（系统理论专业论文）两类可积系统精确解的研究.pdf

关键词：非线性s c h r i s d i n g e r 方程；k d v 6 方程；双线性方法；一孤子 解；周期解；0 函数；b 2 i c k l u n d 变换；非线性叠加公式 i e x a c ts o l u t i o n sf o rt w ok in d so fin t e gr a b l es y s t e m s a b s t r a c t s o l i t o na n d ( q u a s i ) p e r i o d i cs o l u t i o n sa r ei n f l u e n t i a le x a c ts o l u t i o n s f o rn o n l i n e a re q u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gh i r o t ab i l i n e a rm e t h o d ， w em a i n l yd i s c u s st h eg e n e r a l i z e dn o n l i n e a rs c h r r d i n g e re q u a t i o n s 1 n h e n - s o l i t o ns o l u t i o n sa n dq u a s i p e r i o d i cs o l u t i o n si nt e r mo fe l l i p t i c0f u n c - - t i o n sa r eo b t a i n e d r e c e n t l y , t h es i x t h o r d e rn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o nh a v e b e e na t t r a c t i o ni n t e r e s t ，n l en - s o l i t o ns o l u t i o n se x p r e s s e di nd i f f e r e n t f o r m sa n dn o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l a t i o na r cp r e s e n t e db yu s i n gh i r o t ab i l i n e a rm e t h o da n dt h eb i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o d i nt h ef i r s tc h a p t e r , h i s t o r i c a lo r i g i nt o g e t h e rw i t hs o m ek n o w l e d g eo f s o l i t o na n dp e r i o d i cs o l u t i o n sa lep r e s e n t e d i nt h es e c o n dc h a p t e r , w ef i r s td e d u c et h eb i l i n e a rf o r mo fn o n a u t o n o m o u sn o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o ni nt h eb r i g h tc a s ea n do b t a i ni t s n - s o l i t o ns o l u t i o n s ，w h a t sm o r e ，t h eq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n si nt e r mo f e l l i p t i c0f u n c t i o n sa r ea l s od r i v e n ，n l et h i r dc h a p t e ri sm a i n l yf o c u s e do nt h eh i g h e r - o r d e rn o n l i n e a rs c h r - 6 d i n g