂( ，( ，( ) ) ) 表示t 重函数关系。 3 ) 任给墨s 及厂的任意周期点p e i 有 舰s p l l 。( 五) 一厂。( p ) | o ( 2 - 3 ) 则称厂在s 上是混沌的。 此定义中，由于前两个极限说明子集的点置，x 2e s 相当分散而又相当集 中：第三个极限说明子集不会趋近于任意周期点，所以这个定理本身只预言有 非周期轨道存在，既不涉及这些非周期点的集合是否具有非零测度，也不涉及 西南交通大学硕士研究生学位论文第6 页 哪个周期是稳定的。因此，l i - y o r k e 定义的缺陷在于集合s 的勒贝格测度是有 可能为零，即这时混沌是不可观测的，而人们感兴趣的则是可观测的情形，即 此时s 有一个正的测度。 1 9 8 9 年d e v a n e yrl 给出勒混沌的又一种定义1 3 5 1 ： 定义2 设x 是一个度量空间。一个连续映射厂：x 寸x 称为z 上的混沌， 如果 1 ) ，是拓扑传递的； 2 )厂的周期点在z 中稠密； 3 ) ，具有对初始条件的敏感依赖性。 其中，厂具有对初值敏感依赖性是指3 艿 0 ，使v x x ，及x 的领域，总 3 y n ( x ) 及n 0 ，使p ( 厂4 ( x ) ，厂4 ( y ) ) 艿。而厂在z 上拓扑传递是指v u 和y 为开集，且u 和v t - x ，3 k 0 使，( 【，) n 矿a 。 简而言之，混沌的映射具有不可预测性与不可分解性，但仍有一种规律性 这三个要素。这是因为，对初始条件的敏感依赖性，使得混沌系统是不可预测 的。又由于拓扑传递性，使得它不能被细分或不能被分解为两个在厂下相互影 响的子系统。尽管如此，但在混沌行为中确实存在着规律性的成分，即有稠密 的周期点。 除上述对混沌的定义外，还有诸如s m a l e 马蹄、横截同宿点、拓扑混合以 及符号动力系统等定义。 2 1 1 混沌的基本特征 混沌是确定性系统中由于内禀随机性而产生的外在复杂表现，是一种貌似 随机的非随机运动，具有如下基本特征： 1 ) 混沌是系统固有的。系统所表现出来的复杂性是系统自身的、内在的 因素所造成的，并不是在外界的干扰下所产生的，是系统内在随机性的表现。 2 ) 混沌是具有确定性的。混沌的确定性分为两个方面。首先，混沌系统 是确定的系统，是一个真实的物理系统；其次，混沌的表现是貌似随机，而并 不是真正的随机，系统每一时刻状态都受到前一时刻状态的影响，是确定出现 的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这 和随机系统不同。 西南交通大学硕士研究生学位论文第7 页 3 ) 混沌系统的表现具有复杂性。混沌系统的表现是貌似随机的，它不是 周期运动，也不是准周期运动，具有良好的自相关性和低频宽带的特点。 混沌的研究表明，一个完全确定的系统，即使非常简单，由于自身的非线 性作用，同样具有内在的随机性。绝多数非线性动力学系统，既有周期性，又 有混沌运动，而混沌即不是具有周期性和对称性的有序，又不是绝对的无序， 而是多种复杂的有序。总之，混沌是非周期的有序性。例如，我们在学简谐振 动时常用到的一种理想模型单摆，在摆角很小的情况下，单摆做周期性的 简谐振动，而在大摆角时就会出现混沌现象。 2 1 2 奇怪吸引子 在研究非线性动力学问题过程中，通常使用相空间的概念。相空间是以n 维的非线性系统中的n 个状态变量作为坐标构成的n 维空间。耗散系统在运动 过程中相体积逐渐收缩。如果相空间是n 维的，相空问的相轨线就要收缩到维 数小于n 的m 维面上。这就是说，对于不同的初始条件，系统的运动会趋向同 一个结果或少数几个结果。耗散系统运动的这种性质，人们常用吸引子的概念 来描述。只要观测时间足够长，耗散系统在相空间中的运动就会收缩到一个有 限区域，这个有限区域称为吸引子。