（基础数学专业论文）算子空间和算子三元环的自由积.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 算子空间和算子三元环的自由积 摘要 一代数和v o l ln c u m a n n 代数的自由积理论已成为算子代数理论的重要研 究对象之一早在1 9 7 3 年，c h i n gw m 引入了v o l ln c u m a n n 代数的自由积的 概念后来，v o i c u l c s c u 和a v i t z o u r 分别独立地定义了c + 一代数的自由积之 后，人们对算子代数自由积理论进行了大量的研究，得到了许多重要的结果最近， g a om i n g c h u 首次将自由积的概念扩展到了算子空间和算子三元环( t c r n a r yr i n g o fo p e r a t o r s ，简记作t r o ) 上，构造了两种算子空间的自由积：算子空间全自由 积和算子空间约化自由积，还构造了一种算子三元环的自由积：t r o - 自由积本 文将在此基础上继续研究算子空间和算子三元环的自由积，引入一些新的概念，给 出一些新的构造，并且研究这些构造所具有的性质 全文分两章 第一章主要研究算子空间的自由积利用算子空间的自由c + 一代数的泛自 由积，本章引入了算子空间泛自由积的定义，给出了它的个构造，证明了这种构 造的确具有“泛性质，并且该构造不依赖于原算子空间的表示；此外，本章还证明 了两个算子空间的泛自由积的自由一代数木一同构于这两个算子空间的自由 驴一代数的泛自由积 第二章主要研究算子三元环的自由积利用算子三元环的连接伊一代数的 泛自由积，本章引入了算子三元环泛自由积( t r o 一泛自由积) 的定义，给出了 它的一个构造，证明了这种构造的确具有“泛性质，并且该构造不依赖于原算子 三元环的表示，同时证明了两个算子三元环的t r o 一泛自由积的连接伊一代数 木一同构于这两个算子三元环的连接c 一代数的泛自由积另外，受一代数全 融合自由积概念的启发，利用算子三元环的连接c 。一代数的全融合自由积，本章 把全融合自由积的概念扩展到了算子三元环上，引入了算子三元环全融合自由积 ( t r o 一全融合自由积) 的定义，给出了它的一个构造，证明了这种构造的确具有 曲阜师范大学硕士学位论文 “泛性质，并且证明了两个算子三元环的t r o 一全融合自由积的连接驴一代数 木一同构于这两个算子三元环的连接口一代数的全融合自由积 关键词 伊一代数算子空间算子三元环泛自由积全融合自由积t r o 一 同态木一同态 曲阜师范大学硕士学位论文 o ns o m ef r e ep r o d u c t so fo p e r a t o rs p a c e sa n d t e r n a r yr i n g so fo p e r a t o r s a b s t r a c t t h ef r e cp r o d u c tt h e o r yo ft h ec - a l g e b r a sa n dv o nn c u m a n na l g e b r a sh a s b e c o m eo n eo ft h ei m p o r t a n tr e s e a r c hs u b j e c t si nt h et h e o r yo fo p e r a t o ra l g e b r a s t h ef r e ep r o d u c t so fv o nn e u m a n na l g e b r a sw a si n t r o d u c c mb yw m c h i n gi n 1 9 7 3 l a t e r ，i tw a sg e n e r a l i z e di n d e p e n d e n t l yt oc - a l g e b r a sb yv o i c u l c s c ua n d a v i t z o u r s i n c ct h e n ，p l e n t yo fw o r kh a db c c nd o n e r c c c n t l y , t h ec o n c e p to f f r c cp r o d u c t sw a sg e n e r a l i z c lt oo p e r a t o rs p a c e sa n d t c r n a r yt i n g so fo p e r a t o r s ( o r s i m p l yt r o ) f o rt h ef i r s tt i m eb ym i n g c h ug a o ，w h og a v et h ef u l lf r c cp r o d u c t c o n s t r u c t i o na n dt h er e d u c e df r c cp r o d u c tc o n s t r u c t i o nf o