（基础数学专业论文）在一定条件下同阶子群的个数对有限群结构的影响.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 在一定条件下同阶子群的个数对有限群结构的影响 基础数学专业硕士研究生陈彦恒 指导教师陈贵云教授曹洪平副教授 摘要 p 一群的计数问题是关于有限p 一群各种类型的子群，元素或子集的个数的结 果反过来，由p 一群子群的个数条件推出群本身的性质或结构也是p 一群计数问 题的重要课题本文就此两个方面展开研究首先，作者计算出了具有循环极大子 群的p 一群和( 2 严，p m ) 型交换p 一群的各阶子群的个数，然后在此基础上确定了各 阶非平凡子群个数为p + 1 的有限p 一群的完全分类，进而利用各阶循环子群个数 对q 严，m ) 型交换p 一群进行了刻画另外，作者还在给定同阶子群个数3 的条 件下，讨论了有限群的性质和结构，给出了完全分类，值得说明的是此讨论没有把 讨论的范围仅限于p 一群 本文的主要结论如下： 定理2 1 设g 是有循环极大子群的p 一群 ( 1 ) 若g 是( i ) 类型群，则钆( g ) = 1 ，其中七= o ，1 ，n ( 2 ) 若g 是( 1 i ) ，( i i i ) ，或( v i ) 类型群，则钆( g ) 2t 二1 七二l 2 一_ 1 ( 3 ) 若g 是( i v ) ，( v ) ，或( i ) 类型群，则乳( g ) 2t ：4 + l 1 七- 2 3 ，n - 1 特别的，对( ) 类型群，8 1 ( g ) = 1 ；对( v ) 类型群，5 l ( g ) = 2 ”1 + 1 ；对 ( v i i ) 类型群，s 1 ( g ) = 2 n _ 2 + 1 定理2 2 设g 是有限p 一群若g 的各阶非平凡子群的个数为p + 1 ，则g 只 能为( i i ) ，( i i i ) ，或( v i ) 类型群 注，1 、具有循环极大子群的p 一群共有七类，分别记为( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ，( i v ) ，( v ) ，( v i ) ，( v i i ) 类型群，见文献 1 8 】 2 、( g ) 表示有限群g 的同阶子群个数的集合 西南大学硕士学位论文中文摘要 定理3 1 设g 是( 矿，p m ) 型交换p 一群，其中竹l n 则群g 的矿阶子群的 个数为t i l ，= o ， 仇+ n 引耻体= o 嚣岽嚣 【矿时n 一七十矿押一七一1 + + p + 1 ， n 七 m + 祀 定理3 2 设g 为交换群，且l g i = 矿棚， l 佗若 f 一o ( g ) ： 矿+ 矿， 1 七m i 矿，m “亿 【o ， n 七仇+ n 则g 是( p n ，矿) 型交换p 一群 定理4 1 设g 是有限群( g ) = 1 ) 当且仅当g 为循环群 定理4 2 设g 是有限群若( g ) = ( 1 ，2 ，则g 不存在 定理4 3 设g 是有限群，且( g ) = 1 ，3 ( 1 ) 如果g 为p 一群，i g i = 矿，n 2 ，那么g 是仇，或者是以下两类型群： i ) ( 2 ”1 ，2 ) 型交换2 一群； i i ) 半广义四元数群，g = ，佗4 ，定义关系为， 口2 ，l = l ，6 2 = 1 ，6 1 0 6 = 口1 + 2 ( 2 ) 如果g 为非p 一群，那么 i ) 若g 的所有s y l o w 子群都正规，则g 是以下三个类型群t ( i ) 钒 ，2 十d ( 口) ； ( i i ) p ，2 t o ( u ) ，p 为( 2 扣1 ，2 ) 型交换2 一群； 汹) p ，2 t d ( u ) ，p 为半广义四元数群 i i ) 若g 有非正规的s y l o w 子群，则g = ( p 只) ，p = ，只= ，d ( 口) = 2 n ，n 1 ，d ( 6 ) = 3 ，2 十d ( t 正) ，3 十d ( 让) 西南大学硕士学位论文 中文摘要 推论1 设g 是有限p 一群若( g ) = 1 ，p + 1 ，则g 只能为q 8 ，( i i ) ，( i i i ) 或( v i ) 类型群 定理4 4 设g 是有限群若( g ) = 1 ，2 ，3 ) ，则g 不存在 