（控制理论与控制工程专业论文）永磁同步电机的能量成形与无源性控制.pdf

a b s t r a c t s i n c e7 0 y e a r s ，t h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no fs y n c h r o n o u sm o t o rh a db e e n g r e a t l yp r o m o t e db yt h ep r o g r e s so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y f o re x a m p l e ，t h ec o n t r o l t e c h n o l o g yo fp e r m a n e n tm a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o r ( p m s m ) w a se n c o u r a g e db y p e r m a n e n tm a g n e tm a t e r i a l ，t h ed e v e l o p m e n to fp o w e ra n d e l e c t r o n i ct e c h n o l o g y , i n t e g r a t e dc i r c u i ta n dc o m p u t e rt e c h n o l o g y r e c e n t l 5p m s m h a sb e c o m em o r ea n dm o r e p o p u l a rw i t hi t sg o o dp e r f o r m a n c e s ，s ot h ec o n t r o lt e c h n o l o g yi sg e t t i n gm o r em a t u r e ，a n d t h ec o n t r o l l e r sh a v ea p p e a r e dp r o d u c t i v e h o w e v e r t h e r es t i l le x i s ts o m ee s t a b l i s h e d s h o r t a g e s i np m s m ，s u c ha st h e n o n l i n e a r i t y , s t r o n gc o u p l i n g a n dt i m e v a r y i n g p e r f o r m a n c e s ，t h es y s t e mw o u l db ed i s t u r b e di nd i f f e r e n td e g r e e sw h e ni tw a so p e r a t i n g a sar e s u l t ，t h eg e n e r a lc o n t r o ls t r a t e g y sa r eh a r dt os a t i s f yt h ec o n t r o lr e q u e s t so fp m s m s e r v os y s t e mw i t hh i g hp e r f o r m a n c e s i nt h i st h e s i s ，t h es p e e ds y s t e mo fp m s mw i l lb e d e s i g n e dw i t ht h em e t h o do ft h ei n t e r c o n n e c t i o na n dd a m p i n ga s s i g n m e n tp a s s i v i t y b a s e d c o n t r o l ( i d a - p b c ) p r i n c i p l e ，b a s e do nt h ec o m m o ne n e r g y - s h a p i n ga n dp o r t - c o n t r o l l e d h a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t hd i s s i p a t i o n ( p c h d ) m o d e lp r e s e n t e d t h ec o n d i t i o na th o m ea n da b r o a do fp m s ma n de n e r g ys h a p i n gc o n t r o lw i l lb e s u m m a r i z e d ，i n t e g r a t e dw i t ht h ec o m m o nm a t h e m a t i c sf o r mo fe u l e r - l a g r a n g ea n dt h e p c h ds y s t e m f u r t h e r , s o m ei m p o r t a n tt h e o r i e sa n dd e f i n i t i o n sw i l lb ei n t r o d u c e da b o u t p a s s i v i t y , d i s s i p a t i o n ，s t a b i l i t y , e n e r g ys h a p i n g a n de n e r g yb a l a n c e e q u a t i o n o f p a s s i v i t y - b a s e dc o n t r o la n dp c h d c o n t r o lm e t h o d t h e nt h em o d e lo fe u l e r - l a g r a n g ea n dp c h ds y s t e mf o rm o t o ra r ee s t a b l i s h e di nt h e s t a t i o n a r y 邙f r a m ea n ds y n c h r o n o u s l yr o t a t i n gr e f e r e n c ed qf l a m e ，r e s p e c t i v e l y b a s e do n t h ec o m m o np c hm o d eo fp m s m ，t h ei d a p b cp r i n c i p l e ，w h i c hi sm o r em a t u r e ，w i l lb e i n t r o d u c e dt od e s i g nt h ef e e d b a c kc o n t r o l l e rf o rp m s m s p e e dc o n t r o ls y s t e m ，m e a n w h i l e ， t h ep r o b l e m so fa n t i s y m m e t r ym a t r i x ，d a m p i n gm a t r i xa s s i g n m e n t ，t h ec h o o s eo fe x p e c t e n e r g yf u n c t i o n ，t h es e e k i n go fe q u i l i b r i u mp o i n ta n ds t a b i l i t ya n a l y s e da r er e s o l v e d m o s ti m p o r t a n t l y , s o m ee x p a n dc o n t r o lm e t h o d s ( a d a p t i v ed a m p i n gi n j e c t i o na n dl 2 d i s t u r b a n c er e j e c t i o nc o n t r o lm e t h o d si nt h i sp a p e rm a i n l y ) b a s e do np c hw i l lb es t u d i e d n e x t ，t h ed e s i g n e dc o n t r o l l e rw i l lb es i m u l a t e di nm a t l a b s i m u l i n k t h ec o n t r a s tw i l l b eo p e r a t e db e t w e e nv e c t o rc o n t r o lm e t h o da n d p o r t c o n t r o l l e dh a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t h d i s s i p a t i o n ，m a i n l yf r o mt h em o d e l ，s i m u l a t i o nr e s u l t sa n dp h y s i c a ls i g n i f i c a n c e ，s oa st o t e s t i f yt h ev i r t u e so ft h en e wc o n t r o l l e r , s i m p l ec o n s t r