（科学技术史专业论文）明末清初《几何原本》影响下的几何作图16071723.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 本文主要以西方尺规作图法在中国的传播为线索，通过研究明末清初 中算家的几何学研究工作，指出中算家以本土化的方式来解释和吸收西 法，并研究了他们结合中算的特点所做出的卓有成效的工作；在此基础 上，进一步分析了欧氏几何对中算几何作图的影响。 本文包括三个部分，内容主要有： 第一章回顾了传统数学早期发展过程中出现的几何作图，探讨其内 容、应用范围和发展状况；同时分析了几何原本( 前六卷) 和几何 要法( 四卷) 两书所涉及的尺规作图内容；经过比较，指出中算几何作 图和欧氏尺规作图两者各自的特色和差异。 第二章通过研究梅文鼎、李子金、杨作枚等人为代表的对西算的本土 化工作，挖掘其几何作图的方法和创新之处，认为这些工作充分体现了 中算家以多样的方式学习和应用西方几何作图法，体现了他们对欧氏尺 规作图的理解和改良，同时也代表了当时中算家工作的主流。 第三章以徐光启、梅文鼎等人的工作为例，从作图知识的更新、形数 结合思想的完善以及演绎证明的引入三方面详细分析，论述了中算在西 法碰撞下的改变。进一步展示了中算家对欧氏几何公理化体系的理解和 吸收。 本文研究表明，明末清初中算家在对西学本土化的工作中，将西法以 更适合中算发展的方式融入中算，完成了诸多的创新工作，并在此过程 中形成了新型的思维结构，达到了对传统数学知识更新的效果，促进了 中算的进步。 关键词：中算传统，尺规作图，本土化，创新 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h eg e o m e t r o g r a p hk n o w l e d g eo fe u c l i d se l e m e n t s ( j i - h e y u a n - b e n ，v ) ，w h i c hw a si n t r o d u c e di n t oc h i n aw i t hw e s t e r ns c i e n c e ，a n d w a st r a n s l a t e di n t oc h i n e s eb ym a t t e or i c c i ( 利玛窦，15 5 2 - - - 1610 ) a n dx u g u a n g q i ( 徐光启，1 5 6 2 - - 1 6 3 3 ) i n1 6 0 7 ，t h i sd i s s e r t a t i o nd e e p l ys t u d i e st h e c h i n e s em a t h e m a t i c i a n s g e o m e t r yw o r k st oa n a l y z et h e i ru n d e r s t a n d i n g ， u s a g ea n dr e c o n s t r u c t i o no fg e o m e t r o g r a p ht h e o r y t h ep a r t i c u l a rr e s t r i c t i o n s o fi n s t r u m e n t si ng e o m e t r o g r a p hi n s p i r e dc h i n e s em a t h e m a t i c i a n st om a k ea l o to fi n n o v a t i v ew o r k sd u r i n gt h i sp e r i o d i tc o m e st ot h ec o n c l u s i o nt h a t c h i n e s em a t h e m a t i c i a n s t o o kt h e i ro w nf a m i l i a rt e r m sa n da p p l i c a b l e m e t h o d o l o g yt oa d a p t t ot h e d e v e l o p m e n t o fc h i n e s eg e o m e t r y , a n d c o n t r i b u t ea1 0 td u r i n gt h ep r o c e s s t h e p a p e ri n v o l v e sf o u ra s p e c t s c h a p t e r o n ed e a l sw i t ht h ec h i n e s et r a d i t i o n a l g e o m e t r o g r a p h k n o w l e d g ei na n c i e n tc h i n a ，a n dr e v e a l st h em o d ea n dc o n d i t i o nb e f o r et h e e x c h a n g eb e t w e e nc h