关键词：p 一群子群的个数循环极大子群完全分类 西南大学硕士学位论文 英文摘要 t h ei n n u e n c eo nt h es t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u pt yt h e 姗m b e ro fs u b g r o u p s w i t l l t h es 锄eo d e ri i ia f i n i t eg r o u pu n d e rac e r t a j nc 9 n d i t i o n m a j o r ：p em a t h e m a t i 眦o r ：p r o f g u i y ic h e np r o f h o n g p i n gc a 0 a u t h o r ：c h e ny h l l e n g a b s t r a c t t h en u m b e rq ：u e 8 t i o no fp g r o u pi sa b o u tt h en u m b e ro fe a u c ht y p e8 u b g r o u p ，e l e m e n to rs u b s e ti na 缸i t e 铲0 u 【p i t 1 1 r n ，t h es t m 曲叮ea n dp r o p e r t i 皤o fp g r o u p 【e t e n i l i n e db yt h em l n l _ b e ro fe 旋ht y p es u b 簪0 u p s 脚ea l s ot h ei m p e r t a n tt o p i c 8o f t h en l 加曲e rq u e s 屯i o no fp g r o u p t 1 1 i s 甜t i c l es t a r t ss t u d y i n gf o mt h 鹤et w o 嬲p e c t s f i r s t ，w ec d c u l a t et h e 姗b e ro fs u b g r o u p so fe a c ho r d e r0 fp g r o u p 祈t hc i r c l e m a x i m m8 u b g r o u p ，o r 扩，尹一) t y p e ，t h e nb a s e0 nt h 鹤e ，w eg e tt h ec o m p l e t ec l 鸽f i c a t i o n o fp 一目o u pw i t hp + 1n o n t r i 、，a ls u b g r o u p so fe a c ho r d e ra n dan e wc h a r a c t e r i a t i o no f 0 严，矿) t y p ep g r o u p 硝t ht h en u l b e ro fc i r c l es u b 擎o u p so fe a c ho r d e r i na d d i t i o n ，w ea l s o 百v eo u tt h ec o m p l e t ec l a 蹈f i c a t i o no ft h ef i n i t e 黟o u p 埘t ht h e u m b e ro f t h es 锄皿eo r d e rs u b g r o u p s 3 w b r t b yo fn o t e ，t h i sd i s c u s s i o ni 8n o to 【d yl i m i t e di i l p g 工o u p w bg e tt h ef o u a 研，i n gt h e o r e 瑚： t h e o r e m2 1l e tgb ea 矗n i t ep g r o u p 丽t hm a x i m a ld r c i e8 u b g r o u p t h e n 【1 ) i fgi s ( i ) t y p e 口0 u p ，t h e n 乳( g ) = 1 丽t h 七= 0 ，l ，n ，1 t = o n ( 2 ) i fgi 8 ( i i ) ，( i i i ) ，o r ( ) t y p eg r o u p ， t h e