u c ta n db ee a s yt oa c c o m p l i s h ，p r o v e t h ee x p a n dc o n t r o lm e t h o db e i n gc o r r e c t n e s sa n de f f e c t i v e n e s s f i n a l l y , as u m m a r y i sr a i s e da b o u tt h ew o r ki nt h ew h o l et h e s i s ，s o m ep r o b l e m ss t i l l e x i s t i n gi nt h ea r e aa r ep r o p o s e da n da n e wd i r e c t i o nw i l lb ei n d i c t e d k e y w o r d s ：e n e r g y - s h a p i n g ；p c h d ；p m s m ；s p e e dc o n t r o l ；a d a p t i v ed a m p i n g i n j e c t i o n ；l 2d i s t u r b a n c er e j e c t i o n 目录 弓i 言l 第一章绪论3 1 1 本课题的研究背景及意义3 1 2 永磁同步电机控制的国内外研究现状3 1 3p c h 控制方法的发展历史、研究现状和现实意义4 1 3 1p c h 控制方法的发展历史介绍4 l - 3 2p c h 控制方法的物理意义4 1 4 本文的主要研究内容与章节安排5 第二章理论基础7 2 1 无源性与耗散性7 2 1 1 无源系统及其稳定性7 2 1 2 无源性与反馈互联9 2 1 3 耗散性一9 2 2 无源性与能量成形1 0 2 3 端口受控耗散哈密顿系统10 2 3 1 欧拉拉格朗只( e l ) 方程与哈密顿方程1 0 2 - 3 2 端口受控哈密顿( p c h ) 系统1 l 2 3 3 端口受控耗散哈密顿( p c h d ) 系统1 2 2 4 端口受控耗散哈密顿系统的能量成形控制方法1 3 2 5 本章小结1 4 第三章基于能量成形的p m s m 的哈密顿控制方法的研究1 5 3 1 坐标变换与变换矩阵1 5 3 1 1 坐标变换的约束条件1 5 3 1 2 三相二相静止变换1 6 3 1 3 二相二相旋转变换l7 3 2 永磁同步电机的一般数学模型1 7 3 2 1 原始数学模型：1 7 3 2 2 在两相静止坐标系上的数学模型l8 3 2 3 在两相同步旋转坐标系上的数学模型1 8 3 2 4 永磁同步电机的速度控铝j j p c h d 模型1 9 3 3 控制研究19 3 3 1p m s m 的p c h 控制系统平衡点( 期望轨迹) 的确定1 9 3 3 2 基于最大转矩电流原理( m t p a ) 的控制研究2 2 3 3 3 基于最大输出功率原理的控制研究2 5 3 4 仿真研究。2 6 3 4 1 仿真模型的建立2 6 3 4 2 仿真结果曲线2 7 3 5 本章小结2 9 第四章基于p c h 原理的p m s m 扩展方法及控制3 l 4 1 自适应阻尼注入控制3l 4 1 1 自适应阻尼注入法原理3 1 4 1 2 控制器的求取3 2 4 1 3 平衡点的求耿。3 3 4 2l 2 扰动抑制控制3 4 4 2 1 原理及证明3 4 4 2 2 控制器的求取3 5 4 3 仿真结果及分析3 5 4 3 1 自适应阻尼注入控制3 5 4 3 2l 2 扰动抑制控制3 7 4 4 本章小结3 9 第五章p m s m 扩展方法与矢量控制方法的比较4 1 5 1 模型的比较4 l 5 1 1p m s m 的矢量控制方法4 1 5 1 2p m s m 的p c h 扩展控制方法4 2 5 2 仿真结果的比较4 4 5 3 物理意义的比较4 6 5 4 本章小结4 6 第六章全文总结与展望4 7 参考文献5 l 攻读学位期间的研究成果。：。5 5 致谢5 7 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明5 9 l 引言 己l 吉 丁if j 永磁同步电机本身具有结构简单、体积小、重量轻、高效节能的优点，与直流 电机相比，它无需直流电机的换向器和电刷；与异步电机相比，虽然有成本高、起 动困难等缺点，但是由于不含有励磁电流的无功作用部分，损耗相对的也会较小， 无论是定子的电流还是电阻，损耗的功率都可以忽略不计，再加上功率因数也较大， 所以具有更好的控制性能。永磁同步电机在普通同步电动机基础上，省去了励磁装 置，简化了结构，从而提高了效率。