i n aa n de u r o p ei nt h e17 t hc e n t u r y t h e nt h ep a p e r e l a b o r a t e st h ee x a m p l e so fg e o m e t r o g r a p hi nt h ee l e m e n t s ( i - v i ) a n dj i - h e y a o - f a ( o u t l i n eo fg e o m e t r y ) ，t h ec o m p l e m e n tt ot h ee l e m e n t s ；t i f f sp a p e r c o m p a r e dt h ec h a r a c t e r i s t i c sb e t w e e nc h i n e s eg e o m e t r ya n de u c l i d so n ea n d a sar e s u l t ，t h ed i s c r e p a n c i e sb e t w e e ne a c ho t h e ra t t r a c t sm o r ea n dm o r e a t t e n t i o na r o u n dc h i n a c h a p t e rt w oa n a l y s e st h eg e o m e t r yw o r k so fc h i n e s em a t h e m a t i c i a n si n t h ee a r l yq i n gd y n a s t y , s u c ha sl iz i j i n ( 李子金，16 2 2 - - - 17 01 ) a n dm e i w e n d i n g ( 梅文鼎，1 6 33 - - - - 17 21 ) ，i nt h ei m p r o v e m e n to fg e o m e t r o g r a p hc a s e s a p p e a r e di nt h ee l e m e n t s ，a n d a b o v ea l l ，i n n o v a t i o n ；t h e ni tc o m e st ot h e c o n c l u s i o nt h a tt h e i ra c h i e v e m e n t si n i t i a t eac o m m u n i c a t i o nb e t w e e nc h i n e s e a n dw e s t e r nm a t h e m a t i c sb yu s i n gt h ea p p l i c a b l em e t h o di nt h e i rs t u d yo f g e o m e t r y 内蒙古师范大学硕士学位论文 c h a p t e rt h r e er e v e a l ss e v e r a lc h a n g e su n d e ri n f l u e n c eo fi n t r o d u c t i o no f e u c l i d s g e o m e t r y , i n c l u d i n gu p d a t e dk n o w l e d g e ，t h en u m e r a l f i g u r e i n t e g r a t i o na n dd e d u c t i o np r o o f , w h i c ha p p e a r e di nc h i n e s eg e o m e t r ya n d e s p e c i a l l yt h o s ei nm e iw e n d i n g sa n dx ug u a n g q i sl i t e r a t u r e s ，p u s h e d f o r w a r dt h ec h i n e s eg e o m e t r yf u r t h e r , a n di m p l i e dt h a th o wc h i n e s e m a t h e m a t i c i a n su n d e r s t a n da n da s s i m i l a t ea x i o m a t i cm e t h o d s u m m a r i l y , t h ep r e s e n t r e s e a r c hi n d i c a t e st h a tt h ec h i n e s e m a t h e m a t i c i a n sh a dt o o kt h em o r er e a s o n a b l em e t h o di nt h e i rs t u d i e s a n d f u s e dw e s t e r ng e o m e t r ya n dc h i n e s eg e o m e t