e re q u a t i o n t h en - s o l i t o ns o l u t i o n sa n ds e v e r a lq u a s i - p e r i o d i cs o l u t i o n sa r eo b t a i n e db ym e a n so f h i r o t ab i l i n e a rm e t h o da n dt h ei d e n t i t yo f e l l i p t i c0f u n c t i o n s i nt h ef o r t hc h a p t e r , w ef i r s tp r e s e n tt h eb i l i n e a rf o r ma n dt h en - s o l i t o n s o l u t i o n so ft h ek d v 6e q u a t i o n f u r t h e r , t h eb l i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na n d m o d i f i e db i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o na r ew o r ko u t f i n a l l y , t h en - s o l i t o n s o l u t i o n si nd i f f e r e n tf o r m sa n dn o n l i n e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l a t i o na r e a l s oo b t a i n e d 1 1 1 el a s tc h a p t e ri st h ec o n c l u d i n gr e m a r k s 丌t 3洲0m 5 舢40m8 唧1y ， k e yw o r d s ： n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；k d v 6e q u a t i o n ；h i - r o t ab i l i n e a rm e t h o d ；n - s o l i t o ns o l u t i o n s ；p e r i o d i cs o l u t i o n s ；0f u n c t i o n s ； b 自i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ；n o n l m e a rs u p e r p o s i t i o nf o r m u l a t i o n i v 目录 摘要i a b s t r a c t 】 i i 目录 l 绪论。1 1 1 孤立子理论的产生与发展1 1 2 非线性方程的孤子解j 2 1 3 非线性方程的周期解3 1 , 4 本文的主要t 作和结构4 2 非自治s c h r i i d i n g e r 方程6 2 1 双线性方程及一孤子解6 2 2 拟周期解9 2 3 特殊情形的拟周期解1 5 3 高阶s c h r i d i n g e r 方程2 0 3 1 双线性方程及一孤子解2 0 3 2 拟周期解2 3 3 3 特殊情形的周期解3 3 4 六阶k d v 方程3 5 4 1 双线性方程及一孤子解3 5 4 2b a c k l u n d 变换及一孤子解3 7 4 3 修正b i i c k l u n d 变换及一孤子解4 0 4 4 非线性叠加公式：4 4 v 5 总结与展望勰 参考文献4 9 附录10 函数及性质5 6 附录2 交换公式5 9 致谢_ 6 1 在学期间的研究成果及发表的论文6 2 学位论文独创性声明及授权声明6 3 学位论文诚信承诺书6 4 v i 过程中将无法避免的碰到各种各样的非线性方程与线性方程相比非线性方程的 性质更为错综复杂，更让人难以捉摸，人们对此一度畏之如虎直到上个世纪中后 期，构成非线性科学的三大分支，孤立子、混沌、分形理论的完善和迅速发展，才 使得非线性科学的研究有所突破孤立子，也称为孤立波。