ro p e r a t o rs p a c e s ，a n d g a v et h et r o - f r e ep r o d u c tc o n s t r u c t i o nf o rt e r n a r yr i n g so fo p e r a t o r s t h i s t h c s i si sd e v o t e dt os t u d yt h ef r c cp r o d u c t so fo p e r a t o rs p a c c 强a n dt e r n a r yr i n g s o fo p e r a t o r s i tc o n s i s t so ft w oc h a p t e r s i nc h a p t c z1 ，w cm a i n l ys t u d yt h ef r c cp r o d u c t so fo p e r a t o rs p a c e s u s i n gt h e u n i v e r s a lf r c cp r o d u c to ft h cf r c cc - a l g e b r a so fo p e r a t o rs p a c e s ，w ei n t r o d u c et h e d e f i n i t i o no fu n i v e r s a lf r e ep r o d u c to fo p e r a t o rs p a c e sa n dg i v ei t sc o n s t r u c t i o n ， a n dt h e ns h o wt h a t ，l i k et h eu n i v e r s a lf r c cp r o d u c t so fc 木一a l g e b r a s ，t h ef r c c p r o d u c to fo p e r a t o rs p a c e sa l s os a t i s f i e st h eu n i v e r s a lp r o p e r t ya n di si n d e p e n d e n t o ft h er e p r e s e n t a t i o n so ft h eo r i g i n a lo p e r a t o rs p a c e s w ca l s os h o wt h a tt h ef r c c 。c + 一a l g e b r ao ft h eu n i v e r s a lf r e ep r o d u c to ft w oo p c ”f a t o rs p a c c 搭i s , - i s o m o r p h i c t ot h eu n i v e r s a lf r e ep r o d u c to ft h e 行o cc - a l g e b r a so ft h et w oo p e r a t o rs p a c e s i nc h a p t e r2 ，w em a i n l ys t u d yt h ef r e ep r o d u c t so ft e r n a r yr i n g so fo p e r a t o r s u s i n gt h eu n i v e r s a lf r c cp r o d u c to ft h el i n k i n gc - a l g e b r a so ft e r n a r yt i n g so f o p e r a t o r s ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft r o - u n i v e r s a lf r c cp r o d u c ta n dg i v ei t s l v 曲阜师范大学硕士学位论文 c o n s t r u c t i o n ，w h i c hi sp r o v e dt os a t i s f yt h eu n i v e r s a lp r o p e r t ya n db ci n d c p c n d e n to ft h er e p r e s e n t a t i o n so ft h eo r i g i n a lt r o s w ca l s os h o wt h a tt h el i n k i n g c + - a l g e b r ao ft h et r o - u n i v c r s a lf r e cp r o d u c to ft w ot r o si s 一i s o m o r p h i ct o t h eu n i v e r s a lf r c cp r o d u c to ft h el i n k i n gc + - a l g c b r a so ft h