r ys u c c e s s f u l l y , w h i c hm a d e t h e ma c c o m p l i s h e di nan e w s t y l et h i n k i n gm o d e ld u r i n gt h ep r o c e s s ，s oa st o a d v a n c et h ed e v e l o p m e n to fc h i n e s eg e o m e t r y k e yw o r d s ：c h i n e s em a t h e m a t i c a lt r a d i t i o n s ，g e o m e t r o g r a p h ，c h i n e s e ， i n n o v a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 d 呻年6 其，j 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：吗兰 导师签名： 日期：砂呻 年6茂，气 b 引言 _ 1 历史背景 引言 众所周知，1 5 - 1 7 世纪的地理大发现促进了各民族间的相互往来和影响，同时欧 洲宗教改革运动的发生使天主教会内部产生了一次革新，新航路的开辟以及宗教生活 的振兴，促成耶稣会士参加到这场欧洲文化东来的运动中。明末清初，中国正处在两 个封建政权的兴衰交替时期，无论是明末统治者还是清初统治者，都迫切需要进行历 法改革1 ，耶稣会士中有不少是身怀绝技的学者，他们知识渊博，凭借掌握西方先进 的天算知识和优越于中算的方法，赢得了士大夫阶层的信任，最终得以进入钦天监。 另一方面，当时中国传统数学发展出现“停滞”状态，先进的数学知识促使中算产生 了变化，传教士们正是在这样的双重背景下，通过传播西学来赢得中国民心的支持， 西方天文、数学体系便以此为契机开始了在中国的传播。 几何原本( e u c l i d se l e m e n t s ，以下简称原本) 是随着传教士带来的科技知 识一起传入中国的。1 6 0 3 年，徐光启( 1 5 6 2 1 6 3 3 ) 与意大利来华传教士利玛窦( m a r c o r i c c i ，1 5 5 2 - 1 6 1 0 ) 筹划翻译此书，于1 6 0 6 年秋正式开始翻译，由利玛窦口授，徐光 启笔录。利玛窦，1 5 7 7 年5 月从罗马出发，于1 5 8 3 年9 月来到中国大陆宣扬基督教， 为了成功地吸引民众，一方面他给国人公开展示带来的物品，如地图、星盘、日晷、 圣母像、三棱镜等，另一方面他将自己掌握的数学和天文知识讲授给国人，如欧氏几 何、投影几何、透视画法等，为国人顺利地接受西方知识打下了基础。 在当时的情况下，数学这门传统科学急需获得生命力，利玛窦就是在这样的社会 背景下，通过传播西方的数学来赢得国人的支持和信任，并且“以自己的数学知识震 慑了中国人”2 。徐光启也不遗余力地推崇几何原本，称之为“度数之宗，他认 为西方几何学是由事物的数量关系到事物的内部规律，即由“数 达“理”的思维， “能令学者去其浮气，练其精心；学事者资其定法，发其巧思。3 1 6 0 7 年5 月，在中 西学者的共同努力下几何原本前六卷的汉译本于北京刊行。几何原本中出现 的较为严密的逻辑推理形式和公理化系统，使中国传统数学在体系和方法上受到了冲 击，令中算家耳目一新，从而影响并改变了一些学者的思想观念和研究方法。“尺规 作图 就是这种影响下的表现之一。 1 梅荣照，明清数学概论【j 】，明清数学论文集，南京：江苏教育出版社，1 9 9 0 ：11 1 2 2 利玛窦，全尼阁，利玛窦中国札记【m 】，棒林：j “硝师范人学出版社，2 0 0 1 ：1 2 0 3 【明1 徐光启，几何原本序徐光启著译集，上海：上海古籍出版礼，1 9 8 3 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 中国古代的度量之学与西方欧氏几何有许多不同之处，尺规作图是其中的一个内 容。从中国古代最早出现的规矩等作图工具的使用来看，传统数学也已具备了作图的 基本知识，如在刘徽4 与赵君卿的工作中都有体现。图形在中国传统的测量术、天元 术中多有出现，也是传统测算常用的辅助手段，犹以勾股形研究颇多，但中算家擅长 的是利用几何图形来测量计算，将其视为“量度 ，却往往不注重推理和总结作图方 法及阐述其数学性质，至于图形的作法往往是“不言而喻”的，因此在中国古代数学 中就不可能对几何作图方面提出需要解决的问题。而几何原本等西方几何体系的 一大特色是先给出图形的定义、公理、作图法( 简易作图法) ，再进行论证、推理逻 辑关系，从而发现并提出新的问题，以明确的要求、精确的术语、清晰的性质构成了 一套系统的几何作图法。 西学进入中国后，历法中的中、西之争日趋剧烈，一般学者都想弄清中西天文学 和数学的优劣，因而学习和研究几何原本的日益增多。5 中西两者的差异影响了 中算家对待“尺规作图”的态度，它冲击了传统“测”和“算 的陈旧模式，脱离了 面积变换，而是基于平行、相似或垂直等性质进行推理，在后续的历算研究中展现出 了很大的优越性，引起了中算家的注意。