（基础数学专业论文）统计收敛的测度理论.pdf

摘要 早在1 9 5 1 年，h f a s t 4 3 】就引入了统计收敛的定义，之后，出现了一系 列的相关文章( 1 2 0 ，4 5 - 5 2 ，4 8 ，4 9 ，7 4 ，7 4 ，2 1 4 2 ，5 3 - 5 6 ，5 8 - 6 4 ，6 6 ，6 7 ，7 2 ，7 3 ，7 6 - 9 8 ，1 0 0 - 1 0 2 ，1 0 4 - 1 3 1 ) 对统计收敛做了进步的探索与研究随着统计收敛理论的发展，建 立统计收敛测度理论的问题也逐渐成为个核心问题，因为一种合理的理论不仅 是把各种统计收敛统起来的原则，而且是统计收敛通向测度理论，积分理论， 概率论和数理统计的桥梁基于这个原因，证明了以下结论： 1定义在由n 的所有子集生成的伊代数上的所有有限可加概率测 度的表示理论 2 每个如i 中的有限可加概率测度都可以唯一的分解为个可列可加概 率测度和个统计测度( 即个有限可加概率测度p ，对任意的单点集 忌) 有 肛( 后) = 0 ) 的凸组合 本文同样证明了许多经典统计测度的性质，例如： 3由所有经典统计测度组成的集合夕在上赋予逐点收敛的拓扑就成 为紧凸的h a u s d o r f f 空间 4 每个经典统计测度都是连续型的( 所以是缺原子的) 5对中的任意的集合，每一类特殊的统计测度都满足c o m p l e m e n t a t i o n m i n m a x 原贝j 6 每类统计收敛都可以统一为统计测度的收敛 关键词：统计收敛；统计测度；次微分 a b s t r a c t t h en o t i o no fs t a t s t i c a lc o n v e r g e n c ew a si n t r o d u c e db yf a s t 4 3 i n1 9 5 1 f r o mt h e no n ，s t a t i s t i c a lc o n v e r g e n c eh a db e e ni n v e s t i g a t e da n dd e v e l o p e d i nas e q u e n c eo fa r t i c a l s ( s e e ，f o ri n s t a n c e ，【1 2 0 ，4 5 - 5 2 ，4 8 ，4 9 ，7 4 ，7 5 ，2 1 4 2 ，5 孓 5 6 ，5 8 - 6 4 ，6 6 ，6 7 ，7 2 ，7 3 ，7 6 - 9 8 ，1 0 0 - 1 0 2 ，1 0 4 - 1 3 1 w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs t a t i s - t i c a lc o n v e r g e n c e ，t h eq u e s t i o no fe s t a b l i s h i n gm e a s u r et h e o r yf o rs t a t i s t i c a l c o n v e r g e n c eh a sb e e nm o v i n gc l o s e rt oc e n t e rs t a g e ，s i n c eak i n do fr e a s o n a b l e t h e o r yi sn o to n l yf u n d a m e n t a lf o ru n i f y i n gv a r i o u sk i n d so fs t a t i s t i c a lc o n - v e r g e n c e ，b u ta l s oab r i d g eh n k i n gt h es t u d yo fs t a t i s t i c a lc o n v e r g e n c ea c r o s s m e a s u r et h e o r y , i n t e g r a t i o nt h e o r y , p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s f o rt h i sr e a s o n ， t h i sp a p e rs h o w sm a n yt h e o r e m sa sf o l l o w s 1f o ra l lf i n i t e l ya d d i t i v ep r o b a b i l i t ym e a s u r e sd e f i n e do nt h e 盯一a l g e b r a