电像法在高中物理竞赛中的应用.pdf

竞赛园地 电像法在高中物理竞赛中的应用 周 佳 （ 江苏省常熟中学， 江苏 常熟 ） 电像法是高中物理竞赛中常用到的一种方法， 主要应 用于讨论导体周围有一个或几个点电荷时空间的电势和 场强等问题其核心思想是在不改变原来问题的边界条件 基础上， 用求解区域外的假想电荷代替导体上的感应电 荷 掌握了这种方法， 对学生解题思路的拓展和解题能力 的提高都有很大的帮助 电像法在高中物理竞赛中的应用 接地平面导体板模型 如图所示， 在一接地的无限大平面导体板上方有一 点电荷， 其感应电荷在导体板上方区域产生的影响根 据电磁学知识可知， 可以用带电荷量为， 位置与关于 导体板对称的像电荷来取代（ 如图所示） 图 图 例如图所示， 有一块很大的接地导体， 具有两个 互相垂直的表面， 在此两表面外较近处有一个点电荷 ， 坐 标为（， ） ， 求点电荷受到的库仑力 图 分析： 根据接地无限大平面导体板像电荷的结论和边 界条件， 我们很容易想到在（， ） 及（，） 处各有 一个带电荷量为的镜像电荷 但要同时满足两个表面 的边界条件则必须在（， ） 处引入一个带电荷量为 的镜像电荷（ 如图所示）这样等效处理后， 点电荷受 到的库仑力就来自于这个像电荷 分别在与轴两个 方向上进行分析 （） ， （） 槡 （） 由（） 、 （ ） 式可得 （） ， 同理可得 （） 负号表示库仑力与、 轴的方向相反 图 图 导体球模型 如图所示， 有一点电荷置 于半径为的接地导体球外， 点电 荷距球心的距离为 由对称性可知， 像电荷在导体 球的球心与点电荷的连线上 设像电荷带电荷量为， 离球心 的距离为， 要满足球面的电势 为， 则 ； （ 如图 所示） 若导体球不接地， 则导体的电势不为， 但仍然是一个 等势体 所以不妨仍然认为存在一个像电荷 由于导 体球不带电， 根据电荷守恒定律， 导体球应还带有电荷量 因为导体球是一个等势体， 所以电荷只能均匀分 布于球表面 这样， 一方面导体球上 与 之和正好 （ ） 物 理 教 师 第 卷第期 年 等于， 同时导体球上、及球外共同产生的电场 仍然能保证导体球为一个等势体在处理具体问题时， 均 匀分布于球面的可用处于球心带电量为的点电 荷代替（ 如图所示） 图 图 例如图所示， 一个带有电荷量的不接地导体 球， 半径为， 离球心距离为处有一点电荷， 带电荷量为 试求， 当为何值时， 点电荷将被导体球吸引 图 图 分析： 根据前面的讨论可知， 在研究导体球外点电荷 所受静电力时， 可以把导体球等效地看作两个像电荷： 一 个带电荷量为， 在点电荷与球心的连线上， 且距球心 的距离为 另一个像电荷带电量为， 在导体球的球 心处（ 如图所示） 满足 （） （） 两个像电荷对点电荷的库仑力分别为 （） ， （） 由题目已知条件， 要使点电荷被导体球吸引， 则应 满足 ， 即 （） （） （） 将（） 、 （ ） 式代入（） 式可得 （ ）， 故所满足的条件为 （ ） （ ） 例 在电势为的导体内有一半径为的球型空 腔， 空腔内充满介电常数为的电介质， 有一点电荷位于 离空腔中心为（） 的地方（ 如图 所示） ， 求空腔内的 电势 分析： 这是一个有介质的问题， 空腔内的电势由部 分组成： 电荷的电势、 感应电荷的电势、 极化电荷的电 势 可用空腔外的像电荷来等效球面上的感应电荷和 极化电荷（ 如图 所示） 由于必须保证球面是等势体， 则 应满足 ， （为像电荷距球心的距离） 对于球腔内的任一点（ ） 有 ， 其中，分别为，到点的距离， 故 槡 槡 （ ） 图 图 运用电像法解题时的几个注意点 在运用电像法来解题时， 一般先根据题目的边界条件 来确定像电荷的位置和大小， 