et w ot r o s i na d d i t i o n ，i n s p i r e db yt h ec o n c e p to ff u l la m a l g a m a t e df r c cp r o d u c to fc + 一a l g e b r a s ， b yu s i n gt h ef u l la m a l g a m a t c df r e ep r o d u c to ft h el i n k i n gc + 一a l g e b r a so ft e r n a r y r i n g so fo p e r a t o r s ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft r o - f u l la m a l g a m a t e df r e c p r o d u c t ，a n dg i v ei t sc o n s t r u c t i o n ，w h i c hi sp r o v e dt os a t i s f yt h eu n i v e r s a lp r o p - e r t y w ca l s os h o wt h a tt h el i n k i n gc + - a l g e b r ao ft h et r o f u l la m a l g a m a t e d f r e ep r o d u c to ft w ot r o si s , - i s o m o r p h i ct ot h ef u l la m a l g a m a t e df r e ep r o d u c t o ft h el i n k i n gc - a l g e b r a so ft h et w ot r o s k e y w o r d s c + a l g e b r a ，o p e r a t o rs p a c e ，t e r n a r yr i n go fo p e r a t o r s ，u n i v e r s a lf r c cp r o d u c t ， f u l la m a l g a m a t e df r e ep r o d u c t ，t r o - h o m o m o r p h i s m ，, - h o m o m o r p h i s m v 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文算子空间和算子三元环的自由积， 是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究工作所取 得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果对本文 的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明本声明 的法律结果将完全由本人承担 作者签名： 嘶啤喘馓 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 算子空间和算子三元环的自由积系本人在曲阜师范大学攻读硕士学位期 间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大学所有， 本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师范大学关于 保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复 制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名： 噘啤嗍卯 撇各仔孵晰 第一章算子空间的自由积 1 1引言及预备知识 算子空间理论是由e f f r o se g 和r u a nz j 在2 0 世纪8 0 年代后期引入 并开始研究的我们知道，每个赋范线性空间都等距同构于个( 具体的) 函数空 间，即k ( s ) 的个线性子空间，其中s 是个集合，所以赋范线性空间也被称为 是抽象的函数空间类似地，e f f r o se g 和r u a nz j 1 1 7 】给出了具体的算子空 间和抽象的算子空间的定义，称b ( u ) 的个线性子空间为个具体的算子空间， 其中b ( u ) 表示h i l b c r t 空间爿上的所有有界线性算子构成的代数从这种角度 来看，算子空间理论可视为非交换的b a n a c h 空间理论之后，人们对算子空间理 论做了大量的研究，得到了丰富的结果( 见【1 6 卜【2 2 】) 本章我们主要研究算子空 间的自由积，将利用算子空间的自由c 4 一代数的泛自由积，引入算子空间泛自由 积的定义，给出它的一个构造，并且研究它的一些性质和它与c + 一代数泛自由积 之间的某种联系为此，我们先来介绍算子空间的相关概念和必要的预备知识有 关算子空间理论的知识和术语可以参见【17 】和【2 1 】，有关算子代数的自由积理论 的一些结果可以参见【5 卜【1 4 】- 定义1 1 1 【17 】设h 是个h i l b e r t 空间，b ( u ) 表示h i l b c r t 空间7 l f 上的所 有有界线性算子构成的代数，若y 为j e 7 ( 冗) 的个线性子空间，则称y 为h i l b c r t 空间氕上的个具体的算子空间 设y 为h i l b c r t 空间咒上的一个具体的算子空间，对于任意的正整数n ， 我们用m ，( y ) 表示由y 中的元素构成的扎x 佗，阶矩阵的全体所构成的矩阵空 间m ，。