（系统理论专业论文）同伦分析方法的推广及其实现.pdf

2 0l1m a s t e r st h e s i ss c h o o lc o d e ：10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ：5 1 0 8 1 2 0 1 0 0 2 e a p c 丑n an r m a lu n 姗r s v e x t e n s i o na n di m p l e m e n t a t i o no f t h eh o m o t o p ya n a l y s i s 】e t h o d d e p a r t m e n t ： m a j o r ： s u b j e c t ： t u t o r ： a u t l l o r ： c o m p u t e rs c i e n c e s y s t e mt h e o r y s y m b o l i cc o m p u t a t i o na n da u t o m a t e dd e r i v a t i o n p r o f l iz h i b i n z h uw 萌 2 0 1 1 0 3 帅9洲89川2 09iiiiy 华东师范大学学位论文原刨性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文同伦分析方法的推广及其实现， 是在华东师范大学攻读硕彰博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作 v 及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名：日期：加，年厂月厂口日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 同伦分析方法的推广及其实现 系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的硒髟博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅：同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸， 于年 月日解密，解密后适用上述授权。 叽。，。，卫。 v 。，卫，珊 地。m ， 薹a = 薹去( 薹一乱。) 竹产m 。，= ，( 薹) c 2 船， a 。= 刍( 钆p 一札。产( u 。) ( 2 1 9 ) 薹a2 薹嘉( 善郇。) 哟m 0 ) ( 2 2 0 ) 塾= 艮偿1 叫n 叫一 亿2 ， = 酚汁毛一面1 矧一亿2 2 ， = 产( 咖) 熹哆 ( 2 2 3 ) t l = om 一竹+ 1m n + 1j = 1 ，j 。 功= n j 珊m 。 7 2 2r a c h 对a d o m i a n 多项式的耨定义 步骤1 令m = o 由方程( 2 9 ) 求解铷a o = ，( 乱o ) 步骤2 由方程( 2 1 5 ) 计算+ 1 并令m = m + 1 步骤3 利用公式( 2 1 8 ) 公式( 2 2 1 ) 计算s m a m = 一疏- 1 步骤4 重复步骤2 和步骤3 ，直至满足终止条件 m 步骤5 方程( 2 1 7 ) 的m 阶近似解即为( ) = 乱。( ) 8 第三章同伦分析法中的构造与算法 同伦分析法【1 7 】- 【1 9 】是一种基于拓扑学中同伦变换【3 2 】，【3 3 】的观点逐渐发展起 来的优秀算法与以往的摄动法和非摄动法相比，同伦分析法具有以下几个明显的 优点第一，同伦分析法不依赖于任何小参数，具有极高的普适性第二，同伦分析 法具有选择函数的表示方式的自由，通过选取合适的基函数，能够更有效更快速地 逼近非线性问题的解，对强非线性问题也能给出满意的结果第三，同伦分析法所得 的解是一族含有辅助参数壳的函数列，可以通过绘制危一曲线方便地找到收敛的级 数解通过对忍的选择还可以控制级数解的收敛区间和收敛速度最后，同伦分析法 从逻辑上包含l y a p u n o v 人工参数法、6 展开法和a d o r n j a n 分解法，统一了上述非摄 动方法，从而更具一般性这些优点使得同伦分析法在短短十几年内成功解决了力 学、工程、金融和应用数学中的大量强非线件i 、u j 题 利用同伦分析法求解各种实际的非线性问题成为研究的热点，而对同伦分析法 