很多人开始尝试引用“尺规作图的要求、 方法，模仿或者自创一些定义，应用于传统的问题中，这些尝试令中算家发现需要进 一步研究的问题，推动了新概念和新方法的发明及引入，同时使得西法在中算得以“合 理化 ，表现出了本土化的趋势，中算将欧氏几何作图引进的同时也获得了生命力。 几何图形是解决几何问题最直观的手段，几何图形和作图法的演变是几何学发展 的最直观表现。本文即在上述背景之下，以中算家在引进、吸收和完善欧氏几何作图 过程中的创新工作为例，分析了中算将尺规作图本土化的趋势，是这一时期几何学在 中国发展状况的一个直观反映。同时，分析这一时期中西两家之法的互动情况，也从 一个侧面反映了西学在中国的传播。 2 研究现状 ( 1 ) 在明末清初中国社会的学术文化背景方面，田淼的新作中国数学的西化 历程一书厘清了明清几何学传入的时代背景，及其对明清数学工作的影响，为本文 提供了诸多史学依据。数学史学家对几何原本及其涉及的相关问题有较多研究， 特别是莫德主编的多部几何原本研究沦文集，全面整理收集了前人研究几何原本 4 李迪，刘徽的儿何作图，刘徽研究【c 】，两安：陕两人民教育出版社，1 9 9 3 ：2 0 5 - - 2 1 8 5 梅荣照，明清数学概论，明清数学论文集l c 】，南京：江苏教育出版社，1 9 9 0 ：1 1 1 2 2 引言 的工作，为笔者在查阅资料时提供了方便条件。郭世荣在“论几何原本对明清数 学的影响中，专门从原本的尺规作图这一角度提出对“几何作图的研究是尤 为重要的，本文正是在此文的启发下构建的。梅荣照、王渝生、刘钝诸位学者从 几 何原本传入中国的经过谈起，举例分析了原本对徐光启、梅文鼎等明末清初学 者在几何方面受到的影响，对他们所做的“会通 工作进行了较全面的总结，从而深 刻探究了欧几里得原本的传入和对我国明清数学的影响，为本文提供了思想和背 景两方面的线索。兰纪正、朱思宽等学者研究过几何原本中的尺规作图问题；莫 德的著作欧几里得几何学思想研究一书也为此项研究提供了极大的启示。 ( 2 ) 在中国传统几何作图方面，一些相关的研究为本文提供了很多启示。沈康 身、吴文俊、李迪对我国古代独特的勾股作图发表过见解；特别是李迪的“从古代铜 镜上的花纹探讨古代等分圆周方法”一文，对传统几何作图及应用有独到的见解；李 俨研究了中国古代正多边形的实用作法；许莼舫中算家的几何学研究一书中记载 了古代勾股图形1 9 种，钱宝琮的“中国数学中的整数勾股形研究”6 对清代数学家所 创的“勾股形”研究有详细的介绍，李俨的“明清算家的割圆术研究也涉及到明清 时期的作图；在作图工具方面，李迪还专门研究了中国古代的“规 7 ，兰纪正探讨 了欧氏几何对作图工具限制的意义；在作图的应用方面，刘克明、杨叔子等人所做的 “我国古代工程几何作图的科学成就的研究为本文列举了很有价值的实例，同时他 们的另一篇文章“中国古代工程制图的数学基础 也为本文提供了方法论上的启示。 ( 3 ) 关于明末清初学者是如何消化吸收几何原本的，也有多部研究著作， 特别是对徐光启和梅文鼎这两位“会通 中西的代表人物的研究颇多，梅荣照专门研 究过徐光启的成就，以及他在翻译几何原本前六卷时首创的数学作图译名，还探 讨了梅文鼎与徐光启对于西方数学的不同态度，刘钝的“梅文鼎在几何学领域的若干 贡献 和郭世荣的“梅文鼎的会通中西工作详细地列举了梅氏在几何学方面的“会 通中西工作及其“几何即勾股”论；“几何图解法 是梅文鼎工作中的一大特色， 李迪、郭世荣的清代著名天文数学家梅文鼎一书对此法做了详细的探讨。近几年 也出现了一些与此方面相关的学位论文：内蒙古师范大学潘丽云的硕士论文研究了梅 文鼎的数学证明，内蒙古师范大学郭静霞的硕士论文阐述了几何原本中术语的使 用及演变过程，还有内蒙古师范大学董杰的硕士论文也涉及了明清中算家的几何作图 工作。中国科学院自然科学史研究所赵彦超的博士论文则详细探究了清代勾股的发 展，及西方数学知识的传入对中国传统数学发展所起到的作用，对此项研究具有很大 6 郭书春，刘钝，李俨钱宝琮科学史全集( 第9 卷) 【m 】，沈阳：辽宁教育出版社，1 9 9 8 3 1 3 3 3 0 7 李迪，我国历史上的一种圆规【j 】，中国数学史论文集( 三) ，济南：山尔教育出版社，1 9 8 7 ：5 5 - - 5 7 3 内蒙古师范大学硕士学位论文 的参考价值。以上的研究成果为进一步深入研究明清时期西学传入对几何作图的影响 提供了有益的启示，但还有许多工作有待完成。 第一：明末清初传入中国的西学著作吸引了众多目光，多数学者是对几何原本 或其传入前后某一部著作或者某一人物进行独立的研究，至今还没有一篇文章来专门 整理和讨论明清之际“几何作图 的发展。第- -以几何原本为例，从“几何作 图”这一角度来剖析西学几何知识和方法的引进与吸收是分散和零星的，对中算家的 几何作图工作的探讨也是只言片语。因此，全面深入的研究几何原本影响下的几 何作图的发展历程是十分必要的。 3 研究思路 在探索几何作图的历史演变前，先要确定研究的时段。