( j e 7 ( 爿) ) 可以看作是咒的佗阶直和氕0 o7 - l ( = 7 - l 。) 上的有界线 性算子的全体构成的代数，即m ，。( j e 7 ( 咒) ) 竺b ( 氕乱) 此时，自然嵌入m ，。( y ) m ，( b ( 冗) ) 笺b ( t i ) 决定了m 儿( y ) 上的个算子范数0 我们用m ；( y ) 表 示相应的赋范线性空间( m ，。( y ) ，1 1 i i t l ) ，称删忆) 蜒n 为y 的个矩阵范数对 于个具体的算子空间，上述矩阵范数钏) n n 具有如下的性质： 定理1 1 2 1 17 l 设“为个h i l b c r t 空间，则对任意b ( b ( 冗) ) ，c 1 第一章算子空间的自由积 霸( j e 7 ( “) ) ，a 尬( c ) 和p m ( c ) ，有 ( i ) 0bo ci l 。扣= m a z i ibi i m ，i ic 忆) ； ( i i ) 0a b zi i ，。l f 口bi i m0p | i ， 定义1 1 3 1 ”】设y 是一个线性空间，若任意n n ，矩阵空间m ( y ) 上 都赋予了一个范数j l 使得( m ，。( y ) ，| i ) 成为一个赋范线性空间，则称 删忆) 蚝n 为线性空间y 的个矩阵范数 定义1 1 4 【17 】设y 是个线性空间， l i 忆) 怔n 为y 的个矩阵范数，若 i i ) 征n 满足如下两个条件：对任意可m m ( y ) ，w m 。( ) ，q m 。m ( c ) 和p m ( c ) ，有 ( i ) 0t ，o 训i i m + 乱= m 口z _ i i 钉| l m ，0 伽i i l l , ) ； ( i i ) 0a 秒pi l - 1 lal i i l 钉0 。i ij 臼i i 则称线性空间y 为一个抽象的算子空间我们用m 。( y ) 表示赋范线性空间 ( m ，。( y ) ，0 忆) ，并且称满足条件( i ) 和( i i ) 的矩阵范数为线性空间y 的算子 空间矩阵范数 注我们通常感兴趣的算子空间都是完备的，因此，如无特殊说明，我们均假 设( vi i 0 ) 是完备的同样，若y b ( n ) 是个具体的算子空间，我们总假设 y 是个范数闭的子空间 ， 另外，若4 是个驴一代数，yg4 是个闭子空间，则4 有一个忠实的 表示，即4 可以自然地嵌入到某个b ( n ) 中( 爿是个h i l b c w t 空间) ，从而可以 自然地得到y 上的个算子空间矩阵范数 | f ) 蜒n ，使得y 成为个算子空 间因此，一代数的每个范数闭的子空间都是个抽象的算子空间 定义1 1 5 1 1 7 1 设y 和是两个抽象的算子空间，妒：v _ 彤是个线性映 射对任意n n ( n 2 ) ，我们可以自然地定义线性映射：尬。( y ) 一尬。( w ) 如下：( 口) = 【妒( ，j ) 】，v v = 【v i m 。( y ) 我们称怕怯= a u p ( 1 lq o ，。i i ：佗n ) 为妒的完全有界范数( 可能为+ o 。) 若i i q o l l , _ , + o o ，则称妒是一个完全有 界线性映射若忆 1 ，则称妒是个完全可缩线性映射若任意他n ， 2 曲阜师范大学硕士学位论文 ：尬。( y ) _ 尬。( ) 都是个等距映射，则称妒是个完全等距线性映射，进 一步，若妒还是个满射，则称y 完全等距同构于 由定理1 1 2 可知，个具体的算子空间是个抽象的算子空间反之，有如 下表示定理因此，我们通常不再区分具体的和抽象的算子空间 定理1 1 6 【1 7 】设y 是个抽象的算子空间，则存在个h i l b c t t 空间咒和 一个具体的算子空间wc b ( 冗) ，以及y 到上的一个完全等距线性映射 圣：v _ ，即y 完全等距同构于w 进一步，若y 作为赋范线性空间是可分 的，则我们可取7 - = z 2 下面我们来回顾p c s t o v 1 6 】对于算子空间的自由c + 一代数的定义 设y 是个算子空间，令芦= ( 4 ，歹) ia 是个c + 一代数，j ：v 一4 是一 个完全可缩线性映射，且j ( v ) 生成4 ) 一，其中“是个等价关系，定义如下： ( 4 。，歹，) 一( 么2 , j 2 ) 当且仅当存在个满的车一同构垂：4 。