o fa us u b s e t so fn 2p r o v e st h a te v e r ys u c hm e a s u r ec a nb eu n i q u e l yd e c o m p o s e di n t oa c o n v e xc o m b i n a t i o no fa c o u n t a b l ya d d i t i v ep r o b a b i l i t ym e a s u r ea n das t a t i s - t i c a lm e a s u r e ( i e af i n i t e l ya d d i t i v ep r o b a b i l i t ym e a s u r epw i t hp ( 七) = 0f o r a l ls i n g l e t o n s 后) ) t h i sp a p e ra l s os h o w st h a tc l a s s i c a ls t a t i s t i c a lm e a s u r e sh a v em a n yn i c e p r o p e r t i e s ，s u c ha s ： 3t h es e tyo fa l ls u c hm e a s u r e se n d o w e dw i t ht h et o p o l o g yo fp o i n t - w i s ec o n v e r g e n c eo n 斑f o r m sac o m p a c tc o n v e xh a u s d o r f fs p a c e 。 4 e v e r yc l a s s i c a ls t a t i s t i c a lm e a s u r ei so fc o n t i n u i t yt y p e ( h e n c e ，a t o m - l e s s ) 。 5 e v e r ys p e c i f i cc l a s so fs t a t i s t i c a lm e a s u r e sf i t sac o m p l e m e n t a t i o n m i n i m a xr u l ef o re v e r ys u b s e ti nn 6 t h i sp a p e rs h o w st h a te v e r yk i n do fs t a t i s t i c a lc o n v e r g e n c ec a nb e u n i f i e di nc o n v e r g e n c eo fs t a t i s t i c a lm e a s u r e s s t a t i s t i c a lc o n v e r g e n c e ；s t a t i s t i c a lm e a s u r e ；s u b d i f f e r e n t i a l 厦门大学学位论文原创性声明 兹呈交的学位论文，是本人在导师指导下独立完成的研 究成果本人在论文写作中参考的其它个人或集体的研究成果， 均在文中以明确方式标明本人依法享有和承担由此论文而产 生的权利和责任 责任人( 签名) ：木卯芳字 z 夕o - 年争月忏日 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留，使用学位论文的规定 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论文的 纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的内容编 入有关数据库进行检索，有权将学位论文的标题和摘要汇编出 版保密的学位论文在解密后适用本规定 本学位论文属于 1 保密( ) ，在年解密后适用本授权书 2 不保密( ) ( 请在以上相应括号内打“v 力) 作者签名：杓1 7 涉笋日期：伪o 年 月仟日 导师签名：彬多钎日期：叩年朋归 统计收敛的测度理论 第一章绪论 自1 9 5 1 年，h f a s t 4 3 l 引入了统计收敛的定义之后，统计收敛得到了广泛的 讨论和深入的研究，后来有许多的数学家和学者加以引用和发展例如j c o n n o r 1 2 - 2 0 】，j a f r i d y , h i m i l l e r 和c o r h a n 4 5 - 5 2 1 ， 4 8 ，4 9 ，【7 4 ，7 5 ，还有许多如【1 1 1 】， 2 1 4 2 ，【5 a - 5 6 ， 5 8 - 6 4 1 ， 6 6 ，6 7 ，【7 2 ，7 3 ，【7 6 - 9 8 1 ，【1 0 0 - 1 0 2 】和 1 0 4 - 1 3 1 ) 自从上 个世纪9 0 年代，统计收敛就已经成为人们研究的热点问题它曾出现在许多的研 究领域例如矩阵求和，级数，积分【1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 1 ，2 5 ，4 7 ，6 1 ，7 1 ，1 0 2 ，1 1 9 ，f o u - r i o r 分析 7 7 ，7 8 ，9 1 】，正算子的逼近 2 8 - 3 2 ，3 4 ，3 5 ，3 8 ，3 9 ，5 3 ，9 3 ，数论【1 9 】，三角级 数【2 7 ，4 4 ，1 0 5 ，1 3 1 ，b a n a c h 空间理论 1 6 ，5 4 ，1 2 8 ，局部凸空间 4 ，6 9 ，9 8 ，1 0 0 ，有界 连续函数理想的结构 1 9 】，模糊数学【8 7 ，9 0 ，11 0 ，连续函数的性质 1 8 】，【5 5 】，构造 许多新型拓扑线性空间 5 8 ，6 1 ，1 1 2 ，1 2 2 ，1 2 4 ，等等，极大的丰富了统计收敛理论 在1 9 5 1 年，h f a s t 4 3 】给出了统计收敛的定义，对自然数集的任意个 子集a ，令a h 表示a 的基数，a t = 七a ：忌n ) ( n - - - - 1 ，2 ，) b a n a c h 空间x 中的序列 z 七) 称为是统计收敛到z x ，若对任意的e 0 ，l i i 。垒已 = 0 ， 其中a n ( e ) = k n ：i i z 七一z l i e ，k s n ) 显然统计收敛是收敛的一种推广，收敛要求对任意的 0 ， 后：i x k - - 引 ) 为有限集；而且统计收敛还可以是无界的自从有了统计收敛的定义，许多数学 专家与学者，特别具有代表性的有j f r i d y ，j m a d d o x 和j c o r n n o r 等对统计 收敛的研究就没有停止过1 9 8 8 年j m a d d o x 将统计收敛的研究领域进步推 广到局部凸空间中设x 是局部凸的正空间，其拓扑是由x 上连续半范族q 所生成，称x 中序列 矾 统计收敛于z x ，如果v 0 ，vq q 都有 1 二 后几：q ( x k z ) ) o _ 0( n _ o o ) t 并通过引进模函数【6 9 】的定义，对局部凸空间x 中的序列做了归类直到2 0 0 0 年，j c o n n o r ，m g a n i c h e v 和v k a d e t s 1 6 】在b a n a c h 空间中类似地给出了统 计收敛与弱统计收敛的定义设x 是b a n a c h 空间，x 为x 的对偶空间， z 七】- cx ，z x ，称1 z 七) 统计收敛于z x ，如果ve 0 ，都有 1 二 后死：i iz 七一zl l ) # 一0( 仃一) ； 7 占 称 z 知) 弱统计收敛于z x ，如果vz + x ， z + ( 巩一z ) ) 统计收敛于o ；称 钒) 为弱统计。序列，如果 ) 弱统计收敛于o 统计收敛的测度理论 2 鉴于不同的目的，又出现了许多其他形式的统计收敛 在1 9 8 9 ，j c o n n o r 1 5 】提出了a 统计收敛的定义，假设a = ( a i y ) n x n 是 个正则可和矩阵，且对任意的i n 有a i j 0 ，器1a 0 = 1 我们称x 中 的序列1 【z n ) 是a 统计收敛到z 的，若对任意的g 0 恕f = 0 1 - - , , d t - 。 j e a ( ) 其中a ( e ) = 七n ：0 一z i i ) 后来有很多的数学家加以引用和发展， 例如j c o n n o r 【1 2 - 2 0 ，h i m i l l e r 7 4 ，7 5 ，e k o l k 6 0 6 3 ，j a f r i d ym k k h a n 4 6 ，4 7 】，k d e m i r i c i 【2 3 - 2 6 】，e s a v a s 1 0 8 - 1 1 6 ，j z e a g e r 【1 3 0 ，1 3 1 ，t b i l g i n 2 _ 6 】，o d u m a n ，m k k h a n ，c o r h a n 3 2 3 6 现在成为个非常普遍和有用的概 念在1 9 9 3 年j a 。f r i d y 和c o r h a n 【5 0 介绍了l a c u n a r y 统计收敛的概念， 序列 z n ) 称为是l a c u n a r y 统计收敛到z 的，若对任意的e 0 有 。