本论文将主要研究时段定 为：从几何原本前六卷中译本问世( 1 6 0 7 年) 到数理精蕴的出版( 1 7 2 3 年) 之前，理由有二：其一，“尺规作图”是随着几何原本、几何要法以及随后的 西学历算著述来到中国的。从1 6 0 7 年原本前六卷的翻译出版开始，尺规作图、 演绎证明、定理推论的阐述等公理化形式的几何内容影响了几代中算家的研究。此后 的数学研究不可避免地被“西化”，出现了以“几何”为名的诸多专著。其二，1 7 2 3 年以前的几何学著作已经能代表当时中算家的几何水平，对于尺规作图的接受和应用 程度已显而易见。此时段出现的大部分中算书已被收入四库全书、中国历代算学 集成、中国科学技术典籍通汇数学卷等丛书，有利于展示中算几何作图的演 进。 本文写作的主要思路是： 一、获得尽可能多的史料，这是研究的第一步。几何作图的内容本身在古籍文献 中的位置不是特别显要，绝大多数图形也是重复的，但为了达到充分占有史料，本论 文参考了郭书春主编中国科学技术典籍通汇数学卷( 共5 卷) ，靖玉树编中 国历代算学集成( 共3 册) ，文渊阁四库全书子部天文算法类、四部备要子 部中所有中国古代数学著作，以及梅氏历算全书、李子金几何易简集等数 学古籍，和郭书春、刘钝校点的算经十书( 上、下册) ：从中提取涉相关内容，以 构成本论文的史料基础。 二、进一步挖掘史料，变“旧 为“新 。由于之前有很多学者认为几何要法 是几何原本前六卷的删减，因而研究未及深入，本论文在深入分析了几何要法 的原著后，发现其对尺规作图在中算的推进产生了很大的作用，对明清的数学家研究 4 引言 几何作图提供了参考；这一时期也产生了许多会通中西数学的产物，历来备受数学史 家的重视，李俨、钱宝琮均对之作过介绍。本论文通过对典型人物及其著作的特点进 行分析，发现其在尺规作图方面表现出的独特蕴旨。 三、通过分析多位中算家的具体工作，展现几何作图在中算的演变进程，和西算 对于中算的影响。一般而言，通过某一点来描写一段历史是十分困难的，尤其本文的 研究对象在历史上所占篇幅较少，但却是不可或缺的；况且时间跨度长达近1 2 0 年， 对史料描写的总是不能够淋漓尽致，这就更需要细致深入地分析每一段史料，以细致 弥补不全面的缺陷。有些史料往往给出题目和解法，其作图法却并未阐明，这就需要 追根溯源，找到其出处和特点，于此判断他对待尺规作图的态度和接受西学的程度。 4 论文框架 通过挖掘史料，第一章首先对中国传统数学作图的内容进行整理分析，从中得出 传统几何图形的作法和依据，以及这些图形所应用的范围，目的在于探究中国古代几 何作图发展过程中所出现的问题。相比之下，几何原本和几何要法中的尺规 作图内容是逻辑性强的，本文将后者对前者内容的补充加以对比分析，结合这两者所 体现的特点，最终得出中国传统数学作图与欧氏几何作图存在的差异。 在中国传统数学面临着选择发展方向之时，中算家以符合中算的方式来解释和运 用西法，即以“本土化“的方式来发展中算是当务之急。受欧氏几何的影响，中算家 得到了很多启发，在第二章中，将以梅文鼎、杨作枚、李子金等人的几何作图工作为 例，找出他们在此方面的创新点，从中可以得到这样的结论：明清时期的数学家对待 西学，更多的是“不盲从 、专采“求是”的态度，以更符合中算的理解方式来学习 西法，这在一定程度上促进了中算的进步。但其中也不排除一些本着“维护中算”的 初衷去诠释西发的态度，势必造成不能全面理解这一外来文化。 西学带给中算的不仅仅是知识内容上的丰富，更重要的是抽象逻辑和演绎体系的 建立，这在一定程度上改变了中国学者的思考方法，重塑了他们的思维方式。第三章 将把中算在西法碰撞下的表现归纳为几点说明。 5 内蒙古师范大学硕士学位论文 1 中算传统作图法及西方尺规作图的传入 中国古代数学中缺少有关几何作图的研究，因此没有形成一套科学完整的几何 作图体系，但是数学研究离开图形是无法完成的，古人重视图形的效能和应用，这在 很多方面都有体现。中国古代十分注重测量术，并将实际事物抽象为简单基本的几何 图形，如周髀算经中陈子测日的方法、海岛算经中的测望问题、刘徽注九 章算术“四表望远 和“因木望山 等题目，都是将海岛、山、树、髀( 表) 、影子 等实际事物抽象为平面上的直线、点和勾股形，作成日高图、再加以代数化求解，这 是古代几何作图的表现。 明末，在华传播最广的西方数学是几何学，其中最重要的著作是几何原本， 另有一些著作传播古希腊几何学，其内容大多取于上述几何原本译本。8 随着几 何原本前六卷的翻译出版，西方科学大量传入中国，以徐光启为代表的一批学者以 “翻译、会通、超胜为理念，掀起了学习西学的热潮。 本章首先追溯中国传统作图的源流，挖掘其内容、目的和应用，再结合几何 原本前六卷、几何要法等书传入的尺规作图内容，对比中算西法，试析传统几 何作图在中算发展中的影响和出现的问题。 1 1 1 早期的应用 1 1 传统几何作图概观 几何作图是几何学的重要组成部分，包括了基本形如点、直线、圆形、三边形、 四边形及以上、圆与直线形互容关系等图 形的作法，早期的几何作图主要应用于天 文历法、绘画和艺术制造上，而且也是古 代工程制图的技术基础。 