正是如此，永磁同步电机矢量控制系统能够实 现高精度、高动态性能、大范围的调速或定位控制，因此对永磁同步电机系统的控 制研究引起了国内外学者的广泛关注。 到目前为止，国内外学者已经从不同角度对永磁同步电机系统进行了大量的研 究和实践，并取得了较为丰富的成果。很多新的思路，都围绕着提高电机伺服控制 的性能、降低成本这一目的，在对系统的控制策略上进行了大胆的探索和创新研究， 提出了很多具有智能性的先进控制策略，并取得了一些具有实用性意义的成果。但 是永磁同步电机系统具有一定的非线性、强耦合性以及时变性，同时其伺服对象也 存在较强的非线性和不确定性，加之系统运行时还会受到不同程度的干扰，因此按 常规控制策略是很难满足对高性能永磁同步电机系统的控制要求。在这种状况下， 如何在已有的控制理论发展的态势下，再引进一些比较先进的“复合型控制策略” 从而改进对永磁同步电机伺服系统控制高要求的策略，逐步实现核心组成部件的控 制器性能的完美体现成为了一个势在必行是课题。 在非线性系统的领域中，交流电机这种研究对象除了具有参数不确定以外，同 时还是一种高阶的、多变量的、强耦合的系统，因而在工业工程领域具有很大的探 索空间和长远的研究方向。为了对其进行系统的研究分析，很多先进控制策略成功 应用到了交流传动系统中，比如反馈线性化控制、反步控制、无源性控制、智能控 制等方法，而一些新型控制理论也被用到了这一领域，如：自适应控制、滑模变结 构控制、无传感器控制等。但这些方法大部分都非常复杂，在实际工作中不容易实 现，这就要求有更简单可靠的新方法。 本文以永磁同步电机为研究对象，利用端口受控耗散哈密顿系统的能量成形控 制方法，在p c h d 系统模型的基础上，进一步研究对其扩展的控制方法，实现对电 机的速度控制。 青岛人学硕+ 学位论文 2 第一章绪论 第一章绪论 1 1 本课题的研究背景及意义 一个多世纪以来，电动机作为机电能量转换装置，其应用范围已普及国民经济 的各个领域以及人们的日常生活之中。众所周知，电机进行机械能和电能相互转换 是要依靠磁场这种媒介来维系的，而为了满足这一转换过程，主要有两种方法【1 】： 一种是在电机绕组内通以电流来产生磁场，例如普通的直流电机和同步电机；另一 种是靠永磁体来产生磁场，按照永磁材料本身所具有的特性，在对它进行充磁之后， 它就能维持这些施加的能量保持稳定，从而在其周围空间形成了稳定的磁场，这样 就能节省更多的能量损耗，达到了简化电机结构节省成本的目的。 我国是世界第一稀土大国，稀土的总储量约占全球稀土资源的8 0 。目前稀土 永磁同步电机己经在航空航天多种型号中得到成功的应用，同时多种民用稀土永磁 同步电机正在逐步走向规模化生产，所以对稀土永磁同步电机控制系统的研究对国 民经济和国防建设的发展都具有非常重大的战略价值。 综上所述，提出本课题永磁同步电机的能量成形与无源性控制。建立永磁 同步电机的p c h d 模型，基于能量成形和p c h d 控制方法设计出反馈控制器，并研 究p c h d 的扩展控制方法。 1 2 永磁同步电机控制的国内外研究现状 永磁同步电机【1 ( p e r m a n e n tm a g n e ts y n c h r o n o u sm o t o r ，p m s m ) 是用稀土永磁体代 替励磁绕组所构成的一种新型同步电机。它结构简单、体积小、重量轻、效率高、 功率因数高，转子无发热问题，有大的过载能力，小的转动惯量和小的转矩脉动， 与传统的电磁式同步电机相比，p m s m 无需电流励磁，不设电刷和滑环，因此结构 简单，使用方便，可靠性高。同时p m s m 的效率比电磁式同步电机要高，并且其功 率因数可设计在1 0 附近。与鼠笼异步电机相比，p m s m 的优点主要表现在以下三 个方面：高效节能；体积小、重量轻、功率密度高；转速与频率严格成正比。 鉴于以上优越的性能，永磁同步电动机广泛应用于柔性制造系统、机器人、数控机 床、电梯调速等领域。 永磁同步电动机以永磁体提供的磁通代替励磁同步电动机中的励磁绕组励磁， 使电动机结构较为简单，降低了加工和装配费用，且省去了容易出现问题的集电环 和电刷，提高了电动机运行的可靠性；又因无需励磁电流，省去了励磁损耗，提高 了电动机的效率和功率密度。因而它是近年来研究的较多并在各个领域中得到越来 越广泛应用的一种电动机。 由于p m s m 是一种非线性的机电能量转换装黄，且受电机参数变化、负载扰 3 青岛人学硕十学位论文 动、对象未建模等不确定性的影响【们，在对其控制策略方面，已有的矢量控n e t l 和直 接转矩控制【8 】等方法仍有许多不足。因此，一些先进的控制理论，如：自适应控制 方法【9 - 1 1 】、滑模变结构控制【1 2 】( s m v s c ) 、智能控制【3 16 1 、反馈线性化控制【1 9 1 、微 分代数非线性控制、反推式控制【2 ”9 1 、无速度传感器控制【3 5 枷】等方法，被应用到这 一领域并取得了许多重要成果。 