是一种与同种类型的 波碰撞以后形状和速度保持不变的特殊波，也即两个孤立波相互作用后具有粒子 特征作为非线性科学中重要的组成部分，孤立子理论已被广泛应用于非线性光 学、流体力学、等离子物理、凝聚态物理、量子论、激光等领域 孤立子的发现最早可以追溯到1 8 3 4 年，英国科学家j s r u s s e l l 无意中在运 河河道里发现了一种奇妙的水波，这种水波在前进过程中波形和波速没有明显的 变化后来他在1 8 4 4 年的第1 4 届英国科学促进会的报告中详细阐述了这一奇特 的水波现象，并称这种波为孤立波【l l 且认为它是流体力学方程的一个稳定解但 限于当时的数学理论和科学水平，他始终未能从理论上证实孤立波的存在直到 1 8 9 5 年。荷兰著名数学家k o f t e w e g 和他的学生d ev f i e s 在研究浅水波的运动时。 认为这种波近似为小振幅的长波。并以此建立了浅水波运动方程 鲁= 饵麦( ；，7 2 + a t + 舞) ， 仃= h 3 一万t h ， ( 1 1 ) 其中，7 为波面高度，h 表示水深，9 为重力加速，p 是水的密度口是与水的匀速 流动有关韵小常数，丁是水的表面张力经过尺度变换 ( 1 1 ) 式可以改写为 t = 三屉z = 一嘉一扩1 三q ， ( 1 2 ) 毗+ 6 u u z + 仳撇= 0 1 ( 1 3 ) 1 绪论 这就是著名的k d v 方程 2 1 k o r t e w e g 和d ev r i e s 对孤立波现象做了较为具体的 分析，并从上式推导出了k d v 方程的行波解，其动力学性质与r u s s e l l 的描述完 全一致，从而为r u s s e l l 的论断提供了完美的理论解释，证实了孤立波的存在 到上个世纪五十年代，著名物理学家f e r m i 、p a s t a 和u l a m 3 l - 人通过计算 机研究非线性弹簧上的质点运动时，再次发现了类似孤立波的性质之后t o d a 研 究了类似的非线性振动，提出了t o d a 链方程，并在此基础上得到了孤立波解1 4 ， 这些成果进一步激发了人们对孤立波研究的兴趣 1 9 6 5 年，美国数学家m d k r u s k a l 和m j z a b u s k y 借助于计算机通过数 值计算详细分析了k d v 方程两波碰撞的非线性相互作用的全过程，发现孤立 波在相互作用后扔保持原来的形状和速度而呈现出完全弹性散射的性质，于是 k r u s k a l 和z a b u s k y 将这具有稳定性质的孤波称为孤子i s 这项研究工作在孤立子 理论发展史上起着里程碑的重要作用从此孤立子作为应用科学中的新概念诞生 了由此。也开启了研究非线性发展方程与孤立子理论的新纪元，各个领域的科学 家相继投入了巨大的热情和兴趣 目前，很多科学领域都发现了孤立子运动形态，一大类具有孤波解的非线性 发展方程也相应的被发现国内外学者从不同方面进行了比较系统和深入的研 究。取得了不少令人瞩目的成果，较为完整的数学和物理孤立子理论正逐步形成 1 2 非线性方程的孤子解 在孤立子理论研究中，寻找非线性方程的精确解一直是古老而重要的研究 课题，讨论这些精确解的性质以解释相应的自然现象和物理意义也是该领域中 备受关注的问题通过众多科学家的努力，人们已经建立和发展了不少求解非线 性系统的有效方法，尤其是那些可积系统：常用的方法有反散射方法【6 - 8 】、分离 变量法【9 - l o 、达布变换法【1 1 ，1 2 1 、b _ l i c k l u n d 变换法【1 3 - 1 6 、h i r o t a 双线性导数方 法【1 7 1 剐、齐次平衡法【1 9 ，2 0 1 、双曲函数法1 2 l - z 2 1 、p a i n l e v 6 分析法 2 3 , 2 4 1 等 双线性方法是日本数学家h i r o t a 于1 9 7 1 年提出的一种通过双线性导数方法 获得非线性方程孤子解的有效工具【1 7 i 它的基本思想是通过引入位势让的合理 变换，在形式上将孤子方程转化为双线性导数方程，然后利用扰动展开法，得到 方程指数函数形式的单孤子解，以及二、三孤子解，最后根据这些解的表达式归 纳出孤子方程的一孤子解该方法仅涉及代数运算，且求解过程只与扰动展开 式有关，操作简单其适用范围广，而且利用双线性方法还可以得到孤子方程的 2 1 绪论 b l i c k l u n d 变换、l a x 对、非线性叠加公式以及其他形式的特殊解等h i r o t a 和其 他的一些研究人员构造了许多可积系统的双线性形式，并且从他们的研究成果可 以推测：所有完全可积的非线性方程都可以被双线性化，但是能被化成双线性形 式的非线性方程不一定可积 另一种获得方程孤子解的有效求解方法是b i i c l d u n d 变换1 8 8 5 年，瑞典几何 学家b i i c k l u n d 在研究负常曲率曲面时。