本身的理论研究，也一直在进行由于同伦分析法是一种相对年轻和先进的方法，因 此还具有很大的发展潜力和空间目前理论方面所面临的问题有最佳辅助线性算子 的选择，最佳控制参数的选取，以及计算公式的改进等等 本章给出了一个构造的条件，从而使得同伦分析法对的构造也拥有一 定的自由空间，为将来寻找最佳的r m 计算公式提供可能作为利用该条件构造 新的r m 计算公式的例子，我们效法r a c h 对a d o m i a n 多项式的定义构造了几个新 的计算公式，并证明利用这些新公式得到的解的确是原方程的解从这些公式 的相似性中也可以看出同伦分析法与a ( 1 0 r i l i a n 分解法的密切关系 在推导和证明过程中，我们始终假设函数列或函数项级数拥有理想的解析性 质，如任意阶可导且极限和微分算子可交换、逐项可导等等事实上这些假设也都 蕴含在传统同伦分析法和a d o m i 柚分解法的推导和证明过程之中 3 1 同伦分析法简介 一个非线性问题可用一组控制方程以及初始或边界条件来描述为简单起见， 本节先就单个常微分方程的情形进行表述对其它类型的方程会在3 3 节进行简要 9 3 j 同伦分析法简介 的说明 考虑单个一般形式的非线性微分方程 m 【扎( ) 】= o ， ( 3 1 ) 其中m 为非线性算子，札( t ) 是未知函数 令钆o ( ) 表示精确解u ( t ) 的初始猜测解，危0 为辅助参数，日( ) o 为辅助函 数，为辅助线性算子，满足c 【o 】= o 般_ c 是关于自变量t 的微分算子的线性组 合，通常其最高阶数与方程的阶数相同( 但这并非绝对，最近出现了很多辅助线性 算子的阶数与方程阶数不相同的例子【2 5 】，【2 6 】) 与a d o m i a l l 分解法中的c o 不同，辅 助线性算子c 并不要求其与原始方程中的线性部分有任何关系，用户拥有充分的自 由选择合适的c ，钆o ，日和鬼这一切都为同伦分析法最终得到更理想的近似解提供 了保障 在应用同伦分析法求解一个非线性问题时，首先构造一个如下同伦 川吣咖。( 。) ，刖，意，刎 ( 3 2 ) = ( 1 一q ) 【多( t ；q ) 一扎o ( z ) 】一q 危h ( ) m 【痧( ；口) 】， 其中口【o ，l 】为嵌入变量令( 3 2 ) 等于零，即可得到“零阶形变方程” c 【多( ；q ) 1 = 【2 o ( t ) 】+ q c 【多( z ；l ：f ) 】+ q 日( ) m 【多( t ；( ) 】一( f 【t o ( t ) 】 ( 3 3 ) 当口分别取0 和l 时，有 【咖( ；o ) l = cf u o ( ) j ： ( 3 4 ) m 【多( ；1 ) j = o ( 3 5 ) 如果令币( t ；0 ) = 钆o ( t ) ，那么由式( 3 4 ) 和( 3 5 ) ，当嵌入变量q 从o 增大到l 时， 痧( z ；口) 就从初始猜测t 幻( z ) 连续变化到原始方程( 3 1 ) 的解钆( t ) 对多( ；g ) 和m 【多( z ；口) 1 在口= o 处t a y l o r 展开，在收敛区间内有 多( t ；口) = ( t ) 矿， ( 3 6 ) m 【地q ) 卜( ) 口m ， ( 3 7 ) 其中 u 舻嘉掣j 口= 0 ， 8 ， 砌，= 刍掣| 口= 0 9 ， 1 0 3 2r m 的耨定义 将式( 3 6 ) 和( 3 7 ) 代入零阶形变方程( 3 3 ) ，并令方程两边q 的相同次幂的系数相等， 得到如下高阶形变方程 cm l ( t ) 】= 解( ) 风( t ) ， cf + l ( t ) 】= c 【扎。( ) 】十，沮( ) r m ( ) ， ( m 1 ) 由高阶形变方程( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) 易得 ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) c + l ( ) 】= 勰( ) 凡( t ) ( 3 1 2 ) n = 0 再将式( 3 6 ) 代入式( 3 9 ) ，得到 一嘉 暴m 昏咖吼- o 由此可得同伦分析法的大致计算步骤如下： 步骤1 给定初始猜测解札o ，辅助线性算子c ，辅助函数日( ) 和辅助参数危 令m = 0 步骤2 由公式( 3 1 3 ) 计算 步骤3 由方程( 3 1 2 ) ( 或方程( 3 1 0 ) 和( 3 1 1 ) ) 计算u m + 1 并令 2 = m + 1 步骤4 重复步骤2 和步骤3 ，直至满足终止条件 m 步骤5 方程( 3 1 ) 的m 阶近似解即为百m ( ) = 钆。