永磁同步电机是一个参数和负载具有不确定性的非线性系统，从鲁棒性入手进 行研究已成为一种趋势，本课题正是在这一思路下对扩展方法的研究，主要是研究 了自适应阻尼注入方法和l 2 增益扰动抑制技术，从理论分析和设计算法方面做了相 应的工作，获得了不错的效果。 1 3p c h 控制方法的发展历史、研究现状和现实意义 近年来，非线性控制理论有了快速发展，一种新型系统控制的互联与能量成形 方法尤其受到高度重视，其主要特征是被控系统具有端口受控哈密顿( p o r t c o n t r o l l e d h a m i l t o n i a n ，p c h ) 结构，根据p c h 系统特有的反馈镇定方法，使系统的控制器设 计与稳定性分析更加容易。 1 3 1p c h 控制方法的发展历史介绍 非线性反馈控制方法具有很多种，而基于无源性的控制方法就是其中的一种1 4 1 1 ， 基于无源性的控制方法的基本思想是：对能量方程中具有耗散特性的无功分量进行 合理配置，将系统的总能量按照所预期希望的能量函数来变化，迫使系统总能量来 跟踪预期的能量函数，从而使系统的稳定性保持稳定不变，即使被控对象的输出达 到渐近稳定，从而收敛至期望值。这种观点不但是一种基于能量的观点，而且也是 一种从宏观角度上的能维持保证全局稳定的控制方法，当参数未知或者模型未知的 时候，该方法就表现出很强的鲁棒性，因为具有可研究的价值。 无源性控制( p b c ，p a s s i v i t y - b a s e dc o n t r 0 1 ) 方法【3 】是o r t e g a 等人从机器人的控 制中受到启发并提出的。按照这种控制方法，可以先将电机的数学模型表示成 e u l e r - l a g r a n g e ( 欧拉一拉格朗日) 方程的形式，然后再对其进行分析。在 e u l e r - l a g r a n g e 运动方程所描述的各类控制系统中，例如电气、机电控制、机械等系 统，无源性的控制方法都已获得了成功应用。 1 3 2p c h 控制方法的物理意义 在控制工程领域中，端口受控哈密顿系统( p c h ) 控制方法的突出特点是应用 端口受控哈密顿系统模型来表示系统，用哈密顿函数作为系统总的能量函数，从而 再利用哈密顿函数来对系统的稳定性来进行判断。此时再在p c h 系统当中引入能量 耗散的概念，p c h 系统即变成了端口受控耗散哈密顿系统( p c h d ) 。系统的反馈镇 定基于互联和阻尼配置的无源性控制( i d a p b c ) 能量成形方法【3 4 】来实现，按照 这种方法，很多镇定的求解问题就变得容易很多，因为这是需要求解一组偏微分方 4 第一章绪论 程而已，可以将其转换成组比较普通的微分方程。这样所求取到的控制器也显得 简单而容易实现。 j 下是由于端口受控哈密顿系统控制方法自身所具有的特点，近年来，它的应用 已取得了一系列的研究成果 v 2 - s ! ，包括在对功率变换器的控制、异步电动机、永磁 同步电动机和双馈感应电动机的速度控制以及永磁同步电动机的位置控制速度控制 等方面。 1 4 本文的主要研究内容与章节安排 文中以永磁同步电机的速度控制系统为研究对象，按照端口受控哈密顿系统 ( p c h ) 控制方法，采用能量成形和非线性控制理论作为工具，围绕永磁同步电机 的速度控制问题，在已有的p c h 控制研究方法的基础上，根据已经建立的永磁同步 电机的速度控制p c h d 模型，又进行了一系列的扩展方法的研究，本文中主要是指 自适应阻尼注入控制和l 2 扰动抑制控制，围绕这两种扩展方法，得以进行本文的研 究工作与论文编写。文中对于基于能量成形和p c h d 控制及其扩展控制方法所设计 的速度控制器，都分别进行了s p w m 和s v p w m 的仿真实现，仿真环境是在 m a t l a b s i m u l i n k 软件中进行，通过仿真结果来验证理论分析与推论的准确性，从而 说明了所提出的控制方法的正确性、有效性。本文的章节安排如下： 第一章综述了永磁同步电机控制在国内外的研究现状，并简单的介绍了一下无 源性和端口受控耗散哈密顿系统的能量成形控制方法的研究状况，在这些基础之上 从而进一步指出了今后永磁同步电机控制系统的发展趋势。 第二章给出了本课题中所需用到的一些理论基础知识。首先，介绍了无源性、 耗散性、反馈互联、能量成形的定义，并且阐述了他们之间的关系；然后，在此基 础上，给出了欧拉拉格朗日系统和端口受控耗散哈密顿系统的一般表达形式，即相 应的欧拉拉格朗日方程和端口受控耗散哈密顿方程；最后给出了端口受控耗散哈密 顿系统的无源性控制方法。 第三章研究了永磁同步电机传动系统的能量成形控制。