1 i m i 1 歹( 佗七一1 ，佗七】：i i 巧一z l i ) # = 0 其中七= 辄一n k 一1 ，k n 后来m u r s a l e e n 【8 1 】引入了个类似的定义就是 k 统计收敛假设 入n ) 为不减的正数序列，记a = a n ) 其中a 1 = 1 ，且对任 意的n n 有a n + 1 k + 1 序列 z n ) 称为是a 统计收敛到z 的，若满足 l i m 入二1 七( n 一入几，n 】：l i x k z i i2e 】- = 0 对任意的 0 在1 9 9 4 年，s p e h l i v a n 9 5 】介绍了致统计收敛的的概念，后来由l l e i n d l e r 6 3 】和g g l o r e n t z 【6 4 ，e s a v a s 1 0 7 - 1 1 3 】介绍了a l m o s t 统计收敛的概念( 恰 好是一致统计收敛) 和a l m o s t 知统计收敛的概念，我们称它们为强统计收敛和 强入一统计收敛我们称_ ) 是强统计收敛到z 的，若对任意的e 0 ，对m 致的有 1 1 云 南s 访：l l z 奄+ m z l i 8 = 0 我们称 z n ) 是强a 一统计收敛到z 的，若对任意的e 0 ，对m 致的有 1 l i m 了j k 七( 礼一入n ，叫：i l z 知+ m z l i e ) 口= 0 ，一w n 类似的还有许多其它形式的统计收敛，例如双序列统计收敛 9 ，2 2 ，7 8 ， 8 3 ，1 2 0 ，肛稠密收敛 3 3 】，良统计收敛【8 4 】，百统计和( 留，a ) 一统计收敛【1 1 】， g 收敛 1 0 7 ，1 0 8 】等等，在这里就不做蚧绍了 统计收敛的测度理论 3 那我们很自然的就会想到有没有一种理论把各种统计收敛统起来呢? 本文 给出了肯定的答案 建立测度理论这个问题已经成为人们研究的热点问题，因为种合理的理论 不仅是把各种统计收敛统起来的原则，而且是统计收敛通向测度理论，积分理 论，概率论和数理统计的桥梁建立测度理论的难度在于对自然数集的所有 子集a 中满足l i m 一譬存在的子集，即不是个盯代数又对有限交运算不封 闭 为了为统计收敛建立测度理论，令汐为定义在n 上的所有有限可加概率 测度集合，在第三章第节中，我们证明了集合夕的表示理论 定理1 令汐为定义在上的所有有限可加概率测度，p 汐，p ：2 _ 0 ，1 】，令9 为俨上自然范数”0 在e = ( 1 ，1 ，) 点的次微分映射，则 汐= 9 o7 r 三 z + o 丌：z a l l e l l 其中7 r ：2 _ _ 【o ，1 ) 定义为7 r ( a ) = ( 地( i ) ) 墨1 ，x a 为acn 的特征函数， o l l e l i 表示自然范数”j | 在e 的次微分映射 个有限可加概率测度p 称为是统计测度，若对中的任意单点集 ) ， 有p ( 后) = 0 下面的关于统计测度的表示定理和分解定理将在第三章第二节中给 予证明 定理1 2 令夕为定义在上的所有统计测度集合，令q ：p _ r + 定义 为 q ( x ) = l i m s u pi z ( n ) i ，z p 则y = o q ( e ) o 7 r 定理1 3 令够为定义在上的所有可数可加的概率测度，对任意的j n ，岛为上的退化的概率测度( 即妨( 七) = 嘭七= 1 ，七= 歹；= 0 ，k j ) ，则 ( i ) 够= 历( 如) 器1 ； ( i i ) 汐= c d ( 够u ) ，即夕为够和夕的凸核 有限可加概率测度p 称之为经典统计测度，若对任意的a ，有弘( a ) = l i r a n 譬，其中l i m n 譬存在经典统计测度的许多性质在第三章第三节中给出， 例如： 定理1 4 经典统计测度集合赋予上逐点收敛的拓扑为紧凸h a n s d o r f f 空 间 统计收敛的测度理论 定理1 5 令为上的所有经典统计测度集合，则对任意的a 。 