( t ) n = 0 3 2 的新定义 从以上内容可知，同伦分析法和a d o i i l i a n 分解法的解题思路很相似，都是 将原始方程分解为一系列线性方程进行迭代求解同伦分析法中的嵌入变 量g 与a d o n l i a n 分解法中引入的人工参数a 所起的作用也很类似通过比较公 式( 2 1 1 ) 和( 3 1 3 ) 可以发现，同伦分析法中的计算方法和a d o r n j a n 多项式的 计算方法也几乎完全相同唯一的区别是是整个方程mm 的幂级数分量， 而a d o r n j a n 多项式是方程中的非线性部分的幂级数分量于是我们自然就有了将 其它形式的a d o m i 柚多项式推广到中的想法效仿r a c h 对a d o r i l i 锄多项式的 新定义，本文将给出几个新的计算公式 3 2r m 的新定义 3 2 1 新的计算公式 设常微分方程为 a li 扎( t ) 1 = f ( 乱( ) ，乱( 1 ( 亡) ，钆( 8 ( ) ) = o ， ( 3 1 4 ) 其中f 是一个s + 1 元函数，s 是算子朋的最高阶数，札( ) ( ) 表示“( t ) 关于z 的尼阶 导数本文定义如下三种新的r m 第1 种满足 薹心= m 酗， n = o l n = ol ( 3 1 5 ) 它对应于a c c e l e r a t e da d o m i a n 多项式( 2 1 8 ) 第2 种满足 塾= 羹地陛) 甜小毋棚孑) ， 坳 它对应于第1 类m o d 谁e da d o m i a n 多项式( 2 1 9 ) 第3 种r m 满足 羹r = 薹刍 砉( 苫1 “护) 南 ”f ( 甜叫护) ， c 3 朋， 它对应于第类m o ( 1 i f i e da d o m i a i l 多项式( 2 2 0 ) 如果设= ，则新算法的计算步骤如下： 步骤1 给定初始猜测解钆o ，辅助线性算子c ，辅助函数日( t ) 和辅助参数危 令m = 0 步骤2 由公式( 3 。1 5 ) ，( 3 1 6 ) 或( 3 1 7 ) 计算鼠 步骤3 由方程( 3 1 2 ) 计算+ 1 并令m = m + 1 步骤4 重复步骤2 和步骤3 ，直至满足终止条件 m 步骤5 方程( 3 1 4 ) 的m 阶近似解即为( z ) = ( t ) = 0 1 2 3 2 兄肘的新定义 3 2 2 构造定理 为了证明用上述算法得到的解的确是方程( 3 1 4 ) 的解，本文首先给出下面 的构造定理 定理3 1 若级数( t ) 和r 。( t ) 收敛，其中满足公式( 3 1 2 ) ，并且 满足 r ( t ) = 朋i 缸竹( ) l ， ( 3 1 8 ) 则级数( t ) 必是方程( 3 1 ) 的解，同时凡( t ) 必为o 证因为满足公式( 3 1 2 ) ，即 + l ( t ) 】= 触( z ) f ( t ) 令m _ 。o ，由( 3 1 8 ) 有 土骢【( t ) 】- 胴( t ) r ( ) = 矗( t ) ml ( z ) 1 m一o。oi - oi 因为级数t h ( z ) 收敛，因此必有l i m2 b ，( z ) = o ，于是 o = i 恕，u 。( ) i = i 骢m ) 】：危h ( ) mi ( ) i l m _ o 。 j m _ o 。 iol 由于危o ，日o ，因此朋i 2 ( 圳= o ，即( ) 是方程( 3 1 ) 的解，且 心( t ) = 朋i 珏。( t ) l = o 口 从公式( 3 1 5 ) ，( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 易知，新定义的三种均满足性质( 3 1 8 ) ，由此 得到下面的推论： 推论3 2 用新算法得到的近似解在收敛区间内收敛至方程( 3 1 4 ) 的解 证由公式( 3 1 5 ) ，当m _ o 。时 风( t ) = 朋i 钆n ( t ) 1 由公式( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) ，当m _ 。时 薹岛= 薹堆溪够) 射小毋) 叫字) = f ( 薹邯，萎谬，薹毋，) = m 薹 = f l 邯，谬，毋) = mi i p = 0p = 0p = o l n = 0 j 1 3 3 2 r m 的新定义 于是新定义的三种均满足性质( 3 1 8 ) 由定理3 1 ，得证 口 3 2 3 新方法所得解与原方法所得解的关系 令符号oe6 表不。