主要是根据坐标变换原 理，给出了永磁同步电机的各种数学模型，其中包括：一般的数学模型、两相静止 坐标系上的数学模型、两相同步旋转坐标系上的数学模型，并且在两相同步旋转坐 标系上所建立的数学模型的基础上建立了永磁同步电机的速度控制模型。模型建立 之后，再分别根据最大转矩电流( m t p a ) 和最大输出功率原理确定了系统平衡点。 在这章的最后，根据状态误差p c h d 模型的能量成形控制方法，在负载转矩已知和 未知情况下，基于一般p c h d 模型的i d a p b c 方法和基于状态误差p c h d 模型的 能量成形控制方法，分别设计了相应的速度控制器，并分析了平衡点的稳定性。 第四章研究了永磁同步电机能量成形控制的扩展方法。在p c h 系统理论的基础 上，分析了平衡点的稳定性，加入了自适应阻尼注入控制方法和l 2 扰动抑制控制方 5 青岛人学硕十学位论文 法，从理论分析到控制器的求取，到最后的模块仿真，进一步简化了哈密顿控制方 法，获得了初步的成果。 第五章将永磁同步电机的矢量控制方法和基于p c h 的p m s m 的扩展控制方法 进行了比较，主要从模型的建立、仿真结果和物理意义方面作比较。 最后，总结了本篇论文的主要研究工作，对在本课题研究中还存在的以及需要 解决的问题作出了简略说明，为今后的研究工作指明了方向。 6 第一二章理论基础 第二章理论基础 2 1 无源性与耗散性 对于一个机械系统而言，若系统是稳定的，则说明它的动能和势能都趋近于零， 速度和位置也会趋于零，即不管有没有外界能量注入系统，该系统都只能消耗能量， 而不能产生能量提供给外界；也可以这么说，外界能量注入系统，系统不能将能量 放大，一旦外界能量停止注入系统，系统自身的能量就会消耗殆尽，系统就会慢慢 稳定下来。因此，当我们研究控制系统的时候，如果将系统的能量用一个正定的函 数来表示，该系统的所有状态变量都为零为此函数为零的充分必要条件，而且系统 的能量总是小于外界向系统注入的能量之和，则我们就将这个系统称作稳定的系统 3 4 - 3 9 。为了研究和判断系统自身的稳定性，有必要介绍两个基本的概念：无源性和 耗散性，根据这两个概念，我们也可以判断系统是怎样响应外界向其注入的能量。 2 1 1 无源系统及其稳定性 针对下面的非线性系统【4 l 】 l j = 厂b ) + g b 弦1 ， 1 y = h ( x ) 小u 系统的输入信号和输出信号分别由式子里边的“r p 和y r p 表示，它们的维数相 同，都是p ； 系统的状态向量为x x ，工为整个月”空间或者其中包含原点的子 集；j l l ( x ) 和( 力为函数向量，它们分别为p 维和力维；g ( 功表示函数矩阵，为n p 维。函数向量和函数矩阵具体见下面的表示 厂( 力= 石( 工) 五( 力 五( 力 ， ( 力= j i l i ( x ) j i i 2 ( x ) h p ( 曲 ，g ( 石) = g l l ( 功9 1 2 ( 功g l p ( 工) 9 2 l ( 功9 2 2 ( 石) 9 2 p ( 石) g 。i ( 功g 。2 ( 曲g 印( x ) 并且，系统状态为0 时，有 厂( o ) = 0 ，五( o ) = 0 定义2 1 对于系统2 ( 1 ) ，当输入任意的输入信号u ，如果存在半正定的能 量存储函数y g ) ( 矿p ) = d ) ，使得不等式 一 y ( x ( r ) ) 一y ( z ( o ) ) i u l ( t ) y ( t ) d t ，v t 0 2 - ( 2 ) 6 成立，那么我们就认为系统2 ( 1 ) 是无源的，并且将式2 ( 2 ) 称作无源不等式【9 1 。 定义2 2 对于系统2 ( 1 ) 以及能量存储函数v ( d ，当输入任意的输入信号u ， 7 青岛人学硕十学位论文 如果存在正定的函数q g ) ，使得不等式 二二 y ( j ( d ) 一y ( 石( o ”si 掰1 ( t ) y ( t ) d t i q ( x ) a t ，v t 02 - ( 3 ) 66 成立，那么该系统就被称是严格无源的【4 1 1 。 我们将系统在0 时刻的能量和表示为y ( x ( o ) ) ，而把系统在t 时刻的能量和表示 为矿( x ( 丁) ) ，可见不等式2 ( 2 ) 的左端就表示系统t 时刻相对于0 时刻的能量增加值。 对于外部输入“( f ) ，若我们将单位时间内的外界注入能量表示为y r u ，则不等式2 ( 2 ) 的右端表示t 时刻相对于0 时刻，外界注入系统的能量之和，因此也可以说无源性 的概念是与系统的能量有密切相关。因此，从物理意义上看来无源不等式2 ( 2 ) ，t 时刻相对于0 时刻，外界注入系统的能量之和总是大于系统自身的能量增加值。这 也说明，对于无源系统而言，其内部的运动总是伴随着能量的消耗。 无源系统和稳定性之间也存在着密切的关系。