最早在新石器时代( 约5 0 0 0 6 0 0 0 年 前) 陶器上有所反映，其广泛应用的几何 花纹图案采用了点、线、圆、方构成，这 些几何图形有一定的规律，包括同心圆、 和圆周的3 等分、4 等分、6 等分、8 等分、 1 6 等分，平行线、菱形、三角形、螺旋线 囡图圆圈 圜圜圜圈 劈燕墼隰巫丕盈涩逐 西亟叉题爨戆霭飘 图l - i 新石器时代陶器上的儿何作图 ( 引自中国古代i 程儿何作图的科学成就) 8 吴文俊，中国数学史人系( 第七卷) 【m 】，北京：北京师范人学出版社，2 0 0 0 ：4 6 - 4 7 6 第一章中算传统作图法及西方尺规作图的传入 等等，如图1 - 1 。9 到公元前1 6 世纪，我国进入青铜器时代，殷商青铜器纹饰除了由 点、线、圆、方、圆等基本形状构成以外，图形更注重了抽象化和多变性。春秋战国 时期发明的铜镜，其花纹有许多几何图案，仍然涉及到等分圆周、同心圆、平行线、 圆弧等，到了秦汉时期的铜镜，最常见的有3 、6 、8 、1 2 和1 6 等分圆周，特别是8 和1 6 等分圆周最多，这是因为3 、6 、1 2 和8 、1 6 都能用规和矩准确地作图。1 0 但具 体的作图法则却没有详细的记载。然而，古人能够很自然地使用点、直线、方形、圆 形、三角形等基本图形，并掌握了一定范围内的尺规作图，如用规和矩来六等分圆周、 再平分每一段弧从而变成十二等分，四等分圆周就可以得到八等分、十六等分圆周等。 除此以外，中国古代的图学家们成功地运用数学的方法指导工程图样的绘制，其中包 括比例法、投影方法的运用、对基本视图的认识与运用等等，形成了较为丰富的工程 制图理论。n 从新石器时代到殷商时期，从春秋战国到秦汉之际，几何作图的内容不断充实， 方法不断演变，可以依据传统数学书籍的记载来详细探讨其中的内容。 1 1 2 几何作图的基本内容 周髀算经记载了古代人们在平面上作几何图形的方法“万物周而圆方用焉， 大匠造制而规矩设焉或毁方而圆，或破圆而为方方中为圆者谓之圆方，圆中为方 者，谓之方圆也。 “方圆”所指圆的内接正方形，而“圆方”指圆的内接正方形。九 章算术说道：“凡物类形象，不圆则方。可见古人承认了正方 形的存在，即认定在给定的线段上可以作正方形。1 2 而且在墨经 里记载着正方形的作法和定义，经译为“方是边和角皆四正之形； 方以用矩画四直线相交而成四直角故”1 3 ；前一句话对正方形下了 定义，“四正之形 所指的应是四个角都是直角、四条边都相等， 后一句阐释了作法：以矩为准，作四条相交直线，即正方形。同 样的道理，还有一种说法“方之为形，四边相等，四角相等；矩 者为之器也，以矩画方，其线相交，则成方形 1 4 0 九章算术 还记载了正六边形的简便作法：“圆中容六弧之一面。与圆径之半， 图1 - 2 9 刘克明，杨书子，蔡凯，中国古代j r 程几何作图的科学成就r j 】，中国科学基金，1 9 9 9 ，( 3 ) ：1 6 3 1 6 7 1 0 李迪，从古代铜镜上的花纹探讨古代等分圆周方法【j 】内蒙古师范学院学报，1 9 9 7 ，l ：6 6 7 2 刘克明，杨叔子，中国古代i ：稗制图的数学基础 j 】人自然探索，1 9 9 8 , 4 ( 1 7 ) i 1 4 “9 忆朱恩宽，中国古代几何的基础【j 】，陕西师人学报，1 9 9 5 ，( 1 ) ：1 0 5 1 1 1 d 谭戒甫，墨经分类译注【m 】，北京：中华j t s 局，1 9 8 1 ：3 8 - 4 1 m 高亨，墨经校诠【m 】，北京：科学出版社，1 9 5 8 ：6 6 6 7 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 其数相等”1 5 这是我国出现多边形作法的最早记载，是传统割圆术的产物，图1 - 2 是 随几何原本前六卷传入中国的，戴震将此图补充到九章中j b 图1 - 3 中国传统数学中较少提及平行线，但 有学者认为古代天文学确定方向的方法 中蕴藏了平行线的作图法。如， 淮南子 天文训载：“正朝夕：先树一表东方； 操一表却去前表十步，以参望日始出北 廉日直入，又树一表于东方，因西方之 表，以参望日方入北廉。则定东方两表之 中与西方之表，则东西之正也川6 若改用 几何语言叙述这一作图法：己知直线a ， 和直线外一定点o ，过点o 作一直线与a 平行。作图如下( 图卜3 ) - ( 1 ) 以o 为圆心，单位长为半径作圆，交直线a 于两点m 、n ( 2 ) 取o m 、o n ，分别在m o 的延长线及o n 上取两点a 、b ，使o a = o b ( 3 ) 连接a b ，取其中点c ，连接o c 作直线b ，则直线a b 显然，按照欧氏几何上述作图法是正确的。1 7 无论是测量术，还是中国式的“证明 ，可以肯定地说，传统数学以“定量 研 究为主要的方法和目标，而数值计算又离不开图形的辅助，特别是勾股形的辅助。虽 然勾股能否被称为中国古代的几何学至今尚存疑议，但毋庸置疑的是，勾股是中国古 代几何学最重要的一个组成部分，围绕勾股形进行的几何问题几乎占据了中国古代几 何学的全部，从刘徽注“勾股容圆、容方 、到李冶的“圆城图式”、朱世杰的“旬股 形五和五较演段”，再到徐光启的“正法十五条 等，中算家始终怀有勾股形主导中 算的情结。因此，我们有必要首先将勾股本身的含义阐明。 