可见，吸引子是相空间中的几何体，该几 何体不随时间变化，附近的轨线都趋于它，它的维数是整数并小于相空间的维 数。具有整数维的吸引子，称为平庸吸引子。相空间里描写定态的不动点，是 零维吸引子；描写周期运动的极限环，是一维吸引子。 当非线性系统进入混沌，则在相空间的有限区域，充满永不封闭的轨道， 构成奇怪吸引子( 或混沌吸引子) 。奇怪吸引子除具有一般吸引子的共同特点以 外，本身还有一系列的奇异特性。在相空间的局域里，轨道经过不断地分开、 折叠再靠近，使得在不同初始条件下，吸引子上的轨道不同，表现出奇怪吸引 子对初值条件的灵敏性。奇怪吸引子有自己的吸引域，从大范围来看，系统的 运动是稳定的。吸引子内部由于相邻轨道要相互分离，所以吸引子的内部是不 稳定的。此外，由于奇怪吸引予是相空间中的子集合，它的维数不是整数，而 常常是分数维。我们可以通过对奇怪吸引子的分析和描述研究混沌的特性，最 典型的例子即是洛伦兹吸引子。 1 9 6 3 年洛伦兹在著名论文“决定论非周期流”中讨论了天气预报的困难和 西南交通大学硕士研究生学位论文第8 页 大气湍流现象，给出了三个变量的自治方程，即著名的洛伦兹方程【3 】 暖y ， 其中x 表示对流强度，y 表示上升与下降流之间的温差，：表示垂直方向温度分 布的非线性强度，仃，b 是系统的控制参数。当b = 8 3 ，盯= 1 0 时，改变r 可绘出 系统的奇怪吸引子。 圈2 1 洛伦兹吸引子 f i g 2 1 l o r e n za t t r a c t o r 这是一条双螺旋的曲线，当系统热量上升时，使得流体的运动轨道从左侧 外缘进入，由外向内盘绕到中心附近，然后突然随机地跳到右侧的外缘继续向 内盘绕，再突然跳回到左侧外缘。上述过程如此往复，但没有任何周期性，于 是相点行走留下的轨线痕迹形成了一堆无法理清的乱麻，这就是著名的洛伦兹 吸引子。 2 1 3 李雅普诺夫指数 李雅普诺夫指数( l y a p u n o v ) 是系统混沌的定量描述，正的李雅普诺夫指 数是刻画混沌系统的主要特征p 6 】。对于一维映射 “= 厂( 毛) ( 2 - 5 ) 由于一维映射下只有一个拉伸或折叠的方向，因此可以考虑初值和它的近邻 值+ 占而。由映射( 1 - 5 ) 作一次迭代后，这两点之间的距离为 西南交通大学硕士研究生学位论文第9 页 如= f ( x o + a x o ) 一，( 训= 1 d f ( f x o ) 砜 ( 2 6 ) 力次迭代后，这两点之间的距离则变为 氓= 眇( x o + # x o ) 厂( 町( x o ) l = 堑瓴彰 ( 2 - 7 ) 此时说明这两点要以指数分离，这就是敏感的初始条件。上式中a 称为李雅普 诺夫特征指数。 a ：h 璺：三1 i l l 贮划 ( 2 - s ) n d n i d x i 利用复合函数的微分规则，有 堑! ：亟2 ：堑亟2 堑亟! 卫! ( 互i ( 2 9 ) d x出d x出 式中 五= f ( x o ) ，屯= 厂( ) = 厂( 2 ( ) ( 2 1 0 ) 则( 2 8 ) 式变为 或 肚 - i f y l ：阮怫薹b ) | a = 舰i i 萎n - 1 1 1 l 叭_ ) i ( 2 ) 我们可以根据系统的l y a p u n o v 指数是否为正值，来确定系统是否处于混沌 状态。系统l y a p u n o v 指数小于零时，系统处于周期或多倍周期态；当l y a p u n o v 指数大于零时，系统则进入混沌态。 2 1 4 混沌的应用 混沌理论及其应用是当今世界范围内一个极富挑战性、具有巨大前景的前 沿课题和学术热点。它作为数学的一个分支，不但促进了新的数学理论、数值 计算和实验方法的蓬勃发展，而且在计算机景物模拟、虚拟现实、航空航天、 材料科学、力学等领域获得了越来越广泛的应用，显示出巨大的经济效益和优 越性。