由定义可以看出，如果有一 个正定的函数v ( x ) ( 我们称其为存储函数) 使得系统2 ( 1 ) 严格无源，则对于无 源不等式2 ( 2 ) ，当它的输入为零( “= 0 ) 时，有 矿u 7 ( f ) y ( f ) 一q ( x ) 一q ( 力 - 4 。峙幢r + 疋。眇。幢r + 届 他i 奶) r 巧：i k 睡+ a o ：f l e , l lr + 压 对v t 0 ，v q ，e 2 厶，都是成立的，那么当磊。+ 乞： 0 ，乞。+ 4 2 0 时，系统 g ：u y 是l 2 稳定的【3 】。 2 i 3 耗散性 上面介绍了无源性的概念，单位时间内外界向系统注入的能量用y r u 表示，同 时，系统自身所具有的能量用函数矿( 工) 表示，系统在运动过程中只会伴随能量的消 耗，而不能向外界输出能量，无源性反映的恰恰是这种特性。 如果考虑一般的供给率，那么下面给出耗散不等式，外界在单位时间内注入系 统的能量用更一般的输入输出信号函数s ( u ，y ) 来表示，那么下面的不等式 矿( x ( 乃) 一y ( z ( o ) ) i s ( “( f ) ，y ( t ) ) d t 2 - ( 6 ) 占 称为耗散不等式【4 。外界注入系统的能量之和总是不小于系统的能量增加值，即系 统内部只会伴随能量的消耗而不会产生能量。 定义2 4 对于系统2 ( 1 ) ，当存在半正定的能量存储函数v ( x x v ( o ) = 0 ) 和外界 能量供给率s ( u ，j ，) ，对任意的输入材，耗散不等式2 ( 6 ) 总是成立的，那么我们将该 系统称作对能量供给率s ( ”，y ) 耗散【4 1 1 。 由此可以看出，耗散性和无源性有密切关系的，耗散性是对无源性概念的一般 性的推广，而无源性是耗散性的特例。如果一个系统是无源的，那么该系统相对于 外部能量供给率s ( u ，y ) 来说，它是耗散的。如果v ( x ) 能量存储函数是光滑可微的， 则耗散不等式也可以用矿( 曲的微分形式 9 青岛大学硕十学位论文 y ( x ( f ) ) s ( “( f ) ，y ( f ) ) 2 一( 7 ) 来表达。 2 2 无源性与能量成形 系统通过“r ”和y r ”与外部的环境相连接，“和y 称作端口功率变量( 如： 电气系统中的电压和电流、平移机械系统中的力和速度、旋转机械系统中的转矩和 角速度) ，功率用它们的乘积来表示。“和y 满足下面的能量平衡方程【3 0 1 日【x o ) 】一日 x ( o ) 】= 【“1 ( s ) y ( s ) d s - d ( x ( t ) ，f ) 。 2 r ，。、。 存储的能量供给的能量耗散的能量 2 ( 8 ) ( 功表示系统总的能量存储函数，x r ”表示状态向量，非负函数d ( x ( f ) ，t ) 表示能 量耗散( 如摩擦和电阻) 。 如果一个系统能够满足能量平衡方程并且有日( x ) c ，也就是说能量函数是有 下界的，那么该系统就是无源的，相应的，y 被称作无源性的输出【删。 这里做几点说明： ( 1 ) 当u 三0 时，h 石( f ) 】日【x ( o ) 】，系统最后停在能量最小的点。 ( 2 ) 要使系统稳定运行在非零平衡点处，应加上输入控制。 ( 3 ) “= 一如y 为从系统中提取的能量，= 磁为阻尼注入增益，并且是正定 的，那么能量函数的收敛速率将得到提高。 ( 4 ) 一( 7 g 涉g 协s 日k ( o ) 】 铮从无源系统中提取的能量有界。 ( 5 ) d ( x ( f ) ，t ) 是非负函数，典型为【( ) 2 d s 。 2 3 端口受控耗散哈密顿系统 2 3 1 欧拉拉格朗日( e l ) 方程与哈密顿方程 通常情况下，对于力学系统运动问题的研究，系统的运动方程一般是通过欧拉 一拉格朗日( e u l 昏i a g r a n g e ) 方程【4 1 】 。 ：d 【i o l ( g ，口) ) 一罢( g ，口) ：f 2 - ( 9 ) a g o q叼 来描述。其中g = ( q lg ：，q 。) r 为以维广义位移向量，动能k 和势能p 之差用拉格 朗日函数l ( q ，口) 来表示，即l = k - p ，作用于系统的拧维广义力向量可以用 r ：( r 。，f ：，l ) r 来表示。列向量罢、罢分别表示广义的速度雪l ，一，吼和位移 呷叼 吼，g ：，q 。对拉格朗日函数l ( q ，圣) 的偏导数。动能k 在标准力学系统中可表示为 1 0 第二章理论基础 m ，护兰雪m 们 2 一( 1 0 ) 其中m ( g ) 为惯性矩阵( 即广义质量) ，它是刀，l 维的，并且对于任意q 都是对称正定 的。 