4 翼p ( a ) + 是擎p ( a ) = 1 定理1 6 若p 夕，a 且p ( a ) = 口假设0 且l 入( i ) = 1 ， 则存在a 的可数分划 a ) ( 即u 墨1a i = a ，且若i 歹则ana j = 0 ) 使得 p ( a ) = 九a 对任意的i n 成立 在第三章第四节中我们将介绍，每类的统计收敛恰好是相对于夕中的一 类特殊统计测度的测度收敛 统计收敛的测度理论 第二章基本概念与性质 5 为了行文与读者阅读的方便，先将统计收敛理论中常用的记号和本文中将用 到的概念及其性质简述如下：字母，z ，q ，r 分别表示自然数集，整数集，有理 数集和实数集我们用= 2 表示自然数集n 的所有子集生成的口一代数对 于个集合a ，地表示a 的特征函数，即，若z a ，x a ( x ) = 1 ；若z n a ， x a ( x ) = 0 夕为定义在n 上的所有统计测度集合，汐为定义在上的所有 有限可加概率测度，够为定义在上的所有可数可加的概率测度，为 上的所有经典统计测度集合，9 为2 上在e = ( 1 ，1 ，) 点的自然范数1 1 i l 的 次微分映射，d 表示2 的子集合 0 ，1 ) 定义2 1假设p 为定义在上的非负值函数p 称之为上的有限可 加概率测度，若满足 ( i ) p ( d ) = 0 且p ( ) = 1 ； ( i i ) p ( aub ) = p ( 4 ) + u ( b ) 对任意的a ，b 且an b = d 定义2 2 1 9 9 1 ：假设，是b a n a c h 空间x 上的连续凸函数则，在x ex 点的次微分映射定义为： o s ( z ) = z + x + ：，( z + y ) 一，( z ) ( x + ，y ) 对任意的y x ) 性质2 3 9 9 1 ：假设，为定义在b a n a c h 空间x 上的连续凸函数则，的 次微分映射a 厂为非空紧凸集，且在x 中每个点处是范一w 上半连续的 性质2 4 【1 0 3 l ( h a h n b a n a c h 定理) ：设x 为实向量空间，p ：x 呻r 为 次线 生泛函，mcx 为子空间，：x 一r 为线性泛函，且，p o n m ； 则ja ：x 斗r 为线i 生泛函，满足：a po nx 且 i m = ， 性质2 5 【1 0 3 1 ：( k r e i n m i l m a n 定理) ：令k 是局部凸空间x 的紧凸 集，则k 是它的端点的闭凸包，即k = 历( e x t k ) 性质2 6 【9 9 】：假设p 为定义在b a n a c h 空间x 上的连续m i n k o w s k i 泛 函，令c + = z 。x ：x ，z ) p ( z ) 对任意的z x ) 对给定的x x ，则 z + o p ( z ) 当且仅当z + c 且( z ，z ) = 节( z ) 统计收敛的测度理论 第三章统计收敛的测度理论 3 1 有限可加测度的表示 6 在本文中，我们用= 2 表示自然数集n 的所有子集生成的口代数 对于个集合a ，m 表示a 的特征函数，用d 表示胪中的子集合 o ，1 ) 7 r ：一d ，定义为7 r ( a ) = ( z a ( ) ) 罂1 ，也可以标记为x a = ( x a ( i ) ) 墨1 d ； e 表示单位向量( 1 ，1 ，) ，e i 为俨中的标准单位向量 如) 器。( 对任意的i ) ，如o = 1 ，2 ，) 表示上的退化的概率测度，即，对每个固定的歹n ， 如( 尼) = 6 佧对任意的k n 定义3 1 1假设肛为定义在上的非负值函数p 称之为上的有限 可加概率测度，若满足 ( i ) p ( d ) = o 且p ( ) = 1 ； ( i i ) p ( aub ) = 肛( a ) + p ( b ) 对任意的a ，b 且anb 三一口 定义3 1 2定义在上的有限可加概率测度肛称之为统计测度，若对任 意的单点集 忌) cn 有p ( 忌) = 0 性质3 1 3 假设p 为个统计测度，则 ( i ) 对任意的个有限子集a e ，p ( a ) = o ( i i ) p 是完备的，即若a ，b e 且a c b ，若p ( b ) = o 则p ( a ) = o 定义3 1 4 假设，是s a n a c h 空间x 上的连续凸函数则，在x ex 点 的次微分映射定义为： a ，( z ) = z x ：( x + 秒) 一( x ) ( z ，y ) 对任意的y x ) 性质3 1 5假设，为定义在b a n a c h 空间x 上的连续凸函数则，的次 微分映射a ，为非空紧凸集，且在x 中每个点处是范一w + 上半连续的 性质3 1 6 假设p 为定义在b a n a c h 空间x 上的连续m i n k o w s k i 泛函， 令c + = 矿x + ：红+ ，z ) p ( x ) 对任意的z x ) 对给定的zf t x ，则 z + o p ( z ) 当且仅当z + c 且( z ，z ) = 巾( z ) 定理3 1 7 假设p 为定义在n 上的有限可加概率测度，则存在z 勿， 使 ( z ，x a ) 三( z + ，7 r ( a ) ) = p ( a ) 任意的a 证明 n u n 令7 r ：留 x a x b 统计收敛的测度理论 7 令留= au b ：对任意的a ，b ) 首先把p 延拓为 上的实值有限可加测度，即 u ( a u - b ) = p ( a ) 一p ( b ) ， 一d d = - 1 ，0 ，1 ) c 俨，即： 其次定义d d 上的函数z 刍如下。 