_ a ，使得圣oj 1 = 歹2 歹是一个集合作歹的c 一直积兀( a j ) ，4 = ，f ，：，_ u ( _ ，j ) ，a 是一个 映射，任意( a ，歹) 歹，( a ，歹) a ，且s u p ( j , j ) 引i ，( 4 ，歹) i i + o o 定义映射 y ：y 一兀( 4 ，j ) ，a 为 t y ( n ) ( 4 ，) = 歹( 以) ，v a v ( a ，j ) 芦 可以验证i y 是良定义的，且是个完全等距线性映射我们称由砧( y ) 生成的 兀( _ ，j ) ，a 中的c 一子代数为算子空间v 的自由c + 一代数，记作c ( y ) 下面定理说明算子空间y 的自由一代数y ) 具有泛性质驴( y ) 的 这个性质是由p c s t o v 在【1 6 】中指出的，但是他并未给出证明，我们这里将给出它 的证明 定理1 1 7 【1 6 1 设y 是个算子空间，c + ( y ) 为y 的自由矿一代数，则存在一 个完全等距线性映射i v ：v c + ( y ) ，使得i v ( v ) 生成c ( y ) ，并且( c ( y ) ，i v ) 满足如下泛性质：对任意的一代数召和任意的完全可缩线性映射妒：v _ 召， 总存在唯一的木一同态圣：c + v ) _ b ，使得圣0i y = 妒 3 第一章算子空间的自由积 证明设i v 为上述c + ( y ) 的定义中的v 到兀( a j ) ，4 的完全等距线性映 射，则址为y 到c ( y ) 的个完全等距线性映射，并且i v ( v ) 生成c + y ) 设召为任意的c + 一代数，q o ：v 一召为任意的完全可缩线性映射，且不防设 妒( y ) 生成b ，则( 召，妒) 芦下面我们定义映射p ：n ( a ，j ) ，a _ b 如下 p ( ，) = i ( b ，妒) ，v f i i 4 ( j ) ， 则p 是良定义的，且由兀( _ j ) ，4 的定义可知：任意，9 1 - i ( a j ) l ，a ，a c ， p ( f + a 9 ) = p ( f ) + 入p ( 9 ) ，p ( f ) = p ( ，) ，p ( f q ) = p ( ，) 尸( 9 ) 即p 是个幸一同态令圣= p i c ( y ) ：c + ( y ) 一召，则圣是个宰一同态，且对 任意t j k 垂0i v ( v ) = 圣0 v ( 可) ) = p ( i v ( v ) ) = i y ( u ) ( ( 召，妒) ) = 妒( u ) ， 即圣0i v = 妒 设另有木一同态皿：c ( y ) _ b ，也使得l o i v = s o ，则任意v v 皿0 y 扣) ) = 妒( 钉) = 圣( 础( ) ) 又c + ( y ) 是由i v ( v ) 生成的，且皿和圣均为丰一同态，故皿= 圣 唯性得证 在算子代数理论中，我们已有如下结果：两个紧的h a u s d o r f f 拓扑空间五和 k 是同胚的当且仅当c ( x 1 ) 和c ( 恐) 是代数同构的，其中c ( x ) ( i = 1 ，2 ) 表 示由k 上的所有连续复值函数构成的b a n a c h 代数即可以通过拓扑空间墨和 恐之间的关系来刻划c ( 五) 和c ( x ：) 之间的关系类似地，对于算子空间，我们 有如下结果： 定理1 1 8 设和k 为两个算子空间，驴( ) 和c ( k ) 为它们相应的 自由一代数，则完全等距同构于k 当且仅当存在个满的幸一同构圣： c ( ) 一c ( k ) ，满足垂( 砘( ) ) z m ( k ) ，圣- 1 ( 碗( k ) ) i v y ( ) 证明假设存在个满的完全等距线性映射妒：一k ，下证存在一个满的 宰一同构圣：c ( ) _ c k ) ，满足圣( 饥( ) ) 冬i m ( ) ，圣_ 1 ( ( k ) ) i v 。( v x ) 4 曲阜师范大学硕士学位论文 由定理1 1 7 ，我们设i 和 耽分别是k 到c ) 和k 到c ) 的 完全等距线性映射由于妒：一k 为完全等距线性映射，则i uo 妒为 到c k ) 的完全可缩线性映射由c + ( ) 的泛性质可知，存在唯一的木一同 态圣：c + ( ) _ c k ) ，使得圣oi = 该。妒由于妒- 1 ：k _ 也为完 全等距线性映射，同理可知，存在唯一的奉一同态皿：c + ( k ) _ c ( ) ，使得 皿oi ：i mo 妒一1 故 皿。圣ot u = 皿oz o 妒= i uo 妒一1o 妒= t u ， 即。垂k ( ) = t 也) 又c + ( ) 是由( ) 生成的，且皿。圣为木一同态， 故皿。垂= i d e ( ) 同理可知圣。皿= i d c ) 因此，圣是个c ( ) 到c k ) 的满的奉一同构，并且满足垂( i ( ) ) i u ( k ) ，圣_ 1 ( i ( k ) ) i ( k ) 假设存在个满的幸一同构圣：c 。