尤其是混沌保密通讯和分形图象压缩技术，已经开发出了软、硬件产品， 正成为国内外研究的热点。 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 0 页 混沌可应用于保密通讯【3 7 3 9 ，这有其重要的军事背景和潜在的应用价值。 f r e y 采用混沌数字编码的系统进行保密通讯，比连续混沌系统更易于实现，而 且具有更高的保密性。图2 2 是采用混沌编码并复原后的图形。采用混沌编码通 讯的好处就是它具有较高的抗破译能力。 ( a ) 原始图象( b ) 加密后的图象( c ) 解密后的图象 图2 2 应用混沌的图象加密解密过程 f i g 2 2 t h e p r o c e s so fi m a g ec o d i n ga n dd e c o d i n gu s i n gc h a o s 混沌同步是混沌保密通信中的一个关键问题。所谓混沌同步，意即一个系 统的轨道将收敛于另一系统轨迹的同一值，并将一直保持相互步调一致。由于 混沌信号对初值具有极端的敏感性，即初始条件的微小差异会导致两个参数完 全相同的混沌系统的混沌信号产生指数分离，变得互不相关。因此，要完全恢 复同一混沌信号就非常困难。众多学者对混沌同步问题进行了深入的研究，提 出了不少方法【舡4 4 1 。鉴于篇幅，本文不再阐述。 其次，混沌在工程上的应用包括振动控制、非线性电路的镇定、加速溶液 混合和化学反应、提高激光器性能、流体力学、家用电器等。如美国海军研究 实验室的一个研究小组利用混沌跟踪控制法，在激光装置上不仅在很宽的功率 范围维持激光稳定运行，而且惊人地把激光输出功率提高到1 5 倍。 再次，在智能信息处理中的应用。混沌是自律地产生动力学信息的系统， 如果能够使不失去自律性的信息转化为有用的东西，则有可能利用简单器件实 现较复杂的功能。利用具有某些约束的混沌现象为实现诺依曼型搜索给出了重 要的启示。 同时，在模式识别、非线性系统的辨识、医疗和生物、计算机以及社会经 济等方面混沌理论都有其用武之地。 西南交通大学硕士研究生学位论文第”页 2 2 混沌控制 在自然界和人类社会中，混沌现象几乎是无所不在、无处不有。由于它具 有初值敏感性和长时间发展的不可预见性，混沌运动可能导致振荡或无规则运 动，使系统彻底崩溃，因此在许多场合，混沌是一种不期望的现象。在一些复 杂的工业过程中，其动态特性经常显示出一些不可预测的扰动，以前认为这些 是由随机噪声引起的，通常是用统计的方法将其滤掉，但随着混沌理论的产生 和发展，人们认识到这是一种只能控制而不能忽略的扰动现象，因此有必要研 究如何控制混沌。在非线性系统中的混沌控制的主要任务是根据不同学科及领 域的实际需要，从理论和实验两方面研究如何从各种各样的非线性系统所产生 的奇怪吸引子中，按照实际的需要获得所需的各种周期态或非周期态，并能实 现其稳定的、有效的控制。或者说，利用非线性系统，通过某种策略、方法及 途径，获得人们需要的新的动力学行为，从而为众多领域提供应用的原理、方 法和技术基础。 2 2 1 混沌控制的内容 控制混沌的含义非常广泛，一是指改变系统的性态使之呈现或接近呈现混 沌运动，而不需要考虑所得到运动的具体形式；二是指引导问题，在相空间中 将混沌轨道引入事先指定的点或周期性轨道确定的小领域内；三是指跟踪问题， 通过施加控制使受控系统达到了事先给定的周期性动力学行为。而控制混沌的 基本含义则可根据混沌的蝴蝶效应这一特性，对给定的一个混沌吸引子，只要 对系统做小的扰动，就可以得到某个预期的周期行为。 广义地说，控制混沌包括以下四个内容【蚓： 1 1 利用混沌 这里所说的利用混沌是指对某种混沌现象本身并不施加动力学控制作用， 而只是利用它的行为性态达到人们所需要的一定目的。 2 1 创制混沌 这是指通过建立相应的非线性动力学数学模型和物质实验条件，现实地制 造出人们所需要的、有益的或全新的混沌系统的过程。