4 ，b 。衫 7 r ( a u - b ) = r ( a ) 一7 r ( b ) 兰 ( z 刍，x a u b ) = ( z 刍，x a ) 一( z 刍，x b ) = u ( a ) 一p ( 口) 我们标记g 为由d d 生成的a b e l i a n 群，即： g = ：扎n ，d d ，1 i 礼) 的所有有界序列组成的群) ，现在，把z 刍从d d 延拓 ( z 占，戤) = i - - - - 1 下面我们验证z 各在g 上是有 0 令观= x a 一z 风其中a ， n ( z 刍，z i ) ， 礼n ，z i d d 意义的我们只须证明当竺，墨= 0 时有墨。( z 刍，毛) = 最对任意的j n ，令 黟= 七：z a ；( 七) = 歹) 和 t = 1 巧= 角：z 凰( 七) = j ) i = l 显然对任意的j = 1 ，2 ，n ，才= 可对任意的i j ，砖n 孝= d ， 因此， j = l ( z 刍，z t ) = 3 z f 2 和 n j z f i j = t z f 3 f - n = z 鼠 i = l n 歹p ( 才) j = 1 n 歹p ( 巧) j = 1 r inn ( z 刍，) 一( z 刍，z 夙) = 歹“( 黟) 一歹p ( 巧) = 0 i = l j = 1j = 1 以 n 汹 n 曲 。d z n 似 志， z 。d z 仃甜 。d z n 芦 j f z 。d z n 谢 n 谢甜 统计收敛的测度理论 把z 占从g 延拓到q g ，即， 甄g ) 8 很明显这个延拓是很自然的所以z 为是有意义的我们很容易得到z 与的如下性 质： ( z 邑，z ) 0 当z q g 且对任意的i n ，x ( i ) 0 等价于 因此 ( z 与，y ) ( z 与，z ) 当z ，y q g 巳时任意的i n ，y ( i ) x ( i ) ( z 与，z ) ( z 弓，x n ) = 1 对任意的z q 且对任意的i n ，i z ( ) i 1 注意，赋予俨范数”i i ，q g 在s p a n g = s p a n ( d d ) c 俨中稠密我 们可以借助取极限继续把z 与从q g 延拓到s p a n g 最后由h a h n - b a n a c h 延拓 定理得到俨上的泛函z + 使得 忖i i = i i z 圳s p a n g = ( z 与，x n ) = 1 和 ( 矿，x a ) = p ( a ) 对任意的a 由性质3 1 6 可知z a | i e i i 定理3 1 8对任意的z + 勿，z + o7 r = p 定义了上的个有限可加概 率测度 证明显然( z o 丌) ( ) = ( z + ，丌( ) ) = 扛+ ，e ) = 1 和( z o 丌) ( 0 ) = ( z + ，0 ) = 0 因为z + 是线i 生的，所以z o7 r 具有有限可加性接下来就是要证 对任意的a 有( z o7 r ) ( a ) 0 但是这是很明显的，因为 ( z o7 r ) ( a ) = ( z o7 r ) ( ) 一( z + o 丌) ( a ) = 1 一( z + o7 r ) ( a ) 0 q n 佗 玩n n：i ，l = g q 记 、玎 z 。g z n n 汹 = z n n：l 。q z 统计收敛的测度理论 有定理3 1 7 和定理3 1 8 ，我们得到下面的有限可加概率测度的表示理论 定理3 1 9汐= 9 o7 r ，其中9o7 r = 矿o 丌：z 。9 ) 3 2 统计测度的性质 令夕表示定义在上的所有统计测度令q ：p _ r 定义为 9 q ( x ) = l i m s u pi z ( 扎) i ，z = ( z ( n ) ) p 即q 是定义在俨c o 上的商范数下面是统计测度的表示定理 定理3 2 1 令= o q ( e ) 则有夕= o 7 r 证明 因为对任意的z 驴有口( z ) i i = 1 1 ，因为q ( e ) = l = 1 ，就有 却( e ) co l l e l l 由定理3 1 9 ，有o 丌c 勿o7 r = 汐很显然对纺o7 r 中任意 的肛均为统计测度，因此玩。