发现s i n e - g o r d e n 方程 。t2s i n t ， 的两个解u 与面之间有如下的关系式 砚= 一2 j 3 s i n ( 兰笋觑， 一u t = 一地+ s i n ( t u - t i ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 其中口是参数这就是著名的b i i c k l u n d 变换该变换给出了从s i n e g o r d e n 方程 的一个已知解出发，通过上式得到另一个新解的方法【1 4 1 此外还得到了一个非线 性叠加公式 札t 2 = 4 删a n 【糌t a n ( 半) 】+ 咖 ( 1 6 ) 该公式在非线性理论中具有重要的作用，但当时并没有引起人们的足够重视直 到上个世纪六十年代，由于非线性光学和晶体错位等领域的研究与s i n e - g o r d e n 方程有关，这个变换才逐渐受到重视，并成为得到方程多孤子解的重要方法1 9 7 3 年，w a h l q u s t 和e s t a b r o o k 研究发现k d v 方程也具有类似的b i c k l u n d 变换1 1 5 1 。最 后提出了求非线性发展方程b l i c k l u n d 变换的延拓结构方法。并把b i i c k l u n d 变 换、守恒律和反散射变换统一到位势中1 9 8 3 年，w c i s s ，t a b o r 和c a m v a l 推广了 常微分方程的p a i n l e v 6 可积判定方法，提出了偏微分方程的p a i n l e v 6 可积判定方 法，并利用其获得可积孤子方程b 蕴c k l u n d 变换l 凋我国胡星标教授等人在这方面 也做了深入的研究，取得了一系列具有重要意义的成果【2 6 - 渊 1 3 非线性方程的周期解 孤子方程周期解在研究非线性波现象中有着重要的作用，也一直受到各领域 研究人员的重视 3 1 绪论 在上个世纪七十年代，a r i t s ，e d a t e 和s t a n a k a 等利用反谱理论得到了 k d v 方程和t 0 d a 方程的r i e m a n n0 函数形式的一周期解1 2 9 - 3 1 】但是用这种方 法不能直接得到波动方程频率、波数、相位移以及振幅之间的关系与此同时， vb m a t v e e v 3 2 用退化方法得到了孤子的拟周期解他的这种方法被后人称为代 数几何法，而我国曹策问，耿献国教授等人亦应用此方法构造出了许多孤子方程 的拟周期解【3 3 - 3 5 到了七十年代，a n a k a m u r e 等【3 6 3 踟在双线性方法的基础上，先后结合 r i e m a n n0 函数 秽( 7 7 ，7 ) = e x p ( 2 7 r i n r + 7 t i n = r ) ，叼= k x + l y + + w t + r i o ， ( 1 9 ) n 一= 一 以及广义椭圆口函数 毋( 叩，瓦，西l7 ) = e x p ( 吻+ 弓) ( 仍+ 咖) + ( + 码) 挑( n 七+ 砜) 】， n l ，n 。一j = l歹，k = l ( 1 1 0 ) 求得了一系列孤子方程的周期解这里7 - 是复数且i m r 0 ，弓七= 亿，当( 1 1 0 ) 式 退化为一维，且( 瓦，矽) 非别取( ，1 7 r ) ，( i 1 ，o ) ，( 0 ，0 ) 和( 0 ，i 7 r ) 时，( 1 1 ) 式分别转化为 椭圆p 函数的四个形式( 见附录1 ) 这种方法操作简单，且得到的多周期解取极限 形式可以退化到孤子解他指出若非线性可积方程能转化为双线性形式，则其至 少具有2 一周期解，同时也给出了方程具有一周期解的条件 到了九十年代，k w c h o w 等 3 9 - - 4 1 】利用椭圆0 函数的双线性导数性质，得到 了k d v 方程、非线性s c h r 6 d i n g e r ( n l s ) 方程、k p 