传统数学对勾股早有说明，最早出现“勾股 一词的周髀算经说道：“折矩 以为句广三，股惰四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘得成三四五，两矩共 长二十有五，是谓积矩”1 8 古人发现正方形的一半即为矩，可以“折矩以为勾广三， 股惰( 修) 四，径隅五”赵爽认为“故者申事之辞也，将为勾股之率，故日折矩也”； 5 九章算术，见郭伟春主编中国科学技术典籍通汇，数学( - - ) ，郑州：河南教育出版社，1 9 9 3 1 6 刘安，淮南子，上海：上海古籍出版社( 影印本) ，1 9 9 9 ：3 8 1 7 刘沽氏，中国传统数学中的平行线，自然科学史研究【j 】，1 9 9 2 ，1 l ( 1 ) ：1 8 在此文中，作者列举了诸 多例子来证明中国古代数学家讨论过平行的概念、平行线的性质及其作图法，并用以解决过一些 几何问题 博程贞一先生认为这实际是勾股定理的证明 8 第一章中算传统作图法及西方尺规作图的传入 还解释了勾股弦三边的概念：“广圆之周横者谓之广，勾亦广，广短也”、“应方之匝 从者谓之修，股亦修，修长也”、“自然相应之率，径直隅角也，亦谓之弦。 1 9 刘徽 在九章注里也为“勾股”下了定义，他遵循的是传统数学的“度量 原则，并为 勾股弦三边的长度关系做了明确的说明：“短面日勾，长面日股，相与结角日弦，勾 短其股，股短其弦。”2 0 这样，传统数学的大量工作大多是基于以上定义完成的。 赵爽的弦图( 图1 - 4 ) ，是传统数学最具特色的几何图形，这种利用“弦图的移 补凑合证明勾股定理的方法，可谓后世“演段 算法的先驱。2 1 就古代数学中存在的 一切平面几何问题来说，中算家大都是依靠演段算法进行图形 求积、开方、级数运算以及求解高次方程的研究。所谓演段算 法，就是把图形作适当的分割，再移补凑合或推演而成相同的 几个，藉此显出各形间的相互关系，而得到问题的解答的一种 解题方法。因此，演段法涉及到图形的作法，是一种典型的以 图解题的方法。 图1 4 赵爽在“勾股圆方图注里的证明推理即体现了演段的特点，也是中国传统的构 造性证明。他在注中写道：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以 勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”这里的关键是构造了四个全等的勾股 形和中间一个以勾股之差为边长的正方形，“朱实”即为勾股形的面积，“黄实”即为 中间正方形的面积，“朱、“黄用来表示区分。根据弦图及以上叙述，设直角三角 形的勾、股、弦分别为口、6 、c ，则曲为两个朱实，2 a b 为4 个朱实，( 6 一口) 2 为一 个黄实，四个朱实加一个黄实就等于弦实。 右图 图1 - 5 左图 1 9 周髀算经，四部侑要子部上海：中华二f 5 局，南陵徐氏积学斋藏明刊本( 缩印) 加九章算术，见郭书春主编中国科学技术典籍通汇，数学( 一) ，郑州：河南教育出版社1 9 9 3 2 1 许莼肪，中算家的儿何学研究【m 】，北京：中国青年出版社，1 9 5 3 ：3 - 5 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 即2 a b + ( b 一口) 2 = c 2 ，化简得：a 2 + 6 2 = c 2 ，“勾股各自乘，并之为弦实，开方 除之即弦 。为了演出其理，他还绘出了一系列图形( 图1 - 5 ) ，涉及到句股形三边和 较关系的多种运算。 与此相比，刘徽在九章算术注里以“出入相补 验证了勾股定理：缸勾自乘 为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂， 开方除之，即弦也。”与赵爽的方法所不同的是，刘徽依图分割，以“出入相补，各 从其类 来移补拼凑，恰能成为一个弦自乘的正方形，省去了一些数字和计算，同样 证得到了勾股定理。钱宝琮先生认为，刘徽善于在图形上运用面积的“以盈补虚”方 法来证明，勾股定理、重差术等术都是利用了面积图形来显示计算过程。“出入相补， 各从其类原则上和“以盈补虚 是一致的。 刘徽已经认识到图形的简洁直观对于推理和解决数学问题的重要性，他把图形做 为逻辑推理必备的事物，“又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览 之者思过半矣。”2 2 因此他对图形的绘制一定考虑到了解题的要求；而且，在刘徽的 术文中出现了“谨按图验 、“亦如前图 这类文字，这也进一步说明了应用出入相补 原理的“图验法 的确需要几何作图方面的知识。 刘徽所作的平面图形仅限于勾股形和圆形由于缺乏明确的记载，后人研究刘徽 所掌握的基本作图要素只能从现有的文字记载猜想。李迪先生提出了一种假设，认为 有9 种作图情形是刘徽所研究过的。1 过两点连接直线( 实际是线段) 。2 作一线段 与已知线段相等。3 平分已知角。4 过一点像已知直线作垂线。5 平分一已知弧。6 平分一已知线段，或者说求作一已知线段的中点。7 过一已知点作一直线平行于一已 知直线，或者说作两条平行线。8 已知圆心和半径作圆。9 过圆周上一已知点作此圆 的切线。