是6 的部分项之和，例如2 + 4 + 6e1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 下面将给出新方法所得解与原同伦分析法所得解之间的关系 定理3 3 若级数量赭】( t ) 和登磁j ( t ) ，尼：l ，2 ，3 ，4 ，满足定理3 1 之条件，且 初始猜测解u ( t ) 相同蒯( t ) 一r 捌( t ) 分别满足式( 3 1 5 ) 、( 3 1 6 ) 、( 3 1 7 ) 和( 3 1 3 ) ， 并令然1 ( ) ：苎磁】( t ) ，铡( ) ：曼拷】( ) ，尼：1 ，2 ，3 ，4 则踹】e 蒯e 鸱1e 鲫，洲e 洲e 胡e 制，洲e 面魁e 删e 洲，v m n 证设札乎】( ) = 扎o ( t ) ，则以上四种方法所得到的部分和麟1 ( ) 均可视为函 数f 在( u o ，孔5 ，钆孑) 处展开的t a y l o r 级数 肚薹刍l ( 扎 l ) 寿j f ( u 3 1 ) ，) 聊 的一部分其中 跏= 薹堆卜) 一铲) 射如毋叫乎) ， 2 。， 非薹堆( 弘铲) 赤h 毋柚箩) ， 2 ， 鲫= 薹堆( 苫1 埘) 刹”如叫妒) 一忽， 硼e 薹堆( 苫1 埘) 南h 艚) 叫扩) ， 刚的具体形式将在下一小节给出，下面先用数学归纳法证明：在m 相同的情 况下，s 姥+ 1 1e 麟】，同时游1 1e 洲 事实上，以上四种方法得到的s 乎1 和钆f 都是相同的现假设n m 时，辨+ 1 1e 踏l ，域嚣】e 钆坦l - 则当n ：m 时，由( 3 2 0 ) 。( 3 2 3 ) 和归纳假设，易知站+ 1 1es 删 由( 3 1 2 ) ，因为c 是线性算子，从而蛾：】e 让黢1 由数学归纳法，得证 又因为硼( t ) = 萎掳】( t ) ，于是甜1 1e 洲 口 定理3 3 从理论上证明了本文所给的三种方法将比传统同伦分析法获得更多 的展开项这意味着这些解往往包含更多的信息但也必须指出，更多的项数意味着 1 4 3 2 r m 的耨定义 更多的计算时间，却并不一定意味着实际误差会必然得到改善由于得到的解的表 达式并不相同，这些方法所得解的收敛性也并不一定相同通过实验可以发现在某 些情况下新公式较传统方法具有更快的收敛速度或更大的收敛范围，有些情况下则 效果相当甚至不如传统方法对具体问题如何判断选择最佳的r m 计算公式值得进 一步研究就目前而言，在综合比较计算效率的情况下，当传统方法失效或收敛较慢 时，可以尝试采用新方法进行求解 3 2 4 传统嗣另一柙表不 传统的计算公式中，需要依赖嵌入变量q 的帮助而在前文已经提到，传统 的满足 薹e 薹堆晤1 牡) 剖”如叫孑) ， e 去l 够) _ 乱舻) 熹if ( 钍p 叫孑) ， 竹= o n = o ”。l = o p = oc ，u oj 、7 现在本节将其更具体地表示出来因为 薹堆曙牡) 甜咚一叫孑) = 羹三：n 壅岍+ 蒹州砘”鸢1 南( 够，南厂f ( 锄。) n = o o + + 4 = n 七= o l + + t ，m n + 1 = p = 1 p v 0 记 为某满足叫l + 叫2 + + 一。+ 1 = 的( 训l ，伽2 ，训m 一竹+ 1 ) ，n 。k 为满 足瓤的百1 赤( t 。轳寿) “小，皿3 5 灿上式等于 记( ) 为内积符号，6 = ( 1 ，2 ，m n + 1 ) ，则可验证，传统满足 r m = o ( 3 2 4 ) n = o 竹= o o + + 。产n 壹( ”南，6 ) m 上述内容实际上给出了传统同伦分析法中的一种直接计算方法，并 与r a c h 所给的计算传统a d o r n i a n 多项式的新公式( 2 2 3 ) 相对应由此这四种计 算公式在t a y l o r 展开式部分和的意义下得到了统一当然这种表示方法比较复杂， 与原计算公式相比并不一定具有应用价值 1 5 钆 毗 。脚剐m 幻 。脚 0 口 址 d n = m+幻 。