也称混沌反控制或混沌 化，即产生非混沌系统的混沌，或增强原来混沌系统的混沌。 西南交通大学硕士研究生学位论文第12 页 3 )( 狭义的) 控制混沌 就目前研究状况来看，( 狭义的) 控制混沌是控制混沌的主体部分。一般指 根据研究者们事先设定的目标( 如抑制混沌) ，有效地控制所获得的，所需的周 期性动力学行为，包括平衡态、周期运动和准周期运动等，运用适当的控制模 型、控制策略、控制律和控制方法使非线性动态系统的混沌动力学行为转化为 符合设计目标的可控的动力学行为。 4 ) 混沌同步 在上一节的介绍中已经提到，在此不作阐述。 现在，人们对混沌控制的认识，从广义上说是人为并有效地通过某种方法 控制混沌系统，使之发展到实际所需要的状态。为了控制混沌，我们不仅不必 回避系统出现混沌的参数，而且在可能的条件下要人为地将系统参数调到混沌 状态下，并对这种混沌系统建立由微小信号控制的开关系统，使系统在无穷多 规则态的态库中进行自由选择和自由转换，实现灵活并极其丰富的多功能系统。 这时，混沌运动将真正成为具有极大实用潜力的有益的运动形态。 2 2 2 混沌控制方法 在混沌运动的众多特点中，其中三个特点值得特别注意： 1 ) 混沌运动的轨道是非周期轨道，它在变量空间中所占据的轨道范围要 比任何周期轨道大得不可比拟。确切地说，在变量空间中，混沌吸引子的维数 比任何周期吸引子的大，而在混沌运动中系统在混沌吸引子上是各态历经的。 于是，我们就可以在整个混沌吸引子上的范围内来进行控制操作和选择控制目 标态，这便使混沌控制具有很大的灵活性。 2 ) 混沌运动的一个本质特征是对初值的敏感依赖型，任何相邻轨道之间 的距离随时间演化会以指数形式迅速分离，这导致了混沌运动长期行为的不可 预见性。正是这种不稳定运动的特性使得在混沌控制中成为一个重要的优点。 也就是说，只要对系统施加极小的影响就可使系统的运动发生重大变化。这给 人们以启示，有可能在混沌条件下用精心选择的微小信号来灵活而有效地控制 系统的运动状态，这在周期条件下是绝对不可能想像的。 3 ) 混沌运动的内涵极为丰富，这个优点是任何一个周期轨道都无法相比 的。在任何稳定的混沌态中，由于镶嵌着无穷多个周期轨道，所以这些周期轨 西南交通大学硕士研究生学位论文第13 页 道为混沌控制目标态的选择提供了极为丰富的内容。 下面介绍几种混沌控制方法： 1 ) o g y 控制方法 o g y 控制混沌理论【1 8 】是美国m a r y l a n d 大学的o t t e ，g r e b o g ic ，y o r k eja 提出的，他们抓住了一个重要事实，即无穷多不稳定周期轨道稠密地分布于混 沌吸引子闭包上。为此，连续对系统的参数施加含时小扰动，使在无穷多不稳 定周期轨道中所期望的那个不稳定周期轨道稳定化即系统作所要求的有规 律性的周期运动，达到控制混沌的目的。不是产生与己存在的轨道不同的新轨 道，而是利用已存在的不稳定周期轨道，只对系统做小扰动。这就是o g y 方法 的基本思想，它也是第一种比较有效地控制混沌运动的方法。 o p f 技术 o g y 方法适于稳定控制混沌系统中周期较低的轨道，通常只控制到周期1 、 2 、3 ，更高周期的控制也受到方法本身以及其他因素( 如噪声等影响) 丽难以 达到。为了对混沌吸引子中高周期的轨道进行有效控制，1 9 9 1 年美国俄亥俄州 大学物理学家h u n te 提出了o p f 技术( 又称偶然正比反馈技术) 4 5 , 4 6 1 。o p f 技术不仅在小信号微扰时可控制混沌系统中较低的周期轨道，而且通过调整限 制微扰的窗口宽度与反馈信号的增益，还可控制较高的周期轨道。 这种方法在控制低周期的轨道时与0 g y 方法基本相同。