2 3 除此之外，鉴于勾股容圆的问题， 该是他掌握的一种基本作图。 作内切于直线形特别是勾股形的圆也应 刘徽以后，杨辉也曾在详解九章算法( 1 2 6 1 ) 及续古 摘奇算法( 1 2 7 5 ) 中，以矩形和勾股形讨论勾股容方问题，并 在后书中给出如下解释：“直田之长名股，其阔名勾，于两隅角 斜界一线，其名弦，弦之内外分二勾股，其一勾中容横，其一股 中容直，二积之数皆同。 如图卜6 ，横指口b e ，直指口d e ， 其推理思路如下： e 图l - 6 d g c 因为a b c = c d a ( 指面积相等，下同) ，又因为a a i e = e h a ，a e f c = c g e ，所 2 2 九章算术，郭1 5 春主编中国科学技术典籍通汇，数学( 一) ，郑州：河南教育出版社，1 9 9 3 2 3 李迪，刘徽的儿何作图，刘徽研究【c 】，蹦安：陕两人氏教育出版社，1 9 9 3 ：2 0 5 - - 2 1 8 1 0 第一章中算传统作图法及西方尺规作图的传入 以z a b c a a i e a e f c = a c d a a e h a - a c g e ，l i p 口b e = 口d e 。 这一结论也反映了出入相补原理。实际上，。a a i e 可以移置e l l a 处，e f c 也 可以移置a c g e 处，所以等积。这种思想在刘徽海岛算经及赵爽“日高术矿中已 反映出来，但首次表达成定理形式的是杨辉，该定理在平面几何中有广泛的应用。实 际上，海岛算经中的各种测量公式都可由它推出。因此可以看出，几何图形被作 为证明定理的工具而广泛应用。 整体看来，九章算术的勾股术和弧田求积术，及宋代沈括( 1 0 3 1 - 1 0 9 5 ) 在 此基础上创立的会圆术，都是以圆形和勾股形为依托，构建出弧矢割圆公式的。元代 郭守敬( 1 2 3 1 1 3 1 6 ) 为了历法计算上的需要，再加以变通，不但能割平面圆来进行 三角的计算，还能将问题建造于“浑圆上，以勾股形和相似三角形解决问题。除了 勾股形，秦九韶数书九章解斜三角形求面积的方法中还涉及到了一般三角形的样 式。祖冲之研究圆周率、李冶研究切圆问题、王孝通的体积还原计算、祖咂的球体积 精确算法等等研究都离不开几何图形。因此我们总结中算家解决几何问题的思路 应该是这样的： 首先，把任一实际问题转化为几何问题 第二，把任一几何问题转变为图形上的问题 第三，把任一图形上的问题转变为求解方程的问题 这实际是将几何问题抽象化再形象化再抽象化的一个过程。从中，几何作图的直 观性起到了对几何与代数的沟通和延续的作用。 1 1 3 作图工具 从技术上讲，几何作图就是“尺规作图”2 4 ，关于传统作图工具的记载古书上所 引甚多，如先秦时期的文献记载了大量绘图内容：孟子卷七和墨子天上志 第二十六都有：“轮匠执其规矩，以度天下之方圆”；荀子赋篇第二十六云：“圆 者中规，方者中矩 ；韩非子有度云：“巧匠目意中绳，然必先以规矩为度”；尸 子卷下云：“古者垂为规、矩、准、绳，使天下仿焉”；汉书律历志云：“规者， 所以规圆器械，令得其类也矩者，所以矩方器械，令不失其形也”等等，这些文献不 仅记载了古人所认识到的基本几何图形及其作图方法，而且还记述了已经普遍使用的 作图和测量工具规、矩、准、绳，从中也可以看出“规圆”、“矩方 是规和矩的基本 2 4 这里的“尺规作图只是一种有直尺和圆规两种： 具参与下的作图，并非欧氏儿何意义下的尺规 作图 1 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 效能和基本操作，通过规和矩，极易作出圆、方( 直角) 来。 至于中国古代所使用的规、矩这两件作图工具究竟是什么样式的，数学史家作 出过多种讨论，钱宝琮先生解释说：“矩是工人所用的曲尺，是由两条互相垂直的直 尺做成的。2 5 梁宗巨先生认为：“矩不但可以用来画直线，作直角，而且可以测量， 有时还可以代替圆规，堪称万能工具。 他还给出了一种古代的矩，为了坚固起见， 勾股之间可能连有一个杆( 如图卜7 ) 。2 6 李迪先生认为“带刻度的直角形拐尺为矩 ( 如图1 - 8 ) ，2 7 这三种说法在本质上是一致的，都承认了矩可以用来“测量”和“作 直角的功效。用矩进行简单的作图是很容易的，而且在一些问题上显示出优越性， 这一点，李迪先生进行了详细的举例分析。2 8 而关于“规”的说法在数学史研究中则 没有定论。李迪先生根据一些史料和证据2 9 提出了一种形式的“规 3 0 ，它由一条细 长的木片或竹片制成，在一头或中间安一固定的脚，另一端或其中的一端装上一支笔 ( 如图1 - 9 ) 。圆心是可以随意固定的，而特定的几个插笔的小孔则使得这种圆规画 圆具有局限性，因为半径不能随意改变，只能因孔的位置而定。这种竹木片圆规应该 一直沿用到明末。 畦j 图1 - 7图卜8 图1 - 9 三髀规 除此以外，古代很可能还有另外形式的圆规。清仞，西方两脚规传入后，中国 乃郭二f 5 春，刘钝，李俨钱宝琮科学史全集( 第5 卷) 【m 】，沈阿l ：辽宁教育出版社，1 9 9 8 ：1 4 1 5 2 6 梁宗巨，世界数学史简编【m 】，沈掰l