我们定义广义的动量列向量p = ( p i 一，以) 为p = i o l ，表示成 p = m ( q ) i l2 - ( 1 1 ) 如果系统的状态向量取作( p l ，一，p o ，g l ，吼) r ，那么可将2 - ( 9 ) 中的n 个二阶方程变 换成为2 n 个一阶微分方程，如下： 圣：_ o h 【g ，p ) ( ：m m 一1 ( g ) p )g = ：一【g ，p ) 【=。【g ) p ) 。研，、 2 ( 1 2 ) p2 一- i g ，p j 十r 叼 其中系统的总能量为 h ( 仍g ) = j 1p ml ( g ) p + 以9 ) ( = 汐m ( 们+ p ( g ) ) 2 - ( 1 3 ) 我们将方程2 ( 1 2 ) 称作系统的哈密顿方程，称作系统的哈密顿函数【4 1 1 。 因此从式2 ( 1 2 ) 9 可以能得出系统的能量平衡方程 丢日= 等慨p 肿等b p 肛等p 胪打 2 羽4 ， 由此能量平衡方程可以看出，外界对系统所做的功等于系统自身的能量变化，这与 能量守恒定律相符合。 2 3 2 端口受控哈密顿( p c h ) 系统 在q = ( g l ，一，q 。) 下，具有输入输出的哈密顿系统，其一般的形式为 香：o h ( = q , 一p ) ， g ，p r p ：一o h j ( q 一, p ) + 曰( g ) 材， 材尺肘 2 ( i 5 ) 钾 y ：b t ( g ) 掣：曰r ( g ) 雪，y r m 输入力矩阵为式中的曰( g ) ，控制输入“所产生的广义力用s ( q ) u 来表示。m k 时， 系统称作欠激励系统，m = k 时，系统称作全激励系统，表示的是一个特殊的具有输 入输出的哈密顿系统，其欧拉拉格朗日方程可用哈密顿函数表示为 青岛人学硕十学位论文 口：_ o h ( g ，p ) ，p ：( p i ，见) 户= _ o 却i - i ( g ，p ) + “，“= ( 甜i ，) y ：掣( g ，p ) ( ：帅：( m ，儿) 印 系统2 一( 15 ) 9 表示成非线性系统 j = 厂( z ) + g ( x ) u y = ( z ) 2 - ( 1 6 ) 再作进一步扩展，可表示为 j ：( 砷+ g ( 砷u - j ( 石) 掣+ g ( x 蹴 2 - ( 1 8 ) y ：h ( x ) ：g r ( 力掣 在这里，( 功为，l 刀维的反对称矩阵，即j ( x ) = 一j7 ( 石) ，而且矩阵中的每一个元素 都是关于x 的光滑函数，系统2 - ( 1 8 ) 称作是结构矩阵为，的端口受控哈密顿系统【4 。 2 3 3 端口受控耗散哈密顿( p c h d ) 系统 根据文【4 1 】、【4 8 和【5 l 】，将阻性元件接到p c h 系统的一些端口上，我们可以将 能量耗散的概念引入到p c h 系统这个框架当中，进而得到如下的端e l 受控耗散哈密 顿( p c h d ) 系统模型 文：【_ ，( 曲一r ( x ) - 笺5 2 + g ( x ) “ 一 一 2 - ( 1 9 ) j ，：g7 ( x ) 掣 在这里，系统内部的互联结构通过，( 曲反映，j ( x ) 为反对称矩阵，即，( 力= - j r ( 曲； 端口上附加的阻性结构通过尺( 曲反映，尺( 石) 为半正定的对称矩阵，即 r ( x ) = r ，o ) 0 ；输入矩阵g ( 曲反映了系统的端1 2 1 特性。系统存储的能量用日( 曲来 表示，它是系统的哈密顿函数，并且当日( 曲有下界时，系统2 - ( 1 9 ) 就是一个无源的 系统。 我们以矩阵，( 曲是反对称的为前提，对系统存储的能量h ( x ) 按时间进行求导， 得到 掣( 删玎y 一掣( 删肌) 罢( 删 吼( x o ) ，假设 h d ( x ) = 圩( x ) + h 。( x ) 2 一( 2 1 ) 在反馈控制“= 口( 石) 下，闭环控制系统变为 j ： 厶( 石) 一心( x ) o i - i 娶x ) 2 ( 2 2 ) 其中，见是通过反馈控制注入到系统中的能量，它是待定的能量函数；以( 功，见( 功 分别表示期望的互联和阻尼矩阵。 定理2 3 对于p c h d 系统2 - ( 1 9 ) ，给定- ，( 曲、r ( x ) 、h ( x ) 、g ( x ) 和期望的平 衡点而，若能找到反馈控制“= a ( x ) 、兄( z ) 、j 。( x ) 以及向量k ( x ) 满足 山( 曲一局( x ) ( 功：1 以( 功一咒( 功】望掣+ g ( 工皿( 力 2 ( 2 3 ) 并且 ( 1 ) 厶( x ) = - ，( x ) + 以( x ) = 一，；( 力，蜀( 石) = r ( 石) + 兄( x ) = 尺；( x ) 0 2 - ( 2 4 ) 圆豢c 曲= 釉 r 2 也5 ， ( 3 ) k ( 而) ：一= o h - ( 而) 2 ( 2 6 ) ( 4 ) 篆( 护一百0 2 h i , 而j