ns 七( g ) 2t 二1 ， 七二l 加，：_ 1 ( 3 ) i fgi s ( ) ( v ) ，o r ( i ) t 冲eg r o u p ，t h e n ( g ) 2i 扣一，七咄3 ，胪1 p e c i a u y ，s l ( g ) = 1f o r ( i v ) t y p e 窟即l u pl8 l ( g ) = 2 n 一1 + 1f o r ( v ) t y p e f o u p ；s 1 ( g ) = 沙一2 + 1f o r ( i ) t y p ef o u p t h e o r e m2 2l e tgb ea 丘i l i t ep 一蓼o u p t h e 加l b e ro fn o m v a ls l l b 口o u p 8 l v 西南大学硕士学位论文英文摘要 i 1 ，= o ， m + 佗 引印仨= o 絮法 lp ，时n 一+ 矿一知一1 + + p + 1 ， n 七 m + 他 。g ，： 三- 三七兰? 仇 【o ， n 4p 1 ) ，p = ，p l = ，d ( a ) = 2 n ，n 1 ，d ( 6 ) = 3 ，2 十d ( 仳) ，3 f d ( t 正) c o r o u a r y1 l e tgb eaf i n i t ep g r o u p i f ( g ) = 1 ，p + 1 ) ，t h e ng i so n b r q 8 ，( i i ) ，( i i i ) ，o r ( ) t h e o r e m4 4l e tgb eaf i i l i t eg r o u p i f ( g ) = 1 ，2 ，3 ，t h e n gi sn o te x i s t k e yw o r i s ：p g r o u p t h e 肌皿【b e ro f8 u b g r o u pc i r c l em a 菇m a js u b g r o u p c o 功【p l e t ec l a s s 6 c a 土i o n 独创性声明 学位论文题目：查二宝釜往王回险壬叠鲍仝熬殖查腿登结抱的墅煎 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：际季性 签字日期： 砂戽r 月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：囱不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名： 签字日期：枷年 导师签名： 期日 签字日期：孵j 1 咖 西南大学硕士学位论文 引言 1引言 各阶子群的个数是有限群十分重要的数量特征，无论是从已知大群来计算它的 各阶子群的个数，还是从利用各阶子群个数的数量特征来确定大群的结构和性质 计算有限群的各阶子群个数这方面的课题尤其体现在p 一群的计数定理上所谓 p 一群的计数定理是指关于有限p 一群各种类型子群，元素或子集的个数在上世纪四 十年代以前，已经出现了若干重要的p 一群计数定理，它们主要是g a m i l l e r ，p h a u 等人的工作，可见文献【1 3 】从上世纪四十年代到七十年代。当时群论学家主要从 事的工作足对上述经典计数定理的推广，见文献【4 1 0 】值得一说的尾，在这个时 期我国数学家华罗庚和段学复在p 一群的计数定理方面进行了引人注目的工作，并 得到了一系列的新的结果，可见文献【4 7 】其后很多群论学家致力于在给定类型的 有限p 一群中寻求给定类型子群的个数公式，见文献【1 1 一1 3 】作者继续了这一方面 的工作。得出具有循环极大子群的p 一群和( 2 ，n ，p ”) 型交换p 一群的各阶子群的个数 公式 用各阶子群的个数的数量特征来刻画有限群的结构和性质这方面的课题主要体 现在利用特殊子群的个数对群结构的刻画例如极小子群的个数，极大子群的个数 等等，见文献【1 4 1 7 】作者在这方面也做了一些工作，首先给出了各阶非平凡子群 个数为p + 1 的p 一群的完群分类；其次利用各阶循环子群个数对( 矿，p ”) 型交换 p 一群进行了刻画；最后又对同阶子群个数3 的有限群进行了完全分类 本文的主要结论如下 定理2 1 设g 是有循环极大子群的p 一群 ( 1 ) 若g 是( i ) 类型群，则双( g ) = 1 ，其中后= o ，1 ，n ( 2 ) 若g 是( i i ) ，( i i i ) ( ) 类型群，则钆( g ) 2t 升l ，妊1 t 2 喁1 ( 3 ) 若g 是( i v ) ，( v ) ，( v i i ) 类型群，则s 七( g ) 2t 三：i 一。