然后再根据场的叠加原理求 出电势、 电场强度等物理量学生对于使用电像法并不困 难， 而问题出在总是“ 滥用” 电像法每遇到导体在电场中 的情况时就去使用电像法， 其实很多问题是无法用电像法 解决的所以一定要强调电像法的适用条件和使用范围 （）所求区域有少数几个或一个点电荷如果点电荷 过多， 就很难利用边界条件求出像电荷的电荷量与位置 （）导体或者介质的边界形状比较规则（ 球面， 平面， 圆柱面） ， 具有一定的对称性如果没有很好的对称性， 像 电荷是很难找出来的 （）边界条件必须给定如果没有确定的边界条件， 那 么唯一性定理也就不成立了， 电像法就无从谈起 （ 下转封三） 第 卷第期 年 物 理 教 师 （ ） 明了， 还能起到一般计算法所不能起到的作用， 可以使物 理概念得到进一步拓展 解法： 微元法 图 求解处的速度 同解 法中 的 求 解 方 法一样 现在把老鼠出 洞后从到的距离 分成等 份 （ ） ， 则每等份的长度为 ， 每等份都可看做匀速直线运动 如图所示， 对第等份， 其速度大小为 （） ， 老鼠通过该小段所需时间为 （ ）（） （ ） （） ， 老鼠从到所用的时间为 （ ） （） （ ） （ ） （ ） （ ） ， 当时， （ ） 代入数据得 点评： 微元法是分析、 解决物理问题中的常用方法， 也是从部分到整体的思维方法在使用微元法处理问题 时， 需将其分解为众多微小的“ 元过程” ， 而且每个“ 元过 程” 所遵循的规律是相同的这样， 我们只需分析这些“ 元 过程” ， 然后再将“ 元过程” 进行必要的数学方法或物理思 想处理， 进而使问题求解 图 解法： 积分法 如图 所 示， 在 之间取一点， 到老鼠洞口的距离为 ， 则 点速度为 在附近取一微元 ， 有 ， 对两边定积分， 所求时间 代入数据得 点评： 高中数学已初步接触到积分的概念， 竞赛学生 已掌握简单的积分公式， 本题用积分的方式求解， 比用初 等数学的微元累加求和要简单得多 以上的种不同方法求解同一道题目， 每种方法都体 现不同的思想方法， 收到了“ 横看成岭侧成峰， 远近高低各 不同” 的效果在教学中我们要为学生创造条件， 创设情 景， 想方设法引导学生去探究， 去思考， 不断培养学生的思 维能力和创新精神在习题教学中， 引导学生从不同的角 度去思考、 去分析， 展开问题探究， 寻找更多的解题方法， 拓开思路通过探究问题的多种解法， 训练学生的发散思 维， 培养学生的思维能力（ 收稿日期： ） （ 上接第 页） （）像电荷是一些假想的电荷， 它的引入不能改变所 研究区域的原有场分布， 因此像电荷应放在所研究的场的 区域之外也就是说像电荷产生的效果只有在所研究区域 内与感应电荷是等效的， 在其他位置其效果与感应电荷并 不相同这也是学生最容易出错的地方 图 例如图 所示， 一个接 地无穷大导体板， 在距导体板表 面为的处放一个带电量为 的点电荷求板上感应电荷 在导体内点（ ） 产生的 电场强度 分析： 在处理这个问题的时 候， 很多学生先找出的像电 荷， 其 位 置 在 与对 称 的 处， 认为感应电荷在点产生的电场强度就是像电荷在 该处的电场强度 故可得板上感应电荷在导体内点产生的电场强度 大小为 感 （ 为与之间的距离） ， 电场方向由 指向（ 如图 所示） 显然， 这样的结果是错误的 学生之所以会出现这样 图 的问题， 原因是没有很好地掌握电 像法所适用的区域像电荷与感应 电荷产生的电场只有在导体板右 侧区域才是等效的， 而对于导体板 内部的区域两者是不等效的故这 一问题使用电像法是无法解决的 解决这个问题应当利用静电 平衡与场叠加原理 首先， 根据静 电平衡的特点， 可知导体内的场强 图 为 ， 即 点处的场