i v , ) _ c + k ) ，满足圣( i ( ) ) 冬i ( k ) ， 圣- 1 ( i v y ( v ：) ) i v y ( h ) 下证k 完全等距同构于k 我们定义映射妒：一k 如下： 妒( 口) = i 讨( 圣0 u ( n ) ) ) ，v a ， 即妒= i 讨。垂o 由于圣是个满的木一同构，则圣是一个完全等距线性映 射又i 讨，i 均为完全等距线性映射，故妒是个完全等距线性映射 另外，对任意b k ，令a = 爿( 圣1 ( t 场( 6 ) ) ) 则口，且 妒( o ) = i 讨( 圣( ( o ) ) ) = 6 ， 故妒为满射因此，妒是k 到k 的个满的完全等距线性映射，从而k 完全等 距同构于k 最后，我们再来回顾一下v o i c u l c s c u l 4 ) 对于驴一代数泛自由积的定义 定义1 1 9 【4 】设4 1 和a 为两个含单位元的c 一代数，若存在含有单位元 的矿一代数4 及丰一同态侠( = 1 ，2 ) ，满足如下泛性质：对任意泸一代数8 及 任意木一同态死：a _ 8 ，都存在唯一的丰一同态7 r ：4 一召，使得7 ro 侠= 死， 5 第一章算子空间的自由积 即下图可交换： 则称4 为c 一代数以。和4 2 的泛自由积，记作a 。木ua 1 2 算子空间泛自由积 g a om i n g c h u 在f 5 】中将自由积的概念扩展到了算子空间上，构造了两种算 子空间的自由积：算子空间全自由积和算子空间约化自由积本节我们将引入算 子空间泛自由积的定义，给出它的个构造，证明这种构造的确具有泛性质，并 且研究它的一些性质 从“范畴的角度，类比驴一代数泛自由积的定义，算子空间泛自由积应该 定义如下： 定义1 2 1 设和k 为两个算子空间，若存在个算子空间y 及两个完 全等距线性映射协：k y ，满足如下泛性质：对任意的算子空间w 及任意的 完全可缩线性映射如：一，总存在唯一的完全可缩线性映射圣：v _ w ， 使得圣。协= 砒( i = 1 ，2 ) ，即下图可交换： j v 趴卢 y 则称y 为算子空间和k 的算子空间泛自由积，记作木uk 基于算子空间的自由c 一代数和一代数的泛自由积这两个概念，下面我 们给出算子空间泛自由积的构造 6 曲阜师范大学硕士学位论文 构造1 2 2 设和k 为两个算子空间，c + ( ) 和驴( k ) 为它们相应的自 由俨一代数作c ) 和矿( k ) 的泛自由积c ( ) c + ( k ) 设i k 为m 到 驴( ) 的完全等距线性映射，o i 为( k ) 到驴) c + ( k ) 的单的木一同态 令协= o io 砘，则红：_ c + ( ) 车札驴( k ) 为完全等距线性映射( i = 1 ，2 ) 我 们把由妒( ) u 妒：( k ) 生成的c ( ) 半uc ( k ) 的范数闭的子空间作为和k 的算子空间泛自由积，记作木uk 下面定理说明上述算子空间泛自由积的构造的确具有“泛性质 定理1 2 3 设和k 为两个算子空间，丰u k 为由构造1 2 2 所得的算子 空间泛自由积，则存在两个完全等距线性映射协：_ 丰世k ( i = 1 ，2 ) ，并且 ( 幸uk ，协) 满足定义1 2 1 中的泛性质：对任意算子空间及任意完全可缩线 性映射砒：_ ，总存在唯一的完全可缩线性映射垂：奉u 一，使得 圣0 协= 砒( i = 1 ，2 ) ，即下图可交换： 证明取协为构造1 2 2 中的k 到俨( ) 章缸矿( k ) 的完全等距线性映射，则 协为到木uk 的完全等距线性映射设w 为任意的算子空间，以：k w 为任意的完全可缩线性映射，切为w 到自由c + 一代数c t w ) 的完全等距线性 映射，则i wo 以：_ 口( 嗽) 为完全可缩线性映射由自由c 一代数c + ( ) 的泛性质可知，存在木一同态 使得 圣t ：k ) _ 矿( 比) ， 圣i0 叱= i w0 诎， 7 ( 1 ) 辩 k 第一章算子空间的自由积 其中砘为k 到俨( k ) 的完全等距线性映射再由( ) 驴k ) 的泛性质可 知，存在丰一同态 圣：) 车缸( k ) _ 矿( ) ， 使得 圣0 侠= 圣i ， ( 2 ) 其中b 为矿( ) 到c ( ) 木uc + k ) 的单的宰一同态 由等式( 1 ) 和( 2 ) 可知圣。仇oi k = 晚0 k = i wo 以，即 圣0 蛾= i w0 识 ( 3 ) 故对任意协似) 协( k ) ( i = 1 ，2 ) ，有 圣( 协( 让) ) = 圣0 协( 仇) = i wo 以( 仇) = i w ( 以( ) ) i w ( ) 又k 丰uk 是由妒- ( ) u 妒2 ( k ) 生成的g + k ) 幸札驴( k ) 的范数闭的子空间且圣 是木一同态，故 圣i 。耽( k 木uk ) ci w ( w ) 令 圣= i 万1o 圣i 。：k 木uk _ 形 由于t 访1 是完全等距线性映射，圣是牛一同态从而是完全可缩线性映射，则圣是 个完全可缩线性映射，并且由等式( 3 ) 可知 圣。协= i 万1 。丕i 。砀。协= i 谚1 。i w 。