脚 l l 3 3 一些补充 3 3 一些补充 3 3 1 辅助参数选择的原则 如前所述，在理论上同伦分析法对，日，铷和危的选择并没有特殊的要求，这 使我们拥有充分的自由选取上述参数这既是同伦分析法的灵活性所在，同时也往 往让人感到无从下手需要强调，选取这些参数的根本目的是为了得到更满意的近 似解由于同伦分解法得到的近似解是一系列函数的线性组合，显然这些函数的类 型直接影响到近似解的最终效果例如，用带有周期性质的三角函数来表示振动方 程的解将比不具周期性质的其它类型的函数更具优势正是基于这种朴素的思想， 廖世俊及其合作者提出了一套原理或准则来指导这些参数的选取【1 7 】，它们分别是： 1 ) 解表达原则 该法则是指在用同伦分析法求解时，应事先为方程的解选择一组理想的基方 程的解只能是这组基的线性组合这意味着初始猜测解和其它各阶解分量都必须由 这组基来表达，不得出现这组基以外的表达式 2 ) 系数遍历原则 该法则是指近似解随着阶数的逐渐增加，所选择的每个基都应在解表达中出 现，其系数也都应能得到改善 3 ) 解存在原则 该法则是指这些辅助参数的选取应让所有高阶形变方程( 3 1 2 ) 封闭日有解 这些原则的根本目的是使得解能够用理想的基函数来表示，避免出现“长期 项”等影响收敛效果的情况虽然这些原则并不是必需的，但如果参数的选择遵循 这些原则，将使得到的近似解的效果更佳 这里需要指出的是，本文对的改造不会使这套准则失效在新的迭代公式 下依然可以用这套准则来指导参数的选取而且经过实验发现，在用传统同伦分 析法时所选取的这些辅助参数，在新的公式下依然符合上述原则这就为寻找最佳 的计算公式带来了相当的便利，因为在确定了合适的辅助参数的情况下，我们 可以方便地更换风。公式，比较所得解的优劣 3 3 2 初、边值条件 假设方程( 3 1 ) 的初、边值条件为 p m = o ( 3 2 5 ) 同伦分析法对初、边值条件的处理过程与对微分方程的处理过程非常类似在方 1 6 3 3 一些补充 程( 3 1 ) 引入恹入殳重g 开转化为苓彤r 彤父万。程( 3 3 ) 乙庙，初、j z z 值条仟也相应：雯为 引多( 幻g ) 】= o 对引多( t ；口) 】在口= o 处泰勒展开得 p 【多( ；q ) l = 玩+ b l q + b 2 9 2 + = o ，( 3 2 6 ) = 刍掣l 口= o 7 n ! c ，口l n 将式( 3 6 ) 代入上式得 = 刍酗啪_ o b 2 7 ， 令方程( 3 2 6 ) 两边q 的相同次幂的系数相等，即可得到如下一系列代数方程 玩= p 【u o 】= o ， b = 毫p 【札。+ z n g j ) i 。= 。， 氏= 嘉悟隆矿跳。扎 将其与对应的高阶形变方程( 3 1 2 ) ( 或( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) ) 联立，即可确定解分量钆。中常 系数的值 这种做法有一个缺点当初、边值条件不是线性方程时，除了初始猜测解外，得 到的各阶近似解一般并不满足初、边值条件( 但会随着阶数的增加逐渐逼近所给条 件) 由于在实际应用中往往希望近似解能够严格满足初、边值条件，因此更直接的 做法是将初、边值条件直接应用到各阶近似解中，从而得到如下一系列代数方程： p f 乱o 】= o ， p 【札o + u 1 】= o ， p 【咖+ u l + + 钆m 】= o ， 1 7 3 3 一些补充 将其与对应的高阶形变方程( 3 1 2 ) ( 或( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) ) 联立，即可确定解分量。中常 系数的值，并且保证了各阶近似解都满足初、边值条件本文第四章设计的程序均 采用此方法确定各阶解分量 需要指出的是，在绝大多数情形下，初、边值条件都是非常简单的线性方程，因 此这两种方法所得结果将完全相同 3 3 3 其它类型的方程 本章在上一节用常微分方程推导并证明了新公式的有效性事实上，同伦分析 法的适用范围是很广泛的，不论是偏微分方程、方程组还是其它特殊类型的方程， 都可以应用同伦分析法进行迭代求解本小节将要指出，新的构造条件同样适 用于上述各类方程 1 偏微分方程 众所周知，偏微分方程的求解比常微分方程要困难的多，迄今为止还未找到一 种一般的求解方法 在某蝗情况下，通过某利，假设( 如分离变量法等) ，可以将一个偏微分方程转换 为常微分方程组，再用同伦分析法进行求解这是一种经常使用并且非常有效的方 法但是并非所有偏微分方程都可以化为常微分方程，同时这种变换和构造也具有 一定的技巧性 仔细分析同伦分析法的推导过程可以发现，同伦分析法在整个推导过程中与其 是否是偏微分方程并无关系这说明同伦分析法可以对偏微分方程进行直接求解， 并且求解步骤和常微分方程完全类似同样，定理3 1 的证明过程也与其是否是偏 