方程、2 + 1 维d s 方程等一系 列非线性方程的周期解也给出了方程双周期解的形式，但这里的双周期是指精 确解在空间变量z 方向和时间变量t 方向上都具有周期性 1 4 本文的主要工作和结构 本文在双线性方法的指导下，结合椭圆p 函数双线性导数性质，深入研究了 广义变系数n l s 方程( 非自治n l s 方程和高阶n l s 方程) 的一孤子解和拟周期 解问题利用双线性方法，推导出广义变系数n l s 方程的聚焦情形时的双线性方 程，并得到了方程的一孤子解利用修正双线性方程，采用椭圆0 函数的不同组 合形式，得到原方程单个口函数组合和双p 函数组合的不同类型拟周期解另一 4 l 绪论 方面，本文利用双线性方法和b i i c k l u n d 变换( b t ) 方法，研究了k d v 6 方程利用 递推算子得到其双线性方程及j 7 、r 一孤子解利用变换公式推导出方程的b t 和修 正b t ，且从平凡解出发，得到了方程另外两种形式的一孤子解最后推导并证 明了方程的非线性叠加公式 文章组织如下，第一章为绪论，主要介绍了孤立子理论产生和发展的相关内 容，介绍了一些研究孤立子方程的有效方法，以及论文的主要工作第二章中首 先简单介绍了非自治变系数n l s ，且在可积性条件下推到出方程聚焦情形时的双 线性方程和一孤子解然后借助修正双线性方程得到原方程四种不同形式的拟 周期解最后给出两个具体的非自治n l s 方程拟周期解的具体形式及其图像第 三章中，先介绍了高阶变系数n l s 方程及其退化后方程的不同形式在第一节中 推导出方程聚焦时的双线性方程和一孤子解第二节中给出原方程以及方程系 数取不同形式时的拟周期解最后在第三节中给出了h i r o t a 方程的周期解及其图 像第四章包括四个小节，第一节推导出k d v 6 方程的双线性方程并给出了一孤 子解的具体形式第二节导出方程的b t 并从平凡解出发得到方程的一孤子解 第三节中给出了方程的修正b t 及一孤子解，并证明了这两个不同形式一孤子 解是一致的最后在第四节成功推导并证明了方程的非线性叠加公式 5 2 非自治s c h r s d i n g e r 方程 研究表明，非线性s c h r 6 d i n g e r 方程描述的光学孤立子是光波在光纤传播过 程中，色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果 非自治n l s 方程一4 5 】 i 饥+ k 2 ( t ) u 够+ 删驯u 1 2 u - 2 c r z 扎一掣九埘扎_ 0 ( 2 1 ) 是玻色一爱因斯坦凝聚态理论以及光纤通讯中的重要模型，也称为g r o s s p i t a e v s k i i ( g p ) 方程【4 6 ，4 7 1 其中i u l 2 表示牡模的平方，盯= 4 - 1 ，分别对应方程聚 焦、散焦情形k ( t ) 是非线性项，r ( t ) 为离散像，p 是方程的调和项，r 称为方 程的获得或失去项 2 1 双线性方程及一孤子解 对于方程( 2 1 ) ，假设 并且满足条件 u 、昙e x p 胁。( t ) z 2 】妒， u 2 耳e x pm 1 矿j 妒， 警= 制m ；2 ， 2 m 1 = - ( 1 n 霄r ) t + 2 f 上式亦称为方程( 2 1 ) 式的可积性条件将t | 代a ( 2 1 ) 式，原方程转化为 等+ 仃和脚蚴炳地一2 矽蚴脚- 0 上式通过有理变换妒= 耥，得到双线性方程 ( 2 2 ) ( 2 3 口) ( 2 3 6 ) ( 2 4 ) ( i d t + 弛k 2k秘? 1 t 见一2 q z 蚴r ) 夕。，= o ， ( 2 5 ) d 一2 f f = 仃i f t 2 9 9 6 其中，为实函数，g 为复函数 对于仃 0 的情形，设g 和，可以按g 展开成无穷级数的形式 甙f ( 。t 采1 ：e f 怕( 2 ) e 茹0 掣f ( 2 j + 1 ) e ：z j l 。一 仁6 ， ，z ) = + 2 + ，( 4 ) s 4 + j + + 、7 将上式代入( 2 5 ) 式并比较的同次幂系数得夕( n ) 和，( 竹) 的关系式 掣+ k 2 0 0 ) + 2 t k m l z 9 ：1 ) 一2 a x g o ) + 2 删1 ) - o ， 1 9 5 3 + k 。