矾= 以 即圣0 协= 砒 设另有完全可缩线性映射皿：车札k w ，也使得皿0 慨= 以则对任 意可k ，o 妒i ( u ) = 识扣) = 圣。妒i ( u ) 即皿l 驴。( y o u 轳2 ( m ) = 圣i i ，；。( u ) u 垆。( ) 又 k 木u k 是由妒( k ) u 妒2 ( k ) 生成的，且皿和圣均为完全可缩线性映射，故皿= 圣 唯性得证 8 曲阜师范大学硕士学位论文 推论1 2 4 设v 和比为两对算子空间( i = 1 ，2 ) ，牢世k 为h 和k 的 算子空间泛自由积，眦木uw 2 为眦和w 2 的算子空间泛自由积，i r i ：m _ 暇为 完全可缩线性映射，则存在个完全可缩线性映射7 r ：丰。k w i 车牡w 2 ，使得 7 r l k = 死 证明设甄是眦到木札w 2 的完全等距线性映射，则西0 9 1 t ：m _ 肌木乜 为完全可缩线性映射由k 木牡k 的泛性质可知，存在一个完全可缩线性映射 7 r ：木k 一眦木札，使得7 ro 蛾= 磊o 死，其中协是k 到木缸k 的完全 等距线性映射，从而7 r i k = 死 下面定理说明算子空间泛自由积不依赖于原算子空间的表示 定理1 2 5 设k 和暇为两对算子空间( i = 1 ，2 ) ，幸札k 为和k 的 算子空间泛自由积，m 木uw 2 为晰和w 2 的算子空间泛自由积，若完全等距 同构于嗽，则k 丰仳k 完全等距同构于m 木缸w 2 证明假设存在满的完全等距线性映射：k _ 瞰( i = 1 ，2 ) ，则由1 1 的 定理1 1 8 可知，存在满的木一同构 最：c ( k ) 一c + ( w 0 ， 使得 亿oz k22 毗o 死，巩o2 矾22 o 一_ 一i 下证，存在个满的木一同构a ：c + ) 木uc ) _ c + 胍) 木缸c ( 鹏) ，使得 a c k ) = 元，人i c w d = 最 设仗是驴( k ) 到c + ( k ) ，一c 缸c + ( k ) 的单的木一同态，仇是c + ( ) 到c 4 ( 眦) 木u c + 胍) 的单的奉一同态则 仇。而：c ( m ) _ c 肌) 木uc ( ) ， 为宰一同态由伊( ) c + ( k ) 的泛性质可知，存在木一同态 a ：c + ( ) 木u 伊( k ) 一c + 肌) 宰uc + ( 鹏) ， 9 第一章算子空间的自由积 使得 同理，存在木一同态 使得 人o 仇= 0 io 最 人：，c + w 1 ) 木札c + ( ) _ 矿 v 1 ) 木uc + k ) ， 由等式( 1 ) 和( 2 ) 可知 a o 瓦= bo 最 aoa 。反= ao 仗。元= 反。而。最= 反， 即a 。a i 磊( c ) ) = i 噍( c ( 暇) ) ( t = 1 ，2 ) 故 同理可知 人oa = i d c ( w 1 ) 。伊( ) aoa = i d c ( ) 。c 场) 因此，a 是个满的木一同构，且 a0 仇= 佛。磊，人一10 侠= o io 最一1 ， ， 一 即a c k ) ) = 最，a 一1 l c ( w d = 最 ( 1 ) ( 2 ) 设蛾= 0 i oi v , 为k 到木uk 的完全等距线性映射，磊= 0 toi w , 为m 到 肌的完全等距线性映射由等式最。叱= i w , o 死，氟- 1 oi w , = i ko 百1 和a oo i = 反。最，a 一1o 玩= 侠。最一1 即 可知 a0 侠oi v , = 侠0 氟0i = 侠0i w , 07 r i ， h 一1o 反oi 毗 人0 协= = 侠。最一1oi w ,= 侠oi o7 r f l 磊o7 r i ，a 一1o 磊= 妒io7 r f l 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 故对任意v d k ( i = 1 ，2 ) ， 人( 协( 弘) ) = 人。仍( 叫= 豇o 死( 忱) = 磊( 死似) ) 磊( 眦) 于是有人( 仍( ) ) 磊( 姒) 又卓。k 是由妒( ) u 妒2 ( k ) 生成的c ) 木让 c ( k ) 的范数闭的子空间，幸。w 2 是由两( 肼) u 西( ) 生成的c + ( 肌) 奉u c + ( ) 的范数闭的子空间，且人是一个木一同构，故 人( | c 乜k ) 肌奉札w 2 同样，对任意w d m ( i = 1 ，2 ) ， a 一1 ( 磊( 伽t ) ) = h 一1o 磊( 毗) = 协。町1 ( 叫z ) = 协( 7 r f l ( 坝) ) 协( ) 于是有人- 1 ( 磊( 瞰) ) 协( k ) ，从而 a _ 1 ( 眦气啦) k 木让k 又人i 。uoa i w l 。w 2 = d 肌。，且a 是个宰一同构，故 人i 。