微分方程无关唯一需要改变的可能只是几个新定义的计算公式的表示形式 以二元偏微分方程为例，设 人tl 钆( z ，y ) 】= f ( 钆，u z ，钆暑，u 霉z ，钆甜，u 鲥，钆z 矿) ( 3 2 8 ) 与常微分方程( 3 1 4 ) 相比较，仅仅是f 中的变量发生了改变新定义的几种的 构造思路不会因此而发生变化因此读者完全可以仿照常微分方程的情形写出类似 的计算公式，这些新公式均可用于对偏微分方程的直接求解 通过选择某些特殊的辅助线性算子，同伦分析法对偏微分方程的求解难度可以 大大降低例如，在实际应用中，常常定义辅助线性算子为某个特定自变量的微分算 子的线性组合，这样就可以把原始方程分解为一系列线性常微分方程进行求解 当然我们必须强调，对辅助线性算子的选取起决定作用的是解表达原则，理想 的解表达可以获得质量更好的近似解即使所选的线性算子使得得到的线性方程是 1 8 3 3 一些补充 偏微分方程，也可以应用其它技巧( 如分离变量法等) 进行求解，其求解难度也远低 于非线性问题 2 方程组 以两个方程为例假设方程组为 馏善 凹， 令c l ，c 2 ，日1 ，凰，伽，移o ，危1 和恕分别为辅助线性算子、辅助函数、初始猜测解和辅 助参数与单个方程类似，可以得到如下迭代公式： 1f + l 】= 无l h l r 1 。， 竹= 0 m 2f + 1 1 _ 兄冗2 。 ( 3 3 0 ) ( 3 3 1 ) 由于这两个方程中分别只含有一个线性算子，且各自只对一个函数作用，因此非常 易于求解定理3 1 在方程组的情形下依然成立 o oo。00 定理3 4 若级数乱。，咒1 。和r 2 。收敛，其中t h 满足公式( 3 3 0 ) ， 扎= 0n = 0n = on = o 满足公式( 3 3 1 ) ，并且兄l 。和r 2 m 满足 r ，。= ml u 。，i ，z ji j jl n = o l n = o n = o j o o r 1 r 2 n = l 秒。l ， ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 则级数u 。和必是方程组( 3 2 9 ) 的解，同时冗1 。= r = o 其证明可仿照定理3 1 ，这里从略由此同样可以构造出很多新的冗1 m 和 r 2 m 的计算公式需要指出的是，与单个方程的情形不同，兄1 m 和r 2 m 一般 由钆o ，u l ，和伽，口l ，秽m 共同决定其构造公式可参照单个方程时的情 形，这里不再赘述 3 带有待定参数的方程 有的时候，一个系统中除了待定函数之外还存在一些待定参数，这些参数的值 事先并不清楚，但却与该系统密切相关比如振动系统中的频率和振幅等等在这 1 9 3 4 本章小结 种情形下，应用同伦分析法不仅可以求出方程的解，同时还可确定这些未知参数的 值【1 7 】，【2 5 】 假设有微分方程 m 【钆( t ) ，硼= o ( 3 3 4 ) 其中6 是待定参数和对钍的处理一样，将6 也分解为一系列分量的和，即 6 = 如+ 6 1 + + 如+ 的求解公式依然是( 3 1 2 ) 只是此时将由乱o ，钆l ，以及如，6 1 一，如共 同决定因此方程( 3 1 2 ) 中除了未知函数+ 1 ( t ) ，还含有未知量如需要确定，故方 程不封闭这似乎不满足解存在原则但事实上，根据解表达原则或方程的实际背景 不难建立确定如的方程从而使得系统封闭，最终得到待定函数和待定参数的各阶 解分量 通过与证明定理3 1 完全相似的方法，可以得到类似的定理 定理3 5 若级数牡n ，以和心收敛，其中钆。满足公式( 3 1 2 ) ，并 且满足 厩= mi 如i ， ( 3 3 5 ) 竹= o l n = o n = o j 则级数必是方程( 3 3 4 ) 的解，同时风( ) 必为o n = 0犯= 0 本节将定理3 1 扩展到了更多类型的方程之中需要指出在这些情形下，用户 依然拥有足够的空间创造新的计算公式对上述各类方程，将在下章通过具体 实例进一步说明 3 4 本章小结 通过效仿a d o m i a n 多项式的新定义，本章给出了几个计算的新公式，并且 证明了用这些新公式所得的解的确是原方程的解我们还证明了新公式所得的解将 比原方法所得解拥有更多的展开项更重要的是本章给出了一个构造的一般条 件，即定理3 1 ，并且指出在偏微分方程、方程组以及含有待定参数的微分方程的情 形下，相似的结论依然成立 必须强调，定理3 1 对的限制很微弱，这意味着我们拥有充分的自由创造出 更多新的计算公式除了本章之前所给的几个公式之外，用户完全可以自定义 3 4 本章小结 别的兄。