0 p f 技术也是基于 在不动点领域内的线性化；在控制高周期轨道时，o p f 法允许有较大的参数变 化，这有可能改变吸引子的结构，被稳定下来的周期轨道不一定都在吸引子上， 这对混沌行为的原来特性有所影响，正是这一点使混沌系统更有希望被稳定下 来。0 p f 技术比较适用于对控制很复杂的、不知其机制的系统，因此它广泛地 应用于实际系统中。 3 1连续变量反馈控制法 o g y 与o p f 两种方法只局限于离散系统的混沌控制，而且还要预先计算出 相关的参数范围。因此，这两种方法的有效性范围受到了挑战。为了克服上述 困难，1 9 9 3 年p y r a g a sk 提出了对非线性连续系统的混沌控制方法，包括两种： 外力反馈控制法及延迟自反馈控制法1 4 7 。其基本思想都是考虑到非线性混沌系 统的输出信号与输入信号之间的自反馈。其中外力反馈控制法是从系统外部强 西南交通大学硕士研究生学位论文第1 4 页 迫输入一定的周期信号，延迟自反馈控制法是直接把系统本身的输出信号取出 一部分并经过一段时间延迟后再反馈到混沌系统中去。这两种方法均可实现混 沌系统中的周期信号的连续控制，而且这两种控制法可以在系统状态处于任何 时候都可以开始控制，控制信号的大小也不受限制。 另外，还有自适应控制法【4 引、混沌中非周期轨道的控制法f 4 们、参数共振微 扰法【剐及传输、迁移控制法【5 l 捌等。显然，针对不同的目标，混沌控制采取不 同的策略和方法，这种控制方法的多样性也正是由混沌的不同特性所决定的。 下面，我们将着重探讨针对b r a g g 声光双稳系统的混沌态进行的混沌控制。 西南交通大学硕士研究生学位论文第15 页 第3 章外部微扰反馈对b r a g g 声光 双稳系统混沌的控制 目前存在着许多混沌控制的方法，总体上可分为反馈控制和非反馈控制两 大类。反馈控制又分为连续的反馈和间隙的反馈两种方式。一般来讲，反馈控 制多以原系统的固有态为控制的目标态。所以，反馈控制可以保留系统原有的 动力学性质，并且通常只需要较小的控制信号就可以达到预期目的。这在一些 实际系统中是比较受欢迎的。由于混沌运动具有各态历经的性质，系统总会或 迟或早运行到目标轨道附近，这样，目标轨道的局域稳定性就能够保证控制的 成功。因此，本文选择了反馈法来对b r a g g 声光双稳系统的混沌进行控制。首 先将对该系统作一简单的介绍。 3 1 光学双稳态 光学双稳态是指某种装置的光强发生非线性光学变化，对应某一输入光强， 存在着两个稳定的光强输出的现象。具体地说，就是以一定光强的激光作为输 入。经过某种系统透射出的光强有两个稳定状态，而且这两个状态之间可以用 光信号使之瞬间转换，这就是光学双稳态，这种系统称为光学双稳态系统【5 ”。 根据反馈方式的不同，可将光学双稳态系统分为两大类：一类是全光学型 的，也有称纯光学型的，用法布里伯罗标准具的反射镜实现纯光学反馈；另 一类是混合型的，例如电一光混合型，用光电探测器将光信号转变为电信号， 再加到光学双稳态系统的电一光元件上，实现混合反馈。全光学型光学双稳态 系统一般要求入射光信号强，对激光的波长有一定选择。混合型光学双稳态系 统，则克服了这些限制。此外，混合型光学双稳态系统反馈的是外来电信号， 可不需要法布里伯洛腔进行反馈。这样，对输入光的相干性要求较低，可使 用一般光源的非相干光。所以，混合型光学双稳态系统非常简便。一般情况下 是通过光与二能级原子相互作用的平均场理论方程，分析光学双稳态现象。 光学双稳态系统是一个远离平衡态的系统。随着入射光强度增加到某一临 界值后，光学双稳态系统可能出现以下三种情况：系统出现定态双稳性，系统 从原来的稳态跃迁到新的稳态：系统出现不稳定性，输出的光强随时间周期性 变化，即出现自脉冲；系统按一定途径进入混沌。 西南交通大学硕士研究生学位论文第16 页 1 9 7 9 年池田建立了描写光学双稳态不稳定性和混沌的延时方程，现称为池 田方程。1 9 8 1 年吉布斯等人按照池田方程的理论预言，在电一光混合光学双稳 态