：爿c uk 一肌幸w 2 是个满的完全等距线性映射，从而宰仳k 完全等距同构于肌车札w 2 下面定理说明两个算子空间的泛自由积的自由驴一代数木一同构于这两个 算子空间的自由一代数的泛自由积这在一定程度上反映了算子空间泛自由 积和驴一代数泛自由积之间的联系 定理1 2 6 设和k 为两个算子空间，c + ) 和c ( k ) 为相应的自由 矿一代数，木仳k 为和k 的算子空间泛自由积，则木让k 的自由9 一代 数术一同构于c ( ) 和驴( k ) 的泛自由积，即 c + ( 丰缸k ) 竺c k ) c ( k ) 证明我们不妨假设( k ) 到矿( ) c + ( k ) 的单的奉一同态侠为嵌入 映射设i k 为到c ( m ) 的完全等距线性映射，协为到m 木乱k 的完全等 1 1 第一章算子空间的自由积 距线性映射，则协= 谚oi = 叱再设i 。v 2 为h 木札k 到c k 木仳k ) 的完 全等距线性映射，则 z 。uo 蛾：一c + ( 宰uk ) 。为完全等距线性映射由c ( ) 的泛性质可知，存在奉一同态 使得 7 r i：c ( ) _ 矿( 木乱k ) ， 7 r i02 22 。u0 妒i 再由驴( ) 木乜c + ( k ) 的泛性质可知，存在 使得 木一同态 圣：c + ( ) 车让c ( k ) _ c ( 宰“k ) ， 圣。巩= 7 r i ，即圣i c ( k ) = 死 ( 1 ) ( 2 ) 另一方面，由于丰。k c ( ) 奉。c + ( k ) ，我们设e 为丰乱k 到c ( ) c + ( k ) 的嵌入映射，则 e ：木乜k c + ( ) 车牡c ( k ) 是一个完全等距线性映射由c + ( k 木uk ) 的泛性质可知，存在 ：c 。( 木缸k ) _ c 4 ( ) 木uc + ( k ) ， 使得皿oz v l 。耽= e 故对任意口k 木札k ， 皿( i v l 。( o ) ) = e ( n ) = n 木一同态 ( 3 ) 因此，由等式( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 可知，任意钉，o 圣( 吨( ) ) = 皿。死( 叱( ) ) = 皿。亿ot k ( ) = 皿oi mo 妒i ( ，) =皿( u 。场( 妒i ( ? ，) ) ) = 妒i ( 钉) = i k ( ) ，即 皿。圣i k ( k ) 1 2 = z 函k 似) 曲阜师范大学硕士学位论文 由于( k ) 是由i k ( m ) 生成的，且皿。垂为木一同态，故 o 西i g ( ) = i d c ) ( i = 1 ，2 ) 从而，由c + ( v x ) 幸缸c + ( k ) 的构造可知 皿。圣= i d c ( ) 。g ) 另一方面，由等式( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 可知，任意钉，圣。皿( 概。场( 仍( ) ) ) = 垂( ( i 。m ( 妒 ( 2 ，) ) ) ) = 圣( 妒i ( t ，) ) = 圣“( ) ) = 7 r ( 1 k ( ? j ) ) = 7 t i0i l d ( v ) = t 。耽。 妒i ( 钞) = i 。m ( 妒i ( u ) ) ，即 圣。皿i y 1 。屹( 亿( k ) ) = i 以h 。屹( 红( k ) ) ( i = 1 ，2 ) 由于奉uk 是由妒- ( v x ) t _ j 妒2 ( k ) 生成的，则 圣。皿i i h 。屹( v x 。u ) = 比h 。屹( u 。u ) 又( 木札k ) 是由m 。耽( 木乱k ) 生成的驴一代数，且圣o 是木一同态，故 圣。皿= i d c ( 。y 2 ) ( 5 ) 因此，由等式( 4 ) 和( 5 ) 可知圣：c + ( ) c + ( k ) 一c ( 丰乱k ) 是个满 的木一同构，从而 c + ( 木uk ) 竺c ( ) 气c + ( k ) 1 3 第二章算子三元环的自由积 2 1 引言及预备知识 在算子空间理论的发展中，人们日渐关注算子三元环( t c r n a r yr i n go fo p e r a - t o r s ，简记作t r o ) 的研究t r o 最早是由h c s t c n c s 2 a 引入的，随后h a r r i s ，z c t t l ， h a m a n a ，e f f r o s o z a w a r u a n ( 见 2 4 】 【3 1 】) 等人对其做了深入的研究，得到了一 些较深刻的结果，例如：每个t r o 都等距同构于伊一代数的一“角”( c o r n e r ) p a ( 1 一 p ) ，其中4 是个泸一代数，p 是一个投影( 【2 7 】) ；每个t r o - 同态都是个可 缩映射，且都是到其值域空间上的一个商映射( 【2 4 】) 本章我们主要研究算子三元 环的自由积，将利用算子三元环的连接一代数的泛自由积和全融合自由积，引 入t r o 一泛自由积和t r o - 全融合自由积的定义，给出它们的构造，研究它们 的一些性质，并且研究它们与驴一代数泛自由积及一代数全融合自由积之间 的某种联系为此，我们先来介绍t r