+ 1 蠹- 2 3 胪1 特别的，对( ) 类型群，s l ( g ) = 1 ；对( v ) 类型群，s l ( g ) = 2 俨1 + 1 ；对 ( i ) 类型群，s l ( g ) = 2 t i - 2 + 1 定理2 2 设g 是有限p 一群若g 的各阶非平凡子群的个数为p + 1 ，则g 只 能为( i i ) ，( i i i ) ，或( ) 类型群 1 西南大学硕士学位论文 引言 定理3 1 设g 是，矿) 型交换p 一群，其中m ，1 则群g 的矿阶子群的 个数为； i 1 ，七= o ，m + 亿 嘣叫：嚣鼍掣意兰器 i p m + n 一+ 矿+ n 一七一1 + + p + 1 ， 竹 七 m + n 定理3 2 设g 为交换群，且i g i = 矿+ m ，m 住若 i l ， 七= o 强( g ) ： 矿+ 矿， 七s m ip m ，m 七亿 l o ，仃 3 时，g 恰有一个循环极大子群和两个非循环极大子群 证明当n = 3 时，( ) 类型群g 是四元数群q 8 ，易验证它的极大子群为( o ) ， ( 6 ) ，( k ) ，即三个4 阶循环群 ( v ) 类型群g 是二面体群d 8 ，也易验证它的极大子 群为( n ) ，( 口2 ) ( 6 ) ，( 矿) ( k ) ，对此显然命题成立当n 4 时，由( ) ，( v ) ，( v i i ) 类型群的定义关系式知。 d ( g ) = 2 ，于是s n l ( g ) = 巴高一1 】2 = 2 】2 = 3 ，即g 恰 有3 个极大子群又由引理2 1 ，垂( g ) = g 2 知，对( v ) ，( i ) 类型群西( g ) = g 2 = ( 口2 ，6 2 ) = ( n 2 ) ；对( i v ) 类型群垂( g ) = g 2 = ( 口2 ，6 2 ) = ( 口2 ，口2 2 ) = ( n 2 ) ，于是g 的 极大子群有循环极大子群，从而g 的3 个极大子群必在上述七种类型群中，故可验 证t 对( i v ) 类型群来说，g 的极大子群分别为 ( 口) ； ( n 2 ，”，有定义关系。口2 n = 1 ，6 2 = n 护，6 1 口2 6 = 口一2 ； ( 口2 ，6 口) ，有定义关系，口2 n = 1 ，( 乩) 2 = 矿，( 6 0 ) 一1 0 2 ( 6 口) = 口 对( v ) 类型群来说，g 的极大子群分别为 ( 口) ； ( 0 2 ，6 ) ，有定义关系，口哥皇l ，6 2 = 1 ，6 1 口2 6 = o 一2 ； ( 口2 ，6 口) ，有定义关系矿= 1 ，( k ) 2 = 1 ，( k ) 一1 n 2 ( 沈) = o 对( i ) 类型群来说，g 的极大子群分别为 ( 口) ； ( 0 2 ，酚，有定义关系t n 2 n 一= 1 ，6 2 = 1 ，6 1 0 2 6 = 口一2 ； ( a 2 ，k ) ，有定义关系 x 西南大学硕士学位论文同阶非平凡子群的个数为p + 1 的p 一群的完全分类 为( 0 2 饨_ 2 ) 和( k ) ( 1 = o ，1 ，2 ，2 ”一1 ) ，故s 1 ( g ) = 2 ，l 一1 + 1 对( i ) 类型群，t 为偶数时，( 口铲1 3 ) ( 掰) 的2 阶子群为( a 护以) ，( 掰) 和( 耐+ 2 ”3 ) ，其中z = 勿， j = 0 ，l ，2 ，2 n 一3 ；i 为奇数时，由于( 6 0 ) 2 = 6 2 6 一l 6 口= 6 2 n ( 一1 + 2 2 ) “= o 泸一= n ( 知+ 1 ) 2 2 = n 2 ”2 ( s 为正整数) ，因此它们的2 阶子群只有一个，即为 ( c l 2 2 ) ，故8 1 ( g ) = 2 “一2 + 1 我们从定理2 1 的结果看到( i i ) ，( i i i ) ，( ) 类型群的各阶非平凡子群的个 数为p + 1 个，以至于我们要问各阶非平凡子群的个数为p + 1 的p 一群会不会就是 上面三种类型呢? 