公式例如，通过改变之前公式的展开位置，如 薹r = 薹刍 砉螂寿 nf ( 薹薹甥，薹) 就得到了f 在( ，毋) ，姑) 处展开的新公式又或者通过改变之前 公式中展开的项数，比如令 薹风= 霎谁，) 甜如毋) 叫孑) ，薹风2 薹刍【( 三钆箩) 蠢j f ( 毋叫孑) ， 或 薹= 曩堆曙) 射卟罐叫孑) 薹。薹去| - t 2 + t 1 2 1 c 。m p o 是函数f 中的变量，同样用列表表示，分别对应不同的f 如c o m p o ：= f ( x ) ，d i f f ( f ( x ) ，x ) 】f 和c o m p o 共同组成了所要求解的微分方程， 例如上面的f 和c 。m p o 定义了方程，7 ( z ) + ，2 ( z ) 一1 = 0 c o n d s 是方程的初、边值条件，如c o n d s ：= f o ) 一1 ，d ( f ) ( o ) = o 】 f u n s 是需要求解的函数和待定参数，用列表表示如果有待定参数，必须写在 函数之后，如f u n s ：= f ( x ) ，g ( x ) ，d 其中d 就是待定参数 v 0 是方程的初始猜测解t o ，用列表表示，分别对应不同的函数如v 0 ：= 1 一 e x p ( 一x ) h 是辅助函数h ，如h ：= e x p ( _ x ) 如果是方程组，将有多个辅助函数 h 是辅助参数鬼如h ：= 一o 5 】如果是方程组，将有多个辅助参数 s o l v e r 是迭代时用来求解线性方程的函数调用该函数将返回对应线性方 程的通解本软件包自己提供了一些求解器以作演示之用，但在更多的情况下 需要自己对特定方程进行定义 s p e c l 是将通解结合初、边值条件以求解其中的常系数的函数，一般情况下 也需要自己定义s 0 1 v e r 和s p e c l 两个函数结合在一起就能够实现对特定 线性方程的求解 n 是迭代次数本程序以达到该迭代次数作为终止条件 w a y 是用于计算r m 的函数本软件包已提供了之前所述的三种新定义 的计算函数和传统方法的计算函数其中： 一a c c 和a c c l 是第1 种的计算函数，分别用于计算含有待定参数与不 含待定参数的情况 4 ，l 主要函数的接口和功能 一m d l 和m d l l 是第2 种的计算函数，分别用于计算含有待定参数与不 含待定参数的情况 一m d 2 和m d 2 1 是第3 种的计算函数，分别用于计算含有待定参数与不 含待定参数的情况 一t d 和t d l 是传统的计算函数，分别用于计算含有待定参数与不含待 定参数的情况 用户也可以自定义r m 计算函数供主程序调用 l 。p s 是辅助线性算子c ，如l 。p s ：= d i f f ( f ( x ) ，x ) + f ( x ) 】如果是方 程组，将有多个辅助线性算子在后面的实例中将会发现，这个参数在 很多时候并不会被用到，因为我们已经调用了自定义的线性方程求解 器s 。l v e r 和s p e c l 但是当用户要使用m a p l e 自带的通用微分方程求解 函数来求解线性方程时，就需要调用这个参数作为其接口 x c o n d s 是对含有待定参数的方程的参数进行求解的函数，对不含待定参数 的方程输入空列表本程序包已经提供了一个用于求解某类振动方程时所需 的参数求解函数，对于其它类型的方程，用户可以自己定义 当用户设置完成各个参数之后，即可调用主函数求解方程了函数的返回值是 一个列表 v ，v l i s t ，x ，x l i s t ，其中v 是所求函数的近似解，v l i s t 是其各阶解 分量，x 是待定参数的近似解，x l i s t 是待定参数的各阶分量如果方程不含待定参 数，则只返回前两项 一 由于在使用过程中用户一般需要自己定义s 0 1 v e r 和s p e c l ，同时也可以自 己设计r m 计算函数和x c o n d s 函数，下面将对这四个重要函数的接口和功能进行 介绍 4 1 2 通解求解器s o l v e r 求解器s o l v e r 的接口格式为v n = s 。】