丌c 夕 要证夕c 纹o7 r ，注意到( z ) = z 1o 砖( 见参考文献【5 7 】) ，再由定理 3 1 7 ，对任意的由统计测度p 所决定的9 中的线性泛函z 均包含于砖因此 夕c ( 9 o7 r ) n ( c o7 r ) = 纹。丌 定理3 2 2 ( 有限可加概率测度的分解定理) 汐= c d ( 够u 夕) 和够= 面( 如) 嚣1 其中，够为定义在n 上的可数可加概率测度，面为上致收敛拓扑算子的 闭凸核，岛为定义在上的退化的概率测度，即对任意的i ，歹n 有力( i ) = 如 证明因为勿= a l i b i i = a l i b i in 粤10 0 = c d ( ( 训e l in e l ) u a l i b i in 砖) ， a l i b i in 砖= ，又因为c 兰0 1 1 4 in e l 等于 e 0 罂1 ( 它1 的标准单位基) 的范数 的闭凸核所以co7 r = 够 定理3 2 3 对每个有限可加概率测度“均有如下唯一的分解 p = 入q + ( 1 一a ) p ，a = p ( i ) i = 1 对某个o t 汐和夕 证明因为q 为可数可加的测度，p 为统计测度再由定理3 2 2 ，有墨1p ( i ) = 入渊o oq ( t ) = a 统计收敛的测度理论 1 0 定理3 2 4 ( i ) 若汐在匕赋予逐点收敛的拓扑，则汐为紧凸可分的 h a u s d o r f f 空间； ( i i ) 任意的p 汐均为c o ( 如) 器1 中某个网 ) 的极限 证明很显然c o ( 勺) 器1 在0 1 1 e 1 i 三9 中是w 一稠密的，且勿是w 一紧凸 的 p 上的半范数口定义如上，即： q ( x ) = l i m s u pl z ( 礼) l ，z 2 令r ：粤一冗+ 定义为 r ( x ) = l i r a i n fi z ( 佗) l ，z p 定理3 2 5 对任意的p 夕，有 r ( x a ) p ( a ) q ( z a ) ，a 其中x a = 7 r ( a ) 证明由定理3 2 1 对于给定的p 夕，则存在z + o q ( e ) 使得在上有 p = z o7 r 因此 p ( 4 ) = ( z + 0 丌) ( a ) = ( z + ，x a ) q ( x a ) 若( a ) # m i n # ( a ) 和 彤p ( a ) q ( x n a ) 统计收敛的测度理论 由r 的定义可知r 在d 上的值域为1 【o ，1 ) ，且r ( x a ) = 0 当且仅当州 0 令k n 是个素数满足- i ( q 现在把分为k 份，u j 兰 n n ：n = j ( m o d 忌) ) ，j = 0 ，1 ，尼一1 显然 l i m 盟：了1 n + o o 钍 = 0 ，1 ，k 一1 ) ，由定理3 3 6 得p ( n j ) = 未d = 0 ，1 ，k 一1 ) 令 如= ann 对每个整数j ，0 墨j k 一1 有 n 一1 p ( 如) = p ( 屿n ：- 0 1 如) = p ( a ) = o 0 j = o 所以存在0 j k 一1 使得 1 0 弘( 乌) 弘( u j ) = 亡 8 成立，所以( i ) 成立 ( i i ) 我们要证明对任意的r 0 ，1 】。存在a 使得p ( a ) = 7 对个 固定r ，我们可得到非负整数序列 ； ， k 鸭；+ 1 k + 1 ，m n 他，对任 意的n n ，使得l i m 一警= r 成立我们定义a 如下。 耻髓= 对某个礼n 和k = 1 ，2 ，n ，假设玩是定义好了的令 l 岛+ 1 若m 1 = m n + 1 1 = i 玩 若m n + 1 = 仇n 因此我们得到一单调不减的非负整数序列上k ，对所有的n n 满足磁= ”k 令a = u 是1 上k ，我们观察到对所有的n n 有a n = b n 因此 舭) = 恕等= n l ，i r a b 视2 乱 1 6 下面的结果介绍的是的子集的c o m p l e m e n t a t i 。nm i n i m a x 原贝 性质3 3 8 ( c o m p e m e n t a t i 。nm i n i m a x 原则) 假设a 为的子集，则 证明因为 和 p r a t z i n # ( 以) + 罢努p ( a ) = 1 1 一i n m s u p k - i n m i n f 州i n ms u p 坠鼍 型= s ( m k a - , n m )n n 、一4 ，。r a ， 1 ：l i r a i n f ! 坌兰! ! 生三坐! ! n n l i m i n f ! 生兰! ! 生曼垒!