答案是肯定的，有结论如下。 定理2 2 设g 是有限p 一群若g 的各阶非平凡子群的个数为p + 1 ，则g 只 能为( i i ) ，( i i i ) ，或( ) 类型群 证明设f g f = 矿，n 2 由于s n 一，( g ) = p + 1 ，又因s n 一( g ) = 巴 昌一。 p = d ( 回- 1 p = g ) 一l + + p + 1 ，故d ( g ) = 2 ，且i g 西( g ) l = ( g ) = 矿，于是i 雪( g ) i = 矿设r 是由g 的所有阶为矿- 2 的子群组成的集合，由题设知i r i = 8 n 一2 ( g ) = 1 或p + l ，且显然 圣( g ) r 下面分别来讨论； 当s n 一2 ( g ) = 1 时，则圣( g ) 是g 的唯一的矿_ 2 阶子群由于群g 的各阶非平 凡子群的个数为p + 1 ，所以西( g ) = 1 又由于d ( g ) = 2 ，于是i g l = 矿，g 为囟，p ) 型交换p 一群 当s n 一2 ( g ) = p + 1 时，知n 3 对于集合r ，由引理2 4 ，得到， 8 n 一2 ( g ) = 知一2 ( m ) 一ps n 一2 ( 西( g ) ) m s 1 即zs n 一2 ( m ) = s n 一2 ( g ) + p8 n 一2 ( 西( g ) ) = p + 1 + p = 2 p + 1 ，其中岛是 g 的极大子群的集合由此知存在某个m 岛，使s ，2 ( m ) = 1 否则，若对每个 m s l 都有s n 一2 ( m ) 2 ，则8 。一2 ( m ) 2 加+ 1 ) 2 p + 1 ，矛盾再由引 肘研 理2 5 知，这个m 必为循环群，即g 有循环极大子群，从而由定理2 1 知，g 只 能为( i i ) m 3 ) ，( i i i ) 或( ) 类型群综上，知定理是成立的 9 西南大学硕士学位论文 同阶循环子群的个数对( 矿，矿n ) 型交换p 一群的刻画 为矿+ 矿个；如孚，p 争) 型交换子群的个数为p + 1 个故当m 譬时， s 七( g ) = 矿+ 矿二_ 1 + + p 2 饥一詹+ 1 + p 2 m 一摩+ p 2 m 一七一1 十+ 矿+ 矿+ p + 1 若ms 生时，g 的矿阶子群有矿阶循环群，( 矿，力型交换群，( p b 2 ，矿) 型交换群， ，( 矿一”+ 1 ，矿- 1 ) 型交换群，扩一m ，p m ) 型交换群构成同样用上 面方法可证g 的矿阶循环子群的个数为p m 个；铲，p ) 型交换子群的个数为 矿1 个；( 矿，矿) 型交换子群的个数为矿_ 2 个；扩一m + 1 ，p m 1 ) 型交换 子群的个数为p 个；铲一m ，矿) 型交换子群的个数为1 个故当m 譬时， s 耘( g ) = 矿+ 矿_ 1 + + 矿+ p + l ，于是当为奇数时，g 的矿阶子群个数为 船( g ) = 矿+ 矿一1 + + p + 1 个 练上，当m 七n 时，g 的矿阶子群个数为s 七( g ) = 矿+ 矿- 1 + + p + 1 个 ( 3 ) 对任意的整数南，强 冬时，舰( g ) = 矿+ m 矗十矿+ 咿杠1 + + 矿珏 + 1 + p o + 矿仇一七一1 + + 矿+ p + 1 若m 喜时，g 的矿阶子群有( 矿，矿”) 型交换群，( 矿，矿n + 1 ) 型交换群， ，( 矿一m + 1 ，m - 1 ) 型交换群，( 矿一m ，p m ) 型交换群构成也同样按照上面证明方法 可证g 的杪，矿 ) 型交换子群个数为矿+ 仇“个；( 矿，矿“+ 1 ) 型交换子群的个 数为矿+ 佩_ 1 个；秒一州1 ，p 仃。- 1 ) 型交换子群的个数为p 个；( 矿一仍，矿) 蛩交 换子群个数是1 个故当m 冬时，乳( g ) = 矿+ m o + 矿+ m 础。+ + p + 1 于是当 七为偶数时，g 的矿阶子群个数为乳( g ) = 矿+ m + 矿十m 1 + 十p + 1 个若七 为奇数，同理也可证g 的矿阶子群的个数为舰( g ) = 矿+ m “+ 矿+ m - 1 + + p + 1 1 4 西南大学硕士学位论文 同阶循环子群的个数对( 矿，p 竹1 ) 型交换p 一群的刻画 个 综上，当死 七 1 ，所以g 中存在矿阶元口考虑。