，n ( 3 霉) + 2 i k 仇1 z 鳄) 一2 a x g ( 3 + 2 i f g ( 3 ) ：一g d t + 百g 上，善2 + 2 i k m l z 优一2 q z + 2 i f ) 夕( 1 ) ，( 2 1 ， i 羹5 + k 。a z ( s 王) + 2 i k m l 瑚：5 ) 一2 a x g ( 5 ) + 2 f g ( 5 ) ：一( i d t + g 彳上乞2 + 2 i k m l z 上) 一2 c e z + 2 t r ) ( 夕( 1 ) ，( 4 + 夕( 3 ) ，( 2 ) ， 删= 仃( 瓦r 夕2 9 z ) g ) ， 彤一1 2 d uf ( 2 ) 产+ 盯( 耳r ) 2 ( g ( 3 ) + 扩) ， 删= 一珑，( 2 ) 产) + 盯( 昙) 2 9 ( 5 ) + 夕( 3 ) 尹+ 夕( 5 ) 尹) ， 由( 2 7 a ) 式可知，9 ( 1 ) 有如下形式的解 = e 6 ，f 1 = l z ( t ) x + h i ( t ) + p ， 7 ( 2 7 a ) ( 2 7 6 ) ( 2 7 c ) ( 2 8 口) ( 2 8 6 ) ( 2 8 c ) ( 2 9 ) 2 非自治s c h r 6 d i n g e r 方程 其中1 1 ( f ) 和九l ( t ) 满足 其中 t z l t + 2 i k m l l l 一2 a = 0 ， i l ，t + 等瑶+ 2 i f = 0 将( 2 9 ) 式代入( 2 7 ) 和( 2 8 ) 的其余各式，得 ( 2 1 0 ) ，( 2 ) = 雨t r r 2 e 自k 什口1 3 ( t ) ，毋3 ( t ) = 币杀， ( 2 1 1 n ) 夕( 2 1 - a ) = 0 ，( 2 ) = 00 = 2 ，3 ，) ( 2 1 1 b ) 由此得到方程( 2 1 ) 的单孤子解 牡。= 偿慨护尚 同理可得方程( 2 1 ) 的双孤子解 札2 = 偿帆一糕， ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 a ) 夕( 1 ) = e f l + e 缸， 夕 k 簧( 伊缸汁棚” i - 0 2 3 + 毋2 懈卅1 2 棚1 4 + 畅) ，( 2 1 3 b ) ，( 2 ) = 爱罢( e f l + 钌+ 口1 3 + e f l + 嚣+ p 1 4 + e 缸+ 钌+ 0 2 3 + e 6 + 锃“k ) ， ，( 4 ) = ( 嚣) 2 e e l + 6 + 目+ 1 芝+ 0 1 2 + 0 1 s + 0 1 4 + 晒+ 阪+ ， 且 6 = 如( t ) z + h a t ) + g m ，e ( ) = ( 厶一f j ) 2 ， e 2 + h 2 “t ) = ( 譬一g ) 2 ， e 吼( 2 卅“t ) = 币- 虿户 ( ，j = 1 ，2 ) ， ( t ) 和b ( t ) ( j = l ，2 ) 满足( 2 1 0 ) 式 8 ( 2 1 3 c ) ( 2 1 3 d ) 2 非自治s c h r s d i n g e r 方程 其中 且 通过归纳可得方程的一孤子解 u n = 静护凳， 2 v 瓦e 芜， 鲰= a l ( t t ) e x p ( 蝻+ p = 0 ，1 j = l = 如( p ) e x p ( 心白+ 心肌( t ) ) ， p = o ，1j = 11 1 0 七 矗 = g + l n ( 、a r 2 2 j ( j = 1 ，2 ，n ) ， e 巩j 。= ( f 一t j ) 2 ，e p ( n + t ) ( n + j ) ( = ( 譬一哆) 2 ( t j = 2 ，3 ，n ) ， 毋州”= 南歹- 1 2 ，毗 ( 2 1 4 a ) ( 2 1 4 b ) ( 2 1 4 c ) ( 2 1 4 d ) ( 2 1 4 e ) ( 2 1 4 f ) p _ 0 l 表示取脚= 0 ，1 ( 歹= 1 ，2 ，n ) 的所有可能项之和而a i ( j u ) 和a 2 ( p ) 表 示当心取所有可能的0 或1 时，分别满足条件 nn 心= 1 + q ， j = l j = l 2 2 拟周期解 n 如 j = l n j l i n 村 j = l ( 2 1 4 9 ) 、 要求得方程的拟周期解阳，4 9 1 ，必须引入参函数c ，双线性方程( 2 5 ) 转化为 5 j k 玩+ 等谚+ k m 善鼍- 2 q z + 2 订一q 夕+ ，= o ，(215)2 ( 虿u 茁一c ) i ，= 仃等9 9 p 7 为简化计算，将，和夕进行如下改写 g = e - 2 _ f r d t c j 。 | = f 。 9 ( 2 1 6 ) 、j 七 如 七p 0 七 饥纵 2 非自治s c h r 6 d i n g e r 方程 将其代入( 2 1 5 ) 式，得到修正双线性方程 5徊t+等理+2：z兰4-frd2ctex-。c)k 2 g f = 0 (217)c)f f r 2 g g ( i 工，z 一 = 仃面e 一4 ，r d t 、7 选择适当的0 函数组合( 见附录1 ) 可以得到方程( 2 1 ) 的不同形式拟周期解 2 2 1 单0 函数组合 当 0 时，不妨假设g ，f 的形式如下 g 2 竺e ；! ：o h ：2 z ) 、p ，( ) + 如( ) ， ( 2 1 8 ) f = 如( ) + 以( f ) ， 其中f 满足条件0 2 3 ( 0 ) = f = h l ( t ) x + h 2 ( t ) ，p ( t ) ，g ( 亡) ，h l ( t ) 和h 2 ( t ) 是待定函 数 将上式代入双线性方程( 2 1 7 ) 的第二式，根据0 函数的双线性性质( 见附录1 ) ， 有 蒜 6 2 镌( f ) + b 1 0 2 ( ) + 6 1 锈( ) + 6 2 磅( ) + 2 6 3 如( f ) 以( f ) = g 醒( ) + 暖( f ) + 2 以 ) 以( f ) ( 2 1 9 ) + 稀e - 4 f r m $ ( o ) 锈( ) 一镌( o ) 镌( ) + 缳( o ) 锷( ) 一明( o ) 锈( ) ， 其中b 1 ：2 0 ( o ，7 ) 帆7 ) ，b 2 = 2 耥，b 3 = 蛐a 3 ( o , r ) + 纽0 4 ( o , r ) 嵋( ) ，锈( ) 以及以( ) 六( ) 是相互独立的函数，比较其系数并整理得关系式 恭= c ( 2 2 叫 2 锈( o ) v r 叫 丽a 比2 r 。2 ) e - 4 f r a t = 恭( 印) 一e l ( 0 ) ) ( 2 2 0 b ) 同理，将f 和g 代x , ( 2 1 7 ) 的第一式，比较如( ) 如( f ) ，如( f ) 以( f ) 的系数，得 ，1 1 。t + 2 k m l h a = 0 ， l o ( 2 2 1 a ) 2 非自治s c h r 6 d i n g e r 方程 吼+ 2 k m l q + 2 0 r = 0 h t + 蒜 器+ 勰卜q h l = p t + 譬+ g 器h t + 恭 器+ 器 + 砌，丽0 2 4 ( o ) = p t + 譬丽几2 乒十丽【丽十丽j 州口h 丽2 十t 由此可得 h i = c l e 一，2 k m l m ， 口= 一e 一，2 k m ，小 2 二e f 2 k m l d t d t + c 2 ， h 2 t t 一型铲啦 ( 2 2 1 b ) ( 2 2 2 a ) + c ( 2 2 2 b ) ( 2 2 3 a ) ( 2 2 3 b ) ( 2 2 3 c ) 舻一型盟销掣7 k 2 ，( 2 2 3 d ) 其中c 1 和c 2 是积分常量由方程的可积性条件( 2 3 ) 式可知，( 2 2 0 b ) 与( 2 2 3 a ) 是一 致的 所以，方程( 2 1 ) 的单0 函数组合拟周期解可以表示为 仳 2 = p 2 e - 4 f r d t 焉掰 仁2 4 ， 上式已经将p 函数转化为更广泛应用的椭圆函数且七= 答器 同理，假设g ，f 有如下形式的拟周期解 代入( 2 1 7 ) 式，得到 g = e 洳( 2 ) + 口( 胁( ) + i 以( ) 】， f = p l ( ) + 6 1 2 ( ) 1 t + 2 k m l h l = 0 ， g t + 2 k m l q + 2 a = 0 ， l l ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 a ) ( 2 2 6 b ) 也+ 恭 勰+ 器卜q h l = p t + 譬托 业o i ( o ) h 。