- v e r ( a ，v ，l o p s ) ，其中： a 是一个表达式列表，对应于公式( 3 1 1 ) 中的危日( z ) ( ) 如果是方程组，列 表中将有多个表达式 v 也是一个表达式列表，对应于公式( 3 1 1 ) 中的( 班列表中的表达式个数同 样取决于方程的个数 l o p s 如前所述是辅助线性算子c 的列表一般只有当调用m a p l e 自带的函 数d s o l v e 时才会用到该参数 4 1 主要函数的接口和功能 该函数的作用是得到方程( 3 1 1 ) 的通解并返回+ 1 的列表v n 如果是方程组，返 回的列表中将有多个表达式，分别对应不同待定函数的解分量针对不同的方程，可 以编制不同的s o l v e r 函数，也可以用d s 0 1 v e 命令编制一个通用的求解函数关 于s o l v e r 函数的编制技巧，将在下一节和实例中进行介绍 4 1 3 常系数求解器s p e c l 求解器s p e c l 的接口格式为c l i s t = s p e c l ( s v ，f u n ，x l i s t ，c 。n d s ) 其 中： s v 是一个表达式列表，它是当前方程的近似解，由于之前调用s 。l v e r 只得 到解分量的通解，因此近似解中含有需要确定的常系数s v 列表中元素的个 数一般等于方程的个数 f u n 是所求函数的列表，列表中的表达式个数同样取决于方程的个数 x l i s 七是当前已求得的待定参数的各阶分量如果方程不含待定参数，则可 任意给定，囚为该函数将不会用到该参数 c o n d s 如前所述是方程的初、边值条件列表 该函数的作用是通过方程的初、边值条件计算近似解中的常系数的值并通过集合 的形式返回，如 一c 1 = 2 ，_ c 2 = 3 ) 通常一个通解求解器s o l v e r 对应一个常系数求解器s p e c l ，两者配合使用 4 1 4 r m 计算器w a y 计算器w a y 的接口格式为【r n ，s r 】_ w a y ( v ，s v ，x l i s t ，s x ，f ，f u n s ，c 。m p o ， m ，k ，n ，s r ) 其中： v 和s v 分别代表当前所得的各阶解分量和近似解 x l i s t 和s x 分别代表当前所得的待定系数的各阶解分量和近似解 f ，f u n s 和c o m p o 的意义如之前所述 m 代表所求的方程，如前所述它可以由f 和c o m p 。生成 k 是当前所处的迭代次数，即当前所计算的的阶数 n 是所求函数的个数，它等于方程的个数 2 5 4 2 主要函数的算法步骤和设计思想 s r 是已计算出的的前m 一1 项和一1 该函数的作用是计算当前阶数的r m 和并返回所得列表需要指出，对某个特定 的计算函数，实际上并不一定需要用到所有这些参数，不同的计算公式所需的 参数也不完全相同这里所列出的参数是程序中所有可能会用到的数据此外，这些 参数其实并不独立，其中某些参数可以由另一些参数计算出来，为了提高程序的效 率我们将这些参数也传递进去，以避免不必要的重复计算如前所述，程序包中已经 预先提供了四种计算函数，它们的实现方法将在下一节介绍 4 1 5 待定参数求解器x c o n d s 只有在方程含有待定参数时才会用到该函数它的接口格式为 x l i s t ，n a ， n r ，n s r 】= x c o n d s ( a ，r ，s r ) 其中： a 如前所述是危日当方程含有待定参数时，a 中会含有该待定参数的分量 r 和s r 分别代表当前所得的各阶r m 及其和s 。当方程含有待定参数时，它 们也将含有待定参数的分量 该函数的作用是计算出待定参数的分量并更新a ，r 和s r 返l 旦i 列表中的值分别代 表己求得的待定参数值，以及更新后的a ，r 和s r 使用x c o n d s 的情形将在实例中 进一步展示，其具体程序可参考附录 4 2 主要函数的算法步骤和设计思想 4 2 1 主程序的算法步骤 主程序能够实现带有待定参数的方程组的同伦分析法求解，方程不含待定参数 时则跳过求解参数的步骤为简洁，下面仅以单个方程为例简述主函数的算法步骤， 对方程组只需将对应的步骤对多个对象分别处理即可 步骤1 令m = o 由锄和公式= 朋【让o 】计算( 如果方程含有待定参 数6 ，则冗o = 朋，如1 ) 步骤2 令m 的值加1 ，并令a = 危h 一1 步骤3 如果方程中含有待定参数6 ，则调用x c o n d s 函数求解其m 一1 阶分 量一l 并对r ，l 一1 和a 进行更新 4 2 主要函数的算法步骤和设计思想 步骤4 调用s o l v e r 函数得到分量的通解 步骤5 调用s p e c l 函数求得中的常系数，从而得到特解 步骤6 调用w a y 函数计算 步骤7 重复步骤2 到步骤6 直到m 达到所需阶数，并输出所求的近似解 从中可以看到，