的中心化子c g ( 口) 设c g ( 口) = 日 ，则c i g ( n ) 与g 有相同的矿阶循环子群，即 c n ( 嘶) ) - 郴) = 矿= 帮 ，从而日为g 的m 阶子群，于是i c r g ( 口) l = 1 日l i i = p m + n ，又c ，g ( 口) g ， 所以g = c g ( o ) = 日 下面证明日为p m 阶循环群如果日不为循环群， 也即日没有p m 阶元，那么 。 ( g ) = 黔宁= 矧= p m 矿+ 矿1 ，矛盾故日为矿阶循环群，记日= ，o ( 6 ) = 矿于是g = ，o ( 口) = 矿，o ( 6 ) = 矿故g 为杪，矿) 型交换p 一群 1 5 m 一 m 后 一 鲥m 叶 二| 一 m 后 一 m ， 2 时，s 2 ( g ) = 1 ，由引理2 5 知，g 为循环群g 为非p 一群，则g 的所有s y l o w 子群都正规，并且从上面证明知道它们都足循环的，由引理4 1 知g 是循环群 充分性的证明t 因为g 为循环群，所以g 的各阶子群都是唯一的。也即( g ) = 1 ) 定理4 2 设g 是有限群若( g ) = 1 ，2 ) ，则g 不存在 证明若g 为p 一群，i g i = 矿，n 1 ，则对任意整数七，1 后 七2 ，s 七( g ) = 1 ，由引理2 5 知g 为循环群，即有 ( g ) = ( 1 ) ，矛盾 ( i i i ) 若g 的各阶非平凡子群个数都是3 ，则由第1 节的定理2 2 知，g 为下面 的两类型群： i ) ( 2 铲1 ，2 ) 型交换2 一群； i i ) 半广义四元数群tg = ，佗4 ，定义关系： o 哥= 1 ，6 2 = 1 ，6 1 0 6 ：口l + 2 ” ( 2 ) g 为非一p 群，下面分两种情形证明； i ) 若g 的所有s y l i d w 子群都是正规子群，则g 必存在某个s y l o w 子群不循环 ( 否则由引理4 1 知，g 为循环群，矛盾) 不妨记此s y l o w 子群为p ，l p i = 矿，n 1 于是对某个正整数七，1 七 口t ，p 为g 的个s y l o w2 一子群，t = 只恳b ，1 ，只为g 的s y l a wp i 一子群，鼽为奇素数，i = 1 ，2 ，t ，记只为g 的s y l o w3 一子群假设p 非平凡的作用于p 1 ，恳，则 = p ) 日只， = p ) 口马分别有3 个s y l o w 2 一子群，即有礼2 ( p 只) = 3 ，耽( p x 马) = 3 由引理4 2 知，3ii p 日马i ，3ii p 日局i 即31 1 只i ，3i i b i 故p l ，b 都是g 的s y l o w3 一子群，矛盾于是p 仅非平凡地 作用于只，平凡的作用于b ，只，即有g = ( p 只) 岛最 下面考察p ) a 只的结构如果证明了( p p 1 ) = 1 ，3 ) ，也就证明了该命题 不妨设g = p 只，p = ，尸l = ，d ( 口) = 2 n ，d ( 6 ) = 3 m ，礼，m 1 因为只 是g 的正规子群，故有o 1 沈= 6 r ，且r 1 ( m 甜3 m ) ( 否则p 也是g 的正规子群) ， 又因为n 2 ( g ) = 3 ，所以l g ：g ( p ) i = 3 ，故l 小略( p ) i = 2 “3 m 计算比较l 小，g ( p ) i 的子群的阶知道，g ( 尸) = p 证明m = 1 若m 1 ，则6 3 = 口一1 6 3 口= ( n 一1 乩) 3 ，即6 3 ( r - 1 ) = 1 ，进而 ，兰1 ( m o d3 m _ 1 ) 再由引理4 5 知，( ( r 1 ) 2 n ，( 3 m ) ) = 1 ，从而m = l ，矛盾故 m = 1 证明，= 一1 因为r 1 ( m d d3 m ) ，所以r 兰o 或者一1 ( m d d3 m ) 若r 三 o ( m 砌护) ，则a - 1 k = 6 r = 1 ，矛盾于是r 三一1 ( m o d3 m ) ，可取r = 一1 因此g = ，仃1 由引理4 6 知，g 为 内循环群又因为o ( 口2 6 ) = 2 铲1 3 ，o ( q ) = o ( n 6 2 ) = o ( 0 6 ) = 2 忭，所以它的极大子群为 ， ， ， ，而( 口6 2 ) 2 = ( 口6 ) 2 = 矿，故西( g ) = ，从而它 】9 西南大学硕士学位论文 同阶子群个数3 的有限群的完全分类 的子群格为： 推论1 设g 是有限p 一群若( g ) = 1 ，p + 1 ) ，则g 只能为q 8 ，( i i ) ，( i i i ) 或( v i ) 类型群 证明下面分三种情形给予证明， ( i ) 若s l ( g ) = 1 ，由引理4 3 知，g 为循环群或广义四元数群因为g 存在矿 阶子群个数为p + 1 ，所以g 不可能为循环群，于是g 只能为广义四元数，但据的第 1 节定理2 1 知，g 只能是q 8 ( i i ) 若七为正整数，n 南2 ，s 七( g ) = 1 ，由引理2 5 知g 为循环群，即有 ( g ) = 1 ，矛盾 ( i i i ) 若g 的各阶非平凡子群的个数都是p + 1 ，则由第1 节的定理2 2 知，g 为( i i ) ，( i i i ) 或( ) 类型群 综上，定理是正确的 定理4 4 设g 是有限群若( g ) = 1 ，2 ，3 ) ，则g 不存在 证明下面分两步证明t ( 1 ) 若g 为p 一群，记i g l = 矿，n l ，则对某个整数1 七 死，有乳( g ) = 2 ， 再由引理4 4 ，s 七( g ) = 2 兰1 ( m o dp ) ，这样的素数p 是不存在的，矛盾 ( 2 ) 若g 为非p 一群，则 西南大学硕士学位论文同阶子群个数3 的有限群的完全分类 ( i ) 如果g 的所有s y k l w 子群都是g 的正规子群，那么对g 的任一s y l o w 子 群。不妨设为p ，l p l = p n ，礼l ，由( 1 ) 知。g 不存在两个矿阶子群，那么p 的各 阶非平凡子群个数要么为1 ，要么为3 由定理4 3 ( 2 ) ( i ) 的证明过程及结论知，这样 的群g 是不存在同阶的子群个数为2 的情形 ( i i ) 如果g 存在非正规的s y l a w 子群p ，i p i = 矿，n 1 ，则唧= 2 ，或者3 若 唧= 2 ，由引理4 2 知，这对任何素数p 都是不可能的因此唧= 3 ，再由引理4 2 知，p = 2 ，也即仅有g 的s y l0 _ 2 一子群不正规，其他的子群都是正规的由定理 4 3 ( 2 ) ( i i ) 的证明过程及结果知， g 中不存在同阶子群个数为2 的情形 2 1 西南大学硕士学位论文 问题与思考 问题与思考 问题1 在定理4 2 ，定理4 3 中，我们确定了( g ) = 1 ，2 ) ，( g ) = 1 ，3 ) 的有 限群g 的完全分类，是否能确定( g ) = 1 ，p ) 0 是素数) 的有限群的完全分类? 问题2 在定理4 2 ，定理4 4 中，我们证明了( g ) = 1 ，2 ) ，( g ) = t 1 ，2 ，3 ) 的 有限群不存在，并且在证明过程中发现致使有限群g 不存在的原因是集合( g ) 中 2 这个元素。所以我们有理由提出这样的猜想：若有限群g 有七阶子群，则g 的后 阶子群个数2 关于这个猜想作者已经做了部分工作，限于篇幅，不在赘述 问题3 在第4 节中，我们讨论了同阶子群个数3 的情形，能否把同阶子群个 数的上界选的更大一些，讨论这些群的结构和性质，确定它们的完全分类 问题4 在第4 节的推论1 中，我们确定了( g ) = 1 ，p + 1 的有限p 一群的 完群分类，能否在g 为非p 一群的条件下，来确定g 的完群分类 西南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 【l 】h u p p e r tb ，e i l d l i c h eg r u p p e ni ，s p r i n g e r - 、，矗l a g ，1 9 6 7 【2 】h a l lp ，p r o c l 0 n d o nm a t h s o c ，3 6 ( 1 9 3 4 ) ，舡9 5 【3 】k u l a k o f fa ，m a t h a 衄1 0 4 ( 1 9 3 1 ) ，7 7 8 - 7 9 3 【4 】华罗庚( h u al o 伊k e n g ) s d r