+ 蒜 勰+ 勰 恂 ，器= p t + 譬把刊沈十丽【丽十丽j 十n 掣h 丽一十t 扎 以及 ( 2 2 6 c ) ( 2 2 6 d ) 嚣怒 锈( f ) 鬻一磅( ) 帮+ 镌( f ) 盟a s ( 盟o ) 一锈( ) 磋( o ) 鳢( o ) + p ，( ) 如( f ) ( 地o s ( 0 2 ) + 筹器) = c 堡盟堡型型瓷等等幽+ 2 p 1 ( ) 如( ) ( 2 2 7 ) + 蠹器e 一4 r r 出 镌( o ) 镌( ) + 明( o ) 锈( ) + 镌( o ) 锈( ) 其中 省略计算过程，在可积性条件下，得方程的拟周期解 u 1 2 = p 2 e 一4 _ r m r 【胛+ d n 2 ( 莓) k 七 c n ( 虿) + 1 - k 2 s n ( 手) 2 h ；= 一2 e 4 ，n 2 a l l 2 舻碟( o ) k 2 ( 锈( o ) + 酲( o ) ) 蠼( o ) h 1 = c l e 一_ r 2 k m l m ， 口= 一e 一一r 2 k m l d 2 口e ，2 k m l d t d t + c 2 ， = k h 2 1 9 2 ( 而0 ) - 广鹾一( 0 ) 一k 九 仇= 一型盟糍竽 此处c 1 和c 2 是积分常量 2 2 2 双p 函数组合 爷 在可积性条件下，当盯 0 时，g 和f 有以下双p 函数组合形式 g = 衅( p ( 2 ) + g ( 2 ) z 以( 7 7 ，丁1 ) 如( ，丁) + i 0 1 ( o ，n ) 以他，7 _ ) 】， f = 以( 叩，丁1 ) 以健，7 ) 一0 2 ( r t ，n ) 如( f ，7 - ) ( 2 3 3 ) 依照上述方法，将f 和g 代入( 2 1 7 ) 式，得到各个待定函数间的关系，为 u t x + 7 t + ( 2 k m l x + k q ) v = 0 ， 一咄粼+ 揣一o ， 砑k v 丽2 b ：一t + q t x + k q + 2 k m l q x + 2 a x + c ) = 。， = p + g z + 互1k 9 2 + 2 k m l q x + 2 q z + g 塑一! 些：丝：堕! 竺! 翌2p 一4 f r a t 2 0 j ( 0 ，7 ) 。k o ；( o ，7 1 ) 。 丽v 2 k b ：= c + 哿e ? ， 其中嵋= 2 0 ；( o ，_ 丁) 暖( o ，7 - ) ， c =u 2 6 3 2 酲( o ，7 ) 2 黼，= 黼+ 蛐8 4 ( 0 , r ) 因此，方程拟周期解模的平方形式为 l u l 2 = 矿e 一4 眦 且满足以下条件 r d n 2 ( 巧) c n 2 ( 手) + 七1 ( 1 + k 1 ) s n 2 ( 而) 】 k 川可i 一雁n ( 葡) c n ( 享) 】2 k l = 1 - 2 k s , 丽g v 2 b l u = c l e 一_ r 2 k m l m ，咄2 帮e 叫眦，镌( o ，n ) 。 k v 2 6 醒( o ，n ) 4 酲( o ，7 - ) 锈( o ，丁1 ) 1 4 讯2 k q v 魄( o ，7 ) ( 2 3 4 a ) ( 2 3 4 b ) ( 2 3 4 c ) ( 2 3 4 d ) ( 2 3 4 e ) ( 2 3 4 f ) ( 2 3 4 9 ) ( 2 3 5 a ) ( 2 3 5 b ) ( 2 3 5 c ) 、 一、，的一，护一醒 一2 、，一、， n i = 一 磅一嵋 眦 2 非自治s c h r 6 d i n g e r 方程 仇= 帮一k 口2 ，吼= 一2 k m t 口一2 q 。( 2 3 5 d ) 2 3 特殊情形的拟周期解 2 3 1 特殊情形1 令( t ) = 2 ，r c t ) = 2 e m ，p ( ) = 一譬，q ( t ) = r ( t ) = 0 ，非自治n l s 方 程( 2 1 ) 式转化为阳一5 5 l j u t + u z = + 2 a e x t i t l l 2 t + 1 a 2 x 2 u = o ， 其中入为实参数上式也可以由g p 方程退化得到 由( 2 3 ) 式计算得m l = 一害所以方程( 2 3 6 ) 有如下双线性方程 其中 ( i d t + 0 2 , 一i a 见